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Matemática U E D
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Dirección editorial
Edición
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B Á S I C A
Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Magíster en Diseño Instruccional Pontificia Universidad Católica de Chile Pablo Saavedra Rosas Profesor de Matemática Universidad de Santiago de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática P. Universidad Católica de Valparaíso Cristian Gúmera Valenzuela Licenciado en ciencias con mención en Matemática Universidad de Chile
Autoría
Francisca Morales Guajardo Profesora de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática P. Universidad Católica de Valparaíso Ilich Aguayo Escobar Profesor de Matemática Ingeniero en ambiente Universidad de Santiago de Chile Mauricio Aguilar Baeza Profesor de Matemática Ingeniero Civil de Industrias P. Universidad Católica de Chile
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YECTO
Crea
Mund s El texto Matemática 8 - Proyecto CreaMundos para 8° Básico, es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile. Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo Caprile Edición: Pablo Saavedra Rosas Cristian Gúmera Valenzuela Ayudante de Edición: Jaime Ávila Hidalgo Autoría: Francisca Morales Guajardo Ilich Aguayo Escobar Mauricio Aguilar Baeza Asesoría pedagógica: Manuel Salazar Córdova Corrección de estilo: Alejandro Cisternas Ulloa Dirección de arte: Carmen Gloria Robles Sepúlveda Diseño de portada: Álvaro Torres Ruiz Diseño y diagramación: Mauricio Fresard Lemmermann
www.ediciones-sm.cl Este libro corresponde a 8° Básico y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular Vigente, del Ministerio de Educación de Chile. © 2009 – Ediciones SM Chile S.A. ISBN: 978-956-264-674-1 / Depósito legal: N° 181.605 Dirección editorial: Coyancura 2283, piso 2. Providencia Impreso en Chile / Printed in Chile E-mail: chile@ediciones-sm.cl Servicio de Atención al Cliente: 600 381 13 12 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
Presentación B
ienvenido y bienvenida a 8° año básico. En tus manos tienes un material que hemos desarrollado pensando en ti, con el objeto de entregarte los contenidos y habilidades pertinentes a este nivel. El proyecto CreaMundos te ofrece una manera de aproximarte a los conocimientos de la Matemática a través de situaciones problematicas, conceptualizaciones, ejercitación, actividades y evaluaciones. El Texto te invita a aplicar, profundizar e integrar tus conocimientos por medio de los diferentes tipos de páginas que te proponemos. Te entregamos espacios para que puedas ser responsable de tu propio aprendizaje e incluimos secciones especiales para que puedas utilizar diferentes herramientas tecnológicas, aprender de los errores y ampliar tus conocimientos en esta maravillosa área. A lo largo de las unidades que estructuran este Texto podrás trabajar con las 4 operaciones aritméticas dentro del conjunto de los números enteros, para luego introducir el concepto de potencia de base entero y sus propiedades. Así, también utilizarás
expresiones algebraicas y el concepto de función en la resolución de problemas. Conjuntamente, estudiarás los tipos de proporcionalidad que hay entre dos variables y aplicarás este concepto en temas como el porcentaje. Además trabajarás los conceptos de área y volumen aplicándolos a distintas figuras geométricas y relacionándolas con elementos cotidianos. Finalmente, reconocerás conceptos esenciales en los estudios estadísticos y calcularás probabilidades aplicando distintas técnicas. El Proyecto CreaMundos activa tu aprendizaje a partir de habilidades propias de la Matemática, como por ejemplo, aquellas dirigidas a la resolución de problemas. Además, podrás ejercitar a partir de una evaluación continua los contenidos aprendidos en las unidades. CreaMundos te ayudará a descubrir una nueva forma de aprender, juntos podremos recorrer los conocimientos de la Matemática de una manera entretenida y participativa.
ÍNDICE UNIDAD
1
10 11 12 14 15 16 17 18 20 22 23 24 26 28 30 32 34 36 40 41
UNIDAD
3 80 81 82 84 86 88 90 92 96 98 102 104 106 108 110 114 115
4
Matemática
Números enteros Inicio de unidad Evaluación inicial Números enteros y la recta numérica Valor absoluto Orden en Z Adición en Z Propiedades de la adición de números enteros Sustracción en Z Evaluación intermedia Multiplicación en Z Propiedades de la multiplicación en Z División en Z Operaciones combinadas Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Álgebra y funciones Inicio de unidad Evaluación inicial Lenguaje algebraico Valoración de expresiones algebraicas Reducción de términos semejantes Evaluación intermedia Multiplicación de expresiones algebraicas Productos notables Ecuaciones Funciones Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
UNIDAD
2 42 43 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 63 64 66 68 70 72 74 78 79
UNIDAD
Potencias Inicio de unidad Evaluación inicial Potencias de base entero y exponente natural Potencias de base racional y exponente natural Multiplicación de potencias de igual exponente División de potencias de igual exponente Multiplicación de potencias de igual base División de potencias de igual base Evaluación intermedia Potencia de una potencia Potencias con exponente negativo Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial Notación científica Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
4
Proporcionalidad
116 117 118
122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 148 149
Inicio de unidad Evaluación inicial Relación entre dos variables (dependientes e independientes) Planteamiento y resolución de problemas por medio de funciones Razones y proporciones Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Evaluación intermedia Proporcionalidad compuesta Porcentaje Aplicación de porcentaje Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
150
Evaluación integradora 1
120
ÍNDICE UNIDAD
5 152 153 154 156 158 160 161 162 164 166 168 170 172 174 176 178 182 183
UNIDAD
7
Circunferencia y círculo Inicio de unidad Evaluación inicial Circunferencia Círculo Posición relativa entre circunferencias Perímetro y área de polígonos Perímetro y área de polígonos regulares Evaluación intermedia Longitud de una circunferencia Área del círculo Figuras compuestas Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Transformaciones isométricas
216 217 218 220 222 224 226 228 230 232 236 238 240 242 244 248 249
Inicio de unidad Evaluación inicial Transformaciones isométricas Traslación Reflexión Uso de la regla y del compás Rotación Evaluación intermedia Composición de transformaciones isométricas Teselaciones regulares y semirregulares Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
250
Evaluación integradora 2
UNIDAD
6
184 185 186 187 188 189 190 192 194 196 198 200 201 202 204 206 208 210 214 215
UNIDAD
8 252 253 254 256 258 260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 282 286 287
Área y volumen Inicio de unidad Evaluación inicial Unidades de medida de superficie Unidades de volumen Unidades de capacidad Relación entre las unidades de volumen y capacidad Área y volumen de un prisma Área y volumen de pirámides regulares Evaluación intermedia Cilindro Cono Cuerpos de revolución Principio de Cavalieri Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Datos y azar Inicio de unidad Evaluación inicial Población y muestra Tablas de frecuencias con datos agrupados Construcción de tablas de frecuencias con datos agrupados Medidas de tendencia central: media y moda Promedio ponderado Gráficos de datos agrupados en intervalos Evaluación intermedia Experimentos aleatorios Espacio muestral Probabilidad de un suceso Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Matemática 8
5
Conociendo mi texto Antes de comenzar a trabajar, te invitamos a que desarrolles las siguientes actividades que te permitirán conocer tu Texto.
1 Completa la ficha con los datos de tu Texto.
La ficha de mi texto Título: Autores:
Editorial: Año de creación: N° de páginas:
6
Matemática
¿De qué se trata mi texto? 2 En parejas, observen el índice de su texto (páginas 4 y 5) y relacionen cada situación con la unidad en la cual creen que aprenderán a resolverla.
Construye una teselación del plano utilizando hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros.
Un taxista cobra como costo fijo $ 200 y $ 500 por cada kilómetro. Escribe la función que relaciona las variables distancia (x) y costo del viaje (y). ¿Cuánto cobra por un viaje de 15 kilómetros?
En un parque de diversiones, el carrusel da quince vueltas antes de detenerse a recoger nuevos pasajeros. Si el diámetro del carrusel mide 5 m, ¿qué distancia recorre cada pasajero?
Estudios aseguran que la Isla de Pascua se acerca al continente sudamericano a razón de unos 10 cm por año. ¿Cuántos centímetros se acercará al continente durante 18 meses?
Arquímedes fue un matemático griego que murió a la edad de 75 años en el año 212 a.C. ¿En qué año nació? 1 4 1 1 El ancho y el largo de un rectángulo miden cm y cm, 4 8 respectivamente. ¿Cuál es su área? Expresa1el resultado como 1 1 potencia de base . 8 2 4 1 1 2 8 ¿Cuál es el volumen 1 de un cono recto cuya generatriz mide 24 cm si el radio de su base es de 7,6 cm? 2
Crea un ejemplo donde tengas que elegir una muestra aleatoria para saber el promedio diario de uso de internet en tu curso.
• Comparen sus resultados con los de tus compañeros. • ¿Cuántas unidades tiene tu texto?
Matemática 8
7
¿CÓMO SE ORGANIZA TU TEXTO?
Inicio de unidad Dos páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad que vas a estudiar por medio de una imagen y de los aprendizajes esperados. Además, se propone una evaluación inicial destinada a diagnosticar una habilidad propia de Matemática.
Contenido
Circunferencia La invención de la rueda fue un avance muy significativo en el desarrollo de la tecnología en el período Neolítico (piedra nueva) entre 10.000 a 5.000 años a. C.
Páginas que te presentan los contenidos y actividades propios de tu nivel.
5
2. Analiza la información. Luego, responde. Una recta es secante a una circunferencia si su intersección con esta son dos puntos.
El lugar geométrico del plano en donde todos los puntos están a la misma distancia (r) de un punto llamado centro (O) se conoce como circunferencia de centro O y radio r.
r r
Una recta es exterior a una circunferencia si no la intersecta.
A
r
O
Una recta es tangente a una circunferencia si su intersección con esta es un punto.
P
B
O
O
O
r
O
r
Cada rueda de la bicicleta puede ser representada en el plano por una circunferencia.
a. ¿Cuántas rectas secantes puede tener una circunferencia? ¿Por qué?
Para grabar
C
A
Velocípedo de Rudge, construido entre 1882 y 1889, fue antecesor de la bicicleta moderna.
B E
O
D
Elementos de la circunferencia Centro (O): punto que equidista de cualquier punto (otro) que pertenezca a la circunferencia. Radio (OC): segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Cuerda (DE): segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro (AB): cuerda que pasa por el centro. Arco (DE): parte de la circunferencia que une dos puntos de ella.
b. ¿Cuántas rectas tangentes puede tener una circunferencia? ¿Por qué? c. ¿Cuántas rectas exteriores puede tener una circunferencia? ¿Por qué? d. ¿Cuántas rectas tangentes pueden pasar por un solo punto de una circunferencia? ¿Por qué?
Ejercita
Para saber más Dados dos puntos A y B en una circunferencia se distinguen dos arcos: AB; BA B
1.
OC
O
DE
O
DE
A
A
AB DE
AB DE OP AB; BA
OPBA AB;
QP OC b. O DE AB AB RS DE PQ OP
A
154
Circunferencia y círculo
QP O AB RS PQ
Q
QP OC O
DE AB d. AB RS DE PQ OP
O
AB DE AB; BA OP
O
R
S
QP O
QP O
B
AB RS PQ
Para ello, escribe V o F según corresponda. a. AB es una cuerda de la circunferencia. AB HL AB es secante a la circunferencia. b. HL HL AB DE es secante a la circunferencia. AB HL c. GL DE HL DE GL tAB d. GL DE etAB es diámetro de la circunferencia. DE GL tAB e e. eGL t es exterior a la circunferencia. AB te AB f. J es exterior a la circunferencia. eAB
O
OCQP DEO ABAB f. DERS Q OP PQ
O
B
3. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F) con respecto a la figura.
Reconoce cada elemento de la circunferencia. Para ello, dibújalo y luego, identifícalo con su nombre. AB; BA P P c. e. OC a. AB; BA OC AB; BA DE
P
O
F
AB HL H AB DE G GL t e
D
I K J L
Ayuda
AB : recta que pasa por los puntos A y B.
AB
AB RS PQ
O
E
g. I es interior a la circunferencia.
h. La circunferencia no tiene puntos exteriores.
Punto interior de una circunferencia es aquel cuya distancia al centro es menor que la longitud del radio. Punto exterior de una circunferencia es aquel cuya distancia al centro es mayor que la longitud del radio. Matemática 8
155
Evaluación intermedia Dos páginas de evaluación intermedia que se insertan entre los contenidos. En ellas te invitamos a realizar variadas actividades que evalúan el grado de comprensión de los contenidos tratados hasta el momento.
Herramientas tecnológicas
5
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Geogebra
1. Geogebra es un programa que da la posibilidad de construir figuras geométricas, experimentar, analizar, comprobar resultados, etc. Una de las características más importantes es que permite la interactividad, ya que luego de construir una figura se puede mover cualquiera de los objetos que la conforman y automáticamente se modifican los elementos que dependen de él.
Para construir una circunferencia con centro en A y luego, sobre ella, dibujar un radio y denotar su longitud se deben seguir los siguientes pasos.
Paso Antes de comenzar a dibujar configura el programa para que asigne rótulos a los elementos que dibujes. Para ello, despliega el menú Opciones y en Rotulado seleccionar la opción Nuevos puntos exclusivamente.
Paso
Utiliza el programa Geogebra para construir una circunferencia e incorpora las medidas del radio, perímetro y área.
Paso
Paso Luego de dibujar la circunferencia, presiona dos veces seguidas el botón que aparece en la barra de herramientas y selecciona la opción Distancia. Esto te permitirá asignar la distancia a los elementos que selecciones.
Asígnale distancia al radio de la circunferencia seleccionándolo con el mouse.
de la barra de Presiona dos veces seguidas el boton herramientas y selecciona la opción Circunferencia por centro y punto que cruza. Presiona sobre la hoja de dibujo para asignar el centro de la circunferencia, desplaza el mouse y constrúyela. Presiona nuevamente sobre la hoja de dibujo para asignar un punto en ella.
Paso
Paso Asígnale distancia a la circunferencia para obtener su perímetro, al cual el programa le llama PeriCónoca. Busca la forma de asignar el área del círculo para obtener la medida de su superficie.
Paso Dibuja el segmento AB, que corresponde al radio de la circunferencia. Para ello, despliega el menú del botón de la barra de herramientas.
Herramientas tecnológicas
Resolución de problemas
Presiona el botón de la barra de herramientas y podrás mover el punto B de la circunferencia, lo que modificará su tamaño. Observa que la medida de su radio, área y perímetro también se modifican.
Paso Presiona el botón de la barra de herramientas y podrás mover el punto B de la circunferencia, lo que modificará su tamaño.
2. Calcula las áreas y perímetros de cada una de las siguientes circunferencias y comprueba tu resultado utilizando Geogebra. a. Circunferencia de radio 5 cm. b. Circunferencia de radio 2,5 cm.
172
Dos páginas que te enseñan a resolver paso a paso una habilidad propia de la Matemática por medio de la resolución de problemas.
8
Matemática
Circunferencia y círculo
c. Circunferencia de diámetro 8 cm. d. Circunferencia de diámetro 7 cm. Matemática 8
173
Dos páginas en las que podrás utilizar herramientas tecnológicas para reforzar o profundizar el aprendizaje de algún contenido.
Ampliando mis conocimientos
1. Analiza la resolución de cada ejercicio. Luego, responde.
c. Para calcular el perímetro de la siguiente figura pintada se plantea la siguiente resolución.
a. Para calcular el perímetro de una circunferencia de radio a cm se realiza lo siguiente:
2r = 2 • ( • a) = (2 • ) • (2 • a) ≈ (2 • 3,14) • (2 • a) ≈ (6,28) • (2a) ≈ 12,56a
1m 3m
• El error cometido es:
• El error cometido es:
• Corrección:
• Corrección:
b. ¿Cuánto varía el área de un círculo cuando su radio aumenta 10%? Si se considera que el radio del círculo inicial mide a, su área estará dada por • a2 Como el radio aumentó 10%, entonces bastará con agregar el 10% del área inicial para así obtener la nueva área, es decir: 10 2 ••a 100 = • a2 +0,1 • • a2
• a2 + 10% • • a2 = • a2 + = 1,1 a2 Luego, la variación pedida es: 0,1 a . • El error cometido es: 2
El perímetro de la circunferencia mayor es: (2 • r) m = (2 • 3) m = 6 m El perímetro de la circunferencia menor es: (2 • r) m = (2 • 1) m = 2 m El perímetro de la figura pintada es: 6 m – 2 m = 4 m
Ayuda
Para no equivocarse
5
PARA NO EQUIVOCARSE
El perímetro de una corona circular se calcula sumando las longitudes de las circunferencias concéntricas que la forman.
d. Se quiere determinar la cantidad de m2 de cartón que se utiliza para construir la maqueta de un cilindro de área basal 50,24 cm2 y altura 40 cm. Para ello, se realiza el siguiente procedimiento, considerando = 3,14. 50,24 2 r2 = Comocm En primer lugar, se calcula el diámetro del círculo basal. • r2 = 50,24 cm2, luego:
Por lo tanto, r = 4 cm.
50,24 50,24 cm2 ≈ 16 cm r2 = cm2 ≈ 3,14 50,24 cm2 A partir 3,14 de esto se puede afirmar que las longitudes del rectángulo que se deben considerar para la confección del cilindro son 40 cm y 4 cm; en consecuencia, la cantidad de cartón utilizada está dada por la suma de las áreas de las bases circulares y la del rectángulo. El resultado es: (2 • 50,24 + 40 • 4) cm2 = 180,48 cm2 • El error cometido en el cálculo es: • Se produjo porque:
• Corrección: • Corrección:
174
Matemática 8
Circunferencia y círculo
175
Dos páginas orientadas a que identifiques, corrijas y expliques errores en la resolución de ciertos ejercicios y problemas, para que no los cometas a futuro.
