Scientific Journal of Control Engineering December 2013, Volume 3, Issue 6, PP.374-383

The Nearly-Optimal Control for a Class of Nonlinear Time Delay Distributed Parameter Systems Ji Sun†, Jian Li Electronic and Automation Engineering School, Nanjing Normal University, Nanjing 210042, P.R. China †Email:

ss_jj@163.com

Abstract In this paper, the nearly-optimal control of time delay nonlinear distributed parameter system is discussed. The optimal control problem is translated into one consisting of the minimization of a linear form over a set of positive measures satisfying linear constraints; the minimization in the new problem can be approximated by a finite dimensional linear programming problem, and we obtain the optimal control law of piecewise constant function from the linear programming problem for the optimal control problem. A numerical example is given to illustrate the procedure and numerical results show the method is effective. Keywords: Distributed Parameter Control System; Nonlinear Time Delay System; Optimal Control; Input/state Constraints; Measure Theory; Linear Optimization

10, 11]

；其缺点是为了达到控制精度不得不建立高阶模型和复杂的控制器[12,13]。近

1 问题和模型 本文将讨论如下非线性时间滞后分布参数系统：

y( x, t )  2 y ( x, t )   H ( y ( x, t ))  G( y ( x, t   ))  Bu ( x, t ) , (x,t)∈(0,l)×(0,T) t x 2

(1)

(2)

y(0, t ) =0

(3)

y(l , t ) =0

(4)

u min  u(t )  u max , y min  y( x, t )  y max 这里 y(x,t)是状态变量；x∈(0,l) 是空间坐标；t 是时间坐标；τ 是滞后时间，它是一个可测常数。H(.)和 G(.) 是连续的非线性函数。u(x, t)是受限的控制输入；umin 和 umax 分别是控制输入的上下界。ymin 和 ymax 分别是 状态量的上下界。T 是终端时间，并且 y(x, T)=yT(x)。 本文中，取指标函数为： T l

J(y, u)= 0 0{ f1[ y( x, t )]  f 2 [u( x, t )]}dxdt

(7)

 2 y( x, t ) x 2

 H ( y)  G( y( x, t   ))  Bu ( x, t )] ( x, t )dxdt =0

(8)

 T l 0 0[ y t l

y

 2 x

2

T l 0

 G( y( x, t   ))  H ( y) ]dxdt  0 l

= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx - 375 http://www.sj-ce.org

Bu dxdt

(9)

T l

0 0 G( y( x, t   )) ( x, t )dxdt =  0 G( y( x, p)) ( x, p   )dxdp 0

T  l 0 G( y( x, p)) ( x, p   )dxdp

l

=  0 G( y( x, p)) ( x, p   )dxdp + 0 引入特征函数，

(10)

t  (t0 , T   ] t  (t0 , T   ]

 (t )  10 则有， T l

0 0 G( y( x, t   )) ( x, t )dxdt 0

l

T l

=  0 G( y( x, t )) ( x, t   )dxdt + 0 0 G( y( x, t )) ( x, t   )  (t )dxdt 0

(11)

l

 T l 0 0[ y t l

y l

 2 x

2

T l 0

 G( y ( x, t ))  (t ) ( x, t   )  H ( y ) ]dxdt  0 0

Bu dxdt =αφ

(12)

l

2 最优控制问题的转换 在本节中，我们将把最优控制问题转化为一定测度空间上的优化问题。注意到，如果定义 Λ= QT× A，则 方程(1)-(4)的解 y(x,t)在连续函数空间 C(Λ)定义了如下正泛函。

 y : F  Q F ( y( x, t ), x, t )dxdt

(10)

T

u : G  Q G( u ( x, t ) , x , t )d x d t T

- 376 http://www.sj-ce.org

(11)

Q F ( y( x, t ), x, t )dxdt =  Fd  :  ( F ) ，对所有 F∈C(Λ)

(12)

Q G(u( x, t ), x, t )dxdt =  Gd : (G) ，对所有 G∈C(Γ)

