The nearly optimal control for a class of nonlinear time delay distributed parameter systems

N

max |    pnn |  

n1

max | t  

` max | 

 2 x 2

N

 pnnt | 

n1

N

 2n

n1

x 2

  pn

| 

同样在 C(QT)中取满足条件(16)，(17)可数函数集{ξi, i=1,2…}和{ηj, j=1,2…}，同文[18]第三章命题三的证 明，可得到如下结果。 命题 5：设 M1, M2, M3.是正整数， I (  , )   ( f1 )   ( f 2 ) 在集合 S(M1,M2,M3)的上的极小值

inf

[ I (  , )] ，

S ( M1 ,M 2 ,M 3 )

 F d    G d  

i=1,2,…M1

(18)

 (i )  ai

i=1,2,…M2

(19)

v(i )  ai

i=1,2,…M3

(20)

i

i

i

则当 Mi →+∞,(i=1,2,3)时， inf

[ I (  , )]  inf[ I (  , )]

S ( M1 ,M 2 ,M 3 )

S

这里：S(M1,M2,M3)={(μ, ν)∈M+(Λ)×M+(Γ)|(μ, ν)满足(18)-(20)}。 由命题 5，已以对限制条件进行了有限维近似，但在函数空间 S(M1,M2,M3)下，由于(μ, ν)的选择未做有限 近似处理，该问题仍是无穷维的。下面将由满足命题 5 的逐片常控制实现对原问题的逼近，从而实现计算的 有限化。即，当 Mi →+∞,(i=1,2,3)，对逐片常函数划分充分细时，

inf S ( M1 , M 2 , M 3 )

I (  y , v )  inf I( , ) 。我们把由 S

逐片常控制 uv 所对应的状态输出量记为 yu，并设(yu ,uv)所对应满足命题 5 的测度对 (  yu , vv ) 。由命题 5 可以 得到满足命题 5 条件(18)-(20)的最优测度对(μ*,ν*)，再由命题 3 的稠性，实现由逐片常控制所产生的测度对

(  yu , vv ) 对(μ*,ν*)的逼近。下面将证明，当 M1, M2, M3 充分大及逐片常函数划分充分细时，目标泛函 J(yv,v) 充分逼近 inf[ I (  , )] 。 S

定理 1：设 (yv, uv) 是由上述方式构成的逐片常控制对，则 (1) (yv, uv) 满足弱解方程(9)。 (2) As Mi →+∞ (i=1,2,3), J(yv,uv) → inf[ I (  , )] S

证明：对任意的 ε>0，并设(μ*,ν*)是 I (  , )   ( f1 )   ( f 2 ) 在 S(M1, M2, M3)上的极小元；其证明与命题 4 的证明 相仿。因为 S1 在 S 中稠密，可以在 S1 中找到逐片常控制对(μv, vu)使得： | { y ( f1 )   v ( f 2 )}  { * ( f1 )   * ( f 2 )}|  / 8

(21)

|  Fi d    Gi d  i |  / 8

(22)

|  y ( Fi )  u (Gi )  i |  / 8

(23)

(22)式也即是：

(1)首先证明 yv 是方程(1)-(4)的弱解。由 yv 的构造，yv 对每个满足方程(9)的 υi∈ H 01 (QT ) ，i=1,2,3….M1。 - 378 http://www.sj-ce.org