Dos páginas orientadas a que desarrolles habilidades como diseñar, construir, crear o formular hipótesis, por medio de diversas actividades que además te ayudarán a profundizar y ampliar tus conocimientos.
¿CÓMO SE ORGANIZA TU TEXTO?
Para no equivocarse
SIMCE
Te proponemos cuatro páginas de evaluación tipo SIMCE que se dividen: tres páginas de preguntas de alternativas y una página con tres preguntas de desarrollo.
Resumen
Solucionario de Evaluación Final Te proponemos una página en la que podrás conocer una técnica para sintetizar los contenidos de la unidad con el fin de fortalecer tus aprendizajes logrados en la unidad.
En esta página podrás evaluar tus respuestas de alternativas por medio de una tabla que especifica la cantidad de preguntas, el contenido al que corresponde cada una de ellas y sus respectivas habilidades. También podrás evaluar tus logros registrando las respuestas correctas.
Además de las secciones de este Texto, puedes complementar tu aprendizaje con las actividades que componen el Libro de actividades.
Matemática 8
9
Números enteros
1
La temperatura más baja registrada en la superficie de la Tierra fue de –89 °C, aproximadamente, y se produjo en la estación antártica rusa de Vostok, en julio de 1983.
Una de las temperaturas más altas registradas en la Tierra se produjo en el desierto de Azizia, Libia, y fue aproximadamente de 66 °C.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
¿Para qué?
Números enteros en la recta numérica y Representar en la recta numérica números enteros, establecer relaciones de orden entre ellos. relaciones de orden entre ellos y reconocer algunas de sus propiedades.
10
Adiciones y sustracciones con números enteros.
Resolver adiciones y sustracciones con números enteros y aplicarlas en diversas situaciones.
Multiplicaciones y divisiones con números enteros.
Resolver diversos problemas utilizando dichas operaciones.
Números enteros
¿Dónde? Páginas 12 a 15.
Páginas 16 a 19.
Páginas 22 a 27.
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Cuál ha sido la temperatura más baja registrada en la superficie de la Tierra? ¿Cuando aconteció tal hecho? 3) ¿De qué manera crees que el calentamiento global ha afectado a las temperaturas del continente antártico?
Evaluación inicial Comprender consiste en construir un significado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y gráfica. Para comprender es posible utilizar la representación. La temperatura promedio anual en la meseta antártica es de aproximadamente –50 °C, y de 0 °C en zonas costeras del continente antártico. En la superficie terrestre se producen temperaturas extremadamente cálidas, como en la región de Dallol en Etiopía, con un promedio aproximado de 34 °C, y en el Valle de la Muerte, en Estados Unidos, con 35 °C. ¿Cuál de las temperaturas presentadas tiene una mayor diferencia con la temperatura extrema que tuvo la estación rusa de Vostok en 1983? 1) ¿Qué se desea conocer al resolver el problema?
2) ¿Qué datos son necesarios conocer para resolver el problema?
3) ¿Crees que se logrará precisar una respuesta exacta? ¿Por qué?
4) Representa la información del problema en una recta numérica.
Matemática 8
11
Números enteros y la recta numérica En la tabla se registran las temperaturas mínimas que se alcanzan en 4 ciudades del mundo. Temperatura (°C)
Ciudad
-4
Berlín
2
París
5
Roma
-16
Ottawa
Las temperaturas de las ciudades descritas en la tabla se pueden representar como puntos en la recta numérica. Observa:
Ottawa
Berlín
–16
–4
París 0
Roma
2
5 Temperatura (°C)
En este caso, se toma como punto de referencia u origen el número cero, que representa cero grados, ya que el problema trata de temperaturas.
Para grabar El conjunto de los números enteros () está conformado por los enteros positivos (+), el cero (0) y los enteros negativos (–).
1 3
Su representación en la recta numérica se hace ampliando la de los números naturales. En ella se ubica el cero, a su derecha los enteros positivos (+) y a su izquierda los enteros negativos (–).
= {…..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,..…}
...-6 -5 -4 -3 -2 -1 –
0
1
2
3
4
5
6...
{0} + + = ∪ {0} ∪ –
2 4 Las imágenes muestran algunas construcciones características de:
1 2 3 4
París. Roma. Ottawa. Berlín.
Ejercita
1. Identifica si los números pertenecen (∈) o no pertenecen (∉) al conjunto señalado. Para ello, escribe ∈ o ∉ en las casillas. a. 7 b. 0,5
9 5 d. –101 – c.
e. 1,25 f. –4
+
2. Interpreta la información de la tabla y complétala según corresponda. Situación
Número entero
La temperatura promedio es de 25 °C. –6 La ciudad se encuentra a 1.200 m sobre el nivel del mar. 0 La empresa disminuyó su utilidad en $ 1.000.000.
12
Números enteros
1
3. Representa cada grupo de números en la recta numérica. a. –4; –5; 8; 2; 5 (de 1 en 1)
0
b. 7; –7; –1; 0; 1
(de 1 en 1)
1 c. –10; 10; 15; 20; –25; –30; 0
d. 100; –300; 200; 0; 300; 500
(de 5 en 5)
–5
(de 100 en 100)
100
4. Analiza la recta numérica y completa. a. –4
–2
0
–6
0
8
b.
c. –100
25
5. Interpreta el dibujo y responde. En la fi gura se muestra el recorrido de un ciclista que participa en una competencia.
36 km Partida 40 km
36 km
42 km
45 km
Contra reloj 40 km
Meta
¿Qué crees que significa el cartel "Contra reloj"? ¿Es necesario para responder la pregunta?
• ¿Cuál es la representación en la recta numérica de la ubicación del ciclista con respecto a los lugares señalados con ?
Matemática 8
13
Valor absoluto Nivel del mar (m) –1
La posición del buzo es 4 m bajo el nivel del mar y se representa como –4 m en la recta numérica de la figura. Como las distancias son representadas con números positivos, entonces, entre el buzo y el nivel del mar hay 4 m de distancia. Usando valor absoluto se expresa como:
–2
|–4| = 4
–3
Valor absoluto de –4.
–4 (posición del buzo)
Para grabar El valor absoluto de un número es la distancia que separa a dicho número del cero u origen en la recta numérica. Sea a ∈ , entonces:
Ejemplos: |12| + |–12| = 12 + 12 = 24
|a| = distancia de a con respecto a cero. a unidades
9 – |–3| = 9 – 3 = 6
a unidades
||–2| – |–3|| = |2 – 3| = |–1| = 1
¿A qué distancia (profundidad) está el buzo del nivel del mar?
-a
0 Origen
a
Ejercita
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. =
d. ||8| + |–12| + 5| =
b. |0 + 11| + |–11| =
e. ||0 – 23| – |22|| =
c. ||–7| – |5||
f. |32| + |33| – 9
a. |–16|
=
=
2. Evalúa si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. El valor absoluto de un número entero es siempre positivo. b. El valor absoluto de un número entero negativo es negativo. c. ||a| + |b|| = |a| + |b|, para todo a, b ∈ . d. Si a ∈ , entonces, |a| < 0. e. Si |a| = |b|, entonces, a = b. f. Si |a| = |b| + |a|, entonces, |b| = 0.
14
Números enteros
1
Orden en Un radar en la torre de control de un aeropuerto determina la posición de cinco aviones en relación con la señal más próxima.
El orden de las posiciones de los aviones según el radar se puede establecer ubicándolas en la recta numérica. D
B
C
–12
–6
–2
A
E
7
10
0 Radar
(km)
Al ordenar de esta manera se puede observar que el avión D es el más lejano al radar; y el más cercano, el avión C.
Para grabar a está ubicado a la izquierda de b en la recta numérica.
a es menor que b a<b con a, b ∈
Ejemplos: a = –5 y b = 4. -5
0
4
–5 < 4 –5 está ubicado a la izquierda de 4. a está ubicado a la derecha de b en la recta numérica.
a es mayor que b a>b con a, b ∈
a = 0 y b = –3. -3
0
0 > –3 0 está ubicado a la derecha de –3. a está ubicado en la misma posición que b en la recta numérica.
a es igual a b a=b con a, b ∈
a = 4 y b = 4. 4
0
4=4 a está en la misma posición que b.
Ejercita
1. Aplica el orden en para ubicar los números enteros en las casillas. a. –4; 10; 0; –1 <
<
b. –7; 3; –2; 4; 2; –3; 5; 11 <
>
>
>
>
>
>
>
2. Evalúa si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. 9 está entre 0 y –10. b. {Números enteros mayores que –1 y menores que 3} = {–1, 0, 1, 2, 3} c. |25| + |–7| = |–25| + |7|
Matemática 8
15
Adición en Después de llegar a la cima de una montaña, un andinista desciende 45 m en la primera hora y 65 m en la segunda hora.
Para saber cuántos metros descendió en total el andinista, después de llegar a la cima de la montaña, se puede resolver una adición de números enteros. –45 + (–65) = –110
Signo negativo, ya que desciende. Es decir, el andinista descendió en total 110 m.
Para grabar Para resolver una adición de números enteros de igual signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se conserva su signo. –7 + (–5) = –(|–7| + |–5|) = –12
Para resolver una adición de números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los sumandos y se conserva el signo del que tiene el mayor valor absoluto. 8 + (–11) = –(|–11| – |8|) = –3
Signo de los sumandos. Signo del número con mayor valor absoluto. Andinismo: deporte que consiste en la ascención a los Andes y a otras montañas altas (SM).
Ejercita
1. Calcula el valor de cada suma. a. 8 + 22
=
e. 229 + (–228)
=
b. –121 + (–21)
=
f. –99 + 100
=
c. 33 + (–25)
=
g. –1.778 + (–1.778) =
d. –65 + (–105) =
h. –22 + (–23)
2. Detecta el error en cada caso y luego corrígelo. a. 177 + (–200) = 23 Error:
Corrección:
b. –312 + 312 = –614 Error:
16
Números enteros
Corrección:
=
1
Propiedades de la adición de números enteros Los trenes Maglev no utilizan ruedas, ya que emplean el electromagnetismo como fuente de movilidad, pareciendo levitar. Estos trenes, presentes en la ciudad de Shangai, recorren una distancia de 30 km en 9 minutos aproximadamente, y pueden alcanzar una velocidad cercana a los 430 km/h.
Si el tiempo de recorrido entre dos estaciones A y D está dividido como lo representa la figura: A
B 9 min
C 12 min
D
(km)
6 min
¿Cuánto demora el tren de la estación A a la D? Este tiempo se puede obtener de dos maneras diferentes: Sumando el tiempo de viaje entre A y B con el tiempo entre B y C, para luego sumar a este resultado el tiempo entre C y D. (9 + 12) + 6 = 21 + 6 = 27 min Sumando el tiempo entre B y C con el tiempo entre C y D, para luego sumar este resultado al tiempo entre A y B. (12 + 6) + 9 = 18 + 9 = 27 min Esta igualdad se cumple gracias a la propiedad asociativa para la adición en .
Para grabar Clausura Conmutativa
La suma entre números enteros es siempre un número entero.
–10 + 5 = –5 ∈
El orden de los sumandos no altera la suma.
3 + (–7) = (–7) + 3 –4 = –4
Asociativa
La adición de tres o más sumandos se puede realizar agrupando los términos de diversas maneras y la suma no se altera.
(3 + 2) + (–8) = 3 + (2 + (–8)) 5 + (–8) = 3 + (–6) –3 = –3
Elemento neutro o neutro aditivo
La adición entre cualquier número entero y el cero da como resultado el mismo número.
13 + 0 = 0 + 13 13 = 13
Inverso aditivo
La suma de un número entero con su inverso aditivo u opuesto es igual a cero.
9 + (–9) = 0
Ejercita
1. Identifica la propiedad de la adición para números enteros que se aplica en cada caso. Para ello, completa. a. 16 + 3 = 3 + b.
Propiedad:
+ (–318) = 0
c. (36 + 12) + 5 = 36 + (
Propiedad: + 5)
Propiedad:
2. Identifica la propiedad que se usó en cada caso para resolver los siguientes ejercicios. a.
–18 + 25 + (–7)
b.
–20 + 33 + (–13) + 200
[–18 + (–7)] + 25 /
33 + (–20) + (–13) + 200 /
–25 + 25 /
33 + [(–20) + (–13)] + 200 /
25 + (–25) /
[33 + (–33)] + 200 /
0 /
0 + 200 / 200 / Matemática 8
17
Sustracción en La tabla representa las utilidades anuales de una empresa.
La variación de las utilidades de la empresa entre el año 2008 y el año 2009 se puede establecer mediante una sustracción de números enteros. Utilidad 2009 – Utilidad 2008 = Variación de las utilidades
Empresa Año Utilidades (UF)
580 – 1.200 = 580 + (–1.200) = –620
2008 2009 1.200
580
En este caso, las utilidades de la empresa disminuyeron en 620 UF.
Para grabar
Para saber más En la primera mitad del siglo XX no existía el concepto de reajustabilidad, que empezó a aplicarse gradualmente, hasta ser indispensable en todo contrato o transacción. El punto de partida fue el 19 de mayo de 1965, cuando la ley 16.253, que autorizó el establecimiento de bancos orientados a financiar la elaboración y ejecución de proyectos o la inversión en bienes de capital, creó la Unidad de Fomento (UF).
Ejemplos:
La sustracción de números enteros puede ser interpretada como una adición entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Sean a, b ∈ , entonces: a – b = a + (–b)
25 – 93 = 25 + (–93) = –68 –7 – 13 = –7 + (–13) = –20
Minuendo Sustraendo Inverso aditivo de b
Ejercita
1. Representa en la recta numérica las siguientes sustracciones. Para ello, observa el ejemplo.
Ejemplo: 8 – 12 = 8 + (–12) = –4 8
Fuente: http://www.sii.cl/SIIPRENSA/1810/09.htm
–12 –10 –8 –6 –4 –2
No olvides que las páginas web o su contenido pueden variar.
0
2
4
6
8
10 12
-12 a. 35 – 25
=
0
b. 90 – 80
=
0
2. Expresa cada sustracción como adición de números enteros y encuentra el resultado. a. 53 – 70 = 53 + b. 119 – (–118) = 119 +
18
Números enteros
c. 64 – 114 = 64 +
= =
d. |8| – |–8| = 8 +
= =
1
3. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a. 205 – 190 = 205 – (–190) = 205 + 190 = 395 Error:
Corrección:
b. –67 – 300 = 67 + 300 = 367 Corrección:
Error:
4. Interpreta la tabla. Luego, responde. En la tabla se muestran algunas temperaturas medidas en el mes de enero en cuatro ciudades de Chile. Ciudad
Temperatura (°C)
Santiago
25
Concepción
17
Valparaíso
21
Arica
29
a. ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas de Santiago y Concepción?
b. ¿En cuántos grados difiere la temperatura de Concepción a la de Valparaíso?
c. ¿En cuántos grados difiere la temperatura de Arica a la de Santiago?
5. Verifica las siguientes propiedades dando un ejemplo si es verdadera o un contraejemplo si es falsa. a. La diferencia entre dos números enteros es siempre un número entero.
b. Si a, b ∈ , entonces a – b = b – a.
Ayuda Un contraejemplo corresponde a un ejemplo de algo que no siempre es cierto. Si a, b ∈ , entonces a + b > 0. Contraejemplo: Si a = –3 y b = –2, entonces: –3 + (–2) = –5 < 0
c. Si a ∈ , entonces a – 0 = a.
Matemática 8
19
EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Representa los siguientes números enteros en la recta numérica. a. 2; –3; 0; –4; –7 y 4. b. –2; 3; 0; 4; –7 y –4. Orden y comparación en .
2 Relaciona los siguientes pares de números enteros, escribiendo los signos <, > o = según corresponda. a. 35
–36
b. 22
25
c. –4
–9
d. –1.000
–1.001
3 Compara los números enteros. Luego, ordénalos de mayor a menor. a. –9; –17; 0; 12; –34; 1; –1
b. 1.000; –999; –1.001; –28; 500; 35; –900
4 Reconoce cuál de los números, en cada conjunto, se encuentra a menor distancia del cero. Valor absoluto.
b. {–25; 48; 52; –70; 47; 36}
a. {–17; 8; 19; –12; 32; 9}
5 Calcula el valor absoluto de cada número. a. |–12| =
b. |–8| =
c. |0| =
d. |–15| =
c. 49 + (–17) =
d. –37 + (–45) =
6 Resuelve cada adición de números enteros. a. 125 + 153 = Adición en .
b. –98 + 145 =
7 Evalúa cada igualdad y completa con el número que falta para que esta sea verdadera. a. 12 +
=9
b. –15 +
= 12
c.
+ 19 = –12
d.
+ (–11) = 18
8 Resuelve el siguiente problema. Un buzo se encuentra a 20 m bajo el nivel del mar. Luego de un tiempo baja 10 m y por último sube 17 m. Representa la situación como suma de números enteros. ¿Qué número entero representa la posición final del buzo?
20
Números enteros
1 9 Resuelve cada sustracción de números enteros.
