AkuMauCoba Mengerjakan&Membahas UjianTengahSemester&UjianAkhirSemester Kalkulus1 SemesterGanjil2021/2022 ProgramStudiMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam UniversitasGadjahMada MawiWijna Yogyakarta,2022
2
Wihikan"Mawi"Wijna
Kalkulus12021/2022
Tulisaninibukanpaper! Sekadar njajal mengerjakansoalujiantengahsemesterdanujianakhirsemester.
ii
5Ekstra!
UjianTengahSemester SoalNomor2 21
UjianTengahSemester SoalNomor2 31
UjianAkhirSemester
9AyoKerjakan!
DaftarIsi
PenjelasanTambahan1
8Ekstra!
7AyoKerjakan!
UjianTengahSemester SoalNomor1 9
6AyoKerjakan!
1Soal-SoalUjianTengahSemester5
UjianTengahSemester SoalNomor4 55
UjianTengahSemester SoalNomor5 57
UjianTengahSemester SoalNomor3 37
10AyoKerjakan!
iii
PenjelasanTambahan2
4AyoKerjakan!
UjianTengahSemester SoalNomor4 47
3AyoKerjakan!
2Soal-SoalUjianAkhirSemester7
PenjelasanTambahan3
14AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor6 107
17AyoKerjakan!
16AyoKerjakan!
iv DAFTARISI
15AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor5 103
UjianAkhirSemester SoalNomor3 87
UjianAkhirSemester SoalNomor4 97
SoalNomor1 67
UjianAkhirSemester SoalNomor1 79
12AyoKerjakan!
11Ekstra!
UjianAkhirSemester SoalNomor2 83
13AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor7 119
Tulisaniniakubuatdalamrangka mengisiwaktuluang.Berhubungsi bocil kalaumakan sukanyadiemut,jadiyasambilnungguituronggamulutnyakosonglagi,iseng-isengakungerjainsoalsoalujianini.Itupunkalaupaslagibosennge-scrall-scrollmangaonline, marketplace, Instagram,dll.
AkudulupernahjadimahasiswamatematikaUGM.Maksudnya,akuduluitupernahkuliahdi ProgramStudiMatematikaFMIPAUGM.MasukSeptember2004.LulusFebruari2009.Infolebih lanjut, googling sajanamakudiGoogle.
Halo!
Yah,pokoknyasemuadibawasantaisajalah. Lhawong,namanyasekadarmengisiwaktuluang. Bukanmahasiswapulaini.
Kenalkan!NamaakuWijna. SeringjugadipanggilWisna. Jarang-jarangdipanggilMawi. Kalauorang-orangsedangjengkel,kadangdipanggilbedebahjuga.
1
Berhubungngerjainsoalujiansambilnyuapin bocil,jadiyacumasebatas orat-oret dikertas-kertas kosongbekas.Pasmenungguazansubuhberkumandangataupas weekend cumadirumahdoang, nah,barudeh orat-oret itudipindahkeformatLATEX.
Ohya,kenapaakukurangkerjaanbikintulisanini?
SiapaAku?
Euh....
Eh,sebelumnyaya,mohonmaafyakalautulisaninilebihbanyaksalahnyadaripadabenarnya, hehehe.Maklum,kansudahbelasantahunyanglalujadimahasiswamatematika.Jadiya,mohon maafkalaulupa-lupaingat.
Ya,sudahlah.Bagianpengantarininggakusahpanjang-panjang.Semogaadayangbisadipelajari daritulisanini.
Wihikan"Mawi"Wijna
Tapi,berhubungpadazamaniniadayangnamanyamath.stackexchange.comdanQuora.Jadi, bolehlahnyontek-nyonteksedikit.
Ohyes!Lastbutnotleast, maturnuwun buatteman-temandiHIMATIKAFMIPAUGMyang menyediakansumbersoal-soalujianyangbisadiaksessecaracuma-cumadi website mereka,himatika.fmipa.ugm.ac.id.
2 DAFTARISI
Ah...somehowIfeltnostalgic....
Diketiksambildiiringinyanyiannyambak-mbakfromis_9.
Yogyakarta,2022
Kalaunggaksalah,semuamahasiswabarudiFMIPAituyabelajarKalkulus1deh.Mauitu mahasiswaprodiMatematika,Statistika,Fisika,IlmuKomputer,dllsemuapernahmengenyammata kuliahKalkulus1.
Kalkulus1BuatAku
Yangjelasbukankarenadosennyakok!Passemester1dulu,akudiajarmatakuliahKalkulus1 samaPakAtokZulijanto.Beliaumengajarnyaenakkok.Santai,kalem,nggaksukamarah-marah sepertidosenprodisebelah .Hanyasaja,seumurkuliahakudiajarolehPakAtokyahanyadi matakuliahKalkulus1itu,karenakedepannyaakulebihmenggemarimatakuliahrumpunaljabar ketimbanganalisis.
Paszamankukuliah(tahun2004-2009silam),Kalkulus1itumatakuliahwajibberbobot3SKSyang diselenggarakanpadaSemester1ProgramStudiMatematikaFMIPAUGM.Jadiya,Kalkulus1itu adalahsalahsatumatakuliahyangmenjadi"santapannya"paramahasiswabaru.
Karenahal-halyangdipelajaridiKalkulus1itu"hanya"seputarfungsi,trigonometri,limit,dan turunan,jadinyayamasihbisadibilangnggakbikinkagetmahasiswabarulah.Toh,materinyanggak jauhbedadenganmateripelajaranmatematikapasdiSMAdulu.
Hanyasaja,salahkuduluituadalah terlalumeremehkan/menggampangkanKalkulus1 Yaitu,karenamaterinyanggakjauhbedadenganmaterimatapelajaranmatematikapasSMA.Tapi ternyata,"level"soalujiannyayangbedajauh!MungkinkarenasoalujiandiSMAlebihdominan pilihanganda,sedangkansoalujiansewaktukuliahadalahesaiyangmengandungperintah jelaskan! Padaakhirnya,akubarubisaberadaptasidengan"menjelaskan"inisaatsudah1tahunberkuliah.
3
Kalaubolehdibilang,akuitusebetulnyanggakterlalufavoritdenganmatakuliahKalkulus.Sialnya,hinggasemester4masihadayangmatakuliahKalkulusMultivariabel!Kalaudiberinilaidari rentang1hingga10,akumenilaimatakuliahKalkulus1dengannilai6,hahaha.
Kenapaya?
4 DAFTARISI
Akunggaktahuapakahbenar-benaradaorangyangmembacatulisanini.SemisalAndayang membacatulisaniniadalahmahasiswa,akudoakansemogaAndamendapatpencerahandansukses berkuliah.SemisalAndayangmembacatulisaninipenasarandengansoal-soalujiankuliahmatematika,akuharapAndatidak shock danbisamemahamitulisaninidenganbaik.SemisalAndayang membacatulisaninihanyasekadarmengisiwaktuluang,akusarankanuntukmembacatulisanini sebagaikawan ngendog ditoilet.
Yogyakarta,2022
Eh,sebetulnya,passemester9akupernahmengambilulangmatakuliahKalkulus1lagi.Tapi, dosenpengajarnyabukanPakAtok.Sepertiyangbisaditebak,matakuliahKalkulus1yangdiulang ituberakhirkembalidengannilaiakhirC!Hahaha.
Sepertiyangakutuliskansebelumnya,tulisaniniakubuatdalamrangka mengisiwaktuluang sambilmenyuapi bocil.Akutertarikbuatmengerjakansoal-soalujianmatakuliahKalkulus1karena inikanmatakuliahwajibsemester1.Masak ex-mahasiswamatematikanggakbisamengerjakan? Sekaligusjugapingintahu,sepertiapasih"susahnya"soal-soalujianmatakuliahKalkulustahun 2021,yangnotabene17tahunsemenjakkuliahKalkulus1pertamaku.
Akusihpercaya,nilaiakhirmatakuliahKalkulus1-kuyangCitusebetulnyabisalebihbaik lagiasalkanmelihatnyadarikeseluruhanprosespembelajaran,bukanhanyadaridibobottinggi berdasarkannilaiujiantengahsemesterdanujianakhirsemester.Akuyakin,semisalpasujianboleh makan,minum,danmenyetellagu-laguJ-popkesukaan,nilaikupastilebihbaik.Syukur-syukurkalau waktupengerjaannyabukan120menit,tapi1hari,hahaha.
Akunggakbegituberambisisihbuatmeng-A-kanmatakuliahanalisiskarenayaitu,akusadar bahwaakulebihsukaaljabarketimbanganalisis.Dibandingkanmenghitungsecaradetil,akulebih sukamembuktikankebenaranpernyataan,apalagimencari-carikesalahan.
Akhirkata,selamatmenikmatitulisanini!
Padaakhirnya,akumengantongi nilaiakhirC untukmatakuliahKalkulus1passemester1itu. NilaiakhirCitulahyangtetapbertenggerditranskripnilaiakhir.Masihlebihbaiklah,daripada matakuliahFungsiVariabelKompleksyangbertenggerdengannilaiakhirDditranskripnilaiakhir.
Sebetulnya,niatkukuliahdisemester9itu(September2008s.d.Desember2008)cumabuat mengisiwaktuluangmenungguwisudabulanFebruari2009.Apalagipassemester9ituakusering backstreet pasca-KKN(ifyouknowwhatImean).Bukanperilakuyangbaiksihini.Janganditiru!
Wihikan"Mawi"Wijna
Okedeh!Sebagaipenutup,semogatulisaninimembawamanfaat.Walaupunakuyakinkalau tulisaninilebihbanyaksalahnyadaripadabenarnya,hehehe.Maklum,kansudahbelasantahunyang lalujadimahasiswamatematika.Jadiya,mohonmaafkalaulupa-lupaingat.
1 Soal-SoalUjianTengahSemester 1. Tentukanhimpunanpenyelesaianpertidaksamaanberikut! (a) |1 3x|≤|x| +3 (b) √x ≥ √x +12 3 2. Let f and g betwofunctions,were f (x)= 1 x x , x< 0 2+3x , x ≥ 0 and g(x)= x +3 |x 4| Determine: (a) f 1(x) (b) f ◦ g(x) 3. Diberikanpersamaankurvadidalamsistemkoordinatkutub r =2+sin θ.Gambarlahkurva tersebut! 4. Tentukannilailimitberikut(jikaada).Mahasiswatidakdiperkenankanmenggunakanaturan L’Hospital. (a) lim x→1 3 √x 1 √x +3 2 (b) lim x→ π 2 1+sin x π 2 x cos x 5
6 1.SOAL-SOALUJIANTENGAHSEMESTER 5. Tentukannilaibilanganreal a +2b,jikadiketahui f kontinupada R,dengan f (x)= (x +3) 1 x2 +2x , x< 2 a bx , 2 ≤ x ≤ 1 1 cos(x 1) x3 1 , x> 1 Berikanjawabandenganpenjelasanyangsejelas-jelasnya!
2 Soal-SoalUjianAkhirSemester 1. (a) Diketahui a ∈ R sehingga lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 ada(berhingga).Tentukannilailimitdiatas! (b) Tentukannilaidari lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 jikaada! 2. Determine f (3),if f (x)= x2 7 if 1 ≤ x< 3 2√x2 8 if 3 ≤ x ≤ 5 3. Tentukan d2y dx2 jikadiketahui sin y +cos x + xy3 =0. 4. Akandibuatjendelaberbentuktrapesium.Jikapanjangkeduasisimiringmasing-masingadalah √6 danpanjangsalahsatusisisejajaradalah1,makatentukanpanjangsisisejajaryanglain agarluasjendelamaksimum! 7
Denganmemanfaatkanhasilyangtelahdiperoleh,buatlahsketsagrafikfungsi f !
5. Jikafungsi g mempunyaiderivatifpada R,dengan g( 1)= 2 dan g ( 1)=3, danfungsi f memilikirumus
tentukanpersamaangarissinggungkurva y = f (x) dititikdenganabsis x =0!
Tentukan: (a) domainfungsi f ; (b) daerahnaik/turunfungsi f ; (c) titikekstrem f danjenisnya; (d) daerahcekungkeatas/bawahdantitikbelokfungsi f ; (e) asimtot-asimtotuntuk f
f (x)= e 2x g x 1 x +1
7. Perderetkan f (x)= ln(1 x) x 1 secaraMaclaurin!BerikanderetAndaminimalsampai4suku!
f (x)=2x +ln(x2 3)
8 2.SOAL-SOALUJIANAKHIRSEMESTER
6. Diberikan
AyoKerjakan!
3
SoalNomor1
Soal Tentukanhimpunanpenyelesaianpertidaksamaanberikut!
Untukmengerjakansoalinikitaharusmengetahui2sifatpadabilanganrealini.
Sifat1. Trichotomy.
UjianTengahSemester
Untuksebarang a ∈ R,makasalahsatudari3kemungkinanberikutakanberlaku.
• a< 0 • a =0. • a> 0. 9
Dikerjakan
(a) |1 3x|≤|x| +3 (b) √x ≥ √x +12 3
•
•
Dengandemikianpula,pertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akanekuivalendenganpertidaksamaan berikut.
. •
Soal(a)
x< 0 ⇐⇒ 3x< 0 ⇐⇒−3x> 0 ⇐⇒ 1 3x> 1
a ***
Sifat2. HargaMutlak.
•
•
10 3.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR1
•
Marikitaselidikikemungkinandiatassatupersatu. (1)Jika x< 0.
•
Kitaakanmenyelidikinilaidari |x|.Berdasarkan Sifat1 makasalahsatudari3kemungkinan berikutakanberlaku. x< 0 x =0 x> 0.
Jika x< 0,makakitaakanmemperolehpertidaksamaanyangekuivalenberikut.
Dengandemikian,jika x< 0,makakitaakanmemperolehpertidaksamaan 1 3x> 1.Akibatnya, nilaidari |1 3x| adalah 1 3x
Untuksebarang a ∈ R,makasalahsatudari3kemungkinanberikutakanberlaku. Jika a< 0,maka |a| = a Jika a =0,maka |a| =0 Jika a> 0,maka |a| =
Kitaakanmencarihimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3.Perhatikan bahwadiruaskananterdapatsuku |x|
11 |1 3x|≤|x| +3 ⇐⇒ 1 3x ≤−x +3 ⇐⇒ 1 3 ≤−x +3x ⇐⇒−2 ≤ 2x ⇐⇒−1 ≤ x ⇐⇒ x ≥−1 Berdasarkanpenjabarandiatas,jika x< 0,makapertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akan ekuivalendenganpertidaksamaan x ≥−1. Nah,jikakitamengiriskanhimpunan x< 0 dan x ≥ 1,makakitaakanmemperolehsalahsatu himpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3.Kitasebuthimpunanpenyelesaian inisebagai HP1 x< 0 ⇐⇒ x ∈ A1 = {x ∈ R : x< 0} x ≥−1 ⇐⇒ x ∈ A2 = {x ∈ R : x ≥−1} HP1 = A1 ∩ A2 = {x ∈ R : 1 ≤ x< 0}⇐⇒−1 ≤ x< 0 • (2)Jika x =0. Jika x =0,makapertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akanekuivalendenganpertidaksamaan berikut. |1 3x|≤|x| +3 ⇐⇒|1 3 0|≤|0| +3 ⇐⇒|1 0|≤ 0+3 ⇐⇒ 1 ≤ 3 Dengandemikian,jika x =0,makapertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akanekuivalendengan pertidaksamaan 1 ≤ 3.Perhatikanbahwapertidaksamaan 1 ≤ 3 terdefinisidenganbaik.
3. Nilai 1 3x beradadiinterval (−∞, 0).
• (3.1)Jikanilai 1 3x beradadiinterval (0, 1).
Jika x> 0,makakitaakanmemperolehpertidaksamaanyangekuivalenberikut.
2. Nilai 1 3x =0.
Daripenjabarandiatas,diperoleh f (1/3)=0 dan f (0)=1.Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwanilai f (x)=1 3x beradadiinterval (0, 1) jikadanhanyajikanilai x beradadi interval (0, 1/3)
HP2 = {0}⇐⇒ x =0
12 3.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR1
Marikitaselidikitigakemungkinandiatassatupersatu.
x> 0 ⇐⇒ 3x> 0 ⇐⇒−3x< 0 ⇐⇒ 1 3x< 1
1. Nilai 1 3x beradadiinterval (0, 1)
Perhatikanbahwafungsi f (x)=1 3x adalahsuatufungsilinear(grafiknyaberwujudgarislurus). Kitaakanmencarinilai x1 dan x2 sedemikiansehingga f (x1)=0 dan f (x2)=1.
• (3)Jika x> 0.
1. f (x1)=0 ⇐⇒ 1 3x1 =0 ⇐⇒ 1=3x1 ⇐⇒ x1 =1/3 2. f (x2)=1 ⇐⇒ 1 3x2 =1 ⇐⇒−3x2 =0 ⇐⇒ x2 =0
Dengandemikian,jika x> 0,makakitaakanmemperolehpertidaksamaan 1 3x< 1.Perhatikan! Karena 1 3x< 1,makaadatigakemungkinansebagaiberikut.
Perhatikanbahwanilai x yangberadadiinterval (0, 1/3) tidakmenimbulkankontradiksidengan syaratbahwa x> 0.Karenakeduasyarattersebut"terasa"salingtimpatindih,makakitabuatsyarat barudenganmengiriskansyarat x> 0 dannilai x yangberadadiinterval (0, 1/3) sebagaiberikut.
Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwa x =0 adalahsalahsatunilai x yangmemenuhi pertidaksamaan |1 3x|≤|x|+3.Kitabentuksuatuhimpunanpenyelesaian HP2 yanghanyamemuat nilai x =0 sebagaimanaberikut.
Oke!Kitalanjutdenganmenyelidikipertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 dengan x beradadi interval (0, 1/3).Janganlupa!Karena x beradadiinterval (0, 1/3),maka 1 3x akanberadadi interval (0, 1).Akibatnya, |1 3x| =1 3x |1 3x|≤|x| +3 ⇐⇒ 1 3x ≤ x +3 ⇐⇒ 1 3 ≤ x +3x ⇐⇒−2 ≤ 4x ⇐⇒−1/2 ≤ x ⇐⇒ x ≥−1/2
} x ∈ (0, 1
13 x> 0 ⇐⇒ x ∈ B1 = {x ∈ R : x> 0} x ∈ (0, 1/3) ⇐⇒ x ∈ B2 = {x ∈ R :0 <x< 1/3} Karena B2 ⊂ B1,makaakandiperoleh: Sbaru = B1 ∩ B2 = B2 ⇐⇒ 0 <x< 1/3
3) ⇐⇒ x ∈ Sbaru ⇐⇒
Perhatikanbahwa
1
2 ⇐⇒ x ∈ B3 = {x ∈ R
⊂
HP3 = B3 ∩ Sbaru = Sbaru ⇐⇒{x ∈ R
Dengandemikian,untukbagian (3.2) inisyarat x> 0 akankitagantidengansyaratbaru,yaitu 0 <x< 1/3.Kitasebutsebagai x beradadiinterval (0, 1/3).
x
Berdasarkanpenjabarandiatas,jika x beradadiinterval (0, 1/3),makapertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akanekuivalendenganpertidaksamaan x ≥−1/2.Perhatikanbahwapertidaksamaan x ≥−1/2 tidakmemunculkankontradiksidengansyaratbahwa x beradadiinterval (0, 1/3). Nah,jikakitamengiriskanhimpunan x ≥−1/2 dansyaratbahwa x beradadiinterval (0, 1/3), makakitaakanmemperolehsalahsatuhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan |1 3x|≤|x|+3. Kitasebuthimpunanpenyelesaianinisebagai HP3 ≥− / : x ≥−1/2 / 0 <x< 1/3 Sbaru B3,dengandemikiankitaakanmemperoleh: :0 <x< 1/3}⇐⇒ 0 <x< 1/3
14 3.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR1
Jikakitasubstitusikannilai x =1/3 kepertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3,makahasilnyaadalah sebagaiberikut.
