Matemáticas 5

Tendencias Matemáticas es una serie académica que orienta y apoya el aprendizaje de la matemática, su estructura conceptual se fundamenta bajo los componentes y competencias específicas del área definidas por el Ministerio de Educación Nacional.

El desarrollo de los contenidos integra: Contextos de interés para el estudiante Actividades para desarrollar el razonamiento lógico Información sintetizada para su recordación Retos matemáticos Evaluación continua con preguntas tipo SABER Talleres por competencias

Matemáticas

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5

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Dirección: Calle 135 No Calle 17a25 - 82 b # 37 a - 19, Barrio El Recuerdo Teléfonos: 574345 310 346 4345 – 57 316 642 2430 – 59 399 358 6637 Cel: 310 346 info@mayaeducacion.com.co gerencia.co@mayaeducacion.com mayaeducacioncolombia@gmail.com mayaeducacioncolombia@gmail.com mayaediciones@gmail.com Bogotá, Colombia

Matemáticas 5

Propiedad de la editorial

Esta obra fue concebida y producida por el equipo pedagógico de la Editorial.

Dirección general: Patricio Bustos Peñaherrera Autoría y edición: Equipo Editorial Maya Educación Colombia Corrección de estilo: Mábel Tatiana Martínez Vega Coordinación editorial: Evelyn Manya Pupiales Dirección de arte: Paulina Segovia Larrea Diagramación: Javier Cañas Benavides Investigación gráfica: Flavio Muñoz Mejía Posproducción: Santiago Carvajal Sulca Ilustración portada: Darío Guerrero Díaz Ilustración: Shutterstock, archivo editorial Fotografía: Shutterstock, archivo editorial © Maya Educación Colombia SAS, 2021 Dirección: Calle 25 b # 37 a - 19, Barrio El Recuerdo Teléfonos: 57 310 346 4345 – 57 316 642 2430 – 59 399 358 6637 info@mayaeducacion.com.co mayaeducacioncolombia@gmail.com mayaediciones@gmail.com www.mayaeducacion.com.co Bogotá, Colombia ISBN: 000-0000-00-000-0 Impreso por Xoxoxoxo – Quito, Ecuador Este libro no podrá ser reproducido total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico, fotocopia o cualquier otro método de reproducción sin previa autorización de la Editorial.

La Editorial incluye en este texto varios URL de sitios web que, en su momento, estaban en pleno funcionamiento; sin embargo, estos podrían haberse eliminado o cambiado por decisión de los creadores de esos portales.

Presentación

Propiedad de la editorial

Querido estudiante: Este libro es una herramienta de aprendizaje para los niños y niñas de Colombia.

A partir de sus contenidos y actividades, pondrás en práctica la matemática como ciencia para la resolución de problemas de la vida cotidiana. ¿Has pensado alguna vez qué sería del mundo si no existiera la matemática?

Existirían infinitos problemas sin poder resolver, más aún, el hombre no podría haber llegado a la luna. Con la matemática desarrollas tu pensamiento lógico y entrenas a tu cerebro para ser cada vez más potente y hábil en la solución de situaciones problema.

Al realizar operaciones, plantear y resolver problemas, adquieres y compartes aprendizajes con tus compañeros de clase. Te invitamos a disfrutar de esta aventura y a emprender un viaje con números, operaciones, figuras y estadísticas.

Shutterstock, (2020). 1130575856 / 1300196395

La Editorial

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1

Libro Matematica 5 Colombia.indb 1

7/23/20 11:30 AM

Conoce tu libro Propiedad de la editorial

En la apertura de unidad encuentras una ilustración y un texto introductorio con lo que podrás “leer las imágenes” e interpretar matemáticamente la realidad.

También encontrarás los estándares básicos de competencias a alcanzar durante el desarrollo de cada unidad.

Cada secuencia de aprendizaje inicia con la sección Actívate, que permite activar y relacionar tus experiencias con el aprendizaje matemático.

El desarrollo de los contenidos se apoya en fotografías, esquemas e ilustraciones que te harán más divertido el aprendizaje.

Recuerda Los símbolos que se usan para las operaciones entre conjuntos son: ∪ para la unión, ∩ para la intersección y C para el complemento.

Cuando lleguemos a una definición o conclusión, lo encontrarás en un recuadro que se denomina Recuerda.

Proyecto es una sección encaminada a la aplicación de la matemática en tu vida económica, social, cultural y ambiental.

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Propiedad de la editorial TIC en Matemáticas es una sección que te permitirá conocer y dominar aplicaciones tecnológicas para interpretar resultados de procesos matemáticos.

Compruebo mis aprendizajes corresponde a la evaluación de la unidad, dos páginas que proponen actividades para evaluar tus destrezas.

Saber más es una evaluación tipo estandarizada, que te entrenará para las pruebas de Estado.

Unidad Taller aquí pones a prueba lo aprendido, ejercitando el desarrollo de tus competencias matemáticas.

3

Libro Matematica 5 U1.indd 3

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Tabla de contenidos Propiedad de la editorial Unidad

1

Megadiversidad en Colombia

6

Unidad

2

La Tierra: Planeta Azul

1 Conjuntos: representación, determinación

1 Fracciones su representación

2 Operaciones entre conjuntos ................................ 10

2 Clases de fracciones - fracciones

y clases...................................................................................... 8

3 Números naturales ....................................................... 12 4 Valor posicional – orden en los números

naturales .............................................................................. 16

5 Adición y sustracción de números

naturales .............................................................................. 18

60

y significado ...................................................................... 62 equivalentes amplificación y simplificación ...... 66

3 Números mixtos ............................................................. 70 4 Representación y comparación

de fracciones en la semirrecta numérica ........ 72

5 Fracción de un número ............................................. 76

6 Propiedades de las operaciones

6 Adición y sustracción de fracciones

7 Multiplicación y división de números

7 Adición y sustracción de fracciones

8 Propiedades de las operaciones

8 Multiplicación y división de fracciones ............ 84

aditivas - aproximaciones ......................................... 20 naturales .............................................................................. 22 multiplicativas .................................................................. 26

9 Expresiones aritméticas e igualdades ............... 28

homogéneas .................................................................... 78 heterogéneas ................................................................... 80

9 Operaciones aditivas con

números mixtos .............................................................. 88

10 Potenciación, radicación y logaritmación

10 Operaciones combinadas

11 Múltiplos y divisores de un número

11 Triángulos y cuadriláteros ......................................... 94

de números naturales ................................................. 30 natural ................................................................................... 32

12 Números primos y compuestos.

Descomposición en factores primos ................ 38

13 Criterios de divisibilidad- m.c.d - m.c.m ........... 40 14 Ángulos y su clasificación ......................................... 44 15 Rectas paralelas y perpendiculares .................... 46 16 Medición de la longitud ............................................ 48 17 Variables cuantitativas y cualitativas .................. 50 18 Encuestas - tablas de frecuencia .......................... 52

Proyecto ............................................................................... 54

TIC en Matemática ........................................................ 55

Compruebo mis aprendizajes ................................ 56

Saber más ........................................................................... 58

con fracciones .................................................................. 90

12 Polígonos - clasificación ............................................ 96 13 Área y sus unidades ...................................................... 98 14 Área de triángulos y cuadriláteros ....................100 15 Diagrama de barras ....................................................102 16 Diagrama circular .........................................................104 17 Media y mediana .........................................................106

Proyecto ........................................................................................108 TIC en Matemática ..................................................................109 Compruebo mis aprendizajes .........................................110 Saber más .....................................................................................112

4

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Propiedad de la editorial Unidad

3

Los números decimales en los fenómenos físicos

Unidad

114

4

La matemática en el comercio 168

1 Números decimales: Lectura y escritura .......116

1 Razones y proporciones ..........................................170

2 Fracciones decimales ................................................118

2 Magnitudes directamente

3 Comparación de números decimales

Ubicación en la semirrecta numérica ............120

4 Aproximación de números decimales ...........124 5 Adición y sustracción de números

decimales ..........................................................................126

6 Multiplicación de un número natural

por un número decimal ..........................................130

7 Multiplicación de dos números

decimales ..........................................................................132

8 División de un número decimal

proporcionales ..............................................................174

3 Magnitudes inversamente

proporcionales ..............................................................178

4 Repartos proporcionales .........................................182 5 Regla de tres simple directa ..................................186 6 Regla de tres simple inversa ..................................190 7 Porcentajes, fracciones y decimales .................194 8 Aplicaciones de los porcentajes .........................198 9 Congruencia y semejanza ......................................202

entre un número natural ........................................136

10 Capacidad y unidades de capacidad ..............204

9 División de dos números decimales ................138

11 Masa y unidades de masa ......................................206

10 Multiplicación y división de números

12 Tiempo y unidades de tiempo ............................208

decimales por potencias de 10 ...........................142

11 Operaciones combinadas

13 Temperatura y unidades

de temperatura .............................................................210

con números decimales ..........................................144

14 Experimento aleatorio y determinista ............212

12 Plano cartesiano............................................................148

15 Probabilidad ....................................................................214

13 Traslaciones .....................................................................150 14 Rotaciones y reflexiones ..........................................152

Proyecto ........................................................................................216

15 Área del círculo .............................................................154

TIC en Matemática ..................................................................217

16 Moda y tablas de frecuencia .................................156

Compruebo mis aprendizajes .........................................218

17 Diagrama de línea .......................................................158

Saber más .....................................................................................220

18 Diagrama de tallo y hoja .........................................160

Proyecto ........................................................................................162

Taller por competencias

1

TIC en Matemática ..................................................................163 Compruebo mis aprendizajes .........................................164 Saber más .....................................................................................166

5

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Unidad

1

Megadiversidad en Colombia Propiedad de la editorial

Colombia es uno de los países con más biodiversidad del mundo, tiene el mayor número de especies de anfibios y aves. Cuenta con dos reservas naturales, un vía parque, un área natural única y diez santuarios de fauna y flora.

Colombia es una potencia medioambiental, el 68,7 % de la superficie del país está cubierta por ecosistemas naturales y cuenta con un sistema de áreas protegidas que comprende más del 10 % del territorio continental.

6

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Propiedad Observa y responde de la editorial

• En total, ¿cuántos sitios dedicados a la conservación de la flora y la fauna hay en Colombia? __________________________________________________________

• ¿Conoces algún parque o reserva natural? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

• Investiga cuáles son los departamentos de Colombia en los que hay más biodiversidad y escribe el área de cada uno. __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

• ¿De qué manera aportarías para conservar las áreas protegidas? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

Estándares

Shutterstock, (2020). 751221247

• •

Identificar y usar medidas relativas en distintos contextos.

Identificar la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos.

• Usar diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

• Identificar, representar y utilizar ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas.

• Representar datos usando tablas y gráficas.

7

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1

Conjuntos: representación, determinación y clases Propiedad

Conjuntos

de la editorial

Shutterstock, (2020). 386383747

Actívate

¿Cómo organizarías las frutas por categorías?

Shutterstock, (2020). 1237914094

El costo por minuto en un parqueadero depende del tipo de vehículo.

El domingo ingresaron los siguientes vehículos al parqueadero de Pablo.

¿Cómo puede Pablo agrupar los vehículos para diferenciar el precio por minuto que deben pagar?

Sabías que...

John Venn fue un matemático y lógico británico que propuso una manera gráfica de representar los conjuntos y sus operaciones. Esa propuesta es la que se utiliza en la actualidad: los diagramas de Venn.

Una forma es construyendo grupos de acuerdo al número de llantas que tiene cada vehículo.