Sustracción en .
a. 12 – 12 =
c. 18 – (–19) =
e. –40 – 0 =
b. –30 – (–9) =
d. –45 – 30 =
f. 0 – (–17) =
10 Evalúa cada igualdad y completa con el número que falta para que esta sea verdadera. a. –9 –
= –19
c.
b. 12 –
= –15
d. 18 –
– (–15) = –40 = –36
e. |–4| –
= –25
f. –25 –
= 22
11 Resuelve los siguientes problemas. Escribe tus procedimientos. a. Cierto día, las temperaturas máxima y mínima en una ciudad fueron de 15 °C y –3 °C, respectivamente. ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?
b. Con el fin de ahorrar energía, se aconseja ajustar el termostato del refrigerador para mantener una temperatura de –2 °C en el freezer y de 7 °C en el resto del refrigerador. ¿Cuál es la diferencia entre estas dos temperaturas?
Matemática 8
21
Multiplicación en En un estanque de tratamiento de aguas, el agua contaminada entra a razón de 20 m3 por hora y sale purificada a razón de 15 m3 por hora.
El agua contaminada se puede calcular mediante el producto de números enteros como sigue: Horas que trabaja la planta.
4 • 20 m3 = 80 m3
Cantidad de agua contaminada que entra en el día.
De igual manera el agua que sale se puede calcular resolviendo: Horas que trabaja la planta.
4 • (–15 m3) = –60 m3
Cantidad de agua purificada que sale en el día.
El signo negativo representa que el agua sale del tanque. Entonces, se tiene que la cantidad de agua contaminada que entra al estanque en un día es de 80 m3 y la cantidad de agua purificada que sale es de 60 m3. Si la planta trabaja durante 4 horas diarias, ¿cuánta agua contaminada entra en un día? ¿Cuánta sale purificada?
Para grabar Si a, b ∈ y tienen el mismo signo.
El producto a • b ∈ +, es decir, es siempre positivo.
Si a, b ∈ y tienen distinto signo.
El producto a • b ∈ –, es decir, es siempre negativo.
Ejemplos: 9 • 8 = 72 –6 • (–5) = 30 –7 • 5 = –35 3 • (–100) = –300
Ejercita
1. Evalúa para qué valor la igualdad es verdadera. Para ello, escribe dicho valor. a. –100 • (–2) = x
x=
c. –45 • 22 = w
w=
b. 5 • y = –90
y=
d. 10 • z = –100
z=
2. Analiza cada enunciado. Luego, pinta el ejemplo con el color que corresponda en cada caso. a. El producto de dos números positivos es siempre positivo. b. El producto de un número negativo con otro positivo es siempre negativo. c. El producto de cualquier número entero por cero es cero.
22
Números enteros
Ejemplos: 8 • 4 –8 • 4
–7 • (–9) 7 • (–9)
1•0
–1 • 1
d. El producto de dos números negativos es siempre positivo.
–11 • 6 –11 • (–6)
e. El producto de tres números negativos es siempre negativo.
–3 • (–8) • (–5) –3 • 8 • (–5)
Propiedades de la multiplicación en Observa la siguiente equivalencia: 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
En este caso, se puede calcular primero a cuántos minutos (min) equivalen 8 horas (h).
1
8 • 60 min = 480 min Ahora, para saber la cantidad de segundos (s) se realiza: 480 • 60 s = 28.800 s Entonces, 8 horas equivalen a: (8 • 60) • 60 s = 28.800 s. Otra manera de calcular este número es: 1 h = 60 min = (60 • 60 s) Luego, las 8 horas equivalen a: 8 • (60 • 60) = 28.800 s. Por lo tanto, se tiene que el orden de los factores no alteró el producto. (8 • 60) • 60 = 8 • (60 • 60)
¿A cuántos segundos equivalen 8 horas?
Para grabar Clausura
El producto entre dos números enteros es siempre un número entero.
Ejemplos: 4 • (–6) = –24 ∈
Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
–7 • (–5) = –5 • (–7) 35 = 35
Asociativa
Los factores se pueden agrupar de distintas maneras y el producto no se altera.
3 • [–9 • 2] = [3 • (–9)] • 2 3 • (–18) = –27 • 2 –54 = –54
Elemento neutro o neutro multiplicativo
El producto de todo número entero por 1 es el mismo número.
Distributiva
El producto entre un número entero y una adición de números enteros es igual a la suma de los productos entre este número y cada sumando.
–20 • 1 = –20 –5 • (3 + 2) = –5 • 3 + (–5) • 2 –5 • 5 = –15 + (–10) –25 = –25
Ejercita
1. Identifica la propiedad de la multiplicación que se aplica en cada caso. a. 900 • 1 = 900
Propiedad
b. (11 + (–4)) • 2 = (11 • 2) + ((–4) • 2)
Propiedad
c. 1.050 • 28 = 28 • 1.050
Propiedad
2. Calcula el valor de cada expresión. a. 25 • (5 – 3) =
c. –4 • 15 + (–4) • 5 =
b. 5 • (10 + 8) =
d. 6 • 22 + 6 • 8 = Matemática 8
23
División en Juan gasta en promedio 35 litros de bencina a la semana. Su auto presenta cierto desperfecto y va perdiendo adicionalmente 7 litros por semana, con lo que decide usarlo solo 3 días en vez de 7. ¿Cuánta bencina gastará Juan?
Para saber más Algoritmo de la división Dividendo = (Divisor • Cociente) + Resto Ejemplo: Dividendo
7 : –2 = –3 1
Cociente
Divisor Resto Aplicando el algoritmo: 7 = (–2 • (–3)) + 1 = 6 + 1 = 7
Para determinar cuánta bencina gastará por semana primero se debe saber cuánto gasta por día. Entonces: Gasta 5 litros en un día. –35 : 7 = –5 Gasta 35 litros a la semana.
Número de días de la semana.
Luego; por el desperfecto del auto este pierde 7 litros por semana. a Esto se puede plantear de la siguiente manera: Pierde un litro por día. –7 : 7 = –1 b a Pierde 7 litros por semana. b de días de la semana. Número Como: –5 + (–1) = –6, entonces, Juan gastará en promedio176 litros por día. 2 En consecuencia, en tres días gastará: 6 • 3 = 18 litros. a–8 = 1 a Para grabar b–16 2 b a3 entero positivo. Si el resto es cero, el cociente de – es un número a b4 b 12 Si a, b ∈ con b ≠ 0 yatienen 12 : 4 = 3 ⇒ 17 = 3 ∈17+a a 24 el mismo signo, b b 0 b –8200 1 2 a a – = de el cociente a : b = Si el resto es distinto de cero, elacociente 1 expresa como fracción o –8 se –1610 2 b b= –16 2 es siempre positivo.17 b 3 decimal positivo. 17 – 3 17a4 a 2 – 2 –17 : (–2) = = 8,5 4 b 2 b12 –8 1 –8 1 = = 12 –16 2 Si el resto es cero, el cocientea de–8a4 =es1un número 2 negativo. –16 entero b –16b2002 4 3 3 –17 – 200 Si a, b ∈ con b ≠ 0 y–atienen 17 –= 3–20 200 : (–10) 10⇒ – a 4 = –20 ∈ – 4 distinto signo, b 10b 0 2 42 12 12 a a4 el cociente a : b = 4 1 =1 –8 12 –8 Si el resto es distinto de cero, el=cociente de se expresa como fracción o b 2 2 b 200 –16 4 –16 200 decimal negativo. es siempre negativo. –17 – 200 17 3– –3 10 10 = –0,75 –3 : 4 = – 2 2 4 104 –8 1 –8 1 = 12 12 = –16 2 –16 2 4 4 Ejercita 3 3 200 200 – – – – 1. Calcula el cociente en cada caso. Para ello, utiliza el algoritmo de la división. 4 4 10 10 12 12 = a. 144 : 12 = d. –250 : (–7.500) 4 4 200 200 – b. –3.600 : 6 = e. 560 : |–4| – = 10 10 c. 222 : 444 =
f. –1.005 : 5
=
2. Evalúa para qué valor la igualdad es verdadera. Para ello, calcula dicho valor.
24
Números enteros
a. 1.000 : x = 1.000
x=
c. z : 32 = 9
z=
b. –169 : 13 = y
y=
d. –7.777 : w = 1
w=
3. Evalúa si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. El cociente entre números enteros siempre es un número entero.
1
b. Al dividir un número entero por cero resulta otro número entero. c. El elemento neutro para la división es 1. d. El cociente entre un número par y 2 es otro número par. e. La división de números enteros es distributiva con respecto a la adición.
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Un estanque que contiene 2.256 litros tiene un sistema de desagüe que varía la cantidad de líquido que desaloja. Si se quiere desocupar el estanque en 8 horas, ¿cuál es la cantidad de agua que debe salir cada hora por el desagüe?
b. Un montañista se encuentra en la cima de un monte, a 300 m sobre el nivel del mar. Al cabo de 5 horas se halla a 144 m sobre el nivel del mar. • ¿El recorrido fue en ascenso o descenso? Justifica tu respuesta.
• ¿Cuántos metros por hora recorrió el montañista?
• Considerando el dato anterior, si el monte fuera de 1.000 m sobre el nivel del mar, ¿cuánto demoraría en llegar a los 10 m?
Matemática 8
25
Operaciones combinadas En la pizarra, se escribe un ejercicio y se elige a dos alumnos para que lo resuelvan.
Para determinar qué resultado es correcto es necesario tener en cuenta las reglas de prioridad en las operaciones combinadas. La solución del ejercicio es:
¿Cuál de ellos está en lo correcto?
Alumno 2 300 + 25 • 6 = 325 + 150 = 475
Primero multiplicas.
= 300 + 150
Luego, realizas la adición.
= 450
300 + 25 • 6= Alumno 1 300 + 25 • 6 = 325 • 6 = 1.950
300 + 25 • 6
Por lo tanto, ninguno de los dos estudiantes tenía su ejercicio correcto.
Para grabar Sin paréntesis
Para resolver una operación combinada se debe usar el siguiente prioridad: 1˚ Multiplicación y/o división de izquierda a derecha. 2˚ Adición y/o sustracción de izquierda a derecha.
125 : 25 – 10 • 8 = 5 – 80 = –75
Con paréntesis
Para resolver ejercicios con operaciones combinadas se debe usar el siguiente prioridad: 1˚ Paréntesis de interior a exterior y de izquierda a derecha. 2˚ Multiplicación y/o división de izquierda a derecha. 3˚ Adición y/o sustracción de izquierda a derecha.
(7 + 9 • 5) : 2 = (7 + 45) : 2 = 52 : 2 = 26
Ejercita
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
Fíjate en las palabras destacadas de esta página: algunas son de color rojo y otras negras. ¿Por qué crees que tienen distintos colores?
a. 4 • (16 – 4) + 4 + 16 =
d. (200 + 2) • (–100) • 1.000 =
b. –25 : 5 • (–1) + 5
e. 256 : 8 • ((–1) + 256)
=
f. –11 • 11 – 90 + 100
=
=
c. 169 : 13 + (–10) • 10 =
2. Agrupa los términos de cada operación usando paréntesis, de tal forma que se obtenga el resultado indicado. Fíjate en el ejemplo. a. 12 + (–4) • 2 = 16 [12 + (–4)] • 2 =8•2 = 16
26
Números enteros
b. 14 : 7 + 2 • 6 = 14
c. 20 – 4 • 5 + –1 = –1
1
3. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a. 630 : 10 + 5 = 630 : 15 = 42 Error:
Corrección:
b. –9 + 18 : 6 : 2 = –9 + 18 : 3 = –9 + 6 = –3 Corrección:
Error:
4. Relaciona cada operación con su resultado. Observa el ejemplo. (6 + 9) : 3
9
(6 + 9) : (–3)
1
6 + (9 : 3)
5
[(–6) + 9] : 3
-1
[6 + (–9)] : 3
-9
(–6) + (–9 : 3)
-5
5. Analiza el siguiente enunciado. Luego, responde. Para asistir a una gira escolar, un grupo de 20 estudiantes debe pagar $ 450.000 por la estadía del grupo y $ 8.500 por el transporte de cada integrante. a. Julio, uno de los integrantes del grupo, afirma que en total él debe pagar $ 45.000 más $ 8.500. ¿Es cierta esta afirmación? Sí No Justifica
b. ¿Qué operaciones se deben realizar para saber lo que tiene que pagar cada estudiante?
c. ¿Cuál es el orden en que se deben realizar las operaciones para obtener el total?
d. ¿Cuánto dinero debe pagar en total el grupo, incluyendo estadía y transporte?
Matemática 8
27
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. Aristóteles nació aproximadamente el año 384 a. C. y murió el año 322 a. C. Pitágoras nació aproximadamente el año 582 a. C. y murió el año 507 a. C. Leonardo Da Vinci nació el año 1452 d. C. y murió el año 1519 d. C. Einstein nació el año 1879 d. C. y murió el año 1955 d. C. ¿Cuál de estos personajes vivió más años?
Paso
Comprender el enunciado
Comprender consiste en construir un signifi cado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y gráfi ca. Para comprender es posible utilizar la representación. Para ello, debes: • Identificar lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Cuál de los personajes citados vivió más años. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Años de nacimiento y muerte de los personajes. • Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Cuál de los personajes citados en el texto es más cercano a nuestra época? ¿En qué te basas para interpretar eso? Einstein, ya que nació en 1879 d. C. y murió en 1955 d. C. • Expresar la información en otro tipo de formato. Expresa la información del problema de otra manera. Para ello, puedes organizar los datos en una tabla. Personaje Da Vinci Pitágoras Aristóteles Einstein
Vivió De 1452 d. C. a 1519 d. C. De 582 a. C. a 507 a. C. De 384 a. C. a 322 a. C. De 1879 d. C. a 1955 d. C.
Pitágoras
Da Vinci
Paso
Aristóteles
Einstein
Planifica lo que vas a realizar
Se representan los años antes de Cristo como números negativos, y como números positivos los años después de Cristo.
Paso
Resuelve el problema
Pitágoras vivió: |–582 – (–507)| = 75 años. Einstein vivió: |1879 – 1955| = 76 años. Da Vinci vivió: |1452 – 1519| = 67 años. Aristóteles vivió: |–384 – (–322)| = 62 años. Por lo tanto, el personaje que vivió más años fue Einstein.
Paso
Revisa la solución
0
Aristóteles
Pitágoras
62
75 76
67 Da Vinci
Lo anterior verifica que de los personajes, el que más años vivió fue Einstein, con 76 años.
28
Números enteros
Einstein
1
Resolución de problemas
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. Al comparar la masa corporal de los integrantes de un equipo de fútbol con respecto a la de Pablo, uno de sus integrantes, se observa que: Jaime tiene 1 kg más de masa corporal que Pablo; Alberto, 5 kg más, Camilo, 4 kg menos y Patricio, 9 kg más. ¿Cuál es el orden creciente de estos integrantes del equipo con respecto a su masa corporal?
Paso
Comprende el enunciado
• Identificar lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema? • Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Qué integrante es el de mayor masa corporal? ¿En qué te basas para interpretar eso?
• Expresar la información en otro tipo de formato.
Expresa la información del problema en una tabla de datos.
Paso
Paso
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Desde un avión que vuela a 1.300 m sobre el nivel del mar se observa un submarino que se encuentra a 200 m bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la distancia del avión y del submarino con respecto al nivel del mar? ¿Qué distancia hay entre el submarino y el avión? Matemática 8
29
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Números enteros en la calculadora La calculadora científica del computador, como la de la foto, tiene una tecla que permite asignar el signo negativo a los números que se ingresan. Es así como para realizar la adición: –5 + (–3), se deben presionar las teclas en la siguiente secuencia:
5
1o
+
+
2o
-5
/-
3
+
-8
Observa que si presionas la tecla cambia entre positivo y negativo.
1.
/-
-3
/-
=
3o
+
+
/-
varias veces, el signo del número
Expresa la secuencia de teclas que se deben presionar para calcular el valor de cada expresión. Para ello, dibújalas en cada recuadro. Fíjate en los ejemplos. Ejemplo 1: 2 + (–5) 2
+
5
+
/-
Ejemplo 2: 7 – (–5) + 7 + (–3) =
7
–
5
+
+
/-
a. –4 – 6 + (–5)
c. –3 – (–5) + (–4) – 2
b. –2 – 4 – (–4)
d. 12 – (–102) + (–35)
7
+
3
+
/-
=
2. Utiliza la calculadora del computador. Luego, digita sus teclas en las dos secuencias dadas y compara los resultados. 1o
2
+
5
+
/-
=
2o
2
–
–
a. Escribe la operación realizada en cada caso y resuélvela manualmente.
1o
b. ¿Qué puedes concluir a partir de los resultados?
30
Números enteros
2o
5
=
3. Utiliza la calculadora del computador para resolver cada ejercicio. a. 2 • (–5)
d. 30 : (–2) • 5
b. –6 • (–9) • 4
e. –18 : 2 : (–3) • 30
c. –18 • (–9) • (–2) • 5
f. 300 : (–5) : (–3) : 2
4. Resuelve manualmente los ejercicios. Luego, calcula los resultados utilizando la calculadora. a. 3 + 2 • (–3)
c. –3 • (–5) – 6
b. –4 – 8 : 2
d. –27 : (–9) + 5
• ¿Hubo diferencia entre los resultados calculados manualmente y los obtenidos con la calculadora? ¿A qué crees que se debe esto?
Herramientas tecnológicas
1
5. Analiza los resultados que se obtienen al digitar en la calculadora del computador las teclas que se muestran en las siguientes secuencias. Luego, responde. 7
1o
8
–
3
=
=
+
=
/-
+
3
=
=
–7 + 3 + 3 + 3
=
2o
7
1
+
/-
–
4
=
=
=
=
• ¿Qué operaciones se representan en cada caso? Escribe cada ejercicio.
