Tulisaninibukanpaper!
Sekadar njajal mengerjakansoalujiantengahsemesterdanujianakhirsemester.
Wihikan"Mawi"Wijna
1Soal-SoalUjianTengahSemester5
2Soal-SoalUjianAkhirSemester7
3AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor1 9
4AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor2 15
5AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor3 23
6AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor4 27
7AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor5 31
8AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor6 33
9AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor7 37
10AyoKerjakan! UjianAkhirSemester SoalNomor1 41
11AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor2 47
12AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor3 51
13AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor4 57
14AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor5 63
Halo!
Kenalkan!NamaakuWijna. SeringjugadipanggilWisna. Jarang-jarangdipanggilMawi. Kalauorang-orangsedangjengkel,kadangdipanggilbedebahjuga.
AkudulupernahjadimahasiswamatematikaUGM.Maksudnya,akuduluitupernahkuliahdi ProgramStudiMatematikaFMIPAUGM.MasukSeptember2004.LulusFebruari2009.Infolebih lanjut, googling sajanamakudiGoogle.
Ohya,kenapaakukurangkerjaanbikintulisanini?
Euh....
Tulisaniniakubuatdalamrangka mengisiwaktuluang.Berhubungsi bocil kalaumakan sukanyadiemut,jadiyasambilnungguituronggamulutnyakosonglagi,iseng-isengakungerjainsoalsoalujianini.Itupunkalaupaslagibosennge-scrall-scrollmangaonline, marketplace, Instagram,dll.
Berhubungngerjainsoalujiansambilnyuapin bocil,jadiyacumasebatas orat-oret dikertas-kertas kosongbekas.Pasmenungguazansubuhberkumandangataupas weekend cumadirumahdoang, nah,barudeh orat-oret itudipindahkeformatLATEX.
Yah,pokoknyasemuadibawasantaisajalah. Lhawong,namanyasekadarmengisiwaktuluang. Bukanmahasiswapulaini.
Eh,sebelumnyaya,mohonmaafyakalautulisaninilebihbanyaksalahnyadaripadabenarnya, hehehe.Maklum,kansudahbelasantahunyanglalujadimahasiswamatematika.Jadiya,mohon maafkalaulupa-lupaingat.
Tapi,berhubungpadazamaniniadayangnamanyamath.stackexchange.comdanQuora.Jadi, bolehlahnyontek-nyonteksedikit.
Ya,sudahlah.Bagianpengantarininggakusahpanjang-panjang.Semogaadayangbisadipelajari daritulisanini.
Ohyes!Lastbutnotleast, maturnuwun buatteman-temandiHIMATIKAFMIPAUGMyang menyediakansumbersoal-soalujianyangbisadiaksessecaracuma-cumadi website mereka,himatika.fmipa.ugm.ac.id.
Ah...somehowIfeltnostalgic....
Diketiksambildiiringinyanyiannyambak-mbakfromis_9.
Yogyakarta,2022
Wihikan"Mawi"Wijna
Paszamankukuliah(tahun2004-2009silam),PengantarLogikaMatematikadanHimpunanitumata kuliahwajibberbobot3SKSyangdiselenggarakanpadaSemester1ProgramStudiMatematika FMIPAUGM.Jadiya,PengantarLogikaMatematikadanHimpunanituadalahsalahsatumata kuliahyangmenjadi"santapannya"paramahasiswabaru.
PengantarLogikaMatematikadanHimpunanituadalahmatakuliahpertamakuyanghasilnilai akhirnyaadalahD!Hahaha.
Kenapaya?
Yangjelasbukankarenadosennyakok!Passemester1dulu,akudiajarmatakuliahPengantar LogikaMatematikadanHimpunanolehPakBudiSurodjo.Beliaumengajarnyaenakkok.Santai, kalem,nggaksukamarah-marahsepertidosenprodisebelah .Karenapeminatankualjabar,pada tahun-tahunberikutnyaakuikutbeberapamatakelasyangdiajarolehPakBudi.Sejauhituya finefine saja.
Yah,mungkinkarenapassemester1duluituakubelum"beradaptasi"denganperkuliahanmatematika(terutamaterkaitpembuktian-pembuktian).Jadinyaya...hancursudahnilaiku.Hahaha.
Eh,duluitukalautidakadajugatutormatakuliahPengantarLogikaMatematikadanHimpunan yangdiselenggarakandiluarjamkuliah.Hanyasaja,karenaakuterlalu"menggampangkan"dan masihhobipulangkerumahtepatwaktusetelahkuliahselesai,jadinyaakunggakpernahikuttutor! Hahaha.
Padaakhirnya,padasemesterpendekterakhiryangdiselenggarakanolehUGM,akumengulang matakuliahPengantarLogikaMatematikadanHimpunan.Hasilnya?DapatnilaiakhirAdong!
Nah,darisitulahsepertinyatitikbalikakumulaipahambagaimanacaranya"menjinakkan"mata kuliahaljabaryangmenurutkuya...gampang...relatiflebihgampangdarimatakuliahanalisis macamnyaKalkulus.Ya,setelahmengulangmatakuliahPengantarLogikaMatematikadanHimpunandisemesterpendekituminimalnilaikuBlahuntukmatakuliahaljabar.Hahaha.
Okedeh!Sebagaipenutup,semogatulisaninimembawamanfaat.Walaupunakuyakinkalau tulisaninilebihbanyaksalahnyadaripadabenarnya,hehehe.Maklum,kansudahbelasantahunyang lalujadimahasiswamatematika.Jadiya,mohonmaafkalaulupa-lupaingat.
Akunggaktahuapakahbenar-benaradaorangyangmembacatulisanini.SemisalAndayang membacatulisaniniadalahmahasiswa,akudoakansemogaAndamendapatpencerahandansukses berkuliah.SemisalAndayangmembacatulisaninipenasarandengansoal-soalujiankuliahmatematika,akuharapAndatidak shock danbisamemahamitulisaninidenganbaik.SemisalAndayang membacatulisaninihanyasekadarmengisiwaktuluang,akusarankanuntukmembacatulisanini sebagaikawan ngendog ditoilet.
Semogatulisaninibermanfaatbagimahasiswamatematikasemesterawal.KhususnyayangkesulitandankebingunganmemahamimatakuliahPengantarLogikaMatematikadanHimpunandan sungkanbertanyakedosenataukakaktingkat.Tulisaninibisadiunduhsecaracuma-cumadan diam-diam.Silakan googling namakuuntukmenemukanlebihbanyaktulisansejenisiniuntukberagammatakuliahlain.
Akhirkata,selamatmenikmatitulisanini!
Yogyakarta,2022 Wihikan"Mawi"Wijna
1. Foreachofthefollowingquantifiedstatements,writethenegationinsuchawaythatthe"¬ " symbolisnotneeded.(R isthesetofrealnumbers, Q isthesetofrationalnumbers, Z isthe setofintegers,and R+ isthesetofpositiverealnumbers.)
(a) ∀a ∈ R ∀b ∈ Z (a2 + b ∈ Z)
(b) ∃y ∈ R ∀x ∈ R (xy = x) (c) ∀x ∈ Z ∀y ∈ R (x =2y) (d) ∀x ∈ Z ∃y ∈ R x y =2 (e) ∀x ∈ Z ∀d ∈ R+ ∃y ∈ Q (|x y| <d)
2. Untukmasing-masingkalimatpadasoalnomor1tentukanmanakahyangbenarantarakalimat asliataunegasinya.BuktikansetiapjawabanAnda,ataupalingtidakberilahpenjelasanjawabanAndadengansebaikmungkin!
3. Diberikanpernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidak berpotongan".
(a) Nyatakanpernyataandiatasdalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankata-kata), denganmenggunakankwantor-kwantorsehinggasimbolnegasi"¬"digunakandiawalpernyataan.
(b) Nyatakanlagipernyataandiatasdalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankatakata),denganmenggunakankwantor-kwantortanpamenggunakansimbolnegasi"¬"diawal pernyataan.
4. Buktikandenganmenggunakaninduksipersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 ,berlakuuntuksemua bilanganasli n.
5. Selidikiapakah p ⇐⇒ q mempunyainilailogikayangsamadengan (p ∧ q) ∨ (¯ p ∧ q).Berikan buktiyangmendukungjawabananda!
6. Selidikiapakahbentukdibawahinimerupakantautologiataukontradiksi. (p =⇒ q)=⇒ [(p ∨ r)=⇒ (q ∨ r)]
7. (a) Jikadiketahui q =⇒ (r∧s) bernilaibenardan q∧s bernilaisalah,tentukannilaikebenaran pernyataan q!Jelaskanjawabansaudara!
(b) Jikadiketahui (p ∨ q)=⇒ r,dan p ∨ r bernilaibenar,tentukannilaikebenaranpernyataan r!Jelaskanjawabansaudara!
1. Diberikanhimpunan A, B,C,dan D
(a) Buktikan A ⊆ B jikadanhanyajika A B = ∅ (b) Buktikanjika A ⊆ B,maka A C ⊆ B C (c) Buktikan (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D)
2. Diberikanhimpunan A dan B, P (A) menyatakanhimpunankuasadarihimpunan A.Selidiki apakahberlaku P (A ∩ B)= P (A) ∩ P (B) dan P (A ∪ B)= P (A) ∪ P (B).Jelaskanjawaban saudara!
3. Padahimpunanbilanganbulat Z didefinisikanrelasi R sebagaiberikut.
(∀a,b ∈ Z)(a,b) ∈ R jikadanhanyajika a =3k b untuksuatubilanganbulat k
(a) Apakahrelasi R merupakanrelasiekuivalensi?
(b) Jika R merupakanrelasiekuivalensi,jelaskankelas-kelasekuivalensinya!
4. Diberikanfungsi f : B → C danfungsi g : A → B.Jikadiketahuifungsi f ◦ g merupakanfungsi yangbijektif.Apakahfungsi f dan g jugafungsibijektif?Jelaskanjawabansaudara!
5. Diberikanpengaitanataurelasi f : R → R dengandefinisisebagaiberikut.
f (x)= x x 1
(a) Apakah f merupakanfungsi?Jelaskanjawabansaudara!
(b) Jika f merupakanfungsi,apakah f merupakanfungsibijektif?Jika f bukanfungsitentukansyarattertentuagar f merupakanfungsidanselanjutnyaselidikiapakahfungsi f dengansyarattertentutersebutmerupakanfungsibijektif!
Foreachofthefollowingquantifiedstatements,writethenegationinsuchawaythatthe"¬"symbol isnotneeded.(R isthesetofrealnumbers, Q isthesetofrationalnumbers, Z isthesetofintegers, and R+ isthesetofpositiverealnumbers.)
(a) ∀a ∈ R ∀b ∈ Z (a2 + b ∈ Z)
(b) ∃y ∈ R ∀x ∈ R (xy = x)
(c) ∀x ∈ Z ∀y ∈ R (x =2y) (d) ∀x ∈ Z ∃y ∈ R x y =2
(e) ∀x ∈ Z ∀d ∈ R+ ∃y ∈ Q (|x y| <d)
Karenainibukanujian,jadimarikitakerjakanpakaiBahasaIndonesiasaja,hahaha.
