Matemática Optativa

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Para las asignaturas optativas están previstos 15 períodos semanales y las instituciones educativas seleccionan aquellas que son de interés para sus estudiantes, quienes finalmente eligen por afinidad.

En nuestra portada La asignatura optativa de Números complejos y métodos de demostración matemática es un complemento a la formación de los estudiantes de BGU, y está orientada a ampliar sus conocimientos para que se adentren en un estudio con mayor rigurosidad y formalización de contenidos. Esta asignatura contribuye al perfil de salida del bachiller al proporcionar herramientas adicionales de análisis y demostración que mejoran las capacidades creativas e investigativas.

OPTATIVA

El propósito de las asignaturas optativas es que los estudiantes profundicen en ámbitos académicos de su interés, y de esa manera exploren posibilidades vocacionales que favorezcan su camino hacia la universidad o hacia el mundo laboral.

Números complejos y métodos de demostración matemática

BGU

Maya Ediciones propone esta serie de libros de texto escolares para las asignaturas optativas del Bachillerato General Unificado, que cumplen con la calidad educativa necesaria, tanto en el ámbito disciplinar como en el didáctico-pedagógico, para desarrollar aprendizajes verdaderamente significativos en los estudiantes.

tendencias serie de BGU 2.0 Matriz Quito: Av. 6 de Diciembre N52-84 y José Barreiro, sector Kennedy Telfs.: (02) 281 3112 | 281 3136 Cel.: 099 453 4929 | 099 358 6637 E-mail: info@mayaeducacion.com promocion@mayaeducacion.com

Números complejos y métodos de demostración

matemática

MATOP

Esta obra fue concebida y producida por el equipo pedagógico de la Editorial.

Dirección general: Patricio Bustos Peñaherrera Editor general: Juan Páez Salcedo Editora: Lucía Castro Gordón Autor: Hernán Benalcázar Gómez Ph.D Corrección de estilo: Cristina Mancero Baquerizo Coordinación editorial: Soledad Martínez Rojas Dirección de arte: Paulina Segovia Larrea Diseño gráfico: Paulina Segovia Larrea Diagramación: María José Cantos Sánchez Investigación gráfica: Flavio Muñoz Mejía Investigación TIC: Fernando Bustos Cabrera Coordinación diseño y producción: Santiago Carvajal Sulca Portada: 250945696, (2018). Bulatnikov, Shutterstock.com Ilustraciones: Andrés Fernández Analuisa, María José Cantos Sánchez, Shutterstock y sitios web debidamente referidos Fotografías: Shutterstock y sitios web debidamente referidos © MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2018 Av. 6 de Diciembre N52-84 y José Barreiro Teléfono: 02 510 2447 coordinacion@mayaeducacion.com www.mayaeducacion.com Quito, Ecuador ISBN: 978-9978--52-362-9 Impreso por Imprenta Don Bosco – Quito, Ecuador Este libro no podrá ser reproducido total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico, fotocopia o cualquier otro método de reproducción sin previa autorización de la Editorial.

La Editorial incluye en este texto varios URL de sitios web que, en su momento, estaban en pleno funcionamiento; sin embargo, estos podrían haberse eliminado o cambiado por decisión de los creadores de esos portales.

Propiedad de la editorial

Números complejos y métodos de demostración

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matemática

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BGU Optativa

Libro Matematica optativa.indb 1

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Propiedad

ma ya ÂŽ E

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de la editorial

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Propiedad

Presentación

CIÓ

Maya Ediciones presenta a la comunidad educativa ecuatoriana el texto de Matemática Optativa de Bachillerato General Unificado (BGU), que aplica todos los lineamientos que establece el Ajuste Curricular del Ministerio de Educación, respecto a: enfoque de la asignatura; contribución al perfil de salida del bachillerato; fundamentos pedagógicos y epistemológicos de la asignatura; orientaciones para la conversión de bloques curriculares en unidades didácticas; objetivos generales del área; objetivos de la asignatura; destrezas con criterios de desempeño; y criterios e indicadores de evaluación de la asignatura.

N

de la editorial

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La finalidad principal de este proyecto editorial es que los estudiantes, con una adecuada mediación docente, adquieran las destrezas necesarias para desarrollar el pensamiento científico, el razonamiento lógico y la capacidad de utilizar sus conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Para lograrlo, hemos desarrollado una estructura del texto que complementa el desarrollo de conceptos científicos actualizados y significativos, con abundantes actividades en las secciones recuerda y practica y en las evaluaciones formativas y sumativas, secciones para aprender a resolver problemas (con las fases establecidas en el currículo del ME: (Comprender, Planear una estrategia, aplicar la estrategia, responder la pregunta y creación propia de problemas similares) actividades que fomentarán en los estudiantes la adquisición de las habilidades necesarias para un mundo exigente.

ma ya ® E

Por otro lado, el texto tiene también secciones para que los jóvenes adquieran una visión global de la ciencia como: “¿Qué hace un matemático?”

“La Matemática y las profesiones”, “Conexiones con” así como también en el texto se fortalece la “Atención a la diversidad funcional en el aula”.

Otro aspecto fundamental es el gran énfasis en las habilidades investigativas, para ello tenemos la sección: ‘ TIC’, en donde se da gran realce a los recursos interactivos en la web así como al uso de software educativos que permiten afianzar el conocimiento, de igual manera el texto contiene una sección denominada “Glosario” donde se aclaran definiciones que aparecen en el mismo.

De esta manera, ofrecemos un material con insumos conceptuales, valorativos y procedimentales que permiten desarrollar importantes destrezas para abordar las temáticas mediante procesos de lectura científica, análisis, reflexión, acción crítica, aplicación y transformación de la realidad.

Cordialmente, La editorial 3

Libro Matematica optativa.indb 3

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Propiedad

Conoce tu libro

de la editorial

Apertura de unidad Contiene: título de unidad, fotografía motivadora relacionada con los temas a tratarse, texto introductorio, preguntas de comprensión y de lectura de imagen, objetivos de unidad, organizador gráfico con los temas a desarrollarse y evaluación diagnóstica.

6

Contenidos Potenciación de números complejos con exponentes enteros. Fórmula de De Moivre Números complejos Raíces n‒ésimas de un número complejo

Shutterstock, (2018). 111383906

Unidad 6

UNIDAD

O.NCDM.1. Comprender el sistema de números complejos, sus representaciones, operaciones, su aplicación en la resolución de ecuaciones algebraicas y en la geometría.

O.NCDM.2. Reconocer y utilizar métodos de demostración matemática para determinar la veracidad de proposiciones.

Potenciación y radicación de números complejos. Métodos de demostración

Método por reducción al absurdo Métodos de demostración matemática

Evaluación diagnóstica

Selecciona la respuesta correcta en cada ejercicio del 1 al 4.

De acuerdo con el modelo del Big Bang, el universo se expandió a partir de un estado extremadamente denso y caliente, y continúa expandiéndose hasta el día de hoy. En este sentido se habla de una magnitud tiempo, cuyo estudio se realiza sobre la base de los números complejos.

(Adaptado de: https://matematicacuanticayconsciente.wordpress.com/2016/10/10/numeros-complejos-y-su-utilidad/)

Preguntas • ¿En qué consiste la teoría del Big Bang?

• ¿Cómo se forma el conjunto de los números complejos?

• Al ampliar el conocimiento de los conjuntos de números, ¿crees que todas las ecuaciones tienen solución?

188

La potenciación de números complejos con exponentes enteros es muy similar a la dada en los conjuntos de los números racionales y reales. ]Z] u 0 = 1, ] Definición. Sean n ! Z, u ! C con u ≠ 0. Se define ][ u n + 1 = u n u, ] ]]] u –n = 1n . u \ Si u = 0, 0n = 0 para n = 1, 2, g Si u = 0, 00 no se define.

Ejemplos resueltos 1. Si u = i, calculemos algunas potencias enteras positivas y negativas. De la definición de potenciación, resulta: u 1 = u 0 u = 1 # i = i , u 2 = u 1 u = i # i = i 2 = – 1,

u 3 u = –1 # i = –i, u 4 = u 3 u = –i # i = –i 2 = 1, u 5 = u 4 u = 1 # i = i, 1 1 1 1 1 u –2 = 2 = –1 = –1, u –3 = 3 = –i = 2 i = i. u u –i

Recuerda que...

Si u ≠ 0, se tiene, 6n ! N. 1 1 n n u –n = u n = a u k = ^ u –1 h .

Teorema. Sean α ! R con α ! 0, z ! C con z ≠ 0.

Entonces, n n n ^ α z h = α z , 6n ! Z. Las potencias principales son: i1 = i, i2 = –1, i3 = –i i4 = 1

2. De modo general, sean a, b ! R con a ≠ 0, b ≠ 0, u = a + bi. Calculemos u2, u3, u4, así como u–1, u–2, sucesivamente. Tenemos

y así sucesivamente.

Fórmula de De Moivre. Sean x ! R con x ! 0, n ! Z. Entonces, ^ cos x + isenx hn = cos ^ nx h + isen ^ nx h .

Este resultado se conoce con el nombre de fórmula de De Moivre.

Las propiedades de la potenciación con exponentes enteros se establecen en el siguiente teorema. Como se observará, las propiedades i) a v) son idénticas a las ya descritas en el conjunto de los números reales.

–

n

F

F

V

F

F

p&q

p+q

6. Expresa la negación de las siguientes proposiciones:

2. Sean los números complejos: u = –4i v = 2 + 3i, w = 1 – 2i.

a) p: Ella vive en la ciudad. __________________________________

Encuentra el resultado de u + v – w. a) i + i b) 2 – i

Gran explosión en el espacio, teoría del Big Bang.

b) No asistiré al partido de fútbol.

c) 3 – 3i d) 3 + i

__________________________________

c) No es verdad que haya ido a la fiesta.

3. Encuentra la magnitud o módulo del siguiente número complejo: z = 4 + 3 i. a) 17 b) 4 3

c) d)

__________________________________

17 7

d) 5 + 7 > 4 – 2 __________________________________

4. Halla la distancia entre los dos números complejos: u = 1 + 2i, v = –3 – i. a) 5 3 b) 6

c) 3 d) 5

7. ¿Cómo se representa el número compeljo 4 – 2i en el pano compejo? _____________________________________

_____________________________________ 189

Desequilibrio cognitivo cuestiona los conocimientos que posee el alumno y lo desestabiliza para que reconstruya la información que posee.

Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores gráficos, diagramas, esquemas e ilustraciones. La estructura de un tema o lección es: 2 páginas de contenidos + 2 páginas para desarrollo de destrezas.

iv) ^ u –m h = u –mn . n

1 –m 2m v . v

Secciones variables •

El conjunto solución es:

6 y el término independiente b = > –6 H , de modo que el sistema de 6 ecuaciones dado se expresa en forma matricial como Bc = b . Resolve1 mos este sistema. De la primera ecuación obtenemos z = 3 ^ 6 – 2x – y h .

Reemplacemos z en las dos restantes y tenemos ]Z 1 ]]] 5x – 2y + 3 9 3 ^ 6 – 2x – y hC = –6 Luego se obtiene ]][ 1 ]] –x + 4y + 3 9 ^ 6 – 2x – y hC = 6.

3 \ x – y = –4 Al realizar operaciones, se deduce el siguiente sistema ) que x – y = 0, es contradictorio. Por otro lado, si de la primera ecuación se obtiene x = y – 4 y se reemplaza en la segunda ecuación, se obtiene y – 4 – 4 = 0, de donde –4 = 0 que es un absurdo. El sistema de ecuaciones propuesto no tiene solución.

En este caso el conjunto solución S es vacío y escribimos S = Q. Este es un sistema de ecuaciones lineales inconsistente.

Z] 3u + 2v = 1 ]]] ] 4u + v = –2 3. Considerar el sistema de ecuaciones lineales: ][ ]]] 5u – v = –7 ] 6u + 3v = 0. \ Para resolver este sistema, elegimos las dos primeras ecuaciones De la segunda ecuación obtenemos v = 2 – 4u.

Recuerda que...

En el diagrama siguiente se resumen las tres clases de sistemas de ecuaciones lineales: Sistemas de ecuaciones lineales

Solución única

Infinitas soluciones

•

Ninguna solución

Conexiones con

Electricidad Los sistemas de ecuaciones lineales son muy aplicados en redes eléctricas, ya que la corriente de flujo puede describirse mediante estos.

•

Shutterstock, (2018) . 322603118

S = "^ 1, 0, 0, 0 h + y ^ –2, 1, 0, 0 h + z ^ 1, 0, 1, 0 h + w ^ –5, 0, 0, 1 h, y, z, w ! R , .

Una solución es x = (1, 0, 0, 0). Cualquier otra solución se obtiene asignando valores a y, z, w. Así, para y = –1, z = 2, w = 4, se obtiene la solución x = ^ –15, –1, 2, 4 h .

Z ]]] 2x + y + 3z = 6 ] 2. Hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales: ][ 5x – 2y + 3z = –6 ]] ] – x + 4y + 3z = 6. \ El sistema tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas. x 2 1 3 La matriz de este sistema es B = > 5 –2 3H , el vector de incógnitas c = > y H , –1 4 3 z

Redes eléctricas.

ab c

•

Glosario

inconsistente. Si un sistema no tiene solución, se dice que es inconsistente.

Reemplazamos en la primera ecuación 3u + 2 (–2 – 4u) = 1, de donde u = –1, y en consecuencia v = –2 – 4u = 2.

En el sistema de ecuaciones propuesto, verificamos que efectivamente

u = –1, v = 2 son solución del par de ecuaciones restantes –1 Así, u = ; E es solución del sistema de ecuaciones lineales. Este es un 2

ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales que tiene más ecuaciones que incógnitas, y su solución es única. Nota que se pueden elegir seis sistemas distintos de ecuaciones lineales de 2 × 2 y en todos se obtiene u = –1, v = 2.

101

•

Recuerda que… Se hace mención a temas propios de la matemática, corresponde a conocimientos anteriores o prerrequisitos que el estudiante necesita para el tema que se está desarrollando.

TIC. Como herramienta de investigación para que los estudiantes profundicen en temas o aprendan de manera más ágil.

Conexiones con. Vincula esta área con las demás ciencias; arte, física, geografía, aerodinámica, entre otras.

Atención a la diversidad funcional en el aula. Directrices recomendaciones para trabajar con estudiantes con necesidades educativas especiales.

Glosario. Explicación clara y coherente de términos que aparecen en el texto y que no son de uso común.

x Analizamos el signo de cos ` 2 j . Tal como en el caso precedente, la Figura 3.4.

muestra una porción de gráfica de la función coseno. En ella se observan intervalos en los que cos ^ x h $ 0 y cos ^ x h 1 0. y

1 –2π – 3π 4

–π

–π 2

y = cos (x)

0

Fig. 3.4.

–1

π 2

3π 2

π

2π

TIC Para graficar funciones trigonométricas puedes utilizar muchos softwares libres como por ejemplo GeoGebra. En el enlace puedes ver cómo graficar las funciones trigonométricas. www.mayedu.ec/mop/p85

x

x x Consideramos los casos: cos ` 2 j $ 0 y cos ` 2 j 1 0. x 4k – 1 4k + 1 x Si 2 ! 9 2 π, 2 πC para algún k ! Z, entonces cos ` 2 j $ 0 , se tiene 4k – 1 4k + 1 C x Además 2 ! 9 2 π , 2 π + ^ 4k – 1π h π

#

x # ^ 4k + 1 h π .

x 4k + 1 4k + 3 x Si 2 ! 9 2 π, 2 π C para algún k ! Z, entonces cos ` 2 j $ 0 se tiene En este caso, 4k + 1 4k + 3 C 4k + 1 x x 4k + 3 2 ! 9 2 π, 2 π + 2 π 1 2 1 2 π + ^ 4k + 1 h π 1 x 1 ^ 4k + 3 h π.

Ejemplos resueltos π Obtener el valor de cos ` 12 j = cos ^ 15º h sabiendo que 2 3 1 cos ^ 45º h = sen ^ 45º h = 2 , sen ^ 30º h = 2 , cos ^ 30º h = 2 .

Utilizamos la identidad de coseno de la diferencia de dos ángulos. Sea a = 45º, b = 30º. Entonces cos ^ 15º h = cos ^ 45º – 30º h = cos ^ 45º h cos ^ 30º h + sen ^ 45º h sen ^ 30º h =

2 3 2 1 2 $ 2 + 2 $2 = Recordemos que

Atención a la diversidad funcional en el aula Los ritmos y grados de atención suelen variar de persona a persona. Cuando hay dificultades atencionales, es importante respetar los tiempos propios para terminar un trabajo.