1o
2o
Matemática 8
31
PARA NO EQUIVOCARSE 1. Analiza la resolución de los ejercicios. Luego, responde. Resolución 1 2 – {–4 + 10 • (–3) + (–5) : (–1) + (3 – (–1))} – 2 = 2 – {–4 + 10 • (–3) + (–5) : (–1) + 4} – 2 = 2 – {6 • (–3) + (–5) : (–1) + 4} – 2 = 2 – {–18 + 5 + 4} – 2 = 2 – {–13 + 4} – 2 = 2 – (–9) – 2 =2+9–2 = 11 – 2 =9
Resolución 2 2 – {–4 + 10 • (–3) + (–5) : (–1) + (3 – (–1))} – 2 = 2 – {–4 + 10 • (–3) + (–5) : (–1) + 4} – 2 = 2 – {–4 + (–30) + (–5) : (–1) + 4} – 2 = 2 – {–34 + 5 + 4} – 2 = 2 – {–25 + 4} – 2 = 2 – (–25) – 2 = 2 + 25 – 2 = 27 – 2 = 25
a. ¿Cuál es la resolución correcta? Describe la estrategia usada.
b. ¿Cuál es el error en la resolución incorrecta?
2. Analiza el ejercicio resuelto. Luego, responde. |–3 – (–7)| – 2 • |–5 – 1| + (–25) : 5 = |–3 + 7| – 2 • (–6) + (–5) = 4 – (–12) + (–5) = 4 + 12 – 5 = 16 – 5 = 11 a. ¿Cuál es el error cometido?
b. Escribe la resolución correcta.
32
Números enteros
3. Analiza la resolución del siguiente ejercicio. Luego, responde. En la tabla "Telefonía celular" se muestra la cantidad de minutos en que se excede el usuario con respecto al límite establecido por un plan de 100 minutos. Si se expresa con signo negativo la cantidad de minutos de telefonía celular no consumidos, ¿cuál de las siguientes tablas expresa adecuadamente el consumo de cada usuario al final del mes? C.
A. Consumo mensual de telefonía celular Usuario Cristián Paula Arturo Claudia Jaime
Consumo 20 -30 5 -25 16
B.
Consumo mensual de telefonía celular Usuario Cristián Paula Arturo Claudia Jaime
Consumo -20 30 -5 25 -16
D. Consumo mensual de telefonía celular
Usuario Cristián Paula Arturo Claudia Jaime
Consumo 20 -50 -15 -45 -4
Telefonía celular Usuario Cristián Paula Arturo Claudia Jaime
Consumo en el mes (en minutos) 80 150 115 145 104
10:42
La cantidad de abonados en Chile llegó a 14,8 millones a fines del año 2008. Esta cifra equivale prácticamente al número de habitantes del país. Fuente: www.subtel.cl Responder
Más
Para no equivocarse
1
Consumo mensual de telefonía celular Usuario Cristián Paula Arturo Claudia Jaime
Consumo -20 50 15 45 4
• Al resolver el ejercicio se marca la alternativa B como correcta. ¿Qué error se cometió?
4. Resuelve el siguiente ejercicio de selección múltiple y detecta donde está el error. Sean a y b dos números enteros con a < 0 y a > –b. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. b < 0 B. –a > b C. a > –a D. –b < –a El error cometido fue:
Matemática 8
33
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. Fíjate en la información del recuadro. El conjunto de los números racionales () está formado por los números que se pueden escribir de la a forma con a, b ∈ y b ≠ 0. b 1 –6, –5, , 2, 3, 5, 6 2 a. Todo número racional se puede escribir como un número natural.
1 7 , ,–6, 5, 2, 3, 6 ⊂ B 2números pueden escribirse como racionales. 3 b. Algunos enteros 7 c. Todo número racional puede ser escrito como número entero. 3 1 d. Todo número natural no pertenece a . 2 e. El cero es un número entero y racional.
a 2. Verifica si se cumplen las afirmaciones. Para ello, analiza el diagrama. Justifica tu respuesta.
b Si A, B y C son conjuntos de números representados por: 1 a –6, –5,a , 2, 3, 5, 6 A = {–5, 3, 6} 2 b b 1 7 1 1 6 ⊂ B –6,5,–5, 2, 3, , 2, 3, 5, 6 –6, –5, , –1,–6, B = , 2, 3, 5, 6 9 2 C 2 3 2 C=A –6 7 B1 7 1 1U 7B , ,–6, 5, 2, 3, 6 ⊂ B ,–6, 5, , ⊂ 2 , 3, 6 B 0 3 2 3cada elemento de A está contenido en B Es decir, 5 2 3 6 1 y cada 7 elemento de B está contenido en C. 7 –5 A 2 3 3 3 4 1 1 Simbólicamente: A ⊂ B ⊂ C 2 2 2 12 7
10 subconjunto
U a. {1, 3, 7, 9} ⊂ C V F a b Justifica: 1 –6, –5, , 2, 3, 5, 6 2 1 7 b. , ,–6, 5, 2, 3, 6 ⊂ B V 2 3 7 Justifica: 3 1 2
34
Números enteros
c. {–5, 3, 6, 0} ⊂ A
V
F
Justifica:
F
d. {…–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} ⊂ Justifica:
V
F
3. Representa por comprensión cada conjunto. Observa el ejemplo. El conjunto A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2} es un subconjunto de (A ⊂ ) expresado por extensión. Por comprensión sería A = {x ∈ / –4 < x < 3}. • Se lee: “A está formado por todos los números enteros mayores que –4 y menores que 3”. • Se representa en la recta numérica: -4
0
a. B = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1}
3
c. D = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
b. C = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
d. E = {–15, –14, –13, –12, –11, –10}
4. Representa cada conjunto por extensión y ubícalo en la recta numérica. a. A = {x ∈ / 6 < x < 16} A={
}
Para saber más
Ampliando mis conocimientos
1
Los valores en la recta que se representan por ( ) pertenecen al conjunto; los representados por ( ) son los extremos del conjunto A. En este caso, no pertenecen a A.
b. B = {x ∈ / 7 > x > –3} B={
}
c. C = {x ∈ / x < 6} C={
}
Matemática 8
35
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Qué alternativa presenta los números enteros ordenados de menor a mayor? A. –4; –6; –7; –8; –9 B. 8; 7; 6; –2; –3 C. –1; 0; 1; 2; 3 D. 8; 6; 0; –4; –3
2 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. Un número negativo está a la derecha del cero. B. Un número positivo está a la izquierda del cero. C. Solo un entero tiene como sucesor al cero. D. Solo un entero tiene como sucesor un número positivo.
3 ¿Cuál de los siguientes valores representa una menor temperatura? A. 0 °C B. –7 °C C. –5 °C D. –2 °C
4 ¿Cuál de las siguientes profundidades representa la posición más cercana al nivel del mar? A. –8 m B. –6 m C. –5 m D. –4 m
5 ¿Cuál es el sucesor de –15? A. 15 B. –13 C. –14 D. –16
6 ¿Cuál es el sucesor del inverso aditivo de 20? A. –18 B. –19 C. –20 D. –21
36
Números enteros
7 ¿Cuáles de los siguientes pares de números enteros representan, respectivamente, los años 200 a. C. y 1000 d. C.? A. 200 y 1.000 B. 200 y –1.000 C. –200 y 1.000 D. –200 y –1.000
8 ¿Cuál de las siguientes expresiones es FALSA? A. |0| = 0 B. |1| = 1 C. |3| = 3 D. |–5| = –5
9 ¿Cuál de las siguientes expresiones es VERDADERA? A. El valor absoluto de cero es un número positivo. B. El valor absoluto de un número negativo es negativo. C. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número. D. El valor absoluto de un número entero es un entero positivo.
10 ¿Cuál de los siguientes conjuntos de números está ordenado de menor a mayor? A. |–3|; |–2|; |0|; |1|; |2| B. –20; –10; 0; |–1|; |–2| C. –8; –2; |–1|; 0; 1; 2 D. –5; –2; 0; –1; |–3|; |–4|
11 ¿Cuál de las siguientes expresiones es VERDADERA? A. 5 < |–4| B. |–4| < 0 C. –6 < |–9| D. |–2| > |–5|
12 ¿Cuál es el resultado de la adición 2 + (–5)? A. 7 B. –3 C. –4 D. –7
13 Un hombre nació el año 22 a. C. y murió en el año
19 ¿Cuál de las siguientes sustracciones NO tiene como
30 d. C. ¿Cuántos años vivió?
resultado –6?
A. B. C. D.
A. 1 + (–7) B. –8 – (–2) C. 12 + (–6) D. –4 + (–2)
8 años 10 años 42 años 52 años
14 Un termómetro marcaba hace 3 horas –7 °C y en estos momentos marca 12 °C. ¿Cuántos grados subió la temperatura? A. B. C. D.
5 °C 12 °C 18 °C 19 °C
15 ¿Cuál es el resultado de la adición –4 + (–7)? A. B. C. D.
–3 –6 –11 –12
16 Un buzo se encuentra a 6 metros bajo el nivel del mar, para luego subir 2 metros. ¿Cuál de las siguientes adiciones permite calcular la posición final del buzo? A. B. C. D.
(6 + 2) m (–6 + 2) m (–6 + (–2)) m (6 + (–2)) m
17 En un juego de cartas, el primer jugador obtiene 30 puntos a favor y 12 en contra y el segundo jugador 40 a favor y 16 en contra. ¿Cuál de los dos ganó el juego? A. B. C. D.
Empataron. Primer jugador. Segundo jugador. No se puede determinar.
18 ¿Cuál es el resultado de la sustracción: 2 – (–3)? A. B. C. D.
1 5 –1 –5
Evaluación final
1 20 ¿Qué resultado se obtiene al restarle un número positivo a un número negativo? A. B. C. D.
Cero. Un número negativo. Un número positivo. Un número negativo o uno positivo.
21 ¿Cuál es el resultado de –5 – |–4|? A. B. C. D.
1 9 –1 –9
22 La temperatura en una conservadora de alimentos está a 25 °C bajo cero. Si la temperatura baja 3 °C, ¿qué expresión representa la temperatura a la que queda la conservadora? A. B. C. D.
(25 – 3) °C (–25 – 3) °C (25 + (–3)) °C (–25 – (–3)) °C
23 Marcela tiene $ 20.000 en efectivo y gasta $ 3.500 en un chaleco. Luego saca de su cuenta bancaria $ 50.000 y compra sus útiles por un precio de $ 45.000. ¿Cuál de las siguientes alternativas permite calcular el dinero que le queda a Marcela? A. $ (20.000 – 3.500 + 50.000) B. $ (20.000 + (–3.500) + 50.000 – 45.000) C. $ (20.000 + (–3.500) + 50.000 – (–45.000)) D. $ (20.000 – (–3.500) + 50.000 – 45.000)
24 Respecto del problema anterior, ¿con cuánto dinero queda Marcela? A. B. C. D.
$ 20.500 $ 21.500 $ 22.500 $ 23.000
Matemática 8
37
EVALUACIÓNFINAL 25 ¿Qué número resulta al calcular 3 – (–2) + 5? A. B. C. D.
0 6 10 –10
26 ¿Cuál es el producto entre –30 y 44? A. B. C. D.
1.320 1.340 –1.320 –1.340
27 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Al dividir dos enteros negativos el resultado es positivo. B. Al multiplicar dos enteros negativos el resultado es positivo. C. Al multiplicar un número entero por su opuesto el resultado es positivo. D. Al multiplicar un entero positivo por uno negativo el resultado es negativo.
28 ¿Por qué valor se debe multiplicar –98 para que el resultado sea 6.370? A. B. C. D.
64 65 –64 –65
29 Una cámara de frío baja su temperatura a razón de 3 °C por minuto. Si la temperatura que registra es 4 °C , ¿en cuántos minutos logrará los 17 °C bajo cero? A. B. C. D.
En 7 minutos. En 6 minutos. En más de 7 minutos. En menos de 6 minutos.
30 ¿Cuál es la mitad del resultado de: 12 : (–3) + (–4) • (–5)? A. B. C. D.
4 8 –4 –8
31 ¿Cuál es el doble del resultado de: 5 • (–3) + (–56) : (–7)? A. B. C. D.
–12 –14 –16 –18
32 ¿Qué valor se obtiene al resolver 4 + {–12 – (12 + (–1 + (–6)) + 15)}? A. B. C. D.
–12 –18 –20 –28
33 ¿Qué valor se obtiene al resolver |–2| + (–3) – (–2) • (–4)?
A. B. C. D.
3 7 –9 –13
34 ¿Qué valor se obtiene al resolver
2 • {12 : (4 – (–5 : 5 + 3))} – (5 – (–6))? A. B. C. D.
1 8 13 –11
35 ¿Cuál es el antecesor del resultado de –5 • {–4 – (–3) – (12 : (–3))}? A. B. C. D.
15 –15 –16 –25
36 ¿Qué valor se obtiene al resolver 3 • 22 – (–10 : (–5))? A. B. C. D.
0 3 64 100 Mi desempeño
Buenas Malas Omitidas
38
Números enteros
II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Arquímedes fue un matemático griego que murió a la edad de 75 años en el año 212 a. C. ¿En qué año nació?
Evaluación final
1
2 Un estanque que contiene 1.000 metros cúbicos de agua, recibe desde una matriz 20 metros cúbicos y vierte por otros dos conductos 12 y 15 metros cúbicos por minuto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el estanque contenga solo 510 metros cúbicos?
3 En la troposfera la temperatura baja a razón de aproximadamente 6 °C por kilómetro de altura. Si un avión registra una temperatura exterior de 15 °C y asciende 8 kilómetros, ¿qué temperatura exterior registrará?
Matemática 8
39
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto Números enteros ().
Definición Es el conjunto formado por enteros positivos (+), el cero (0) y los enteros negativos (–). = {....,–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,....}
Ejemplo 7∈ –8 ∈
Orden en .
Valor absoluto.
Concepto
Ubicación en la recta numérica.
Adición en .
Sustracción en .
Multiplicación en .
División en .
Operaciones combinadas en .
40
Números enteros
Procedimiento
Ejemplo
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Números enteros
Evaluar
2
Números enteros
Evaluar
3
Números enteros
Aplicar
4
Números enteros
Analizar
5
Números enteros
Recordar
6
Números enteros
Recordar
7
Números enteros
Comprender
8
Números enteros
Evaluar
9
Números enteros
Evaluar
10
Números enteros
Evaluar
11
Números enteros
Evaluar
12
Adición y sustracción
Aplicar
13
Adición y sustracción
Aplicar
14
Adición y sustracción
Aplicar
15
Adición y sustracción
Aplicar
16
Adición y sustracción
Aplicar
17
Adición y sustracción
Aplicar
18
Adición y sustracción
Aplicar
19
Adición y sustracción
Evaluar
20
Adición y sustracción
Analizar
21
Adición y sustracción
Aplicar
22
Adición y sustracción
Aplicar
23
Adición y sustracción
Aplicar
24
Adición y sustracción
Aplicar
25
Adición y sustracción
Aplicar
26
Multiplicación y división
Aplicar
27
Multiplicación y división
Analizar
28
Multiplicación y división
Analizar
29
Multiplicación y división
Analizar
30
Operaciones combinadas
Aplicar
31
Operaciones combinadas
Aplicar
32
Operaciones combinadas
Aplicar
33
Operaciones combinadas
Aplicar
34
Operaciones combinadas
Aplicar
35
Operaciones combinadas
Aplicar
36
Operaciones combinadas
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
11 Números enteros
14 Adición y sustracción
Solucionario de evaluación final
1
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
4 Multiplicación y división
7 Operaciones combinadas
Matemática 8
41
2
Potencias El ADN o ácido desoxirribonucleico, molécula fundamental de todo ser vivo, ya que contiene la información genética que determina las características de la célula u organismo.
El ADN se organiza en estructuras llamadas cromosomas, capaces de duplicarse en la división celular, permitiendo la transmisión de la información genética.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué? Potencias de base entero y exponente natural y su respectiva extensión a potencias de base racional y exponente natural.
¿Para qué? Comprender lo que expresa una potencia y usarla como abreviación de la multiplicación de factores iguales.
Propiedades de potencias y operatoria que las involucren. Aplicar estas propiedades y facilitar el desarrollo en ejercicios que las contengan. Crecimiento y decrecimiento exponencial y notación científica.
42
Potencias
Aplicar el concepto matemático de potencia a situaciones reales.
¿Dónde? Páginas 44 a 47. Páginas 48 a 61. Páginas 62 a 65.
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Qué significa la sigla ADN? 3) ¿Por qué es importante el ADN en los organismos vivos?
Evaluación inicial Interpretar consiste en convertir la información presentada de una manera a otra. Transformar ciertas palabras en otras también es interpretar. En un laboratorio se estudia la reproducción de una determinada bacteria. Esta reproducción consiste en el reparto equitativo del material hereditario (ADN) para formar a partir de ella otras dos bacterias genéticamente iguales. Si este proceso tarda 3 horas, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 12 horas? 1) ¿Qué se desea conocer al resolver el problema?
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
3) ¿Cuántas bacterias se pueden originar a partir de una en 24 horas? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) Completa el siguiente esquema. 1 = 20 bacteria después de 3 horas 2 = 21 bacterias
4 = 22 bacterias
bacterias
Matemática 8
43
Potencias de base entero y exponente natural El organizador de una encuesta telefónica comienza llamando a 4 personas, y cada una de estas, a su vez, a 4 personas más y así sucesivamente.