Pablo puede agrupar los vehículos en conjuntos: conjunto de vehículos con dos llantas, conjunto de vehículos con cuatro llantas, conjunto de vehículos con seis llantas y conjuntos de vehículos con diez llantas. De esta forma, Pablo puede determinar el precio por minuto para cada conjunto.

Los conjuntos son agrupaciones de elementos que tienen características en común. Un conjunto se puede representar por: • Comprensión, nombrando la característica común de los elementos del conjunto.

• Extensión, nombrando uno a uno los elementos del conjunto.

• De manera gráfica, utilizando los diagramas de Venn.

Ejemplo Representa por comprensión, extensión y de manera gráfica el conjunto Azul Rojo A que se compone de los elementos: Amarillo , y .

Solución Comprensión: A = {x | x es un color primario} Extensión: A = { Gráfico:

Amarillo

,

Azul

,

Rojo

}.

A Amarillo

Azul

Rojo

8

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Taller 1. Utiliza los siguientes elementos para construir dos conjuntos.Propiedad Nombra la característica de cada de la editorial conjunto y represéntalos de manera gráfica.

Elementos: 0, martes, miércoles, 24, 9, sábado, lunes, 3, 6, jueves, 21, 12, domingo, 18, 15, viernes.

• Conjunto A: ________________________________________________________________________________________ • Conjunto B: ________________________________________________________________________________________

2. Relaciona con una línea la representación por comprensión y por extensión de cada conjunto. {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…}

{x | x es un número par}

{x | x es un múltiplo de 5}

{x | x es un múltiplo de 4}

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

{0, 5, 10, 15, 20, 25,…}

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…}

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,…}

{x | x es un número impar}

{x | x es un número natural menor que 6}

3. Ubica los elementos en el diagrama de Venn de acuerdo con la definición de cada conjunto. a) A = {0, 1, 4, 9, 16} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} U A

B

b) C = {x | x es un número natural menor que 6 e impar} D = {6, 8, 10} E = {x | x es un número mayor que 2 pero menor que 10} D

E

U

C

Trabajo colaborativo 4. En parejas escriban en una tarjeta tres conjuntos, cada conjunto debe representarse de forma distinta, por comprensión, por extensión y de forma gráfica. Intercambien las tarjetas con otra pareja y hallen las representaciones que le falten a cada tarjeta.

Actividad indagatoria 5. Investiga qué otra manera de representar conjuntos existen actualmente o existían en la antigüedad en culturas como la de los mayas o la de los egipcios. Si tuvieras que inventar una manera de representar gráficamente conjuntos, ¿cómo sería?

9

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2

Conjuntos

Operaciones entre conjuntos Propiedad de la editorial

Desequilibrio cognitivo

¿Cuántos conjuntos puedes formar con todos los elementos que se te ocurran?, ¿hay una manera de juntarlos?

Shutterstock, (2020). 156216467

Las operaciones entre conjuntos permiten construir nuevos conjuntos con base en los que intervienen en cada operación. Para realizar la construcción de un conjunto utilizando una operación entre conjuntos se siguen estas reglas: B, en la unión se reúnen los elementos de cada conjunto.

• A

• A B, en la intersección se seleccionan los elementos que hagan parte de cada conjunto simultáneamente, es decir, los elementos comunes de los conjuntos.

• AC, en el complemento se seleccionan los elementos que no estén en el conjunto pero si en el universal.

Ejemplo 1 Determina el lugar del diagrama de Venn para ubicar los elementos de los conjuntos A B, A B, AC. Solución Para cada ejemplo la parte coloreada representa el resultado de la operación entre conjuntos.

Recuerda Los símbolos que se usan para las operaciones entre conjuntos son: ∪ para la unión, ∩ para la intersección y C para el complemento.

A

B A

B

A

B A

B

AC

A

U

Ejemplo 2 Dados los conjuntos A = {1, 9, 14, 23, 55}, B = {0, 4, 9, 25, 88}, C = {9, 99, 999, 9 999, 99 999}. Calcula los conjuntos A B C, A B, yA B C. Solución • Los elementos del conjunto A B C son los elementos que están en el conjunto A, el B y el C simultáneamente, es decir solamente el 9. A B C = {9}.

• Los elementos del conjunto A B son los elementos del conjunto A junto con los elementos del conjunto B. A B = {0, 1, 4, 9, 14, 23, 25, 55, 88} (Observa que el 9 solo se colocó una vez en la unión así estuviera en ambos conjuntos).

10

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• A

B = {9}.

• A

B

C = {0, 1, 4, 9, 14, 23, 25, 55, 88, 999, 999, 9 999, 99 999}.

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Taller

Propiedad

1. Observa los siguientes conjuntos:

de la editorial C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…} D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…}

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…} B = {0}

a) Escríbelos por comprensión.

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

b) En cada caso encuentra el conjunto resultado de la operación indicada: A

B=

C

B

B=

AC =

A

B

C

D=

A

D=

B

C

D=

2. Observa el siguiente diagrama de Venn y escribe los elementos de cada conjunto solicitado.

U A

20 1

5 15

7 13

17

9

18

10

12 6

11

3

8 2

B

19

16

A= B= B

A=

14

A

C=

C

A

B

4

C=

Trabajo colaborativo 3. Formen grupos de 4 estudiantes y resuelvan el siguiente problema.

En una clase de música hay 12 estudiantes. El docente sabe que 3 estudiantes tocan el violín y la flauta, 2 estudiantes tocan la guitarra y el violín, no hay ningún estudiante que maneje la guitarra y la flauta, y 1 estudiante toca los tres instrumentos. 7 estudiantes, en total, tocan el violín; 4 la guitarra y el restante la flauta. Realicen el diagrama de Venn que representa la situación.

Actividad indagatoria 4. Cuando vas a ver al médico siempre te hacen un examen para buscar un conjunto de síntomas de cualquier enfermedad. Investiga las enfermedades más comunes en la zona en la que vives y cuál es el conjunto de síntomas de cada una. ¿Existen síntomas en común entre las enfermedades?

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

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Taller por competencias

11

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3

Secuencia

Números naturales

Propiedad de la editorial

Actívate ¿Cómo se leen los siguientes números?

457

893

214

509

681

999

730

312

En América latina existieron culturas que habitaron los territorios mucho antes de nuestros tiempos. Estas culturas se dedicaban a labores como la agricultura y la alfarería (construcción de figuras en cerámica). Una de las culturas alfareras más antiguas es la cultura Valdivia, que existió entre 4 000 y 1 500 años antes de Cristo.

Es famosa por la elaboración de figuras de piedra y barro llamadas Venus, que simbolizaban fertilidad y salud. ¿Cómo se representan con números los años de existencia de esta cultura?

Shutterstock, ( 2017). 331873238

Para representar los años en que existió la cultura Valdivia, es necesario ampliar la tabla posicional de los números. La unidad de mil se representa en el cuarto orden de la tabla.

Amuleto antiguo de la cultura Valdivia.

Sabías que...

La alfarería es una de las tradiciones colombianas que se mantienen vigentes y se preservan a pesar del tiempo. ¿Conoces algún alfarero o alfarera?, ¿en qué lugares de Colombia se practica la alfarería?

Um

C

D

U

Um

C

D

U

4

0

0

0

1

5

0

0

Para los números de 6 cifras, la tabla posicional es: Cm

Dm

Um

C

D

U

4

5

6

7

0

1

En esta tabla: Um representa a la unidad de mil Dm representa a la decena de mil Cm representa a la centena de mil

En el ejemplo agrupamos así: 456 701. Leemos los números de tres cifras que se formaron intercalando la palabra mil: cuatrocientos cincuenta y seis mil setecientos uno.

Para leer los números, estos se agrupan de tres en tres desde la derecha; cuando se llega a la unidad de mil, se agrega la palabra mil.

Cuando se llega a la séptima cifra, esta se lee intercalando la palabra millones y continuando con la lectura habitual.

12

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Ejemplo 1

Conexiones

Coloca los números 34 678, 7 893 y 549 016 en la tabla posicional y Propiedad escribe como se lee.

Las siguientes elevaciones de la editorial son consideradas en el Solución C

D

U

Lectura

8

Treinta y cuatro mil seiscientos setenta y ocho

3

4

6

7

Um

C

D

U

Lectura

7

8

9

3

Siete mil ochocientos noventa y tres

Cm Dm Um 5

4

9

C

D

U

Lectura

0

1

6

Quinientos cuarenta y nueve mil dieciséis

Ejemplo 2

Shutterstock, ( 2017). 1064275058

Dm Um

alpinismo como “de alta montaña”.

Nevado del Huila 5 750 m.

Nevado del Ruiz 5 200 m.

Nevado del Tolima 5 150 m.

Sierra Nevada del Cocuy 5 400 m.

Pico Cristóbal Colón 5 775 m.

Escribe los números cuya lectura se indica.

Lectura

CM DM UM Cm Dm Um

Ciento seis millones doscientos mil ciento sesenta

1

0

Cuatro millones sesenta y ocho mil ciento tres

C

D

U

6

2

0

0

1

6

0

4

0

6

8

1

0

3

9

3

2

5

4

0

3

3

Nueve mil trescientos veinte y cinco Ochocientos noventa y cuatro mil treinta y tres

8

9

Ejemplo 3 Escribe un número que cumpla las siguientes características: Que tenga seis cifras, dos de ellas deben ser el 1 y estar ubicados en la posición de las unidades de mil y las decenas, y otras dos deben ser el 7 y estar ubicados en la posición de las centenas de mil y en las centenas.

Solución Colocamos los dos números en las posiciones indicadas; los otros pueden ser cualesquier números.

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Cm

Dm

Um

C

D

U

7

2

1

7

1

0

13

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Taller

Propiedad

1. Escribe como se leen los nĂşmeros.

de la editorial

NĂşmero Cm

5

Dm

Um

C

D

U

3

7

2

0

1

4

8

7

8

9

3

4

9

6

4

7

7

6

7

9

8

8

0

0

0

2

7

6

8

6

0

5

4

3

1

7

9

Lectura

2. Relaciona los nĂşmeros con su escritura. a) 980 088

Novecientos ochenta y ocho mil ocho

b) 9 880

Novecientos ochenta mil ochenta y ocho

c) 98 800

Novecientos noventa y ocho mil ochocientos

d) 998 800

Nueve mil ochocientos ochenta

e) 988 008

Noventa y ocho mil ochenta

f) 98 080

Noventa y ocho mil ochocientos

14

Libro Matematica 5 Colombia.indb 14

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3. Coloca las cifras faltantes para que el número corresponda a la lectura.

Propiedad de la editorial

Número Cm

Dm

Um

1

C

U

4 9 4

2

D

6

Lectura

Ciento cincuenta y tres mil cuatrocientos treinta 1

Setecientos ochenta y nueve mil seiscientos veintiuno

9

Cuarenta y nueve mil nueve Doscientos treinta mil seiscientos veintitrés

4. Escribe números que cumplan con las condiciones.

De cuatro cifras, con el 3 en las unidades y unidades de mil De seis cifras, con el 5 en las centenas, decenas de mil y centenas de mil De cinco cifras, con el 1 en todas las posiciones, excepto en las decenas De cuatro cifras, con ceros en las unidades y centenas 5. Escribe los números mencionados en el texto.

En las cercanías del municipio de Floresta (Boyacá) se han encontrado los vestigios más antiguos de nuestros ancestros, alrededor de cuarenta y seis cazadores. Este lugar fue ocupado entre siete mil cuarenta y seis mil seiscientos ochenta años antes de Cristo.

Cazadores encontrados Años antes de Cristo

y

Trabajo colaborativo 6. En parejas elaboren fichas con tablas posicionales, compártanlas con los compañeros y compañeras que necesitan reforzar el tema, y díctenles números de hasta seis cifras.