• (3.3)Jikanilai 1 3x beradadiinterval (−∞, 0).
HP4 = {1/3}⇐⇒ x =1/3
Jikanilai 1 3x beradadiinterval (−∞, 0),makahaltersebutekuivalendenganpertidaksamaan 1 3x< 0.Pertidaksamaantersebutekuivalendenganpertidaksamaanberikut.
|1 3x|≤|x| +3 ⇐⇒|1 3 1/3|≤|1/3| +3 ⇐⇒|1 1|≤ 1/3+3 ⇐⇒ 0 ≤ 10/3
• (3.2)Jikanilai 1 3x =0.
Jikanilai 1 3x =0,makakitaakanmemperolehnilai x =1/3.Perhatikanbahwanilai x =1/3 tidakmemunculkankontradiksidengansyarat x> 0.
Dengandemikian,jika x =1/3,makapertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akanekuivalendengan pertidaksamaan 0 ≤ 10/3.Pertidaksamaan 0 ≤ 10/3 tersebuttidakmemunculkankontradiksiya!
Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwa x =1/3 adalahsalahsatunilai x yang memenuhipertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3.Kitabentuksuatuhimpunanpenyelesaian HP4 yanghanyamemuatnilai x =1/3 sebagaimanaberikut.
Berdasarkanpenjabarandiatas,pertidaksamaan 1 3x< 0 akanekuivalendenganpertidaksamaan x> 1/3.Perhatikanbahwapertidaksamaan x> 1/3 tidakmemunculkankontradiksidengan syaratbahwa x> 0.Karenakeduasyarattersebut"terasa"salingtimpatindih,makakitabuatsyarat barudenganmengiriskansyarat x> 0 dan x> 1/3 sebagaiberikut. 0 ⇐⇒ x ∈ B1 = {x ∈ R : x> 0} x> 1/3 ⇐⇒ x ∈ B4 = {x ∈ R : x> 1/3}
15 1 3x< 0 ⇐⇒ 1 < 3x ⇐⇒ 1/3 <x ⇐⇒ x> 1/3
Nah,jikakitamengiriskanhimpunan x> 1/3 dan x ≤ 2,makakitaakanmemperolehsalahsatu himpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3.Kitasebuthimpunanpenyelesaian inisebagai HP5 x> 1/3 ⇐⇒ x ∈ Sbaru2 = {x ∈ R : x> 1/3} x ≤ 2 ⇐⇒ x ∈ B5 = {x ∈ R : x ≤ 2}
Oke!Kitalanjutdenganmenyelidikipertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 dengan x> 1/3 Janganlupa!Karena x> 1/3 > 0,maka |x| = x dan 1 3x akanbernilai < 0.Akibatnya, |1 3x| = (1 3x)=3x 1. |1 3x|≤|x| +3 ⇐⇒ 3x 1 ≤ x +3 ⇐⇒ 3x x ≤ 3+1 ⇐⇒ 2x ≤ 4 ⇐⇒ x ≤ 2
x>
Dengandemikian,untukbagian (3 3) inisyarat x> 0 akankitagantidengansyaratbaru,yaitu x> 1/3
Karena B4 ⊂ B1,makaakandiperoleh: Sbaru2 = B1 ∩ B4 = B4 ⇐⇒ x> 1/3
Berdasarkanpenjabarandiatas,jika x> 1/3,makapertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 akan ekuivalendenganpertidaksamaan x ≤ 2
} 5.
Setelahpenjabaranpanjangdiatas,akhirnyakitamemperolehhimpunan-himpunanpenyelesaian untukpertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 yaitu HP1 hingga HP5 sebagaimanaberikut. HP1 = {x ∈ R : 1 ≤ x< 0 HP2 {0 HP3 = {x ∈ R :0 <x< 1/3 HP4 = {1/3 HP5 = {x ∈ R :1/3 <x ≤ 2
16 3.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR1 HP5 = Sbaru2 ∩ B5 = {x ∈ R :1/3 <x ≤ 2}⇐⇒ 1/3 <x ≤ 2 Nah!
} 3.
Sebagaipenutup,jikakitamenggabungkanseluruhhimpunan HPi makakitaakanmendapatkan himpunanpenyelesaianuntukpertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3
}
} 4.
Perhatikanbahwajikakitamengambilsebarangelemen x darihimpunan HPi diatas,maka x tersebutakanmemenuhipertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3.
HPfinal = 5 i=1 HPi = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2}⇐⇒−1 ≤ x ≤ 2
} 2.
Jadi,himpunanpenyelesaianuntukpertidaksamaan |1 3x|≤|x| +3 adalah {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2
}. ***
1.
=
Sekarangkitaakanmencarihimpunanpenyelesaianuntukpertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 Perhatikanbahwapertidaksamaantersebutmemuatsuku √x dan √x +12.Perhatikanduahal berikut.
17
1. Suku √x akanterdefinisidenganbaikjikadanhanyajika x ≥ 0
Soal(b)
Sekarang,marikitamengkuadratkankeduaruaspertidaksamaan
√x ≥ √x +12 3 ⇐⇒ (√x)2 ≥ √x +12 3 2 ⇐⇒ x ≥ x +12 6√x +12+9 ⇐⇒ 6√x +12 ≥ 12+9 ⇐⇒ 2√x +12 ≥ 7
Fungsireal f yangdidefinisikansebagai f (a)= √a untuksebarang a ≥ 0 ituakanselalubernilai positif. √x ≥ √x +12 3!
Perhatian!
2. Suku √x +12 akanterdefinisidenganbaikjikadanhanyajika x +12 ≥ 0
• A2 = {x ∈ R : x ≥−12}
Berdasarkanpenjabarandiatas,denganmengkuadratkankeduaruaspertidaksamaan √x ≥ √x +12 2√x +12 ≥ 7.
3,makakitaakanmendapatkanpertidaksamaan
Ayokitalanjutdenganmengkuadratkankeduaruaspertidaksamaan 2√x +12 ≥ 7!
Perhatikanbahwapertidaksamaan x +12 ≥ 0 ekuivalendengan x ≥−12.Kemudian,jikakita membentukhimpunan A1 yangbersesuaiandengan x ≥ 0 danhimpunan A2 yangbersesuaiandengan x ≥−12 sebagaiberikut:
makahimpunan A = A1 ∩ A2 akanmemuatsemua x ∈ R yangmembuatsuku √x dan √x +12 terdefinisidenganbaik.Perhatikanbahwa A1 ⊂ A2. = A1 ∩ A2 = A1 = {x ∈ R : x ≥ 0}⇐⇒ x ≥ 0
• A1 = {x ∈ R : x ≥ 0},dan
A
Naaah,dilainsisi,darisekianpanjangprosespengkuadratandiatas,kitamemperolehbahwa pertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 "ekuivalen"denganpertidaksamaan 2√x +12 ≥ 7 dengan himpunan B sebagaihimpunanpenyelesaiannya.Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwa setiap x ∈ B akanmenyebabkannilaikebenaranpertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 menjadibenar.
18 3.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR1 2√x +12 ≥ 7 ⇐⇒ (2√x +12)2 ≥ 72 ⇐⇒ 4 (x +12) ≥ 49 ⇐⇒ 4x +48 ≥ 49 ⇐⇒ 4x ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ 1 4
Kitadapatmembentukhimpunan B yangbersesuaiandenganpertidaksamaan x ≥ 1 4 sebagai B = x ∈ R : x ≥ 1 4
Berdasarkanpenjabarandiatas,kitadapatmenyimpulkanbahwahimpunan B adalahhimpunan penyelesaianuntukpertidaksamaan 2√x +12 ≥ 7.
Tapi,kansoalmemintakitabuatmencarihimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan √x ≥ √x +12 3?
Jangansalahlhoya! Yangdimaksuddengan terdefinisidenganbaik ituadalahsuku-suku diruaskiridanruaskananpertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 terdefinisidenganbaik,yangtidak lainadalahsuku √x dan √x +12 terdefinisidenganbaik.
Ingatya! Walaupunpertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 terdefinisidenganbaik, TIDAKADA JAMINAN bahwanilaikebenarannya(itstruthvalue)adalahbenar(true).Dengandemikian,himpunan A tidakbisadisebut sebagaihimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan √x ≥ √x +12 3
Ingat!Diawaltadikitasudahmendapatkanhimpunan A = {x ∈ R : x ≥ 0} sedemikian sehinggapertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 terdefinisidenganbaikuntuksetiap x ∈ A
Eh....
19
2. Kitapunyahimpunan B sedemikiansehinggauntuksetiap x ∈ B akanmenyebabkannilai kebenaranpertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 menjadibenar.
1. Kitapunyahimpunan A sedemikiansehinggauntuksetiap x ∈ A akanmenyebabkanpertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 terdefinisidenganbaik,dan
Jikakitamengiriskanhimpunan A dengan B,makakitaakanmendapatkanhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan √x ≥ √x +12 3. B = { R : x ≥ 0}∩ R : x ≥ 1 4 = x ∈ R : x ≥ 1 4 = B
A ∩
x ∈
Secararingkasnya:
x ∈
Jadi,himpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan √x ≥ √x +12 3 adalah x ∈ R : x ≥ 1 4
20 3.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR1
(b)
AyoKerjakan!
Soal
(a)
1 x x , x<
UjianTengahSemester SoalNomor2
|
2+3
Determine: f 1(x) f ◦ g(x)
21
4
Let f and g betwofunctions,were (x)= 0 x and g(x)= x +3 x 4
, x ≥ 0
|
f
22 4.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2
Soal(a)
Kitaakanmenyelidikirangefungsi f dengancaramenyelidikirangetiap-tiapcabangfungsi f Ayokitamulaidenganmenyelidikicabangfungsi f yangpertama.
Sekarang,kitaakanmenentukan f 1.Sebelumnya,kitaharusmemastikandahulubahwafungsi f terdefinisidenganbaik.
1 x x , x<
Sebagaimanadefinisifungsi f berikut,terlihatbahwafungsi f merupakanfungsi piecewise dengan 2subdomain,yaitu x< 0 dan x ≥ 0.Marikitaselidikimasing-masingcabangfungsi f tersebut. )= 0
Dikerjakan KitakerjakanpakaibahasaIndonesiasajaya,supayamenjelaskannyalebihgampang.
f (x
Padacabangyangpertama,fungsi f didefinisikansebagai f (x)=2+3x dengansubdomainnya adalah x ≥ 0.Perhatikanbahwacabangfungsi f initidaklainadalahfungsilinearyangakanselalu terdefinisidenganbaikuntuksebarang xR.Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwafungsi f untukcabangkeduaterdefinisidenganbaik.
2+3x , x ≥ 0
Untukcabangyangpertama,fungsi f didefinisikansebagai f (x)= 1 x x dengansubdomainnya adalah x< 0.Perhatikanbahwadefinisifungsi f untukcabanginidapatdiubahmenjadisepertiini.
f (x)= 1 x x = 1 x x x = 1 x 1
Padacabangyangpertama,fungsi f didefinisikansebagai f (x)= 1 x x dengansubdomainnya adalah x< 0.Perhatikanbahwajika x =0,makacabangfungsi f initidakakanterdefinisidengan baik.Akantetapi,karena x =0 tidaktermuatdidalamsubdomain x< 0,makakitadapatmenyimpulkanbahwafungsi f untukcabangpertamaterdefinisidenganbaik.
Berdasarkanuraianduaparagrafdiatas,kitadapatmenyimpulkanbahwafungsi f terdefinisi denganbaik.Selanjutnya,ayokitaselidikirangefungsi f
→−∞
f (x)= 1 x x ⇐⇒ f (x)= 1 x 1 ⇐⇒ f (x)+1= 1 x ⇐⇒ x = 1 f (x)+1
•
Kitaakanmenentukan f 1 dengancaramenentukan f 1 untuksetiapcabangfungsi f .Ayokita mulaidenganmenentukan f 1 untukcabangfungsi f yangpertama.
23
Untukcabangyangpertama,fungsi f didefinisikansebagai f (x)= 1 x x denganrangenyaadalah
makakitabisamenyimpulkanbahwarangecabangfungsi f untuk x< 0 adalah {x ∈ R : −∞ < x< 1}⇐⇒−∞ <x< 1.
x→−∞
• lim x→+∞ f
{x ∈ R : −∞ <x< 1}.Perhatikanbahwa:
•
f (x)=2+3x ⇐⇒ f (x) 2=3x ⇐⇒ x = f (x) 2 3
x→+∞
Dengandemikian, f 1 untukcabangfungsi f yangkeduaadalah f 1(x)= x 2 3 .
Karena: lim 0 f (x)=lim x→0 1 x 1= −∞− 1= −∞,dan lim f (x)=lim x 1 x 1=0 1= 1
x→+∞
x→
Untukcabangyangkedua,fungsi f didefinisikansebagai f (x)=2+3x dengansubdomainnya adalah x ≥ 0.Karena: f (0)=2+3 0=2,dan (x)=lim 2+3x =2+lim 3x =2+ ∞ =+∞
Perhatikanbahwarangecabang-cabangfungsi f adalahhimpunanyangsalingasing.Dengan demikianfungsi f 1 akanmenjadifungsiyangterdefinisidenganbaik.
Dengandemikian, f 1 untukcabangfungsi f yangpertamaadalah f 1(x)= 1 x +1
Untukcabangyangkedua,fungsi f didefinisikansebagai f (x)=2+3x denganrangenyaadalah {x ∈ R :2 ≤ x< +∞}.Perhatikanbahwa:
makakitabisamenyimpulkanbahwarangecabangfungsi f untuk x ≥ 0 adalah {x ∈ R :2 ≤ x< +∞}⇐⇒ 2 ≤ x< +∞
•
24 4.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2 Jadi,hasilakhir f 1 adalahsebagaiberikut. f 1(x)= 1 x +1 , −∞ <x< 1 x 2 3 , 2 ≤ x< +∞ Ingat!Domain f 1 tidaklainadalahrange f !Jika x/ ∈ Range(f ),maka f 1 tidakakanterdefinisi. ***
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikirangefungsi g.Supayalebihmudah,kitadapatmengetahui rangefungsi g denganmenggambargrafiknyasebagaimanadibawahini.Langkah-langkahuntuk menggambargrafikinidapatdisimakpadababekstradiakhirpembahasansoal.
25
Berdasarkandefinisidiatas,fungsi g tidakakanterdefinisiuntuk x =4 karenaakanmembuat bagianpenyebutmenjadi0.Dengandemikian,kitaharus"mendepak"bilangan4daridomainfungsi g
Soal(b)
g(x)= x +3 |x 4|
#DomainFungsi g
Domain(g)= R −{4} =(−∞, 4) ∪ (4, +∞)
Ingatbahwa x ∈ (−∞, 4) ekuivalendengan x< 4 dan x ∈ (4, +∞) ekuivalendengan x> 4
Sekarang,kitaakanmenentukan f ◦ g(x).Perhatikanbahwafungsirasional g dioperasikanpertama.Olehsebabitu,marikitaselidikidahuludomaindanrangedarifungsi g.Sebelumnya,kita tampilkandahuludefinisifungsi g sebagaimanaberikutini.
#RangeFungsi g
Jikadiperhatikanlebihsaksama,fungsi g terdefinisidenganbaikuntuksemuabilanganrealselain 4.Jadi,supayafungsi g terdefinisidenganbaik,makadomainnyakitatentukansebagaiberikut.
Terlihatbahwakurvafungsi g tidakpernahmelewatititik-titikyangordinatnya ≤−1.Lebih tepatnya,kurvafungsi g akanmelewatititik-titikyangordinatnya > 1 hinggamenuju +∞.
Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanRangefungsi g sebagaiberikut. (g)=( 1, +∞)= {x ∈ R : 1 <x< +∞}
Setelahmenyelidikidomaindanrangefungsi g,sekarangkitaberalihmenyelidikidomainfungsi f .Perhatikandefinisifungsi f berikut.
#MenyelidikiRangeFungsi g yangTermuatdiDomainFungsi f
Rangefungsi g tidaklainadalahsemuatitikdisumbuYyangdilewatiolehkurvamerah.Untuk lebihjelasnya,perhatikanbagianyangdiarsirkuningpadagrafikdibawah.
Range
26 4.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2
f (x)= 1 x x , x< 0 2+3x , x ≥ 0 Sebagaimanadefinisifungsi f diatas,diketahuibahwafungsi f memiliki2subdomain,yaitu: 1. Subdomain 1(f )= {x ∈ R : x< 0}⇐⇒ x< 0 2. Subdomain 2(f )= {x ∈ R : x ≥ 0}⇐⇒ x ≥ 0
27
Perhatikangrafikfungsi g diatas!Perhatikankurvafungsi g yangterletakdisebelahkiriasimtot vertikal!Kurvatersebutbersesuaiandengancabangfungsi g untuk x< 4
Darigrafik,terlihatbahwa ( 3, 0) merupakantitikpotongkurvafungsi g dengansumbuX.Terlihatbahwauntuksebarang x< 3 akanmenyebabkan g(x) < 0.Dengankatalain,jika x< 3, makaakanmenyebabkan g(x) ∈ Subdomain 1(f )
Darigrafikfungsi g diatasterlihatbahwauntuksetiap x ∈ [ 3, 4) atau x ∈ (4, +∞) akanmenyebabkan g(x) ≥ 0.Dengankatalain,jika x ∈ [ 3, 4) atau x ∈ (4, +∞),makaakanmenyebabkan g(x) ∈ Subdomain 2(f )
Kitalanjutmencaritahunilai-nilai x ∈ Domain(g) sedemikiansehingga g(x) ∈ Subdomain 2(f ). Dengankatalain,kitaakanmencaritahunilai-nilai x ∈ Domain(g) sedemikiansehingga g(x) ≥ 0.
1. Mencaritahunilai-nilai x ∈ Domain(g) sedemikiansehingga g(x) ∈ Subdomain 1(f )
2. Mencaritahunilai-nilai x ∈ Domain(g) sedemikiansehingga g(x) ∈ Subdomain 2(f ).
Kitamulaidenganmencaritahunilai-nilai x ∈ Domain(g) sedemikiansehingga g(x) ∈ Subdomain 1(f ).Dengankatalain,kitaakanmencaritahunilai-nilai x ∈ Domain(g) sedemikiansehingga g(x) < 0.