Para determinar cuántas personas fueron contactadas solo en la tercera etapa de la cadena de llamados se puede utilizar el concepto de potencia. Exponente: número de veces que se considera la base como factor. 43 = 4 • 4 • 4 = 64
Valor de la potencia: resultado de la operación. Base: número que se repite como factor. Por lo tanto, solamente en la tercera etapa fueron contactadas 64 personas. Para determinar la cantidad de personas que integran la cadena de llamados hasta la tercera etapa se resuelve:
1a etapa
64 + 16 + 4 + 1 2a etapa
Para grabar
Para saber más Conjunto de números naturales: = {1, 2, 3, 4, 5,...} Conjunto de números enteros: = {..., –2, –1, 0, 1, 2,...}
Su valor es:
Las potencias son expresiones de la forma an, donde a es un número entero conocido como base de la potencia y n un número natural que recibe el nombre de exponente. Se lee: “a elevado a n”. an = a • a • a •……. • a • a
Positivo
Si la base es positiva.
33 = 3 • 3 • 3 = 27 41 = 4
Positivo
Si el exponente es par.
(–4)2 = (–4) • (–4) = 16 42 = 4 • 4 = 16
Negativo
Si la base es negativa y el exponente impar.
(–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27
n veces a como factor
Ejercita
1. Interpreta las siguientes multiplicaciones y escríbelas como potencias. a. 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5
=
b. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 =
c. (–2) • (–2) • (–2) • (–2)
d. (–7) • (–7) • (–7) • (–7) • (–7) • (–7) =
2. Representa cada potencia como multiplicaciones de factores iguales. a. (–6)7 =
c. 28
b. 114
d. –29 =
=
=
3. Calcula el valor de las siguientes potencias. a. 25
=
b. (–2)5 =
44
Potencias
=
c. (–3)4 = d. 43
=
2
4. Utiliza la defi nición de potencia y completa en cada caso de tal forma que la igualdad sea verdadera. a. (–2) = 64
c. 100 = 1.000.000
e. 7 = 2.401
b.
d.
f.
1
= –27
4
= 625
2
= 6.561
5. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a. 29 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 256 Error:
Corrección:
b. 74 = 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 16.384 Error:
Corrección:
c. (–5)3 = 125 Error:
Corrección:
6. Analiza cada caso y marca el recuadro que corresponda al valor de la potencia. Considera a, b y c números enteros positivos. c
a. c
negativo
positivo
b. (–a)2
negativo
positivo
c. –b4
negativo
positivo
d. (–1)3 • a2 • (–b)0
negativo
positivo
e. (–a)7 • (–b)2 • (–c)1
negativo
positivo
f. (–1)9 • a3 • (–c)4 • b12
negativo
positivo
Ayuda Si a ∈ – {0}, se cumple que: a0 = 1 a1 = a
7. Verifica las siguientes igualdades. Para ello, reemplaza a, b y c por números enteros positivos. Luego, compara con tus compañeros las respuestas dadas. ¿Son iguales? a. ac • bc = (a • b)c
b. ac : bc = (a : b)c
Matemática 8
45
1 =0,15 5 1 10 5 5 =0,1 1 5 5 10 5 5 1 1 1 = 1 • 1 • 1 • 1 • 1 =5 1 = 10 1 5 5 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 1 5 10 5 •100.000 • • = 5 5 1 5 10 1 5 5 1 5 10 10 10 10 1 5 2 10 5 =0,00001 0,1 1 =0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1=0,1 5 =0,1 1 10 1 3 3 3 (–3)2 9 10 5 – = – • – = 10 10 =0,1 10 5 0,15 =0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1 • 1 1 =0,15 5 5 5 52 = 25 10 5 10 5 1 10 5 5 5 5 5 = 0,1 1 10 5 51 151 10 1 55 1 =0,1 5 15 0,1 1 1 factores 1 5 1iguales. 1 1 1 = El diámetro de cierta =0,1 =0,15 expresar 5se puede La expresión como producto de 9 11 5 105 1 =0,1 = = • • • • = 1 1 1 1 1 110 51 1 10 55 5 10 =0,1 10 10 célula animal es 10 = = • • • • = a 100.000 1 5 =0,1510 1 10 1 1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 10 25 5 10 a510 = = 10• 10•5 100.000 = a5= • • 10 1 1015 105 10 1 5 1 5 1 5 1 1 1 1 13 5 1 5 5 5 5 10 100.000 10 a =101=0,00001 10 110•510,10 11 5111=5 1 10,1 •1 1 •1 101•1 1•15 = 1 11=0,1 1 •10,110•1 0,1=0,1 de2 cm. 5 1= 10•510,1 11 55 1051 =10 • •0,1 110 •=0,1 •= 10 5• 0,1=• 0,1 •0,11•100.000 •= •5 0,1=0,1 10 10 = = •515=0,1 • • =0,00001 • = 10 • 1= • 1110 10 1 1 5 1 = 5 =0,1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 5 =0,1 10 •10 5 10 10 10• =•10 10••10 =100.000 •10 • 0,1 10 • 0, 1 10 • 0,1 10 • 0,1=0,1 =0,00001 0,1 5=0,1 10 100.000 10 10 10 110 10 5=10 7 = 100.000 105 10 1 5 = = 1•10 •=110 5 510 10 5 10 = 0 , 1 5 100.000 10 10 10 10 10 55 10 =0,1 1 0,1 =0,1 0,1 0, • • • • 1 0,1 0,1=0,1 =0,00001 1 5 5 100.000 10 10 10 10 10 10 5 5 =0,1 55 1 2 5 5= 5 01,•1 0,1 0,1 •= 0,1=0,1 ==0,00001 0,15•155=0,00001 =0,110 •110,1 •n,0, 0,1 • 0,1=0,1 •0, •0, 1••0,1 0,1 50,1=0,1 10 5 =0,1 11 1 1 • 0,1=0,1 1 1 =0,00001 1 5=0,1 10 0 11 1 •• 0,1 5 10 1 =0,15 1 1 1 1 1 1 51 5 1 0,1 =0,1 0,1 0, • • • • 1 0,1 0,1=0,1 =0,00001 10 = = • • • = 1 1 1 1 1 1 1 1 a – 10 0,1 • 0,1 =0,00001 = = •• , 1 • 0, •• 1 1• 0,1 •• • 0,1=0,1 •• a 10 10 10 10 10 10 =0,1 5= n5 = 0 = = = 1 5 5 1 10 100.000 5 a = a1 que a10 9 5 10 100.000 01,11 10 1 5 1010 1 1 =10 1son 1 =10 1 a =ya 10 Estasexpresiones equivalentes, 0,1• 10 10 10 5 1 111= 0,11. 5a1 1b 15 5 = 10 = 110 =1 100.000 •= • 10 1 • 10 5110 10 1 1 1 1 1 1 0 , 1 10 1 5 10 = = • • • • = 5 a = =0,1 • 0,1 b 5 =0,00001 155 =0,00001 0=,110 1 1 1 1 1 =0,1 1 1055= 0,1 • 0, 1 • 0,1 • 0,1=0,1 = 100.000 • 10• 0, • 10 • 10 • 10 = 10 5 a1•100,1 11 •• a0,1 0,1=0,1 ••10 5 5 10 100.000 10 10 10 10 = 0,1 = • • • • 10 6 = a 1 0,1 =0,1 0,1 0, • • 0,1 0,1=0,1 =0,00001 10 a = 10 100.000 10 10 10 10 10 10 a a – 10 10 10 10 10 10 105 5 100.000 51= 5 a= a • 0,a1 =• 0,1 5 5 a 0,1 • 0,1=0,1 =0,00001 5 = •55 0,1 11 5a =0,1a1•a==0,1 5b1 4 1 0,1 =0,1 0, • • • 1 0,1 1 1 • 0,1 • 0,1 • 0,1=0,11 =0,00001 = 0 ,,11 5• 0,1 5 0,1=0,1 ==n 0,n1 =0,00001 =0,1 ==0,00001 = 0 10 0,15 5=0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1=0,15a0,1 1 b Para 10 n 1 1 5grabar a 1 a a a 5 1 n 10 5 an = • • ............... • a = a = 0,=1 51 = 55 2 ,a1 1 5 = n 5 = = 0 –1 a a a 0,1de5base 5a= 10 n =ba b b b a an a 1 a = Las potencias racional y exponente natural 1 10 b Ejemplos: 1 = 0 , 1 b a = n 5a10 5 = n = ............... • • • = 1 b n 10 n a11 a n 1 b b b b b 2 b a a a 2 a = a a a n a = 3 5 3 3 3 (–3) 9 a es la base b a ; con b a =3 a a5a==lan515forma 0, donde 2 5 = = = – – – = • son de 2 1 – = • • = ba 1 5 b b b 5 = 1 n 5 5 52 25– 3 = – 3 • – 3 = (–3) = b 5 1 5b=5511 a b 5 n 5 5 5 52 a n a an a 5 = n baaSi9sen aescribe a a 55 5a=n1 bnatural como decimal: = = ............... • • • na a a a a y el número n el exponente de la potencia. a 1 5 = n 1 aa b = • b• ............... •bba= n ba ba ba ba 9 1 = • • • • = 1 ba nn1 bn n n 25b= 2• = (–0,6) • ............... • = = n0,36 = b (–0,6) b b b n n n b • (–0,6) a a a a a b a 2 n n n 32 ba a=n n • a •a............... a •a =aa n a n 2 a aa a aab3 b3 3ba a3 (b–3)2b 9 25 = n bb•• ba•=............... • = a 4 5 aabn b ab= ba• a•............... 222 = 9– • •=– = 5 3 = n a b b•b =b3an b 3bbn =3b=•(b––3)•............... a a a b = •b •............... =b ••bba•=............... b11 1 – – – = • b 5327= 53 b b53 (–53)2 2 25 9 2 n 2b = b a n b b b 2 b 3 2b a(–3) 95b 5 2 2 5 –5 n = 25– • – = 2 n= 10 • • • =0,0625 bab n b 3 b 2 3nfactores a 10 =2 2 3 9 (–3) 3 9 3a95 a32 a5 (–3)2 5 9 a 5 a 25 7 ba n 2 a– a 3=–2 •3––a3 a==3nnb– 32(–3) –= =9 2 –= = – •=–1 •= • ............... • = 5 5=2–a 39=5 (–•23)925 2 =53– ••3(–a5•3) ba3n ==a 5••3–a ••3............... 3 5 5 5 25 25 – b5 b 52 = 25 b bn =ba–5nn=5n 5 5=25 ............... b 1 9 – – = • b 1 1 5 5 5 5 5 n 8 b b b b a a a a n =b– b • = = – – 2 9 saber b b =0,1 25 n Para más b =0,1 a a n 5 •5 a5=2 a5a25 a5 = a9 • 5a •5............... 3 5a a 25 – a10=a 10a • • =– an a 216 b 22= b • 9b • ............... 232 53 3 (–3)2 9 9 •9b =2bnn = •3 • ...............9 • = n25 b b b b 2 9 b – 3 =6– • – = b33 25 2 = • •5 ............... • = n 33b9 33 ((b––3) b b = 3) 9 9 5 b b –– 152 == 1–5– 25 75– 5 5 52 25 5 2 25 1•• –– 1==25 22 2 == 2 3 b 1b 1racionales: Conjunto ( b)de 12números Ejercita 1 1 1 1 1 2 25 5 5 5 7 ( 3) 9 3 3 3 – 5 2 3 25 – 6 = = 3 3 3 (3–3) 79 24 –553= •3– 53 = 2(–53)2 = 25 =•25– 53 5=== 2 • • • • 9 2 (–10 10 10 310 = = 2 – = – 2 • – 2 3 100.000 10 2 10 4 3) 9 3 3 100.000 10 10 10 9 1 10 –52•– 5 = 52 = 25 2 5 15 5 52 25 – a = – • – = = 99– 53 = 7 5 – = 5; a,b ∈5 y b ≠ 0 2 25 – 7 57 5 75 255 5 =0,00001 91– 2 5 5b =0,1 25 5 0,125• 0,1=0,1 1. Calcula el valor de cada potencia. 5 • 0,15 • 0, 0,1 0,1 0,1 • 0,1=0,1 7 2 – 97 =0,00001 2 25 0,1 =0,1 1 • 0,1 25 9 9 3 5 3 1 2 2 2 9 5 – 1 2 9 9 1 entero 1 a puede ser 252 3 2 – 1 2 – 1 25 Todo número 5 – 6 3 5 = 0,1 252 3 9– 1 = 0 , 1 – 5 6 a. = d. = 1 expresado de forma racional. 3 25 10 10 –2 3 9 7 4 7 3 –59 9 2 3 – 6– = • • = 3 3 7 6 9 5 – 4 2 5 9 5 a 2 2 a 5 7 22 – – = • • = 5 6 14 a= a = 7 1 5 6 5 – 6 7 5 – – 2 5 5 – 1 2 4– 6 1 7 1 –9251 e. –1,5 2 6 1 – 4 2 – b. = = 4 4 2 5 = • • • • = 5 – 9 1 – 5 911 2 5 4 25 1 – – 5 Ejemplo: 5 5 = 4 32 = • • • 5 2 5 – 53 51= 5 2 65 – 1 – 9 5– 2 5 2 9 1 3 6 3 5 4 – 9 – 65 5– 2 9 n – n – – = = • • 3 31 a a – 265 –35 5 5 – = • 5 • =45 4 3 3 = = • • • =0,0625 c. –– 4 = f. (–0,4) 5 4 1 6 5 – 5 5 = • • = 565 3 3 3 – 6b b 3 = • • • 25 5 – – 4 5 – = • 3• = 435 5– 333= –• =• 4 =• 1 •5 = – 3 = – 1• 5 =•3 =• 1 • • • = 1 – 2 2 4 = 5• • 5= a a –– 32 5 = – nición de potencias de base racional para completar cada uno de los 5 • = = •5 • 5•1 • == • • =– 8 32 1 3 2. Utiliza la defi 5•5 5 – 55 2 5 8 = • • • • = 32 2 5 216 3 b 2b – 5 33 1 =5 • 1 • – • • = 1 5 1 4 32 = • • =– casilleros. – n 3 5 1 1 1 1 n 5 4 3 1 21 5 1 = • =• •• •• 32 n 5 5a a a a a =• • ==– (• 4)==• • •• • •• == • =0,0625 a a•n a = a –– 133 = = •• ••= = =• • 3 • 1 • = =321• • 32 = • = • ............... 5 32 • • ............... • =0,0625 = • 5 3 1 3 = • • • • = n 4 () 3 b bn b ba. – 5 a • • • =0,0625 35= 1 • 4 • = 4– 3 = 32 • • 32 =4d. 53 = 3b b b b b – = = • • 5 1 = ; a, b ∈ y b ≠ 0 8 – =2 1 5 1 = 4 • 1 • 5• =0,0625 1 2 1 •3 • 1=0,0625 2 51 45= 1• =• •• =•• = • • ==•b ••• ••=0,0625 = a (–33)2 (–3) 5 3 3 •3 •33 = •• 1 =0,0625 = •38 9 =– 9 = ; a, b ∈ y b ≠ 0 1 • • • • = = – =–– =•–– •=– = = 32 5• = • • =0,0625 = • • =– = 32 216 1 8 = 3 • • • =0,0625 b 1 32 1 55 5 5 55 552 5252 25 11 5= = • • =– 216 • 4= 4 • 3 • • 3 • =8= 1 • • •3 e. 0,2 1 1 = • • = 0,008 b. 216 8 1 = • • • • = 1 4= •= 3 • • • • •=– = 328 8 3 = • =• =– •( 32 • =– = ( )• =32 •=– • • =0,0625 9 9 216 • 8 ) • • • =0,0625 32 1 4= 216 ( ) = • =• •• 8=0,0625 • 4=–216 216 1 4 • • =– = =0,0625 25 4 25 = 3a ; a, b ∈ y b ≠ 0 1 = 216 1 (=) • • • 216 1 3 ba = a•; a, b (∈• ) y •b ≠0=0,0625 8 = 2 3 • • • =0,0625 3 33 = ( ) • • ( )• 8=0,0625 2 = • • = f. c. 0,5 = =; a, b ∈• y b• ≠ 0=– b ( ) 8 a • • =– = ( ) 3 = • ≠a216 a,ab ∈• y=– 3 7 7 = ; b 0 3 a b b ∈ 216 8 216 = ; a, y b ≠ 0 8 = =b• a; a,• b ∈=– 3 = ; a, b ∈ y b ≠ 0 y b ≠ 0 ≠ 0= • • =– 2 by216 8 a, b0∈ b ( =) a ;=a, b by b;•≠ =– () = 1 •2 • =– 8 ∈ =• b 216 1 b ( ) 216 b – 46 Potencias 216 – a ( ) aa ( ) 9 9 = ; a, b ∈ y b ≠ 0 ( ) = ; a, b ∈ y b ≠ 0 ( ) 5 5 b = bba ; a, b ∈ y b ≠ 0 6 a b n n a a a = • • ............... • a = a b b b b bn
Potencias de base racional y exponente natural
2
3. Comprueba si el área (A) del triángulo es 0,28125 m . 2
A:
3 4 2 3
m cm 5
1 1 1 1 3 m = • • • 1 • 1 • 1 = 1 3 3 3 3 4 3 3 3 729
4. Calcula el volumen (V) de cada cubo.
2
cm a c 4,8 cm m , 3 4 b d 5 1 n 1 1 1 1 1 1 n n 1 2 a c a c = • • • • • = cm • = • 3 3 3 3 3 3 3 729 3 b d b d 5 a cn 1 1 1 1 1 1 1 n n , = • • • • • = 1 a c a 3 3 3 3 3 3 3 729 : = :bc d b d b d n n n a c a c a c • = • , b d b d b d V: n n n n n n a c a c a c a c : = : • = • b d b d b d b d 3
a.