Shutterstock, (2018) . 250375366

190

iii) ^ u m h = u mn . m vii) ^ v –1 h = v –m =

q

V

V

Inician con la destreza con criterio de desempeño. Incluyen Saberes previos: pregunta que relaciona el nuevo conocimiento con las experiencias previas del alumno: su experiencia, su entorno.

ma ya ® E

um ii) u n = u m–n .

v) ^ uv hm = u m v m . vi) u n = u n

p

V

Contenidos científicos y pedagógicos

Teorema. Sean u, v ! C no nulos, m, n ! Z. Se verifican las propiedades siguientes: i) umun = um+n.

d)

3 5 2 – 3 i.

3 5 5 + 2 i.

DU

¿Cómo se define i2?, ¿cuál es la interpretación de i2?

Potenciación de números complejos con exponentes enteros. Fórmula de De Moivre

c)

CA

ONCDM.5.1.6. Calcular la potencia de un número complejo con exponentes enteros aplicando la fórmula de De Moivre y las raíces n-ésimas de un número complejo.

3 5 2i+ 3.

3 2 2 + 3 i.

CIÓ

b)

Una expansión de los números reales es la de los números complejos. Ellos permiten encontrar las raíces de los polinomios, que no estaban definidas en los reales.

Desequilibrio cognitivo

5. Completa la tabla de valores de verdad.

1. Determina el número conjugado del número com3 5 plejo: 2 + 3 i.

Números complejos y la teoría del Big Bang

¿Qué significa potenciación de números enteros?

N

Método de inducción

a)

Saberes previos

Forma exponencial de un número complejo

Gráficos de las funciones trigonométricas.

2 ^1 + 3 h .

4

cos ^ 2α h = cos ^ α + α h = cos 2 ^ α h – sen 2 ^ α h = 2 cos 2 ^ α h – 1, 1 de donde cos 2 ^ α h = 2 ^ 1 + cos ^ 2α hh . Para α = 15º, se tiene 3 1+ 2 2+ 3 1 cos 2 ^ 15º h = 2 ^ 1 + cos ^ 30º hh = = 4 , cos ^ 15º h = 2

2+ 3 4 .

Probamos que estos son iguales.

2 ^1 + 3 h 2+ 3 2+ 3 2 , 4 , entonces y = 4 . Se pone z = 4 2 2 ^ 1 + 3 h m 2^ 1 + 2 3 + 3 h 2 + 3 entonces z 2 = c = = = y2 .

4 16 4 Como y > 0, z > 0, se sigue de la igualdad z2 = y2 que z = y, o sea, 2+ 3 2 ^1 + 3 h . = 4 4 Sea y =

85

4

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Evaluación formativa

Propiedad

Dos páginas por tema (en la estructura de 2+2). Diseñado para desarrollar las destrezas del currículo. Incluyen actividades en las dimensiones conceptual, procedimental o calculativa y de modelización. Estas invitan a la reflexión, comprensión profunda, dominio de procesos y algoritmos, desarrollo de valores, aplicación a la realidad.

1

En cada ítem se conoce el valor de la función seno. Escribe los respectivos valores de la función arcoseno.

π a) sen ` – 2 j = –1. ______________________________________

______________________________________ 3 π b) sen ` – 3 j = – 2 . ______________________________________

c) sen ^ –72º h = –

4

2 ^ 3 –1 h π c) sen ` 12 j = .

4 ______________________________________

______________________________________

Trabajo colaborativo Trabajen en equipo y realicen la siguiente actividad en sus cuadernos.

6 Observen la gráfica de la función tangente defi-

–π π nida en el intervalo de 8 2 , 2 B y de su inversa arcotangente. Luego respondan.

______________________________________ b) arccos (–0,25). ______________________________________

Función directa

y = arctan (x)

c) arcsen (0,75). ______________________________________

5 –1 4 .

y = tan (x)

______________________________________ d) arccos (0,75). ______________________________________

3

______________________________________ Se conoce el ángulo expresado en grados y el valor de coseno. Con una calculadora científica, calcula el ángulo expresado en radianes, el valor del coseno y relaciona estos valores con la función arcocoseno.

a) cos ^ 9º h =

5

Determina el subconjunto de R que se define en cada ítem.

2 a) ' x ! R ; cos ^ x h = – 2 1 .

4 + 10 + 2 5 .

8

a) ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función tangente? ______________________________________ b) ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función arctan? ______________________________________ c) La función tangente, ¿es par o impar? ______________________________________

7 En cada literal se conoce el ángulo expresado en grados y el valor de seno. Con una calculadora científica, calcula el ángulo expresado en radianes, el valor del seno y relaciona estos valores con la función arcoseno.

a) sen ^ 9º h =

b) sen ^ 15º h =

b) cos ^ 72º h =

b) " x ! R ; cos ^ x h = 0 , .

5 –1 4 .

Utilicen una calculadora científica para obtener los siguientes valores y expresen el resultado en grados.

a) arctan (–0,3518).

c) arctan (0,75).

b) arctan (–25 000).

d) arctan (750).

Actividad indagatoria

4– 10–2 5 .

8

2 ^ 3 –1 h .

4

c) cos ^ 108º h = –

5 –1 4 .

d) cos ^ 105º h = –

2 ^ 3 –1 h .

4

126

3 c) ' x ! R ; cos ^ x h = 2 1 .

N

2

Función inversa

______________________________________ d) sen ^ –18º h = –

______________________________________ π d) sen ` 2 j = 1. ______________________________________

Utiliza una calculadora científica para obtener los siguientes valores y expresa el resultado en grados.

a) arcsen (–0,25). ______________________________________

10 + 2 5 .

4

______________________________________

8

9

d) " x ! R ; cos ^ x h = 1 , .

10

Partiendo de la definición de la función cotangente, restringe esta función a su intervalo fundamental y obtén la función inversa.

Partiendo de la definición de la función secante, restringe esta función a su intervalo fundamental y obtén su función inversa.

Partiendo de la definición de la función cosecante, restringe esta función a su intervalo fundamental y obtén su función inversa.

127

CA

Solución de problemas

Shutterstock, (2018). 1018159147

Estrategia: realizar un dibujo

¿Qué hace un matemático?

Determinamos la altura del edificio más alto. y + h = 34,6 + 60 = 94,6 m. d) Responde la pregunta Las alturas de los edificios son: El más alto mide 94,6 m y el más bajo mide 34,6 m.

Problema propuesto

Referencias: una zona residencial con edificios se puede usar para plantear problemas de trigonometría.

Gabriel vive en una zona de edificios que se encuentran frente con frente y separados una distancia de 60 metros.

Gabriel vive en el edificio más alto. Un día desde la azotea miró la terraza del edificio más bajo, con un ángulo de 45°. Luego bajó hasta la planta baja y miró la azotea del mismo edificio con un ángulo de elevación de 30°.

Con información que permite visualizar que los temas tratados en la unidad se relacionan con algo práctico o utilitario, que se aplica en la vida.

La ventana del apartamento de Luisa se encuentra situado a 30 m del nivel del suelo. Desde la ventana, Luisa observa la parte superior de un edificio de enfrente con un ángulo de elevación de 30°. Luego mira hacia la parte inferior con un ángulo de 60° y observa que sale una persona del mismo edificio. ¿Cuál es la altura del edificio de enfrente? a) Comprender ¿De qué se trata el problema?

______________________________________

¿Cuál es la altura de los dos edificios?

______________________________________

b) Plantear una estrategia

DU

a) Comprender ¿De qué se trata el problema?

Se trata de determinar la altura de las dos edificaciones. b) Plantear una estrategia i) Realizamos un dibujo de interpretación con los datos del problema. ii) Planteamos ecuaciones de primer grado que permitan obtener las soluciones. c) Aplicar la estrategia Realizamos un dibujo que refleje la interpretación del problema y con los datos de este. h

y

ma ya ® E

150

Las personas que comprenden estadística están mejor preparadas para advertir y evaluar los resultados de estudios y de otros reportes técnicos. En definitiva, están capacitadas para leer literatura mucho más técnica y especializada.

La matemática y las profesiones Ingeniería en estadística

d) Responde la pregunta

______________________________________

Calculamos la altura h del edificio más alto.

60 tan ^ 45º h = h , 60 h= = 60 m tan ^ 45º h

En el lenguaje común y corriente, la estadística tiene el significado de números. Para los expertos, la palabra estadística se refiere a aquellos conceptos, procedimientos, métodos y modos que son empleados en la colección, organización, análisis, interpretación y comunicación de información procesada, como resúmenes y resultados, en forma tanto cualitativa como cuantitativa. Consecuentemente, los conceptos, procedimientos, técnicas, métodos y modelos estadísticos son usados en un amplio campo del quehacer humano, y juegan un papel importante en las actividades comprometidas con las ciencias, las ingenierías, Personas de negocios: luego de un análisis finaciero donde interviene la industria, el comercio y servicios, la administración, la estadística, pueden concretar negocios exitosos. los bancos, entre otros. La información obtenida, procesada con métodos estadísticos, da resultados que son utilizados en planificación, y forman parte integral de actividades de organizaciones, del mercado, y de instituciones tanto públicas como privadas. De acuerdo con el área de conocimiento, se tienen las especializaciones y aplicaciones de los métodos estadísticos. Así, por ejemplo, en el ámbito de las ciencias médicas se tiene la bioestadística o en geociencias, la geoestadística, entre tantas otras.

______________________________________

30º

60 m Calculamos la altura del edificio menos alto. y tan ^ 30º h = 60 ; y = 60 tan ^ 30 h y = 34, 6 m

Área de probabilidades y estadística

c) Aplicar la estrategia

45º

y

Espacio para hablar sobre qué estudios universitarios o tecnologías se puede estudiar y cómo es la carrera laboral.

______________________________________

¿Qué hace un matemático?

Shutterstock, (2018). 407609140

Promueve en los estudiantes la capacidad de resolver problemas modelándolos con lenguaje matemático, resolviéndolos (utilizando el método adecuado) e interpretando su solución en su marco inicial. Aquí se pondrá un problema tipo, sus algoritmos, los procesos mentales para resolverlo, y algunas recomendaciones.

______________________________________ Planteo problemas

Propón un problema (parecido a los anteriores), relacionado con tu entorno y que se resuelva utilizando trigonometría.

_________________________________________ _________________________________________

La persona especializada en matemática, que dirige su actividad a la estadística y probabilidades, tiene una sólida formación matemática que le permite identificar y proponer métodos idóneos para el diseño de experimentos, colección, tabulación y procesamiento de datos, presentación de resultados con el conocimiento de software especializado, así como también para estudiar y modelar procesos estocásticos, desde el punto de vista teórico y práctico. Sus aplicaciones incluyen todas las áreas de la ingeniería, la economía, las ciencias sociales, las ciencias fundamentales (biología, química, física, matemática).

Shutterstock, (2018). 535158937

Solución de problemas

La Matemática y las profesiones

de la editorial

3

CIÓ

Cada pregunta inicia declarando la destreza con criterio de desempeño. Siempre existe un Trabajo colaborativo donde se proponen actividades con una grado mayor de complejidad para que en grupo aporten a la solución, seguidamente se propone una Actividad indagatoria que tiene como objetivo fomentar la investigación más allá de lo dictaminado en el texto.

Evaluación formativa

O.NCDM.5.4.3. Resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas e identificar el conjunto solución de valores para la variable dada.

Un ingeniero o ingeniera en estadística realiza el análisis financiero de una empresa.

Su ámbito laboral está vinculado con centros de investigación; sector financiero y bancario; centros de desarrollo tecnológico; universidades y escuelas politécnicas; empresas públicas o privadas encargadas del tratamiento de datos y de soluciones de problemas técnicos complejos.

151

Recuerda y practica

Con una serie de actividades a doble página que engloba todos los temas tratados a lo largo de la unidad, comienza con la declaración de las destrezas que se han desarrollado, contiene el espacio suficiente para que el alumno resuelva en el texto.

Evaluación sumativa

Heteroevaluación

1

Evaluación sumativa

Considera el sistema de ecuaciones lineales que se da en cada literal. Aplica el método de eliminación gaussiana y prueba que el sistema de ecuaciones tiene solución única.

2 4 1 a 46 a) > 3 1 2 H> b H = > 30 H .

5 1 5 c 48

Dos páginas al final de unidad con preguntas/actividades en función de los indicadores para la evaluación del criterio. Incluye Heteroevaluación, Coevaluación, Autoevaluación y una tabla de Metacognición, que orienta al estudiante a reflexionar sobre cómo aprende, verificar sus logros y debilidades para retroalimentar su aprendizaje.

SRS 0, 7 0, 5 –0, 1 WWV a 16, 2 S W b) SS 0, 5 0, 3 1, 0 WW> b H = > 19, 0 H .

SS W 0, 4 0, 2 –1, 0 W c 0 T X

Z ]]] 3u – 0, 2v – 0, 3w = 1, 4 c) [] –0, 2u + 4v – 0, 2w = –38, 2 . ]] –0, 3u – 0, 2v + 2w = –13, 7 \

2

152

1 5 11 π π π π b) cot 2 ` 3 t j cos ` 3 t j + cot 2 ` 3 t j – 3 cos ` 3 t j = 3, t = 2 , 2 , 3, 2 .

Resuelve la ecuación de cada literal, donde x ! 6 0º, 360º @ es la incógnita. Selecciona la respuesta correcta.

4

7

cos (x) = –sen (x).

a) S = " 45º, 315º , .

c) S = " 45º, 315º , .

b) S = " 135º, 225º , .

5 2π t c) cos ` 2 j = 1 + cos ^ t h, t = 3 , π .

I.O.NCDM.5.1.1. Define un número complejo y opera aplicando las propiedades de la adición y multiplicación con el conjunto de los números complejos.

3

Encuentra el resultado de operar con los siguientes números complejos.

2 4 3 2 1 –28 3 a) 9 5 + i C + 9 3 – 4 i C + 9 15 + 4 i C + 9 15 – 2 i C

d) S = " 120º, 310º , .

c) S = " 180º ,

b) S = " 270º ,

d) S = " 315º ,

2sen2 (x) – cos (x) = 1.

a) S = " 30º, 180º, 315º , . b) S = " 60º, 180º, 300º , . c) S = " 30º, 90º, 240º , .

d) S = " 45º, 135º, 300º , .

Autoevaluación

2sec2 (x) – cos2 (x) – sen2 (x) = 0.

a) S = " 315º ,

c) S = " 90º ,

b) S = " 270º ,

d) S = Q.

Resuelve la ecuación de cada literal, donde x ! 6 0º, 360º @ es la incógnita.

csc (x) + sen (x) = –2.

a) S = " 90º ,

6

8

2sen2 (x) – cos (x) > 1.

a) S = @ 60º, 330º 6 .

c) S = @ 60º, 300º 6 .

b) S =@ 30º, 330º 6 .

9

d) S =@ 30º, 300º 6 .

cot2 (x) > 5 + 2csc2 (x).

a) S = @ 30º, 120º 6 , @ 210º, 330º 6 . b) S = @ 30º, 150º 6 , @ 210º, 300º 6 . c) S = @ 60º, 150º 6 , @ 210º, 330º 6 . d) S = @ 30º, 150º 6 , @ 240º, 330º 6 .

Marca con X en una de las opciones.

Siempre

A veces

Nunca

Siempre

A veces

Nunca

Resuelvo sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación gaussiana.

Determino la matriz inversa.

Identifico las funciones trigonométricas inversas.

Obtengo la solución de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas.

3 3 i 2 2 i b) ; 2 + 2 E + ; 2 – 2 E + ; 2 + i E + ; 2 – i E

Reconozco el conjunto de los números complejos.

Realizo adiciones y multiplicaciones de números complejos en la forma binómica.

Coevaluación

Considera la ecuación que en cada literal se indica.

Obtén soluciones y comprueba con los datos de t indicados.

1 3 5 7 π π a) 2sen 4 ` 2 t j – 9sen 2 ` 2 t j + 4 = 0, t = 2 , 2 , 2 , 2 .

Evaluación de selección múltiple Selecciona la respuesta correcta.

I.O.NCDM.5.4.1. Aplica los conceptos de identidades, ecuaciones e inecuaciones trigonométricas en la resolución de problemas varios.

c) ^ 2 + 3 i h^ 3 + 2 i h

Marca con X en una de las opciones.

Todos los integrantes del equipo de trabajo aportamos con soluciones a las situaciones planteadas.

En equipo, demostramos respeto a las ideas de las demás personas.

Metacognición ¿Qué tema te causó mayor dificultad en esta unidad?