Diketahuipernyataan ∀a ∈ R ∀b ∈ Z (a2 + b ∈ Z).Kitadiperintahkanuntukmenentukannegasi daripernyataantersebuttanpamenggunakansimbol"¬".
Oke.Pertama-tama,kitaberitandanegasi"¬"padakuantor-kuantordanpernyataanterbuka.
¬ ∀a ∈ R ¬ ∀b ∈ Z ¬(a2 + b ∈ Z)
Selanjutnya,kitaakanmengubahbentuknegasidiatastanpamenggunakansimbol"¬".
Ingatbahwa ¬ ∀a ∈ R ekuivalendengan ∃a ∈ R dan ¬ ∀b ∈ Z ekuivalendengan ∃b ∈ Z Dengandemikian,bentuknegasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∃a ∈ R ∃b ∈ Z ¬(a2 + b ∈ Z)
Selanjutnya,perhatikanbahwa ¬(a2 + b ∈ Z) ekuivalendengan (a2 + b/ ∈ Z).Dengandemikian, bentuknegasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∃a ∈ R ∃b ∈ Z (a2 + b/ ∈ Z)
Karenabentukpernyataandiatassudahtidakmemuatsimbol"¬",makapekerjaankitasudah selesai.
Jadi,bentuknegasipernyataan ∀a ∈ R ∀b ∈ Z (a2 + b ∈ Z) adalahsebagaiberikut.
∃a ∈ R ∃b ∈ Z (a2 + b/ ∈ Z)
Diketahuipernyataan ∃y ∈ R ∀x ∈ R (xy = x).Kitadiperintahkanuntukmenentukannegasi daripernyataantersebuttanpamenggunakansimbol"¬".
Oke.Pertama-tama,kitaberitandanegasi"¬"padakuantor-kuantordanpernyataanterbuka.
¬ ∃y ∈ R ¬ ∀x ∈ R ¬(xy = x)
Selanjutnya,kitaakanmengubahbentuknegasidiatastanpamenggunakansimbol"¬".
Ingatbahwa ¬ ∃y ∈ R ekuivalendengan ∀y ∈ R dan ¬ ∀x ∈ R ekuivalendengan ∃x ∈ R Dengandemikian,bentuknegasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∀y ∈ R ∃x ∈ R ¬(xy = x)
Selanjutnya,perhatikanbahwa ¬(xy = x) ekuivalendengan xy = x.Dengandemikian,bentuk negasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∀y ∈ R ∃x ∈ R (xy = x)
Karenabentukpernyataandiatassudahtidakmemuatsimbol"¬",makapekerjaankitasudah selesai.
Jadi,bentuknegasipernyataan ∃y ∈ R ∀x ∈ R (xy = x) adalahsebagaiberikut.
∀y ∈ R ∃x ∈ R (xy = x)
Diketahuipernyataan ∀x ∈ Z ∀y ∈ R (x =2y).Kitadiperintahkanuntukmenentukannegasi daripernyataantersebuttanpamenggunakansimbol"¬".
Oke.Pertama-tama,kitaberitandanegasi"¬"padakuantor-kuantordanpernyataanterbuka. ¬ ∀x ∈ Z ¬ ∀y ∈ R ¬(x =2y)
Selanjutnya,kitaakanmengubahbentuknegasidiatastanpamenggunakansimbol"¬".
Ingatbahwa ¬ ∀x ∈ Z ekuivalendengan ∃x ∈ Z dan ¬ ∀y ∈ R ekuivalendengan ∃y ∈ R Dengandemikian,bentuknegasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∃x ∈ Z ∃y ∈ R ¬(x =2y)
Selanjutnya,perhatikanbahwa ¬(x =2y) ekuivalendengan (x =2y).Dengandemikian,bentuk negasipernyataandiatasakanekuivalendenganini. ∃x ∈ Z ∃y ∈ R (x =2y)
Karenabentukpernyataandiatassudahtidakmemuatsimbol"¬",makapekerjaankitasudah selesai.
Jadi,bentuknegasipernyataan ∀x ∈ Z ∀y ∈ R (x =2y) adalahsebagaiberikut. ∃x ∈ Z ∃y ∈ R (x =2y)
Diketahuipernyataan ∀x ∈ Z ∃y ∈ R x y =2 .Kitadiperintahkanuntukmenentukannegasi daripernyataantersebuttanpamenggunakansimbol"¬".
Oke.Pertama-tama,kitaberitandanegasi"¬"padakuantor-kuantordanpernyataanterbuka.
¬ ∀x ∈ Z ¬ ∃y ∈ R ¬ x y =2
Selanjutnya,kitaakanmengubahbentuknegasidiatastanpamenggunakansimbol"¬".
Ingatbahwa ¬ ∀x ∈ Z ekuivalendengan ∃x ∈ Z dan ¬ ∃y ∈ R ekuivalendengan ∀y ∈ R Dengandemikian,bentuknegasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∃x ∈ Z ∀y ∈ R ¬ x y =2
Selanjutnya,perhatikanbahwa ¬ x y =2 ekuivalendengan x y =2 .Dengandemikian,bentuk negasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∃x ∈ Z ∀y ∈ R x y =2
Karenabentukpernyataandiatassudahtidakmemuatsimbol"¬",makapekerjaankitasudah selesai.
Jadi,bentuknegasipernyataan ∀x ∈ Z ∃y ∈ R x y =2 adalahsebagaiberikut.
∃x ∈ Z ∀y ∈ R x y =2
Diketahuipernyataan ∀x ∈ Z ∀d ∈ R+ ∃y ∈ Q (|x y| <d).Kitadiperintahkanuntukmenentukannegasidaripernyataantersebuttanpamenggunakansimbol"¬".
Oke.Pertama-tama,kitaberitandanegasi"¬"padakuantor-kuantordanpernyataanterbuka.
¬ ∀x ∈ Z ¬ ∀d ∈ R+ ¬ ∃y ∈ Q ¬ (|x y| <d)
Selanjutnya,kitaakanmengubahbentuknegasidiatastanpamenggunakansimbol"¬".
Ingatbahwa ¬ ∀x ∈ Z ekuivalendengan ∃x ∈ Z , ¬ ∀d ∈ R+ ekuivalendengan ∃d ∈ R+ , dan ¬ ∃y ∈ Q ekuivalendengan ∀y ∈ Q .Dengandemikian,bentuknegasipernyataandiatas akanekuivalendenganini.
∃x ∈ Z ∃d ∈ R+ ∀y ∈ Q ¬ (|x y| <d)
Selanjutnya,perhatikanbahwa ¬ (|x y| <d) ekuivalendengan (|x y|≥ d).Dengandemikian, bentuknegasipernyataandiatasakanekuivalendenganini.
∃x ∈ Z ∃d ∈ R+ ∀y ∈ Q (|x y|≥ d)
Karenabentukpernyataandiatassudahtidakmemuatsimbol"¬",makapekerjaankitasudah selesai.
Jadi,bentuknegasipernyataan ∀x ∈ Z ∀d ∈ R+ ∃y ∈ Q (|x y| <d) adalahsebagai berikut.
∃x ∈ Z ∃d ∈ R+ ∀y ∈ Q (|x y|≥ d)
Untukmasing-masingkalimatpadasoalnomor1tentukanmanakahyangbenarantarakalimatasli ataunegasinya.BuktikansetiapjawabanAnda,ataupalingtidakberilahpenjelasanjawabanAnda dengansebaikmungkin!
Oke.Soalnomor1terdiridari5poinsoal,yaitu(a),(b),hingga(e).Darisetiappoinsoaltersebut, kemungkinanyangbenarhanyaadasatu,antarakalimatasliataunegasinya.Tidakmungkinkalimat asliataunegasinya,kedua-duanyasama-samabenarataukedua-duanyasama-samasalah.Pastihanya adasatuyangbenar,antarakalimatasliataunegasinya.
Pernyataanaslinyaadalah ∀a ∈ R ∀b ∈ Z (a2 + b ∈ Z), sedangkannegasinyaadalah ∃a ∈ R ∃b ∈ Z (a2 + b/ ∈ Z).
Untukmengetahuimanayangbenarantarapernyataanaslidannegasinya,marikitabahasa Indonesia-kandulupertanyaanaslinyasebagaiberikut.
Untuksebarang a ∈ R danuntuksebarang b ∈ Z,berlaku a2 + b ∈ Z.
Kemudian,marikitapertanyakanpernyataanaslitersebut.
Apakahbenarbahwauntuksebarang a ∈ R danuntuksebarang b ∈ Z,berlaku a2 + b ∈ Z?
Oke.Karenapernyataanaslitersebutdiawalidengankuantor"Untuksebarang a ∈ R",marikita tentukan a yangsebarangitusebagai a = π.Kitajelastahubahwa π ≈ 3, 14159 ituadalahbilangan real(R),akantetapibukanbilanganbulat(Z).
Tidakhanyaitu,kitajugatahubahwa π2 jugabukanbilanganbulat.Akibatnya,karena π2 bukan bilanganbulat,makauntuksebarangbilanganbulat b akanberlaku π2 + b bukan bilanganbulat.
Ingatbahwa x+y adalahbilanganbulatjikadanhanyajika x dan y kedua-duanya adalahbilangan bulat.Ingatjugabahwatidaksemuabilanganrealadalahbilanganbulat,sebagaimanacontohnya π.
Jadi,karenaterdapatbilanganreal a = π sedemikiansehinggauntuksetiapbilanganbulat b berlaku a2 + b bukanbilanganbulat,makapernyataanasli,yaitu ∀a ∈ R ∀b ∈ Z (a2 + b ∈ Z) adalah SALAH.Dengandemikian, yangbenaradalahnegasinya,yaitu ∃a ∈ R ∃b ∈ Z (a2 +b/ ∈ Z) yangbisadibahasaIndonesia-kanmenjadi:
Terdapat a ∈ R danterdapat b ∈ Z sedemikiansehinggaberlaku a2 + b/ ∈ Z.
Negasitersebutbenarkarenaberlakuuntuk a = π dan b =0
Pernyataanaslinyaadalah ∃y ∈ R ∀x ∈ R (xy = x), sedangkannegasinyaadalah ∀y ∈ R ∃x ∈ R (xy = x).
Untukmengetahuimanayangbenarantarapernyataanaslidannegasinya,marikitabahasa Indonesia-kandulupertanyaanaslinyasebagaiberikut.
Terdapat y ∈ R sedemikiansehinggauntuksebarang x ∈ R akanberlaku xy = x
Kemudian,marikitapertanyakanpernyataanaslitersebut.
Apakahbenarbahwaterdapat y ∈ R sedemikiansehinggauntuksebarang x ∈ R akan berlaku xy = y?
Benarnggakya?
Oke.Jawabanpernyataantersebutadalah BENAR Kenapa?
Karenakitabisamenentukan y =1 sedemikiansehinggauntuksebarang x ∈ R akanberlaku xy = x 1= x
Jadi,pernyataanasli,yaitu ∃y ∈ R ∀x ∈ R (xy = x) adalahbenar.