Nah,tugaskitaselanjutnyaadalahsebagaiberikut.
x +3 (x 4) ,
f ◦ g(x)= f (g(x)) = 1 g(x) g(x) = 1 g(x) 1 = 1 x 3 (x 4) 1 = (x 4) x 3 1 = (x 4) (x 3) x 3 = x +4 x +3 x 3 = 7 2x x 3
1. Untuk x ∈ Domain(g) dengan x< 3,makacabangfungsi g yangbersesuaianadalah g(x)= x 3 (x 4) .Haliniakanmenyebabkan g(x) < 0 yangekuivalendengan g(x) ∈ Subdomain 1(f )
28 4.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2
Karena Subdomain 1(f ) ⇐⇒ x< 0 bersesuaiandengancabangfungsi f (x)= 1 x x ,maka hasilkomposisi f ◦ g adalahsebagaiberikut.
x +3 x 4 , x>
Nah,sekarang,saatnyakitakomposisikan f ◦ g denganmenggunakanhasil-hasilyangsudahkita peroleh.
Berdasarkanhasildiatas,kitabisamendefinisikanulangfungsi g sebagaiberikut.Tujuannya adalahuntuk"memecah"rangefungsi g supaya"pas"dengandomainfungsi f .Halinisemata-mata demimemudahkankitadalammembuatkomposisifungsi f ◦ g x< 3 3 ≤ x< 4 4
g(x)= x +3 (x 4) ,
#MembuatKomposisiFungsi f ◦ g
29
Karena Subdomain 2(f ) ⇐⇒ x ≥ 0 bersesuaiandenganfungsi f (x)=2+3x,makahasil komposisi f ◦ g adalahsebagaiberikut.
f ◦ g(x)= f (g(x)) =2+3 g(x) =2+3 x 3 x 4 = 2(x 4)+3(x 3) x 4 = 2x 8+3x 9 x 4 = 5x 17 x 4
f ◦ g(x)= f (g(x)) =2+3 g(x) =2+3 x 3 (x 4) = 2( 1)(x 4)+3(x 3) (x 4) = 2x +8+3x 9 (x 4) = x 1 (x 4) = x 1 4 x
Karena Subdomain 2(f ) ⇐⇒ x ≥ 0 bersesuaiandengancabangfungsi f (x)=2+3x,maka hasilkomposisi f ◦ g adalahsebagaiberikut.
2. Untuk x ∈ Domain(g) dengan 3 ≤ x< 4,makacabangfungsi g yangbersesuaianadalah g(x)= x 3 (x 4) .Haliniakanmenyebabkan g(x) ≥ 0 yangekuivalendengan g(x) ∈ Subdomain 2(f ).
3. Untuk x ∈ Domain(g) dengan x> 4,makacabangfungsi g yangbersesuaianadalah g(x)= x 3 x 4 .Haliniakanmenyebabkan g(x) ≥ 0 yangekuivalendengan g(x) ∈ Subdomain 2(f ).
30 4.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2 Jadi,berikutiniadalahhasilakhirdefinisifungsikomposisi f ◦ g besertadomainnya.Perhatikan bahwadomain f ◦ g tidaklainadalahdomainfungsi g f ◦ g(x)= 7 2x x 3 , x< 3 x 1 4 x , 3 ≤ x< 4 5x 17 x 4 , x> 4
5
Tentang
Ekstra!
UjianTengahSemester SoalNomor2
Domain(g)= R −{4} =(−∞, 4) ∪ (4, +∞)
Padababsebelumnya,supayafungsi g terdefinisidenganbaik,makadomainnyakitatentukan sebagaiberikut.
Caramenggambargrafikfungsi g(x)= x +3 |x 4| .
PenjelasanTambahan1
Kemudian,denganmenggunakandefinisihargamutlak,fungsi g dapatkitaubahmenjadifungsi piecewise yangdidefinisikansebagaiberikut. g(x)= x +3 x 4 , x> 4 x +3 (x 4) , x< 4
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikicabang-cabangfungsi g tersebutsatupersatu.
Penjelasan
31
Kitamulaidenganmenyelidikicabangfungsi g untuk x> 4,yaitu g(x)= x +3 x 4 .Perhatikan bahwafungsirasionaltersebutdapatkitaubahbentuknyamenjadisepertiini. x +3 x 4 = x +( 4+7) x 4 = x 4 x 4 + 7 x 4 =1+7 · 1 x 4
#MenyelidikiCabangFungsi g untuk x> 4
Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwajika x → +∞ makanilai g(x)=1+7 1 x 4 akanmendekati1.
Perhatikan!Dengankatalain,tidakada x> 4 yangakanmenyebabkan 1+7 1 x 4 =1!
32 5.EKSTRA!PENJELASANTAMBAHAN1UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2
Berdasarkanpenjabarandiatas,cabangfungsi g untuk x> 4,yaitu g(x)= x +3 x 4 ,ekuivalen dengan g(x)=1+7 · 1 x 4
Karenafungsi g terdefinisiuntuk x> 4,makakitabisamenyelidikinilaifungsitersebutketika x → 4+ dan x → +∞.Pembahasannyasebagaiberikut.
• Ketika x → 4+,makanilai x 4 adalahbilanganrealpositifyangsangatkecil(0,000...).Akibatnya,nilai 1 x 4 akanmendekati +∞.Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwajika x → 4+,makanilai 1+7 1 x 4 = g(x) akanmendekati +∞.
• Ketika x → +∞,makanilai x 4 adalahbilanganrealpositifyangsangatbesar.Akibatnya, nilai 1 x 4 akanmendekati0. lim x→+∞ 1+7 1 x 4 =1+7 lim x→+∞ 1 x 4 =1+7 0=1+0=1
Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwajika x → 4 makanilai 1 7 1 x 4 = g(x) akanmendekati +∞
Karenafungsi g initerdefinisiuntuk x< 4,makakitabisamenyelidikinilaifungsitersebutketika x → 4 dan x →−∞.Pembahasannyaadalahsebagaiberikut.
Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwajika x →−∞ makanilai 1 7 1 x 4 = g(x) akanmendekati 1.
Perhatikan!Tidakada x< 4 yangakanmenyebabkan 1 7 · 1 x 4 = 1!
#MenyelidikiCabangFungsi g untuk x< 4
• Ketika x → 4 ,makanilai x 4 adalahbilanganrealnegatifyangsangatkecil(-0,000...).Akibatnya,nilai 1 x 4 akanmendekati −∞.Akibatnyapula,nilai 7 1 x 4 akanmendekati +∞
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikicabangfungsi g untuk x< 4,yaitu g(x)= x +3 (x 4) .Perhatikanbahwafungsirasionaltersebutdapatkitaubahbentuknyamenjadisepertiini. x +3 (x 4) = 1 · x +3 x 4 = 1 7 · 1 x 4
33
Berdasarkanpenjabarandiatas,cabangfungsi g untuk x< 4,yaitu g(x)= x +3 (x 4) ,ekuivalen dengan g(x)= 1 7 · 1 x 4
• Ketika x →−∞,makanilai x 4 adalahbilanganrealnegatifyangsangatbesar.Akibatnya, nilai 1 x 4 akanmendekati0. lim x→−∞ 1 7 · 1 x 4 = 1 7 · lim x→−∞ 1 x 4 = 1 7 · 0= 1+0= 1
3. Garis y = 1 adalahasimtothorizontalparsialfungsi g untuk x< 4
2. Garis y =1 adalahasimtothorizontalparsialfungsi g untuk x> 4.
34 5.EKSTRA!PENJELASANTAMBAHAN1UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2
#TitikPotongKurvaFungsi g denganSumbuXdanSumbuY.
2. Untuk x> 4,ketika x → +∞,makanilaifungsi g akanmendekati 1,
4. Untuk x< 4,ketika x →−∞,makanilaifungsi g akanmendekati 1 makakitadapatmengetahuibahwafungsi g memilikisejumlahasimtotsebagaiberikut.
Jikakurvafungsi g untuk x> 4 memotongsumbu Y ,makaterdapat x =0 sedemikiansehingga (x ,g(x )) adalahtitikpotongnya.Akantetapi, x =0 tidakmemenuhisyarat x> 4.Dengan demikiankitabisamenyimpulkanbahwakurvafungsi g untuk x> 4 tidakmemotongsumbu Y .
1. Untuk x> 4,ketika x → 4+,makanilaifungsi g akanmendekati +∞,
1. Garis x =4 adalahasimtotvertikalfungsi g
Untukmemudahkandalammenggambarkurva,kitadapatmencarititikpotongkurvafungsi g dengansumbuXdansumbuY.
Jikakurvafungsi g untuk x> 4 memotongsumbu X,makaakanterdapat x > 4 sedemikian sehingga g(x )= x +3 x 4 =0.Akantetapi,perhatikanbahwa g(x )= x +3 x 4 =0 jikadanhanyajika x = 3.Karena x = 3 itutidakmemenuhisyarat x> 4,makakitabisamenyimpulkanbahwa kurvafungsi g untuk x> 4 tidakmemotongsumbu X
Ayokitacarititikpotongkurvafungsi g dengansumbuXdansumbuYuntuk x> 4!Ingat! Cabangfungsi g untuk x> 4 adalah g(x)= x +3 x 4 .
3. Untuk x< 4,ketika x → 4 ,makanilaifungsi g akanmendekati +∞,dan
Berdasarkanhal-halyangdiketahuidiatas,yaitu:
#AsimtotFungsi g
Dengandemikiankitabisamenyimpulkanbahwakurvafungsi g untuk x< 4 tidakmemotongsumbu Y ,yaitudititik (0, 3/4).
Jikakurvafungsi g untuk x> 4 memotongsumbu Y ,makaterdapat x =0 sedemikiansehingga (x ,g(x )) adalahtitikpotongnya.Perhatikanbahwa x =0 memenuhisyarat x< 4 g(0)= 0+3 (0 4) = 3 4
35
Kesimpulantitikpotongkurvafungsi g adalahsebagaiberikut.
1. Untuk x> 4,kurvafungsi g tidakmemotongsumbuXdanjugasumbuY.
Kitalanjutmencarititikpotongkurvafungsi g dengansumbuXdansumbuYuntuk x< 4!Ingat! Cabangfungsi g untuk x< 4 adalah g(x)= x +3 (x 4) .
2. Untuk x< 4,kurvafungsi g memotongsumbuXdititik ( 3, 0) danmemotongsumbuYdi titik (0, 3/4)
Jikakurvafungsi g untuk x< 4 memotongsumbu X,makaakanterdapat x < 4 sedemikiansehingga g(x )= x +3 (x 4) =0.Perhatikanbahwa g(x )= x +3 (x 4) =0 jikadanhanyajika x = 3 Karena x = 3 memenuhisyarat x< 4,makakitabisamenyimpulkanbahwakurvafungsi g untuk x< 4 memotongsumbu X,yaitudititik ( 3, 0).
36 5.EKSTRA!PENJELASANTAMBAHAN1UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR2
Nah,denganmemanfaatkanasimtot-asimtotdantitik-titikpotong,makakitabisamenggambar grafikfungsi g sebagaiberikut.Ingat!Karena g adalahfungsirasional,makabentukkurvanyaadalah melengkung,bukangarislurus.
#MenggambarKurvaFungsi g
UjianTengahSemester SoalNomor3
Soal
Diberikanpersamaankurvadidalamsistemkoordinatkutub r =2+sin θ.Gambarlahkurvatersebut!
Dikerjakan
sin θ
,π/
Ohiya!Janganlupajugasamanilai-nilaifungsi diinterval [0 2] yangsudahdipelajari saatSMAdahulu.
θ =0◦ θ = π/6=30◦ θ = π/4=45◦ θ = π/3=60◦ θ = π/2=90◦ sin θ 0 1/2 √2/2 √3/2 1 37
π
θ =0 θ = π/2 θ = π θ =3π/2 2π sin θ 0 1 0 1 0
6
AyoKerjakan!
Untukmengerjakansoalinikitaharustahunilai-nilaifungsi sin θ diinterval [0, 2 ].Tabeldibawah inimenyajikanbeberapanilai-nilaitersebut.
Kembalikesoal!
Sepertiyangkitatahu,grafikfungsi sin θ dibidangkartesiusadalahsepertidibawahini.Terlihat bahwafungsi sin θ merupakan fungsiperiodik,yaitufungsiyangnilainyaselaluberulangpadasuatu intervaltertentu.
Kitadiperintahkanuntukmenggambarkurva r =2+sin θ disistemkoordinatkutub.Kitamulai denganmenghitungnilai r untuk θ =0, π/2, π,dan 3π/2.Hasilnyaadalahsepertitabeldibawahini. θ =0 θ = π/2 θ = π θ =3π/2 sin θ 0 1 0 1 r =2+sin θ 2 3 2 1
38 6.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR3
KoordinatTitik (r,θ) (2, 0) 3, π 2 (2,π) 1, 3π 2
39
Berdasarkanperhitungandiatas,kitamendapatkanempatkoordinattitik,yaitu: (2, 0), 3, π 2 , (2,π),dan 1, 3π 2 .Ayokita plot empattitiktersebutkebidangsistemkoordinatkutub!
• Bentukkurvadiinterval [π/2,π] adalahcerminanbentukkurvadiinterval [0,π/2] terhadap sumbuY.
Kurvadiatas BUKAN kurva r =2+sin θ!Tapi,kurvadiatasbisamemberikitagambaran "bentukumum"kurva r =2+sin θ.Terlihatbahwakurva r =2+sin θ itusimetristerhadapsumbu Y.Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkan2halberikut.
Jikakitamenghubungkankeempattitiktersebutsecaraberurutansehinggamembentukgaris"lurus",makakitaakanmemperolehhasilsebagaiberikut.
• Bentukkurvadiinterval [π, 3π/2] adalahcerminanbentukkurvadiinterval [3π/2, 2 ] terhadap sumbuY.
,
, π 3 .Ayokita
◦
,
◦ ,
40 6.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR3
Berdasarkanperhitungandiatas,kitamendapatkantigakoordinattitik,yaitu: 5 2 , π 6 2, 7 , π 4 dan 2 85 plot ketigatitiktersebutkebidangsistemkoordinatkutub!
θ = π/6=30◦ θ = π/4=45◦ θ = π/3=60◦ sin θ 1/2 √2/2 √3/2 r =2+sin θ 5/2 4+√2 2 4+√3 2 ≈ 4+1,4 2 = 5,4 2 =2, 7 ≈ 4+1,7 2 = 5,7 2 =2, 85 KoordinatTitik (r,θ) 5 2 , π 6 2, 7 , π 4 2, 85 , π 3
π
,
◦
Selanjutnya,ayokitatentukanbeberapatitikdiinterval [0,π/2].Supayagampang,kitatentukan titikyangberhubungandengansudut-sudutistimewa,yaitu π/6=30 π/4=45 ,dan π/3=60 Hasilnyaadalahpadatabeldibawahini.
41
Jikakitamenghubungkantitik-titikdiinterval [0,π/2] secaraberurutansehinggamembentukgaris "lurus",makakitaakanmemperolehhasilsebagaiberikut.
Nahini!Wujudkurva r =2+sin θ diinterval [0,π/2] sudahmulaiterlihatwujudnya.Karena garislurusdisistemkoordinatkutubitu"melengkung",makawujud"mulus"kurvatersebutadalah sepertidibawahini.
Kitamemperolehkoordinattitik 2, 7 yangmerupakancerminantitik 2, 7 , 4 terhadapsumbu
Ingatbahwasudut-sudutistimewadiinterval [π/2,π] ⇐⇒ [90◦ , 180◦] adalahsebagaiberikut. 90 +30 =120 6 2 3
π
π
◦ π
π
π
=
◦
=
Sebagaimanayangdisinggungdiatas,karenabentukkurva r =2+sin θ diinterval [π/2,π] adalah cerminanbentukkurvadiinterval [0,π/2] terhadapsumbuY,makakitadenganmudahdapatmenentukankoordinattigatitikyangdilewatikurva r =2+sin θ diinterval [π/2,π]
Y . Berdasarkanperhitungandiatas,kitamendapatkantigakoordinattitik,yaitu:
42 6.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR3
◦ π 2 + π 6 = 3π + π 6 = 4π
, 3π 4
. 2.
π
=
◦
◦
1.
π
π
π
2, 7 , 3π 4 ,dan 5 2 , 4π 3 .Ayokita
Eee...supayalebihcepat,sekaliansajakitahubungkantitik-titikdiinterval [π/2,π] secaraberurutansehinggamembentukgarislurussesuaikaidahsistemkoordinatkutub.
Kitamemperolehkoordinattitik 5 2 , 5 6 yangmerupakancerminantitik 5 2 , π 6 terhadap sumbu 2, 85 , 2 3 , plot ketigatitiktersebutkebidangsistemkoordinatkutub!
Y 3. 90◦ +60◦ =150◦ π 2 + π 3 = 3π +2π 6 = 5π 6
Kitamemperolehkoordinattitik 2, 85 , 2π 3 yangmerupakancerminantitik 2, 85 , π 3 terhadapsumbu Y 90 +45 =135 2 + 4 2 + 4 3 4
◦
43
)=0
Selanjutnya,kitaakanmencarikoordinattitik-titikyangdilewatiolehkurva r =2+sin θ diinterval [π, 3π/2].Supayamudah,kitaakanmencarititik-titikyangberhubungandengansudutistimewadi interval [0,π/2] sekaligusmemanfaatkanidentitastrigonometri sin(α + β)=sin(α) · cos(β)+sin(β) · cos(α sin(π dan cos(π)=
1! 1. 180◦ +30◦ =210◦ 2π 2 + π 6 = 6π + π 6 = 7π 6 sin 7π 6 =sin π + π 6 =sin(π) · cos π 6 +sin π 6 · cos(π) =0 cos π 6 +sin π 6 1= sin π 6 = 1 2 2. 180◦ +45◦ =225◦ 2π 2 + π 4 = 4π + π 4 = 5π 4 sin 5π 4 =sin π + π 4 = sin π 4 = √2 2 3. 180◦ +60◦ =240◦ 2π 2 + π 3 = 6π +2π 6 = 8π 6 = 4π 3 sin 4π 3 =sin π + π 3 = sin π 3 = √3 2
).Ingatbahwa
π
44 6.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR3 θ =7π/6=210◦ θ =5π/4=225◦ θ =4π/3=240◦ sin θ -1/2 √2/2 √3/2 r =2+sin θ 4/2-1/2 4 √2 2 4 √3 2 =3/2 ≈ 4 1,4 2 = 2,6 2 =1, 3 ≈ 4 1,7 2 = 2,3 2 =1, 15 KoordinatTitik (r,θ) 3 2 , 7π 6 1, 3 , 5π 4 1, 15 , 4π 3
π
π
Eee...supayalebihcepat,sekaliansajakitahubungkantitik-titikdiinterval [π, 3π/2] secaraberurutansehinggamembentukgarislurussesuaikaidahsistemkoordinatkutub.
Berdasarkanperhitungandiatas,kitamendapatkantigakoordinattitik,yaitu: 3 2 , 5 6 , 1, 3 , 5 4 , dan 1, 15 , 4 3 .Ayokita plot ketigatitiktersebutkebidangsistemkoordinatkutub!
π 4
1, 3 , 5π 4 ter-
, 5π 3
Ingatbahwasudut-sudutistimewadiinterval [3π/2, 2 ] ⇐⇒ [270 , 360 ] adalahsebagaiberikut.