(13)

T

T

 F d    G d  

(14)

F  y

  2  y 2  G( y )  (t ) ( x, t   )  H ( y ) ， G  Bu t x

I ( , )   ( f1)  ( f 2 )

(15)

 ( )  Q  ( x, t )dxdt  a

(16)

T

(2) 如果  :   R 仅依赖于变量 (x, t)，则 ν(η)是 is η 在 QT 上的 Lebesgue 积分。

 ( )  Q  ( x, t )dxdt  b

(17)

T

3 最优控制问题的近似 至此原问题已经转化在一定测度空间 Ω 寻找最小测度对的优化问题。即寻找满足(14),(16)-(17)的测度对(μ, ν) 使得 I ( , )   ( f1)  ( f 2 ) 最小。 对正测度空间 M+(Λ)×M+(Γ)赋予弱*拓扑，则该线性空间成为局部凸拓扑向量空间，由此可保证 Ω 是紧集， 从而 μ 和 ν 是连续的[18]。 命题 1：泛函 I ( , )   ( f1)  ( f 2 ) 是连续的。 命题 2：由定义在 M+(Λ)×M+(Γ)上且满足(14)及(16)-(17) 的测度对(μ, ν)构成的集合 S 是紧的。 再定义 S1, S1  S，S1={( μ, ν)|由逐片常函数控制对(u, v)所产生的并满足方程(14)及(16)-(17)测度对( μ, ν) }。 同文[19]定理 7.1 的证明，有如下命题。 命题 3：集 S1 在集 S 中弱*稠。 由命题 1 和命题 2，很容易得到命题 4。 命题 4：存在最优控制对(μ*,ν*)∈S，使得泛函 I ( , )   ( f1)  ( f 2 ) 最小。 至此原问题已经转化为一个 S 中寻优的无穷维优化问题，但在计算时只能在有限维上进行。下面先讨论 限制条件的有限近似。在 H 01 (QT ) 中选取可数个{υn}作为基集合，使得对任意 υ 及任意的 ε>0，存在 N>0 及 常数 pn，n=1,2,…N，下列不等式满足。 - 377 http://www.sj-ce.org

N

max |    pnn |  

n1

max | t  

` max | 

 2 x 2

N

 pnnt | 

n1

N

 2n

n1

x 2

  pn

| 

inf

[ I (  , )] ，

S ( M1 ,M 2 ,M 3 )

 F d    G d  

i=1,2,…M1

(18)

 (i )  ai

i=1,2,…M2

(19)

v(i )  ai

i=1,2,…M3

(20)

i

i

i

[ I (  , )]  inf[ I (  , )]

S ( M1 ,M 2 ,M 3 )

S

inf S ( M1 , M 2 , M 3 )

I (  y , v )  inf I( , ) 。我们把由 S

(  yu , vv ) 对(μ*,ν*)的逼近。下面将证明，当 M1, M2, M3 充分大及逐片常函数划分充分细时，目标泛函 J(yv,v) 充分逼近 inf[ I (  , )] 。 S

(21)

|  Fi d    Gi d  i |  / 8

(22)

|  y ( Fi )  u (Gi )  i |  / 8

(23)

(22)式也即是：

(1)首先证明 yv 是方程(1)-(4)的弱解。由 yv 的构造，yv 对每个满足方程(9)的 υi∈ H 01 (QT ) ，i=1,2,3….M1。 - 378 http://www.sj-ce.org

N



T l 0 0[ y t  y

 2 x

2

T l 0

 G( y( x, t   ))  H ( y) ]dxdt  0

l

Bu dxdt

l

= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx

(24)

(2)下面证明当 Mi →+∞(i =1,2,3)时

J ( yv , uv )  inf I (  , )  

(25)