V:
3 4 2
b.
n
a b
m
n
n
c a c : = : d b d
cm 5. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. 3 5
1 1 1 1 1 1 1 1 a. = • • • • • = 3 3 3 3 3 3 3 729 c aError: , b d n n n a c a c • = • b d b d n
n
n
a c a c : = 6 : b. 0,00001 b d = 0,1 b d 3Error: 4 23
Corrección:
m
cm m 3 4 5 21 1 1 1 1 1 1 1 cm = • • • • • = 33 3 3 3 3 3 3 729
3
Corrección:
4 2 3
m cm 5
1 1 1 1 1 1 1 = • • • • • = 1 3 3 3 3 3 3 3 729
6. Verifica cada una de las siguientes igualdades. Para ello, reemplaza a , c por números 5
a1 c 1 1 1 1 1 1 racionales y n por un número natural. , = • • • • • = 1 b3 d 3 3 3 3 3 3 729 n n n aa c c a c = • • a. , bb d d b d nn nn nn aa cc aa cc •: = = •: b b dd bb dd n n n a c a c b. : = : b d b d
b d n n n a c a c • = • b d b d n
a b
n
n
c a c : = : d b d
Matemática 8
47
Multiplicación de potencias de igual exponente Se necesita pintar el fondo de una piscina rectangular como la de la figura.
Para llevar a cabo la tarea, el pintor debe calcular el área de la superficie del fondo de la piscina. Esto se hace de la siguiente manera: Ancho: 23 m
Largo: 33 m
Área de la superficie del fondo de la piscina: 23 • 33 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 = 2 • 3 • 2 • 3 • 2 • 3 = (2 • 3) • (2 • 3) • (2 • 3) = (2 • 3)3 = 63 = 216 3m
Por lo tanto, la superficie del fondo de la piscina mide 216 m2.
Para grabar 3 m 3
23 m
Si se multiplica una potencia an por otra potencia bn, con a, b ∈ y n ∈ , resulta una potencia de base (a • b) y exponente n. an • bn = (a • b)n
En otras palabras: “Al multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente”.
Ejemplos: 22 • 32 = (2 • 3)2 = 62 = 36 3
3
3
1 3 1 2 23 8 • 2 = • 2 = = = 3 3 33 27 3 2
¿Qué unidad de medida tiene la superficie del fondo de la piscina?
1 112 • 121
Ejercita
2
2
sola potencia.
1 • (82 )2 64
a. (–1)4 • 24
=
e. (–3)5 • 25
b. 52 • 92
=
c. 43 • (–5)3
=
d. 0,163 • 0,163
=
1 23 • 423 1 3 = 2 3 233 8 f. 0,5 1 • 2 = 1 • 2 = 2 = 2 = 8 3 • 23 = 3 • 2 = 3 = 333 = 27 3 3 3 27 3 2 2 g. 1122 • 11 = 11 • 121 121 2 2 125 2 1 2 125 3 1 3 = 3 3 h. 1 13 3 •• ––1125 3 223 223 88 11 • 2 3= 1125 3 •22 =3 ••22 == 3 ==33 ==27 31 2 23 2 3 33 27 2 1 • (8 22 ))2 64 1• (8 2 64 11 • 1 112 •3 3 2 3121 1 3 – 2 2121 2 • 2 2• •2122 1 2 = e. (3 • 4) 125 – 3 125 1 13 ••2––125 1 125 2 2 f. 11 • (822)22 = 64 • (8 ) 64 3 3 2 3 1 3 – 2 • 1 g. –3 •2 = 3 2
2. Calcula el valor de cada expresión. a. (8 • 2)2
=
b. (3 • 2)3 + 42
=
c. (–5)3 + 5 • 25
=
d. (–1)0 • 1100 • 1100 =
48
Potencias
2
125 1 1 • – 125 1. Aplica lo estudiado en la sección “Para grabar” y expresa cada producto como una
3
h. 0,252 • 0,52
3
2 – 3
= 1 3 •
2
3
3
=
3. Resuelve los siguientes problemas usando las propiedades de las potencias hasta ahora vistas. a. ¿Qué potencia de base 28 representa la medida del área del terreno según la figura? Y si las dimensiones cambian a 16 m su largo y 4 m su ancho, ¿cómo se expresaría su área en una potencia de base 4?
2
16 m 72 m
b. Las figuras representan una caja rectangular de 43 cm de alto que ha sido dividida en 16 cubos, todos de igual dimensión. ¿Cuál es el área (A) pintada de azul en cada caja? Expresa tu resultado como potencia.
A:
A:
4. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a. 73 • 53 = 356
b. 0,354 • 0,154 = 0,54
Error:
Error:
Corrección:
Corrección:
5. Verifica las siguientes igualdades. Para ello, reemplaza a, b y c por números enteros positivos. a. ab • ac = ab + c 3 1 – • 23 = 13 2 c
a b. b
d
•
c+d
a a = b b
Matemática 8
49
División de potencias de igual exponente Se quiere reemplazar el piso de una casa de superficie cuadrada de lado 9 metros por otro tipo de piso más duradero. Este solo se vende en piezas cuadradas de 3 metros de lado.
Para determinar la cantidad necesaria de piezas cuadradas del nuevo material se puede calcular el cociente entre las áreas del piso de la casa y del cuadrado del nuevo material. Área del piso: 9 m • 9 m = 81 m2 Área de cada cuadrado: 3 m • 3 m = 9 m2 Entonces, el número de piezas está dado por: 81 : 9 = 9 Por lo tanto, se necesitan 9 piezas cuadradas de lado 3 m cada una para cubrir el piso. Además, observa que se cumple lo siguiente:
3m 9m
81 : 9 = 92 : 32 = (9 : 3)2
Para grabar Al dividir una potencia an por otra potencia bn, con a, b ∈ y n ∈ , se obtiene como resultado la potencia de base (a : b) y exponente n. an : bn = (a : b)n; b ≠ 0.
En otras palabras: “Al dividir potencias de iguales exponentes, se dividen las bases y se conserva el exponente”.
Ejemplos: 0,362 : 0,62 = (0,36 : 0,6)2 = 0,62 = 0,36 3
4 64 43 : 53 = (4 : 5)3 = = 5
125
6
6
1 1 – : 9 81
Ejercita
3
3
2 – : – 4 1. Aplica lo estudiado en la sección “Para grabar” y expresa cada cociente como una 14
7
sola potencia.
2
4 33 7 :64 e. 0,25 0,57 44 == 64 64 55 =125 125 6 5 6 125 6 1 6 1 6 = f. – 11 : 11 6 b. 643 : 43 ––9 :: 81 9 811 3 9 3 8 23333 4 33 : – 4 2 64 64 4 = g. –4–472 c. 0,34 : 0,274 –7== :: ––14 14 557 125 14 125 2 1 6622 66 –1 111 121 1 3 3 –1 = h. –––133 :: :3 d. 1.000 : 0,1 993 8811 5 3 2 3355 32 331 33 3 – 2 2 : 32 44 1 3 3 –5–5 ••• 51 ••• 55 32 –––2 33 ::: 2 5 2. Calcula mentalmente el valor de cada expresión. 5 5 773 2 14 5 2 14 1 2 3 3 10 ,31111:52:–4353–11–(–11) 10 a. (2 : 5)4 : (2 : 5)4 = d. 0(–2) : 11 : 25 10 3 25 10 –1,3 –1 0 2510 :: 25 2510 0 ,31::––5 –– 25 33 5 5 55 33 2 32 1 b. (4 : 2)2 : (9 : 81)2 = e. ––2 :: 325 •• 1 •• 5533 33 225 55 11 33 = f. 00,3 c. 252 : 52 + 82 251010:: 25 251010 ,311:: –– –– 25 55 a. (–121)5 : 115
Ayuda Para facilitar el cálculo mental: 1° Analiza el ejercicio completo. 2° Intenta simplificar expresiones. 3° Aplica las propiedades.
50
Potencias
3
=
=
1 –1 3
5 3 2 32 1 – : • 53 • 3 25 5 = 1 3 0,31 : – – 2510 : 2510 5
=
=
=
=
=
2
3. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. Error:
Corrección:
Error:
Corrección:
Error:
Corrección:
a. 95 : (–2 • 5)5 = 0,95
5
2 32 : – = 3 243
5
c
a a : = b b
4 b. 9 a b
d 4
d
c- d
d
d
4 c 4 a : (–0,3) c. 0,27 : c = =a •–0,9 b d b • d
4. Resuelve el siguiente problema. La figura representa una caja rectangular donde la superficie de la parte superior mide 1.024 cm2.
4 cm
42 cm
a. ¿Cuáles son las longitudes de la caja?
b. ¿Cuánto mide la superficie de cada cara de la caja?
c. Calcula el volumen máximo de la caja.
5. Verifica las siguientes propiedades de potencias. Para ello, considera a, b, c y d números enteros positivos. Luego, comenta tus resultados con tus compañeros.
a. ab : ac = ab–c ; para b > c. 5
5
4 2 : – = 32 9 3 243 5 5 4 c 2d c- d a : –a = a 32 ; para c > d. b. 9 : 3 = 243 b b b c d c- d a d a d a d a : c = a • c b : b = b b d b • d d d d a c a • c c. : = b d b • d
Matemática 8
51
Multiplicación de potencias de igual base Se desea comprar una alfombra que cubra el piso de una habitación rectangular, como muestra la figura. 25 m
22 m
¿Cuántos metros cuadrados de alfombra se deben comprar?
El área de una superficie rectangular se puede calcular multiplicando la longitud del largo por el ancho. 25 • 22 = (2 • 2 • 2 • 2 • 2) • (2 • 2) 5 + 2 = 7 factores = 27 = 128 Por lo tanto, se deben comprar 128 m2 de alfombra.
Para grabar Al multiplicar potencias de la forma am y an, con a ∈ y m, n ∈ , se obtiene como resultado la potencia de base a y exponente (m + n). am • an = am + n
En otras palabras: “Al multiplicar potencias de iguales bases, se suman los exponentes y se conserva la base”.
Ejemplos: (–2)3 • (–2)1 = (–2)4 = 16 2
3
1 1 1 1 • = = 3 3 3 27 1 36
Ejercita
3
1 6
•
1 1 1 1. Aplica lo anterior para escribir los siguientes productos como una sola potencia. • •
Observa el ejemplo.
2
Ayuda Recuerda que: an = (–a)n Si y solo si n ∈ es un número par.
27 • 32 = 33 • 32 =31 3 + 2=1 32 5 1 3 11 2 1 •• 1 == 1 ==– 1 33 33 33 27 427 3 x 1 1 1 1 3 15 2 • – ==– 1 a. 10 • 10 = c. 1 • 1 3 3 27 36 • 6 2 3 36 6 2 3 11 1 •11 1 1=1 1 0=,61 15 • 0,69 =0,6x 1 1 1 • = • • 3• 3• 3 = 27 d. 8 = 5 x b. (–3)5 • (–3)4 • (–3)1 = 3 64 3 22 3 27 2 1 1 8 564 2 33 4 0,2 : 0,6 • = ) 3 3 2 ( 4 4 21 5 12 3 3 2 3 112• ••11 2 • 12 •1 4 • • • 2. Calcula el valor de cada expresión. 3• 663 36 36 = 3 = 9 33 2 33 33 27 9 1 21 1 = d. (–3 a. (–4)3 • 42 1–•1•131• 2•3•3•143) : (42 • 41) = 641 2 8–1 464 8 •5 23 2 3 4 4 1 1 1 1 36 5 6 3 4 • 1 = 2 = 22xx •22 •22 •44 • 0,25 1 1 • 1 • •0,6 = e. 0,36 = b. 0,25 1 •1–311•=– 3 3 3 27 331 99 133 3 • • =– – • 332 27 8 33 64 3 2 27 2 1 1 1 5 5 39 4x 1 • 4 7 5••:0,6 –2–,6 0 3 2 9 =0,6 1 x 4 2 2 0 ,6 0,6 =0,6 c. (2 • 2 ) : 2 = f. 16 • 16 = 36 6 44• • •5 3 2 3 2 31 5 9 1 xx 1 x 1 1 1 0,2 2 •• 11 = 1 1x 22::0,6 • • 0,6 = 10,2 =–133 33 1• •––1 =– 8 64 2 3. Encuentra el valor de x en cada caso. 3 3 27 3 5 3 4 – 4 3 27 2 x 2 2 4 =15 • 3) 0,699=0,6 =0,6x x a. (5 d.00,6,65 5• •0,6 x= x= x 3 • 3 • 3 • 9 1 1 5 x •2 – =– 1 5 x 2 2 2 •11 =11 2 : 0,6 0,2 2 1 x 364 31 • x5: =0,6 • 27 b. 4– • 4 = 47 e. x0,2 x= x= 33 = 33 5 9 x 4 0,6 • 0,6 =0,6 x
1 c. 3
1 1 • – =– 3 27
x=
0,65 • 0,69 =0,6x
52
Potencias
3
8 64 2 5 3 4 2 2 2 4 • • • 3 3 3 9
5
x
1 1 0,2 : 0,6 • = 3 3
(
2
2
)
((
))
((
))
5
x
1 1 f. 0,2 : 0,6 • = 3 3
(
2
2
)
x=
4. Resuelve el siguiente problema. La figura representa un trozo de madera de forma rectangular dividido en cubos de igual dimensión. ¿Cuál es el área de cada cara del trozo de madera? ¿Cuál es el volumen del trozo de madera?
2
24 cm
5. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a. 82 • 87= 814 Error:
Corrección:
b. 0,312 • 0,32= 0,310 Error:
Corrección:
6. Verifica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifi ca tu respuesta. a. (a + b)2 = a2 + b2; con a, b ∈ .
b. am • an = an - m; con a ∈ y n, m ∈ .
c. El volumen de una caja cuyo largo, ancho y alto miden 4 cm cada uno es 64 cm3.
d. Sean a, b ∈ , entonces: (a + b)2 • (a + b) = a3 + b3.
Matemática 8
53
División de potencias de igual base Una piscina con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de 210 m3 de agua. Si se sabe que la superficie de la base mide 28 m2, ¿qué profundidad tiene la piscina?
Profundidad (Altura)
28 m2
Para obtener la profundidad de la piscina basta con dividir la capacidad de agua que esta puede contener por el área de la base, ya que el volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura, se tiene que: Volumen = Áreabase • Altura Profundidad =
Volumen Áreabase
210 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 10–8 2 = =2 =2 =4 210 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 10–8 2 28 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 Entonces: 8 = =2 =2 =4 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 1 1 1 2 : • – 1 1 1 8 4 2 Por lo tanto, la: profundidad de la piscina es de 4 m. • – 3 8 4 2 1 1 2 3 : • 2 : 4 1 1 Para grabar 3 3 : • 22 : 4 3 3 1 2 Al dividir dospotencias de igual base En otras palabras: Ejemplos: 4 4 4 3 n m 1 a y a , con a ∈ y m,n ∈ ,2 donde “Al dividir potencias5 de: 5 • – : 5 1 4 9 93: 3 = 3 = 81 4 4 igual base, se restan n > m, se obtiene : 54 : como 53 • resultado – 9 9 los exponentes y se 2 0,2 : 0,2 = 0,2 la potencia de base a y exponente conserva la base”. (n – m). an : am = an – m
(
Ayuda Para la propiedad: an : am = a n – m Si m = n se tiene que: an : am = a n – m = a0 = 1
Volumen Áreabase
(
)
)
Volumen Áreabase
Ejercita
210 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 10–8 2 = =2 =2 =4 1. Aplica la propiedad anterior dada en la sección “Para grabar” y expresa en una sola potencia. 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 28 = d. 1 : 1 • – 1 = a. 57 : 54 8 4 2 3
1 1 2 :4 • 2: 9) b. –3 • (3 : 3 ) = e. 37 :3:5 • (81 = 3 3 Volumen 1 Áreabase 4 2 4 3 5410:• 50,16 • – : f. 0,4 c. 625 • 25 • (59 : 57) = 2 2 ⋅ 2:⋅20,4 ⋅92⋅ 2 ⋅ 2 ⋅92⋅2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 10–8 2 = =2 =2 =4 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 28 Volumen 1 1base 1 Área 2. Calcula mentalmente el valor de las siguientes expresiones. Para ello, aplica la : • – 10 4 8 estrategia usada en la actividad 2 de la página 50. 2 2 ⋅ 2⋅ 22⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 10–8 2 = =2 =2 =4 8 3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2 1 1 a. 64 : (–6)1 = d. : • 22 : 4 = 1 3 1 3 1 : • – 8 4 2 2 1 4 4 43 3 0 : •0,16) 51 : 5: 0,16) b. 0,23 : 0,21 • 0,20 = e. (0,4 = 1• –22 +(0,4 : • 2 9: 4 9 3 3 11
9
c. (33 • 23 • 43 ) : 24
54
Potencias
=
(
)
(
)
(
)
2 4 4 3 f. 5 : 5 • – 9
1
4 : 9
=
3. Calcula el valor de x en cada caso.
492 –37 : 33 = x 0
a. (42 • 45) : 4 = 4x
x=
492 –37 : 33 = x
b.