Y 2. 270◦ +45◦ =315◦ 3π 2 + π 4 = 6π + π 4 = 7π 4
3 2 , 7π 6 terhadapsumbu Y Berdasarkanperhitungandiatas,kitamendapatkantigakoordinattitik,yaitu: 1, 15 , 5π 3 , 1, 3 , 7π 4 ,dan 3 2 , 11π 6 .Ayokita plot ketigatitiktersebutkebidangsistemkoordinatkutub! Eee...supayalebihcepat,sekaliansajakitahubungkantitik-titikdiinterval [3π/2, 2π] secara berurutansehinggamembentukgarislurussesuaikaidahsistemkoordinatkutub.
Kitamemperolehkoordinattitik , 3 , 7 yangmerupakancerminantitik hadapsumbu yangmerupakancerminantitik
1
1. 270◦ +30◦ =300◦ 3π 2 + π 6 = 9π + π 6 = 10π 6 = 5π 3
1
π
Sebagaimanayangdisinggungdiatas,karenabentukkurva r =2+sin θ diinterval [π, 3π/2] adalahcerminanbentukkurvadiinterval [3π/2, 2π] terhadapsumbuY,makakitadenganmudah dapatmenentukankoordinattigatitikyangdilewatikurva r =2+sin θ diinterval [3π/2, 2π]
◦
Kitamemperolehkoordinattitik , 15 yangmerupakancerminantitik 1, 15 , 4π terhadapsumbu
Y . 3. 270◦ +60◦ =330◦ 3π 2 + π 3 = 9π +2π 6 = 11π 6 Kitamemperolehkoordinattitik 3 2 , 11π 6
45
3
◦
UjianTengahSemester SoalNomor4
Ayokitaperhatikanbentuklimitpadasoalsebagaimanadibawahini!
Soal Tentukannilailimitberikut(jikaada).MahasiswatidakdiperkenankanmenggunakanaturanL’Hospital.
7
(a) lim x→1 3 √x 1 √x +3 2 (b) lim x→ π 2 1+sin x π 2 x cos x
Terusterang,akusihnggaksukadengansukuakar √x +3 yangadadibagianpenyebut.Karena itu, "naluri"Kalkulus-ku yangmasih ecek-ecek inimemberiideuntuk memusnahkan suku √x +3 daribagianpenyebut.Caranyaadalahdenganmengalikanbagianpembilangdanpenyebutdengan √x +3+2.Hasilnyasepertiinideh.
47
AyoKerjakan!
lim x→1 3 √x 1 √x +3 2
Soal(a)
Dikerjakan
Sepertinyamemusnahkan √x +3 daribagianpenyebutadalah ideburuk.
Siapatahulahyaaa!Nggakjodohdengan √x +3,tapimalahjodohdengan 3 √x.Yanggak?
Woooaduh!
48 7.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR4 lim x→1 3 √x 1 √x +3 2 =lim x→1 3 √x 1 √x +3 2 · √x +3+2 √x +3+2 =lim x→1 ( 3 √x 1)(√x +3+2) (√x +3)2 22 =lim x→1 3 √x√x +3 √x +3+2 3 √x 2 x 1
Modyarorakowe?NaluriKalkulus-ejebulbozoktenan!
Sepertinyapula,memusnahkan 3 √x daribagianpembilangujung-ujungnyajugaadalah ideburuk
Lha,terusgimanainisoalmaudikerjakan?
Mentalhealth jadi insecure sehabismengalikanbagianpembilangdanpenyebutdengan √x +3+2! Bentuklimitnyakokmalahjadi"aduhai" sekaleee!?
Ooo...tenangFerguso!Kitamasihpunyajuruslainyangtidaklainadalah substitusivariabel! Pilihansubstitusinya: y = √x +3 atau y = 3 √x.Eh,pilihansubstitusiitusukuyangrumit-rumit dong!
Setelahdipikir-pikirbarangsebentar,substitusiyangdipilihadalah y = 3 √x.Kenapa?Karena 3 √x itukanakarpangkattiga,termasuksukuyangbikin ilfeel.Substitusi y = √x +3 tidakdipilih karenatadidiatasitukitasudahpunya heartbreakingmemories dengansuku √x +3
49
lim x→1 3 √x 1 √x +3 2 =lim y→1 y 1 y3 +3 2
Oke!Sekarangkitasubstitusikan y = 3 √x.Dengankatalain, y3 = x
Selainitu,untuk x → 1,kitaakanmemperoleh y = 3 √x → 1 → 1.Dengandemikianakanberlaku persamaanberikut.
Wahini!
Pemberitahuan Carauntukmemfaktorkan y3 1 menjadi (y 1)(y2 + y +1) dapatdilihatpadababekstrapada akhirbabini.
Setelahmelihatbentuk y 1 y3 +3 2 ,sepertinyabolehdicobauntukmengalikanbagianpembilang danpenyebutdengan y3 +3+2 untukmemusnahkansuku y3 +3 daribagianpenyebut.Okelah! Marikitacobalupakansejenak badmemories diawalsoalini.
lim y→1 y 1 y3 +3 2 =lim y→1 y 1 y3 +3 2 · y3 +3+2 y3 +3+2 =lim y→1 (y 1) y3 +3+2 ( y3 +3)2 22 =lim y→1 (y 1) y3 +3+2 y3 +3 4 =lim y→1 (y 1) y3 +3+2 y3 1
Nah!Perhatikan!Jika y =1,maka y 1=0 dan y3 1=0.Karenaderajatpolinomial y 1 lebihkecildaripolinomial y3 1,maka y3 1 dapatkitafaktorkandengan y 1 sebagaisalahsatu faktornya.Kitaakanpunyapersamaanberikut. y3 1=(y 1)(y2 + y +1)
(y 1)!Denganbegitusuku (y 1) dapatkita"coret"daribagianpembilangdanpenyebut. Hasilnyaadalahsepertidibawah. lim y→1 (y 1) y3 +3+2 y3 1 =lim y→1 (y 1) y3 +3+2 (y 1)(y2 + y +1) =lim y→1 y3 +3+2 y2 + y +1 = lim y→1 y3 +3+2 lim y→1 y 2 + y +1 = √13 +3+2 12 +1+1 = √4+2 3 = 4 3 Jadi, lim x→1 3 √x 1 √x +3 2 =lim y→1 y 1 y3 +3 2 = 4 3 . ***
Perhatikan!Karenapersamaandiatas,makabagianpembilangdanpenyebutsama-samamemuat suku
50 7.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR4
Nah,denganmensubstitusikanpersamaan sin y + π 2 =cos y dan cos y + π 2 = sin y,maka lim y→0 1+sin y + π 2 y cos y + π 2 akanekuivalendengan lim y→0 1+cos y y sin y
Kemudian,jikakitasubstitusikannilai y =0 kepembilangdanpenyebut,makakitaakanmemperolehbentuktaktentu 0 0 .Dengandemikian,nilai lim y→0 1+cos y y sin y dapatkitacarimenggunakan aturanL’Hospital.
Dengandemikian, lim x→ π 2 1+sin x π 2 x cos x akanekuivalendengan lim y→0 1+sin y + π 2 y cos y + π 2 .
51
Selanjutnya,ayokitajabarkan sin y + π 2 dan cos y + π 2 ! • sin y + π 2 =sin y cos π 2 +cos y sin π 2 =sin y 0+cos y 1=cos y • cos y + π 2 =cos y cos π 2 sin y sin π 2 =cos y 0 sin y 1= sin y
Umumnyakitabakal stuck untukmengubahbentuk lim y→0 1+cos y y sin y menjadibentukyangmudah untukdiselesaikandikarenakanbentuklimitnyasudah"terlihat"sangatsederhana.Iyanggak?
Sekarangayokitacarinilai lim x→ π 2 1+sin x π 2 x cos x !
Soal(b)
Akantetapi,karenasoalmelarangkitauntukmenggunakanaturanL’Hospital,makakitaharus mencaricaralain.Hadeh...
....
Perhatikan!Karenabagianpembilangmemuat π 2 x ,makaayokitasubstitusikan π 2 x = y supayabentuknyamenjadilebihsederhana.Dengandemikian,kitaakanmemperoleh x = y + π 2 dan ketika x → π 2 ,makaakanberlaku y → 0.
Setelahsekiansubstitusi,terlihatbahwabentuklimitmenjadijauhlebihsederhanadibandingkan bentukawalnyayaitu, lim x→ π 2 1+sin x π 2 x cos x .
Perhatikanbahwasebagiandarikitamungkintidakakanmenyangkabahwabentuk lim y→0 1 cos y y sin y dapatdiubahmenjadibentuklaindenganmengalikanpembilangdanpenyebutdengan 1+cos y.Ingat!Karena y → 0,maka 1+cos y akan → 2.Dengandemikian, 1+cos y 1+cos y =0.
Ingat!Berdasarkansifatlimit lim x→a f (a) g(a)=lim x→a f (a) lim x→a g(a),maka lim y→0 sin y sin y y sin y (1+cos y) akanmenjadisepertidibawahini.
Berdasarkanidentitastrigonometri,diketahuibahwauntuksemua y ∈ R,berlaku sin2 y +cos2 y = 1.Dengankatalain, 1 cos2 y =sin2 y.Ayokitasubstitusikanpersamaan 1 cos2 y =sin2 y ke lim y→0 1 cos2 y y sin y (1+cos y) ! lim y→0 1 cos2 y y sin y (1+cos y) =lim y→0 sin2 y y sin y (1+cos y) =lim y→0 sin y sin y y sin y (1+cos y)
lim y→0 1+cos y y sin y =lim y→0 1+cos y y sin y 1 1 =lim y→0 1 cos y y sin y
ApakahdengandemikiankitamenyerahtelakpadaaturanL’Hospital?Hahaha.
Setelahbagianpembilangdanpenyebutkitakalikandengan 1,bentuklimitterlihatlebihsedap untukdipandang.Perhatikanbahwadibagianpembilangmemuat 1 cos y!Bagiyang sudahsangat jeli, 1 cos y inibisakitabawakebentuk"alternatif".
lim y→0 sin y sin y y sin y (1+cos y) =lim y→0 sin y y · lim y→0 sin y sin y · lim y→0 1 1+cos y
lim y→0 1 cos y y sin y =lim y→0 1 cos y y sin y 1+cos y 1+cos y =lim y→0 1 cos2 y y sin y (1+cos y)
52 7.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR4
Oke!Sebagailangkahawalkitauntukmenyelesaikansoallimitinitanpamenggunakanaturan L’Hospital,marikita enyahkan hal-halsekiranya"menganggu"bentuklimityangterlihatsangat sederhanatersebut.Misalnya,dibagianpenyebutkanadasimbolnegatiftuh.Olehsebabitu,mari kitakalikanpembilangdanpenyebutdengan 1 untukmengenyahkansimbolnegatifdaripenyebut.
Nah,karena: lim y→0 sin y y =1, lim y→0 sin y sin y =1 (Ingat! y → 0 bukanberarti y =0,melainkannilai y sangatdekatdengan 0, dengandemikian sin y =0 danakibatnya sin y sin y = 0 0 , lim y→0 1 1+cos y = 1 1+1 = 1 2 makakitaakanmemperolehhasilakhirsebagaiberikut. y→0 sin y y lim y 0 sin y sin y lim y→0 1 1+cos y =1 1 1 2 = 1 2
x
→
•
•
53
•
.
Jadi,berdasarkanuraianpanjangdiatas,kitabisamenyimpulkanbahwa lim → π 2 1+sin x 2 x cos x = 1 2
π
lim
54 7.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR4
UjianTengahSemester
8
Karenaberlaku p(1)= h(1)=0 sertaderajat h(y) lebihkecildariderajat p(y),maka p(y) dapat difaktorkandengan h(y) sebagaisalahsatufaktornya,yaitu p(y)= h(y) r(y) untuksuatupolinomial r(y)
Penjelasan
Perhatikanbahwaselisihderajatpolinomial p(y) dan h(y) adalah2(karena 2=3 1).Dengan demikian,kitabisamenyimpulkanbahwapolinomial r(y) memilikiderajat2.Dengandemikianpula, kitadapatmenyatakanpolinomial r(y) sebagai r(y)= ay2 + by + c untuksuatu a,b,c ∈ R
PenjelasanTambahan2
Caramemfaktorkan y3 1 menjadi (y 1)(y2 + y +1).
Dengandemikianberlakupersamaanberikut.
Ekstra!
55
Kitamisalkan p(y)= y3 1 dan h(y)= y 1.Polinomial p(y) memilikiderajat3danpolinomial h(y) memilikiderajat1.
Tentang
SoalNomor4
makakitabisamenyimpulkantigahalberikut.
⇐⇒ y 3 1= ay 3 + by2 ay 2 + cy by c
1. a =1
3. c =1
56 8.EKSTRA!PENJELASANTAMBAHAN2UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR4
Dengandemikian,polinomial r(y)= ay2 + by + c dapatkitanyatakansebagai r(y)= y2 + y +1
Jadi,diperolehpemfaktoran y3 1=(y 1)(y2 + y +1)
2. b a =0.Karena a =1,maka b =1.
y3 +0 · y2 +0 · y 1= ay3 +(b a)y2 +(c b)y c
Nah,berdasarkanpersamaan
⇐⇒ y 3 1= ay 3 +(b a)y 2 +(c b)y c
p(y)= h(y) · r(y) ⇐⇒ y 3 1=(y 1)(ay 2 + by + c)
⇐⇒ y 3 1= ay 3 + by2 + cy ay 2 by c
⇐⇒ y 3 +0 · y 2 +0 · y 1= ay 3 +(b a)y 2 +(c b)y c
Tentukannilaibilanganreal a +2b,jikadiketahui f kontinupada R,dengan f (x)= (x +3) 1 x2 +2x , x< 2 a bx , 2 ≤ x ≤ 1 1 cos(x 1) x3 1 , x> 1 Berikanjawabandenganpenjelasanyangsejelas-jelasnya!
Dikerjakan
piecewise
Berdasarkandefinisipadasoal,terlihatbahwafungsi adalah fungsi dengan3subfungsidan2 +2 dengan(sub)domainnyaadalah dengan(sub)domainnyaadalah cos(x 1) dengan(sub)domainnyaadalah
f
x< 2 • Subfungsiyangkeduaadalah f2(x)= a bx
2 ≤ x ≤ 1 • Subfungsiyangketigaadalah f3(x)= 1
breakpoint sebagaiberikut. • Subfungsiyangpertamaadalah f1(x)=(x +3) 1 x2
x
x3 1
9 AyoKerjakan! UjianTengahSemester SoalNomor5
Soal
x> 1 57
58 9.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR5
1. Subfungsipertamaterdefinisidenganbaikdi(sub)domain x< 2.Sebabnya,nilai x2 +2x tidak akanpernah0untuksebarang x< 2.Lha,kalau x2 +2x =0,nantijadinya 1 x2 +2x tidak terdefinisidong!
DefinisiFungsi f Kontinupada R Suatufungsi f dikatakan kontinupada R jikadanhanyajikafungsi f kontinudisebarang α ∈ R Suatufungsi f dikatakankontinudi α ∈ R,jikadanhanyajikamemenuhiempatsyarat berikut.
Nah!Berdasarkantigapoindiatas,kitaakanmengungkaphal-halyang mizteriuz,yangtidaklain adalahnilaivariabel a dan b.Untukitu,kitaakanmemanfaatkanhalyangdiketahuipadasoal,yaitu fungsi f kontinudi R.
3. Subfungsikedua masihbelumjelaswujudnya karenamemuatvariabel a dan b yangnilainya masih mizteriuz.Akantetapi,jikadiperhatikansecarasaksama,subfungsikeduainiadalah fungsilinear.Kitatahubahwafungsilinearterdefinisidenganbaikdihimpunanbilanganreal. Masalahnyaya...fungsilinearinimemuatvariabel a dan b yangnilainyamasih mizteriuz
Berdasarkanempatpoindiatas,kitadapatmenyimpulkantigahalberikut.
Ayo!Ingatlagidefinisifungsikontinuberikut.
• Breakpoint fungsi f adalahtitik x = 2 dan x =1
1. Nilai f (α) ada(terdefinisidenganbaik), 2. Nilailimitkirifungsi f di α lim x→α f (x) ada, 3. Nilailimitkananfungsi f di α lim x→α+ f (x) ada,dan 4. Berlakupersamaan f (α)=lim x→α f (x)=lim x→α+ f (x)
2. Subfungsiketigaterdefinisidenganbaikdi(sub)domain x> 1.Sebabnya,nilai x3 1 tidakakan pernah0untuksebarang x> 1.Lha,kalau x3 1=0,nantijadinya 1 x3 1 tidakterdefinisi dong!
Ingat!Fungsi f adalahfungsi piecewise!
Oke!
Fungsi f (x) kontinudi x = 2 dan
Fungsi f (x) kontinudi x =1 ***
59
Kitamulaidenganmemanfaatkansifatbahwafungsi f (x) kontinudi x = 2 untukmencarinilai variabel a dan b.Berdasarkandefinisididalamkotakkuning,karenafungsi f (x) kontinudi x = 2, makaakanberlakuempatpoinberikut.
Berdasarkandefinisidiatas,karenafungsi f kontinudi R,makafungsi f kontinudisebarang x ∈ R, TERMASUK di breakpoint fungsi f ,yaitudi x = 2 dan x =1.Dengandemikian,diketahui2sifatberikutyangsudahpastidijaminkebenarannya:
1. Nilai f ( 2) ada(terdefinisidenganbaik),
2. Nilailimitkirifungsi f di 2 lim x→−2 f (x) ada,
3. Nilailimitkananfungsi f di 2 lim x→−2+ f (x) ada,dan
4. Berlakupersamaan f ( 2)=lim x→−2 f (x)=lim x→−2+ f (x).
Olehsebabitu,berdasarkandefinisifungsi f ,makasubfungsi f disekitar 2 tidaklainadalah subfungsipertamadankeduasebagaimanaberikut. f (x)= (x +3) 1 x2 +2x , x< 2 a bx , 2 ≤ x ≤ 1
60 9.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR5
Terlihatbahwanilai f ( 2) inimasih ambigu karenamemuatvariabel a dan b yangnilainyamasih mizteriuz.Olehsebabitu,ayokitamencarisedikit"pencerahan"denganmenyelidikipoinnomor2.
Hmmm...bau-baunyainilimitbisadikerjakanpakaiaturanL’Hospitalnih!
Ayokitacarinilai lim x→−2 (x +3) 1 x2 +2x !
#2.KarenaPoinNomor2BerlakuBenar.
Eh,disoalnggakadalaranganmenggunakanaturanL’Hospitaltoh?
Pertama-tama,ayokitasubstitusikannilai x = 2 ke (x +3) 1 x2 +2x ! ( 2+3) 1 ( 2)2 +2( 2) =1 1 4 4 =1 1 0 =1∞
#1.KarenaPoinNomor1BerlakuBenar.
Berdasarkanpoinnomor2,diketahuibahwalimitkirifungsi f di 2 lim x→−2 f (x) ada.Untuk mencarinilailimitkirifungsi f di 2,makasubfungsi f yangbersesuaianadalahsubfungsipertama, yaitu f1(x)=(x +3) 1 x2 +2x
Berdasarkanpoinnomor1,diketahuibahwanilai f ( 2) ada(terdefinisidenganbaik).Berdasarkan definisisubfungsi f diatas,kitamemperolehhasilini.
f ( 2)= a b( 2)= a +2b
Weh!