Actividad indagatoria 7. Investiga cuántas cifras tiene la edad de los restos humanos más antiguos del mundo que han sido encontrados.

15

Libro Matematica 5 Colombia.indb 15

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4

Valor posicional – orden en los números naturales Propiedad

Secuencia

de la editorial

Actívate Maya Ediciones, (2020).

Al comparar dos números cuyas descomposiciones son 5C + 3D + 4U y 5C + 2D + 9U, se observa que el primero es mayor que el segundo. ¿Qué sucede al comparar los números que resultan si a los dos se les agrega 1C?

¿Es verdad que la distancia que separa a Pasto de Medellín se obtiene al sumar en kilómetros 700 + 90 + 7? Al observar el mapa podemos determinar que la distancia que separa las ciudades es de 797 kilómetros. Si sumamos 700 + 90 + 7, obtenemos 797 kilómetros.

797 km Pasto

Shutterstock, (2020). 1233891211

Medellín

Un número puede ser descompuesto de dos maneras: la primera, utilizando el valor posicional de las cifras; y la segunda, tomando el valor relativo de sus cifras.

Ejemplo 1 Descompón de dos formas diferentes el número 456 798.

Solución 456 798 = 4 Cm + 5 Dm + 6 Um + 7 C + 9D + 8U

Recuerda El valor relativo de una cifra depende de la posición que ocupa en un número.

En 9 785, el valor relativo de 5 es 5 porque ocupa el lugar de las unidades.

9 es 9 000 porque ocupa el lugar de las unidades de mil.

456 798 = 400 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 90 + 8

Orden en los números naturales Al comparar números naturales, primero se debe tener en cuenta el número de sus cifras; el que tenga más cifras siempre será mayor. Si tienen el mismo número de cifras, se compara una a una de izquierda a derecha y será mayor aquel que tenga la cifra mayor.

Ejemplo 2 Compara los números 45 617 y 45 607.

Solución

Recuerda Un número cualquiera puede expresarse a través de una suma, y esto se conoce como descomposición aditiva.

16

Libro Matematica 5 Colombia.indb 16

Los dos números tienen cinco cifras; por tanto, las comparamos una a una.

Dm

Um

C

D

U

Dm

Um

C

D

U

4

5

6

1

7

4

5

6

0

7

= = = >

Como 1 es mayor que 0, entonces:

45 617 > 45 607 .

7/23/20 11:30 AM

Taller

Propiedad 1. Obtén la descomposición aditiva de los números. Sigue el ejemplo. de la editorial Número

Lectura 2Um + 3C + 5U

2 305

2 000 + 300 + 5

67 981

148 400

2. Escribe el número teniendo en cuenta su descomposición aditiva.

Descomposición aditiva

Número

4U + 5D + 3Um + 5C

3 554

70 000 + 40 + 3 + 200 + 1000 6Cm + 3U + 4D + 9Um + 4C 5Um + 6Cm + 1U + 4D + 9Dm + 7C

3. Coloca el signo >, < o = , según corresponda. a) 234 789

478 946

b) 567 402

561 999

c) 68 509

65 401

d) 56 701

56 801

d) 1 345

1 341

3Dm + 1Cm + 7D + 5Um + 2C

d) 894 706

100 + 9 000 + 8 + 40 + 500 000

e) 5Um + 8D + 8C

894 716 7Um + 6U + 3D

4. Resuelve.

Un parque nacional cuenta con dos zonas, una terrestre y una marina, las cuales están medidas en hectáreas (ha). La extensión terrestre está representada por el número: 4U + 1C + 6Um + 5DM + 8D. La marina, por el número: 3D + 4Um + 1Dm + 4C. Compón los números e indica cuál de las áreas es mayor.

__________________________________________________________________________________________________________

Trabajo colaborativo 5. En parejas escriban cinco números de seis cifras e intercámbienlos con otra pareja para que realicen la descomposición.

Actividad indagatoria 6. Investiga sobre el número de especies que habitan en el parque Tayrona y descompón las cantidades obtenidas.

Libro Matematica 5 Colombia.indb 17

17

7/23/20 11:30 AM

5

Secuencia

Adición y sustracción de números naturales Propiedad de la editorial

Desequilibrio cognitivo Maya Ediciones, (2020).

¿Cómo compruebas si una sustracción está bien resuelta?

Describe oralmente los pasos.

Para limpiar las señales de tránsito, un municipio contrató a una empresa privada que cobró $ 450 680 por toda la obra. Si ya se realizó un abono de $ 145 875 y luego otro abono de $ 245 870, ¿cuánto dinero tendrá que cancelar el municipio al finalizar la obra?

Para conocer cuánto dinero falta por cancelar, es necesario realizar lo siguiente:

Shutterstock, ( 2017). 148780400

a) Sumar los dos pagos efectuados.

+

1

4

5

8

7

5

Primer abono

2

4

5

8

7

0

Segundo abono

3

9

1

7

4

5

Total de abonos

b) Restar los abonos del costo total de la obra.

–

4

5

0

6

8

0

Costo de la obra

3

9

1

7

4

5

Abonos

0

5

8

9

3

5

Falta por cancelar

El municipio tendrá que cancelar $ 58 935 al finalizar la obra.

Para hallar la suma de dos o más sumandos, adicionamos las cifras en la misma posición, reagrupando cuando sea necesario.

Para hallar la diferencia de dos números, restamos las cifras en la misma posición, desagrupando cuando sea necesario.

Recuerda Los términos de la adición son: sumandos y suma total.

Los términos de la sustracción son: minuendo, sustraendo y diferencia.

Si en una resta se suman el sustraendo y la diferencia, obtendremos el minuendo.

Minuendo

450 000

Sustraendo –

Diferencia

240 000

210 000

Diferencia =

Sustraendo +

210 000

240 000 Minuendo

=

450 000

18

Libro Matematica 5 Colombia.indb 18

7/23/20 11:30 AM

Taller

Propiedad

1. Resuelve las siguientes adiciones. a) +

4

5

7

8

9

3

5

6

7

9

5

1

b) +

de la editorial c) 9 5

7

8

8

4

5

2

2

4

5

6

1

0

+

3

4

5

0

4

3

2

6

5

6

7

8

9

0

0

4

5

6

8

9

1

7

2. Resuelve las siguientes sustracciones. a)

9

8

7

6

9

0

–

5

6

7

3

0

4

b) –

4

6

0

0

0

9

8 c)

2

3

5

6

7

8

0

–

3. Encuentra el resultado de las operaciones, luego escribe sustracciones y adiciones equivalentes en cada caso. a) 456 897 + 234 098 =

b) 569 876 – 345 007 =

4. Resuelve los siguientes problemas. a) Una empresa de insumos agrícolas tiene que cumplir una meta de venta anual de $ 750 860. Si en el primer trimestre vendió $ 345 987 y en el segundo trimestre vendió $ 318 550, ¿cuánto le falta para alcanzar la meta?

b ) Una granja avícola produjo 2 400 000 huevos para entregarlos a diferentes supermercados. Si durante el traslado se rompieron 156 980 y 76 543 no estaban en buen estado, ¿cuántos huevos se entregaron en total?

_____________________________________________

_____________________________________________

Trabajo colaborativo 5. En parejas propongan 3 adiciones y 3 sustracciones con números de 7 u 8 cifras. Luego, intercambien sus operaciones con otra pareja y verifiquen los resultados.

Actividad indagatoria 6. Averigua cuántas flores aproximadamente se exportan desde nuestro país hacia Estados Unidos, y plantea una situación problémica sobre este tema.

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

Libro Matematica 5 Colombia.indb 19

Taller por competencias

19

7/23/20 11:30 AM

6

Secuencia

Propiedades de las operaciones aditivas - aproximaciones Propiedad de la editorial

Actívate Maya Ediciones, (2020).

¿Cómo puedes explicar que el resultado de 7 + 5 es el mismo resultado de 5 + 7?

Luisa y Laura deben determinar cuál es la población de Cali, Medellín y Santa Marta juntas.

Shutterstock, (2020). 1066022672

Luisa escribió la siguiente expresión para determinar la cantidad que le solicitaron 2 401 000 + 2 508 000 + 515 556 y Laura escribió la expresión 2 508 000 + 2 401 000 + 515 556.

Al hacer las operaciones las niñas se dieron cuenta que el resultado en ambos casos es 5 424 556.

2 401 000 + 2 508 000 + 515 556 = 2 508 000 + 2 401 000 + 515 556

Propiedades de la adición

Recuerda El símbolo que representa aproximación es ≈

Propiedad

Explicación

Ejemplo

Conmutativa

El orden en que se escriben los sumandos no altera la suma total.

3 + 5 + 9 = 17 5 + 9 + 3 = 17

Asociativa

Si dos o más sumandos se agrupan en distinto orden, la suma total no cambia.

(3 + 6 + 7) + 2 = 18 3 + (6 + 7 + 2) = 18

Elemento neutro

Si se suma el módulo (el número 0) a un número, la suma total es el mismo número.

7 + 8 = 15 7 + 8 + 0 = 15

La sustracción no cumple con las propiedades conmutativa y asociativa.

Estimación de adiciones y sustracciones Para estimar el resultado de una adición o una sustracción, es necesario aproximar al mismo orden cada término y resolver la operación. Estimar es encontrar el resultado más aproximado de una operación.

Ejemplo

Solución

Estimar el resultado de las siguientes operaciones.

Para conocer el resultado en este caso aproximamos cada término a la unidad de mil más cercana.

a) 679 870 + 750 187

a) 680 000 + 750 000 = 1 430 000 Adición sin aproximación: 679 870 + 750 187 = 1 430 057

b) 989 854 – 344 789

20

Libro Matematica 5 Colombia.indb 20

b) 990 000 – 345 000 = 645 000 Sustracción sin aproximación: 989 854 – 344 789 = 645 065

7/23/20 11:30 AM

Taller

Propiedad

1. Resuelve las siguientes adiciones.

1

de la editorial c) 8 3

4

9

0

0

8

5

7

8

8

0

b) 0

2

4

5

6

6

8

3

4

5

6

7

8

0

4

5

6

7

0

9

+ 1

4

6

7

8

9

+ 1

2

3

4

8

0

1

+ 1

2

0

0

0

5

9

8

7

5

0

0

3

7

8

9

1

2

3

6

7

3

4

2

4

0

5

4

3

2

0

9

a)

3

5

6

7

9

2. Resuelve las siguientes sustracciones. a) –

9

7

8

2

4

5 b)

6

7

3

4

6

0

–

c) –

3. Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda. a) La adición cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. b) La sustracción cumple con la propiedad conmutativa. c) El módulo de la suma es el cero. d) Al aplicar la propiedad asociativa cambia el resultado de una suma e) 5 298 003 + 601 = 601 + 5 298 003 f) 325 698 + 8 302 = 8 300 + 326 600

4. Aproxima a las unidades de mil y obtén los resultados estimados. a) 567 098 + 734 997 =

c) 437 709 + 224 008 =

560 098 ≈

437 709 ≈

+ 734 997 ≈

+ 224 008 ≈

b) 897 653 – 567 098 = d) 653 765 – 453 896 = 897 653 ≈

653 765 ≈

– 567 098 ≈

– 453 896 ≈

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

Libro Matematica 5 Colombia.indb 21

Taller por competencias

21

7/23/20 11:30 AM

7

Secuencia

Multiplicación y división de números naturales Propiedad de la editorial

Actívate Maya Ediciones, (2020).

¿Qué operación nos permite saber la cantidad de chupetes que lleva un camión en 675 cajas, si cada una contiene 30 chupetes?