Pernyataanaslinyaadalah ∀x ∈ Z ∀y ∈ R (x =2y), sedangkannegasinyaadalah ∃x ∈ Z ∃y ∈ R (x =2y).
Untukmengetahuimanayangbenarantarapernyataanaslidannegasinya,marikitabahasa Indonesia-kandulupertanyaanaslinyasebagaiberikut.
Untuksebarang x ∈ Z danuntuksebarang y ∈ R berlaku x =2y
Kemudian,marikitapertanyakanpernyataanaslitersebut.
Apakahbenarbahwauntuksebarang x ∈ Z danuntuksebarang y ∈ R berlaku x =2y?
Oke.Karenapernyataanaslitersebutdiawalidengankuantor"Untuksebarang x ∈ Z",marikita tentukan x yangsebarangitusebagai x =3.Kemudian,karenapernyataanaslitersebutjugamemuat "Untuksebarang y ∈ R",marikitatentukan y yangsebarangitusebagai y =3
Kitajelastahubahwa 3 adalahbilanganbulatdanjugabilanganasli.Akantetapi, x =2y,karena x =3 dan 2y =2 3=6.
Jadi,karenaterdapatbilanganbulat x =3 danterdapatbilanganreal y =3 sedemikiansehingga berlaku x =2y,makapernyataanasli,yaitu ∀x ∈ Z ∀y ∈ R (x =2y) adalah SALAH.Dengandemikian, yangbenaradalahnegasinya,yaitu ∃x ∈ Z ∃y ∈ R (x =2y) yangbisadibahasa Indonesia-kanmenjadi:
Terdapat x ∈ Z danterdapat y ∈ R sedemikiansehinggaberlaku x =2y.
Negasitersebutbenarkarenaberlakuuntuk x =3 dan y =3
Pernyataanaslinyaadalah ∀x ∈ Z ∃y ∈ R x y =2 , sedangkannegasinyaadalah ∃x ∈ Z ∀y ∈ R x y =2 .
Untukmengetahuimanayangbenarantarapernyataanaslidannegasinya,marikitabahasa Indonesia-kandulupertanyaanaslinyasebagaiberikut.
Untuksebarang x ∈ Z terdapat y ∈ R sedemikiansehinggaberlaku x/y =2
Kemudian,marikitapertanyakanpernyataanaslitersebut.
Apakahbenarbahwauntuksebarang x ∈ Z terdapat y ∈ R sedemikiansehinggaberlaku x/y =2?
Benarnggakya?
Oke.Karenapernyataanaslitersebutdiawalidengankuantor"Untuksebarang x ∈ Z",marikita tentukan x yangsebarangitusebagai x =0.Perhatikanbahwauntuksebarang y ∈ R dan y =0 akan berlaku 0/y =0 =2.Jika y =0,maka 0/y menjaditidakterdefinisidanjelasmenjadi =2.
Jadi,karenaterdapatbilanganbulat x =0 sedemikiansehinggauntuksebarang y ∈ R berlaku x/y =2,makapernyataanasli,yaitu ∀x ∈ Z ∃y ∈ R x y =2 adalah SALAH.Dengan demikian, yangbenaradalahnegasinya,yaitu ∃x ∈ Z ∀y ∈ R x y =2 yangbisadibahasa Indonesia-kanmenjadi:
Terdapat x ∈ Z sedemikiansehinggauntuksebarang y ∈ R akanberlaku x/y =2.
Negasitersebutbenarkarenaberlakuuntuk x =0.
Pernyataanaslinyaadalah ∀x ∈ Z ∀d ∈ R+ ∃y ∈ Q (|x y| <d), sedangkannegasinyaadalah ∃x ∈ Z ∃d ∈ R+ ∀y ∈ Q (|x y|≥ d).
Wahahaha...inisoalyanglumayan"ganas".Belumtentumahasiswasemesterawalpahamakan soalini.
Sederhanabangetsebetulnya.PernyataanaslipadasoalinidapatdibahasaIndonesia-kansebagai berikut.
Setiappersekitarandarisuatubilanganbulatmemuatbilanganrasional.
Ha?Persekitaran?
Apaitu?
Istilahpersekitaraninimungkinbakallebihseringdidengarsaatbelajarmatakuliahanalisispada semestertigakeatas,utamanyapengantaranalisisreal.Ya,sebagaiinformasi,perhatikandefinisi berikut.
Diketahui a adalahbilanganrealdan > 0.Persekitarandari a denganjari-jari dinotasikansebagai V (a) dandidefinisikandengan V (a)= {x ∈ R : |a x| < }
Sebagaicontoh,garisbilanganberwarnahijaudibawahiniadalahilustrasipersekitarandari 5 denganjari-jari √3,yangbisadinotasikandengan V√3(5).Titik-titikyangmembentukgarishijau tersebutadalahbilanganreal x yangmemenuhipertidaksamaan |5 x| < √3 yangekuivalendengan memenuhipertidaksamaan 5 √3 <x< 5+ √3.
Lalu,bagaimanacarakitamembuktikanapakahbenarbahwasetiappersekitarandarisuatubilanganbulatmemuatbilanganrasional?
Pertama,kitaharustahusifatbilanganrealberikut. Untuksebarangbilanganreal a akanterdapatbilanganbulat z sedemikiansehinggaberlaku a<z
Untuksaatinipembuktiansifatdiataskita skip dulu.Nantibakaltahudimatakuliahanalisis real.
Nah,misalkankitapunyasuatupersekitaran V (z) dengan z adalahsuatubilanganbulatdan > 0.Berdasarkandefinisipersekitarandiatasitu,jika x ∈ V (z),maka x akanmemenuhipertidaksamaan z <x<z + .
Ohya!Perhatikanbahwa V (z) bukanhimpunankosongkarena z pastitermuatdi V (z).
Pertanyannya, apakah V (z) memuatelemenlainselain z?
Jikaya,apakahelemenlaintersebutadalahbilanganrasional?
Ayokitacaritahu!
Kitatahubahwa adalahbilanganrealpositif.Berdasarkansifatbilanganrealdiatas,kitadapat menemukanbilanganbulat z sedemikiansehinggaberlaku <z .
Perhatikan!Karena adalahbilanganrealpositif,makapastilah z yangkitatemukanituadalah bilanganbulatpositif.Yakan?
Selanjutnya,karena z adalahbilanganbulatpositif,makaakanberlaku 1/z <z .Tentu, 1/z jugaadalahbilanganrealpositif.
Halserupajugaberlakuuntuk .Karena adalahbilanganrealpositif,maka 1/ jugaadalah bilanganrealpositif.
Selanjutnya,karena <z adalahpertidaksamaanantaraduabilanganrealpositif,makaakan berlaku 1/z < 1/ .Ingat!Karena z adalahbilanganbulat,maka 1/z adalahbilanganrasional.
Kemudian,menggunakanpertidaksamaan 1/z < 1/ ,kitaakanmemperolehpertidaksamaan 1/z < 1/ ≤ .Dengandemikian,akanberlakupertidaksamaan 1/z < .
Nah,jikakeduaruaspertidaksamaan 1/z < kitajumlahkandengan z,makaakandiperoleh pertidaksamaanberikut.
1/z + z< + z
Pertidaksamaandiatasakanekuivalendenganpertidaksamaanberikut.
z< 1/z + z<z +
Berdasarkandefinisipersekitaran,kitadapatmenyimpulkanbahwa 1/z + z ∈ V (z).
Nah,karena z adalahbilanganbulat,maka z bisakitanyatakansebagaibilanganrasional z/1. Dengandemikian, 1/z + z =1/z + z/1=(1+ z z )/z adalahbilanganrasional.
Jadi,benarbahwasetiappersekitarandarisuatubilanganbulatmemuatbilanganrasional.
Padaakhirnya,supayapembahasaninisejalandengansoal,marikitatanyakan:
Apakahpernyataanini ∀x ∈ Z ∀d ∈ R+ ∃y ∈ Q (|x y| <d) benar? yangekuivalendengan:
Apakahuntuksebarang x ∈ Z danuntuksebarang d ∈ R+,makakitadapatmenemukan y ∈ Q sedemikiansehinggaberlaku |x y| <d?
Jawabannyaadalah BENAR,karenauntuksebarang x ∈ Z danuntuksebarang d ∈ R+,maka kitadapatmenemukan y ∈ Q yangdidefinisikansebagai: y = 1+ x z z dengan z adalahbilanganbulatpositifyangmemenuhi d<z
sedemikiansehinggaberlaku |x y| <d.
Diberikanpernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidakberpotongan".
(a) Nyatakanpernyataandiatasdalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankata-kata),denganmenggunakankwantor-kwantorsehinggasimbolnegasi"¬"digunakandiawalpernyataan.
(b) Nyatakanlagipernyataandiatasdalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankata-kata), denganmenggunakankwantor-kwantortanpamenggunakansimbolnegasi"¬"diawalpernyataan.
Darisoaldiketahui2fungsi:
Kitasebut x2 + x +2 sebagaifungsipertama.Kitanotasikanfungsipertamasebagai f1,sedemikian sehingga f1(x)= x2 + x +2
Selanjutnya,kitasebut y = x 2 sebagaifungsikedua.Kitanotasikanfungsikeduasebagai f2, sedemikiansehingga f2(x)= x 2.
Selanjutnyalagi,darisoalkitapunyapernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 +x+2 dan y = x 2 tidakberpotongan".Pernyataaniniekuivalendengan"Grafikfungsi f1 dan f2 tidak berpotongan".Betultoh?
Nah,jikagrafikfungsi f1 dan f2 tidakberpotongan,artinyauntuksetiap x yangmerupakanelemendi domain(f1) ∩ domain(f2) akanberakibat f1(x) = f2(x).
Ingatlho!Setiapfungsiitukanmemiliki domain dan range.Domainfungsi f1 dandomainfungsi f2 bisajadisama,bisajadiberbeda,bisajadipunyairisan,bisajadipulatidakberirisan.Yatoh?
Akantetapi,jikagrafikfungsi f1 dan f2 berpotongan,makadomainfungsi f1 dandomainfungsi f2 itupastiberirisan.Misalkangrafikfungsi f1 dan f2 berpotongandi x = α.Artinyakan f1(α)= f2(α) toh?Karena f1(α) adanilainya,makakan α ∈ domain(f1).Juga,karena f2(α) adanilainya,maka kan α ∈ domain(f2).Karena α ∈ domain(f1), α ∈ domain(f2) dan f1(α)= f2(α),makakankita bisamenyimpulkanbahwa α ∈ domain(f1) ∩ domain(f2).Yatoh?
Nah,jika"Grafikfungsi f1 dan f2 berpotongan",makakitadapatmenyatakanpernyataantersebut dalambentuksimbollogikadankwantormenjadisepertiini.
(∃α ∈ domain(f1) ∩ domain(f2)) f1(α)= f2(α)
Bentukpernyataandiatasekuivalendenganini.