Perhatikanbahwapersamaandiatasakanekuivalendenganpersamaanini. lim x→−2 ln(x +3) x2 +2x =ln(L)
Kemudian,denganmenggunakansifatlimitlogaritma,akandiperolehhasilini. lim x→−2 ln (x +3) 1 x2 +2x =ln(L)
ln
Kemudian,denganmenggunakansifatlogaritma,akandiperolehhasilini. lim x→−2 1 x2 +2x · ln(x +3)=ln(L)
61
Oke!
Misalkannilai lim x→−2 (x +3) 1 x2 +2x adalah L.Dengandemikiankitaakanpunyapersamaan berikut.
Kemudian,denganmelogaritmanaturalkankeduasisipersamaan,akandiperolehhasilini. lim x→−2 (x +3) 1 x2 +2x =ln(L)
lim x→−2 (x +3) 1 x2 +2x = L
Jikakitasubstitusikannilai x = 2 ke ln(x +3) x2 +2x ,makaakandiperolehhasilsebagaiberikut. ln( 2+3) ( 2)2 +2( 2) = ln(1) 4 4 = 0 0
Perhatikanbahwa lim x→−2+ f (x)=lim x→−2+ a bx = a b ( 2)= a +2b = f ( 2)
Jadi, lim x→−2+ f (x)= f ( 2).
62 9.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR5
Berdasarkanpoinnomor3,diketahuibahwalimitkananfungsi f di 2 lim x→−2+ f (x) ada.Untuk mencarinilailimitkananfungsi f di 2,makasubfungsi f yangbersesuaianadalahsubfungsikedua, yaitu f2(x)=(a bx)
#3.KarenaPoinNomor3BerlakuBenar.
Eh,ingatbahwa lim x→−2 ln(x +3) x2 +2x =ln(L)!Dengandemikianberlakupersamaanini. ln(L)= 1 2
KarenadisoaltidakadalaranganpenggunaanaturanL’Hospital,jadiayokitacarinilai lim x→−2 ln(x +3) x2 +2x menggunakanaturanL’Hospital!Perhatikanpenjabarandibawah!
lim x→−2 ln(x +3) x2 +2x =lim x→−2 d dx (ln(x +3)) d dx (x2 +2x) =lim x→−2 1 x+3 · 1 2x +2 = 1 2+3 2 · ( 2)+2 = 1 1 4+2 = 1 2
Jadi, lim x→−2 (x +3) 1 x2 +2x = e 1/2 .
Dengankatalain L = e 1/2
Yes! Ketemubentuktaktentu 0/0!
Dengandemikiankitamemperolehhasilberikut. lim x→−2 ln(x +3) x2 +2x = 1 2
1
Berdasarkanpoinnomor1,diketahuibahwanilai f (1) ada(terdefinisidenganbaik).Berdasarkan definisisubfungsi f diatas,kitamemperolehhasilini.
Kitaakanmemanfaatkansifatbahwafungsi f (x) kontinudi x =1 untukmencarinilaivariabel a dan b.Berdasarkandefinisididalamkotakkuning,karenafungsi f (x) kontinudi x =1,makaakan berlakuempatpoinberikut.
#1.KarenaPoinNomor1BerlakuBenar.
4. Berlakupersamaan f (1)=lim x→1 f (x)=lim x→1+ f (x).
63
f
a
,
2. Nilailimitkirifungsi f di 1 lim x→1 f (x) ada,
*** Next
1. Nilai f (1) ada(terdefinisidenganbaik),
Ingat!Fungsi f adalahfungsi piecewise!
⇐⇒
Berdasarkanpoinnomor4,kitaakanmemperolehpersamaanberikut. ( 2)=lim x→−2 f (x)=lim x→−2+ f (x) a +2b = e 1/2 ...(HASIL1) !
3. Nilailimitkananfungsi f di 1 lim x→1+ f (x) ada,dan
#4.KarenaPoinNomor4BerlakuBenar.
f
Olehsebabitu,berdasarkandefinisifungsi f ,makasubfungsi f disekitar 1 tidaklainadalah subfungsikeduadanketigasebagaimanaberikut. (x)= bx 2 ≤ x ≤ 1 cos(x 1) x3 1 , x> 1
Berdasarkanpoinnomor2,diketahuibahwalimitkirifungsi f di 1 lim x→1 f (x) ada.Untuk mencarinilailimitkirifungsi f di 1,makasubfungsi f yangbersesuaianadalahsubfungsikedua, yaitu f2(x)= a bx
Terlihatbahwanilai f (1) inimasih ambigu karenamemuatvariabel a dan b yangnilainyamasih mizteriuz.Olehsebabitu,ayokitamencarisedikit"pencerahan"denganmenyelidikipoinnomor2.
Berdasarkanpoinnomor3,diketahuibahwalimitkananfungsi f di 1 lim x→1+ f (x) ada.Untuk mencarinilailimitkananfungsi f di 1,makasubfungsi f yangbersesuaianadalahsubfungsiketiga, yaitu f3(x)= 1 cos(x 1) x3 1
Weh!
Pertama-tama,ayokitasubstitusikan x =1 ke 1 cos(x 1) x3 1 ! 1 cos(1 1) 13 1 = 1 cos0 1 1 = 1 1 0 = 0 0
Jadi, lim x→1+ f (x)= f (1).
f (1)= a b(1)= a b
#2.KarenaPoinNomor2BerlakuBenar.
Berhubungnilai f (1) dan lim x→1+ f (x) samimawon,jadiayokitalanjutmencari"pencerahan"denganmenyelidikipoinnomor3.
#3.KarenaPoinNomor3BerlakuBenar.
Ayokitacarinilai lim x→1+ 1 cos(x 1) x3 1 !
Perhatikanbahwa lim x→1+ f (x)=lim x→1+ a bx = a b · (1)= a b = f (1)
64 9.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR5
#4.KarenaPoinNomor4BerlakuBenar.
! Jelaslah!Karenapersamaan a
Berdasarkanpoinnomor4,kitaakanmemperolehpersamaanberikut. HASIL1 dan HASIL2 diatas,kitamendapatkanduapersamaanberikut. dan b Yey b =0,makadapatdisimpulkanbahwa a = b.Dengandemikian persamaan akanmenjadisepertiini.
!
a +2b = e 1/2
f ( 2)=lim x→1 f (x)=lim x→1+ f (x) ⇐⇒ a b =0 ...(HASIL2) *** Oke! Dari
a +2b = e 1/2 ⇐⇒ a +2a = e 1/2 ⇐⇒ 3a = e 1/2 ⇐⇒ a = e 1/2 3 = b
65 Yes! Ketemubentuktaktentu 0/0.Dengandemikian,ayokitacarinilai lim x→1+ 1 cos(x 1) x3 1 menggunakanaturanL’Hospital. lim x→1+ 1 cos(x 1) x3 1 =lim x→1+ d dx (1 cos(x 1)) d dx (x3 1) =lim x→1+ 0 ( sin(x 1) · 1) 3x2 0 =lim x→1+ sin(x 1) 3x2 = sin(1 1) 3 (1)2 = sin0 3 = 0 3 =0 Jadi, lim x→1+ 1 cos(x 1) x3 1 =0.
1. a +2b = e 1/2 2. a b =0 Denganduapersamaandiatas,kitadapatdenganmudahmenentukannilaivariabel a
f (x)= (x +3) 1 x2 +2x , x< 2 e 1/2 3 e 1/2 3 x , 2 ≤ x ≤ 1 1 cos(x 1) x3 1 , x> 1 Weits!
Oh,sekadarmemberitahu: e 1/2 = e 1/2 1 = √e 1 = 1 √e .
e
3
3 = 3 e
Dengandemikian,definisisempurnafungsi f setelahke-mizteriuz-annilaivariabel a dan b berhasildiungkapadalahsebagaiberikut.
Pengerjaansoalbelumsahselesaisampaidisini!
Karenasoalmemintakitamenentukannilaibilanganreal a +2b,makayaayokitalanjutkan denganmelakukanprosesperhitunganyangsederhanaini. +2b = 1/2 +2 e 1/2 1/2 1/2 Jadi, a +2b = e 1/2
3 = e
Selesaideh!
66 9.AYOKERJAKAN!UJIANTENGAHSEMESTERSOALNOMOR5
a
Tunggudulu Ferguso!
.
Soal
AyoKerjakan!
(b) Tentukannilaidari
lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 jikaada!
67
UjianAkhirSemester SoalNomor1
(a) Diketahui a ∈ R sehingga
10
lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 ada(berhingga).Tentukannilailimitdiatas!
68 10.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
Hmmm....
Hmmm....
Apapunitu,ayokitacobamencaritahunilailimitdiatasdengantetapmempertahankan "kemisteriuzan" nilai a.Sebagailangkahawal,marikitasederhanakanbentuk ax sec x tan x yangsepertinya kurangsedapdipandang. Dengandemikiankitaakanmemperolehpersamaanberikut.
Dikerjakan
Perhatikanbahwasoal tidakmemerintahkankitauntukmencarinilai a!
Kitamendapatkanbentuktaktentu MumpungdisoaltidakadalaranganpenggunaanaturanL’Hospital.
Iniartinyaadalah a ∈ R sudah dijaminpastieksistensinya!
Soal(a)
Diketahui a ∈ R sehingga lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 ada(berhingga).
Jadi,kalaumaumencarinilai a ituyapilihanhidup,bukankewajiban.
Eh,ataumungkinmaudengancara"tebak-tebakan"?Substitusikansaja 0, 1, 1,dansebagainya sebagainilai a,kemudiandicobauntukmencarinilailimitnya.
0/0,denganbegitumarikitagunakanaturanL’Hospital.
Pertanyaanyangumummunculadalah, "Lha,terusnilaiaituapadong?"
Syukur-syukur,nilai a ketemudantidakmenyitabanyakwaktupengerjaansoalujian.
ax sec x tan x = ax · 1 cos x sin x cos x = ax sin x cos x
lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 =lim x→0 ax sin x cos x · (ax3 +8x4 10x5) Selanjutnya,kitacobamensubstitusikannilai x =0 ke ax sin x cos x (ax3 +8x4 10x5) a · 0 sin0 cos0 (a 03 +8 04 10 05) = 0 0 1 (a 0+8 0 10 0) = 0 1 0 = 0 0
Kasarnya,kalaudarioroktidakberbakatmatematika,yamengerjakansoallimitinisangat menyitawaktu.
ax sec x tan x x ax2 +8x3 10x4 atau ax sec x tan x x2 ax +8x2 10x3 atau ax sin x cos x ax3 +8x4 10x5 atau ax sin x x cos x ax2 +8x3 10x4 danmasihbanyaklagi.
Akusendiributuhwaktusekitarduamingguuntukmenyelesaikanlimitini.Waktunyalama, mungkinkarenaakusudahlamanggakbelajarmatematikadansebatasdikerjakansambil ngendog di toilet.Kalausetiapharibelajarmatematika,mungkinbisalebih sat-set mengerjakanlimitini.
Wooolha...
=lim x→0 d dx (ax sin x) d dx cos x (ax 3 +8x 4 10x 5)
Padapraktiknya,mengerjakansoalini sangatmenyitawaktu.Apalagikalaukitatidakdiberkati dengansemacamkelebihan "inderaketujuh" yangmemungkinkankitauntukmelihatbentuktak tentulimityangpalingsederhana.
69 lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 =lim x→0 ax sin x cos x (ax3 +8x4 10x5)
Satu-satunyacarauntukmenyelesaikanlimitiniyadenganmencobasatupersatubentuktak tentu0/0sepertidiatasitu.Syukur-syukurketemubentuktaktentu0/0yangsederhana.
=lim x→0 a cos x sin x · (ax3 +8x4 10x5)+cos x · (3ax2 +32x3 50x4)
Hmmm....
Masalahnya,setelahdielaborasipanjang,kitabisamembuatberbagaimacambentuktaktentu 0/0 seperti
Malahbentuklimitnyajadimakinmumet!Malesdehngerjainnya.
Yangjelas, lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 ini"bau-baunya"dikerjakanpakaiaturanL’Hospital.
Kembalike (P1)!Kitaakanmendapatkanpersamaanberikut. lim x→0 ax sin x x3 · lim x→0 1 cos x · (a +8x 10x2) = 1 a · lim x→0 ax sin x x3 ...(P2)
Kemudian,kitapisahkanbentuklimittunggaltersebutmenjadiperkalianlimitduafungsirasional sebagaiberikut.
lim x→0 ax sin x cos x · (ax3 +8x4 10x5) =lim x→0 ax sin x cos x · x3 · (a +8x 10x2)
Oke,diperoleh lim x→0 1 cos x (a +8x 10x2) = 1 a .
70 10.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
Diawaltadikankitapunyapersamaan
Nah,sekarangkitafaktorkan x3 dari ax3 +8x4 10x5.Dengandemikiankitaakanmemperoleh persamaanini.
lim x→0 ax sin x cos x · x3 · (a +8x 10x2) =lim x→0 ax sin x x3 · lim x→0 1 cos x · (a +8x 10x2) ...(P1)
Kitakerjakan lim x→0 1 cos x · (a +8x 10x2) sebagaiberikut.
lim x→0 1 cos x · (a +8x 10x2) = 1 cos0 · (a +8 · 0 10 · 02) = 1 1 · (a +0+0) = 1 a
lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 =lim x→0 ax sin x cos x · (ax3 +8x4 10x5)
Perhatian! Karenasoalsudahmeyakinkankitabahwasanya lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 ada(berhingga),makakita bisadengansangatyakinmenyatakanbahwa 1 a terdefinisidenganbaik.Dengankatalain,kitayakin bahwa a =0.
Kitalanjutmenentukan lim x→0 ax sin x x3 .Jelasbangetyabahwalimitinibisadikerjakandengan AturanL’Hospital.
Jadi,berikutinilahhasilpencerahanselama2mingguditoiletitu.
Oke!Jadi,kitatetapkan a =1 dankitakerjakan lim x→0 a cos x 3x2 menggunakanaturanL’Hospital sebagaiberikut.
Jikakitasubstitusikan x =0 ke a cos x 3x2 ,makaakandidapathasilsepertiberikut. a cos0 3 02 = a 1 0
Jikakitamenetapkan a =1,makakitaakanmemilikibentuktaktentu 0/0 pada lim x→0 a cos x 3x2 !
Nahiniiiii!
71 lim x→0 ax sin x x3 =lim x→0 d dx (ax sin x) d dx x 3 =lim x→0 a cos x 3x2
Perhatian! Karenasoalsudahmeyakinkankitabahwasanya lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 ada(berhingga),makakita bisadengansangatyakinmenyatakanbahwa lim x→0 a cos x 3x2 adadanterdefinisidenganbaik.
lim x→0 a cos x 3x2 =lim x→0 1 cos x 3x2 =lim x→0 d dx (1 cos x) d dx 3x 2 =lim x→0 sin x 6x = 1 6 lim x→0 sin x x = 1 6 1 = 1 6
Nahiniii!
Nahini!
Jadi,kitabisamenyimpulkanbahwa lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 = 1 6 dengannilai a =1. ***
Dengandemikian,diperoleh lim x→0 x sin x x3 =lim x→0 1 cos x 3x2 = 1 6 Eh,janganlupaya!Kitatadisudahmenetapkannilai a =1 Kembalike (P2)!Kitaakanmemperolehhasilsebagaiberikut. 1 a lim x→0 ax sin x x3 = 1 1 lim x→0 x sin x x3 =1 1 6 = 1 6
72 10.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
lim x→0 ax sec x tan x ax3 +8x4 10x5 =lim x→0 ax sin x cos x · (ax3 +8x4 10x5) = 1 a · lim x→0 ax sin x x3 = 1 6
Kitapunyapersamaanpanjangberikut.
Kokdiakhirikata "jikaada" segala?
Kalaulevelmentalnyasepertiitusihpantasnyamengibarkan sempak putihdekilbolong-bolong yangsudahkeseringandipakai!
Waduh....
73
Kanjadimikiryang"enggak-enggak"nih!
Tentukannilaidari lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 jikaada?
Wew!Mantap!
Tapi,dariawalkokniatnyasudahmengibarkanbenderaputih?Hanyakarenamelihatbentuk limityangberingas?Padahalsamasekalibelumdikerjakan?
Toh,inikanbukanujian.HanyasebatastulisanberformatPDF.
Keepcalmand tetap nggarap!
Bentuklimitnyasangat beringas sekaleee!
Jadipunyapikiranbahwasanyalimitnyamemangtidakadadanmembuat benderaputih semakinmantapuntukdikibarkan.
Soal(b)
Nah,daripadamengibarkan sempak yangtidakbermutu,mendingkitakerjakansaja!Kitacoba caritahuapakahnilailimitnyaada.Jangantakutmelihatbentuklimityangberingas!Kitakerjakan pelan-pelansaja.
Hmmm....
Bau-baunyabisadikerjakanpakaiaturanL’Hospitalnih! Hmmm....
• x2 x2 1 bisadiubahbentuknyamenjadi 1+ 1 x2 1
• (2 x) bisadiubahbentuknyajadi ((x 1) 1).
Berdasarkanhal-haldiatas,umumnyaakanterlintasideuntukmelakukansubstitusi: y = x 1 Karenasubstitusitersebut,ketika x → 1+ akanberakibat y → 0+.Dengandemikian,kitaakan punyapersamaanberikut. lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 =lim y→0+ ( (y 1)) ln 1+ 1 y(y +2)
Nah,darisiniumumnyabingungmaudiotak-atikmacamapalagibentuklimitnya.Sebelumotak semakin wornout lebihbaikdicobamensubstitusikannilai y =0 kebentuk ( (y 1)) ln 1+ 1 y(y +2) ( (0 1)) ln 1+ 1 0 (0+2) =1 ln 1+ 1 0 =1ln(+∞) =1+∞ 1+∞!
Hihihi!Mantap!Ketemubentuktaktentu
Sekalilagi,ayokitacermatibentuklimityangberingasitu. lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1
74 10.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
SebagaimanusiayangselamasatusemesterbergelutdenganKalkulus,umumnyadikepalaakan terlintasbeberapahalberikutketikamelihatbentuklimittersebut.
• x2 1 bisadifaktorkanmenjadi (x 1)(x +1).
Kalaudipikir-pikir,yangmembuatbentuklimitnyamenjadi beringas itukan ln 1+ 1 y(y +2) yangbertenggersebagaipangkattoh?
Apakahsubstitusi t = y 1?
Apakah t = (y 1)?
Nah,karenasubstitusi t =ln 1+ 1 y(y +2) ,makaakanterjadiekuivalensiberikut.
t =ln 1+ 1 y(y +2)
Tapi,substitusiapa?
Sepertinyasihharuspakaisubstitusilagi.Sekarangpakaivariabel t deh.
Masalahnyasekarangadalahbagaimanacaramembawabentuklimittersebutsehinggaaturan L’Hospitalbisadigunakan.
Kitacobadehpakaisubstitusi"ekstrem"untukmengenyahkanhalyangmembuatberingasitu:
75
Apakah t = 1 y(y +2) ?
