Reglas de l´hopital límites de las formas indeterminadas

Reglas de L´Hôpital: límites de las formas indeterminadas.

Concepto y ejemplos de la aplicación de la regla de L’hopital para resolver límites indeterminados de la forma cero sobre cero o infinito sobre infinito.

Para hacer uso de esta regla se debe garantizar primero que el límite indeterminado si es de la forma 0/0 o infinito sobre infinito o lo que es igual el límite del numerador, de forma independiente, y del denominador son ambos cero o algún infinito (positivo o negativo). Luego se procede a encontrar el límite cuando x tiende al valor original que se pide en límite pero para el cociente f'(x)/g'(x) (la derivada independiente del numerador y del denominador) . Si este último límite existe entonces el límite original será igual al encontrado para f'(x)/g'(x).

En este video veremos la regla de l’hopital, esta regla será útil para resolver límites indeterminados de la forma cero sobre cero e infinito sobre infinito, lo que nos dice la regla de l´hopital es que si tenemos las siguientes condiciones lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0 y que además lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= L, entonces necesariamente lim(x→a)[f(x)/g(x)]= L. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, lo primero que debemos hacer en este tipo de problemas es verificar las primeras dos condiciones y luego derivar las funciones y determinar si el límite de el cociente entre las derivadas existe, debemos tener en cuenta antes de mostrar los ejemplos que esta regla cumple también cuando los límites de las funciones tienden a más o menos infinito, es decir: lim(x→a)[f(x)]=±∞ y lim(x→a)[g(x)]=±∞.

Para entender mejor la aplicación d esta regla se propone el siguiente ejemplo: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→0)[ senx/x], habíamos visto en los videos anteriores el valor de este límite usando el teorema del emparedado, sin embargo vamos a hallar nuevamente este límite aplicando la regla de l´hopital, entonces lo primero que debemos hacer es comprobar las dos primeras condiciones, es decir que lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0, observemos que estas condiciones se cumplen ya que: lim(x→a)[f(x)]= lim(x→0)[senx]=0 y lim(x→a)[g(x)]= lim(x→0)[x]=0, una vez demostrada esta condición lo que tenemos que hacer es derivar a f(x) y a g(x) y comprobar si el límite del cociente de las derivadas existe, entonces la derivar las funciones tenemos que: f’(x) = cosx y g’(x) = 1, entonces tenemos que: lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= lim(x→0)[cosx/1]=1/1=1, por lo tanto concluimos que el lim(x→0)[ senx/x]=1 que era lo que se quería demostar. En el video se presentan muchos más ejemplos de cómo hallar límites indeterminados haciendo uso de esta regla. 

Uso de la regla de l'hopital para resolver límites con indeterminaciones del tipo cero por infinito. Para poder hacer uso de la regla de l'hopital previamente debe hacerse la transformación del producto en un cociente. Si este cociente genera una indeterminación del tipo 0/0 o infinito sobre infinito se procede a usar dicha regla.

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Se debe recordar que un producto de la forma a x b puede transformarse en un cociente como a / (1/b) o también como b / (1/a). En algunos casos no tenemos indeterminaciones de tipo infinito sobre infinito, ni tampoco de tipo 0/0, pero a través de una serie de transformaciones podemos llevarlas a esas formas. En este video se muestra cómo transformar cuando tenemos una indeterminación de tipo cero por infinito para aplicar la regla de l’hopital. Dicha indeterminación se puede llevar a una forma 0/0 infinito sobre infinito. Para realizar dicha transformación procedemos convertir el producto en un cociente. Recordemos que a multiplicado por b, es lo mismo que tener “a” multiplicado por el recírpoco de “b”, o “b” multiplicado por el recíproco de “a” (a x b puede transformarse en un cociente como a / (1/b) o también como b / (1/a)). A continuación se presentan ejemplos de lo que sucede en algunas ocasiones que vamos a tener límites de la forma cero por infinito u tros casos en los que el límite es hallado fácilmente simplemente con manejo de exponentes. En otros ejemplos se muestra casos más complicados en los que se hace pertinente en uso de la regla e L’hopital. Recordemos que para aplicar L’Hopital debemos tener siempre un cociente.