(∃x ∈ domain(f1) ∩ domain(f2)) x2 + x +2= x 2
Berdasarkansoal,kitadiperintahkanuntukmenyatakanpernyataan"Grafikfungsi-fungsidengan persamaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidakberpotongan"dalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankata-kata),denganmenggunakankwantor-kwantorsehinggasimbolnegasi"¬"digunakandi awalpernyataan.
Perhatikanbahwapernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidakberpotongan"adalahnegasidaripernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 berpotongan".
Sebagaimanayangsudahkitakerjakan,pernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 berpotongan"memilikibentuksimbollogikadankwantorsebagaiberikut.
(∃x ∈ domain(f1) ∩ domain(f2)) x2 + x +2= x 2
Dengandemikian,bentuksimbollogikadankwantorpernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganper-
samaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidakberpotongan"adalahnegasidaribentukpernyataandiatas, yaitusebagaiberikut.
¬ (∃x ∈ domain(f1) ∩ domain(f2)) ¬ x2 + x +2= x 2 (P1) ***
Selanjutnya,kitaakanmenyatakanpernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidakberpotongan"dalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankata-kata),dengan menggunakankwantor-kwantortanpamenggunakansimbolnegasi"¬"digunakandiawalpernyataan.
Perhatikanbahwanegasidari (∃x ∈ domain(f1) ∩ domain(f2)) tidaklainadalah (∀x ∈ domain(f1) ∪ domain(f2)).Dengandemikianbentukpernyataan (P1) akanekuivalendengan ini.
(∀x ∈ domain(f1) ∪ domain(f2)) ¬ x2 + x +2= x 2 (P2)
Selanjutnya,marikitasederhanakanpersamaan x2 + x +2= x 2.Perhatikanekuivalensiberikut. x 2 + x +2= x 2 ≡ (x 2 + x +2) x =(x 2) x ≡ x 2 +2= 2 ≡ (x 2 +2)+2=( 2)+2 ≡ x 2 +4=0
Berdasarkanpenjabarandiataspersamaan x2 + x +2= x 2 ekuivalendenganpersamaan x2 +4=0 Dengandemikianbentukpernyataan (P2) akanekuivalendenganini.
(∀x ∈ domain(f1) ∪ domain(f2)) ¬ x2 +4=0 (P3)
Pernyataan (P3) akanekuivalendenganpernyataanberikut.
(∀x ∈ domain(f1) ∪ domain(f2)) x2 +4 =0 (P4)
Lebihlanjut, jikakitaasumsikan bahwafungsi f1 dan f2 didefinisikandihimpunanbilanganreal, makapersamaan x2 +4=0 tidakakanmemilikipenyelesaian(tidakada x ∈ R sedemikiansehingga x2 +4=0).Dengankatalain,menurutsifat trikotomibilanganreal,makauntuksebarang x ∈ R, pastilahberlaku x2 +4 > 0 atau x2 +4 < 0.
Jadi,jikakitamenyatakanpernyataan"Grafikfungsi-fungsidenganpersamaan x2 + x +2 dan y = x 2 tidakberpotongan"dalambentuksimbollogika(tanpamenggunakankata-kata),dengan menggunakankwantor-kwantortanpamenggunakansimbolnegasi"¬"digunakandiawalpernyataan, makahasilnyaadalahsebagaiberikut.
(∀x ∈ domain(f1) ∪ domain(f2)) x2 +4 > 0 atau x2 +4 < 0
Buktikandenganmenggunakaninduksipersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 ,berlakuuntuksemuabilangan asli n Dikerjakan
Untukmembuktikanbahwapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakuuntuksemuabilanganasli n, makakitaharusmembuktikanbahwa:
1. Persamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenaruntuk n =1,dan
2. Jikapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenaruntuksuatubilanganasli n = α,maka persamaantersebutharusberlakubenaruntuk n = α +1.
Pertama,kitaakanmembuktikanbahwapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenaruntuk n =1 Perhatikanbahwa 1 k=1 k3 =13 =1 dan 1 k=1 k 2 =(1)2 =1.Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenaruntuk n =1.
Selanjutnya,kitaakanmembuktikanbahwajikapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenar untuksuatubilanganasli n = α,makapersamaantersebutharusberlakubenaruntuk n = α +1. Perhatikanpenjabaranberikut.
α+1 k=1 k3 =13 +23 +33 + + α 3 +(α +1)3 = 13 +23 +33 + + α 3 +(α +1)3 = α k=1 k3 +(α +1)3
Karenadiasumsikanpersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenaruntuksuatubilanganasli n = α, maka α k=1 k3 = α k=1 k 2 .Dengandemikianakanberlakupersamaanberikut. α+1 k=1 k3 = α k=1 k3 +(α +1)3 = α k=1 k 2 +(α +1)3 = α k=1 k 2 +(α +1)(α +1)2 = α k=1 k 2 +(α +1)(α 2 +2α +1) = α k=1 k 2 +(α +1)(α 2 + α + α +1) = α k=1 k 2 +(α +1) α(α +1)+(α +1)
Untuksetiapbilanganasli n akanberlaku: 2 n k=1 k =(n)(n +1) bentuk α k=1 k 2 +(α +1) α(α +1)+(α +1) akanmenjadisepertiini. α k=1 k 2 +(α +1) α(α +1)+(α +1) = α k=1 k 2 +(α +1) 2 α k=1 k +(α +1) = α k=1 k 2 +2(α +1) α k=1 k +(α +1)2 = α k=1 k +(α +1) 2 = α+1 k=1 k 2
Berdasarkanpenjabaranpanjangdiatas,kitaakanmemperolehpersamaan: α+1 k=1 k3 = α k=1 k 2 +(α +1) α(α +1)+(α +1) = α+1 k=1 k 2
Dengandemikiankitadapatmenyimpulkanbahwajikapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakubenar untuksuatubilanganasli n = α,makapersamaantersebutjugaberlakubenaruntuk n = α +1
Jadi,denganinduksi,kitadapatmenyimpulkanbahwapersamaan n k=1 k3 = n k=1 k 2 berlakuuntuksemuabilanganasli n
Pembuktikansifat 2 n k=1 k =(n)(n +1) adalahsebagaiberikut. Karena n k=1 k =1+2+3+ +(n 2)+(n 1)+ n,makajelasbahwa: 2 n k=1 k =2 (1+2+3+ +(n 2)+(n 1)+ n) =(1+2+3+ ... +(n 2)+(n 1)+ n)+(1+2+3+ ... +(n 2)+(n 1)+ n) =(1+2+3+ ... +(n 2)+(n 1))+ (n+1) +(2+3+ ... +(n 2)+(n 1)+ n) =(1+2+3+ +(n 2))+ 2(n+1) +(3+ +(n 2)+(n 1)+ n) =(1+2+3+ ... +(n 3))+ 3(n+1) +(4+ ... +(n 2)+(n 1)+ n) =(1+2+3+ +(n 4))+ 4(n+1) +(5+ +(n 2)+(n 1)+ n) danseterusnyahinggapadasuatuketikaakanberbentuk = x(n +1) dengan x adalahbanyaknyasukupadajumlahan.
Karena n k=1 k =1+2+3+ ... +(n 2)+(n 1)+ n adalahjumlahandari n suku,makakitadapat
menarikkesimpulanbahwa x = n.Dengandemikianterbuktibenarbahwa 2 n k=1 k =(n)(n +1)
Selidikiapakah p ⇐⇒ q mempunyainilailogikayangsamadengan (p ∧ q) ∨ (¯ p ∧ q).Berikan buktiyangmendukungjawabananda! Dikerjakan
Okedeh.Bentuk p ⇐⇒ q itukanekuivalendengan (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p) yangekuivalen dengan (¯ p ∨ q) ∧ (¯ q ∨ p)
Jika p = TRUE,maka (¯ p ∨ q) ∧ (¯ q ∨ p) ekuivalendengan (FALSE ∨ q) ∧ (¯ q ∨ TRUE) yangekuivalen dengan q ∧ TRUEyangakanbernilaiTRUEjikadanhanyajika q = TRUE.
Dilainsisi,jika p = TRUE,maka (p ∧ q) ∨ (¯ p ∧ q) ekuivalendengan (TRUE ∧ q) ∨ (FALSE ∧ q) yangakanbernilaiTRUEjikadanhanyajika q = TRUE.
Kemudian,jika p = FALSE,maka (¯ p ∨ q) ∧ (¯ q ∨ p) ekuivalendengan (TRUE ∨ q) ∧ (¯ q ∨ FALSE) yangekuivalendenganTRUE ∧ q yangakanbernilaiTRUEjikadanhanyajika q = FALSE.
Dilainsisi,jika p = FALSE,maka (p ∧ q) ∨ (¯ p ∧ q) ekuivalendengan (FALSE ∧ q) ∨ (TRUE ∧ q) yangakanbernilaiTRUEjikadanhanyajika q = FALSE.
Jadi,berdasarkanpenjabarandiatas,nilailogika p ⇐⇒ q dan (p ∧ q) ∨ (¯ p ∧ q) adalahsama.
Q(p,q,r)=(p ∨ r)=⇒ (q ∨ r) ⇐⇒¬(p ∨ r) ∨ (q ∨ r)
⇐⇒ (¬p ∧¬r) ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ ((¬p ∧¬r) ∨ q) ∨ ((¬p ∧¬r) ∨ r) ⇐⇒ ((¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ (¬r ∨ r))
Karena (¬p ∨ q) ekuivalen p =⇒ q maka: ⇐⇒ ((p =⇒ q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ (¬r ∨ r))
Karena p =⇒ q ekuivalen P (p,q) maka: ⇐⇒ (P (p,q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ (¬r ∨ r))
Karena (¬r ∨ r =) TRUE,maka: ⇐⇒ (P (p,q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ TRUE)
Jadi, Q(p,q,r)=(P (p,q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ TRUE). ***
Jika P (p,q)=⇒ Q(p,q,r) adalahtautologi,makaapapunnilaikebenaran p, q,atau r akanselalu menyebabkan P (p,q)=⇒ Q(p,q,r) bernilaiTRUE.
Yanggak?
Nah,sekarangkita andaikan P (p,q)=⇒ Q(p,q,r) bukan tautologi.Dengandemikian,bakal adanilaikebenaranuntuk p, q,dan r yangmenyebabkan P (p,q)=⇒ Q(p,q,r) bernilaiFALSE.
YaNggak?
Nah,perhatikanbahwa P (p,q)=⇒ Q(p,q,r) bernilaiFALSE jikadanhanyajika P (p,q) bernilaiTRUEdan Q(p,q,r) bernilaiFALSE.
Jika Q(p,q,r) bernilaiFALSE,makaakanekuivalendengan: (P (p,q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ TRUE) bernilaiFALSE.
Yanggak?
Nah,perhatikanbahwa (P (p,q) ∧ (¬r ∨ q)) ∨ ((¬p ∨ r) ∧ TRUE) akanbernilaiFALSE jikadanhanyajika (P (p,q) ∧ (¬r ∨ q)) dan ((¬p ∨ r) ∧ TRUE) keduanyabernilaiFALSE.
Ayokitaselidikilebihrinci.