Cobainsajasatu-satu,kemudianlihatsubstitusimanayangmenghasilkanbentukyang"bisadinalar"lebihlanjut.
Beenthere.Doneallofthat.Suchwasteoftimeandenergy.
Hmmm....
76 10.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
Jadi,agakmumetini.
Nah,karenasubstitusi t =ln x2 x2 1 ,makaakanterjadiekuivalensiberikut. t =ln x2 x2 1 ⇐⇒ e t = x2 x2 1
⇐⇒ e t x 2 e t = x 2 ⇐⇒ e t x 2 x 2 = e t ⇐⇒ x 2 (e t 1)= e t
Okelah!Ayokitakembalikebentukawal lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 kemudianmelakukansubstitusi: t =ln x2 x2 1
Aaaah, muchbetter!
t =ln 1+ 1 y(y +2)
⇐⇒ 1 et 1 = y(y +2)
⇐⇒ e t (x 2 1)= x 2
⇐⇒ x 2 = et et 1 ⇐⇒ x = et et 1
⇐⇒ 1 et 1 = y 2 +2y
⇐⇒ e t =1+ 1 y(y +2)
Hmmm....
⇐⇒ e t 1= 1 y(y +2)
77
Jadi,jelasyaketika x → 1+,makaakanmenyebabkan t → +∞!
Kalausecara feeling sih,nilai lim t→+∞ et et 1 t =1.Untukpenjelasanlebihjelasnya,silakan simakbabpembahasanekstrasetelahbabini. Okelah!Karena lim t→+∞ et et 1 t =1,makakitaakanmemperolehpersamaanberikut. lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 =2 lim t→+∞ et et 1 t =2 1=1. Jadi, lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 =1 Adakannilailimitnya?
Kalausulitmembayangkan,misalkankitapilih x =1, 0001 sebagai x → 1+.Perhatikanbahwa: ln x 2 x 2 1 =ln 1, 00012 1, 00012 1 =ln 1, 00020001 0, 00020001 =ln 1, 00020001 100 000 000 20.001
Dengandemikiankitapunyapersamaanberikut. lim x→1+ (2 x) ln x2 x2 1 =lim t→+∞ 2 et et 1 t =2 lim t→+∞ et et 1 t
Perhatikanbahwa,ketika x → 1+,makaakanmenyebabkan t =ln x2 x2 1 → +∞
Perhatikanbahwanilaididalamfungsi ln akansemakinbesarjikadipilihnilai x yangsemakin dekatdengan 1 darikanan.
78 10.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
11 Ekstra! PenjelasanTambahan3 UjianAkhirSemester SoalNomor1 Tentang Menentukan lim t→+∞ et et 1 t Penjelasan Perhatikanbahwa: lim t→+∞ et et 1 t =lim t→+∞ et et 1 1/2 t =lim t→+∞ et et 1 t/2 =lim t→+∞ et et 1 t 1/2 =lim t→+∞ et et 1 t = lim t→+∞ et et 1 t Sekarangkitaperhatikan lim t→+∞ et et 1 t ! lim t→+∞ et et 1 t =lim t→+∞ 1+ 1 et 1 t 79
Menggunakansifatlimitdanlogaritma,kitaakanmendapatkanpersamaanberikut.
∞
Dengandemikian,kitabisamenyimpulkanbahwa lim t→+∞ 1+ 1 et 1 t adalahbentuktaktentu 1
∞
1 et 1 → 0, 6.
Perhatikanbahwa lim t→+∞ ln 1+ 1 et 1 1/t adalahbentuktaktentu 0/0.Dengandemikiankitabisa menggunakanaturanL’Hospitalsebagaiberikut. lim t→+∞ ln 1+ 1 et 1 1/t =lim t→+∞ d dx ln 1+ 1 et 1 d dx (1/t) =lim t→+∞ 1 1+ 1 et 1 1 (et 1)2 e t 1/t2 =lim t→+∞ 1 et et 1 · 1 (et 1)2 · e t 1/t2 =lim t→+∞ t2 · et 1 et · 1 (et 1)2 · e t =lim t→+∞ t2 et 1 =lim t→+∞ t2 lim t→+∞ 1 et 1 =+∞· 0=0.
1. e> 1, 2. Jika t → +∞,maka et →∞, 3. Jika t → +∞,maka et > 1, 4. Jika t → +∞,maka (et 1) →∞, 5. Jika t →
→
ln lim t→+∞ 1+ 1 et 1 t =ln(L)
80 11.EKSTRA!PENJELASANTAMBAHAN3UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
Oke!Misalkan lim t→+∞ 1+ 1 et 1 t = L dengandemikiankitaakanmemilikipersamaan:
Perhatikanbahwa: + ,maka Jika t + ,maka 1+
1 et 1 → 1,
∞
ln lim t→+∞ 1+ 1 et 1 t =lim t→+∞ t ln 1+ 1 et 1 =lim t→+∞ ln 1+ 1 et 1 1/t
81
t→+∞
t→+∞ et et 1 t =1
dengankatalain: L =
e0 =1
Dengandemikiandiperoleh lim
1 et 1 t =0
Dengandemikiandiperoleh: ln(L)=ln lim 1+
Jadi,
lim t→+∞ et et 1 t = lim t→+∞ et et 1 t = √1=1
82 11.EKSTRA!PENJELASANTAMBAHAN3UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR1
12 AyoKerjakan! UjianAkhirSemester SoalNomor2 Soal Determine f (3),if f (x)= x2 7 if 1 ≤ x< 3 2√x2 8 if 3 ≤ x ≤ 5 Dikerjakan KitakerjakanpakaibahasaIndonesiasajaya,supayamenjelaskannyalebihgampang. Untukmenentukan f (3) kitaharusmenentukandahulunilaidari lim x→3 f (3) f (x) 3 x dan lim x→3+ f (3) f (x) 3 x Perhatikan!Karenacabangfungsi f yangbersesuaiandengan x =3 adalah f (x)=2√x2 8, maka f (3)=2√32 8=2 √1=2 83
Selanjutnya,kitaakanmenentukannilaidari lim x→3+ f (3) f (x) 3 x .Untuk x → 3+,makacabang fungsi f yangbersesuaianadalah f (x)=2√x2 8 lim x→3+ f (3) f (x) 3 x =lim x→3+ (2√32 8) 2√x2 8 3 x =lim x→3+ (2√9 8) 2√x2 9+1 3 x =lim x→3+ (2√1) 2 (x 3)(x +3)+1 3 x =2 · lim x→3+ 1 (x 3)(x +3)+1 3 x =2 · lim x→3+ 1 (x 3)(x +3)+1 3 x · 1+ (x 3)(x +3)+1 1+ (x 3)(x +3)+1 =2 · lim x→3+ 1 (x 3)(x +3)+1 3 x · 1 1+ (x 3)(x +3)+1
84 12.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR2
lim x→3 f (3) f (x) 3 x =lim x→3 2 (x2 7) 3 x =lim x→3 9 x2 3 x =lim x→3 (3 x)(3+ x) 3 x =lim x→3 3 x 3 x (3+ x) =lim x→3 3+ x =3+3 =6
Dengandemikian,kitamemperolehnilai lim x→3 f (3) f (x) 3 x =6
Kitamulaidenganmenentukannilaidari lim x→3 f (3) f (x) 3 x .Untuk x → 3 ,makacabangfungsi f yangbersesuaianadalah f (x)= x2 7
85
...lanjutan... =2 · lim x→3+ (3 x)(x +3) 3 x · 1 1+ (x 3)(x +3)+1 =2 lim x→3+ x +3 1+ (x 3)(x +3)+1 =2 3+3 1+ (3 3)(3+3)+1 =2 6 1+ √0 6+1 =2 6 2 =6
Dengandemikian,kitamemperolehnilai lim x→3+ f (3) f (x) 3 x =6
Berdasarkanpenjabarandiatas,karena lim x→3 f (3) f (x) 3 x =lim x→3+ f (3) f (x) 3 x =6,makakita dapatmenyimpulkanbahwa f (3)=6.
86 12.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR2
sin y +cos x + xy3 =0.
sin y +cos x + xy3 =0 ⇐⇒ d dx sin y +cos x + xy 3 = d dx (0)
⇐⇒ d dx sin y +cos x + xy 3 =0
Tentukan d2y dx2 jikadiketahui
Kitaharusmencari dy dx terlebihdahulusupayabisamenentukan d2y dx2 .Jadi,ayokitacari dy dx !
13
Dikerjakan
UjianAkhirSemester SoalNomor3
Karena d dx (0)=0,makakitaakanmemperolehpersamaanberikut.
AyoKerjakan!
Soal
Untukmencari dy dx kitadiferensialkankeduaruaspersamaan sin y +cos x + xy3 =0 terhadap variabel x sebagaimanaberikut.
87
d dx (cos x)= sin x
Selanjutnya,kitapindahkansuku-sukuyangtidakmengandungperkaliandengan dy dx keruaskanan persamaan.Hasilnyaadalahsebagaiberikut.
= x · d dy y 3 · dy dx + y 3 · 1 = x · 3y 2 · dy dx + y 3 =3xy 2 dy dx + y 3
⇐⇒ cos y · dy dx +( sin x)+3xy 2 · dy dx + y 3 =0
⇐⇒ d dx (sin y)+ d dx (cos x)+ d dx xy 3 =0 (P1)
Denganmensubstitusikanhasilpoin1,2,dan3diataskepersamaan (P1),makakitaakanmemperolehhasilberikut.
⇐⇒ dy dx · cos y +3xy 2 =sin x y 3
Menggunakansifatpenjumlahanderivatif,makakitaakanmemperolehpersamaanberikut.
d dx (sin y)= d dy (sin y) · dy dx =cos y dy dx
⇐⇒ cos y dy dx +3xy 2 dy dx =sin x y 3
Selanjutnya,kitafaktorkanruaskiripersamaanterhadap dy dx .Hasilnyaadalahsebagaiberikut.
d dx xy 3 = x d dx y 3 + y 3 d dx (x)
Selanjutnya,marikitacarinilai d dx (sin y), d dx (cos x),dan d dx xy 3 terlebihdahulu.
88 13.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR3
Perhatian!
Nah,berhubung dy dx sudahdiketahui,jadiayokitalanjutmenentukan d2y dx2 !
Nah,denganmenggunakanrumus:
⇐⇒ dy dx = sin x y3 cos y +3xy2 ***
d dx f (x,y) g(x,y) = d dx (f (x,y)) · g(x,y) f (x,y) · d dx (g(x,y)) g(x,y)2
⇐⇒ d dx sin x y3 cos y +3xy2 = d dx sin x y 3 cos y +3xy 2 sin x y 3 d dx cos y +3xy 2 (cos y +3xy2)2
89
Bagaimana?Sudahmulaimencium"aroma"penjabaranyang sangatrumit belum?
maka d dx sin x y3 cos y +3xy2 dapatkitatentukansebagaiberikut.
Nah,denganmengalikankeduaruaspersamaandengan 1 cos y +3xy2 ,makakitaakanmemperoleh dy dx sebagaiberikut.
⇐⇒ d2y dx2 = d dx dy dx = d dx sin x y3 cos y +3xy2
Mulaidarisinipenjabaranhitung-hitunganbakalmembuatkepalacenat-cenut.Jadi,yaharap bersiap!
Karenadiketahui d2y dx2 = d dx dy dx dan dy dx = sin x y3 cos y +3xy2 ,makakitaakanmendapatkanpersamaanberikut.
90 13.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR3
Keempatpoindiatasharuskitakerjakan,semata-matauntukmenentukanhasildari
d dx sin x y 3 cos y +3xy 2 sin x y 3 d dx cos y +3xy 2
Ayokitakerjakan!
Oke!
Jadi,untukmengerjakanini
3. Kitaharusmenentukan d dx cos y +3xy 2 ,dan
2. Kitaharusmenentukan d dx sin x y 3 · cos y +3xy 2 ,
4. Kitaharusmenentukan sin x y 3 · d dx cos y +3xy 2
maka:
...Menghelanapas...
1. Kitaharusmenentukan d dx sin x y 3 ,
d dx sin x y 3 cos y +3xy 2 sin x y 3 d dx cos y +3xy 2 (cos y +3xy2)2
91
Dengandemikian,kitaakanmemperolehhasilberikut.
⇐⇒ d dx sin x y 3 · cos y +3xy 2
⇐⇒ d dx (sin x)=cos x
⇐⇒ d dx y 3 = d dy y 3 dy dx =3y 2 dy dx
= cos x 3y 2 · dy dx · cos y +3xy 2
#1Menentukan d dx sin x y 3
⇐⇒ d dx sin x y 3 = d dx (sin x) d dx y 3
Berdasarkanpenjabarandiatas,kitaperlumenentukan d dx (sin x) dan d dx y 3
⇐⇒ d dx sin x y 3 = d dx (sin x) d dx y 3 =cos x 3y 2 dy dx
#2Menentukan d dx sin x y 3 · cos y +3xy 2
=cos x cos y +3xy 2 cos x 3y 2 cos y · dy dx 9xy 4 · dy dx
= cos x cos y +3xy 2 cos x + 3y 2 cos y 9xy 4 · dy dx
Untukmemudahkanperhitunganselanjutnya,kitakelompokkansuku-sukuyangmemuatperkalian dengan dy dx
= sin x y 3 ( 1) sin y dy dx 3y 2 6xy dy dx =( 1) sin x sin y dy dx 3y 2 sin x 6xy sin x dy dx y 3 sin y dy dx +3y 5 +6xy 4 dy dx =( 1) 3y 2 sin x +3y 5 + sin x sin y 6xy sin x y 3 sin y +6xy 4 dy dx
=3 · 1 · y 2 + x · d dy y 2 · dy dx =3 y 2 +2xy dy dx =3y 2 +6xy dy dx
Dengandemikian,kitaakanmemperolehhasilberikut.
92 13.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR3
= sin y dy dx d dx 3xy 2 =3 d dx (x) y 2 + x d dx y 2
⇐⇒ d dx cos y +3xy 2 = d dx (cos y)+ d dx 3xy 2
#4Menentukan sin x y 3 · d dx cos y +3xy 2
⇐⇒ sin x y 3 d dx cos y +3xy 2
= sin x y 3 sin y dy dx +3y 2 +6xy dy dx
Untukmemudahkanperhitunganselanjutnya,kitakelompokkansuku-sukuyangmemuatperkalian dengan dy dx
#3Menentukan d dx cos y +3xy 2
⇐⇒ d dx cos y +3xy 2 = d dx (cos y)+ d dx 3xy 2 = sin y · dy dx +3y 2 +6xy · dy dx
Berdasarkanpenjabarandiatas,kitaperlumenentukan d dx (cos y) dan d dx 3xy 2 d dx (cos y)= d dy (cos y) dy dx
⇐⇒ d dx sin x y 3 cos y +3xy 2 sin x y 3 d dx cos y +3xy 2
d dx
93
= cos x cos y +3xy 2 cos x + 3y 2 cos y 9xy 4 dy dx ( 1) 3y 2 sin x +3y 5 + sin x sin y 6xy sin x y 3 sin y +6xy 4 dy dx
Karenadiketahui dy dx = sin x y3 cos y +3xy2 ,makakitaharusmensubstitusikan dy dx tersebutke cos x cos y +3xy2 cos x 3y2 sin x +3y5 + 3y 2 cos y +sin x sin y 6xy sin x y 3 sin y 3xy 4 · dy dx
Karenakitasudahmengelompokkansuku-sukuyangmemuatperkaliandengan dy dx ,maka"seharusnya"pekerjaankitamenjadisedikitlebih"mudah".Kitaakanmenggunakanhasildaripoin #2 danpoin #4.
Nah!Setelahmenentukanhasil-hasildaripoin #1 hingga #4 diatas,ayokitatentukanhasildari sin x y 3 · cos y +3xy 2 sin x y 3 · d dx cos y +3xy 2
= cos x cos y +3xy 2 cos x + 3y 2 cos y 9xy 4 · dy dx + 3y 2 sin x +3y 5 + sin x sin y 6xy sin x y 3 sin y +6xy 4 · dy dx
= cos x cos y +3xy2 cos x 3y2 sin x +3y5 + 3y 2 cos y +sin x sin y 6xy sin x y 3 sin y 3xy 4 dy dx
DemiTuhan! Berikutiniadalahbagianyangpalingmemuakkan!
2 Fokusmenjabarkanbagianpembilang! cos x cos2 y +3xy2 cos x cos y 3y2 sin x cos y +3y5 cos y +3xy2 cos x cos y +9x2y4 cos x 9xy4 sin x +9xy7 3y2 sin x cos y +sin2 x sin y 6xy sin2 x y3 sin x sin y 3xy4 sin x +3y5 cos y y3 sin x sin y +6xy4 sin x + y6 sin y +3xy7
Mengerjakansubstitusi dy dx inibenar-benarsangatmembutuhkankonsentrasitinggidanjuga lumayanmemakanbanyakwaktu.Sangatdisarankanuntukmengerjakansoalinisebagaiyangterakhir.
4 · sin x y3 cos y +3
Ayokitakerjakan! ⇐⇒ cos x cos y +3xy2 cos x 3y2 sin x +3y5 + 3y 2 cos y +sin x sin y 6
94 13.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR3
2 = cos x cos y +3xy2 cos x 3y2 sin x
...Menghelanapasdulu...
sin
Asaltahusajaya!Padazamanmodernini,urusanhitung-menghitungyangbutuhketelitian tinggisudahmenjaditugasnyakomputer.Lha,inidalamujian,corat-coretnyamasihdikertasburam?Waktupengerjannyaterbataspula.
5
...Menghelanapaslagi.... xy x y 3 sin y 3xy 4 sin x y3 cos y +3xy +3y cos y +3xy xy xy
2 cos y +3xy2 + 3y2 cos y +sin x sin y 6xy sin x y3 sin y 3
Sebetulnya,jikaberkenan,bagiansubstitusi dy dx initidakusahdikerjakansaja.Tidakapa-apalah jikapadaakhirnya"hanya"mendapatnilai A atau B.Pokoknya,kitasudahpahambagaimanacara mencari d2y dx2
...Menghelanapaspanjang....
95
Kemudian,manasajanihsuku-sukuyangbisadikelompokkan?
cos x cos2 y +3xy2 cos x cos y 3y2 sin x cos y +3y5 cos y +3xy2 cos x cos y +9x2y4 cos x 9xy4 sin x +9xy7 3y2 sin x cos y +sin2 x sin y 6xy sin2 x y3 sin x sin y 3xy4 sin x +3y5 cos y y3 sin x sin y +6xy4 sin x + y6 sin y +3xy7
cos x cos2 y +6xy2 cos x cos y 6y2 sin x cos y +6y5 cos y +9x2y4 cos x 6xy4 sin x +12xy7 +sin2 x sin y 6xy sin2 x 2y3 sin x sin y + y6 sin y
⇐⇒ cos x cos y +3xy2 cos x 3y2 sin x +3y5 + 3y 2 cos y +sin x sin y 6xy sin x y 3 sin y 3xy 4 sin x y3 cos y +3xy2 = cos x cos y 6y2 sin x cos y +6y5 cos y +9x2y4 cos x 6xy4 sin x +12xy7 +sin2 x sin y 6xy sin2 x 2y3 sin x sin y + y6 sin y cos y +3xy2
⇐⇒ d dx sin x y 3 cos y +3xy 2 sin x y 3 d dx cos y +3xy 2 = cos x cos y 6y2 sin x cos y +6y5 cos y +9x2y4 cos x 6xy4 sin x +12xy7 +sin2 x sin y 6xy sin2 x 2y3 sin x sin y + y6 sin y cos y +3xy2
Oke!