Uso de la regla de l'hopital para resolver límites con indeterminaciones del tipo infinito menos infinito. En ocasiones nos encontramos con límites de esta forma que a través de diversas transformaciones podemos llevar a un límite indeterminado 0/0 o infinito sobre infinito. Sea mediante racionalización o reduciendo fracciones en caso de existir. Solo cuando poseamos un cociente de cero entre cero o infinito entre infinito podremos hacer uso de la regla.

En este video veremos como aplicar la regla de l´hopital para resolver límites indeterminados del tipo ∞ - ∞. Antes que veamos como se solucionan este tipo de problemas, recordemos lo que nos dice la regla de l´hopital, lo que nos dice la regla de l´hopital es que si tenemos las siguientes condiciones lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0 y que además lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= L, entonces necesariamente lim(x→a)[f(x)/g(x)]= L. Al ver lo que nos dice la regla de l’hopital vemos que al tener una indeterminación del tipo ∞ - ∞ tendremos que realizar alguna transformación matemática con el fin de que la indeterminación quede expresada como una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞. Para ver como se resuelven este tipo de problemas se propone el siguiente ejemplo: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→1+)[(1/lnx)-(1/1-x)], como vemos si evaluamos este límite cuando x tiende a 1 por la derecha tenemos la indeterminación infinito menos infinito, ya que: lim(x→1+)[(1/lnx)-(1/1-x)]= (1/0+)-(1/0)= ∞ - ∞, entonces tenemos que trasformar este límite de tal modo que se obtenga una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞, si efectuamos la resta entre esas fracciones, el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1+)[(x-1-lnx)/(x-1)(lnx)]=0/0, entonces si aplicamos la regla de l´hopital derivamos tanto el numerador como el denominador de la función, el límite adquiere entonces la siguiente forma: lim(x→1+)[(1-1/x)/(1-1/x-lnx)], vemos que si evaluamos nuevamente el límite obtenemos una indeterminación 0/0, lo cual nos sugiere que podemos volver a aplicar la regla de l´hopital para eliminar la indeterminación, entonces si derivamos tanto el numerador como el denominador de la función nuevamente, el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1+)[(1/X^2)/(1/X^2+1/x)],si evaluamos este límite cuando x se acerca a 1por la derecha obtenemos finalmente el valor de este límite, tenemos entonces que:

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lim(x→1+)[(1/X^2)/(1/X^2+1/x)]=1/2,teniendo en cuenta lo que nos dice la regla de l´hopital, llegamos a la conclusión de que lim(x→1+)[(1/lnx)-(1/1-x)]= 1/2.

Método para resolver límites indeterminados de la forma 1 a la infinito y 0 y la cero mediante el uso de la regla de l'hopital. Para resolver este tipo de indeterminaciones el procedimiento siempre consiste en nombrar al límite indeterminado mediante una variable y tomar logaritmo natural a ambos lados para eliminar el problema del exponente. Luego se procede a realizar otro artilugio matemático (expresar el nuevo producto del exponente por el logaritmo como un cociente) para tener una indeterminación del tipo 0/0 o infinito sobre infinito para finalmente poder hacer uso de la regla de l'hopital. Hasta el momento hemos resuelto límites con indeterminaciones de tipo infinito sobre infinito, 0/0, infinito menos infinito, e infinito por cero. Para los dos primeros casos hicimos uso de la regla de L’hopital, y para los dos últimos hicimos uso de unas transformaciones que nos permitieran llegar a una indeterminación de tipo 0/0 o infinito sobre infinito.

En este video vemos cómo podemos resolver indeterminaciones de tipo uno a la infinito, cero a la cero, o infinito a la cero, mediante la resolución de varios ejemplos. Siempre que tengamos funciones con exponentes la transformación que hacemos es mediante la sustitución. De esta manera podemos proceder sacando logaritmo natural a ambos lados para poder bajar el exponente mediante propiedades de logaritmos. Lo que hacemos luego es expresar el producto resultante como un cociente, dividiendo una de las expresiones por el recíproco de la otra. Finalmente llegamos a una indeterminación de tipo 0/0 o infinito sobre infinito y de esta manera poder utilizar la regla de L’hopital.