#1 (P (p,q) ∧ (¬r ∨ q))
Berdasarkanpengandaian,kitamemperoleh (P (p,q) bernilaiTRUE.Akibatnya,bentuk (P (p,q) ∧ (¬r∨ q)) akanmenjadi: (TRUE ∧ (¬r ∨ q))
Nah,karena (TRUE ∧ (¬r ∨ q)) bernilaiFALSE,makamautidakmau, (¬r ∨ q) harusbernilai FALSE.
Yanggak? #2 ((¬p ∨ r) ∧ TRUE) Karena ((¬p ∨ r) ∧ TRUE) bernilaiFALSE,makamautidakmau, (¬p ∨ r) harusbernilaiFALSE.
Yanggak?
Nah,berdasarkanpoin #1 dan #2,kitamemperolehhasilsuatu"keharusan"sebagaiberikut.
1. (¬r ∨ q) harusbernilaiFALSE,dan
2. (¬p ∨ r) harusbernilaiFALSE
Pertanyaannya,apakahadanilaikebenaranuntuk p, q,dan r yangakanmenyebabkanpoin1. dan2.diatasberlaku?
Jawabannyatentusaja TIDAKADA! Lha,kenapa?
Cobasajaceknilaikebenaran r!Jikanilaikebenaran r adalahTRUE,makaakanmenyebabkan (¬p ∨ r) bernilaiTRUE.Sebaliknya,jikanilaikebenaran r adalahFALSE,makaakanmenyebabkan (¬r ∨ q) bernilaiTRUE.
Si r inimengacaukansegalanyatoh?Hehehe.
Kesimpulannya,pengandaiandiawalbahwa P (p,q)=⇒ Q(p,q,r) bukantautologiadalah TIDAKBENAR!
Jadi,yangbenar (p =⇒ q)=⇒ [(p ∨ r)=⇒ (q ∨ r)] adalahtautologi.
Soal
(a) Jikadiketahui q =⇒ (r ∧ s) bernilaibenardan q ∧ s bernilaisalah,tentukannilaikebenaran pernyataan q!Jelaskanjawabansaudara!
(b) Jikadiketahui (p ∨ q)=⇒ r,dan p ∨ r bernilaibenar,tentukannilaikebenaranpernyataan r! Jelaskanjawabansaudara!
Dikerjakan
• Soal(a)
Pertama-tama,ayokitasederhanakandulubentuk q =⇒ (r ∧ s) sebagaimanaberikut. q =⇒ (r ∧ s) ⇐⇒¬q ∨ (r ∧ s) ⇐⇒ (¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s)
Berdasarkanpenjabarandiatas,bentuk q =⇒ (r ∧ s) ekuivalendengan (¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s)
Selanjutnya,karenadiketahui q =⇒ (r ∧ s) bernilaiTRUE,maka (¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) jugabernilai TRUE.
Karena (¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) bernilaiTRUE,maka (¬q ∨ r) dan (¬q ∨ s) jugaharusbernilaiTRUE.
Berdasarkansoal,diketahuibahwa q ∧ s bernilaiFALSE.
Nah,berdasarkanpenjabarandiatas,kitapunya:
1. ¬q ∨ s bernilaiTRUE,dan
2. q ∧ s bernilaiFALSE.
Karena q ∧ s bernilaiFALSE,makanegasinyabernilaiTRUE.Negasidari q ∧ s tidaklainadalah ¬(q ∧ s)= ¬q ∨¬s
Nah,berdasarkanpenjabarandiatas,kitapunya:
1. ¬q ∨ s bernilaiTRUE,dan
2. ¬q ∨¬s bernilaiTRUE.
Nahini!
Karena ¬q ∨ s bernilaiTRUEdan ¬q ∨¬s bernilaiTRUE,makakitabisamenyimpulkanbahwa nilaikebenaran s tidakakanberpengaruhpadanilaikebenaran ¬q ∨ s dan ¬q ∨¬s
Dengankatalain,karena ¬q ∨ s bernilaiTRUEdan ¬q ∨¬s bernilaiTRUEsementaranilai kebenarandisjungsitersebuttidakbergantungpadanilaikebenaran s,makakitabisamenyimpulkan bahwa ¬q PASTI bernilaiTRUE.Dengankatalain, q bernilaiFALSE.
Lebihlanjut,karenaberdasarkansoaldiketahui q =⇒ (r ∧ s) bernilaiTRUEsementara q bernilai FALSE,makapastilah r ∧ s bernilaiTRUE,yangdapatdisimpulkanbahwa r dan s kedua-duanya bernilaiTRUE.
Jadi,jikadiketahui q =⇒ (r ∧ s) bernilaibenardan q ∧ s bernilaisalah,maka q bernilaisalah sementara r dan s kedua-duanyabernilaibenar.
Soal(b)
Pertama-tama,ayokitasederhanakandulubentuk (p ∨ q)=⇒ r sebagaimanaberikut.
(p ∨ q)=⇒ r ⇐⇒¬(p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ (¬p ∧¬q) ∨ r ⇐⇒ (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r)
Berdasarkanpenjabarandiatas,bentuk (p ∨ q)=⇒ r ekuivalendengan (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r).
Selanjutnya,karenadiketahui (p ∨ q)=⇒ r bernilaiTRUE,maka (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) jugabernilai TRUE.
Karena (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) bernilaiTRUE,maka (¬p ∨ r) dan (¬q ∨ r) harusbernilaiTRUE.
Berdasarkansoal,diketahuibahwa p ∨ r bernilaiTRUE.
Nah,berdasarkanpenjabarandiatas,kitapunya:
1. ¬p ∨ r bernilaiTRUE,dan
2. p ∨ r bernilaiTRUE.
Karena ¬p ∨ r dan p ∨ r bernilaiTRUE,makakitabisamenyimpulkanbahwanilaikebenaran ¬p ∨ r dan p ∨ r tidakbergantungpadanilaikebenaran p.Dengankatalain,kitabisamenyimpulkan bahwanilaikebenaran r adalahTRUE.
Diberikanhimpunan A, B,C,dan D.
(a) Buktikan A ⊆ B jikadanhanyajika A B = ∅ (b) Buktikanjika A ⊆ B,maka A C ⊆ B C (c) Buktikan (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D)
Dikerjakan
• Soal(a)
Kitaakanmembuktikanbahwa A ⊆ B jikadanhanyajika A B = ∅.Caranya,adalahdengan membuktikankebenarandariduapernyataanberikut.
1. (=⇒) Jika A ⊆ B,maka A B = ∅
2. (⇐=) Jika A B = ∅,maka A ⊆ B
Pembuktian (=⇒) Kitaakanmembuktikanjikadiketahui A ⊆ B,makaakanberlaku A B = ∅
Karenadiketahui A ⊆ B,makasetiapelemendihimpunan A jugaadalahelemendihimpunan B (∀x ∈ A =⇒ x ∈ B).
Nah,karenaterdapathimpunan B,makaterdapatpulahimpunan B c,yaituhimpunansemua elemendihimpunansemestayangbukanmerupakanelemenhimpunan B B c = {x ∈ SEMESTA : x/ ∈ B}
Perhatikanbahwahimpunan B dan B c itusalingasing.Dalamnotasihimpunan,jikahimpunan X dan Y salingasingmakaakanberlaku X ∩ Y = ∅.Dalamhalhimpunan B dan B c,makaakan berlaku B ∩ B c = ∅
Dengandemikian,jikasuatuelementermuatdihimpunan B,makaelementersebuttidakakan termuatdihimpunan B c.Halsebaliknyajugaberlaku,jikasuatuelementermuatdihimpunan B c , makaelementersebuttidakakantermuatdihimpunan B
Kembalilagi,karenadiketahui A ⊆ B,makasetiapelemendihimpunan A jugaakantermuatdi himpunan B.Dengankatalain,setiapelemendihimpunan A tidakakan termuatdihimpunan B c Dengandemikian,himpunan A dan B c salingasing.
Karenahimpunan A dan B c salingasing,makadalamnotasihimpunanakanberlaku A ∩ B c = ∅ Ingatbahwanotasi A ∩ B c ituekuivalendengan A B.Dengandemikian,terbuktibahwajikadiketahui A ⊆ B,makaakanberlaku A B = ∅.
Pembuktian (⇐=) Selanjutnya,kitaakanmembuktikanjikadiketahui A B = ∅,makaakanberlaku A ⊆ B
Ingat!Notasi A B ituekuivalendengan A ∩ B c.Dengandemikian,diketahuibahwa A ∩ B c = ∅
Karena A ∩ B c = ∅,ituberartihimpunan A dan B c salingasing.Dengankatalain,jikasuatu elementermuatdihimpunan A,makaelementersebuttidakakantermuatdihimpunan B c,dan berlakupulasebaliknya.
Nah,perhatikandengansaksama!Misalkan x adalahsebarangelemenhimpunan A.Sesuaiapa yangdiketahui,elemen x tersebut tidakakantermuat dihimpunan B c.Perhatikanbahwa B c adalahhimpunansemuaelemendihimpunansemestayangbukanmerupakanelemenhimpunan B. B c = {x ∈ SEMESTA : x/ ∈ B}
Nah,dengandemikian...karenaelemen x ∈ A tersebuttidaktermuatdihimpunan B c,makakita dapatmenyimpulkanbahwaelemen x tersebuttermuatdihimpunan B!
Lho?Kokbisa?
Perhatikan!
1. Himpunan B dan B c salingasing.(B ∩ B c = ∅)
2. Gabunganhimpunan B dan B c adalahhimpunansemesta.(B ∪ B c = SEMESTA)
3. Jikasuatuelementermuatdihimpunan B,makaelementersebut tidakakan termuatdi himpunan B c,danberlakupulasebaliknya.
Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwasetiapelemendihimpunan A termuatdihimpunan B.Dengankatalain A ⊆ B.Dengandemikian,terbuktibahwajikadiketahui A B = ∅, makaakanberlaku A ⊆ B.
•
Kitaakanmembuktikanbahwajika A ⊆ B,maka A C ⊆ B C.Ingatya!Karena A ⊆ B, makasetiapelemenhimpunan A adalahjugaelemenhimpunan B
Kemudian,kitaambilsebaranghimpunan X yangberasaldarihimpunankuasasemestayang samadenganasalhimpunan A, B,dan C.Menggunakanhimpunan X,kitabentukhimpunan A yangdidefinisikansebagai A = A ∩ X.Perhatikanbahwajikakitamengambilsebarangelemen x darihimpunan A ,makaelemen x tersebuttermuatdihimpunan A sekaligustermuatdihimpunan X.
Nah,karenadiketahui A ⊆ B,makaelemen x darihimpunan A yangkitapilihsecarasembarang itujugatermuatdihimpunan B!Ringkasnya,jikakitamengambilsebarangelemen x darihimpunan A = A ∩ X,makatigahaldibawahakanberlaku.
• Elemen x termuatdihimpunan A,
• Elemen x termuatdihimpunan B,dan
• Elemen x termuatdihimpunan X.
