Breve resumen de la metodología de box jenkins

Breve resumen de la metodología de Box Jenkins

0. Introducción.

Las series no estacionarias anuales se pueden conseguir que lo sean mediante sencillas transformación (toma de logaritmos, diferenciación...)

Los correlogramas simples se obtendrán a partir de (ρ1, ρ2, ρ3 ...) o bien sus estimaciones.

Los coeficientes de correlación simple miden la influencia directa e indirecta entre valores que tienen un periodo k de desfase Los correlogramas parcial miden la influencia directa es decir suponiendo que permanecen constantes los periodos intermedios.

Se obtienen teniendo en cuenta: ˆ1  1

Y el resto los valores de  2 ,3 ... de las ecuaciones de Yule Walter para AR(2) AR(3) ... y así sucesivamente.

Hacer ejemplos de escribir modelos ARIMA(3,1,1) ARIMA(1,2,1) ARIMA(0,2,2) de dos formas

Es un procedimiento iterativo basado en 3 etapas:

1. Identificación.

Una vez que se tiene una serie estacionaria y en caso de la original no serlo se ha conseguido por diversos procedimientos (toma de logaritmos, diferenciación ...). Es decir la serie no presenta ni una tendencia y las oscilaciones son regulares, procederemos a ver que tipo de modelo la genera.

Para lo cual nos basaremos en los correlogramas simples y parciales y ver cuando se anulan dichos coeficientes.

AR MA

Correlograma simple Decrece rápidamente Se anula a partir de los primeros q retardos.

Para contrastar la nulidad de los i utilizaremos significación del 5%.

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Correlograma parcial Se anula a partir de los primeros p retardos.

Decrece rápidamente.

ˆ i  1,96 T

para un nivel de

1

Ya que ˆ i  

p     1  2  ˆ i2      j 1  N  0,   T      

La identificación de los procesos ARMA es más compleja y solo diremos comentaremos que ambos correlogramas presentan por lo general procesos rápidos decrecientes.

2. Estimación.

Una vez que el modelo se tiene identificado, será necesaria la estimación de los coeficientes y de la constante si da lugar. Entre otros procedimientos esto se puede realizar por: Mínimo cuadrados ordinarios (OLS) y Máxima verosimilitud (MLE).

3. Contrastes.

Veremos 3 tipos de contrastes basados en la función de verosimilitud: a) Ratio de verosimilitud (Likehood Ratio test, LR) b) Test de Wald (W) c) Multiplicador de Lagrange (LM) Planteando H0: RΨ = r Donde R es una matriz (mxn) siendo m el número de restricciones y n el número parámetros del modelo.

Así por ejemplo si queremos comparar un ARMA (2,1) con un AR(2) Plantearemos H0= 1  0 O bien un ARMA(2;2) con un MA(2) Plantearemos H0= 1  2  0 Breve resumen de la metodología de Box Jenkins

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Existiendo los tres estadísticos siguientes

LR  2 log L(~ )  log L(~0 ) T W  ~ ~0   I (~ )~ ~0  T





  log L    log L  LM   I (~0 ) 1          Que se ditribuyen todos como  m2 ~ ~ Las funciones  sin restricciones  0

con retricciones

gráficamente

Las principales limitaciones de estos contrastes: 1- Los modelos deben de estar anidados AR(3) AR(1) o bien ARMA(2,2) con ARMA(2,1).

2- No admiten restricciones que afecten a ambas partes es decir no se puede comparar ARMA(1,1) con ARMA(2,2)

4. Diagnosis (diagnostic cheking).

Esta fase consistirá en comprobar que los residuos se comportan como ruidos blancos y distribución normal.

- Comprobar que es ruido blanco Una primera impresión la podemos tomar de la simple representación de la serie de residuos y ver que esta no tiene ni tendencia creciente ni decreciente y las oscilaciones son regulares sin fuertes cambios.