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 153

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Libro Matematica optativa.indb 5

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Propiedad

Índice

de la editorial

Presentación..............................................................................................................................................3 Conoce tu libro........................................................................................................................................4 Índice.............................................................................................................................................................6

Unidad 2

CA

CIÓ

Introducción a la lógica matemática y espacio vectorial R n ........................................8 Introducción a la lógica matemática. Proposiciones.........................................................................10 Conectivos lógicos............................................................................................................................................................12 Tautologías, contradicciones, contingencias.............................................................................................18 Funciones proposicionales y cuantificadores...........................................................................................24 Definiciones, axiomas, lemas, teoremas y corolarios..........................................................................26 Métodos de demostración.......................................................................................................................................28 El espacio vectorial R n .................................................................................................................................................32 Recuerda y practica............................................................................................................................ 36 Solución de problemas. Estrategia: razonamiento lógico.............................................. 38 ¿Qué hace un matemático? La matemática y las profesiones..................................... 39 Evaluación sumativa........................................................................................................................... 40

N

Unidad 1

ma ya ® E

DU

Operaciones con matrices e identidades trigonométricas (I)..................................... 42 Matrices reales m×n. Suma de matrices........................................................................................................44 Producto de escalares por matrices reales de m×n. Producto de matrices...................48 Tipos de matrices...............................................................................................................................................................52 Operaciones elementales con matrices. Matriz escalonada.......................................................56 Identidades trigonométricas básicas................................................................................................................60 Coseno de la diferencia y de la suma de dos números reales....................................................64 Seno de la diferencia y de la suma de dos números reales...........................................................68 Recuerda y practica............................................................................................................................ 72 Solución de problemas. Estrategia: operar con matrices............................................... 74 ¿Qué hace un matemático? La matemática y las profesiones..................................... 75 Evaluación sumativa........................................................................................................................... 76

Unidad 3

Identidades trigonométricas (II) y sistemas de ecuaciones lineales......................... 78 Seno, coseno y los argumentos doble, triple, cuádruple................................................................80 Seno, coseno en el argumento mitad..............................................................................................................84 Tangente del argumento suma, diferencia y doble..............................................................................88 Tangente del argumento triple y mitad.........................................................................................................92 Fórmulas de transformación de sumas de senos y cosenos en productos...................96 Sistemas de ecuaciones lineales.........................................................................................................................100 Resolución de sistemas de ecuaciones con determinantes.

Método de Cramer.......................................................................................................................................................104 Recuerda y practica..........................................................................................................................108 Solución de problemas. Estrategia: plantear sistemas de ecuaciones lineales.....................................................................................................................110 ¿Qué hace un matemático? La matemática y las profesiones...................................111 Evaluación sumativa.........................................................................................................................112

6

Libro Matematica optativa.indb 6

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Propiedad

Unidad 4

N

de la editorial

CIÓ

Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Números complejos.........................114 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Método de eliminación gaussiana...................................................................................................................116 Cálculo de la matriz inversa...................................................................................................................................120 Funciones trigonométricas inversas...............................................................................................................124 Ecuaciones trigonométricas..................................................................................................................................128 Inecuaciones trigonométricas.............................................................................................................................132 Ecuación de segundo grado con coeficientes reales y números complejos..............136 Suma de números complejos. Propiedades............................................................................................140 Multiplicación de números complejos. Propiedades.....................................................................144 Recuerda y practica..........................................................................................................................148 Solución de problemas. Estrategia: realizar un dibujo..................................................150 ¿Qué hace un matemático? La matemática y las profesiones...................................151 Evaluación sumativa.........................................................................................................................152

Unidad 5

Unidad 6

DU

CA

Representación de números complejos. Inferencia lógica..........................................154 Conjugado de un número complejo............................................................................................................156 Módulo de un número complejo....................................................................................................................160 Producto de números reales por números complejos.................................................................164 Forma trigonométrica o polar de un número complejo............................................................168 Inferencia lógica................................................................................................................................................................172 Método de la contraposición..............................................................................................................................176 Recuerda y practica..........................................................................................................................182 Solución de problemas. Estrategia: solución de ecuaciones de segundo grado con raíces complejas...............................................................................184 ¿Qué hace un matemático? La matemática y las profesiones...................................185 Evaluación sumativa.........................................................................................................................186

ma ya ® E

Potenciación y radicación de números complejos.

Métodos de demostración...........................................................................................................188 Potenciación de números complejos con exponentes enteros.

Fórmula de De Moivre...............................................................................................................................................190 Raíces n-ésimas de un número complejo.................................................................................................194 Forma exponencial de un número complejo........................................................................................198 Método de reducción al absurdo....................................................................................................................202 Método de inducción.................................................................................................................................................208 Recuerda y practica..........................................................................................................................214 Solución de problemas. Estrategia: efectuar demostraciones...................................216 ¿Qué hace un matemático? La matemática y las profesiones...................................217 Evaluación sumativa.........................................................................................................................218 Solucionario..........................................................................................................................................220 Bibliografía.............................................................................................................................................239

Eje temático 1: Números complejos Eje temático 2: Álgebra lineal Eje temático 3: Métodos de demostración matemática Eje temático 4: Trigonometría

7

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Propiedad

1

de la editorial

ma ya ® E

Shutterstock, (2018). 398600152

DU

CA

CIÓ

N

UNIDAD

Introducción a la lógica matemática y espacio vectorial n R

Aplicaciones de lógica matemática en ingeniería

Debido a su gran importancia, la lógica proposicional se aplica en varias áreas, sobre todo en ingeniería de software, en electrónica para el diseño de circuitos, en la verificación de protocolos criptográficos, en el diseño de circuitos digitales, entre otros.

Los circuitos eléctricos son un gran ejemplo de la aplicación de la lógica matemática y, en forma particular, de las proposiciones compuestas, donde un interruptor cerrado correspondería a verdadero, mientras que un interruptor abierto correspondería a falso.

(Adaptado de: http://ramon-gzz.blogspot.com/2012/08/aplicaciones-de-la-logica-proposicional.html).

Construcción de un circuito eléctrico.

Preguntas • ¿Qué observas en la fotografía?

• ¿Cuál es la importancia de la lógica proposicional?

• ¿Cómo se aplica la lógica matemática a los circuitos eléctricos?

• ¿En qué situaciones de tu vida utilizas la lógica matemática?

8

Libro Matematica optativa.indb 8

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O.NCDM.2. Reconocer y utilizar métodos de demostración matemática para determinar la veracidad de proposiciones.

O.NCDM.3. Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales de orden ≥4, utilizando las propiedades básicas de las matrices y de los determinantes.

Propiedad de la editorial

Contenidos

Introducción a la lógica matemática Métodos de demostración matemática

N

Conectivos lógicos

CIÓ

Unidad 1

Tautologías, contradicciones, contingencias.

Operaciones con proposiciones

CA

Definiciones, axiomas, lemas, teoremas, corolarios. Métodos de demostración

Espacio vectorial R n

DU

Algebra lineal

Evaluación diagnóstica

Selecciona la respuesta correcta en cada ejercicio.

ma ya ® E

1. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una proposición? a) Hoy es lunes. b) La tarifa del bus subió. c) ¿Qué hora es? d) Está lloviendo fuerte.

2. Identifica cuál es el conector lógico en esta proposición.

4. ¿Cuál de los siguientes enunciados define mejor lo que es una matriz real? a) Es una función polinomial con coeficientes reales. b) Es un arreglo rectangular de números reales, dispuestos en filas y columnas. c) Es un enunciado sobre el cual se puede afirmar si es verdadero o falso sin ambigüedad. d) Es una desigualdad algebraica que contiene algún término desconocido. a 11 a 12 l 5. De qué orden es la matriz: b a 21 a 22 a) 2 × 2 b) 1 × 2 c) 2 × 1 d) 1 × 1

Si llueve, entonces hay congestión en las vías.

a) y b) o c) si solamente si d) Si… entonces

6. Define con tus palabras los siguientes términos:

3. ¿Cuál es la expresión simbólica de la siguiente proposición?

Tautología:

Voy a estudiar si no estoy enfermo.

______________________________________

a) p ⇒ ∼ q b) p ⇔ ∼ q

c) p ⇒ q d) p ∧ q

Contradicción:

______________________________________ 9

Libro Matematica optativa.indb 9

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ONCDM.5.3.1. Analizar y valorar la importancia de los métodos de demostraciones en la comprobación de las diferentes afirmaciones propuestas en matemática y otras áreas.

Propiedad

Recuerda que...

a) Lenguaje

Nos referimos como lenguaje a una colección de expresiones bien formadas cuyo significado puede ser asignado. En el lenguaje se tienen tres elementos: los símbolos, las reglas formales y la sintaxis.

Símbolo: en matemática, comprendemos como símbolo a un signo gráfico que representa un concepto, un atributo o un objeto matemático.

Reglas formales: son expresiones o reglas de formación de símbolos en un lenguaje que se interpretan para construir leyes y principios. Las combinaciones de símbolos junto con las reglas formales nos permiten construir las denominadas expresiones matemáticas, las cuales pueden o no tener sentido.

Sintaxis: la sintaxis se ocupa de las relaciones entre expresiones de un lenguaje formal; es la que nos permite obtener expresiones bien formadas, es decir, que tienen sentido o que están bien definidas. En definitiva, la sintaxis se ocupa de la correcta escritura. Se debe tener presente que en matemática no solo se tienen expresiones matemáticas, sino que expresamos las ideas con el uso correcto de la gramática, la cual contiene un conjunto de símbolos que corresponden al alfabeto, y un conjunto de reglas características de la lengua.

ma ya ® E

Las cuatro operaciones elementales con números racionales (adición, sustracción, producto, división) se representan respectivamente con los símbolos +, -, ×, ÷; la relación de igualdad se expresa con el signo = ; para representar al conjunto de los números reales se utiliza el símbolo R ; In (x + 1) significa el logaritmo natural del número real x + 1 siempre que x +1>0, exp (x) o también ex significa la exponencial del número real x.

La lógica matemática contiene básicamente tres componentes: el lenguaje, la semántica y un sistema deductivo. Con estos tres ingredientes inseparables se estructuran las leyes de la lógica.

N

¿Qué utiliza el ser humano para comunicarse?

La lógica matemática

CIÓ

Desequilibrio cognitivo

CA

¿Qué es para ti la lógica matemática y en qué se aplica?

la editorial Introducción a la lógica dematemática.

Proposiciones

DU

Saberes previos

En el idioma que expresemos nuestras ideas matemáticas, un símbolo matemático no reemplaza a la palabra. b) Semántica

La semántica se encarga de cómo interpretar las expresiones bien formadas desde el punto de vista de la verdad o falsedad como proposiciones de estructuras, de modelos, de una teoría, de áreas de la actividad humana, de áreas de la actividad natural. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esta es una proposición verdadera. La siguiente es una proposición falsa: en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos.

c) Sistema deductivo

10

Libro Matematica optativa.indb 10

La deducción es el razonamiento que concluye la verdad de una proposición, a partir de premisas, de hipótesis, mediante la aplicación de las reglas debidamente establecidas. Un sistema deductivo consiste en una colección de reglas (por ejemplo, las reglas de inferencia) que pueden ser aplicadas para derivar, obtener, reconocer acerca de hechos interesantes y entre relaciones de objetos semánticos. Los hechos y las relaciones son expresados en el lenguaje.

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Propiedad

Proposiciones

Conexiones con

p: frase, expresión o enunciado.

Se llama valor de verdad de una proposición a la verdad o falsedad de su contenido. Si una proposición p es verdadera, su valor de verdad se denota con v (p) = V; y si la proposición p es falsa, su valor de verdad se denota con v (p) = F. Estos resultados se recogen en la siguiente tabla, llamada tabla de valores de verdad de la proposición p:

CIÓ

p V

llave

q

F

agua

Ejemplos

CA

1. El Chimborazo es la montaña más alta del Ecuador. Esta proposición es verdadera y la denotaremos con p. Así, p: El Chimborazo es la montaña más alta del Ecuador, entonces v (p) = V.

2. 10 es divisible por 3. Este enunciado es falso ya que al dividir 10 para 3, el cociente es 3 y el residuo es 1. Sea r la proposición: 10 es divisible por 3.

Entonces v (r) = F.

ma ya ® E

DU

Sean p, q dos proposiciones. Escribimos p ≡ q para indicar que el valor de verdad de p y q coincide. En este caso diremos que las proposiciones p, q son idénticas o lógicamente equivalentes. Leeremos “p idéntica a q”.

Si los valores de verdad de p, q no coinciden, escribiremos p ≠ q y leeremos “p distinta de q”, y diremos que las proposiciones p y q no son idénticas o no son lógicamente equivalentes.

Proposición compuesta

Una proposición compuesta es una proposición formada por dos o más proposiciones ligadas de modo adecuado (por ejemplo, mediante el uso de los conectivos lógicos que estudiaremos más adelante).

p

compuerta

agua q

canal i

tubo

p p

Hernán Benalcázar, (2018) .

A las proposiciones las representaremos con las letras p, q, r,... Así, escribiremos

Física Una proposición tiene una interpretación física como, por ejemplo, la de un tubo con una llave por la que fluye un caudal q de agua, o la de un canal de regadío con una compuerta por la que fluye un caudal q de agua, o la de un interruptor por el que circula una corriente eléctrica i.

En la Figura 1.1. se muestran estos tres elementos.

N

Una proposición es una expresión, enunciado o frase acerca de la cual se puede afirmar sin ambigüedad su verdad o falsedad.

de la editorial

Figura 1.1. Llave de agua, compuerta de canal, interruptor.

Si la llave del tubo está abierta, hay paso del agua. Escribimos v (p) = V. Del mismo modo, si la compuerta del canal está levantada, hay paso de agua. Escribimos v (p) = V. Y si está cerrada, tendremos v (p)= F.

También existen frases, enunciados u oraciones cuyos valores de verdad no son ni verdaderos ni falsos o acerca de los cuales no tiene sentido hablar de su verdad o falsedad. De estos no nos ocuparemos.

Entre este tipo de frases, enunciados u oraciones tenemos, por ejemplo: 1. ¡Hola!

3. Buenos días.

2. ¿Qué hora es?

4. Hoy llueve.

Analicemos el caso de un interruptor: si está cerrado hay paso de corriente.

Escribimos v (p) = V, caso contrario, v (p) = F. En la Figura 1.2. se muestra este interruptor en los dos estados.

I

A p B interruptor cerrado

Fig. 1.2.

Libro Matematica optativa.indb 11

I

I

A p B interruptor abierto

I

11

25/9/18 16:16

ONCDM.5.3.1. Analizar y valorar la importancia de los métodos de demostraciones en la comprobación de las diferentes afirmaciones propuestas en matemática y otras áreas.

Podemos obtener proposiciones más complejas mediante la utilización de conectivos lógicos. Los más utilizados son los siguientes: negación: “no”, conjunción: “y”, disyunción: “ó” (inclusiva), bidisyunción: “o” (excluyente), implicación: “si... entonces...” (o también “implica”), equivalencia: “si y solo si”.

¿Utilizas en tu diario vivir los conectores lógicos? ¿En qué situaciones?

N

Negación Definición. La negación “no” es el conectivo lógico que a toda proposición p asocia la proposición “no p”, la cual es verdadera si p es falsa, y es falsa si p es verdadera. Así:

Recuerda que...

v (p) = V

v (p) =V

V

F

F

V

Las proposiciones p y ¬p se dice que son proposiciones contradictorias.

Conjunción

Definición. La conjunción es el conectivo lógico “y” que a todo par de proposiciones p, q asocia la proposición compuesta “p y q”, la cual es verdadera únicamente si las proposiciones p y q son verdaderas. En los demás casos, la proposición “p y q” es falsa.

A la proposición “p y q” la notaremos “p∧q”, que se lee “p y q”. Nota que si las proposiciones p, q son verdaderas, se tiene v (p) = V, v (q) = V, v (p∧q) = V. En los demás casos, p∧q es falsa. Estos resultados se recogen en la tabla de valores de verdad de la conjunción que se exhibe a continuación:

llave

agua

~p

p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

tubo

v (~p) =F

llave

Hernán Benalcázar, (2018) .

agua

p

v (p) =F

tubo

En la Figura 1.4. se muestran dos interruptores p, q en serie, con sus cuatro estados.

llave

agua

v (no p) = V.

p ¬p

ma ya ® E

tubo

v (p) = F

Los resultados de los valores de verdad de las proposiciones de p y ¬p se recogen en la siguiente tabla, denominada tabla de valores de verdad.

llave p

v (no p) = F

DU

La negación de la proposición p se nota de varias maneras: + p, p , Jp y en todos los casos se lee ”no p”.

Consideremos como proposición p la llave de agua. Cuando la llave está abierta, hay paso de agua v (p) = V. La negación es “la llave está cerrada”, v ^ + p h = F. En la Figura 1.3. se muestran los casos v ^ p h = V y v ^ + p h = F , v ^ p h = F y v ^ + p h = V. Nota que esta vez estamos usando el símbolo + en vez de¬.

CIÓ

Desequilibrio cognitivo

de la editorial

CA

Recuerda ¿Cuáles son los principales conectivos lógicos?

agua

Propiedad

Conectivos lógicos

Saberes previos

~p

v (~p) =V

tubo

a) Se muestran dos interruptores p, q abiertos, es decir, no hay paso de corriente.

b) Se muestran los interruptores p, q cerrados, es decir, sí hay paso de corriente.

Figura 1.3. Llaves de agua abiertas y cerradas.