Nah,karenaelemen x termuatdihimpunan B sekaligustermuatdihimpunan X,makakitabisa menyatakanbahwaelemen x termuatdihimpunan B yangdidefinisikansebagai B = B ∩ X
Dengandemikian,jikakitamengambilsebarangelemenhimpunan A ,makaelementersebutakan termuatdihimpunan B .Dengankatalain,jikakitamengambilsebarangelemenhimpunan A ∩ X, makaelementersebutakantermuatdihimpunan B ∩ X.Singkatnya,akanberlaku A ∩ X ⊆ B ∩ X.
Ingat!Himpunan X adalahsebaranghimpunanyangberasaldarikuasahimpunansemestayang samasepertiasalhimpunan A dan B.Misalkankitatetapkanhimpunan X sebagaihimpunan C Darihimpunan C,jelaskitabisamembentukhimpunan C c.Dengandemikian,akanberlakupula sifat A ∩ C c ⊆ B ∩ C c
Nah,karenanotasi A ∩ C c ekuivalendengan A C danjuganotasi B ∩ C c ekuivalendengan B C, makakitabisamenyatakanbahwa A C ⊆ B C.
Dengandemikianterbuktibahwajika A ⊆ B,makaakanberlaku A C ⊆ B C
• Soal(c)
Kitaakanmembuktikanbahwa (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D)
Ingat! (A × B) dan (C × D) ituadalahhimpunan-himpunanyangdidefinisikansebagaiberikut.
• (A × B)= { (x,y): x ∈ A,y ∈ B}
• (C × D)= { (x,y): x ∈ C,y ∈ D}
Perhatikanbahwaelemen-elemenhimpunan (A × B) dan (C × D) sama-samaberbentukpasanganelemen (x,y).Dengandemikian,jikadibentukhimpunan (A × B) ∪ (C × D),makakitabisa mendefinisikanhimpunantersebutsebagaiberikut.
(A × B) ∪ (C × D)= { (x,y):(x,y) ∈ (A × B) atau (x,y) ∈ (C × D)}
Kemudian,perhatikanbahwahimpunan (A ∪ C) × (B ∪ D) dapatkitadefinisikansebagaiberikut. (A ∪ C) × (B ∪ D)= { (x,y): x ∈ (A ∪ C),y ∈ (B ∪ D)}
Dengandemikian,jikakitaambilsebarangelemen (x,y) darihimpunan (A ∪ C) × (B ∪ D),maka salahsatudariempatkemungkinandibawahbisaberlaku.
Perhatikan!Poinnomor1dan4diatasekuivalendengan (x,y) ∈ (A × B) dan (x,y) ∈ (C × D). Dengandemikian,jikakitaambilsebarangelemen (x,y) darihimpunan (A ∪ C) × (B ∪ D),maka salahsatudariempatkemungkinandibawahbisaberlaku.
1. (x,y) ∈ (A × B)
2. x ∈ C dan y ∈ B
3. x ∈ A dan y ∈ D.
4. (x,y) ∈ (C × D)
Nah,karenaelemen (x,y) darihimpunan (A ∪ C) × (B ∪ D) kitapilihsecarasebarang,maka berdasarkanpoinnomor1dan3,kitadapatmenyimpulkanbahwahimpunan (A × B) termuatdi (A ∪ C) × (B ∪ D),ataudengankatalain (A × B) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D).
Serupadenganhimpunan (A × B),kitajugadapatmenyimpulkanbahwahimpunan (C × D) termuatdi (A ∪ C) × (B ∪ D),ataudengankatalain (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D).Dengandemikian, kitadapatmenyatakanbahwa (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D)
Diberikanhimpunan A dan B, P (A) menyatakanhimpunankuasadarihimpunan A.Selidikiapakah berlaku P (A ∩ B)= P (A) ∩ P (B) dan P (A ∪ B)= P (A) ∪ P (B).Jelaskanjawabansaudara!
Sebelumnya,ayoingatdulu!
Definisi.HimpunanKuasa.
Diketahui X adalahsuatuhimpunan. Himpunankuasadari X (dinotasikan P (X))adalahhimpunan semua himpunanbagiandari X. Dengandemikian,untuksebarang Y ⊆ X,makaakanberlaku Y ∈ P (X).
Sifat.HimpunanKuasa.
Diketahui X dan Y adalahsuatuhimpunandengan Y ⊆ X Makaakanberlaku P (Y ) ⊆ P (X)
Pertama,kitaakanmenyelidikiapakahbenarberlaku P (A ∩ B)= P (A) ∩ P (B) dengancara menyelidikiapakahbenarberlaku P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B) dan P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B) Marikitaamatihimpunan A ∩ B.Jelas,jikakitaambilsebarangelemen x ∈ A ∩ B,makaakan berlaku x ∈ A dan x ∈ B.Karenaelemen x yangkitapilihadalahsebarang,makaakanberlaku (A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B.Nah,menurutsifathimpunankuasadiatas,makaakanberlaku P (A ∩ B) ⊆ P (A) dan P (A ∩ B) ⊆ P (B).Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwa P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B)
Selanjutnya,kitaambilsebarang X ∈ P (A) ∩ P (B).Dengandemikian,akanberlaku X ∈ P (A) dan X ∈ P (B).Karena X ∈ P (A),makakitadapatmenyimpulkanbahwa X adalahhimpunanbagian dari A (yaitu X ⊆ A).Demikianpula,karena X ∈ P (B),makakitadapatmenyimpulkanbahwa X adalahhimpunanbagiandari B (yaitu X ⊆ B).Dengandemikian,akanberlaku X ⊆ (A ∩ B) Akibatnya,himpunankuasadarihimpunan A ∩ B pastimemuathimpunan X ataudengankatalain X ∈ P (A ∩ B).Nah,karenauntuksebarang X ∈ P (A) ∩ P (B) akanberlaku X ∈ P (A ∩ B),maka kitadapatmenyimpulkanbahwa P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B).
Berdasarkanduaparagrafdiatas,ternyataberlakubenarbahwa P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B) dan P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B).Jadi,kitabisamenyimpulkanbahwa P (A ∩ B)= P (A) ∩ P (B) ***
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikiapakahbenarberlaku P (A ∪ B)= P (A) ∪ P (B) dengancara menyelidikiapakahbenarberlaku P (A ∪ B) ⊆ P (A) ∪ P (B) dan P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B).
Perhatikanbahwauntuksebaranghimpunan A dan B akanberlaku A = B atau A = B.Jika yangberlaku A = B,makajelasberlaku P (A ∪ B)= P (A) ∪ P (B)
Jikayangberlakuadalah A = B,makakemungkinanyangterjadibisa A ∩ B = ∅ atau A ∩ B = ∅ Ayokitaselidikikemungkinanketika A ∩ B = ∅,yaitu A dan B adalahhimpunanyangsalingasing.
Jikayangterjadiadalah A ∩ B = ∅,makajelasbahwa P (A) ∩ P (B)= {∅}.Kemudian,karena sesuaisifathimpunankuasaakanberlaku P (A) ⊂ P (A ∪ B) dan P (B) ⊂ P (A ∪ B),makakitadapat menyimpulkanbahwa P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikiapakahberlaku P (A ∪ B) ⊆ P (A) ∪ P (B).Ingatbahwa A dan B adalahhimpunanyangsalingasing.Kitaakanmengasumsikanbahwahimpunan A dan B bukan himpunankosong.Dengandemikian,terdapat a ∈ A dengan a/ ∈ B danterdapat b ∈ B dengan b/ ∈ A
Kemudian,jikakitabentukhimpunan X = {a,b},makajelasbahwa X ⊂ (A ∪ B) akantetapi X A dan X B.Darisinikitadapatmenyimpulkanbahwa X ∈ P (A ∪ B),akantetapi X/ ∈ P (A) dan X/ ∈ P (B).Dengankatalain X/ ∈ P (A) ∪ P (B)
Berdasarkanuraiandiatas,kitadapatmenyimpulkanbahwapersamaan P (A ∪ B)= P (A) ∪ P (B)
tidakberlakuuntuksebaranghimpunan A dan B.Akantetapi,jikahimpunan A ⊆ B (atausebaliknya, B ⊆ A),makaakanberlakupersamaan P (A ∪ B)= P (A) ∪ P (B)
Padahimpunanbilanganbulat Z didefinisikanrelasi R sebagaiberikut.
(∀a,b ∈ Z)(a,b) ∈ R jikadanhanyajika a =3k b untuksuatubilanganbulat k.
(a) Apakahrelasi R merupakanrelasiekuivalensi?
(b) Jika R merupakanrelasiekuivalensi,jelaskankelas-kelasekuivalensinya!
Dikerjakan
Sebelumnya,ayoingatduluapayangdimaksuddenganrelasiekuivalensi!
Definisi.RelasiEkuivalensi
Suaturelasi R pada Z disebutsebagairelasiekuivalensijikadanhanyajikamemenuhi3sifatberikut.
1. Relasi R bersifatrefleksif,yaituuntuksebarang a ∈ Z akanberlaku (a,a) ∈ R
2. Relasi R bersifatsimetris,yaituuntuksebarang a,b ∈ Z akanberlaku (a,b) ∈ R jikadanhanya jika (b,a) ∈ R
3. Relasi R bersifattransitif,yaituuntuksebarang a,b,c ∈ Z dengan (a,b), (b,c) ∈ R akanberlaku (a,c) ∈ R.
Ayokitaperiksa,apakahrelasi R bersifatrefleksif,simetris,dantransitif!
• (1)Apakahrelasi R bersifatrefleksif?
Kitaakanmemeriksaapakahuntuksebarang a ∈ Z akanberlaku (a,a) ∈ R.Berdasarkandefinisi relasi R padasoal,kitaharusmemeriksaapakahbenaruntuksebarang a ∈ Z akanberlaku a =3k a untuksuatubilanganbulat k
Inisangatjelassekaliya.Kitadapatmemilih k =0 sedemikiansehinggauntuksetiap a ∈ Z akan berlaku 3k a =30 a =1 a = a.Dengandemikiankitadapatmenyimpulkanbahwa relasi R bersifat refleksif.
• (2)Apakahrelasi R bersifatsimetris?
Kitaakanmemeriksaapakahuntuksebarang a,b ∈ Z akanberlaku (a,b) ∈ R jikadanhanyajika (b,a) ∈ R.Berdasarkandefinisirelasi R padasoal,kitaakanmemeriksaapakahbenaruntuksebarang a,b ∈ Z akanberlaku a =3k1 b jikadanhanyajika b =3k2 a untuksuatubilanganbulat k1 dan k2.
Selanjutnya,kitaakanmembuktikanbahwajikauntuksebarang a,b ∈ Z dengan (a,b) ∈ R,maka akanberlakupula (b,a) ∈ R.Karena (a,b) ∈ R,makaberdasarkandefinisirelasi R akanberlaku a =3k1 b untuksuatubilanganbulat k1
Perhatikanbahwa 3k akanselalubernilaipositifuntuksebarangbilanganbulat k.Kemudian,jika kitapilih k2 = k1,maka 3k2 =3 k1 =1/3k1 jugaakanselalubernilaipositif.Perhatikanbahwa berlakupersamaan: 3k1 · 3k2 =3k1 · 1/3k1 =1
Darisini,kitadapatmemperolehekuivalensiberikut. a =3k1 b ⇐⇒ 3k2 · a =3k2 · 3k1 · b ⇐⇒ 3k2 a =1 b ⇐⇒ 3k2 · a = b
Dengandemikian,untuksebarang a,b ∈ Z dengan (a,b) ∈ R,makaakanberlakupula (b,a) ∈ R Dengancaraserupa,kitadapatmenyimpulkanpulabahwauntuksebarang a,b ∈ Z dengan (b,a) ∈ R, makaakanberlakupula (a,b) ∈ R.