En una exposición de productos colombianos se vendieron 2 585 entradas de adultos y 1 546 entradas de niños. Un patrocinador recibió $ 21 por cada entrada de adulto vendida y $ 12 por cada entrada de niño vendida. ¿Cuánto dinero recaudó el patrocinador en la exposición?

Para conocer la cantidad de dinero recaudado se realiza lo siguiente:

Shutterstock, (2020). 1206198898

a) Multiplicar 2 585 × 21, que es lo recaudado por las entradas de adultos.

2

5

× +

8

5

Cantidad de adultos

2

1

Valor de las entradas

5

2

5

8

5

1

7

0

5

4

2

8

5

Factores Suma parcial Producto

Valor por entradas de adultos

b) Multiplicar 1 546 × 12, que es lo recaudado por las entradas de niños.

Recuerda La multiplicación es una suma abreviada de varios sumandos iguales.

1

5

× +

4

6

Cantidad de niños

1

2

Valor de las entradas

2

3

0

9

1

5

4

6

1

8

5

5

2

Factores Suma parcial Producto

Valor por entradas de niños

c) Sumar los dos productos.

54 285 + 18 552 = 72 837 También se puede aplicar otra estrategia de multiplicación, descomponiendo el segundo factor.

Se recaudó en total $ 72 837.

2 585 × 20 = 51 700

1 546 × 10 = 15 460

2 585 × 1 = 2 585

1 546 × 2 = 3 092

Total:

54 285

+

18 552

=

72 837

Para multiplicar dos números naturales, se multiplica uno de los factores por cada una de las cifras del otro factor y luego se suman los resultados parciales.

22

Libro Matematica 5 Colombia.indb 22

7/23/20 11:30 AM

Ejemplo 1

Maya Ediciones, (2020).

En una finca se han cosechado 4 680 manzanas, las cuales son Propiedad guardadas en cajas. Si en cada caja se pueden guardar exactamente de la editorial 15 manzanas, ¿cuántas cajas se necesitan para guardarlas todas?

Solución A fin de conocer la cantidad de cajas que se necesitan para guardar las manzanas, se debe hacer una división.

4

6

8

1

8 3

0

1

5

3

1

Cosecha de manzanas

2

0 0

Como hay 2 cifras en el divisor, se toman 2 cifras del dividendo y se estima: ¿cuántos grupos de 15 hay en 46? En 45 hay 3 grupos.

Se coloca 3 en el cociente, se multiplica 3 por 15, el resultado se resta a 46. Se compara que el residuo de la resta sea menor que el divisor.

Se baja la siguiente cifra del dividendo, es decir el 8, y se estima: ¿cuántos grupos de 15 hay en 18? En 18 hay 1 grupo. Se multiplica 1 por 15, el resultado se resta a 18. Se baja la siguiente cifra y luego se continúa con el mismo proceso.

Recuerda Los términos de la división son: dividendo divisor 27 12 3 2 residuo cociente

Se necesitan 312 cajas para guardar 4 680 manzanas.

Para resolver una división, se dividen las cifras del dividendo entre el divisor, comenzando por las de mayor valor posicional y desagrupando cuando sea necesario. Para comprobar una división, se verifica que el residuo sea menor que el divisor. Otro modo de comprobar es este: (divisor × cociente) + residuo = dividendo.

Recuerda El residuo de una división representa los elementos que sobran al realizar grupos de tantos elementos como indique el divisor.

Ejemplo 2 Dividir:

56 717 ÷ 342

Solución Dividimos 567 entre 342, obteniendo como resultado 1 y sobran 225.

Se baja la siguiente cifra y se forma 2251. Dividimos 2251 entre 342, obteniendo como resultado 6 y sobran 199. Se baja la siguiente cifra y se forma 1997. Dividimos 1997 entre 5, obteniendo como resultado 287.

Se comprueba la división:

5 6 7 1 7 3 4 2 2 2 5 1

1 6 5

1 9 9 7 2 8 7

165 × 342 = 56 430 + 287 = 56 717

23

Libro Matematica 5 Colombia.indb 23

7/23/20 11:30 AM

Taller 1. Plantea las multiplicaciones y resuelve.

Propiedad

a) 345 675 × 54 =

de la editorial c) 653 213 × 49 =

b) 543 765 × 28 =

d) 843 213 × 32 =

2. Resuelve las siguientes divisiones y escribe el residuo. a)

c)

4 5 4 0

Residuo

b)

7 2 5 2

e) 7 3 4 4 5 0

Residuo

d)

8 7 3 0

Residuo

g) 8 6 4 2 4 0

Residuo

Residuo

9 3 6 9

f) 9 3 8 3 5 0

Residuo

h) 6 3 9 2 1 0

Residuo

Residuo

3. Resuelve las siguientes divisiones y realiza la comprobación. a)

3

6

8

Comprobación

9

0

8

4

5

b)

6

7

8

7

6

5

4

8

7

Comprobación

24

Libro Matematica 5 Colombia.indb 24

7/23/20 11:30 AM

c)

7 8 7 5 8 7 6 5 5 3 0

d)

9 7 6 5 4 3 2 7 7 4 2

Propiedad de la editorial

Comprobación

Comprobación

4. Resuelve los siguientes problemas. a) En una escuela hay 12 cursos con 26 estudiantes cada uno, y 6 cursos con 28 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes hay en la escuela?

b) Una pizzería vende durante una semana 24 pizzas grandes a $ 25 000 cada una, 18 pizzas medianas a $ 18 000, y 35 pizzas pequeñas a $ 11 000. ¿Cuánto dinero recauda la pizzería por ventas en una semana?

5. Resuelve el siguiente problema e interpreta su residuo.

Gabriela necesita empacar manzanas en cajas. Si en cada caja caben 45 manzanas y ella tiene 6 900 manzanas, ¿cuántas cajas son necesarias para empacar todas las manzanas? __________________________________________________________________________________________________________

Trabajo colaborativo 6. En parejas creen un problema que se resuelva utilizando la multiplicación. Luego, intercambien sus problemas con otras parejas para resolverlos.

7. En parejas, realicen una multiplicación para 2 o 3 cifras, escriban los procesos en una cartulina, y expongan su trabajo en clase.

Actividad indagatoria 8. Averigua una estrategia de cálculo mental para que la multiplicación se resuelva en menor tiempo.

9. Pregunta a tus padres en qué situaciones se puede hacer la interpretación del residuo, y comenta las respuestas con la clase.

Libro Matematica 5 Colombia.indb 25

25

7/23/20 11:30 AM

8

Secuencia

Propiedades de las operaciones multiplicativas Propiedad de la editorial

Desequilibrio cognitivo Maya Ediciones, (2020).

¿Cuántas cajas como las del modelo se necesitarán para guardar 400 naranjas?

Para almacenar un embarque de juguetes un proveedor sugiere utilizar 800 cajas con 103 juguetes cada una o 103 cajas con 800 juguetes cada una. El proveedor sostiene que en ambas opciones la cantidad de juguetes que se pueden almacenar es la misma.

Al calcular el resultado de las operaciones debido a la propiedad conmutativa se tiene: 800 × 103 = 82 400 y 103 × 800 = 82 400, se observa que el proveedor tiene razón.

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

3×5=5×3

Asociativa

Los factores de una multiplicación de números naturales se pueden agrupar de distintas maneras y el producto no cambia.

(7 × 3) × 2 = 42 7 × (3 × 2) = 42

Distributiva

Se aplica la propiedad con respecto a la suma y la resta.

3 × (3 + 2) = (3 × 3) + (3 × 2) = 9 + 6 = 15 8 × (5 – 2) = (8 × 5) – (8 × 2) = 40 – 16 = 24

Del elemento neutro

Todo número natural multiplicado por 1 da como resultado el mismo número.

El módulo de la multiplicación o elemento neutro es el 1.

3 × 5 = 15 3 × 5 × 1 = 15

Ejemplo 1 Resuelve las multiplicaciones aplicando las propiedades solicitadas.

Solución

a) 8 × 9 × 3

asociativa

a) (8 × 9) × 3 = 216

8 × (9 × 3) = 216

b) 7 × (2 + 5)

distributiva

b) 7 × (2 + 5) = 49

(7 × 2) + (7 × 5) = 49

Multiplicación por 10, 100 y 1 000 Para multiplicar por 10, 100 o 1 000, es necesario colocar el mismo número seguido de tantos ceros como tenga el factor con potencia 10.

Ejemplo 2 Soluciona las multiplicaciones. a) 23 × 10 =

b)

135 × 100 =

c)

8 246 × 1 000 =

Solución a) 23 × 10 = 230

b) 135 × 100 = 13 500

c) 8 246 × 1 000 = 8 246 000

26

Libro Matematica 5 Colombia.indb 26

7/23/20 11:30 AM

Taller 1. Aplica la propiedad conmutativa en los siguientes ejercicios. a) 20 × 30 = 30 × 20

c) 28 × 25 =

b) 32 × 15 =

d)

Propiedad de la editorial e) = 22 × 77

= 31 × 87

= 14 × 15

f)

2. Aplica la propiedad asociativa en los siguientes ejercicios. =

a) 25 × 11 × 18

c) 16 × 15 × 12

) × 18 =

(

25 × (

=

(

83 × (

) =

d) 17 × 45 × 9

) × 21 =

) × 12 =

(

) = 16 × (

b) 83 × 4 × 21

=

(

=

) × 9 =

) = 17 × (

) =

3. Aplica la propiedad del elemento neutro. a) 123 × 5 = 615

b) 230 × 4 =

4. Observa la tabla y complétala. ×

10

100

1 000

456 234 5 645 23 2 789

5. Determina cuáles de las propiedades de la multiplicación se cumplen para la división.

Escribe un ejemplo en cada caso. a) Conmutativa: _______________________________________________________________________________________ b) Asociativa: __________________________________________________________________________________________ c) Distributiva: ________________________________________________________________________________________ d) Elemento neutro: __________________________________________________________________________________

27

Libro Matematica 5 Colombia.indb 27

7/23/20 11:30 AM

9

Secuencia

Expresiones aritméticas e igualdades Propiedad Desequilibrio cognitivo

de la editorial

Shutterstock, (2020). 1440985715

Observa que el número 10 se puede escribir como la suma de 6 y 4 (6 + 4 = 10), pero también se puede escribir como la resta de 15 y 5 (15 – 5 = 10). ¿De cuántas maneras se puede escribir el número 10?

En un concurso de levantamiento de pesas los deportistas deben ubicar pesas de 4 kilogramos en el lado derecho de la barra y pesas de 3 kilogramos en el otro extremo.

Shutterstock, (2020). 307102835

Si uno de los pesistas ubica 3 en el lado derecho, ¿cuántas pesas debe ubicar en el lado izquierdo para que el peso en ambos lados sea el mismo?

En este caso, el deportista debe ubicar 4 pesas de 3 kilogramos cada una en el lado izquierdo de la barra ya que: 4 kg + 4 kg + 4 kg = 12 kg = 3 kg + 3 kg + 3 kg + 3 kg.

Las expresiones aritméticas son líneas matemáticas en las que se relacionan números mediante las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

4 ÷ 2 + 5 es una expresión aritmética.

La relación de igualdad se da entre dos o más expresiones aritméticas que representan la misma cantidad y se expresa mediante el símbolo =.

Como 7 + 5 = 12 y también 6 × 2 = 12, se puede establecer la igualdad 7 + 5 = 6 × 2.

Ejemplo 1 Determina la expresión aritmética relacionada con el siguiente enunciado.

En un campeonato latinoamericano de levantamiento de pesas, el deportista colombiano levantó 3 pesas de 30 kilogramos a cada lado de la barra. El deportista mexicano levantó cuatro pesas de 45 kilogramos. ¿Entre los dos deportistas quién levantó más peso?