Dengandemikian,kitamemperolehhasilberikut.
Dengankatalain
Hasildaripengelompokkantersebutadalahsebagaiberikut.
.
Jadi, d2y dx2 = x cos y 6y2 sin x cos y +6y5 cos y +9x2y4 cos x 6xy4 sin x +12xy7 +sin2 x sin y 6xy sin2 x 2y3 sin x sin y + y6 sin y (cos y +3xy2)3
96 13.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR3 ⇐⇒ d2y dx2 = d dx sin x y3 cos y +3xy2 = d dx sin x y 3 · cos y +3xy 2 sin x y 3 · d dx cos y +3xy 2 (cos y +3xy2)2 = 1 (cos y +3xy2)2 · d dx sin x y 3 · cos y +3xy 2 sin x y 3 · d dx cos y +3xy 2 = 1 (cos y +3xy2)2 · cos x cos y 6y2 sin x cos y +6y5 cos y +9x2y4 cos x 6xy4 sin x +12xy7 +sin2 x sin y 6xy sin2 x 2y3 sin x sin y + y6 sin y cos y +3xy2 = cos x cos y 6y2 sin x cos y +6y5 cos y +9x2y4 cos x 6xy4 sin x +12xy7 +sin2 x sin y 6xy sin2 x 2y3 sin x sin y + y6 sin y (cos y +3xy2)3
cos
Soal Akandibuatjendelaberbentuktrapesium.Jikapanjangkeduasisimiringmasing-masingadalah √6 danpanjangsalahsatusisisejajaradalah1,makatentukanpanjangsisisejajaryanglainagar luasjendelamaksimum!
97
AyoKerjakan!
14
UjianAkhirSemester SoalNomor4
Dikerjakan
Ayokitasketsadulurancanganjendelanya!
Luastrapesium = Jumlahkeduasisisejajar × tinggitrapesium 2
Munculpertanyaan, "Tinggitrapesiumnyaberapaya?"
98 14.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR4 Eee,sebetulnyapanjangsalahsatusisisejajaryang1meteritubisasisisejajaryangpalingpendek, bisajugasisisejajaryangpalingpanjang.Tapi,karenadisoalmemintauntukmenentukanpanjang sisisejajarsupayaluasjendelamaksimum,jadipanjangsisisejajaryang1meteritudipilihsajalah sebagaisisisejajaryangpalingpendek.Dengankatalain,kitaharusmenentukansisisejajarbawah yangpanjangnya x meteritusupayaluasjendelamaksimum.
Naaah,Untukmencaritinggitrapesium,kitabisamulaidengan"mengubah"sketsarancangan jendelamenjadisepertidibawahini.Tinggitrapesiumkitanyatakansebagai t meter.
Luastrapesium = (1+ x) × tinggitrapesium 2
Karenapanjangsisitrapesiumadalah 1 meterdan x meter,makarumusluastrapesiumdiatas akanmenjadisepertiini.
Nahini!
Oke!Untukmenentukanluasjendela,berartikitaharustahuluastrapesium.Ingatrumusluas trapesiumberikut!
(√6)2 = t2 + x 1 2 2
Oke!Langsungkitasubstitusikanvariabel t kerumusluastrapesium.
Wooolha...kokdirumusluastrapesiumjadiadavariabel x dan v?
Karenatadikitasubstitusikan v = x 1 2 ,makasekarangkitasubstitusikan x =2v +1 keluas trapesium.Hasilnyaadalahsepertiini.
yangekuivalendenganpersamaan
Diperolehtinggitrapesiumadalah t = √6 v2 meter.
Luastrapesium = (1+ x) × √6 v2 2
Owww,karenabentuk x 1 2 2 terlalu njlimet,kitasubstitusikansaja v = x 1 2 .Dengan demikian,kitaakanpunyapersamaan
99
(√6)2 = t2 + v2
t = √6 v2
Nah,menggunakanrumusPythagoras,kitaakanmendapatkanpersamaan
Luastrapesium = (1+2v +1) × √6 v2 2 = (2v +2) × √6 v2 2 =(v +1) × 6 v2
L(v)=(v +1) √6 v2
Oke!Selanjutnya,perhatikandefinisidibawah.
Oke!Diperolehrumusluastrapesiumsebagaiberikut,yangmanaadalahfungsirealdengan peubah v.Olehsebabitu,kitaakanpanggilluastrapesiuminisebagaifungsi L
Lebihlanjut,diketahuipulatitik c ∈ Domain(L) danfungsi L kontinudititik c
TitikMaksimumLokalFungsi L
Berdasarkandefinisidiatas,kitaakanmenentukantitikkritisfungsi L.Sebelumnya,kitaakan menentukanduluderivatiftingkatpertamafungsi L,yaitu L ,yangtidaklainadalah d dv (L(v))
100 14.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR4
Jikafungsi L memilikiderivatiftingkatpertamadititik c,yaitu L (c) adadanterdefinisidengan baikdengan L (c)=0,makatitik c disebutsebagai titikkritisfungsi L
Jikafungsi L memilikiderivatiftingkatkeduadititik c,yaitu L (c) adadanterdefinisidenganbaik dengantitik c adalahtitikkritisfungsi L sertaberlaku L (c) < 0,makatitik c disebutsebagai titik maksimumlokalfungsi L.
L = d dv (L(v)) = d dv (v +1) 6 v2 = d dv (v +1) 6 v2 +(v +1) d dv 6 v2 =1 6 v2 +(v +1) 1 2 1 √6 v2 d dv 6 v 2 = 6 v2 + v +1 2√6 v2 · ( 2v) = 6 v2 v(v +1) √6 v2 = 6 v2 v(v +1) √6 v2 = 6 v 2v2 √6 v2
Ohiya,harapingatyabahwa Domain(L) adalahhimpunan {v ∈ R : v> 0}.Kenapa?Karena yangnamanyapanjangsisitrapesiumkanharusbilanganpositif.Masakpanjangsisitrapesium0 ataunegatif?
Diketahuisuatufungsireal L dengan Domain(L) ⊆ R
Berdasarkanpenjabarandiatas,kitamemperoleh L (v)= 6 v 2v2 √6 v2 .
L = d dv L (v) = d dv 6 v 2v2 √6 v2
3 2 3 9 3 2 3= 27 8 27 2 3 = 27 108 24 8 = 105 8
Kitalanjutdenganmenentukanderivatiftingkatkeduafungsi L,yaitu L ,yangtidaklainadalah d dv L (v)
Selanjutnya,kitaakanmencarititikkritisfungsi L,yaitutitik c ∈ Domain(L) sedemikiansehingga L (c)=0.Perhatikanbahwa L (c)=0 jikadanhanyajika 6 c 2c2 =(c +2)( 2c +3)=0.Dengan demikian,nilai c yangmemenuhiadalah 2 atau 3/2.Dariduanilai c yangmemenuhitersebut,yang benar-benarmemenuhisyaratsebagaititikkritisadalah 3/2,karena 3/2 ∈ Domain(L).Jadi,titik kritisfungsi L adalah 3/2
= d dv (6 v 2v 2) · (6 v 2) 1/2 = d dv (6 v 2v 2) (6 v 2) 1/2 +(6 v 2v 2) d dv (6 v 2) 1/2 =(0 1 4v) (6 v 2) 1/2 +(6 v 2v 2) ( 2v) ( 1/2) (6 v 2) 3/2 =( 1 4v) (6 v 2) 1/2 + v(6 v 2v 2) (6 v 2) 3/2 =( 1 4v) (6 v 2) (6 v 2) 3/2 + v(6 v 2v 2) (6 v 2) 3/2 = ( 1 4v) (6 v 2)+ v(6 v 2v 2) (6 v 2) 3/2 =2 · (v 3 9v 3) · (6 v 2) 3/2
Berdasarkanpenjabarandiatas,kitamemperoleh L (v)=2 · (v3 9v 3) · (6 v2) 3/2 Nah,selanjutnyakitaakanmengecekapakah L (3/2) < 0 dengancaramengecekapakah (3/2)3 9(3/2) 3 < 0.Lha,kannilai (6 (3/2)2) 3/2 sudahpastibilanganpositiftoh?
101
Berdasarkanpenjabarandiatas,kitamemperoleh L (3/2)= 105/8 < 0.Dengandemikian,kita bisamenyimpulkanbahwatitikkritis 3/2 adalahtitikmaksimumlokalfungsi L.Dengankatalain, kitabisamenyimpulkanbahwafungsi L(v)=(v+1)·√6 v2 mencapainilaimaksimumuntuk v =3/2
v =
⇐⇒ 2v +1= x ⇐⇒ 2 3 2 +1= x ⇐⇒ 3+1= x ⇐⇒ 4= x
Ingatbahwafungsi L adalahfungsiluastrapesiumyangmerupakanbentukdarijendelayang hendakdibuat.Ingatjugabahwapanjangsisitrapesiumyangmaukitamaksimalkanitudinotasikan denganvariabel x.Karenakitamensubstitusikan v = x 1 2 ,makakitaakanmemperolehnilai variabel x sebagaiberikut. x 1 2
Jadi,jikadibuatjendelaberbentuktrapesiumdenganpanjangkeduasisimiringmasing-masing adalah √6 meterdanpanjangsalahsatusisisejajaradalah1meter,makapanjangsisisejajaryang lainharuslah4metersupayaluasjendelamenjadimaksimum.
102 14.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR4
15
Jikafungsi g mempunyaiderivatifpada R,dengan g( 1)= 2 dan g ( 1)=3, danfungsi f memilikirumus
Sebelumnya,itudefinisifungsi f kokagakribetya?
tentukanpersamaangarissinggungkurva y = f (x) dititikdenganabsis x =0!
UjianAkhirSemester SoalNomor5
f (x)= e 2x g x 1 x +1
Dikerjakan
Ayo,kita"sederhanakan"definisifungsi f sebagai:
Soal
103
f (x)= k(x) g (h(x))
dengan k(x)= e2x dan h(x)= x 1 x +1
AyoKerjakan!
#Menentukan d dx (g(h(x))) d dx (g(h(x)))= g (h(x)) d dx (h(x)))
Karena k(x)= e2x,maka d dx (k(x))= d dx e 2x =2e 2x .
Selanjutnya,ayokitatentukan f (x)!
Karena h(x)= x 1 x +1 ,makaakanberlaku: d dx (h(x))= d dx (x 1) · (x +1) (x 1) · d dx (x +1) (x +1)2 = 1 (x +1) (x 1) 1 (x +1)2 = 2 (x +1)2
Selanjutnya,ayoingathal-halyangberkaitandengangarissinggungsuatufungsiberikut!
Diketahuifungsireal f dantitik c ∈ R.Diketahuipulafungsi f kontinudititik c danjugamemiliki derivatiftingkatpertamadititik c
f (x)= d dx (f (x)) = d dx (k(x) g (h(x))) = d dx (k(x)) · g(h(x))+ k(x) · d dx (g(h(x))) ...(P1)
104 15.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR5
• Persamaangarissinggungfungsi f dititik c adalah y f (c)= f (c) (x c)
Ayokitatentukan d dx (k(x)) dan d dx (g(h(x)))!
PersamaanGarisSinggung
• Gradiengarissinggungfungsi f dititik c adalah f (c),yaituderivatiftingkatpertamafungsi f dititik c
Nantihasilnyakitagunakanuntukmenjabarkan (P1).
#Menentukan d dx (k(x))
105
Kembalike (P1),makakitaakanmemperoleh:
Selanjutnya,kitaakanmencarikoordinattitiksinggungjikaabsis-nya x =0.Kitaharusmencari tahuduluordinattitiksinggungjikaabsis-nya x =0,yangtidaklainadalah f (0).
Dengandemikian, d dx (g(h(x)))= g (h(x)) 2 (x +1)2
Dengandemikiangradiengarissinggungfungsi f dititikdenganabsis x =0 adalah f (0)=2
f (0)=2e 2 0 g(h(0))+ k(0) g (h(0)) 2 (0+1)2 =2e 0 · g 0 1 0+1 + e 2 0 · g 0 1 0+1 · 2 (0+1)2 =2 1 g ( 1)+ e 0 g ( 1) 2 1 =2 1 g ( 1)+ e 0 g ( 1) 2 1 =2 · g ( 1)+2 · g ( 1)
f (x)= d dx (f (x)) = d dx (k(x)) g(h(x))+ k(x) d dx (g(h(x))) =2e 2x · g(h(x))+ k(x) · g (h(x)) · 2 (x +1)2
Selanjutnya,kitaakancarigradiengarissinggungkurvafungsi f dititikdenganabsis x =0!
Padasoaldiketahui g ( 1)= 2 dan g ( 1)=3 =2 ·−2+2 · 3 = 4+6 =2
Dengandemikian,koordinattitiksinggungjikaabsis-nya x =0 adalah (0,f (0))=(0, 2)
Dengandemikianpula,persamaangarissinggungfungsi f dititikdenganabsis x =0 adalah y f (0)= f (0) (x 0). ⇐⇒ y ( 2)=2 x ⇐⇒ y =2x 2
Jadi,persamaangarissinggungkurva y = f (x) dititikdenganabsis x =0 adalah y =2x 2
106 15.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR5
f (0)= k(0) · g(h(0)) = e 2 0 · g 0 1 0+1 = e 0 · g ( 1) =1 2 = 2
Tentukan:
5. asimtot-asimtotuntuk f
4. daerahcekungkeatas/bawahdantitikbelokfungsi f ;
1. domainfungsi f ;
3. titikekstrem f danjenisnya;
2. daerahnaik/turunfungsi f ;
16
AyoKerjakan!
UjianAkhirSemester SoalNomor6
Soal Diberikan f (x)=2x +ln(x2 3)
107
Denganmemanfaatkanhasilyangtelahdiperoleh,buatlahsketsagrafikfungsi f !
#Persiapan.MencariTurunanPertamadanKeduadariFungsi f
Ayokitaawalipembahasandenganmencariturunanpertamadankeduafungsi f !Turunanpertamadarifungsi f dinotasikandengan f .Turunankeduadarifungsi f dinotasikandengan f .
108 16.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR6
f (x)= d dx (f (x))
= d dx (2x)+ d dx ln(x 2 3) =2+ 1 x2 3 · d dx x 2 3 =2+ 2x x2 3 = 2(x2 + x 3) x2 3
f (x)= d dx d dx (f (x)) = d dx 2(x2 + x 3) x2 3 =2 d dx x2 + x 3 (x2 3) (x2 + x 3) d dx x2 3 (x2 3)2 =2 · (2x +1) (x2 3) (x2 + x 3) (2x) (x2 3)2 = 2(x2 +3) (x2 3)2
= d dx 2x +ln(x 2 3)
Dikerjakan
Oke!Marikitaselidiki ln(x2 3)!
Perhatikanbahwafungsi h terdefinisidenganbaikuntuksebarang x ∈ R.Dengandemikian,kita dapatmenyimpulkanbahwa Domain(h)= R
SewaktuSMA,tentukitasudahbelajarbahwabentukgrafikfungsikuadratadalah parabola. Karena h(x)= x2 3 adalahfungsikuadrat,makagrafiknyaberbentukparabola.Kitasebutgrafik inisebagaiparabolafungsi h.
Ohiya!Supayamanggilnyagampang,kitanamakan x2 3 sebagaifungsi h.Dengandemikian, h(x)= x2 3.
109
#1.DomainFungsi f
Salahsatucaramenyelidikiapakahparabolafungsi h memotongsumbuXadalahdenganmenentukan c1,c2 ∈ R sedemikiansehingga h(c1)= h(c2)=0.Karena h(x)= x2 3=(x + √3)(x √3), maka c1,c2 ∈ R yangmemenuhi h(c1)= h(c2)=0 adalah c1 = √3 dan c2 = √3 (kitatetapkan c1 sebagaiyanglebihkecildari c2).Jadi,kitabisamenyimpulkanbahwaparabolafungsi h memotong sumbuXdititik √3 dan √3
Kitaakanmencaritahuhimpunan D ⊆ Domain(h) sedemikiansehinggauntuksetiap x ∈ D akanmenyebabkan h(x)= x2 3 > 0.Salahsatucaranyaadalahdenganmenyelidikigrafikfungsi h
Sesuaidefinisipadasoal,fungsi f adalahjumlahan2suku,yaitu 2x dan ln(x2 3).Jelasbahwa 2x akanselaluterdefinisidenganbaikuntuksebarang x ∈ R.Dilainsisi,suku ln(x2 3) ininihyang bisajadi tidakterdefinisiuntuksuatunilai x ∈ R tertentu.
Ayokitacaridomainfungsi f !Eh,supayagampang,kitasebutsebagai Domain(f )
Kemudian,sesuaisifat trichotomy bilanganreal,untuksebarang x ∈ R akanberlakutepatsatu kejadian,yaitu h(x) < 0,atau h(x)=0,atau h(x) > 0
Kitatahubahwanilai ln(x) terdefinisidenganbaikjikadanhanyajika x> 0.Dengandemikian, kitadapatmenyimpulkanbahwa ln(x2 3) akanterdefinisidenganbaikjikadanhanyajika x2 3 > 0
Selanjutnya,kitaakanmencaritahuapakahparabolafungsi h memotongsumbuX.Maksuddari memotongituadalahgaris y =0 membagiparabolafungsi h menjadiduabagiansedemikiansehingga terdapatbagianparabolayangberadadiatasgaris y =0 danjugaterdapatbagianparabolayang beradadibawahgaris y =0
Perhatikanduahalberikut!
Kemudian,denganmenggunakantitik-titikpotonggrafikdengansumbuX,kitadapatmembuat interval I1, I2,dan I3 sebagaiberikut.
Dengandemikian,supaya ln(x2 3) terdefinisidenganbaik,makanilai-nilai x harusberasaldari himpunan D
Dengankatalain,himpunan D = {x ∈ R : x< √3 atau x> √3} adalah Domain(f )
1. I1 =(−∞, √3)= {x ∈ R : x< √3} I2 =( √3, √3)= {x ∈ R : √3 <x< √3} I3 =(√3, +∞)= {x ∈ R : x> √3}
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikinilai h(x) ketika x ∈ I1, x ∈ I2,dan x ∈ I3.
1. Untukmenyelidikinilai h(x) ketika x ∈ I1,kitaambilsebarangcontohtitikdiinterval I1 Misalkankitaambil x = 10 ∈ I1.Perhatikanbahwa h( 10)=( 10)2 3=100 3=97 > 0 Dengandemikian,karenafungsikuadratitukontinu,makakitadapatmenyimpulkanbahwa h(x) > 0 untuksetiap x ∈ I1
Nah,berdasarkanuraiantigapoindiatas,karenaberlaku h(x) > 0 untuksetiap x ∈ I1 dan x ∈ I3, makahimpunan D yangkitacaritidaklainadalah D = I1 ∪ I3 = {x ∈ R : x< √3 atau x> √3}.