S

J ( yv , uv )  inf I (  , )  { yv ( f1)   uv ( f 2 )}  { *( f1)   *( f 2 )} S

≤ { yv ( f1 )  uv ( f 2 )}  { y ( f1)  u ( f 2 )}  { y ( f1)  u ( f 2 )}  { *( f1)  *( f 2 )} ≤ ( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 )  ( y  *)( f1 )  ( u  *)( f 2 ) ≤ε/8+ ( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 )

(26)

( yv   y )( f1 )  ( uv  u )( f 2 ) ≤ε/2

(27)

F  yt  y xx  H ( y)  G( y)  (t )  1

(28)

(  yv   y )( F )   / 4

(29)

l

ασ= 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx =0

(30)

( yv   y )( F )   yv ( F )  u (G )   y ( F )  u (G )

(31)

l

 yv ( F )  u (G ) = 0 ( ( x, T ) y( x, T )dx - 0 ( x,0) y( x,0)dx =0

(32)

(  yv   y )( F )   / 4 - 379 http://www.sj-ce.org

(33)

(  yv   y )( F )   / 4

(34)

( yv   y )( f1 )  k1 (  yv   y )(w)  (  yv   y )( K1) =.. 这里 w=w(x,t,y)=y.， F  y

(35)

  2  y 2  G( y )  (t ) ( x, t   )  H ( y ) t x

( yv   y )( yt  y(xx  1)  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) ) <ε/4

(36)

(  yv   y )( w)  ( yv   y )( yt  y(xx  1)  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) )  ( yv   y )( yt  yxx  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) ) ≤ ( yv   y )( yt  y(xx  1)  G( y)  (t ) ( x, t   )  H ( y) )  (  yv   y )( F ) ≤ε/4

(37)

(  yv   y )( f1 )   / 2

(38)

( uv  u )f 2   / 2

(39)

4 数值方法及例子 考虑非线性时间滞后分布参数系统，该模型为传输反应模型(Dubljevic et al, 2005[16])，选择参数，H(y)=

T (e( /(1 y))  e )  U y ，滞后时间 τ=0.2，G(y)=y(t-0.2)，这里 βT=50，l=1，T=1，γ=4，B=15，终端条件 y(T,x)= yT(x)=0.5sin(πx)。输入限制 u(x,t) [0,1] ，状态限制 y [0,0.5] ，t [0,1] 。 选择指标泛函： 1 1

J(y,u)= 0 0 | y( x, t )  0.5t sin( x) | dxdt 选择实验函数：υ= t psin(mπx),(m=1,2, p=1,2 )及 υ=etsin(πx), υ=etsin(2πx)，共六个。将时间区间和空间区间 [0,1]十等分，[0,1]×[0,1]形成 100 个相等的区域，在每个小区域上取实验函数 ξi(i=1,2,…100)。以同样的方式 选择 100 个实验函数 ηj(j=1,2,…100)。 分别将区间 A=[0,0.5]和 B=[0,1]10 等分， 则 Λ=QT×A 分为 10×10×10=1000 子区域 Λn=(yk-1,yk)×(xi-1,xi)×(tj-1,tj)， 设其相应的测度为 βn， 相应的在 Λn.上值取 Dn= ( yn' , xn' , tn' ) ，yn'  (yk-1,yk)， (xi-1,xi)，xn'  tn'  ( tj-1,tj)。 同样，Γ=QT×B - 380 http://www.sj-ce.org

 f1 ( Dn )n

(40)

n1

1000

 F ( Dn )n   G (Tm ) m  

n1

i

m1

i

i

i=1,2…6.

(41)

j=1,2,…100.

(42)

k=1,2,…100

(43)

1000

  j ( Dn )n  a

n1

j

1000

 k (Tm ) m  a

m1

k

5 结论 我们的主要工作是提出了一种处理非线性时滞分布参数最优控制的方法，该方法对支配方程主算子为线 性的偏微分系统都是有效的；此外该方法的一个突出优点是可处理具有状态和输入限制的控制问题，同时对 - 381 http://www.sj-ce.org

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【作者简介】 1

2

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The nearly optimal control for a class of nonlinear time delay distributed parameter systems

Ji Sun, Jian Li