Solución La expresión aritmética que representa la cantidad de peso levantada por el colombiano es 6 × 30, al resolver la operación se obtiene 6 × 30 = 180; es decir, levantó 180 kilogramos.

En cuanto al mexicano, la expresión aritmética que representa el peso levantado es 4 × 45 = 180, es decir que también levantó 180 kilogramos.

28

Libro Matematica 5 Colombia.indb 28

Por lo tanto, es posible escribir la igualdad: 6 × 30 = 4 × 45

7/23/20 11:30 AM

Taller 1. Une con una línea las expresiones aritméticas que generen igualdades.

45 ÷ 9

20 × 49

800 – 275

500 + 25

98 × 10

336 ÷ 7

12 × 4

1×5

Propiedad 2. En cada caso, colorea la casilla de la expresión aritmética de que la genera editorialuna igualdad con la expresión aritmética dada. a) 37 × 9 450 ÷ 8

934 × 9

111 × 3

12 × 8

4×2

b) 88 ÷ 11 80 ÷ 8

3. Escribe dos igualdades en las que uno de los lados corresponda con la expresión aritmética mostrada. Comprueba que se trata de una igualdad resolviendo la operación indicada en cada lado. a) 14 + 2 034

b) 497 × 35

c) 900 – 900

d) 555 555 ÷ 555 555

4. Luis tiene siete bolsas con 12 canicas en cada una; Juan, dos bolsas con 42 canicas en cada una. Escribe una expresión aritmética que represente la cantidad de canicas de cada uno y escribe una igualdad entre estas expresiones.

5. Escribe una situación problema que se pueda asociar a la igualdad: (58 × 4) + 5 = 3 × 79.

Trabajo colaborativo 6. En parejas escriban una expresión aritmética que represente la cantidad de lápices, colores y esferos que tienen juntos en este momento. Después, busquen otra pareja con la cual puedan formar una igualdad tomando sus expresiones aritméticas.

Actividad indagatoria 7. Investiga cuál es la manera en la que se representan cantidades desconocidas en matemáticas (concepto de variable). ¿Cómo representarían el doble de cualquier número?

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

Libro Matematica 5 Colombia.indb 29

Taller por competencias

29

7/23/20 11:30 AM

10

Secuencia

x Maya Ediciones, (2020).

2

Potenciación, radicación y logaritmación de números naturales Propiedad de la editorial

Actívate

Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.

2×2×2×2=

3×3×3×3×3=

5×5×5=

Camilo desea jugar con cubos y los arma de la siguiente manera.

Fila

1

2

3

4

5

Cantidad

2

4

8

16

¿?

¿Cuántos cubos tendrá la quinta fila?

Para conocer cuántos cubos tendrá la quinta fila, debemos identificar el patrón de cada fila.

Recuerda Todo número natural elevado al exponente 1 es igual al mismo número.

21 = 2 Todo número elevado a la potencia 0 siempre es igual a uno.

60 = 1

2

= 2

2 × 2

= 4

2 × 2 × 2

= 8

2 × 2 × 2 × 2 = 16 Si seguimos el mismo patrón, entonces la quinta fila debe tener el número de cubos de la fila 4 multiplicada por 2.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 A la multiplicación de un factor por si mismo varias veces se le denomina potenciación.

Base

Exponente

62 = 6 × 6 = 36

Potencia

Base: es el factor que se repite.

Exponente: es la cantidad de veces que se repite la base.

Shutterstock, (2020) . 566638387

Otra forma de representar los cubos que hay en cada fila es:

30

Libro Matematica 5 Colombia.indb 30

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

21 = 1

Se lee: “2 elevado al cuadrado es igual a 4”.

Se lee: “2 elevado al cubo es igual a 8”.

Se lee: “2 elevado a la potencia 4 es igual a 16”.

Se lee: “2 elevado a la potencia 5 es igual a 32”.

Se lee: “2 elevado a la potencia 1 es igual a 2”.

Radicación Romina y su padre arman un rompecabezas de forma cuadrada que tiene una superficie de 1 600 cm2. ¿Cuánto mide cada lado del rompecabezas?

7/23/20 11:30 AM

Primero identifica el área del cuadrado.

A = l × l, donde l corresponde al valor de la longitud del lado del PropiedadRecuerda rompecabezas. de la editorial Índice 1 600 = l2 40 es el único número que cumple 40 × 40 = 402 = 1 600 3 27 = 3 Al proceso realizado se le denomina radicación.

Raíz

Radicando

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Esta consiste en hallar la base cuando se conoce el exponente y la potencia.

Se define de la siguiente manera:

Cuando el índice es 2, no se escribe sobre el signo radical.

a = n b si y solo si an = b.

La base ocupa el lugar de la raíz; el exponente ocupa el lugar del índice; y la potencia ocupa el lugar del radicando.

Ejemplo a) 36 b) 3 27 c) 4 16 Solución a) 36 = 6, porque 6 × 6 = 36 b) 3 27 = 3, porque 3 × 3 × 3 = 27 c) 4 16 = 2, porque 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Logaritmación La logaritmación es una operación por medio de la cual se calcula el exponente de una potenciación, cuando se conoce la potencia y la base.

La definición de un logaritmo es: Cuando ac = b, entonces loga(b) = c.

Una bacteria se reproduce duplicándose cada segundo. Al poner la bacteria en una placa para estudiarla, ¿cuánto tiempo se debe esperar para obtener 16 bacterias?

Después de un segundo, habrá dos bacterias (21 = 2).

Después de dos segundos, habrá cuatro bacterias (22 = 4).

Shutterstock, (2020). 705598963

Por ejemplo, log2(16) = 4, porque 24 = 16.

Después de tres segundos, habrá ocho bacterias (23 = 8).

Después de cuatro segundos, habrá 16 bacterias (24 = 16).

Se debe esperar 4 segundos para que hayan 16 bacterias.

Libro Matematica 5 Colombia.indb 31

31

7/23/20 11:30 AM

Taller

Propiedad 1. Cuenta las filas y columnas, y escribe en forma de potenciación. de la editorial

2. Observa los gráficos y escribe en forma de potenciación.

3. Resuelve y completa la tabla.

Solución 152

Potencia

Base

Exponente

15 × 15 = 225

83 72 63 142

4. Escribe el exponente en cada operación.

5. Relaciona según corresponda.

a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2

33 49

b) 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8

72

1 000

c) 5 × 5 × 5 × 5 = 5

53

9

d) 6 × 6 × 6 × 6 = 6

32

25

e) 7 × 7 × 7 = 7

103 125

f) 4 × 4 = 4

52

27

32

Libro Matematica 5 Colombia.indb 32

7/23/20 11:30 AM

6. Encuentra el cuadrado de cada número.

1

2

3

4

Propiedad

5

6

7de la editorial 8

9

10

5

6

7

9

10

7. Encuentra el cubo de cada número.

1

2

3

4

8

8. Observa el ejemplo y completa los ejercicios. a) 2³ =

2 × 2 × 2

= 8

3

8 =2

b) 17² = c) 15³ = d) 7² = e) 9³ = f) 182 = 9. Escribe el logaritmo que corresponde de acuerdo con la potenciación escrita. a) 43 = 64

c) 882 = 7 744

b) 54 = 625

d) 105 = 100 000

10. Calcula el logaritmo indicado y escribe la potencia que justifica el logaritmo. a) log2 (16) =

b) log8 (512) =

Trabajo colaborativo 11. En parejas construyan un cubo de 5 × 5, y preséntenlo en clase.

Actividad indagatoria 12. Resuelve el siguiente problema.

Rosana desea escribir un libro. El lunes escribe tres páginas. Cada día que pasa escribe tres veces más que el día anterior. ¿Cuántas páginas escribirá el miércoles?

Libro Matematica 5 Colombia.indb 33

33

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11

Secuencia

Múltiplos y divisores de un número natural Propiedad Desequilibrio cognitivo

de la editorial

Maya Ediciones, (2020).

En un bazar cuentan con 4 tipos de bolsas para empaquetar botones. En unas pueden guardar 10 botones, mientras que en otras, 12, 18 y 24 botones, respectivamente. Si hay 504 botones, ¿en qué bolsas podrían empaquetarse de manera que no sobren botones?

Los administradores de un centro de salud desean enviar 40 vacunas contra la tuberculosis a cada subcentro de salud que está a su cargo. ¿Cuántas vacunas deben despachar en total si mandan a 1, 2, 3, 4 y 5 subcentros de salud?

Shutterstock, (2020). 509410888

Para determinar el número de vacunas en cada caso, debemos multiplicar 40 por el número de subcentros de salud.

40

×

1

=

40

40

×

2

=

80

40

×

3

=

120

40

×

4

=

160

40

×

5

=

200

Los productos obtenidos serán registrados en una tabla, de manera que se puedan observar mejor los despachos que debe hacer el centro de salud.

Sabías que...

La tuberculosis es una de las enfermedades mortales presentes en el mundo.

La intervención y prevención por medio de las vacunas, así como del diagnóstico y tratamiento, salvaron la vida de 37 millones de personas en el año 2015.

N.º de subcentros

1

2

3

4

5

N.º de vacunas

40

80

120

160

200

Los múltiplos de un número natural son aquellos números que se obtienen de multiplicar ese número por cada uno de los números naturales.

Si a es el número natural, la expresión Ma = { los múltiplos de a.

} es el conjunto de

• El conjunto de los múltiplos de un número natural es infinito, excepto el del cero.

• El cero es múltiplo de todos los números naturales.

34

Libro Matematica 5 Colombia.indb 34

• Un número natural es múltiplo de sí mismo.

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Ejemplo 1 Forma el conjunto de los múltiplos de 5, y escribe los 6 primeros Propiedad elementos. de la editorial Solución Multiplicamos 5 por 0, 1, 2, 3 , 4 y 5. Luego formamos el conjunto con los productos obtenidos y colocamos tres puntos a continuación para indicar que el conjunto es infinito.

M5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, …} Un número natural es divisor de otro número natural si lo divide exactamente.

Si a es el número natural, la expresión Da = { los divisores de a.

} es el conjunto de

• El conjunto de los divisores de un número natural diferente de cero es finito.

Recuerda

• Si a es un número natural y b es divisor de a, existe un número natural c que, al multiplicarse por b, da como resultado a: b × c = a. b y c se denominan factores de a.

Por ejemplo: 24 es número natural.

4 es divisor de 24.

6 × 4 = 24.

6 y 4 son factores de 24.

• Todo número natural es divisor de sí mismo.

• El cero no es divisor de ningún número.

Ejemplo 2 Forma el conjunto de los divisores de 15.

Solución Buscamos todos los números menores o iguales que dividen exactamente a 15, y formamos con ellos un conjunto.

15 ÷ 1 = 15

15 ÷ 3 = 5

15 ÷ 5 = 3

15 ÷ 15 = 1

Ejemplo 3 Encuentra el valor del factor n en la expresión: 135 = 15 × n

Shutterstock, (2020). 483288778

D15 = {1, 3, 5, 15}

Solución Para encontrar el valor del factor n debemos dividir 135 por 15.

1 3 5 0 0

1 5 9

El factor n es 9 porque 15 × 9 = 135.

35

Libro Matematica 5 Colombia.indb 35

7/23/20 11:30 AM

Taller 1. Completa las afirmaciones con una de las palabras mostradas. Propiedad de la editorial factor divisor múltiplo de un número natural es aquel que lo divide exactamente.

• El

• E n la expresión a × b, b se denomina

. de cualquiera de los dos

• Al producto de dos números se le llama números.