12

Libro Matematica optativa.indb 12

I

A

p

q

B

v (p) = F, v (q) = F, v (p∧q) = F

I

A

p

q

B

v (p) = V, v (q) = V, v (p∧q) = V

25/9/18 16:16

c) Se muestran dos interruptores p, q: el interruptor p cerrado y el interruptor q abierto. Es decir, no hay paso de corriente.

I

A

p

q

Propiedad

d) Se muestran dos interruptores p, q: el interruptor p abierto y el interruptor q cerrado. Tampoco hay paso de corriente.

B

v (p) = V, v (q) = F, v (p∧q) = F

I

A

p

q

de la editorial

B

v (p) = F, v (q) = V, v (p∧q) = F

N

Fig. 1.4. Interruptores conectados en serie.

Disyunción

A la proposición “p ó q” la notamos con “p ∨ q” que se lee “p ó q”.

CIÓ

Definición. La disyunción es el conectivo lógico “ó” (o inclusiva) que a todo par de proposiciones p, q asocia la proposición compuesta “p ó q”, la cual es falsa únicamente si las dos proposiciones p, q son falsas. En los demás casos, la proposición “p ó q” es verdadera.

TIC

Si los valores de verdad de las proposiciones p, q son verdaderas, la proposición compuesta p ∨ q es verdadera, y si v (p) = F, v (q) = F, se tiene que v (p ∨ q) = F. La tabla de valores de verdad de la disyunción es: p ∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

CA

q

DU

p

Para conocer más sobre la construcción de la tabla de valores de verdad, visita el siguiente enlace: www.mayedu.ec/mop/p13

ma ya ® E

En la Figura 1.5., se ven dos interruptores p, q en paralelo, con sus cuatro estados. a) En el circuito se muestran dos interruptores p, q abiertos, es decir, no hay paso de corriente. p

A

I

I

p

A

B

q

I

q

I B

v (p) = F, v (q) = F, v (p∨q) = F

v (p) = V, v (q) = V, v (p∨q) = V

c) En el circuito se muestran dos interruptores p, q: el interruptor p está cerrado y q está abierto.

En este caso, sí hay paso de corriente.

d) En el circuito se muestran dos interruptores p, q: el interruptor p está abierto y q está cerrado.

En este caso, sí hay paso de corriente.

p

A

I

q

Luego de mirar el video, practica en tu cuaderno con las actividades de las evaluaciones formativas de estas secciones.

b) En el circuito se muestran dos interruptores p, q cerrados, es decir, sí hay paso de corriente.

I

v (p)= V, v (q)= F, v (p∨q)= V

p

A

B

I

q

I B

v (p) = V, v (q) = V, v (p∨q) = V

Fig. 1.5. Interruptores conectados en paralelo.

13

Libro Matematica optativa.indb 13

25/9/18 16:16

A la proposición “p ó q” la notaremos p v q que se lee “p ó q”. De acuerdo con la definición, la tabla de valores de la bidisyunción es la siguiente: p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p vq F V V F

Nota que la proposición p v q es verdadera cuando no existe simultaneidad de casos.

Implicación

Definición. La implicación es el conectivo lógico “implica” que a todo par de proposiciones p, q asocia la proposición compuesta “p implica q”, la cual es falsa si v (p) = V y v (q) = F. En los demás casos, la proposición “p implica q” es verdadera.

CA

Hernán Benalcázar, (2018) .

p

de la editorial

Definición. La bidisyunción es el conectivo lógico “ó” (excluyente) que a todo par de proposiciones p, q asocia la proposición compuesta “p ó q”, la cual es falsa si las dos proposiciones p, q tienen los mismos valores de verdad. En los demás casos, la proposición “p ó q” es verdadera.

N

Una de las aplicaciones de la lógica matemática y de los conectores lógicos se encuentra en las tuberías de agua dispuestas en paralelo.

Como ejercicio, se deja la interpretación en el caso en el que p y q representen llaves de agua dispuestas en paralelo de una tubería, o en su defecto, p y q representen compuertas en paralelo de un canal que bifurca en dos y luego vuelve a formar uno solo, como se muestra en la Figura 1.6. que sigue.

Propiedad

Bidisyunción

CIÓ

Recuerda que...

agua q

Figura 1.6.

p

q

p ⇒q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

ma ya ® E

Recuerda que...

DU

A la proposición “p implica q” la notaremos “p ⇒ q ”, que se lee “p implica q” o también “si p entonces q”. De acuerdo con la definición, la tabla de valores de verdad de la implicación es la siguiente:

En muchos textos se define a la implicación de las proposiciones p, q como la proposición compuesta “(¬p) v q ”, que se nota “p ⇒ q”.

A esta proposición se le suele llamar condicional. La tabla de valores de verdad de la proposición (¬p) v q se indica a continuación:

p

¬p q

(¬p) v q

V

F

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

V

F

V

Observamos que p ⇒ q ≡ (¬p) v q.

Ejemplo

Considera las proposiciones: p: aumentan el sueldo de mi madre, q: mi madre me compra libros.

Y la proposición compuesta: si aumentan el sueldo de mi madre, entonces ella me compra libros. Asumamos que la madre mantiene la promesa de comprar los libros a su hijo, en cuyo caso la proposición es verdadera.

La proposición precedente puede escribirse como sigue: si p entonces q.

Analicemos las distintas posibilidades que se derivan de las proposiciones p y q, tenemos: Nota que por ejemplo si v (p) = F, v (q) = V, lo que significa que a la madre no le aumentan el sueldo y le compra los libros a su hijo, manteniendo la promesa. ¿Cómo interpretas las otras alternativas?

14

Libro Matematica optativa.indb 14

25/9/18 16:16

Propiedad Atención a la diversidad

Equivalencia o bicondicional Definición. Sean p, q dos proposiciones. Se llama equivalencia de p, q a la proposición compuesta (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) que se nota p ⇔ q y que se lee “p es equivalente a q” o también “p si y solo si q”.

De acuerdo con la definición de la equivalencia, la tabla de valores de verdad de la proposición (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es la siguiente: V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

N

q

Conexiones con

q

p ⇔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Jurisprudencia Una de las aplicaciones más comunes de la lógica matemática y de los métodos de demostración radica en la argumentación que realizan abogadas y abogados para sustentar sus hipótesis y demostrar sus tesis. Para ello, se basan en argumentos lógicos y el manejo de las leyes de la lógica matemática.

CA

Consecuentemente, observando la última columna, resulta que la tabla de valores de verdad de la proposición p ⇔ q es la siguiente: p

Sin importar las diferencias o similitudes que podamos tener unos con otros, siempre debemos tomar en cuenta que los comentarios y las visiones positivas nos estimulan y favorecen nuestro aprendizaje.

CIÓ

(p ⇒ q) (q ⇒ p) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

p

de lafuncional editorialen el aula

Shutterstock, (2018) . 119523826

Ejemplo

DU

Nota que la equivalencia de las proposiciones p, q es verdadera cuando los valores de verdad de p y q coinciden.

Consideremos la proposición compuesta: mi madre me compra libros si y solo si le aumentan el sueldo.

ma ya ® E

Sean las proposiciones:

p: mi madre me compra libros,

q: a mi madre le aumentan el sueldo.

Entonces, la proposición compuesta se escribe en forma simbólica como p ⇔ q. Diremos que esta proposición es verdadera cuando hay un equilibrio en la familia (una promesa de comprar libros, y un excedente de dinero para ese propósito).

Las leyes y la justicia se basan en argumentos lógicos.

•• Si la madre le compra los libros, v (p) = V y le incrementan el sueldo, v (q) = V, se tiene el excedente económico y cumple la promesa para hacerlo.

Se tiene v (p ⇔ q) = V. •• Si la madre no le compra los libros, v (p) = F, pero le incrementan el sueldo, v (q) = V, se dispone de recursos para comprar los libros, pero se rompe la promesa, por lo que se provoca un desequilibrio en la familia: v (p ⇔ q) = F. •• Finalmente, si v (p) = F, v (q) = F, no hay ni compra de libros ni aumento de sueldo. Se mantiene el equilibrio de la familia: v (p ⇔ q) = V. Resumiendo estos resultados en una tabla de valores de verdad, se obtiene la tabla de valores de verdad de la equivalencia arriba indicada.

15

Libro Matematica optativa.indb 15

25/9/18 16:16

1

Evaluación formativa

Propiedad de la editorial

ONCDM.5.3.1. Analizar y valorar la importancia de los métodos de demostraciones en la comprobación de las diferentes afirmaciones propuestas en matemática y otras áreas.

1

5

Responde la siguiente pregunta: ¿Qué significa sen (x), cos (x) para x R ?

Sean p, q proposiciones. Construye la tabla de valores de la proposición compuesta ¬ (¬p)∧(¬q) y verifica que coincide con la de p ∨ q.

a) Ecuador tiene 25 provincias. ______________________________________ b) Hay neblina en la ciudad. ______________________________________

3

En cada literal, niega la proposición dada e indica el valor de verdad de la proposición y de su negación.

a) p: 15 es un número impar, __________________ q: 42 es divisible por 7. __________________

______________________________________

b) p: el área de un cuadrado de lado 10 cm es 40 cm², __________________ q: el perímetro de un cuadrado de lado 10 cm __________________ es 100 cm.

______________________________________

ma ya ® E

a) p: 2 < 0. ______________________________________ b) q: es falso que un triángulo tiene cuatro lados. ______________________________________ c) v: es falso que 3 + 5 = 8. ______________________________________

4

Escribe la proposición p ∨ q e indica los valores de verdad de p, q y de p∨q.

DU

c) Todo cuadrado es un rectángulo. ______________________________________

6

CIÓ

Indica si el enunciado que se da es o no una proposición y, en caso afirmativo, representa con la letra p e indica su valor de verdad.

CA

2

N

______________________________________

Con las proposiciones p, q que en cada ítem se dan, escribe la proposición p ∧ q e indica los valores de verdad de p, q y de p ∧ q .

c) p: un kilogramo = 1 000 g, __________________ q: una libra = 1 000 g. __________________

______________________________________

7

Escribe los valores de verdad de p, q, y de p v q.

___________________ a) p: 9 es un número impar, q: 9 es un número primo. ___________________

a) p: el triángulo es rectángulo, q: el triángulo es equilátero, __________________ p v q: el triángulo es __________________ rectángulo o equilátero.

_______________________________________

______________________________________

b) p: un rectángulo es un cuadrilátero, q: un cuadrado es un rectángulo.

___________________

b) p: en este momento hago __________________ el deber de inglés,

___________________

q: en este momento hago __________________ el deber de matemáticas

_______________________________________

______________________________________

16

Libro Matematica optativa.indb 16

25/9/18 16:16

Propiedad

Sean p, q las proposiciones, escribe los valores de verdad de p, q, y de p ⇒ q.

a) p: obtengo excelentes calificaciones, q: la universidad me concede una beca.

____________________

Trabajo colaborativo de la editorial

Trabajen en equipo y realicen la siguiente actividad en sus cuadernos.

11 Sean p, q, r proposiciones. Mediante la elaboración de las tablas de valores de verdad, muestren que las proposiciones que se indican a continuación son siempre verdaderas cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones p, q, r.

____________________

_______________________________________ ____________________ b) p: 2n es par, _______________________________________ c) p: tú tienes piernas largas, __________________ q: tú puedes correr rápido. __________________

_______________________________________ Sean p, q proposiciones, escribe la proposición p ⇔ q e indica los valores de verdad de p, q y de p ⇔ q.

a) p: 2n es un número par, q: 4n² es un número par, donde n es un número entero.

__________________ __________________

_______________________________________ __________________ b) p: 5 < 3, q: 3 + a < 5 + a donde a es un número real. __________________

c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r). d) ¬ (p ⇔ q) ⇔ p v q.

12 Indiquen el valor de verdad de la proposición que en cada ítem se propone. Si es falsa, indiquen el resultado correcto.

a) p: 3 + 4 = 7.

π b) t: el área de un círculo de radio r es 2 r 2 .

10 2 56 c) u: 35 + 5 = 15 .

1 1 1 1 d) z: es verdad que 2 # 3 = 2 + 3 = 5 .

13 Consideren las proposiciones p: hoy realizo la ta-

ma ya ® E

_______________________________________ c) p: 2 = 4 , q: 2 × 6 ≠ 3 × 4. __________________ 3 6

_______________________________________ d) p: x - 2= 0, q: x =2.

__________________

_______________________________________

10

b) [(p ∨ q) ⇒ r] ⇔ [p ∨ (q ⇒ r)].

DU

9

a) p ⇔ (p ∧ p).

CIÓ

____________________

CA

q: 4n² es par.

N

8

Construye la tabla de valores de verdad para la siguiente proposición: {(p ⇒ q ) ∧ p } ⇒ q p

q p ⇒ q (q ⇒ p) ∧ p {(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q

V

V

V

F

F

V

F

F

rea de geometría, q: hoy realizo la tarea de inglés.

a) El objetivo es cumplir con las dos tareas.

Determinen los valores de verdad de p ∧ q, para los diferentes casos de ejecución o no de las tareas. b) El objetivo es cumplir con al menos una tarea.

Determinen los valores de verdad de p ∨ q para los diferentes casos de ejecución o no de las tareas.

Actividad indagatoria

14

15

Investiguen y escriban los símbolos que designan los conjuntos de los números naturales, enteros y racionales.

Justifiquen su respuesta. Para x, y  Z , expliquen si x²+ - y² es una expresión matemática correcta.

17

Libro Matematica optativa.indb 17

25/9/18 16:17

ONCDM.5.3.1. Analizar y valorar la importancia de los métodos de demostraciones en la comprobación de las diferentes afirmaciones propuestas en matemática y otras áreas.

Propiedad

Desequilibrio cognitivo ¿Cuántos valores de verdad puede tener una proposición?

ab c

Glosario

Las propiedades de los conectivos lógicos permiten construir las leyes de la lógica matemática.

Ejemplos resueltos

N

Explica ¿Cuándo dos argumentos de interpretación son idénticos?

de la editorial Tautologías, contradicciones, contingencias

1. Sean p, q proposiciones, verifiquemos que (p ∧ q) ∧ p ≡ p ∧ q.

Recuérdese que dos proposiciones son idénticas si sus valores de verdad coinciden. Para verificar que (p ∧ q) ∧ p ≡ p ∧ q, hemos de mostrar que los valores de verdad de la proposición (p ∧ q) ∧ p coinciden con los valores de verdad de la proposición p∧q. Construimos una tabla de valores de verdad.

proposición. Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede ser verdadera o falsa, nunca ambas a la vez.

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p ∧ q (p ∧ q) ∧ p

V

V

F

F

F

F

F

F

CA

p

CIÓ

Saberes previos

DU

Nota que en las dos primeras columnas se han dispuesto todos los valores de verdad de p y q. En la tercera columna están dispuestos los valores de verdad de la proposición compuesta p ∧ q. Con estos resultados se construye la cuarta columna [la conjunción de (p ∧ q) ∧ p]. Observamos que los valores de verdad de la tercera y cuarta columnas coinciden. Luego, las dos proposiciones son idénticas. Así, la proposición [p ∧ q] ⇔ (p ∧ q) ∧ p

ma ya ® E

es siempre verdadera, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes p, q. Esta es una tautología.

2. Sean p, q, r proposiciones, construyamos la tabla de valores de verdad de la proposición [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔[(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)].

Primero, construimos la tabla de valores de verdad de la proposición (q ∨ r), luego de [p ⇒ (q ∨ r)]. De manera similar, obtenemos la tabla de valores de verdad de las proposiciones p ⇒ q, p ⇒ r, y de (p ⇒ q) V (p ⇒ r).

18

p

q

r

q ∨r

[p ⇒ (q ∨ r)]

p

q

p ⇒q

r

p ⇒r

(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

F

V

V

Libro Matematica optativa.indb 18

25/9/18 16:17

Tautologías Definición. Las proposiciones que son verdaderas, cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones componentes, se denominan tautologías.

Contradicciones

Ejemplos resueltos

1. Sean p, q proposiciones, obtengamos la tabla de valores de verdad de la proposición [ p v q ]¬( p v q ).

V

V

F

F

V

F

F

p v q ¬ ( p v q ) [ p v q ][¬ ( p v q )] F V F V F F V F F F V F

ma ya ® E

V

DU

Para el efecto, construimos los valores de verdad de las proposiciones p v q , ¬( p v q ) y con estos resultados obtenemos los valores de verdad de la proposición propuesta. Tenemos q

De la definición precedente, la proposición [ p v q ][¬ ( p v q )] es una contradicción.

Contingencias

Propiedades de los conectivos lógicos Estas propiedades constituyen algunas leyes lógicas importantes, que pueden verificarse mediante la construcción de tablas de valores de verdad.

Sean p, q, r proposiciones.

1. Involución: 6J ^ Jp h@ + p.

2. Idempotentes: i. 6 p / p @ + p. ii. 6 p 0 p @ + p.

3. Conmutativas: i. 6 p / q @ + 6q / p @ . ii. 6 p 0 q @ + 6q 0 p @ . iii. 6 p Q q @ + 6q Q p @ . iv. 6 p + q@ + 6 q + p @ .