Entre los test más utilizados para comprobar que son ruido blanco citaremos: a) Test de coeficientes de correlación: Breve resumen de la metodología de Box Jenkins

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H0:i0 Los coeficientes de correlación ahora citados son los de los residuos y no las puntuaciones originales del modelo (en todos los contrastes). ˆ i  1,96 T

b) Von Neuman ratio test

 T 2    yt  yt 1   T  t 2  Y para contrastar la hipótesis nula de ruido blanco: VNR  T 1 T y  y 2    t   t 1 





T  2T   VNR    N (0,1) 2  T 1

Este proceso resulta especialmente util para comprobar si es un AR(1) o no c) Portmanteu test: H0:j=0 j=1,2, q p

Q  T  ˆ 2j Y para contrastar la hipótesis nula de ruido blanco: j 1

Q   q2

La elección de q es totalmente arbitraria a diferencia del anterior en el que q era 1. Este contraste que permite realizarse para varios valores de j es insatisfactorio en muestras pequeñas. d) Portmanteu test modificado: H0:j=0 j=1,2, q p

Q*  T (T  2)  (T  j ) 1 ˆ 2j Y para contrastar la hipótesis nula de ruido j 1

blanco: Q*   q2

En donde q sigue siendo un valor arbitrario.

-

Comprobar la normalidad

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Podemos realizar el gráfico Normality plot y ver si la distribuciones de probabilidades de los errores se asemeja.

Mas rigurosos son los test de asimetría y curtosis. a) Asimetría: 1 T ( yt  y )3 Para contrastarlo usaremos:   3 t 1 T

b1  T 6

b1  N (0,1)

b) Asimetría: b2 

( yt  y ) 4 Para contrastarlo usaremos:  4 t 1 T 1

T



T 24

(b2  3)  N (0,1)

c) De forma conjunta N 

T T b1  (b2  3) 2 Para contrastarlo usaremos: 6 24

N   22

6. Bondad del ajuste.

Los criterios que mencionaremos están basados en las funciones de verosimilitud: a) AIC (Akaike Information Criterion) AIC  2 log L~   2n

La L   es el valor máximo que adopta la función de verosimilitud y n es el número de parámetros del modelo. ~

Eligiendo aquel modelos que tiene AIC más pequeño.

Este criterio tiene el inconveniente de favorecer los modelos con más parámetros. b) BIC ( Bayesian Informaticon Criterion).

BIC  2 log L~   n log T

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T es el tamaño muestral.

Tomaremos el modelo con BIC más pequeño. Es un criterio ideal para comparar modelos ARMA.

6. Estacionariedad.

7. Invertibilidad.

8. Algunas notas sobre el planteamiento de modelos alternativos.

- Si un modelo no cumple las condiciones de estacionalidad una alternativa es aumentar d en una unidad y disminuir p en una unidad. Por ejemplo ARIMA(2,0,0) y plantear ARIMA(1,1,0).

- Si los residuos presentan coeficientes de correlación significativos y esos nos dan idea de un AR o MA aumentar el grado es decir si un modelo tiene unos correlogramas residuales que sugieren un AR(2) y hemos planteado MA(1) pues pensar en un ARMA(2,1) - Cuando el coeficiente de correlación simple de los residuos es próximo a 1 , probablemente esté sobrediferenciado y por lo tanto disminuir en 1 el grado de diferencias.

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Ejemplos: -

yt  2  0,26 yt 1  0,72 yt  2  ut

1   2  0,46 No cumple la estacionariedad en lugar de una 2  1  0,98  1

ARIMA(2,0,0) un ARIMA(1,1,0) - yt  2  0,3 yt 1  0,1yt 2  ut y n=100 Correlogramas residuos Simple: -0,35;-0,1;-0,02;0,07;0,09 Parcial: -0,35; -0,29; -0,22; -0,08; 0,06 Tras comprobar que se cumplen las condiciones de invertibilidad y estacionariedad y como no dispongo de datos para contrastar la significación de los coeficientes por lo tanto supongo que se cumplen Como 1,96

1  0,196 son significativos 1 ,1 , 2 , 3 Si hacemos la 100

gráfica de los correlogramas de los residuos sugiere un MA(1) entonces podemos pensar que en vez de un AR(2) sería un ARMA(2,1) - (1  L) yt  2 +ut Correlogramas residuos Simple: -0,48;-0,16;-0,10;0,08 Parcial: -0,48; -0,44; -0,36; -0,1 Si además de no seguir un correlograma de ruido blanco comprobamos que el primer coeficiente de correlación es próximo a 0,5 en valor absoluto, podemos sospechar que la serie está sobre diferenciada y quitar una diferencia.

Esto también suele ocurrir cuando no es invertible.

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