2. Determina los conjuntos de los múltiplos de los números indicados. Escribe los ocho primeros elementos. a) 3

d) 9

b) 4

e) 8

c) 7

f) 10

3. Tacha los elementos que no corresponden a los conjuntos.

M2 = { 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8,… }

M6 = { 0, 3, 6, 12, 15, 18, 21,… }

M11 = { 0, 11, 21, 33, 44, 55, 71,… }

M100 = { 0, 10, 100, 200, 290,… }

4. Calcula el valor del factor desconocido. a) 400 = 25 × n d) 266 = 38 × n

g) 138 = 23 × n

b) 512 = n × 8

h) 180 = 36 × n

e) 476 = 7 × n

c) 504 = 9 × n f) 696 = 87 × n

i) 165 = 55 × n

36

Libro Matematica 5 Colombia.indb 36

7/23/20 11:30 AM

5. Forma el conjunto de los divisores de cada número indicado. a) 18

d) 48

b) 25

e) 72

c) 32

f) 100

Propiedad de la editorial

6. Subraya las afirmaciones correctas. a) El 1 es múltiplo de todos los números naturales. b) El conjunto de los múltiplos de los números naturales es infinito, excepto el conjunto de los múltiplos del 0. c) Todo número es múltiplo de sí mismo. d) Ningún número es divisor de sí mismo. e) El conjunto de los divisores de todos los números naturales es infinito. f) El 1 es divisor de todos los números.

7. Determina por comprensión cada conjunto. a) {0, 9, 18, 27, 36, 45, …} b) {0, 3, 6, 9, 12, 15, …} c) {0, 7, 14, 21, 28, 35, …} d) {1, 2, 11, 22} e) {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Trabajo colaborativo 8. En parejas estructuren el conjunto de los divisores de cuatro números. Incluyan en cada conjunto por lo menos dos números que no sean divisores para que sean identificados por otra pareja.

Actividad indagatoria 9. Investiga el conjunto de los múltiplos y divisores del 0 y del 1. Expón en clase tus conclusiones.

37

Libro Matematica 5 Colombia.indb 37

7/23/20 11:30 AM

12

Secuencia

Números primos y compuestos Descomposición en factores primos Propiedad de la editorial

Actívate

Indica los números que son divisibles por 2 y 5 al mismo tiempo.

Maya Ediciones, (2020)

564

870

654

234

210

562

Ricardo compró 7 patos y quiere guardarlos en cajas, pero en grupos de cantidades iguales. ¿Cuántos grupos puede formar? Y, si compra otro pato más, ¿cuántos grupos puede formar?

Maya Ediciones, (2020)

Para saber cuántos grupos iguales se pueden formar se deben buscar los divisores de 7 y de 8.

El número 7 tiene 2 divisores que son el número 1 y el 7. Por lo tanto, el 7 es un número primo.

El número 8 tiene 4 divisores que son 1, 2, 4 y 8. Por lo tanto, el 8 es un número compuesto.

Sabías que...

El número 1 tiene un solo divisor, entonces no es número primo ni compuesto.

Un número es primo si tiene dos divisores, el 1 y el mismo número.

Un número es compuesto si tiene dos o más divisores.

Descomposición de factores primos Todo número compuesto puede expresarse como producto de factores primos.

Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto, donde todos sus factores son primos.

Diagrama de árbol

Descomposición por divisiones sucesivas

Para descomponer un número compuesto en diagrama de árbol:

Para descomponer un número compuesto por divisiones sucesivas:

48 6 2

8 3

2

4 2

48 = 2⁴ × 3

38

Libro Matematica 5 Colombia.indb 38

2

Primero se descompone el número en 2 factores cualquiera.

48 2

Si los factores son números compuestos, se los sigue descomponiendo en 2 factores hasta obtener factores primos.

6

2

3

3

A los factores primos los escribimos como potencias.

24 2 12 2

1

Se escribe a la izquierda el número que se quiere descomponer, separado por una línea vertical.

Se divide el número por el menor factor primo que se escribe a la derecha, y el resultado de la división se coloca a la izquierda.

Se continúa realizando divisiones sucesivas hasta obtener 1.

7/23/20 11:30 AM

Taller

Propiedad 1. Escribe los divisores de cada número y determina si son primos o compuestos. de la editorial a) 15 D15 = { ____________________ } b) 17

D17 = { ____________________ }

c) 35

D35 = { ____________________ }

d) 11

D11 = { ____________________ }

e) 50

D50 = { ____________________ }

2. Descompón los números en factores primos por medio de divisiones sucesivas. a)

1

1

b) 1

0

2

c) 8

0

d) 4

8

5

3. Utiliza un diagrama de árbol para descomponer los números en factores primos. a)

b)

140

×

×

c)

60

×

×

90

×

×

4. Observa la descomposición y escribe el número al que corresponda. a)

22 × 5 2

=

b)

2 × 3 × 52

=

Trabajo colaborativo 5. En parejas encuentren los números primos mayores que 100 y menores que 150.

Utilicen la criba de Eratóstenes para resolver este ejercicio.

Actividad indagatoria 6. Averigua cuál es el proceso para saber si un número es divisible por 8.

Libro Matematica 5 Colombia.indb 39

39

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13

Secuencia

Criterios de divisibilidad- m.c.d - m.c.m Propiedad Actívate

de la editorial

Maya Ediciones, (2020)

Indica cuáles de los siguientes números son pares.

61 50 74 83 101 342 568

202

307

900

Un centro médico se prepara para dictar charlas sobre planificación familiar durante los 5 días laborables de una semana. Se han impreso 840 folletos informativos para los asistentes. ¿Pueden disponer del mismo número de folletos en cada charla diaria?

Para responder la pregunta podemos aplicar los criterios de divisibilidad.

Recuerda Un número natural a es divisible por otro número natural b, cuando al dividir a entre b se obtiene una división exacta.

Un número es divisible por: 2, si la cifra de las unidades es par.

3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5, si la cifra de las unidades es 0 o 5.

6, si es divisible por 2 y por 3 a la vez.

10, si la cifra de las unidades es 0.

Es posible repartir en forma equitativa los folletos durante los 5 días de charlas porque 840 es divisible por 5.

Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Shutterstock, (2020). 1504059641

Tres amigos realizan una competencia de ciclismo. Juan tarda 3 minutos en dar la vuelta a la pista, María tarda 2 minutos, y Pepe, 4 minutos. Los tres salen juntos. ¿Cuánto tiempo debe pasar hasta que los tres se vuelvan a encontrar en un mismo lugar?

Para conocer en qué tiempo se volverán a encontrar, debemos obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Método 1 Obtener los 15 primeros múltiplos de 3, 2 y 4.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes de todos los números, diferentes de cero.

40

Libro Matematica 5 Colombia.indb 40

M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45} M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30} M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60} Identificamos los múltiplos comunes entre los tres conjuntos.

De los múltiplos comunes, obtenemos el menor de ellos. Este corresponde a 12.

Estos son 12 y 24.

12 es el m.c.m. de 3, 2 y 4.

7/23/20 11:30 AM

Método 2 Obtenemos el m.c.m. mediante el método abreviado. Para esto Propiedad usamos la descomposición de factores primos hasta obtener 1 en de la editorial cada uno de ellos.

2

3

4

2

1

3

2

2

1

3

1

3

1

1

1

El m.c.m. de 2, 3, y 4 = 22 × 3 = 12.

Juan, María y Pepe se volverán a encontrar en un mismo lugar a los 12 minutos.

Se tienen 30 chocolates, 48 chupetes y 18 paquetes de galletas. Con estos dulces se armarán bolsas de caramelos. Se necesita llegar a un número de bolsas, de tal manera que alcancen exactamente los chocolates, los caramelos y los chupetes, y que no sobre nada. Con esta condición, ¿cuál es el número máximo de bolsas que se pueden hacer?

Maya Ediciones, (2020)

Máximo común divisor (m.c.d.)

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes de todos los números.

Método 1 Obtener los divisores de 30, 48 y 18.

D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Identificamos los divisores comunes entre los tres conjuntos.

De los divisores comunes, obtenemos el mayor de ellos. Este corresponde a 6.

Estos son 1, 2, 3 y 6.

6 es el m.c.d. de 30, 48 y 18.

Método 2 Obtenemos el m.c.d. mediante el método abreviado. Para esto usamos la descomposición de factores primos, siempre y cuando esta división sea exacta para todos los números.

30 48 18

2

15 24

9

3

5

3

8

El m.c.d. de 30, 48, y 18 = 2 × 3 = 6.

Se pueden hacer máximo 6 bolsas con los dulces.

41

Libro Matematica 5 Colombia.indb 41

7/23/20 11:30 AM

Taller

Propiedad

1. Relaciona la divisibilidad de un número con el criterio.

Por 9

de la editorial Si termina en cifra par.

Por 10

Si la suma de las cifras es múltiplo de 9.

Por 5

Si la cifra de las unidades es 0 o 5.

Por 3

Si es divisible por 2 y 3.

Por 4

Si las dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4.

Por 6

Si la cifra de las unidades es 0.

Por 2

Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

2. Escribe la cifra necesaria para que cada número sea divisible: a) Por 3.

4 3 56 54 3

5

2 79

4

61 1

47 213

11

17

3 498

5

1

b) Por 6.

6

4

9 5 020

5 21

27 34

38 14

7

6 7 708

81 41 60

3. Encierra los números que son divisibles para 3, 5 y 10 a la vez.

55

72

5 110

90 6 705

665 2 678

343 43 110

550

673

54 892

1 205 77 000

3 000 55 555

4. Resuelve el problema.

Una fábrica de jabones cuenta con cajas de empaques para 2, 3, 5 y 6 jabones. Si la fábrica ha producido 520 jabones, ¿en qué tipo de cajas se pueden empacar estos sin que sobre ningún jabón?

Datos

Razonamiento

Operaciones

__________________________________________________________________________________________________________

42

Libro Matematica 5 Colombia.indb 42

7/23/20 11:30 AM

5. Encuentra los 10 primeros múltiplos de cada número.

Propiedad }

a)

M4 = {

b)

M5 = {

c)

M6 = {

}

d)

M8 = {

}

e)

M10 = {

}

de la editorial }

• ¿Cuál es el m.c.m. de 4, 6, 8?

• ¿Cuál es el m.c.m. de 5 y 6?

6. Halla el m.c.m. de los siguientes números. a) 30 15 40

b)

m.c.m. = ________

60 48

c)

m.c.m. = ________

20 36

m.c.m. = ________

7. Escribe los divisores de cada número. a)

D18 = {

}

b)

D20 = {

}

c)

D36 = {

}

• ¿Cuál es el m.c.d. de 18 y 20?

• ¿Cuál es el m.c.d. de 18 y 36?

8. Encuentra el m.c.d. de los siguientes números. a) 36 16 20

= ________

b)

220 120

c)

= ________ Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

Libro Matematica 5 Colombia.indb 43

72 24

= ________ Taller por competencias

43

7/23/20 11:30 AM

14

Secuencia

Ángulos y su clasificación Propiedad de la editorial

Actívate Maya Ediciones, (2020)

¿Qué hora marca el reloj? ¿Qué clase de ángulo forman sus manecillas?

Un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen; a este se lo denomina vértice. La unidad de medida de los ángulos es el grado °.

A

Para nombrar a un ángulo, utilizamos el símbolo , seguido del nombre del vértice o de tres de sus puntos. Al vértice se lo menciona en segundo lugar.

Recuerda Un ángulo se calcula usando la unidad de medida que es el grado.

El ángulo puede medirse con un graduador o transportador.