• R = Domain(h)= I1 ∪ I2 ∪ I3 ∪{√3, √3}
2. Untukmenyelidikinilai h(x) ketika x ∈ I2,kitaambilsebarangcontohtitikdiinterval I2 Misalkankitaambil x =1 ∈ I2.Perhatikanbahwa h(1)=(1)2 3=1 3= 2 < 0.Dengan demikian,karenafungsikuadratitukontinu,makakitadapatmenyimpulkanbahwa h(x) < 0 untuksetiap x ∈ I2
2.
3.
• Terdapatinterval Ii ∈{I1,I2,I3} sedemikiansehinggauntuksetiap x ∈ Ii akanberlaku h(x) > 0 Dalamvisualisasigrafik, Ii adalahhimpunanbagiandari Domain(h) dimanaparabolafungsi h padadomainhimpunanbagiantersebutberadadiatasgaris y =0
110 16.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR6
3. Untukmenyelidikinilai h(x) ketika x ∈ I3,kitaambilsebarangcontohtitikdiinterval I3 Misalkankitaambil x =9 ∈ I1.Perhatikanbahwa h(9)=(9)2 3=81 3=78 > 0.Dengan demikian,karenafungsikuadratitukontinu,makakitadapatmenyimpulkanbahwa h(x) > 0 untuksetiap x ∈ I3
Perhatikan!Karena c1 adalahtitikpotongparabolafungsi h dengansumbuX,makauntuksebarang ∈ R positifyangsangatkecil,nilai h(c1 ) dan h(c1 + ) akanberbedatanda.Halserupa jugaberlakuuntuktitikpotong c2
TitikKritisFungsi f
1. Jika f memilikiderivatiftingkatpertamadi c,yaitu f (c) adaterdefinisidenganbaik,maka:
Diketahuisuatufungsireal f dengan Domain(f ) ⊆ R
Berdasarkan Bagian#Persiapan,kitasudahtahubahwa f (x)= 2(x2 + x 3) x2 3 .Berdasarkan Bagian#1,kitajugatahubahwa Domain(f )= {x ∈ R : x< √3 atau x> √3}.
Selanjutnya,kitaakanmencarititik c ∈ Domain(f ),sedemikiansehingga f (c)=0.Perhatikan bahwa f (c)=0 jikadanhanyajika c2 + c 3=0.Kitabisamenggunakanrumus ABC untuk mencarinilai c yangmemenuhipersamaan c2 + c 3=0.
111
Untukmengetahuidaerahdimanafungsi f naikatauturun,kitaperlutahu titik-titikkritis fungsi f .Perhatikandefinisidibawah!
Apabiladivisualisasikandalamgarisbilangan,maka Domain(f ) adalahdaerahberwarnabiru berikut.Dengankatalain,grafikfungsi f beradapadadaerahberwarnabirutersebut.
2. Jika f tidakmemilikiderivatiftingkatpertamadi c,yaitu f (c) tidakterdefinisidenganbaik, makatitik c adalahtitikkritisfungsi f
Supayagampang,kitasebutinterval I1 sebagai Domain(f ) sebelahkiridaninterval I3 sebagai Domain(f ) sebelahkanan.
#2.DaerahNaik/TurunFungsi f
Lebihlanjut,diketahuipulatitik c ∈ Domain(f ) danfungsi f kontinudititik c
(a) Jika f (c)=0,makatitik c adalahtitikkritisfungsi f (b) Jika f (c) =0,makatitik c bukantitikkritis fungsi f
112 16.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR6 c1,c2 = 1 ± 12 4 (1) ( 3) 2 (1) = 1 ± √13 2
Perhatikanbahwa 13 beradadiantara 9 dan 16.Dengandemikian,nilai √13 beradadiantara nilai √9 dan √16 (√9 < √13 < √16).Karena √9=3 dan √16=4,makanilai √13 itukira-kira sekitar3komasekianyangmendekati4.
Karenanilai √13 itukira-kirasekitar3komasekian,makanilai c1 itusekitar 2 komasekiandan nilai c2 itusekitar1komasekian.Perhatikanpulabahwanilai √3 itusekitarsatukomasekianyang mendekati2.Dengandemikian,visualisasiposisititik c1 dan c2 digarisbilangankira-kirasepertiini.
Diperolehtitik c1 = 1 √13 2 dan c2 = 1+ √13 2 memenuhipersamaan f (c1)= f (c2)=0
Selanjutnya,kitaakanmengecekapakah c1 dan c2 merupakanelemendi Domain(f ).
Berdasarkangarisbilangandiatas,terlihatbahwahanyatitik c1 yangberadadi Domain(f ) Dengandemikian,kitadapatmenyimpulkanbahwa c1 = 1 √13 2 adalahtitikkritisfungsi f
Selanjutnya,kitaakanmencarititikdi d ∈ Domain(f ),sedemikiansehingga f (d) tidakterdefinisi.Perhatikanbahwa f (d) tidakakanterdefinisijikadanhanyajika d = √3.Akantetapi,karena √3 / ∈ Domain(f ),makakitabisamenyimpulkanbahwatidakada d ∈ Domain(f ),sedemikiansehingga f (d) tidakterdefinisi.
Nah,berdasarkanuraiandiatas,kitabisamenyimpulkanbahwa 1 √13 2 hanyalahsatu-satunya titikkritisfungsi f .
113
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikititikdi Domain(f ) yangberadadisebelahkanantitikkritis 1 √13 2 dandisebelahkirititikbatas √3.Perhatikanbahwatitikiniakanberadadi Domain(f ) sebelahkiri.
Berdasarkanuraiansebelumini,kitatahubahwa f 1 √13 2 =0.Dititikkritisiniterjadi perubahannilaigradiengarissinggungkurvafungsi f .Kitaingintahuapakahperubahanyangterjadi daripositifkenegatif,ataukahsebaliknya,yaitudarinegatifkepositif.
f ( 4)= 2(( 4)2 +( 4) 3) ( 4)2 3 = 2 · (16 4 3) 16 3 = 2 · (9) 13 = 18 3
Misalkankitapilihtitik 2.Kitaakanmencaritahunilaigradiengarissinggungkurvafungsi f dititik 2.Caranyayadenganmenghitungnilai f ( 2) sepertidibawahini. f ( 2)= 2(( 2)2 +( 2) 3) ( 2)2 3 = 2 · (4 2 3) 4 3 = 2 · ( 1) 1 = 2
Kitaambilsebarangtitikdi Domain(f ) yangberadadisebelahkirititikkritis 1 √13 2 .Perhatikanbahwatitikiniakanberadadi Domain(f ) sebelahkiri.
Karena 2 ituadalahbilangannegatif,makakitabisamenyimpulkanbahwauntuksebarang x ∈ Domain(f )sebelahkiri dengan 1 √13 2 <x< √3,akanmenyebabkan f (x) bernilainegatif. Jikadiperhatikanlebihsaksama,nilai f (x) yangnegatiftersebutakansemakinmembesarmenuju0 ketikatitik x semakindekatdengantitik 1 √13 2 .
Karena f ( 4)= 18 3 ituadalahbilanganpositif,makakitabisamenyimpulkanbahwauntuksebarang x ∈ Domain(f )sebelahkiri dengan x< 1 √13 2 ,akanmenyebabkan f (x) bernilaipositif. Jikadiperhatikanlebihsaksama,nilai f (x) yangpositiftersebutakansemakinmengecilmenuju0 ketikatitik x semakindekatdengantitik 1 √13 2
Ingat!Jika α adalahsebarangtitikdi Domain(f ),maka f (α) adalahgradiengarissinggung kurvafungsi f dititik α.Sesuaisifat trichotomy bilanganreal,nilai f (α) bisapositif(> 0),negatif (< 0),dan0.
Misalkankitapilihtitik 4.Kitaakanmencaritahunilaigradiengarissinggungkurvafungsi f dititik 4.Caranyayadenganmenghitungnilai f ( 4) sepertidibawahini.
1. Fungsi f naikpadainterval −∞, 1 √13 2 .
Yang Domain(f ) bagiansebelahkanan!
Karena f (10)= 214 97 adalahbilanganpositif,makakitabisamenyimpulkanbahwauntuksebarang x> √3 akanmenyebabkan f (x) bernilaipositif.Jikadiperhatikanlebihsaksama,nilai f (x) yang positiftersebutakansemakinmengecilmenuju2ketikatitik x semakinmenuju +∞
114 16.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR6
2. Fungsi f turunpadainterval 1 √13 2 , √3 .
Kenapabisabegitu? Karena lim x→+∞ 2(x2 + x 3) x2 3 =2 · lim x→+∞ 1/x2 · (x2 + x 3) 1/x2 (x2 3) =2 · 1=2 Kenapapuladikatakanmengecil?
Karena f (2)=3= 291 97 >f (10)= 214 97 .
Berdasarkanuraiandiatas,terjadiperubahannilaigradiengarissinggungfungsi f daripositif menujunegatifuntukkurvafungsi f yangterletakdidomainbagiankiri.Dengandemikiankitabisa menyimpulkanduahalberikut.
...Eh! Domain(f ) kanmasihadasatulagi!
Oke!Untukmenyelidikiapakahfungsi f naikatauturundi Domain(f ) bagiansebelahkanan,kita akanpilihsebarangtitikdi Domain(f ) bagiansebelahkanan.Misalkankitapilihtitik 10.Dengan demikian 10 ∈ Domain(f )sebelahkanan karena 10 > √3.
Selanjutnya,kitaakanmenyelidikigradiengarissinggungkurvafungsi f dititik 10. Ohiya!Janganlupabahwa x√3 termasukkedalam Domain(f ).Kitaambilsebarang x√3,misalkan x =10,kemudiankitacarinilaidari f (10).Caranyayadenganmenghitungnilai f (10) seperti dibawahini.
f (10)= 2((10)2 +(10) 3) (10)2 3 = 2 · (100+10 3) 100 3 = 2 · (107) 97 = 214 97
115
#3.TitikEkstremFungsi f danJenisnya.
2. Fungsi f turunpadainterval ( 1 √13 2 , √3)
• Fungsi f hanyapunyasatutitikkritis,yaitu 1 √13 2 ,dan
#4.DaerahCekungkeAtas/BawahdanTitikBelokFungsi f
Berdasarkan Bagian#Persiapan,kitasudahtahubahwa f (x)= 2(x2 +3) (x2 3)2 .
Perhatikanbahwa f (c)=0 jikadanhanyajika c2 +3=0 jikadanhanyajika c2 = 3.Perhatikanbahwatidakada c ∈ R yangmemenuhipersamaan c2 = 3.Dengandemikian,kitadapat menyimpulkanbahwafungsi f tidakpunyatitikbelok.
Berdasarkanduahaldiataskitadapatmenyimpulkanbahwatitik 1 √13 2 adalahtitikekstrem lokalmaksimumfungsi f diinterval (−∞, √3).Fungsi f tidakpunyatitikekstremlainselaintitik tersebut.
Sebagaimanayangsudahdibahasdi Bagian#2 dan Bagian#3 daerahcekungfungsi f berada disekitartitikekstremnya.Karenafungsi f hanyapunya1titikekstrem,yaitutitikekstremlokal maksimumdiinterval (−∞, √3),makakitadapatmenyimpulkanbahwakurvafungsi f cekungke bawahdiinterval (−∞, √3).
• Titikkritisfungsi f terletakdi Domain(f ) sebelahkiri,dimanaterjadiperubahangradiengaris singgungkurvafungsi f daripositifmenujunegatif.
Jadi,padaakhirnya,kitabisamenyimpulkanbahwa:
Titikbelokfungsi f adalahtitik c ∈ Domain(f ) sedemikiansehinggaberlaku f (c)=0.
Berdasarkan Bagian#2,kitatahubahwa:
1. Fungsi f naikpadainterval (−∞, 1 √13 2 ) dan (√3, +∞)
Berdasarkandefinisi Domain(f ),makafungsi f memiliki2asimtot,yaitu x = √3 dan x = √3
Jadi, ( 2, 3; 3, 9) kira-kiraadalahkoordinattitikekstremfungsi f Lanjutkitacarititikpotongkurvafungsi f dengansumbuX. , ,
f (x)=0 ⇐⇒ 2x +ln(x 2 3)=0 ⇐⇒ ln(x 2 3)= 2x ⇐⇒ x 2 3= e 2x ⇐⇒ x 2 3=(e 2)x ⇐⇒ Kira-kiramendekati x 2 3=(0
13)x ⇐⇒ Kira-kiradipenuhioleh x =1
116 16.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR6
= 1 √13+ln 7+ √13 2 3 ≈−1 3, 6+ln 7+3, 6 2 3 = 4, 6+ln(2, 3) Karena ln(e)=1 dan e sekitar 2, 76 makanilai ln(2, 3) mungkinsekitar 0, 7... ≈−4, 6+0, 7 = 3, 9
f 1 √13 2 =2 1 √13 2 +ln 1 √13 2 2 3
#6.GambarSketsaGrafikFungsi f
Karena 1 √13 2 adalahtitikekstremlokalfungsi f ,makaayokitacarikoordinatnya!
Supayamemudahkan: 1 √13 2 ≈ 1 3, 6 2 = 4, 6 2 = 2, 3
75
#5.Asimtot-AsimtotFungsi f
117
Kemudiankitagambarasimtot-asimtotnya.
Jadi, (1, 75;0) kira-kiraadalahkoordinattitikpotongkurvafungsi f dengansumbuX.
Oke!Ayokita plot titik-titikyangdiketahuidiatas.
Ohiya,kurvafungsi f tidakmemotongsumbuYya,karena 0 / ∈ Domain(f ).
Hasilsketsakujelekbanget!Memangkarenanggakbisamenggambarkurvayangbagusatau karenasudahkelelahanmenghitung-hitung √13 dan √3 ya?
Gimana?Hampirmiripkan?
Setelahitukitasketsakurvafungsinya.Ingat!Kurvadi Domain(f ) sebelahkiriitucekungke bawah(mengangakebawah).Sementarakurvadi Domain(f ) sebelahkananituterusssmendekati takberhingga.
Hmmmph...siapasuruhbikinfungsipakaifungsi ln dantitikyangadaakarnya!
Haduuuh...
118 16.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR6
Anyway,karenazamansudahmodern,ayokitapasrahkansajasketsagrafikfungsi f kepada DesmosCalculator.Sepertiinilahkira-kirawujudkurvafungsi f (x)=2x +ln(x2 3)
x))= d dx ln(1 x) x 1 = d dx (ln(1 x)) (x 1) d dx (x 1) ln(1 x) (x 1)2 = 1 1 x 1 (x 1) 1 ln(1 x) (x 1)2 = 1 x 1 x ln(1 x) (x 1)2 = 1 ln(1 x) (x 1)2 119
17
Soal Perderetkan f (x)= ln(1 x) x 1 secaraMaclaurin!BerikanderetAndaminimalsampai4suku! Dikerjakan
UjianAkhirSemester SoalNomor7
AyoKerjakan!
Membuatderetminimal4sukutoh?Jadi,ayokitatentukan f , f ,dan f .Syukur-syukurkalau tenaganyamasihkuatditambahdengan f dan f (
f (x)= d dx (f
= 1 1 x 1 (x 1)2 2 (x 1) 1 (1 ln(1 x)) (x 1)4
3+2ln(1 x) (x 1)3
f (x)= d dx f (x) = d dx 3+2ln(1 x) (x 1)3
0+2 1 1 x ·−1 · (x 1)3 3 · (x 1)2 · 1 · ( 3+2ln(1 x)) (x 1)6 = 2 x 1 · (x 1) 3 · ( 3+2ln(1 x)) (x 1)4 = 2+9 6ln(1 x) (x 1)4 = 11 6ln(1 x) (x 1)4
f (x)= d dx f (x) = d dx 11 6ln(1 x) (x 1)4 = d dx (11 6ln(1 x)) · (x 1)4 d dx (x 1)4 · (11 6ln(1 x)) ((x 1)4)2 = 0 6 1 1 x ·−1 · (x 1)4 4 · (x 1)3 · 1 · (11 6ln(1 x)) (x 1)8
= 1 x 1 · (x 1) 2 · (1 ln(1 x)) (x 1)3
= 6 x 1 · (x 1) 4 · (11 6ln(1 x)) (x 1)5
= 1 2+2ln(1 x) (x 1)3
= d dx ( 3+2ln(1 x)) · (x 1)3 d dx (x 1)3 · ( 3+2ln(1 x)) ((x 1)3)2 =
120 17.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR7
f (x)= d dx f (x) = d dx 1 ln(1 x) (x 1)2
= d dx (1 ln(1 x)) (x 1)2 d dx (x 1)2 (1 ln(1 x)) ((x 1)2)2
= 1 x 1 · (x 1)2 2 · (x 1) · (1 ln(1 x)) (x 1)4
=
f
Fiuh Setelahkitamenentukan f hingga f ,sekarangsaatnyakitabentukderetMclaurindengan6 suku! (x)= f (0) 0! x 0 + f (0) 1! x 1 + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f (0) 4! x 4 + f (0) 5! x 5 1 1 ln(1 0) (0 1) x 0 + 1 1 1 ln(1 0) (0 1)2 x 1 + 1 2 3 2ln(1 0) (0 1)3 x 2 + 1 6 · 11 6ln(1 0) (0 1)4 x 3 + 1 24 · 50+24ln(1 0) (0 1)5 x 4 + 1 120 · 274 120ln(1 0) (0 1)6 x 5 ln(1) 1 · 1+ 1 ln(1) 1 x 1 + 1 2 · 3 2ln(1) 1 x 2 + 1 6 11 6ln(1) 1 x 3 + 1 24 50+24ln(1) 1 x 4 + 1 120 274 120ln(1) 1 x 5
121 = 6 44+24ln(1 x) (x 1)5 = 50+24ln(1 x) (x 1)5 f (x)= d dx f (x) = d dx 50+24ln(1 x) (x 1)5 = d dx ( 50+24ln(1 x)) · (x 1)5 d dx (x 1)5 · ( 50+24ln(1 x)) ((x 1)5)2 = 0+24 1 1 x 1 (x 1)5 5 (x 1)4 1 ( 50+24ln(1 x)) (x 1)10 = 24 x 1 (x 1) 5 ( 50+24ln(1 x)) (x 1)6 = 24+250 120ln(1 x) (x 1)6 = 274 120ln(1 x) (x 1)6 ***
=
=
Eee...niatnyamau6suku,jadinyamalah5suku.
122 17.AYOKERJAKAN!UJIANAKHIRSEMESTERSOALNOMOR7 = 0 1 1+ 1 0 1 x 1 + 1 2 3 2 · 0 1 x 2 + 1 6 · 11 6 0 1 x 3 + 1 24 · 50+24 0 1 x 4 + 1 120 · 274 120 0 1 x 5 =0+ 1 1 x 1 + 1 2 3 1 x 2 + 1 6 11 1 x 3 + 1 24 50 1 x 4 + 1 120 274 1 x 5 = x + 3 2 x 2 + 11 6 x 3 + 50 24 x 4 + 274 120 x 5
JadideretMclaurinfungsi f (x)= ln(1 x) x 1 adalah x + 3 2 x 2 + 11 6 x 3 + 50 24 x 4 + 274 120 x 5