Berdasarkanuraiandiatas,karenauntuksebarang a,b ∈ Z akanberlaku (a,b) ∈ R jikadanhanya jika (b,a) ∈ R,makakitadapatmenyimpulkanbahwa relasi R bersifatsimetris
• (3)Apakahrelasi R bersifattransitif?
Kitaakanmemeriksaapakahuntuksebarang a,b,c ∈ Z dengan (a,b), (b,c) ∈ R makaakanberlaku (a,c) ∈ R.Berdasarkandefinisirelasi R padasoal,kitaakanmemeriksaapakahbenaruntuksebarang a,b,c ∈ Z dengan a =3k1 b dan b =3k2 c makaakanberlakupula a =3k3 c untuksuatubilanganbulat k1,k2 dan k3
Perhatikanbahwauntuksebarangbilanganbulat k1 dan k2 akanberlakupersamaan
3k1 · 3k2 =3k1 +k2
Darisini,kitadapatmemperolehekuivalensiberikut.
a =3k1 b ⇐⇒ a =3k1 3k2 c
⇐⇒ a =3k1 3k2 c
⇐⇒ a =3k1 +k2 c
⇐⇒ a =3k3 c ,dengan k3 = k1 + k2
Berdasarkanuraiandiatas,karenauntuksebarang a,b,c ∈ Z dengan (a,b), (b,c) ∈ R makaakan berlaku (a,c) ∈ R,makakitadapatmenyimpulkanbahwa relasi R bersifattransitif
• (4)Kesimpulannya?
Berdasarkanuraiandibagian(1),(2),dan(3),ternyatarelasi R bersifatrefleksif,simetris,dan transitif!Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwarelasi R adalah relasiekuivalensi!
• (5)Sepertiapakahkelas-kelasekuivalensidarirelasi R?
Nah,iniyangmenarik!Adalahsuatuhalyanglumrahapabilakitainginmengetahuiwujuddari kelas-kelasekuivalensi.Bahkan,padapraktikdidunianyata,hal-halterkaitrelasiekuivalensiitu akanlebihcondongkepadamengidentifikasikelas-kelasekuivalensi.
Oke!Padasoaldiketahuibahwarelasi R didefinisikanpadahimpunanbilanganbulat Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}.Karena R adalahrelasiekuivalensi,makasetiapbilanganbulat akantermuatdalamsuatukelasekuivalensi.
Sebagaipermulaan,marikitaselidiki C0,yaitukelasekuivalensiyangmemuatbilangan 0 C0 = {0,...}
Ayokitaselidiki,apakah C0 memuatbilanganlainselain 0.Misalkan C0 memuatbilangan x dengan x =0.Karena 0 dan x termuatdalamkelasekuivalensiyangsama,maka 0 dan x saling berelasiterhadaprelasi R.Olehsebabituakanberlakupersamaan:
0=3k x untuksuatubilanganbulat k.
Nah,sebagaimanayangsudahdisinggungdibagian(2), 3k akanselalubernilaipositifuntuksebarangbilanganbulat k.Akibatnya,persamaan 0=3k x akanberlakubenarjikadanhanyajika x =0.Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwa C0 hanyamemuatbilangan 0 saja,yaitu C0 = {0}
Selanjutnya,marikitaselidiki C1,yaitukelasekuivalensiyangmemuatbilangan 1 C1 = {1,...}
Ayokitaselidiki,apakah C1 memuatbilanganlainselain 1.Misalkan C1 memuatbilangan x dengan x =1.Karena 1 dan x termuatdalamkelasekuivalensiyangsama,maka 1 dan x saling berelasiterhadaprelasi R.Olehsebabituakanberlakupersamaan: 1=3k x untuksuatubilanganbulat k
Perhatikanbahwabilangan 3 termuatdi C1 karena (1, 3) ∈ R.Kenapa?Karenakitabisamemilih k = 1 sedemikiansehinggaberlakupersamaan 1=3 1 3=1/3 3
Perhatikanbahwaselainbilangan 3, C1 jugamemuatbilangan 9, 27, 81, 243, 729,dstkarenakita bisamemilihnilai k sebagai 2, 3, 4, 5,dst.Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwa C1 memuatsemuabilanganbulatyangbisadisajikandalambentuk 3k dengan k =0, 1, 2, 3,.... C1 = {1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,..., 3k ,...} dengan k =0, 1, 2, 3,...
Dengancaraserupa,kitabisamembuatkelasekuivalensi C 1 sebagaimanaberikut. C 1 = {−1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,..., (3k ),...} dengan k =0, 1, 2, 3,...
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikikelasekuivalensi C2.Perhatikanbahwaselainbilangan 2, C2 jugamemuatbilangan 6, 18, 54, 162, 486, 1 458,dstkarenakitabisamemilihnilai k sebagai 1, 2, 3, 4, 5,dstsehinggaberlakupersamaan 2=3k · x.Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwa C2 memuatsemuabilanganbulatyangbisadisajikandalambentuk 2 · 3k dengan k =0, 1, 2, 3,....
C2 = {2, 6, 18, 54, 162, 486, 1.458,..., 2 3k ,...} dengan k =0, 1, 2, 3,...
Untukkelasekuivalensi C3 itusamadengankelasekuivalensi C1 karena 1 dan 3 sama-samatermuatdi C1 dan C3.Lalu,bagaimanadengankelasekuivalensi C4, C5, C6,dsb?
Jikakitaperhatikan,bilangan-bilanganyangtermuatdi C1 adalahbilanganbulatpositifyang hanyamemiliki 3 sebagaifaktornya.Perhatikanpulabahwa 3 adalahbilanganprima.Dengan demikianuntuksebarangkelasekuivalensi Cn,kitadapatmenggolongkannyasebagaiberikut.
1. Jika n =3k (dengan k =0, 1, 2, 3,...),maka Cn = C1.
2. Jika n =3k ,maka n dapatkitanyatakansebagai n =3k · p1 k1 · p2 k2 · p3 k3 · · pi ki dengan:
• p1,p2,p3,...,pi adalahbilangan-bilanganprimaselain 3,dan
• k,k1,k2,k3,...,ki adalahsuatubilanganbulatyang ≥ 0
Dengandemikian Cn = Cp1 k1 p2 k2 p3 k3 pi ki
Perhatikancontohberikut.
• Misalkan n =19.683.Karena 19.683=39,maka C19 683 = C1 = {3k : k =0, 1, 2, 3...}.
• Misalkan n =5 676.Karena 5 676=31 · (22 · 11 · 43),maka C5 676 = C(22 11 43) = C1 892 = {1.892 3k : k =0, 1, 2, 3...}
Nah,uraiandiatasitumenyinggunguntukbilangan n> 0.Bagaimanauntukbilangan n< 0? Serupasepertidiatas.
1. Jika n = (3k ) (dengan k =0, 1, 2, 3,...),maka Cn = C 1
2. Jika n = (3k ) ,maka n dapatkitanyatakansebagai n =3k 1 p1 k1 p2 k2 p3 k3 pi ki dengan:
• p1,p2,p3,...,pi adalahbilangan-bilanganprimaselain 3,dan
• k,k1,k2,k3,...,ki adalahsuatubilanganbulatyang ≥ 0
Dengandemikian Cn = C 1 p1 k1 p2 k2 p3 k3 ... pi ki .
Berdasarkanuraianpanjangdiatas,relasi R yangdidefinisikanpadahimpunanbilanganbulat Z itumenciptakantakberhinggabanyakkelasekuivalensiyang countable.Kelas-kelasekuivalensi tersebutadalahsebagaiberikut.
• C0 = {0}
• C1 = {3k : k =0, 1, 2, 3 }
• C 1 = {−(3k ): k =0, 1, 2, 3...}.
• C(p1 k1 p2 k2 p3 k3 pi ki ) = {3k (p1 k1 p2 k2 p3 k3 pi ki ): k =0, 1, 2, 3 } dengan: p1,p2,p3,...,pi adalahbilangan-bilanganprimaselain 3,dan k1,k2,k3,...,ki adalahsuatubilanganbulatyang ≥ 0
• C (p1 k1 p2 k2 p3 k3 pi ki ) = {−1 3k (p1 k1 p2 k2 p3 k3 ... pi ki ): k =0, 1, 2, 3...} dengan: p1,p2,p3,...,pi adalahbilangan-bilanganprimaselain 3,dan k1,k2,k3,...,ki adalahsuatubilanganbulatyang ≥ 0
Diberikanfungsi f : B → C danfungsi g : A → B.Jikadiketahuifungsi f ◦ g merupakanfungsiyang bijektif.Apakahfungsi f dan g jugafungsibijektif?Jelaskanjawabansaudara!
Dikerjakan
Perhatikanilustrasidibawah!
Padailustrasidiatas,terlihatbahwafungsi g memetakanelemen x dihimpunan A kesuatuelemendihimpunan B yangkitanotasikansebagai g(x).Kemudian,fungsi f memetakanelemen y di himpunan B kesuatuelemendihimpunan C yangkitanotasikansebagai f (y)
Disiniterlihatbahwafungsi g dan f dapatberperansebagai"jembatan"untukmemetakansebarangelemendihimpunan A keelemendihimpunan C.Kitasebutsebarangelemendihimpunan A tersebutsebagaielemen x.
Nah,untukmemetakanelemen x kesuatuelemendihimpunan C,makaelemen x tersebutharus dipetakanterlebihdahuluolehfungsi g (menghasilkan g(x)).Selanjutnya,hasilpemetaantersebut (yaitu g(x))lanjutdipetakanolehfungsi f (menghasilkan f (g(x)).Olehsebabitulahmunculnotasi f ◦ g,yaitufungsi g dikomposisikanterhadapfungsi f (giscomposedoverf ).Notasi (f ◦ g)(x) itu ekuivalendengan f (g(x)) ***
Kembalikepertanyaanpadasoal.Jikadiketahui f ◦ g adalahfungsibijektif.Apakahfungsi f dan g jugafungsibijektif?Hmmm?
Sesuaihukumkomposisifungsi,jika f dan g adalahfungsibijektif,maka f ◦ g jugamerupakan fungsibijektif.Akantetapi,apakahhalsebaliknyaberlaku?