4. Asociativas: i. 6^ p / q h / r @ + 6 p / ^ q / r h@ . ii. 6^ p 0 q h 0 r @ + 6 p 0 ^ q 0 r h@ . iii. 6^ p Q q h Q r @ + 6 p Q ^ q Q r h@ . iv. 6^ p + q h + r @ + 6p + ^ q + r h@ .

5. Distributivas: i. 6p / ^ q 0 r h@ + 6^ p / q h 0 ^ p / r h@ . ii. 6p 0 ^ q / r h@ + 6^ p 0 q h / ^ p 0 r h@ . iii. 6p & ^ q 0 r h@ + 6^ p & q h 0 ^ p & r h. iv. 6p & ^ q / r h@ + 6^ p & q h /^ p & r h. v. 6p / ^ q Q r h@ + 6^ p / q h Q ^ p / r h@ .

6. De De Morgan: i. 6J ^ p / q h@ + 6^ Jp h 0 ^ Jq h@ . ii. 6J ^ p 0 q h@ + 6^ Jp h / ^ Jq h@ .

CA

Esta clase de proposiciones pueden verificarse, en principio, mediante la construcción de tablas de valores de verdad.

p

Recuerda que...

de la editorial

CIÓ

Definición. Las proposiciones que son falsas, cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones componentes, se denominan contradicciones.

Propiedad

N

De estas dos tablas, al comparar los respectivos valores de verdad de las proposiciones [p  (q ∨ r)] y de (p  q) ∨ (p  r), vemos que todos los valores de verdad coinciden, con lo que la proposición dada es siempre verdadera cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones p, q, r.

Una proposición como esta se llama tautología.

Definición. Las proposiciones que son verdaderas y falsas, dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se denominan contingencias.

Esta clase de proposiciones pueden verificarse, en principio, mediante la construcción de tablas de valores de verdad.

Ejemplos resueltos

1. Sean p, q proposiciones, verifiquemos que p ≠ p v ^ p v q h . Para el efecto, construyamos la tabla de valores de verdad de la proposición p ∨ (p ∨ q) y mostremos que los valores de verdad de esta proposición no coinciden totalmente con los de p.

19

Libro Matematica optativa.indb 19

25/9/18 16:17

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

N

Comparando los valores de verdad de las proposiciones p y p ∨ (p ∨ q) que corresponden a los de la primera y cuarta columnas, vemos que no coinciden, mientras que los de la tercera columna coinciden. Luego, las proposiciones p y p ∨ (p ∨ q) no son idénticas.

Así, p ≠ p v ^ p v q h , o también p [p ∨ (p ∨ q)] es una contingencia.

2. Sean p, q, r proposiciones, construyamos la tabla de valores de verdad de la proposición

[p ∧ ( q v r )][(p ∧ q) r].

Primero, construimos la tabla de valores de verdad de la proposición, p ∧ ( q v r ), luego de (p ∧ q) r. Comparamos estos resultados y concluimos. r q vr p ∧( q vr )

p

q p ∧q r

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

V

p

q

V

V V

V

V

F

V

F

V

F

V F F F

ma ya ® E

10. Transitivas: i. 6^ p & q h / ^ q & r h@ & 6 p & r @ . ii. 6^ p + q h / ^ q + r h@ & 6p + r @ .

11. Absorción: i. 6 p 0 ^ p / q h@ + p. ii. 6 p / ^ p 0 q h@ + p.

12. Modus ponendo ponens: 6^ p & q h / p @ & q.

13. Modus tollendo tollens: 6^ p & q h / ^ Jq h@ & ^ Jp h .

14. Modus tollendo ponens: 6^ p 0 q h / ^ Jp h@ & q.

q

CIÓ

(reducción al absurdo).

8. De simplificación: i. p & ^ p 0 q h . ii. q & ^ p 0 q h . iii. ^ p / q h & p. iv. ^ p / q h & q 9. Transposición: i. 6 p & q@ + 6^ Jq h & ^ Jp h@ . ii. 6 p + q@ + 6^ Jq h + ^ Jp h@ . iii. 6 p Q q @ + 6^ Jq h Q ^ Jp h@ . iv. 6 J ^ p + q h@ + 6 p Q q @ .

(p ∨ q) p ∨ (p ∨ q)

p

CA

Propiedades de los conectivos lógicos 7. Condicionales: i. 6J ^ p + q h@ + 6 p / ^ Jq h@ . ii. 6^ p & q h@ + 6J ^ p / ^ Jq hh@ .

Propiedad Nota que para determinar los valores de verdad de la proposición p ∨ (p ∨ q), la editorial necesitamos conocer los valores de verdad de ladeproposición (p ∨ q). Tenemos

DU

Recuerda que...

F

F

F

F

(p ∧ q) r

Al comparar las últimas columnas de las dos tablas, vemos que únicamente los resultados de la tercera fila coinciden; en todos los demás casos los valores son distintos, o sea, la proposición dada es falsa.

Operaciones con proposiciones Sean p, q proposiciones. Hemos visto que las proposiciones p q y (¬ p) ∨ q tienen exactamente los mismos valores de verdad, y en consecuencia p q ≡ (¬ p) ∨ q, lo que pone de manifiesto que la proposición p q se puede expresar en términos de los conectivos lógicos negación y disyunción.

Ejemplos resueltos

1. Sean p, q proposiciones. Comencemos con la equivalencia.

•• Por definición, se tiene pq ≡ (p q) ∧ (q p).

•• Además, p q ≡ (¬ p) ∨ q, y, q p ≡ (¬ q) ∨ p.

•• Reemplazando p q por (¬ p) ∨ q y q p por (¬ q) ∨ p, en la definición de equivalencia (principio de sustitución) tenemos,

20

Libro Matematica optativa.indb 20

pq ≡ [(¬ p) ∨ q] ∧ [(¬ q) ∨ p].

25/9/18 16:17

•• En conclusión, si p, q son proposiciones, se ha probado o demostrado que pq ≡[(¬ p) ∨ q] ∧ [(¬ q) ∨ p].

2. Sean p, q proposiciones, demostremos que (p ∧ q) (¬ p) ∨[(¬ q) ∨ q].

•• Para demostrar que las proposiciones (p ∧ q) q y (¬ p) ∨ [(¬ q) ∨ q] son idénticas o lógicamente equivalentes, partimos de la proposición (p ∧ q) q y obtenemos la proposición (¬ p) ∨ [(¬ q) ∨ q]. (p ∧ q) q ≡ [(¬ p) ∨ (¬ q)]∨ q.

•• Por la propiedad asociativa de la disyunción, obtenemos: (p ∧ q) p ≡ (¬ p) ∨ [(¬ q) ∨ q].

Conexiones con

de la editorial

Demostraciones Consideremos la bidisyunción.

• Puesto que p v q ≡ ¬ (p ⇔ q), por el resultado del ejercicio 1 y por el principio de sustitución, se tiene p v q≡ [¬ ((¬ p) ∨ q) ∧ ((¬ q) ∨ p)].

• Por las leyes de De Morgan, se tienen los resultados: p v q≡[¬ ((¬p) ∨q)] ∨[¬((¬ q) ∨p)]. ¬((¬ p) ∨ q) ≡ (¬ (¬ p)) ∧ (¬ q) ¬((¬ q) ∨ q) ≡ (¬ (¬ q)) ∧ (¬ p).

• Como ¬(¬ p) ≡ p, ¬(¬ q) ≡ q, por el principio de sustitución resulta que ¬((¬ p) ∨ q) ≡ p ∧ (¬q), ¬ ((¬ q) ∨ p) ≡ q ∧ (¬ p), p v q ≡ [p∧ (¬ q)] ∨ [q ∧ (¬ p)].

• Por la propiedad conmutativa de la conjunción y disyunción, podemos presentar el resultado anterior en la forma: p v q ≡ [(¬ p) ∧ q] ∨ [p ∧ (¬ q)].

CIÓ

•• Por las leyes de De Morgan, tenemos ¬ (p ∧ q) ≡ (¬ p) ∨ (¬ q), luego

Propiedad

N

•• Al utilizar las tablas de valores de verdad de las proposiciones pq y [(¬ p) ∨ q] ∧ [(¬ q)] ∨ p, se verifica que estas dos proposiciones tienen exactamente los mismos valores de verdad.

Nota que la proposición (¬q) ∨ q es siempre verdadera, cualesquiera que sean los valores de verdad de la proposición q.

CA

Al utilizar las tablas de valores de verdad de las proposiciones (p ∧ q) q y (¬ p) ∨ [(¬ q) ∨ q], puede verificarse que estas dos proposiciones tienen exactamente los mismos valores de verdad, cualesquiera que sean los valores de verdad de p, q.

DU

•• Otra manera de hacerlo es a partir de la proposición (¬ p) ∨ [(¬ q) ∨ q] y obtener la proposición (p ∧ q) q.

3. Sean p, q, r proposiciones. probemos que

p (q ∨ r) ≡ (p q) ∨ (p r).

•• Para probar que la proposición p (q ∨ r) es equivalente a la proposición (p q) ∨ (p r), partiremos de esta última y deduciremos la primera.

ma ya ® E

•• Dado que p q ≡ (¬ p) ∨ q, p r ≡ (¬ p) ∨ r,

y por el principio de sustitución, tenemos

(p q) ∨ (p r) ≡ [(¬ p) ∨ q] ∨ [(¬ p) ∨ r].

•• Por otro lado, la disyunción es asociativa y conmutativa, entonces: [(¬ p) ∨ q] ∨ [(¬ p) ∨ r ]

≡ [((¬ p) ∨ q) ∨ (¬ p)] ∨ r ≡ [(¬ p) ∨ (q ∨ (¬ p))] ∨ r ≡ [(¬ p) ∨ ((¬ p)) ∨ q] ∨ r ≡ [((¬ p) ∨ (¬ p)) ∨ q] ∨ r.

•• Además, (¬ p) ∨ (¬ p) ≡ ¬ p, luego ((¬ p) ∨ (¬ p)) ∨ q ≡ (¬ p) ∨ q, y, en consecuencia, [(¬ p) ∨ q] ∨ [(¬ p) ∨ r]

≡ ((¬ p) ∨ q) ∨ r

≡ (¬ p) ∨ (q ∨ r) ≡ p  (q ∨ r).

•• Por lo tanto, (p q) ∨ (p r) ≡ p (q ∨ r).

•• Esta propiedad nos muestra que la implicación es distributiva respecto a la disyunción.

21

Libro Matematica optativa.indb 21

25/9/18 16:17

2

Evaluación formativa

Propiedad de la editorial

ONCDM.5.3.1. Analizar y valorar la importancia de los métodos de demostraciones en la comprobación de las diferentes afirmaciones propuestas en matemática y otras áreas.

1

Sean p, q, r proposiciones. Elabora las tablas de valores de verdad, y deduce en cada ítem si la proposición que se da es tautología, contingencia, contradicción.

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

(p∨q)

(p∨q) r

p ∨ (q r)

q r

[(p∨q) r] [p ∨ (q r)]

CIÓ

r

CA

q

Prueba las equivalencias lógicas o identidades que se proponen, donde p, q son proposiciones. Para el efecto, parte del lado izquierdo y obtén el lado derecho. Justifica cada paso.

a) [¬((¬ p) ∨ (¬ q))] ∧ (p ∧ q) ≡ p ∧ q. q

V

V

¬p

¬q

(¬ p) ∨ (¬ q)

[¬ ((¬ p) ∨ (¬ q))]

p ∧q

[¬((¬ p) ∨ (¬ q))] ∧ (p ∧ q)

ma ya ® E

p

DU

2

p

N

a) p(p ∧ p). b) [(p ∨ q)  r]  [p ∨ (q  r)]. c) [(p q) ∧ (q r)]  (q r). d) (pq)( p v q).

V

F

F

V

F

F

b) (¬ q) p ≡ p ∨ q.

3

22

Sean p, q proposiciones. En cada ítem se define una proposición. Expresa cada una en términos de al menos uno de los tres conectivos lógicos: negación, conjunción, disyunción.

a) (p q) ∧ q. __________________________________

c) [¬p (¬q)] ∧ p. ___________________________________

b) ¬ (p (¬ q)). __________________________________

d) p Q ^ q & p h . ___________________________________

Libro Matematica optativa.indb 22

25/9/18 16:17

4

Propiedad Sean p, q proposiciones. Mediante la elaboración de las tablas de valores de verdad, deduce en cada ítem si la de la editorial proposición que se da es una contingencia.

a) [¬ (q (¬ p))] ∧ q.

V

V

V

F

F

V

F

F

¬p

q (¬ p)

b) (p ∧ q)(p ∨ q). (p ∧ q)

¬ [q (¬ p)] ∧ q

¬ [q (¬ p)]

N

q

c) ((¬ q )  p) ∧ (p ∨ q). (p ∨ q)

CIÓ

p

p q ¬ q (¬ q)  p p ∨ q ((¬ q) p) ∧ (p ∨ q)

(p ∧ q) (p ∨ q)

q

V

V

V V

V

F

V F

F

V

F V

F

F

F F

CA

p

Trabajo colaborativo

DU

Trabajen en equipo y realicen la siguiente actividad en sus cuadernos.

5 Sean p, q proposiciones. Elaboren las tablas de

7 Sean p, q proposiciones. Elaboren las tablas de

valores de verdad y deduzcan en cada ítem si la proposición que se da es una contradicción.

valores de verdad y deduzcan en cada ítem si la proposición que se da es una tautología, contingencia o una contradicción.

a) [¬ p (¬ q)]  (¬ p ∧ q).

a) p (q ∧ r).

ma ya ® E

b) [pq]([p ∧ (¬ q)] ∨ [q ∧ (¬ p)]). c) (p [¬ (p ∨ q)])p.

b) p ( q v r ).

6 Sean p, q proposiciones. Elaboren las tablas de

d) ((¬ q) v p) (p ∧ (¬ q)).

c) p v (q p).

valores de verdad y deduzcan en cada ítem si la proposición que se da es una tautología.

e) [¬(q (¬ p))] ∧ q ≡ p ∧ q. f) (pq) p ≡ (p ∧(¬ q)) ∨ (q ∧ (¬ p).

a) " 6 p 0 ^ Jp h 0 q @ / ^ p 0 ^ Jq hh , + ^ p 0 ^ Jq hh . b) " ^ Jp h & ^ q / p h , + p.

Actividad indagatoria

Indaguen sobre las leyes del álgebra de proposiciones y resuelvan.

8

Sean p, q proposiciones. En cada ítem se define una proposición. Partiendo del lado izquierdo, mediante operaciones con proposiciones, deduzcan el lado derecho.

a) (¬ p) (q ∧ p) ≡ p.

c) p(q ∨ (¬ p)) ≡ p ∧ (¬ p ∨ q).

b) p v (q ∧ p) ≡ p ∧ (¬ q).

d) p v (q ∨ p) ≡ (p ∨ q) ∧ (¬ p).

23

Libro Matematica optativa.indb 23

25/9/18 16:17

ONCDM.5.3.2. Explicar las definiciones básicas (axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.

Propiedad

Desequilibrio cognitivo ¿Qué será un cuantificador universal y un cuantificador existencial?

Función proposicional Definición. Sea A un conjunto no vacío. Una función proposicional sobre A, a una o varias variables, es una expresión tal que cuando reemplaza la variable o las variables por elementos del conjunto A, da como resultado una proposición.

N

Explica con tus palabras: ¿qué es un cuantificador?

Funciones proposicionalesde la editorial y cuantificadores

CIÓ

Saberes previos

Sea ƒ una función proposicional sobre el conjunto A. Para x ∈A, escribimos f (x): condición sobre x ∈A, se lee “función proposicional ƒ de x”, f (x) es una proposición que puede ser verdadera o falsa. En el caso verdadero, se escribe v (f (x))=V; en el caso contrario, v (f (x)) =F. Conjunto de validez

Ejemplos resueltos

1. Sea E = N el conjunto de los números naturales. Consideramos la función proposicional sobre el conjunto N: p (n) : n ∈ N, tal que n ≤ 20 y n es primo.

ma ya ® E

En lógica, se usa el símbolo 6, denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto, se cumple la proposición dada a continuación.

El cuantificador existencial 7 antepuesto a una variable se utiliza para indicar que existe al menos un elemento del conjunto que cumple con la proposición.

Obviamente Av ⊂ A. El conjunto Av es vacío cuando v (p (x)) =F para todos los elementos del conjunto A.

DU

Recuerda que...

CA

Definición. Sea A un conjunto no vacío y p una función proposicional sobre A. El conjunto Av={x ∈A|v (p (x)) =V} se llama conjunto de validez de p (x) sobre A, donde v (p (x)) = V denota el valor de verdad de p(x) como verdadero.