10 9 1 1 1 =x – 2–3: 7 : 33 = x• d. 49 5 5 0 25 10 9 1 1 9 1 4 x 5: :• (–3) – :29) 0,7 e. (81 • ((–3) = =3)x= (–3)x : :0,49 5 5 425 9
(
x=
0
10 9 1 1 1 5 • 35 )• = 6= x x = –• x) 6 :: (2 c. (3 5 5 25
)
3
3 x 9 114 =: 0,75 f. 0,75 = 0,7 : :0,49 4 4 9
(
29
)
x=
2
x= x=
3
13 a = : = 0,75 0,75 (0,7 : 0,49 ) : 49 = 49 4. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a 4 x
2
2 2
7
–n
11
n
1 1 –3 1 a2–n == n 3 = 6 a2Corrección:
3
49 –3 : 3 = x a. 98 : 9 =9343 0 910 9 11 0,75 Error: 1 : 41 =0,751 =x – : • 5 1 5 25 a–n = n 9 4 a 0,72 : 0,49x : = 1 1 4 9 2–3 = 3 = 3 2 3 6 b. 0,759 : = 0,7511 4
(
9
2–3 =
)
1 –n aError: = n a 1 1 2–3 = 3 = 6 2
1 1 = 3 6 2
Corrección:
5. Resuelve el siguiente problema. En la figura se muestra un trozo de madera rectangular que está compuesto por 16 cubos de madera de igual dimensión. ¿Cuál es el volumen del cubo destacado?
23 m
492 –37 : 33 = x
2
7
3
49 –3 : 3 = x 6. Analiza las siguientes proposiciones y determina su valor de verdad. Justifi ca tu respuesta. 1 1 1 10
9
0
0 – : • = 10 9 x 1 5 5 251 1 =x – : • 5 5 25 9 4 a. am : an = 0,7 an – m2 :; 0,49 paraxa ∈ : ;=n, m ∈ , donde m > n. 4 0,792 : 0,49x : 9 = 4 3 4 9 3 3 0,759 : = 0,7511 3 4 0,759 : = 0,7511 4 1 –n a = n 1 a b. Si a ≠ 0, se cumple que a–n = n . a 1 1 Luego, 2–3 = 3 = . 1 1 6 2 2–3 = 3 = 6 2
(
)
(
)
Matemática 8
55
EVALUACIÓNINTERMEDIA Potencias de base entero y exponente natural.
1 Representa cada potencia como multiplicación iterada. b. (–3)4 =
a. 54 =
2 Calcula el valor incógnito que hace verdadera cada igualdad. a. 6 = 216
Potencias de base racional y exponente natural.
c. (–2)3 =
b.
3
c. –32 =
= –125
1 1 4 3 Resuelve el siguiente problema. 4 1 El ancho y el largo de un rectángulo miden 1 cm y 1 cm, respectivamente. 8 8 4 1 ¿Cuál es su área? Expresa el resultado como1 una potencia de base 1 . 2 2 8 3 3 1 1 1 – – 3 3 2 3 2 1 2 1 – 1 3 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 – – 2 2 2 4 4 4 2 1 1 1 1 – 2 8 8 8 1 1 1 4 Calcula el valor de cada potencia. 2 2 2 3 3 3 1 b. 0,022 = c. – =– 1 a. 0,33=– 1 3 3 3 2
Multiplicación de potencias de igual exponente.
2 1 1 2 1 2 2 2 propiedad de producto de potencias de igual exponente y calcula su 5 Aplicala valor. 2
2
1 a. 2 • – = 2 2
b. 100 • 0,001 = 3
3
1 1 2 – 2 • = c. (–0,5) – 2 2
6 Resuelve el siguiente problema. El largo y el ancho de un rectángulo miden 0,095 m y 35 m, respectivamente. ¿Cuál es su área?
56
Potencias
2 División de potencias de igual exponente.
7 Calcula el valor de las siguientes divisiones de potencias de igual exponente. b. 0,000210 : 0,000110 =
a. 1624 : 544 =
8 Resuelve el siguiente problema. Se producirán 503 litros de una sustancia que vaciarán en recipientes de 53 litros cada uno. ¿Cuántos recipientes se utilizarán como mínimo?
9 Aplica las propiedades de las potencias para resolver. Multiplicación de potencias de igual base.
a. 34 • 3 =
b. 0,25 • 0,23 • 0,22 =
3
2
5
3
2 2 c. • = 3 3
2 2 : • 0,42 = 5 5 El largo y el ancho de un terreno rectangular miden 2,54 m y 2,52 m, respectivamente. ¿Cuánto mide su superficie?
10 Resuelve el siguiente problema.
3
11 Aplica las propiedades de las potencias para resolver. División de potencias de igual base.
5
b. 0,35 : 0,32 =
a. (–0,01)100 : 0,0198 =
2
2 2 • = 3 3 2 c. 5
3
2 : • 0,42 == 5
12 Resuelve el siguiente problema. En la figura se muestra una caja rectangular de base cuadrada. ¿Qué valor tienen las otras dimensiones de la caja si el volumen máximo que puede contener esta es de 82 cm3?
alto = 16 cm
ancho
largo
Matemática 8
57
Potencia de una potencia Si la longitud de la arista de un cubo es x cm, su volumen (V) es x3 cm3. ¿Cómo calcularías el máximo volumen contenido en una caja cúbica como la de la figura?
El máximo volumen contenido en la caja cúbica de lado 24 cm está dado por la potencia de base 24 y exponente 3. Al calcular resulta: V = (24)3 = 24 • 24 • 24 = 24 + 4 + 4 = 23 • 4 = 212 = 4.096 Así, se puede concluir que el volumen de la caja es 4.096 cm3.
Para grabar Si (an)m, con a ∈ y n, m ∈ , se obtiene como resultado una potencia de base a y exponente (n • m). (an)m = an • m
24 cm
Ejemplos:
En otras palabras: “La potencia de una potencia se puede resolver conservando la base y multiplicando los exponentes”.
2
2 2 3
4
2 16 = = 3 81
10
(962)20= 92 • 0 = 90 = 1 36
Ejercita
3
(–2)3 52
1. Aplica la propiedad anterior dada en la sección “Para grabar” y calcula las siguientes 2 potencias. • (2 ) 4 5
2 2 2 3
2 ) a. (–10 3
4
2= 16 = = 3 81
5
2
2
4
2 0 4 2 16 d. (–0,2 )= == 3 3 81 10
10
2 b. ( 655)1 36
=
5
62 e. 36
= 3
( )
10
3
2 2 2 • = 5 5 5 5 3 3 1 1 1 1 • • • = ( 3 3 2 2
(–2)3 52 22)1 = f. (–0,16 = 2 4 2 5 2 16 5 5 = =5 5 2 5 2 322 •3254 81 • 25 2. Calcula mentalmente el valor de las siguientes expresiones. 2 10 = 2 = 16 4 4 2 2 35 6 3 10 2 30 81 4 0 2 3 2 4 10 ) ) a. ((2 ) ) : ((3 2 ) ) 10 = d. ((–0,5 = ) )3 • ((0,5 2 102 2 2 36 2 2 2 • = 2 • = 62 3 4 52 3 5 2 516 5 5 5 = = (–2) 5) 3• (3 36 2 3 3 352) : 581 b. (–3)3 • (–3)5 2 : 25 3 = 3 e. (25 = 51 2 31 1 1 6 1 1 1 1 • • • 3 10 = ( (–2) • • • = ( ) 2 3 2 2 5 3 6 2 2 3 3 2 25 5 5 c. ((–100)5)2 : ((105)0)2 = f. 36 • 25 = 4 5 5 3 5 2 3 (–2) •325 10 2 2 5 42 2 3. Aplica las propiedades de las potencias y completa. • = 5 5 5 3 5 10 5 d. 22 • 25 5=52 3 3 a. 25 • 25 = (22) 51 •152 51 1 4 • • • = ( 3 3 5 2 3 2 3 110 13 3 101 1 13 2 =•2 • = ( b. (32 • 35)2 : ( 33 • 310) = 3 e. 0,1 2 • •0,1 • 3 = 2 2 3 5 5 5 5 3 3 1 1 1 1 5 2 14 c. (7 • 7) • 7 = 7 f. • • • = ( 3 3 2 2 3
(–2)3 c. 2 5
5
( )
)
6
( )
( )
( )
58
Potencias
)
6
)
6
)
6
)
6
4. Representa como potencia de una potencia las magnitudes pedidas en cada caso. a. El volumen (V) del cubo.
2
V= 63 cm
b. Si aumenta la medida de cada arista del cubo en la mitad de su longitud inicial, ¿cuál es su nuevo volumen (V)? V=
5. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. 3
10 1 a. 0,55 • =0, 535 2
Error:
Corrección:
b. 87 • 20 = 167 Error:
Corrección:
6. Verifica el valor de verdad (verdadero o falso) de la siguiente proposición. Luego, responde. Si a ∈ y n, m ∈ , entonces se cumple que: (an)m + 2 = ((an)m)2.
a. ¿Qué ocurre si n = 1 y m = 2?
b. ¿Existen otros valores para n y m tal que la igualdad se cumpla?
Matemática 8
59
Potencias con exponente negativo La columna amarilla corresponde al valor de la potencia de 3. ¿Qué relación tienen los valores de las potencias? ¿Cómo completarías la columna? Potencia
Valor de la potencia
34
81
3
27
3
32
9
1
3
3
0
3
1
3
-1
3-2 3-3 3-4
Ayuda Las propiedades vistas para potencias con exponentes positivos son igualmente aplicables para potencias con exponentes negativos.
Para completar las casillas se tiene que dividir cada valor de la potencia por 3. Así se obtendrá el valor de la potencia de la fila inferior. Por ejemplo, si divides 81 por 3, el cociente es 27; si divides 27 por 3, el cociente es 9, y así sucesivamente dicha relación continúa en cada casilla.
1 3 1 1 1 1 1 1 1 –3 –2 y0 3–4 = 4 = 1 : 3 = de 3los = ; 3 = 3 =restantes. 1 =valores 1 –1 0 2 las potencias –1 De manera similar se3pueden calcular –1 0 3 9 =3 :3=1:3= 3 3 3 27 = 33 : 3==33 1 :: 33 ==81 1:3= 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 3–2 = : 3 = 2 = an ; 3–3 = 3 =3–1 =y330–4: =3 =41 = : 33–2= = 3–2: 3== 2: 3== ;2 3=–3 = ; 33–3== 3 y=3–4 =y 1 81 3 3 27 9= 27 3 93 3 27 33 9 3 3 3–13= 30 : 33= 1 : 3 1 a–nn = 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a y 3–4 = 4 = 3–2 = : 3 = = ; 3–3 = 3 = an 3–2 = 1 : 3 = 1 = 1 ; 3–3 = 1 = 13 y 3–4 =321an=91 an 81 27 3 3 1 1 Para grabar 34 –nn 811 –nn 1 32 2 = 9 33 27 1 3 –nn 1 a = n a = na = 2 4 1a Si a ∈ es la base de una potencia de exponente (–n), Ejemplos: n a an a 1 1 2 n = =3 =9 con a 0 y n ∈ , se cumple 1 a1 que: 1 -2 1 1 1 –2 1 = 1 2= = 2 = 3 –nn 2 2 a = 4 2 4 2 a4–nn = 1 2 2 n 3 a n a 1 1 1 1 1 1 -1 = = 32 = 9 = =–2 3=2 = 9 = 32 = 9 1 1 1 –2 11 –2 1= 1 = 1 3–1 = 30 : 3 = 1 : 33= 3 1 3 2 32232 4 22 4 32 32 1 1 11 1 1 1 -3 1 1-1 -1 3–2 = : 3 = 2 =1 1; 3=–3 1== 323 ==9 1 y 3–4 = 4 = = = 32 = 9 1 1 -1 –2 811 3 3 3 93–2 1 3 27 3 6 2 2 2 Ejercita 1–1 32 1 32 0 -2 -2 -3 -3 -3 3n = 3 : 3 = 1 : 3 = 1 1 = –1 -1 0 1 1 1 • 1 31 -1 3 = 3 : 3 = 1 : 3 a 1 1. Aplica la propiedad anterior de la sección “Para grabar” y escribe como una potencia 6 3 6 11 1 6 1 1 21 3 1 1 con exponente positivo. a3–n–2n == n : 3 = 2 = -2 2; 3–3 -2= 3 = 4y 3–4 =3 4 2 = 1 1 1 1 -2 1 1 1 –3 8 -2 2 2 3 32–2 = y 3–4 = 4 = 81 : 3 = 2 =1 ; 31 -2= 31 = a3 3 1 9 -31 3 27 -3 1 : • • 81 1 3 3 3 9 • • 3 27 2 6 3 5 5 d. 5 a. 21-5 = 1 = = 2 23 3 1 6 4 -2 3 -2 8 2an2 4 4 34 38 8 n 2 2 2 2 2 22 2 a -2 -2 1 1 : • • 1–nn 11 • • : : 1 1 2 5 5 5 = 3 = 9 a-4 = 1 • a–nn = -2 = 5 5 55 5 2 3 b. 33–2 a1n= e. (–0,75) 2 an 3 4 3 8 2 1 13 2 2 2 1 41 3 8 = • : 2= 2 2 2 -1 21 4 5 5 5 2 4 -3• : 25 f. (–0,8) c. = 5= 5
En consecuencia:
3–1 = 30 : 3 = 1 : 3 =
1 1 2 = = 32 = 9 1 1 = = 32 = 9 3–2 -3 1 –2 1 2 1 3 3 2. Aplica las propiedades de las potencias y completa. 6 -1 32 a. (6 b. 52 : (–5)3 = –5 1 -1 c. (43 : ) = 4-2 1 -2: 64) =-26-2 21 1 • 2 2 -3 3 3. Utiliza las propiedades de las potencias para calcular mentalmente el valor de las -3 1 1 4 3 8 expresiones. 62 • 2 : 2 6 5 -2 5 -2 5 1 1 -2 -2 3) • (–12) = 1 : 12 d. (144 a. • = • 1 2 3 2 3 4 3 8 2 2 2 4 3 8 2 2 2 •0 : 3 b. (–0,5) e. • : = 5 = 5 :5(0,5) 5 5 5 c. ((59 • 55) : (53 • 54)) : 125 =
60
Potencias
f. ((52 • 102) : 50) : 502 =
4. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. 10
Error:
2
Error: 2 1 : 24 = 1 2–3 22
6 • 364 • 29 61 • (62 )4 • 29 = 69 • 6–7 • 29 • 21 = 62 • 210 = (2 • 3)2 • 210 = 22 • 32 • 210 = = 2 5 –1 7 –1 6 •2 6 •6 •2 Corrección:
Corrección: 4
14
5 4 4 : = 4 5 5 2
14
c. 5 : 4 = 4 4 5 5
a. 10-2 : 105 = 107
10
4
b. 1 : 24 = 1 2–3 22
25 • 34 • 59 34 • 254 • 52 35 • 24 2 9–3 •-23:40,5 • 6-3) = 0,5-5 d. (0,5
0,33 • 34 10 –3 4 14 4 9 Error: • 36 • 2 61 • (62 )4 • 29 6Error: 24 1410 2 2 10 25 10 10 10 4 4 9 –7 9 1 12 2 10 4 14 • • • • = (2 • 3) • 2 = = 6 6 2 2 = 6 2 5 : 4 = 4 = 2 • 3 • 2 = 2 • 3 2 5 –1 7 –1 4 4 5 6 •6 •2 6 •2 144 9 5 5• = 4 •: 121 44410 : 552 4 = 5514 4 4 5 • 81 11 •2:12 25 • 34 • 59 = 41 22 5 5 4 15 4 4 2 3 • 25 • 5 4 = 1 211–3•4 :: •2240,5 2–3 : 2 == 21 22 Corrección: Corrección: 10 4 14 2 5 5 4 5 –2 222–31 •2 • 4 10 2212 3 •: 24 = 4 :4 24 = 1 2 4 9 4–3 4 5 2 105 4 14 4 • 299 6 62–3• 36 23 1 • (62 )4 • 29 6 9 –7 9 1 2 10 2 10 2 2 10 9 • 3 • 6 5 4 4 2 •• 36 6 4 • •29(–2) 1 • (62 )4 • 29 = 69 • 6–7 • 29 • 21 = 62 • 210 = (2 • 3)2 • 210 = 22 • 32 • 210 = 7 343 = : = • 2 = 69 • 6–7 • 29 • 21 = 62 • 210 = (2 • 3)2 • 210 = 22 • 32 • 210 = 66•2 •36 5 • 2–1 =6 • (6 7 ) –1 • • 6 2 6 2 10 4 14 2 5 –1 7 –1 = 3 67 2• 24–1 9 = 6 • 6 • 2 • 2 = 6 • 2 = (2 • 3) • 2 = 2 • 3 • 2 = 2 5 5 4 2 0,3 310 6274• •6584 ••2(–7) • 3444444 144 14 10 14 55110 •2 6 4• •22–199 61 •6(6 •• 36 ) •2 6 1 4= 14 : 4 4 5 2 ==524 = 62 9 3• 6–73 • 293• 2 = 662 • 2310 =6(2 • 3)2 • 210 = 22 • 32 • 210 = 2 4 2 25 –3::: 54 4 •2 5 9= –3 5 3• 3 37 3–1 2 2 = 2 5 –1 10 25 3 5 • • 2 2 5 5 4 9 1 1 4 (2 ) 3 (3 ) 2 •3 •3 12 • 27 (4 • 3) • (3 ) • • • • • 6 6 2 6 2 = : 25 3 4• •5= 4 5 5 : 24 = 2 4 = = = 35 = 243 344 •3• 25 42 52 2 5. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve en tu cuaderno y escribe el resultado. 