Ayokitafokuskanperhatianpadafungsi g terlebihdahulu!Karena g adalahfungsi,maka g adalah pemetaanyangterdefinisidenganbaik.Artinya,sebarangelemendihimpunan A dapatdipetakan olehfungsi g kehimpunan B
Selanjutnya,kitabentukhimpunan g(A) yangdidefinisikansebagai g(A)= {x ∈ A : g(x)},yaitu himpunanhasilpemetaanelemen-elemenhimpunan A terhadapfungsi g.Karenafungsi g memetakan setiapelemenhimpunan A kehimpunan B,makajelasbahwa g(A) ⊆ B
Halyangperludiingatadalahhimpunan g(A) bisajadi tidaksama denganhimpunan B (g(A) = B)!Contohnyafungsi g : Z → Q yangdidefinisikansebagai g(z)= z/3.Jelasbahwa g(Z)= {z/3: z ∈ Z}⊂ Q,akantetapi g(Z) = Q.
Halserupajugaberlakuuntukfungsi f yangmemetakanelemen-elemendihimpunan B kehimpunan C
• Bisajadi,walaupun f (B) ⊂ C,akantetapi f (B) = C
• Bisajadi,walaupun f (g(A)) ⊂ C,akantetapi f (g(A)) = C
Ilustrasidibawahdapatlebihmenggambarkanbagaimanasesungguhnyafungsikomposisi f ◦ g dapatterjadi.
Diketahuibahwa f ◦ g adalahfungsibijektif.Ingat!Fungsikomposisi f ◦ g memetakanelemenelemendihimpunan A kehimpunan C (f ◦ g : A → C).
Karena f ◦ g adalahfungsibijektif,jikakitamengambilsebarang z ∈ C,makakitadapatmenemukan x ∈ A sedemikiansehingga z = f (g(x)).Perhatikanbahwahalinihanyadapatterjadi, jikadanhanyajika z ∈ f (g(A)).Karenaberlakuuntuksebarangelemen z ∈ C,makakitadapat menyimpulkanbahwa f (g(A))= C.Alhasil,duakasusberikutdapatberlaku.
Kasuspertamaadalah g(A) = B yangberartibahwafungsi g bukanfungsisurjektif.
Kasuskeduaadalah g(A)= B yangberartibahwafungsi g adalahfungsisurjektif.
Apapunkasusyangberlaku,kitamemilikikesimpulanbahwa f (g(A))= C.Karena g(A) adalah himpunanbagiandari B,makakitadapatmenyimpulkanbahwa f (B)= C.Dengandemikian,kita bisamenyimpulkanbahwa fungsi f adalahfungsisurjektif .
Selanjutnya,ayoingatsifatfungsibijektif!Karena f ◦ g adalahfungsibijektif,maka inversnya jugaadalahfungsibijektif.Perhatikanbahwainversdari f ◦ g kitanotasikansebagai (f ◦ g) 1 .
Misalkankitaambilsebarang x ∈ A.Karena (f ◦ g) 1 adalahfungsibijektif,makakitadapat menemukan z ∈ C sedemikiansehinggaberlaku (f ◦ g) 1(z)= x
Nah,permasalahanakanmunculketikaterdapat x1,x2 ∈ A dengan x1 = x2 danberlaku (f ◦ g)(x1)=(f ◦ g)(x2).Kitaandaikanelemen x1 dan x2 initermuatdihimpunan A. Hmmm,kira-kirakenapayahalinibisamenjadimasalah?
Ingat!Karena (f ◦ g) 1 adalahfungsibijektif,makajelaspemetaaniniterdefinisidenganbaik. Jikaterdapat x1,x2 ∈ A dengan x1 = x2 danberlaku (f ◦ g)(x1)=(f ◦ g)(x2)= α,maka (f ◦ g) 1(α) dapatmenghasilkan x1 atau x2.Initidakbolehterjadikarena (f ◦ g) 1 adalahpemetaanyangterdefinisidenganbaik.Dengandemikian,tidakbakaladaelemen x1 dan x2 sebagaimanadiatasyang termuatdihimpunan A
Olehsebabitu,karena (f ◦ g) 1 dan (f ◦ g) 1 adalahfungsi-fungsibijektifyangterdefinisidengan baik,makatidakada x1,x2 ∈ A dengan x1 = x2 danberlaku (f ◦ g)(x1)=(f ◦ g)(x2).Jikaada elemen x1,x2 ∈ A yangmemenuhisifat (f ◦ g)(x1)=(f ◦ g)(x2),makapastilah x1 = x2.
Perhatikanbahwa (f ◦ g)(x1)= f (g(x1)) dan (f ◦ g)(x2)= f (g(x2)).Jika (f ◦ g)(x1)=(f ◦ g)(x2), makaituberarti f (g(x1))= f (g(x2)),yangberartipula g(x1)= g(x2).Dengandemikian,kitabisa menyimpulkanbahwa fungsi g adalahfungsiinjektif ***
Jadi,berdasarkanuraianpanjangdiatas,jikadiketahuifungsi f : B → C,fungsi g : A → B,dan fungsi f ◦ g merupakanfungsiyangbijektif,makakitabisamenarikkesimpulanbahwahal-halberikut pastiselaluberlaku
1. Fungsi f adalahfungsisurjektif,dan 2. Fungsi g adalahfungsiinjektif.
Perludiperhatikanjuga!Jikadiketahuifungsi f : B → C,fungsi g : A → B,danfungsi f ◦ g merupakanfungsiyangbijektif,makahal-halberikut belumtentuberlaku
1. Fungsi f adalahfungsiinjektif, 2. Fungsi g adalahfungsisurjektif,dan 3. Invers f ◦ g adalah g 1 ◦ f 1 .
Sebagaipenutup,perhatikancontohberikut.
1. Fungsi f : Q → Z dengandefinisi f a b = a +5, ∀ a b ∈ Q adalahfungsisurjektifyangtidak injektif.
2. Fungsi g : Z → Q dengandefinisi g (x)= x 2 7 , ∀x ∈ Z adalahfungsiinjektifyangtidak surjektif.
3. Fungsikomposisi (f ◦ g)(x)= x +3, ∀x ∈ Z adalahfungsibijektif.
Diberikanpengaitanataurelasi f : R → R dengandefinisisebagaiberikut.
f (x)= x x 1
(a) Apakah f merupakanfungsi?Jelaskanjawabansaudara!
(b) Jika f merupakanfungsi,apakah f merupakanfungsibijektif?Jika f bukanfungsitentukan syarattertentuagar f merupakanfungsidanselanjutnyaselidikiapakahfungsi f dengansyarat tertentutersebutmerupakanfungsibijektif!
Pengaitan f sebagaimanayangdidefinisikanpadasoal adalahfungsi. Walaupun,walaupun, walaupun pengaitan f tersebutdisebutsebagai fungsiyangtidakterdefinisidenganbaik.
Kenapa?
Fungsi f adalahfungsiyangtidakterdefinisidenganbaikkarenaterdapatsuatuelemen x di domain(f ) dengan f (x) tidakterdefinisi.Dalamhalini,elemen x tersebuttidaklainadalah x =1, karena f (1)= 1 1 1 = 1 0 itutidakterdefinisi.
Supayafungsi f menjadifungsiyangterdefinisidenganbaik,makakitabisa"mendepak"bilangan 1 dari domain(f ).Dengandemikian,jikakitabentukdomainbaru D sebagai D = R −{1},maka fungsi f : D → R akanmenjadifungsiyangterdefinisidenganbaik.
Darisinikitabisamelihatbahwadenganmenggantidomainsuatufungsiakanmengubahstatus terdefinisidenganbaiknyafungsitersebut.Tentusajakitaakanselalumemilihfungsiyangterdefinisi denganbaik.
Sekadarinformasi,janganlupadefinisisuatupengaitansupayabisadisebutsebagaifungsi.Untuk suatupengaitan f dan d ∈ domain(f ),jikaterdapatelemen r1 dan r2 di codomain(f ) dengan r1 = r2 dan f (d)= r1 = r2,makapengaitan f tersebutbukanfungsi. ***
Sekarang,kitafokusmengamatifungsi f : R −{1}→ R yangdidefinisikansebagai f (x)= x x 1 . Diparagrafataskitasudahmengetahuibahwafungsi f initerdefinisidenganbaikdidomain R −{1} Kitaakanmenyelidikiapakahfungsi f inibersifatbijektif.
Ingatbahwasuatufungsi f bersifatbijektifjikadanhanyajikafungsi f adalahfungsiyangterdefinisidenganbaiksekaligusbersifatinjektifdansurjektif.
Kitaakanmemeriksaapakahfungsi f bersifatsurjektif.Kitaambilsebarangelemendi codomain(f ). Karena codomain(f )= R,makakitaambilsebarangelemen y ∈ R.Untuksebarangelemen y yang kitaambiltersebut,kitaharusmenemukanelemen x di domain(f ) sedemikiansehingga f (x)= y
Berdasarkandefinisifungsi f ,makakitaakanmemilikipersamaanberikut.Ingatbahwadengan x ∈ domain(f )= R −{1},maka x 1 tidakakanpernahbernilai 0. f (x)= y ⇐⇒ x x 1 = y
Nah,perhatikanpersamaan x (1 y)= y!
Ingat!Nilai y kitaambilsebarangdari codomain(f )= R
Nah,jikaterpilihnilai y =1,makapersamaan x (1 y)= y tidakakanterdefinisidenganbaik. Haltersebutdikarenakanruaskiripersamaanakanbernilai0,sementararuaskananpersamaanakan
bernilai 1
Dengandemikian,supayapersamaan x · (1 y)= y terdefinisidenganbaik,makabilangan 1 harus"didepak"dari codomain(f ),yaitumenjadi R −{1}.Jikasudahdemikian,makafungsi f : R −{1}→ R −{1} dengandefinisi f (x)= x x 1 akanmenjadifungsiyangterdefinisidenganbaik danbersifatsurjektif.
***
Denganmenggunakanfungsi f : R −{1}→ R −{1} dengandefinisi f (x)= x x 1 ,kitaakan mengecekapakahfungsiinimerupakanfungsiinjektif.Caranya,kitaambilsebarangduaelemendi domain(f ),yaitu x1,x2 ∈ domain(f ),dengansyarat f (x1)= f (x2).
Karena f (x1)= f (x2),makakitaakanpunyapersamaan x1 x1 1 = x2 x2 1 .
Ingat!Karena domain(f )= R −{1},maka x1 1 dan x2 1 tidakakanpernahbernilai0! x1 x1 1 = x2 x2 1 ⇐⇒ x1 1+1 x1 1 = x2 1+1 x2 1
⇐⇒ x1 1 x1 1 + 1 x1 1 = x2 1 x2 1 + 1 x2 1
⇐⇒ 1+ 1 x1 1 =1+ 1 x2 1
⇐⇒ 1 x1 1 = 1 x2 1
⇐⇒ x1 1= x2 1 ⇐⇒ x1 = x2
Nah,berdasarkanpenjabarandiatas,karenauntuksebarangduaelemendi domain(f ),yaitu x1,x2 ∈ domain(f ),dengansyarat f (x1)= f (x2) akanberakibat x1 = x2,makakitabisamenyimpulkanbahwafungsi f adalahfungsiinjektif.
Jadi,kitabisamenyimpulkanbahwafungsi f : R −{1}→ R −{1} dengandefinisi f (x)= x x 1 adalahfungsibijektif.