Los siguientes son números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,…

Entonces p(2) es una proposición verdadera, pues 2 ∈ N, 2 ≤ 20 y 2 es primo; p (19) es una proposición verdadera; p (23) es una proposición falsa, pues 23 ∈ N, es primo, pero 23 >20;

p (14) es una proposición falsa, pues 14 ∈ N, 14 no es primo y 14 <20.

El conjunto de números naturales cuya función proposicional p es verdadera se escribe como A= {n ∈ N |p (n)}.

Entonces A = {2, 3, 4, 7, 11, 13, 17, 19}. Nota que 23 ∉A, 41 ∉A, 11 ∉A. 2. Sea E el conjunto referencial formado por las provincias del Ecuador.

Consideremos las dos funciones proposicionales sobre E siguientes: p (x): x ∈E es una provincia de la Costa o es de Galápagos, q (x): x ∈E es una provincia de la Sierra o del Oriente.

24

Libro Matematica optativa.indb 24

25/9/18 16:17

•• Análogamente, para x = Imbabura, se tiene que la proposición p (Imbabura) es falsa, así: p (Imbabura) designa a la proposición “Imbabura es una provincia de la Costa”, que es una proposición falsa; q (Imbabura) es una proposición verdadera, ya que “Imbabura es una provincia de la Sierra”.

Sean A, B los conjuntos definidos como a continuación se indica: A={x ∈E | p(x)}, B={x ∈E | q(x)}.

Recuerda que...

de la editorial

Relación entre los cuantificadores Sean A un conjunto no vacío y p (x) una función proposicional sobre A, se tienen las siguientes relaciones: i. p (x), 6 x ∈A⇔ ¬ (∃ x ∈A, tal que ¬ p (x)). ii. ∃ x ∈A, tal que p (x) ⇔ ¬ (¬ p(x), 6 x ∈A).

Las relaciones i. y ii. precedentes se escriben también de la siguiente forma: i. ¬ p (x) 6 x ∈A⇔ ¬ (∃ x ∈A, tal que p (x)). ii. ∃ x ∈A, tal que ¬ p (x) ⇔ ¬ (p (x), 6 x ∈A).

CIÓ

Los elementos x de E que hacen verdadera p(x) son las provincias de la Costa o de Galápagos. Luego

Propiedad

N

•• Pongamos x = Manabí. Entonces p (Manabí) es una proposición verdadera ya que Manabí es una provincia de la Costa, mientras que la proposición q (Manabí) es falsa.

A = {El Oro, Guayas, Los Ríos, Santa Elena, Manabí, Esmeraldas, Galápagos}.

CA

Los elementos x de E que hacen verdadera q(x) son las provincias de la Sierra o del Oriente. Entonces, Z] Loja, Azuay, Cañar, Chimborazo, Bolivar, Tungurahua, Cotopaxi, _b bb ]] B = ][ Pichincha, Sto. Domingo de los Tsáchilas, Imbabura, Carchi, Zamora b`. b ]] ]] Chinchipe, Morona Santiago, Pastaza, Napo, Orellana, Sucumbíos bbb a \ Cuantificador universal

DU

El símbolo 6se llama cuantificador universal y se lee “para todo” o también “cualquiera que sea”.

Sea p una función proposicional sobre un conjunto no vacío A. Si Av= A, entonces v (p (x))=V para todo x ∈A, que se escribe p (x), 6x ∈A,

ma ya ® E

es decir que el enunciado p (x) es verdadero cualquiera que sea x ∈A.

La expresión p (x), 6x ∈A es una proposición verdadera, llamada proposición universal. Se tiene la siguiente equivalencia: (p (x), 6x ∈A)Av=A.

Cuantificador existencial

El símbolo ∃ se llama cuantificador existencial y se lee “existe al menos uno”.

Sea p una función proposicional sobre un conjunto no vacío A. Si Av≠ ∅, entonces existe algún x ∈A, tal que v (p (x)) = V, que se escribe ∃ x ∈A, tal que p (x),

esto es, el enunciado p(x) es verdadero para al menos un x ∈A. La expresión ∃ x ∈A, tal que p (x) es una proposición verdadera llamada proposición existencial. Se tiene la siguiente equivalencia: ∃ x ∈A, tal que p (x) ⇔Av ≠∅.

La notación ∃ ! x ∈A, tal que p (x) se utiliza para indicar que existe un único elemento de A que hace verdadera a p(x). Esto es (∃ ! x ∈A, tal que p (x)) ⇔Av={x}.

En algunos textos se escribe ∃ x ∈A|p (x), en lugar de ∃ x ∈A, tal que p (x).

Libro Matematica optativa.indb 25

25

25/9/18 16:17

ONCDM.5.3.2. Explicar las definiciones básicas (axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.

Propiedad

Saberes previos Reflexiona ¿En qué contexto utilizas la palabra primitivo?

de la editorial Definiciones, axiomas, lemas, teoremas y corolarios Conceptos primitivos y no primitivos

ab c

Glosario

N

Conceptos primitivos

Un concepto primitivo no es susceptible de definición, es decir que no se expresa con otros términos o palabras más sencillas que previamente hayan sido definidas. Se admite que al formular un concepto primitivo, cada individuo concibe la misma idea respecto a la que tienen todos los demás.

Algunos de los conceptos primitivos que se tratan en matemática son: punto, recta, plano, espacio, conjunto, elemento, número, positivo, negativo.

Conceptos no primitivos

Los conceptos no primitivos se expresan en términos de otros más sencillos, de otros previamente definidos o de conceptos primitivos.

Los siguientes son conceptos no primitivos: número natural par, número natural impar, número primo, números racionales, reales y complejos, circunferencia, esfera, triángulo rectángulo, triángulo equilátero, función real, aplicación lineal, forma cuadrática, circunferencia, elipse, parábola, hipérbola, matriz cuadrada invertible, grupo abeliano, media aritmética, desviación estándar, etc.

DU

primitivo. De los orígenes o primeros tiempos de alguna cosa. ambigüedad. Posibilidad de que algo pueda entenderse de varios modos o de que admita distintas interpretaciones.

Se conocen dos tipos de conceptos matemáticos: los primitivos y los no primitivos.

CIÓ

Analiza ¿Cómo crees que se relacionan en el lenguaje común los conceptos primitivos y no primitivos?

CA

Desequilibrio cognitivo

Definiciones

ma ya ® E

Las definiciones pueden ser utilizadas para aclarar ambigüedades, y las imprecisiones del lenguaje para hacerlas más precisas.

Las definiciones simplemente asignan un significado a una palabra, a una expresión o frase, introducen abreviaciones convenientes o nueva simbología, apropiadas notaciones con sus respectivos significados, introducen nuevas palabras en el lenguaje, etc. Las definiciones no se demuestran ni tiene sentido intentarlo.

El estudiante tiene que familiarizarse inmediatamente con cada definición que se propone, pues estas son utilizadas sistemáticamente en la elaboración de los conceptos no primitivos.

Ejemplos

1. Se designa con Z al conjunto de los números enteros provisto de la operación producto x. Sean a, b ∈ Z con a ≠ 0. Se dice que a divide a b, o que b es divisible por a, que se escribe a|b, si y solo si existe k ∈ Z , tal que b= ka.

En esta definición interviene directamente el conjunto de los números enteros y la multiplicación de números enteros.

2. Sean A, B dos subconjuntos de E. La unión de los conjuntos A y B se nota y define como el conjunto A∪B = {x ∈E | x ∈A ∨ x ∈B}.

26

Libro Matematica optativa.indb 26

En esta definición se prescinde de los conceptos primitivos de conjunto, pertenece a, e interviene el concepto no primitivo de la disyunción.

25/9/18 16:17

f (-x) = f (x), 6x ∈A.

Historia Euclides (325 a. C-265 a. C.) es el matemático más famoso de la Antigüedad. Se dice que estudió en la escuela fundada por Platón.

Su obra más importante tiene el nombre de Los elementos, la cual se caracteriza por la sistematización, orden y argumentación de los elementos geométricos matemáticos. En ella se enuncian los cinco principales postulados de la Geometría.

CIÓ

Esta es una definición explícita ya que intervienen el concepto de conjunto simétrico de números reales y el de función real.

Conexiones con

de la editorial

Axioma o postulado, teorema, lema y corolario Axiomas o postulados

Teoremas

CA

Los axiomas son proposiciones que se admiten siempre como verdaderas.

Estas constituyen la base sobre la cual se demuestran otras proposiciones y se elaboran los conceptos no primitivos. Los axiomas no se demuestran.

A los axiomas se les suele llamar también postulados. Más aún, los axiomas y los postulados significan lo mismo.

DU

Son proposiciones que se deducen o demuestran a partir de otras anteriores ya demostradas y de los axiomas, utilizando conceptos primitivos y no primitivos, las definiciones y ciertas reglas de la lógica llamadas reglas de la lógica matemática.

Pintura de Euclides.

ma ya ® E

Los resultados fundamentales de una teoría matemática están dados por los teoremas con sus correspondientes demostraciones que sucesivamente se van incorporando a dicha teoría. En este contexto surge la palabra “demostración” como nuevo término cuya explicación se dará más adelante.

Wikimedia Commons, (2018). www.wikipedia.org

4. Sean A un subconjunto de R , tal que a ∈A, -a ∈A, y ƒ una función real definida en A. Se dice que ƒ es una función par si y solo si ƒ satisface la condición

Propiedad

N

3. Se denota con R al conjunto de los números reales. El producto cartesiano R × R se designa con R 2 y se define como el conjunto, {(x, y) | x, y ∈ R }, esto es, R 2 = {(x, y) | x, y ∈ R }. El conjunto R 2 corresponde a una definición explícita, pues en ella intervienen conceptos conocidos como son: par ordenado, producto cartesiano y número real como parte del sistema de los números reales.

Lema

Un lema es una proposición que se demuestra, por lo tanto, es un teorema.

Los lemas se proponen dentro de la teoría como proposiciones (teoremas) previas que permiten obtener resultados preliminares o preparatorios a la demostración de un teorema que constituye uno de los resultados fundamentales o más importantes de la teoría.

Corolario

Un corolario es una proposición que se demuestra. Es, por lo tanto, un teorema. Los corolarios son, en general, consecuencias de un teorema y se introducen en la teoría matemática para obtener resultados complementarios.

El teorema (lema, corolario) y la demostración, por lo general, vienen juntos a menos que por alguna razón se enuncie el teorema y se deje la demostración por tener argumentos que aún no están al alcance o porque se puede tratar como un ejercicio para el estudiante.

Observación: como se ha dicho anteriormente, la comprensión y familiarización de las definiciones, los axiomas y los teoremas junto con sus demostraciones, las estructuras y modelos constituyen el núcleo de la matemática.

27

Libro Matematica optativa.indb 27

25/9/18 16:17

ONCDM.5.3.2. Explicar las definiciones básicas (axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.

Propiedad

Métodos de demostraciónde la editorial

Saberes previos

s Responde ¿Qué proposiciones no tienen demostración?

1. Las aceptadas sin demostración, que son los axiomas o postulados que son admitidos como verdaderos, y en los que no hay nada que demostrar.

2. Las deducidas, llamadas teoremas (lemas, corolarios), que sí se demuestran.

N

Desequilibrio cognitivo

Hemos precisado que todas las proposiciones de matemática se clasifican en dos tipos:

Hipótesis y tesis

Por lo general, el enunciado de un teorema incluye explícitamente la o las proposiciones de partida. A estas las denominaremos hipótesis (H) del teorema.

CIÓ

Explica ¿En qué te fundamentas cuando necesitas demostrar que tu argumento sobre algún tema es válido?

Si partiendo de la o las hipótesis H se puede deducir otra proposición, esta es llamada tesis (T). En otros términos, debemos verificar que la proposición H ⇒ T es verdadera. Se tienen las siguientes equivalencias: (H ⇒ T)⇔[ (¬ H) ∨ T]

⇔ [(¬ T) ⇒ (¬ H)]

CA

⇔ [¬ (H ∧ (¬ T))].

La demostración de un teorema Glosario

ma ya ® E

demostración. Razonamiento, acción o cosa con que se demuestra que determinada cosa es verdad. argumento. Razonamiento que demuestra, refuta o justifica algo.

Es importante saber en qué consiste la demostración de un teorema.

De manera muy general, podemos decir que la demostración de un teorema es un procedimiento en el que se enlazan o combinan dos o más proposiciones o resultados ya establecidos, utilizando ciertas reglas lógicas que conducen a establecer la verdad del enunciado del teorema. La validez de la demostración de un teorema resulta de la validez de las proposiciones, de los resultados utilizados y de las reglas lógicas que en ella intervienen.

En definitiva, de todos los argumentos sólidos que den sustento al procedimiento establecido.

DU

ab c

Otros resultados formulados en teoremas consisten, por ejemplo, en verificar o probar la igualdad de conjuntos o de contenencia de un conjunto sobre otro, probar la igualdad o desigualdad de elementos, en obtener fórmulas e identidades, y demostrar o verificar propiedades de estructuras debidamente establecidas.

La demostración no se limita únicamente a los teoremas (lemas o corolarios). Esta se aplica a ejercicios y problemas.

Z] Método directo ]] ]] Método de reducción al absurdo Métodos: [] ]] Método de la contraposición ]] Método de inducción \ Los métodos serán aplicados en esta serie de matemática. Cuando no se especifique el método que se está empleando, se entiende que es el método directo el que se utiliza; caso contrario, se precisa el método de demostración que se aplicará.

Veamos cada uno de estos métodos.

28

Libro Matematica optativa.indb 28

25/9/18 16:17

Propiedad

Método directo

Recuerda que...

Este es uno de los métodos de demostración que en lo sucesivo se utilizará.

En la proposición H ⇒ T, T se dice condición necesaria para H; y H se dice condición suficiente para T. Método de reducción al absurdo

CIÓ

Este método se conoce también como método de demostración por contradicción. De acuerdo con la tautología (H ⇒ T) ⇔[(¬ T) ⇒ (¬ H)], se origina el método de demostración por reducción al absurdo que consiste en lo siguiente:

Muchos teoremas reclaman por la existencia de algún elemento. Así, cuando está completamente identificado un conjunto y un determinado elemento pertenece al conjunto, un teorema contiene las palabras “existe un elemento” o “existe al menos un elemento”. La demostración de esta clase de teoremas consiste en la construcción de un tal elemento que puede ser en forma explícita o, en su defecto, que puede ser encontrado al menos en teoría (posiblemente nunca se lo vea en forma explícita). Adicionalmente al reclamo de la existencia, existe la unicidad de este. En tal caso, la demostración del teorema, por lo general, consiste en suponer la existencia de al menos dos elementos que tienen la misma propiedad y, luego de los razonamientos lógicos correspondientes, concluir que dichos elementos coinciden.

Con frecuencia vamos a encontrar teoremas de esta naturaleza.

N

Este consiste en lo siguiente. De acuerdo con la tabla de valores de verdad de la implicación, para demostrar que la proposición H ⇒ T es verdadera, se asume que v (H) = V y se deduce v (T) = V, con lo cual v (H ⇒ T) = V.

de la editorial

Suponemos que v (T) = F, luego v ((¬ T)) = V. A continuación se prueba que v ((¬ T)) ⇒ (¬H)) = V, es decir que v (H ⇒ T) = V y como v (T) =F, se sigue que v (H) = F, pero las hipótesis se consideran siempre verdaderas, esto es, v (H) =V. Así, obtenemos v (H) = F y v (H) = V, lo que constituye un absurdo o un resultado imposible o contradictorio.

CA

De acuerdo con la tabla de valores de verdad de la implicación, para demostrar que la proposición H ⇒ T es verdadera, es suficiente deducir que la hipótesis H es verdadera y que T es falsa.

Método de la contraposición

DU

De la tautología (H ⇒ T) ⇔ [(¬ T) ⇒ (¬ H)], se sigue que para demostrar que la proposición T es verdadera sabiendo que la proposición H es verdadera, basta demostrar que [((¬T) ⇒ (¬ H))] es una proposición verdadera.

Como v (H) =V, v (¬H) =F, demostrado que v ((¬ T) ⇒ (¬ H)) = V, se deduce que v (¬T) = F y, en consecuencia, v (T) =V.

ma ya ® E

Nota: con frecuencia se presentan teoremas que tienen la forma H ⇔ T. Para demostrar estos teoremas se debe utilizar la definición de la equivalencia.

H ⇔ T ≡ [(H ⇒T) ∧ ( T ⇒ H)],

lo que nos conduce a verificar la validez de H ⇒ T y T ⇒ H. O sea, debemos demostrar que las dos implicaciones son verdaderas. Se utiliza, entonces, el símbolo ⇒ al inicio de la demostración para indicar que se va a proceder a la prueba de la proposición H ⇒ T. De manera similar, el símbolo ⇐ al inicio de la demostración nos indica que se va a proceder a demostrar la proposición T ⇒ H. Cuando se debe verificar que H ⇒ T es verdadera, se asume que la hipótesis H es verdadera y se prueba que T es verdadera v (H ⇒ T) = V.