Bo

o

Lad

B Vértice

ABC

Ángulo Lado

C

Clasificación Según la medida, los ángulos se clasifican en:

Ángulo agudo

Ángulo recto

Ángulo obtuso

Mide menos de 90°. Mide 90°.

B X

Ángulo llano

Mide más de 90°.

Mide 180°.

A

Y

90º Z

!KYZ

O

B

O

A

O

A !O

! AOB

!O

Mide 360°.

180º

135º 45º

Ángulo completo

B

!O

!O

Trazo de ángulos Para trazar un ángulo, es necesario considerar los siguientes pasos.

1. Traza una semirrecta con origen O.

2. Coloca el transportador de manera que el centro coincida con el punto trazado O.

3. Identifica en el transportador la medida del ángulo que quieres trazar y marca con un lápiz.

4. Dibuja otra semirrecta con origen O que pase por la raya marcada.

0

D

D

D

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Libro Matematica 5 Colombia.indb 44

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Taller 1. Mide los ángulos internos de los triángulos y responde.

A

Propiedad de la editorial Y

B

X

C

Z

a) El ángulo ABC mide

d) El ángulo XYZ mide

b) El ángulo BCA mide

e) El ángulo YZX mide

c) El ángulo CAB mide

f) El ángulo ZXY mide

2. Traza un ángulo agudo, uno obtuso y uno recto.

Agudo

Recto

Obtuso

3. Dibuja los ángulos solicitados.

Dos ángulos consecutivos de 20° y 40°.

Dos ángulos adyacentes de 130° y 50°.

Trabajo colaborativo 4. En grupo realicen un cartel con la clasificación de los ángulos según su medida y por su posición.

Actividad indagatoria 5. Investiga qué son ángulos diedros y escribe un ejemplo de ello.

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

Libro Matematica 5 Colombia.indb 45

Taller por competencias

45

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15

Secuencia

Rectas paralelas y perpendiculares Propiedad de la editorial

Desequilibrio cognitivo Maya Ediciones, (2020)

¿Cuántos segmentos se pueden visualizar en el gráfico?

En nuestro entorno encontramos varios objetos que contienen rectas paralelas y perpendiculares. ¿Puedes encontrar algunos en tu salón de clases?

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

a a b b

Las rectas paralelas y las rectas perpendiculares se pueden trazar con regla y compás. Dos rectas son secantes si tienen un punto de intersección, y son paralelas si no son secantes.

Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando ángulos rectos.

Dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no se cortan. ! !

Se escribe: a " b

! !

Se escribe: a ⊥ b

Trazo de rectas con regla Paralelas

Perpendiculares

a b

b a

Trazo de rectas paralelas 1.

2.

3.

4.

C

A

0

B

r

A

0

B

r

D

C

0

A

B

0

A

r

D

B

r

Trazo de rectas perpendiculares 1.

2.

3.

0

s

0

0 A

B

r

A A

B

r

B

r

C

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Libro Matematica 5 Colombia.indb 46

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Taller 1. En cada figura, repasa con color rojo las rectas paralelas, y conPropiedad verde las rectas perpendiculares. de la editorial

2. Observa las rectas y determina si son o no perpendiculares. Justifica tu respuesta. a)

a __________________ son perpendiculares porque

b

b)

c)

___________________________________________________.

a

__________________ son perpendiculares porque ___________________________________________________.

b a

b

__________________ son perpendiculares porque ___________________________________________________.

3. Dibuja un objeto que tenga rectas paralelas y otro que tenga rectas perpendiculares, y señálalas.

Trabajo colaborativo 4. En parejas realicen en una cartulina un diseño utilizando las rectas aprendidas. Observen el ejemplo.

Actividad indagatoria 5. ¿Cuántas rectas paralelas y perpendiculares puedes observar en el diseño de una cancha de fútbol?

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

Libro Matematica 5 Colombia.indb 47

Taller por competencias

47

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16

Secuencia

Medición de la longitud

Propiedad de la editorial

Desequilibrio cognitivo Maya Ediciones, (2020)

¿Es correcto que para medir la altura de una casa se use una regla recta de 30 cm? Explica por qué.

Existen recorridos que se realizan en bicicleta y que tienen longitudes variadas. Por ejemplo, en una ciudad se construyó una ruta para ciclismo que tiene 3 120 metros de largo. ¿Es correcto decir que la longitud de la ruta es de 312 dam?

Para responder a la pregunta, es necesario informarnos acerca de las unidades de longitud y de su factor de conversión.

Shutterstock, (2020) . 1674961144

La unidad fundamental de las medidas de longitud es el metro, que se simboliza con la letra m minúscula. El metro tiene múltiplos (kilómetro, hectómetro y decámetro), y submúltiplos (decímetro, centímetro y milímetro). El factor de conversión es 10. × 10

km

× 10

hm ÷ 10 ÷ 10

Conexiones En la construcción es importante conocer las dimensiones que tienen determinadas longitudes para realizar cálculos exactos.

multiplicamos × 10

dam ÷ 10

m ÷ 10

dividimos

× 10 dm

× 10 × 10 cm

÷ 10

mm ÷ 10

De acuerdo con esta tabla de conversión, debemos dividir 3 120 m en 10 a fin de obtener la medida de la longitud de la ruta en decámetros: 3 120 ÷ 10 = 312 dam. El resultado nos permite afirmar que sí es correcta la afirmación.

Ejemplo

Recuerda Al dividir un número por la unidad seguida de ceros, tachas el número de ceros de la cantidad que vas a dividir, y escribes como resultado el número sin esos ceros.

78 000 ÷ 100 = 780

48

Libro Matematica 5 Colombia.indb 48

Convierte 560 000 mm a dam.

Solución La unidad que se quiere transformar es un submúltiplo del metro. De acuerdo con la tabla de conversiones, debemos dividir por la unidad seguida de cuatro ceros.

560 000 ÷ 10 000 = 56 Por lo tanto,

560 000 mm = 56 m .

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Taller

Propiedad

1. Completa la tabla.

Unidades de Longitud

de la editorial

Múltiplos kilómetro

decámetro

metro

hm

centímetro dm

mm

2. Escribe la equivalencia. a) 1 m tiene

dm

d) 1 hm tiene

cm

b) 1 cm tiene

mm

e) 1 dam tiene

mm

c) 1 km tiene

m

f) 1 km tiene

mm

3. Realiza las siguientes transformaciones. a) 45 km a m

b) 571 m a mm

c) 78 000 mm a dm

d) 8 000 cm a dm

4. Resuelve el problema. Para escalar una montaña, Doris ha dividido su recorrido en 15 tramos; en cada uno de ellos ha recorrido 120 m. ¿Cuál es la distancia total escalada por Doris en hectómetros?

Datos Tramos: Distancia tramo:

Razonamiento

Operaciones

Debemos

¿Qué pregunta?

Respuesta:

Trabajo colaborativo 5. En parejas escriban cinco equivalencias entre unidades de medida verdaderas (como 5 m = 50 dm) y falsas (como 40 mm = 4 m). Intercambien la información para que otra pareja determine la veracidad de las equivalencias.

Actividad indagatoria 6. Investiga si existen otras unidades de longitud, mayores al kilómetro y menores al milímetro. Si existen, expón en clase acerca del tema y su utilidad.

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Taller por competencias

49

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Secuencia

Variables cuantitativas y cualitativas Propiedad Desequilibrio cognitivo

de la editorial

Shutterstock, (2020). 1452668873

¿Puedes contar con números qué tan azul es el cielo en un atardecer?

Los estudiantes de grado quinto hicieron las siguientes preguntas a sus compañeros: ¿Cuál es tu edad?

¿Cuál es tu mascota favorita?

Edad

Votos

Animal

Votos

9

10

Gatos

9

10

15

Perros

12

11

4

Peces

4

La edad y la mascota favorita son variables estadísticas.

En el caso de la edad es una variable cuantitativa, las variables cuantitativas se expresan mediante números.

La mascota favorita es una variable cualitativa, las variables cualitativas expresan características o cualidades.

En estadística, una variable es una característica que al medirse en diferentes individuos puede tomar diferentes valores.

Las variables son cualitativas cuando se ocupan de analizar características o cualidades.

Las variables son cuantitativas cuando se ocupan de analizar características que se expresan mediante números.

Shutterstock, (2020). 768777928

Ejemplo En un zoologico deben identificar si las variables: edad de los animales; género de los animales y cantidad de horas que duermen al día los animales, son de tipo cualitativo o cuantitavo.

Solución La variable edad de los animales se mide con números naturales. Por ejemplo, un león puede tener 1 año, 2 años, 3 años, etc. Por lo tanto, es una variable cuantitativa.

La variable género de los animales puede tomar dos valores: macho y hembra. Como la variable no se puede representar por números de ninguna clase, se trata de una variable cualitativa.

50

Libro Matematica 5 Colombia.indb 50

La variable cantidad de horas que duermen los animales, se mide con números naturales o racionales. Por ejemplo, un koala duerme 18 horas y media. Por ello, es una variable cuantitativa.

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Taller

Propiedad

1. Observa la imagen de la derecha y responde.

de la editorial

_____________________________________________

_____________________________________________

Shutterstock, (2020). 1168257583

a) Escribe dos variables cualitativas que puedas identificar en la imagen.

b) Escribe dos variables cuantitativas que puedas identificar en la imagen.

_____________________________________________

_____________________________________________

c) La variable color de cabello, ¿puede ser analizada con las personas de la imagen?

______________________________________________________________________________________________________

¿Qué tipo de variable es? _________________________________________________________________________

2. Relaciona con una línea las variables de la izquierda con su clasificación en la derecha.

Fecha de nacimiento

Cualitativa

Postre favorito

Cualitativa

Bebida preferida

Cuantitativa

Número telefónico

Cuantitativa

Nombre

Cualitativa

3. Escribe el valor que toman las variables del punto 2 en tu caso y el de un amigo. a) Fecha de nacimiento: _____________________________________________ b) Postre favorito: _____________________________________________ c) Bebida preferida: _____________________________________________ d) Número telefónico: _____________________________________________ e) Nombre:

_____________________________________________

Trabajo colaborativo 4. Formen grupos de 5 estudiantes. Ahora escriban los valores que tomen las siguientes variables en ustedes mismos y en sus compañeros. Después, clasifíquenlas como cualitativas y cuantitativas.

• Cantidad de personas con las que vive.

• Medio de trasporte en el que van al colegio.

• Sabor de jugo favorito.

• Edad.

• Color favorito.

Actividad indagatoria 5. Investiga si existen otro tipo de variables. Además, describe cómo crees que puedes obtener la información de algunas variables en un grupo de personas y cómo representarías esta información.

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Secuencia

Encuestas - tablas de frecuencia Propiedad de la editorial

Shutterstock, (2020). 727586383

Actívate

¿Alguna vez has realizado una encuesta? ¿Cómo lo has hecho?

Un banco realizó una encuesta sobre su servicio a 80 personas: solicitaron que dieran su opinión sobre la atención, respondiendo a una pregunta cerrada. ¿Cómo fue la atención al cliente?

EXCELENTE

MUY BUENA

BUENA

REGULAR

MALA

Luego de haber realizado la encuesta, se obtuvieron los siguientes resultados.

Excelente Muy buena Número de respuestas

Sabías que...

Cuando se realiza una encuesta, se pueden hacer tres clases de preguntas: abiertas, cerradas y mixtas.

Recuerda La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos.

La suma de las frecuencias relativas, expresadas en decimales, es igual a 1.

52

Libro Matematica 5 Colombia.indb 52

25

40

Buena

Regular

Mala

10

3

2

Una tabla de frecuencia para una variable es una tabla que asocia cada valor de la variable con la cantidad de veces que se repite o es seleccionada dicha variable. He aquí la tabla de frecuencias: Opinión sobre servicio bancario Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

Excelente

25

25

25 ∙ 80 = 0,313

Muy buena

40

25 + 40 = 65

40 ∙ 80 = 0,500

Buena

10

65 + 10 = 75

10 ∙ 80 = 0,125

Regular

3

75 + 3 = 78

3 ∙ 80 = 0,037

Mala

2

78 + 2 = 80

2 ∙ 80 = 0,025

Opinión

Total

80

1,000

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que el dato se repite dentro del conjunto.

La frecuencia acumulada es la suma o total acumulado de todas las frecuencias absolutas hasta el total del conjunto de datos.

La frecuencia relativa de un dato da información sobre qué parte de la muestra en estudio corresponde a la característica analizada.

La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el número total de datos y se puede expresar como una fracción, como un decimal o como un porcentaje.

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Taller

Propiedad

1. Completa la tabla.

Fruta más comprada Fruta

Frecuencia absoluta

Manzana

15

Naranja

20

Sandía

30

Papaya

25

Uvas

10

de la editorial

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

Total

2. Observa los datos obtebidos en una evaluación de deportes. Construye una tabla de frecuencias y responde las preguntas.

7 7 4 7 6

7 8 5 8 7

8 9 7 4 8

Puntos

6 6 8 7 9

4 7 9 9 10

Frecuencia absoluta

7 8 8 7 4

9 9 9 6 5

Frecuencia acumulada

10 10 10 5 7

2 10 4 6 8

3 2 6 5 9

Frecuencia relativa

a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron menos de 5 puntos? b) Si la evaluación se supera con una calificación mínima de 7 puntos, ¿cuántos estudiantes superaron la prueba?

Trabajo colaborativo 3. Con un compañero o compañera de tu clase realicen una encuesta sobre un tema de interés mutuo y construyan una tabla de frecuencias.

Actividad indagatoria 4. ¿Qué profesionales utilizan tablas de frecuencia?, ¿cómo las utilizan?

Fortalece tu aprendizaje desarrollando el

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Taller por competencias

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Proyecto Propiedad

Reciclemos la basura de la editorial

Shutterstock, ( 2020) . 374321398

Justificación del problema

Clasificación de basura.

Es importante actuar con compromiso hacia el medioambiente, depositando la basura en los recipientes adecuados para ese fin.

Es importante clasificar la basura.

Objetivo • Reducir el volumen de la basura, mediante la clasificación y recolección de botellas plásticas.

Shutterstock, ( 2020) .471179198

• Verificar la reducción del volumen de basura generada por botellas plásticas a través del cálculo del volumen.

Recursos 20 botellas plásticas recicladas similares, flexómetro o cinta métrica, cinta de embalaje.

Recolección de botellas de plástico.

Actividades • Recicla las botellas plásticas similares.

• Escribe el volumen de cada una de ellas. Si la medida está expresada en unidades de capacidad, transfórmala tomando en cuenta que un litro es igual a un decímetro cúbico.

• Multiplica el volumen de cada botella por el número de botellas y archiva el resultado obtenido.

• Aplasta las botellas al máximo y apílalas una sobre otra.

• Usa cinta de embalaje para formar un prisma con las botellas.

• Toma las medidas de la altura, el ancho y la profundidad del prisma.

Evaluación • Compara el valor archivado del volumen de botellas.

• Obtén un dato aproximado de cuántas veces se reduce el volumen ocupado por este tipo de basura.

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TIC en Matemáticas Propiedad

Uso de Microsoft Excelde la editorial

Excel es una aplicación distribuida por Microsoft Office, que se caracteriza por ser un software de hojas de cálculo, utilizado en tareas financieras y contables. Es una aplicación útil para cualquier fórmula matemática y lógica.

Investiga cómo se utiliza Excel y utilizando el conocimiento adquirido, ingresa en la aplicación los datos que se muestran en la tabla y escribe los resultados obtenidos.

Meses

Sala 1

Sala 2

Sala 3

Enero

2 340

2 420

3 670

Febrero

3 893

2 876

2 895

Marzo

2 914

3 104

2 898

Abril

2 876

3 104

2 316

Mayo

3 560

2 960

3 185

Junio

3 125

2 925

2 890

Totales

55

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8/11/20 6:06 PM

Compruebo mis aprendizajes 1. Relaciona la escritura de los números con la cifra respectiva.

Propiedad de la editorial

a) Cuatro mil quinientos veintidós

10 045

b) Cuatrocientos mil trescientos cuatro

400 304

c) Ciento cuatro mil doscientos cuarenta y dos

44 103

d) Cuarenta y cuatro mil ciento tres

4 522

e) Diez mil cuarenta y cinco

104 242

2. Selecciona la respuesta correcta.

La descomposición 4 U + 5 Um + 1 C + 1 Cm corresponde al número: a) 105 104 b) 103 104

c) 703 105 d) 101 104

3. Realiza las operaciones. a) 456 726 + 395 643 Cm

Dm

Um

b) Restar 376 854 de 400 000 C

D

U

+

Cm

Dm

Um

C

D

U

–

4. Coloca el signo >, < o =, según corresponda. a) 67 893

67 839

c) 390 999

391 000

b) 597 348

597 340

d) 58 200

58 199

5. Identifica el número que representa la descomposición.

2 U + 4 DM + 4 Um + 3 C + 6 UM + 1 D + 7 CM + 5 Dm es: a) 476 540 312

b) 564 074 132

c) 746 054 312

d) 647 312 054

6. Sobre los números ocho millones quinientos veinte y seis mil cuatrocientos treinta y cinco, y ocho millones quinientos veinte y cinco mil novecientos noventa y nueve podemos decir que: a) b) c) d)

Su escritura corresponde a 8 526 435 y 8 526 099.

El primer número mencionado es menor al segundo número.

Los dos números tienen el mismo valor en las unidades de millón.

El número que está después del segundo número es el 8 526 000.

56

Libro Matematica 5 Colombia.indb 56

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Propiedad

7. Realiza las operaciones indicadas.

de la editorial b) Resta 67 899 451 de 90 500 256.

a) Suma 567 432 230 con 5 467 y 3 006 457.

8. Escribe la propiedad que ha sido aplicada. a) b) c) d)

625 + 87 + 423 = 625 + (87 + 423) = 625 + 510 = 1 135 344 + 56 = 400 54 678 901 + 0 = 54 678 901 99 + 24 + 66 = 24 + 99 + 66 = 189

9. Resuelve.

Se han elaborado 3 500 separadores de libro; el costo de producción de cada separador es de $ 100. ¿Cuál es el costo total de producción? Si la empresa que los elaboró vende luego cada separador a $ 145 cada uno, ¿cuánto dinero gana?

Datos

Razonamiento

Operaciones

Respuesta 1: Respuesta 2:

Clave

Contenidos

10. Autoevaluación. Pinta según la clave.

Conozco los criterios de divisibilidad.

Puedo ayudar a otros.

Leo, escribo e identifico valores posicionales.

Resuelvo por mí mismo.

Resuelvo sumas y restas con números de hasta seis cifras.

Identifico rectas perpendiculares, secantes y paralelas.

¡Necesito ayuda!

Estoy en proceso.

11. Metacognición • ¿Aclaré mis dudas y necesidades con los temas aprendidos?

• ¿En qué momento de mi vida puedo utilizar alguno de los temas aprendidos?

• ¿Para qué me servirá lo aprendido?

Libro Matematica 5 Colombia.indb 57

57

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Saber más • Responde las preguntas 1 a 3 de acuerdo con la siguiente información:

Observa el siguiente diagrama de Venn que presenta la cantidad de estudiantes inscritos en diferentes cursos electivos ofrecidos por un colegio.

Deportes

8

Cerámica

2

12

3 1

6 Pintura

1. De acuerdo con la información del diagrama es correcto afirmar que: A. Tres estudiantes están inscritos en pintura y cerámica al tiempo.

B. Seis estudiantes en total están inscritos en pintura.

C. Ocho estudiantes están inscritos en deportes y ningún otro curso electivo.

D. En total hay 31 estudiantes inscritos en los cursos electivos.

2. La variable curso electivo que toman los estudiantes es una variable de tipo

58

A. Cualitativo, porque no puede ser expresado con números.

B. Cuantitativo, porque puede ser expresado con números.

C. Cualitativo, porque puede ser expresado con números.

D. Cuantitativo, porque no puede ser expresado con números.

Libro Matematica 5 Colombia.indb 58

Propiedad de la editorial 3. El grupo electivo que cuenta con 13 estudiantes inscritos es A. B. C. D.

Cerámica.

Pintura.

Deportes.

Cerámica y pintura.

• Responde las preguntas 4 a 6 de acuerdo con la siguiente información: Una fábrica de tuercas de máxima seguridad, tiene una metodología de trabajo en la que son capaces de triplicar la cantidad de tuercas que producen cada hora. En el primer día del mes de abril la producción inicia con una tuerca.

4. Para llegar a producir 729 tuercas de máxima seguridad hacen falta: A. B. C. D.

4 horas.

2 horas.

7 horas.

6 horas.

5. Si al llegar a la tuerca número 729 se decide empacarlas para su distribución en 27 cajas, cada caja debe tener: A. B. C. D.

27 tuercas.

30 tuercas.

20 tuercas.

25 tuercas.

6. Cada día en el momento que se llega a 59 049 tuercas se detiene la producción y se continúan con otros procesos en la fábrica. Si la producción es la misma los 30 días del mes de abril. Al finalizar el mes se habrán producido: A. B. C. D.

2 000 000 de tuercas.

1 771 470 de tuercas.

1 552 312 de tuercas.

4 150 014 de tuercas.

7/23/20 11:30 AM

Propiedad • R esponde las preguntas 7 a 9 de acuerdo con la siguiente imagen:

de la editorial • Responde las preguntas 10 a 12 de acuerdo con la siguiente información.

Shutterstock, (2020). 1414759775

La siguiente tabla de frecuencias fue obtenida al realizar una encuesta en un salón de clase y organizar los datos.

Variable

Frecuencia

Rojo

9

Blanco

4

Azul

5

Verde

3

10. Una posible pregunta que se realizó en la encuesta fue:

7. De acuerdo con la imagen es posible decir que las rectas representadas son: A. Paralelas, porque nunca se cruzan.

B. Perpendiculares, porque forman ángulos de 90°.

C. Paralelas, porque forman ángulos de 90 grados.

D. Perpendiculares, porque nunca se cruzan.

8. Si trazamos una recta perpendicular a las rectas de la imagen, los ángulos que se forman son: A. B. C. D.

Ángulos agudos. Ángulos obtusos. Ángulos rectos. Ángulos llanos.

9. Si giramos la imagen 45° se puede afirmar que: A. Las rectas ahora son perpendiculares.

B. Las rectas continúan siendo perpendiculares.

C. Las rectas ahora son paralelas.

D. Las rectas siguen siendo paralelas.

A. B. C. D.

Edad de los estudiantes.

Nacionalidad de los estudiantes.

Color favorito de los estudiantes.

Color de piel de los estudiantes.

11. La variable que se utilizó en la encuesta es una variable: A. Cualitativa, porque toma valores de colores.

B. Cualitativa, porque usa los números para contar los colores.

C. Cuantitativa, porque toma valores de colores.

D. Cuantitativa, porque usa los números para contar.

12. La mayor conclusión que se puede determinar con la información de la tabla anterior es que: A. La mayoría de los estudiantes prefiere el color verde.

B. La mayoría de los estudiantes prefiere el color blanco.

C. La mayoría de los estudiantes prefiere el color rojo.

D. A los estudiantes no les gusta ningún color.

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