Recíprocamente, cuando se debe verificar T ⇒ H es verdadera, se asume, que la hipótesis T es verdadera y se debe deducir que H es verdadera (método directo), con lo que v (H ⇒ T) = V. En la proposición H ⇔ T se dice también que la condición necesaria y suficiente para que H sea verdadera es que T sea verdadera.

Método de inducción

Este método se explica en la unidad 4.

Libro Matematica optativa.indb 29

29

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3

Evaluación formativa

Propiedad de la editorial

ONCDM.5.3.2. Explicar las definiciones básicas (axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.

En este conjunto también se definieron las relaciones de orden: menor que <, mayor que >, menor o igual que ≤, mayor o igual que ≥. Es preciso que revises estos y otros resultados de la estructura algebraica y de orden de los números reales.

⇐) Hipótesis H: supongamos b = c. La operación producto asigna a dos números reales x, y el único número real xy.

Tesis T: ab = ac.

Para a, b ∈ R se asigna ab y como b = c, entonces ab = ac.

Sean a, b, c ∈ R , demuestra:

a) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, a = a + b = c, y, b = c + b = c. c b a a b) a + b = a + c ⇔ b = c. c) a - b = a - c ⇔ b = c. d) 0 × a = 0.

3

Sean a, b ∈ R , demuestra que a (-b) = (-a) b = -ab.

DU

Recuerda que por notación, para x ∈ R , se escribe x²= xx, x³= x²x, y así sucesivamente.

N

En el conjunto de los números reales R se han definido dos operaciones (adición y producto), y algunas propiedades básicas de estas operaciones (axiomas), tales como: conmutativa, asociativa para la adición y producto; existencia del elemento cero para la adición; existencia del elemento unidad 1 para el producto; existencia de opuestos aditivos; existencia de opuestos multiplicativos de elementos no nulos; y propiedad distributiva.

Por hipótesis, ab= ac. Entonces, b = (ab) a-¹= (ac)a-¹ = c (aa-¹) = c x 1 = c.

CIÓ

Lee el siguiente texto y resalta los temas de mayor importancia para ti.

CA

1

En cada ejercicio, primero se plantea una proposición; identificamos las hipótesis H (algunas veces no están en forma explícita), la tesis T. Esta proposición es demostrada con el método directo. A continuación se plantean proposiciones por ser demostradas. Escribe las hipótesis, la tesis y luego justifica cada paso.

Hipótesis H: a, b ∈ R . R , con la operación adición, es grupo conmutativo; R \ {0} con el producto es grupo conmutativo.

2

Sean a, b, c ∈ R con a ≠ 0, demuestra que ab = ac y solo si b = c.

Por la existencia de opuestos aditivos, el opuesto aditivo de ab es -ab, lo cual verifica que ab + (-ab) = 0, (1)

Se tiene que demostrar una equivalencia; esto significa que se deben probar dos implicaciones: (ab = ac ⇒ b = c), y, (ab = ac ⇐ b = c).

El opuesto aditivo de b es -b y es tal que b + (-b) = 0.

Por la propiedad distributiva, y como a × 0 = 0, se tiene

ma ya ® E

Tesis T: a(-b) = (-a)b = -ab.

Para indicar que se va ejecutar la primera implicación, se escribe ⇒), y la segunda ⇐).

⇒) Hipótesis H : a, b, c ∈ R con a ≠ 0, R \ {0}. Con el producto es grupo conmutativo, ab = ac.

Tesis T: b = c.

Por hipótesis, a ≠ 0, existe el opuesto multiplicativo a-¹, tal que aa-¹=1. Entonces, por la existencia del elemento unidad, la propiedad conmutativa y asociativa del producto, se tiene

b = b × 1 = b x aa-¹= (ba)a-¹= (ab) a-¹.

Comenzamos con la igualdad a(-b) = -ab.

ab + a(-b) = a(b+(-b)) = a × 0= 0. (2)

De (1) y (2), resulta ab + a(-b)= ab+(-ab), y por la ley cancelativa, a(-b) = -ab.

La otra igualdad se deja como ejercicio.

Con las mismas hipótesis, demuestra: a) (-a) b = -ab. b) (-a)(-b) = ab. c) -(a + b) = -a - b. d) -(a - b) = b - a.

30

Libro Matematica optativa.indb 30

25/9/18 16:17

4

Propiedad

Sean a, b ∈ R , demuestra que (a+b)²= a²+ 2ab + b².

Hipótesis H: a, b ∈ R . R con la operación adición es grupo conmutativo; R \ {0} con el producto es grupo conmutativo. y tiene lugar la propiedad distributiva.

a c ac b) Si b ≠0, d ≠ 0, b # de . editorial d =labd a ad c) Si b ≠0, c≠0, d ≠0, bc = bc . d

Trabajo colaborativo Trabajen en equipo y realicen las demostraciones.

Tesis T: (a + b)²= a²+ 2ab + b².

Por la notación y la propiedad distributiva se tiene

(a + b)²= (a + b)(a + b) = a(a + b)+b(a + b)

=aa + ab + ba + bb.

6

Nuevamente, por la notación aa= a², bb= b², y por la propiedad conmutativa, ab = ba. Entonces

También se escribe ^ ab h 2 = a 2 b 2 .

(a+b)²= a²+ ab + ab + b².

Nota que por la existencia del elemento unidad y la propiedad distributiva se obtiene 2ab = (1 +1)ab = 1 × ab + 1 × ab = ab + ab. a) (a - b)² = a² - 2ab + b².

f) (a + b)(a²- ab + b²) = a³ + b³.

Sean a, b, c, d ∈ R ; Si b ≠ 0, d ≠ 0, demuestra que a c ad − bc b − d = bd .

Hipótesis H: a, b, c, d ∈ R , con b ≠ 0, d ≠ 0; R con la operación adición es grupo conmutativo; R \ {0} con el producto es grupo conmutativo, y tiene lugar la propiedad distributiva. a c ad − bc Tesis T: b − d = bd .

Puesto que b ≠ 0, d ≠ 0, existen b-1, d-1, tales que bb-1=1, dd-1 = 1. Entonces, (bd)-1 = b1d-1 ad − bc =(ad - bc) (bd)-1 = (ad - bc) b-1d-1 bd = ad (b1d-1) - bc (b¹d-¹) = a(dd-¹)b-¹- c (bb-¹) d-¹= a (1) b-1- c (1) d-¹ a c = ab-1- cd-1= b − d .

Sean a, b, c, d ∈ R , demuestra: a c ad + bc a) Si b ≠0, d ≠0, b + d = bd .

Libro Matematica optativa.indb 31

N

Suponemos a > 0, b > 0. La raíz cuadrada del número real positivo existe y es positiva. La denotamos con a = x, y es tal que a= ( a )²= x². b = y con lo que

ab = z y se tiene ab= ( ab )²= z².

Entonces z²= ( ab )²= ab = x²y²= (xy)²= ( a b )², de donde ( ab )²= ( a b )², ( ab )²-( a b )²= 0⇔( ab- a b )( ab+ a b)= 0.

Como ab >0, a >0, b >0, entonces ab + a b >0, ( ab - a b )( ab + a b )= 0 ⇒ ab - a b = 0.

ma ya ® E

5

Si a = 0, o b = 0, el resultado es inmediato.

DU

e) (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³.

1

Tesis T: ab = a b .

b=( b )² =y²;

c) (a + b)²-(a - b)² = 4ab.

1

Hipótesis H: a, b, ∈ R con a ≥ 0, b ≥ 0.

De manera similar,

b) (a + b)(a - b) = a² - b². d) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

1

CA

Demuestra las siguientes propiedades:

ab = a b .

CIÓ

Sean a, b, ∈ R , con a ≥ 0, b ≥ 0, demuestren que

De la última igualdad, se obtiene la conclusión: ab = a b .

Sean a, b ∈ R con a ≥ 0, b≥ 0, demuestra que a a b = b.

Actividad indagatoria Indaga la forma de realizar las siguientes demostraciones

7

8

Precisa las hipótesis, la tesis y justifica cada paso.

Sean a, b ∈ R , demuestra la siguiente proposición: ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

Sean a, b ∈ R , a ≠ 0, b ≠ 0, demuestra los siguientes resultados: (ab)-1 = a-1b-1, y (a-1)-1 = a.

Precisa las hipótesis, la tesis y justifica cada paso.

31

25/9/18 16:17

ONCDM.5.2.1. Analizar e identificar los diferentes tipos de matrices a partir de su definición.

Saberes previos Recuerda ¿Qué es R ²? Escribe un ejemplo para explicar.

El espacio vectorial R

Propiedad

nde la editorial

Sea n ∈ Z + con n ≥ 2. Se designa con R n al conjunto: R n = (x1, ..., xn) | xi ∈ R , i=1, ..., n}.

¿Cómo eran los elementos de R ³? Escribe ejemplos que ilustren tu respuesta.

A los elementos de R ⁿ los designaremos con las letras minúsculas del alfabeto y sobre ellas, una flecha. Así, por ejemplo, x ∈ R n , es decir, x = (x1, ..., xn) con xi ∈ R , i= 1, ..., n; y los denominaremos n–uplas ordenadas de elementos de R ; cada xi se llama componente i–ésimo de x . El elemento 0 = (0, ..., 0) se llama elemento nulo.

N

Desequilibrio cognitivo

CIÓ

Más adelante se verá la estructura de espacio vectorial de R n . Los elementos de esta estructura se llaman vectores. Esto justifica la escritura u , v , A etc., de sus elementos de R n . En R n daremos una segunda escritura de sus x1 elementos como columnas; esto es, x = > h H xn

CA

Cuando n = 2, tenemos: R 2 = { x = (x, y)|x, y ∈ R }.

Cuando n = 3, tenemos: R 3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R }.

Igualdad

La negación x ≠ y si y solo si al menos uno de los componentes de estas n–uplas no coincide. Por ejemplo, para n = 3, x = (2, - 1, 4), y = (2, 1, 4), entonces x ≠ y .

ma ya ® E

Teorema La operación “+” en R n satisface las propiedades siguientes: i) Conmutativa: para todo u , v ,  Rn , u +v =v +u . ii) Asociativa: para todo u , v , w  Rn , u +( v + w )=( u + v )+ w . iii) Existencia del elemento neutro: existe O  R n , tal que para todo u  Rn , u + O = O + u = u . iv) Existencia de opuestos aditivos: para cada u  R n existe v  R n , tal que u +v =O .

Definición. Para todo x = ^ x 1, f, x n h , y = ^ y 1, f, y n h ! R n, x = y + x i = y i, i = 1, f, n.

En palabras, dos elementos de R n son iguales si y solo si sus respectivos componentes lo son.

DU

Recuerda que...

Adición en R n

Definición. Para todo x = ^ x 1, f, x n h , y = ^ y 1, f, y n h ! R n se define la suma x + y como: x + y = ^ x 1, f, x n h + ^ y 1, f, y n h = ^ x 1 + y 1, f, x n + y n h .

La operación adición está definida como +: (

Rn # Rn " Rn . _x , y i 8 x + y

Nota que la suma x + y se obtiene sumando sus respectivos componentes.

Puesto que los componentes de x , y son números reales, la suma x + y hereda las propiedades algebraicas de la adición de números reales.

Grupo conmutativo ( R n, +): es el conjunto R n, en el que se ha definido la igualdad de elementos de R n, junto con la operación adición “+”, que verifica las propiedades del teorema de la sección "Recuerda que", se dice que tiene estructura algebraica de grupo abeliano o conmutativo.

32

Libro Matematica optativa.indb 32

25/9/18 16:17

Propiedad

Resta en R n

de la editorial

Sean u = ^ u 1, f, u n h, v = ^ v 1, f, v n h ! R n . Observa que el opuesto aditivo de v = ^ v 1, f, v n h es – v = ^ –v 1, f, –v n h ! R n, por lo tanto, se suman u y v , en el sentido habitual. Al resultado de esta suma se le escribe u – v , que da lugar a definir la operación resta de elementos de R n .

u − v se calcula como la suma de u con el opuesto aditivo de v .

Teorema

CIÓ

Sean u = ^ u 1, f, u n h , v = ^ v 1, f, v n h ! R n . Entonces -( u + v )= - u − v .

N

Definición. Sean u = ^ u 1, f, u n h , v = ^ v 1, f, v n h ! R n . Se define u − v como sigue: u – v = u + ^ – v h = ^ u 1 –v 1 .f, u n –v n h .

Se escribe – u − v en vez de (- u )+(- v ), es decir, - u − v = (- u ) + (- v ).

De manera similar, -( u + v + w ) = - u - v - w = (- u ) + (- v ) + (- w ).

Producto por escalares

α x = x α = ^ α x 1, f, α x n h .

DU

De la definición se sigue que el producto de un número real por un elemento de R n es otro elemento de R n cuyos componentes son los productos del número real por los respectivos componentes de la n–upla ordenada.

Al producto de escalares (números reales) por elementos de R n lo notamos “ . ” Y es una función de R × R n en R n definida como sigue: t(

n

R#R " R ^ a, x h " ax,

n

Recuerda que...

CA

Definición. Para todo  R , para todo x = ^ x 1, f, x n h ! R n, se define el producto de  por x como:

con ax arriba definido.

i) a(b u ) = (ab) u = b(a u ). ii) (a+b) u = a u + b u . iii) a( u + v ) = a u + a v . iv) 1 · v = v .

ma ya ® E

Además se asume que ax = x a = ^ ax 1, f, ax n h ,

Teorema Las propiedades del producto por escalares son: Para todo a, b  R y para todo u , v ,  R n , se verifica lo siguiente:

donde a ! R, x = ^ x 1, f, x n h ! R n . Esta no es una operación en R n . En algunos libros se la suele denominar una operación externa. Si hay peligro de confusión, escribiremos a : x en vez de ax .

El espacio vectorial R n : es el conjunto R n en el que se ha definido la operación adición “+” con la que R n es grupo conmutativo, y la operación producto de escalares por elementos de R n notada “ . ” que verifica las propiedades del teorema de la sección "Recuerda que", se dice que tiene una estructura algebraica de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales R .

En lo sucesivo, diremos únicamente el espacio vectorial R n o simplemente espacio R n. A los elementos de R n se los denomina vectores y a los elementos del cuerpo de los números reales se los llama escalares.

Definición. El subconjunto " e 1, f, e n , de vectores de R n , definidos como e 1 = ^ 1, f, 0 h , f, e n = ^ 0, f, 1 h,

se llaman vectores unitarios de la base canónica de R n .

33

Libro Matematica optativa.indb 33

25/9/18 16:17

4

Evaluación formativa

Propiedad de la editorial

ONCDM.5.2.1. Analizar e identificar los diferentes tipos de matrices a partir de su definición.

Sean a = (-1, 0, 3, 5), b = (3, 0, - 8, - 7). Observa

En los siguientes literales, demuestra la propiedad propuesta.

a) Sean a = (-10, 5, 3, 15), b = (10, - 5, - 3, - 15).

Obtén a + b .

b) Existencia del elemento neutro: existe O ∈ R n tal que para todo u ∈ R n , u + O = O + u = u .

b) Dados a = (-1, 25, 30, 10), b = (7, 0, 0, -11).

Obtén a + b .

CA

2

Observa la siguiente demostración (método directo) de la propiedad asociativa de suma de elementos de R n .

ma ya ® E

Sean u = (u1, ..., un), v = (v1, ..., vn), w = (w1, ..., wn) ∈ R n .

Se tiene

u + v = (u1, ..., un) + (v1, ..., vn) = (u1+ v1, ..., un+ vn), v + w = (v1, ..., vn) + (w1, ..., wn) = (v1+ w1, ..., vn+ wn).

Luego, aplicando la propiedad asociativa de la suma de números reales, se tiene u +( v + w ) = (u1, ..., un) + (v1+w1, ..., vn+wn) = (u1+ v1+w1, ..., un+ vn+wn), ( u + v )+ w = (u1+v1 ..., un+ vn)+(w1, ..., wn) = (u1+ v1+w1, ..., un+ vn+wn).

De la definición de igualdad de elementos de R n se tiene la conclusión:

Observa la siguiente demostración (método directo) de la propiedad de existencia de opuestos aditivos de elementos de R n .

DU

3

34

N

a) Conmutativa: para todo u + v ∈ R n , u + v = v + u .

a + b = (-2, 0, 3, 5) + (-3, 0, 8, - 7) = (-2, -3, 0 + 0, 3 + 8,5 - 7) = (-5, 0, 11, - 2).

CIÓ

1

u +( v + w ) = ( u + v )+ w .

Observación: por la propiedad asociativa de la adición “+” en R n , escribimos u + v + w en vez de u +( v + w ) o de ( u + v )+ w . Además, u =(u1, ..., un), v = (v1, ..., vn), w = (w1, ..., wn), entonces u + v + w = (u1+v1+w1. . ., un+ vn+wn). Se tienen 12 maneras de sumar

Libro Matematica optativa.indb 34

Dado u = (u1, ..., un ) ∈ R n , cada componente es un número real. Se tiene uj ∈ R , luego existen -uj ∈ R , j = 1, ..., n, tales que uj + (-uj ) = 0, j = 1, ..., n.

De este resultado, se define v = (-u1, ..., -un ) ∈ R n .

Verificamos que u + v = O . En efecto, u + v = (u1, ..., un ) + (-u1, ..., -un ) = (u1-u1, ..., -un-un) = (0, ..., 0) = O .

Observación: el opuesto aditivo de u = (u1, ..., un ) ∈ R n es el elemento notado - u = (-u1, ..., -un ), de modo que esta propiedad se expresa como 6 u ∈ R n , ∃- u ∈ R n tal que u + (- u ) = O .

Demuestra las siguientes propiedades. a) Sean u = (u1, ..., un ), v = (v1, ..., vn), ∈ R n .

Entonces -( u + v ) =- u - v .

25/9/18 16:17

Propiedad

b) Sean u , v , w ∈ R n , - ( u + v + w ) = - u - v - w.

b) -( u + v ) = - u - w de . la editorial

Trabajo colaborativo Resuelvan en equipo las siguientes actividades.

6

N

1 Sean A = ^ 4, –2, 3, –3 h , B = a –2, 2 , 1, 0 k , 1 C = a 21, 4, – 3 , 3 k . Realiza las sumas que se proponen en cada caso.

2 4 Observen: para a = –2 y x = a – 5 , 4, 9 , 0 k , 2 4 se tiene ax = –2 a – 5 , 4, 9 , 0 k = a ^ –2 ha – 2 k , –2 # 4, ^ –2 h 4 , –2 # 0 k = a 4 , –8, – 8 , 0 k .

9 5 9 5

CIÓ

4

a) A + B + C .

a) Muestren que para todo x = (x1, ..., xn) ∈ R n , se tiene 0 · x = 0 .

CA

b) A - B + C .

b) Demuestren que para todo a ∈ R , se tiene a · 0 = 0 .

Actividad indagatoria

c) - A + B - C .

Sean a, b ∈ R , u = (u1, ..., un), v = (v1, ..., vn) ∈ R n .

De la definición del producto de escalares por vectores, se tiene

5

ma ya ® E

d) - A - B - C .

Observen la siguiente demostración (método directo) de la propiedad (a+b)u = au +bu .

DU

7

Sea 5 3 1 2 1 1 2 u = a 3 , – 5 , 1 k , v = a – 3 , 2 , –2 k , w = a – 3 , – 10 .– 4 k.

Verifica la igualdad que se propone en cada caso. Para el efecto, realiza los cálculos en el lado izquierdo de la igualdad, luego en el lado derecho y compara los resultados.

a u = a (u1, ..., un) = (au1, ..., aun), b u = b (u1, ..., un) = (bu1, ..., bun), a u + b u = (au1, ..., aun) + (bu1, ..., bun) =(au1+bu1..., aun +bun).

Por otro lado, (a+b) u = (a+b) (u1, ..., un) = ((a+b) u1, ..., (a+b) un) = (au1+bu1..., aun +bun).

De la definición de igualdad de elementos de R n, se obtiene la conclusión. a) Sean a, b ∈ R , u = (u1, ..., un) ∈ R n, demuestren que a(b u ) = (ab)u , y, a (b(- u )) = - (ab)u . b) Sean a ∈ R , u = (u1, ..., un), v = (v1, ..., vn) ∈ R n,

a) u - ( v + w ) = u - v - w .

demuestren que a( u + v )= au +av y a( u - v )= au - a v .

c) Prueben que para todo u = (u1, ..., un), ∈ R n, 1 ∙ u = u .

d) Sea a, b ∈ R , u ∈ R n . Si u ≠ O y a u = b u , prueben que a = b.

Libro Matematica optativa.indb 35

35

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Recuerda y practica

Propiedad de la editorial

ONCDM.5.3.1. Analizar y valorar la importancia de los métodos de demostraciones en la comprobación de las diferentes afirmaciones propuestas en matemática y otras áreas.

ONCDM.5.3.2. Explicar las definiciones básicas (axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.

ONCDM.5.2.1. Analizar e identificar los diferentes tipos de matrices a partir de su definición.

1

N

Resuelve el siguiente crucigrama.

2

CIÓ

1

3

4

6

7

8

10

ma ya ® E

11

DU

9

CA

5

HORIZONTALES

2. Proposición compuesta asociada con el conector Si... entonces 4. Si en una tabla de valores de verdad, el resultado es verdadero.

5. Si en una tabla de valores de verdad, el resultado es falso.

9. Si en una tabla de valores de verdad, el resultado es falso y verdadero.

11. Proposición compuesta asociada con el conector o excluyente.

VERTICALES 1. Cuantificador existencial.

3. Enunciado del cual se puede afirmar si es verdadero o falso.

6. Proposición compuesta asociada con el conector o.

7. Colección de expresiones bien formadas con significado propio.

8. Cuantificador universal.

9. Proposición compuesta asociada con el conector y.

10. Proposición compuesta asociada con el conector no.

36

Libro Matematica optativa.indb 36

25/9/18 16:17

2

Indica si la frase, enunciado y oración es o no una proposición. En caso afirmativo, representa con la letra p e indica su valor de verdad.

5

Propiedad Define con tus palabras siguientes términos: de los la editorial

a) Axioma: ______________________________________

a) 10 + 5 > 1 − 4. ______________________________________

______________________________________

b) ¡Viva Quito! ______________________________________

______________________________________

e) Todo triángulo rectángulo es isósceles. ______________________________________ f) Juan Montalvo fue un escritor ecuatoriano. ______________________________________

3

N

______________________________________ ______________________________________

6

Sean: a, b ∈ R , u , v ∈ R n y A = (a + b) ( u - v ) - (a - b) ( u + v ). Simplifica la escritura de A .

Asocia cada operador lógico con su símbolo.

1. ⇔

b) disyunción inclusiva

2. ∼

c) negación

3. ^

d) doble implicación

4. ⇒

e) implicación

5. ∨

a) a3, b5, c2, d1, e4

b) a2, b3, c1, d4, e5

c) a1, b2, c3, d4, e5

d) a2, b1, c3, d4, e5

DU

a) conjunción

7

ma ya ® E

4

______________________________________

CIÓ

d) ¿Cuánto cuesta? ______________________________________

b) Teorema: ______________________________________

CA

c) Todo teorema se acepta como verdadero sin demostración. ______________________________________

______________________________________

Construye las siguientes tablas de valores de verdad. Determina si es tautología, contradicción o contingencia.

a) 6^ + p 0 q h / p @ & q

p q ~p (~ p ∨ q) 6^ + p 0 q h / p @ 6^ + p 0 q h / p@ & q

Sean: a, b ∈ R , u , v , w ∈ R n . Simplifica la escritura de A justificando cada operación que se realiza hasta obtener el resultado indicado.

a) A = a ( u - v + w ) -a ( u + v + w ) = 2a ( w + v ).

b) A = a ( u + v ) -(b - a) u - b ( u - v ) = (a + b) v .

37

Libro Matematica optativa.indb 37

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Solución de problemas Estrategia: razonamiento lógico

Propiedad de la editorial

Una de las aplicaciones de la lógica se da en la construcción de circuitos en electrónica y cibernética. Los circuitos eléctricos están constituidos por interruptores que impiden o dejan pasar la corriente eléctrica.

Un interruptor está cerrado cuando deja pasar la corriente eléctrica. Caso contrario, se dice que el interruptor está abierto.

¿Cuál es la fórmula lógica que representa al circuito de la figura? p

~q

A

p ~p

p

B

~q

Fig. 1.8.

DU

En un circuito en serie, dos o más interruptores están uno a continuación del otro y se representan mediante la conjunción p ∧ q.

Problema propuesto

CA

Circuito eléctrico , en el se puede apreciar la aplicación de la lógica matemática.

CIÓ

N

Shutterstock, (2018). 499762132

Juntamos las dos proposiciones lógicas y obtenemos: [(p ∨ ~ q) ∧ ~ p] ∨ [q ∧ (p ∨ ~ p)].

Mediante la aplicación de las propiedades de los conectivos lógicos obtenemos: [(p ∨ ~ q) ∧ ~ p] ∨ q, [(p ∧ ~ p) ∨ (~ q ∧ ~ p)] ∨ q, (~ q ∧ ~ p) ∨ q, (~ q ∨ q) ∧ (~ p ∨ q), p ⇒ q. d) Responde la pregunta La fórmula lógica del conjunto es: p ⇒ q.

En un circuito en paralelo, dos o más interruptores están uno sobre otro o en otra línea y se representan mediante la disyunción p ∨ q.

a) Comprender ¿De qué se trata el problema?

En el siguiente circuito, ¿cuál es la fórmula lógica que representa al circuito?

b) Plantear una estrategia

~p

~q

p

q

______________________________________

B

~p

Fig. 1.7.

38

______________________________________

ma ya ® E p

A

______________________________________

a) Comprender ¿De qué se trata el problema?

Se trata de establecer la fórmula lógica del circuito de la figura. b) Plantear una estrategia Analizamos cómo están diseñados los circuitos en serie o paralelo, y construimos la fórmula lógica paso a paso. c) Aplicar la estrategia Observamos si los circuitos están en serie o paralelo línea a línea.

En la ramificación de la parte superior están en paralelo y serie, entonces la ecuación lógica es: (p ∨ ~ q) ∧ ~ p.

En la ramificación de la parte inferior están en serie y luego en paralelo, entonces la ecuación lógica es: q ∧ (p ∨ ~ p).

Libro Matematica optativa.indb 38

c) Aplicar la estrategia En la ramificación de la parte superior están en ___________________________ , entonces la ecuación lógica es: _____________________________________

En la ramificación de la parte inferior están en _________ ___________________________, entonces la ecuación lógica es: _____________________________________ Juntamos las dos proposiciones lógicas anteriores y obtenemos: ______________________________________ Simplifica en tu cuaderno la expresión obtenida.

Planteo problemas

Diseña un circuito eléctrico y obtén la fórmula lógica que representa.

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¿Qué hace un matemático?

Propiedad de la editorial

Shutterstock, (2018). 345811181

Para comprender qué hace un matemático o matemática, es preciso explicar algo de las áreas en las que se desenvuelve y cuál es el ámbito laboral.

Área de análisis numérico

CA

CIÓ

N

El análisis numérico está íntimamente ligado a una parte de la ciencia que se enfoca en computadoras y la modelización matemática. Es la base para la elaboración de métodos, de procedimientos que permiten construir algoritmos numéricos o programas computacionales para resolver, exacta o aproximadamente, problemas matemáticos que, analíticamente, serían imposible de resolver por su grado de complejidad. Allí se identifican Programas computacionales donde interviene el análisis numérico. dos clases de problemas: los que se resuelven mediante la aplicación directa de la teoría matemática o que utilizan la teoría para elaborar modelos matemáticos más adecuados; o los que requieren de la utilización de la teoría para la construcción de métodos y algoritmos complejos con los que se elaboran programas computacionales que a su vez deben ser asistidos por el computador.

DU

Con el desarrollo de los computadores en los últimos cincuenta años, el análisis numérico ha crecido de manera vertiginosa en la investigación e implementación de métodos para aproximar soluciones de las que, desde el punto de vista teórico, solo se conoce de su existencia, y en la generalidad de los casos, es imposible obtener sus soluciones exactas. Por otro lado, los métodos numéricos que se obtienen en análisis numérico son ampliamente utilizados en las distintas ramas de la ingeniería, las ciencias, las industrias y el comercio.

ma ya ® E

La matemática y las profesiones Ingeniería matemática o matemática

El campo de acción de un profesional en este campo es múltiple. Quien se orienta al análisis numérico tiene una sólida formación matemática que le permite identificar, abstraer, proponer modelos matemáticos y métodos numéricos de solución, así como realizar simulaciones numéricas (experimentos virtuales), requeridas en ámbitos públicos o privados, en sectores empresariales, industriales, de servicios o de comercio, en campos académicos y científicos. El ámbito laboral está vinculado con centros de investigación; centros de desarrollo tecnológico; industrias (como la de alimentos, petróleo, cerámica, metalmecánica, automotriz, aeronáutica); docencia en universidades y escuelas politécnicas; empresas públicas o privadas encargadas de resolver problemas técnicos complejos (por ejemplo, tráfico urbano, contaminación ambiental, energía, desarrollo urbano, agricultura, riesgos naturales, entre otros).

Shutterstock, (2018). 106093949

Un bachiller puede optar por la carrera de Ingeniería de matemática o matemática en prestigiosas universidades nacionales acreditadas por el CEAACES.

Fórmulas que son utilizadas en matemática.

39

Libro Matematica optativa.indb 39

25/9/18 16:17

Evaluación sumativa I.ONCDM.5.3.1. Analiza y comprende que las proposiciones matemáticas no son aceptadas como un acto de fe, sino que son sujetas a rigurosas demostraciones matemáticas.

b) (p ⇒ q) ∧ p p

q

p ⇒ q (p ⇒ q) ∧ p

Indica si la frase, enunciado y oración son o no una proposición. En caso afirmativo, representa con la letra p e indica su valor de verdad.

c) Dos rectas del plano son perpendiculares si se cortan en un punto. ______________________________________ d) ¿Qué hora es? ______________________________________

a) Aníbal estudia y trabaja.

Conector _______________________________ b) Eulalia juega básquetbol o vóleibol.

Sean a, b ∈ R , demuestra que:

a) (a - b)² = a²- 2ab + b².

b) (a + b)(a²- ab + b²) = a³+ b³.

DU

Identifica y simboliza los conectores lógicos utilizados en las siguientes proposiciones.

4

N

b) x + 2 = 6 ______________________________________

CIÓ

a) Obtuve 9 en la prueba de matemática. ______________________________________

2

de la editorial Heteroevaluación

CA

1

Propiedad

c) -(a + b) = -a - b.

ma ya ® E

Conector _______________________________ c) Martín viaja a Europa o a África.

Conector _______________________________

5

d) 3 no es un número primo.

Conector _______________________________

3

I.ONCDM.5.3.2. Analiza las definiciones básicas utilizadas en las demostraciones matemáticas y usa las reglas de inferencia para concluir críticamente la veracidad de una proposición.

Construye las tablas de valores de verdad y determina si es tautología, contradicción o contingencia.

a) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q) p

q

(p ∧ q) (1) (p ∨ q) (2) 1 ⇒ 2

I.ONCDM.5.2.1. Analiza los elementos de una matriz de grado 4 o más, y opera con matrices aplicando diferentes estrategias.

Sean A = (3, 5, 7); B = (0, -2, -7); C = (4, -3, 1).

Realiza las operaciones que se proponen en cada caso.

a) A + B + C .

b) 2 A - B + C .

c) A - 3 B - 2 C .

40

Libro Matematica optativa.indb 40

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Propiedad

Evaluación de selección múltiple

de la editorial

Selecciona la respuesta correcta.

9

Cuál es la negación de la proposición: “Es falso que Samuel fue a la fiesta y que salió temprano”. c) ~ (p ∨ q)

b) ~ (p ∧ q)

d) (~ p ∨ ~ q)

“Si respetamos las normas establecidas, entonces contribuimos a un mejor ambiente de convivencia”. a) (p ∧ p)

10

7

Un enunciado que se admite sin demostración corresponde a: c) un axioma

b) un corolario

d) un lema

8

Una de las leyes de De Morgan se representa como:

a) (p ∧ p) ⇔ p

c) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

c) ∃

d) ⇔

¿Cuál de las siguientes propiedades no satisface la adición en R n ?

a) Conmutativa

b) Existencia del elemento unidad c) Asociativa

d) Existencia del opuesto aditivo

Marca con X en una de las opciones.

ma ya ® E

Autoevaluación

b) 6

DU

b) ~ (p ∧ q) ⇔ (~ p ∨ ~ q) d) [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ p

d) q ⇒ p

El símbolo que representa al cuantificador universal para todo es:

a) ∈

11

c) p ⇒ q

CA

a) un teorema

b) ~ p ⇒q

N

a) (~ p ∧ ~ q)

Utiliza conectores lógicos y escribe en símbolos el siguiente enunciado:

CIÓ

6

Siempre

A veces

Nunca

Siempre

A veces

Nunca

Determino de varios enunciados cuáles son proposiciones.

Identifico los conectores lógicos que relacionan dos proposiciones.

Diferencio claramente entre tautología, contradicción y contingencia.

Puedo distinguir entre axiomas, lemas, teoremas y corolarios.

Coevaluación

Marca con X en una de las opciones.

En los trabajos colaborativos respetamos el turno para hablar.

Todos los compañeros y compañeras que trabajamos en equipo colaboramos con ideas en el desarrollo de las actividades.

Metacognición

¿Qué es lo más interesante para ti de esta unidad?

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 41

Libro Matematica optativa.indb 41

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