2 5 2–35 2 3 2 2 6 4 6 4 • • 3 25 5 2 4 2 4 9 • • • ( 3 ) 2 3 • 4 9 (2 ) 2 3 144 121 9 • • 4 9 1 2 4 9 6 1• 36 • 250 •4 5 325 •42 1 6 • (6 ) • 2 14 22 : 2 9 –7 9 1 2 •5 13 • • • • = (2 • 3)2 • 210 = 22 • 32 • 210 = 212 • 32 = 6 6 2 2 = 6 2 2 4= =21 32 555• 2 –3 1 1 11 4 9 1 2 4 9 4 4 455 2 • • 12 81 : 2 = 4–1 2 2 5 7 –1 3 2 • 2 5 • 36 • 2 6 • (6 ) • 2 6 • 3 25 3 1 •4624•2 •52210 = (2 • 3)2 • 210 = 22 • 32 • 210 = 212 • 32 • 6 :•224 = 2122 6 • 2 9 –3 621–3 –3 •3 2 •=2 = 69 • 6–7 • 29 5 : 2 = 2 22 5 –1 = –3 • 34 • 62 7 –1 2–3 4 44• 0,5 9–336 • 34 •4 6227 • 16 • 22 4 9 96 2 9 6 • 2 22•• 36 625 •353• •2•36 6 2 10 2 2 10 12 2 2 9 103 • 34••259 6 •1 (6 )2 •4 2 9 9 • –7 • 9 • 1 • •443) • 2 = 2 • 3 • 2 = 2 • 3 = (2 = = 6 6 2 2 = 6 2 5 –2 10 • 36 6 6 4• 2 9 1 •4 7(6 29 ) 4 • 29 0,3 3 • 3 2 5 –1 –1 9 –7 9 1 2 1 0 10 2 2 10 12 2 3 4 2 13 2 – 24•••• 36 2 2 = •63 25925 • •(6 6 16 2 )4 • 29 = 6 9 • 6 –7 • 2 9 • 2 1 = 6 0,3 •52 6 4• (2 •3•2 • 3)2 • 2 10 = 2 2 • 32 • 2 10 = 2 12 • 32 2 12 9 3•115003312= 3 2554•4•••2•42 6 ••–3 •6 2 7 2• 36 –1 = 6 • (6 7 ) –1• 2 = 69 • 6–7 • 29 • 21 = 6 0,3 • = (2 • 3) • 2 = 2 • 3 • 2 = 2 • 3 2 2 2 10 2 2 10 12 2 46 7 •2 2–1 6 –1 4= •102–3 = (2 • 3) • 2 = 2 • 3 • 2 = 2 • 3 = 6 • 6 • 2 • 2 = 6 10 9 62 ••56 654 •• 2 2(–2) –13 • 325 6•75• 2–1 3–3 12 4 725 5 •2 62•3••343 63• 542••4•2 6 70 10 0,3 •3 9 5 4 4 4 • 344 • 529 3 144 121 • •9 25 –3 7–3• •258 5529 3 =• 2 a. 3925 d. 144 344 •••• (–7) • 121 • 9 = 10 25 3 5 144 4 • 121 2 • 9 4 •• 3 4• 6 2 –3 4 2 114 3• 1226 • 81 3343••5 25 4 • 59 2 • 3 • 6 3 3 2 25 52(4 11 815 24442•• 5 •27 (22 )3 • 33 • (33 )2 26144 • 3) • (3 ) • 43•• •12 •12 32 •• 81 31243•3•525 11 121 9 = 243 •3 0,3 3 • 5 = = = 3 4 42 4 = 2 –33 2 2 6 4 4 264• 4 • 2• 46 0,3 2• 33 5 •2 0,5 943 • •53 –3 • • ( 3 ) 2 3 9 (2 ) 2 3 3 2 • 2 4 0,5 • • 5 • 81 e. 2115• •412 = b. –310 35 3• 4424•4 622 10–3= –2• 0,510 • 410 25 • 2–2 9 0,3 9––333 3•55 • •334 •5562 • 4 2 5 • 2–2 10 5 2• 6• 9 9 4 22 • 24 •• 0,5 144•3–3•3• 121 3 4 10 • (–2) 75 • 343 0,3 3 • 34 27144 • 121 • 9 3 –2 10 4 2 0,3 3 • • • 7 343 (–2) 3 3 4 • 36 36 • • 4 2 2 4 2 11 • –3•123 • 8111 • 12 • 81 • (–2)3 f. 7 7•44343 c. 0,3 • 8 • (–7) = 10•–3121 • 9 = 144 74 • 8 • (–7)333 13 1210–3512 8 •2•(–7) 77 •3 •343 (–2) 3 2 2812 • 45 • 0,5 7211410 •••45 • ••0,5 12121 144 9 • • 12 • 27 (43 • 3)3 • (333 )22 (222 )33 • 333 • (333 )22 266 • 333 • 366 3 2 4 12 5 –2121 •109 144 • 5 –2 10 12 • 27 (4 • 3)3 • (33 )2 = (22 )3 • 33 • (33 )2 = 26 • 33 • 36 = 355 = 243 3 2 • 7 8 (–7) = 2 2•5 121 144 4• 70 2• 4• 29 • 2 • 4 12 3• 272 =(4 • 2 2 4 0,5 • • 11 32 ))2 =(2 ) 2• 63• •34(3 ) =2 2• 63• •343 = 35 = 243 4 •9 (23) )3 •• ((3 6. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve en tu cuaderno y escribe el resultado. 115 44 •• –212 1222 •• 1081 81 3 433 • 9222 = (222 )333• (3223)222 = 2 3266 •3 344 3 2 = 6266 •3 344 6 = 3 = 243 3 • • 11 12 81 4 •559 (2• 3) ) • •(3(3) ) (2 ) 2• 3• 3• (3 ) 2 2• 3• 3• 3 12 27 55 (4 7 • 343 • (–2) • (–2) 7 •• 343 2 25• 4 = = = 2 3 = 35 = 243 2 33 55 • 2255 3 43 2 2 6 4 6 4 274•• •4 4855 ••• 0,5 0,5 7 • 8 • (–7) 2 •3 43355• ••92255 (2 ) • (3 ) 2 •3 (–7) 25•• 343 4–2 • •0,5 10 3 7 (–2) 27 2 –2 • 4 10 • 36 36 27 •2 410 33 25543•• 2 2–2 3 2 2 33 2 3 2 6 6 36 36 3 •23)3 • (3 655 3 4 12 2 ) •) 3 • 2(36 3•36 )3 2732• (3(4 7 • ••28 (22 )3)• = 33(2 3553=••232 12 27•• (–7) (4 ••33) • (3 36• 27313•5 3 = 35 = 243 = )2 = • 343 •=(–2) 7 3 = 243 33 2 3 2 2 6 = 4 712 • 512 • 6= 4 7 3•3 343 (–2) 412 2 2 3•2 9 •133 4(2 27 33 • 27 (332)(2 )2 2 )(2• 2()33 •)3236•• (3 343 )2 2 2• 63• 337 ••635•1236 922 •• (–2) 212•61236 •5 2 •4•343 7 13 124 (4 •33)) •• (3 3 5= 123• 2= 243 7 • 70 7 = 74 •• 8 82 ••55=(–7) (–7)3332553• 255 2 2 = 12 6 4 6 4 •• 9 • (3 ) •3 2 • 312 701212 4 (2 ) 2 • 7334 55 8 (–7) 13 3 • 22 3 3 2 2 3 3 3 2 67 •70 3 5 6• 2 (2 (4 •=3)3 • 27 (3 3 • 27 2 3 )2 2 )3 • 33 • (33 )2 b.26 • 33 • 36 a. 12 55 55 1233 • •27 • (33 )2 = (22 )3 • 33 • (33 )2 = 26 • 33 • 3126 = 355 = = • 336 36• 3) 2 = 27 (4 12 •43 = 35 = 243 3 • 27 •2236= (4 •23)3 • (32 )2 = (2 ) 2•663• 3•44(3 ) = 2 2•663• 70 36 243 4 3 3 • 92 = (2 2 )3 • (32 )2 = 4 = = 3 = 243 2 436 (2 2 3 • 92 27 12 2 )312 • (3132 )2 6 • 34 6 • 34 2 •3 4 • •91236 137(2• 5) •• (23 ) 2 •3 5 •552 7123•55 12 55 • 2 55 Matemática 8 61 3•555•12212•55213 70 7123 • 2 27 70 • 1236 27 36 36 • 36 3670• 3627
Crecimiento exponencial Una hoja de papel se va doblando como muestra la figura. Con cada doblez genera una cantidad de rectángulos de iguales dimensiones.
El número de rectángulos que resulta, luego de cierto número de dobleces, está relacionado directamente con las potencias de 2, ya que cada vez se va duplicando el número de estos. Observa: Cero doblez ➤ Primer doblez ➤ Segundo doblez ➤ Tercer doblez ➤ Cuarto doblez ➤
1 2 4 8 16
= = = = =
20 rectángulo. 2 • 20 = 21 rectángulos. 2 • 21 = 22 rectángulos. 2 • 22 = 23 rectángulos. 2 • 23 = 24 rectángulos.
aumentó 1 rectángulo aumentó 2 rectángulos aumentó 4 rectángulos aumentó 8 rectángulos
Con lo anterior, se puede afirmar que en el enésimo doblez (doblez número n) se formarán 2n rectángulos.
Para grabar El crecimiento exponencial se da cuando hay una secuencia de valores en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante mayor que 1 (en el ejemplo de la hoja la constante es 2). En el ejemplo de la hoja de papel, luego del primer doblez el número de rectángulos aumentó en 1, luego del segundo doblez aumentó en 2, etc. Por lo tanto, se trata de un crecimiento no constante, ya que el aumento en el número de rectángulos varía.
En la situación anterior: Rectángulos por doblez Cantidad de rectángulos 8
4 2 1 0
1
2
3 Número de doblez
Ejercita
1. Interpreta la información del aumento de la población chilena a lo largo de los años. Contesta las preguntas en tu cuaderno. ¿Cada cuántos años aproximadamente se realiza un censo en Chile?
Evolución de la población chilena (En millones) 20
Censos del año 1907 al 2002
b. ¿Cuánto creció la población aproximadamente entre los años 1982 y 1992?
15 10
c. ¿Es posible conjeturar sobre la población que se espera que haya en el próximo censo?
5 0
1907 1920 1930 1940 1952 1960 1970 1982 1992 2002
Fuente: www.ine.cl
62
Potencias
a. ¿Es exponencial el tipo de crecimiento que ha presentado la población chilena? ¿Por qué?
Decrecimiento exponencial Se tiene un puente sostenido por cables, de modo que a cada cable lo sigue otro cuya longitud 4 es de él. Se desea 5 saber el largo de cada 4 uno de los 4 cables. 5 Pilar 0 4 Cable 1 5 Cable 2 1
4 5
2
4 5
3
4 5
4 5 4 5 0 4 5
Cable 3
Cable 4
4 4 4 5 la Para determinar4el largo de cada cable, sabiendo que 55 5 medida del pilar es de 50 m y que cada cable es 4 del 4 5 anterior, se tiene:44 0 55 5 4 0 0 0 440 4 5 = • 50 m Pilar 55 5 1 4 1 111 44 4 5 m = 40 m Cable 1 = • 50 55 5 2 4 8 m Disminuye 2 222 44 4 5 m = 32 m Cable 2 = • 50 55 5 3 4 6,4 m Disminuye 3 3 4433 4 5 Cable 3 = • 50 m = 25,6 m 55 5 4 4 5,1 m Disminuye 4 444 44 4 5 m = 20,5 m Cable 4 = • 50 55 5 4
2
44 4 5 5 5 5 5 Nótese que la altura de cada cable disminuye a medida 4 (Golden Gate, EE.UU.) Casosimilar 5 4 5 5 que se aleja del pilar y no es de manera constante. 6 2 4 5 6 6 6 6 5 6 Para grabar 66 5 4 3 4 4 5 5 5 exponencial 5 En la situación anterior: El decrecimiento se da 4 5 5 cuando 5 hay una secuencia de valores Longitud (m) Medida 5de los cables 4 4 en la6que cada uno 4 de ellos se obtiene 50 4 5 multiplicando elanterior por un valor 6 5 0 5 4 menor que 1 (en el ejemplo del puente 40 5 0 4 4 5 la constante es ). 5 30 1 5 Se trata de un decrecimiento no 4 5 1 4 constante, ya que 6 en este caso la 5 20 longitud de los cables disminuyen: 8 m, 5 6 2 6,4 m, 5,1 m, etc.5 104 2 4 5 3 3 4 1 52 40 Cable 3 4 5 5 4 Ejercita 4 4 4 5 5 1. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. 4 Pilar 1 Pilar 2 4 Un puente consta de tres pilares: los pilares 1 y5 2 miden 60 m cada Cables Cables 5 consta 5 el puente uno y el pilar 3 mide 10 m. Además de los pilares, 5 6 Cables Cables de 14 cables. Los del pilar 1 al pilar 3 van disminuyendo uno del 6 6 Pilar 3 otro y los del pilar 3 al pilar 2 van creciendo uno del otro como 6 5 indica la figura. 5 1
4 5
a. ¿Qué tipo de crecimiento se observa en el puente? b. ¿Cuánto miden los cables más cercanos y los más lejanos al pilar 3? Matemática 8
63
Notación científica En una cucharada de sal hay aproximadamente 6,023 • 1023 átomos.
La expresión 6,023 • 1023 corresponde a expresar en notación científi ca el número: 602.300.000.000.000.000.000.000 Este número se lee: “seiscientos dos mil trescientos trillones” Generalmente, resulta complejo trabajar con cantidades muy grandes o muy pequeñas. Por esto, ha manera de simplificar y abreviar un número se utiliza la notación científi ca.
Para grabar Representar un número en notación científica corresponde a escribirlo como un producto entre un número decimal mayor que 1 y menor que 10 por una potencia de base 10.
Ejemplos:
450.000.000 = 4,5 • 100.000.000 = 4,5 • 108 0,0035 = 3,5 • 10-3 65.313.000 = 6,5313 • 107
Ayuda El valor de una potencia de base 10 con exponente un número negativo, tiene la cantidad de cifras decimales que indica el número del exponente.
Ejercita
1. Representa cada número como notación científi ca. a. 35,8 =
d. 430.000
10-n = 0,00... ...01
b. 534,7 =
e. 5.230.000 =
n cifras decimales
c. 653,21 =
f. 60.000.000 =
=
2. Representa las siguientes unidades de medida en notación científi ca. Unidad
Equivalencia en metros
Centímetro
0,01
Milímetro
0,001
Micrómetro
0,000001
Nanómetro
0,000000001
Notación científica
3. Completa las casillas. a. 0,25 = 25 • 10 • 103
b. 3.000,5 = c.
• 10
d. 651.000 =
= 5,3 • 104
• 103
e. 164,3 = f.
= 8 • 10-3
4. Representa en notación decimal. a. 4,5 • 104
64
Potencias
=
d. 5,45 • 10-4 =
b. 6,18 • 1015 =
e. 9,2 • 106
=
c. 2,7 • 10-10 =
f. 5,19 • 107
=
5. Representa en notación científi ca o decimal según corresponda para completar la tabla. Notación decimal
Notación científica
2
31,2 453,6 6,0002 • 103 71.000,4 3,12 • 102 710,004 5,35 • 104 7,10 • 103 4.536
6. Representa el número que corresponde a cada notación científi ca. a. 2,31 • 102 =
d. 6,7 • 10-5 =
b. 3 • 104
e. 7 • 10-7
=
c. 2,5 • 10 =
=
f. 4,32 • 10 =
–5
-4
7. Representa la cantidad correspondiente a cada dato escrito en notación científi ca. Dato
Notación científica
Radio de nuestra galaxia
6 • 10 m
Radio de la Tierra
6 • 106 m
Tamaño del virus de la poliomielitis
1,2 • 10-8 m
Intervalo entre dos pulsaciones del corazón
8 • 10-1 s
Rotación de la Tierra alrededor de su eje
8,6 • 104 s
Cantidad correspondiente
19
8. Aplica la notación científi ca para representar los diámetros de los siguientes cuerpos celestes. Astro Sol
Diámetro (km)
Notación científica
1.392.000
Tierra
12.756
Júpiter
142.984
Luna
3.476
Matemática 8
65
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. Una tienda de artículos de oficina, debido a la entrada a clases de muchos estudiantes, aumenta de manera considerable sus ventas en los meses de marzo y abril, de tal manera que cada semana obtiene una ganancia 50% mayor a la de la semana anterior. Si la primera semana su ganancia fue de $ 200.000, ¿cuánta ganancia obtuvo la tienda hasta la sexta semana? 11 Comprende el enunciado 22 33 debes: Para comprender el enunciado de un problema puedes hacerlo por medio de la interpretación. Para ello, 22 • Identificar lo que entiendes de la información. 33 ($) Semana Ganancia ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? 22 2 La ganancia de la tienda en las primeras 6 semanas de aumento de demanda. Semana 1 200.000 332 ¿Qué información entrega el enunciado del problema? 22 El crecimiento de la ganancia de una semana a otra en el periodo marzo-abril y la 3 ganancia de la primera semana. Semana 2 200.000 • 3 = 300.000 22 2 • Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. 2 33 1 ¿En cuál de los dos meses se obtuvo mayor ganancia? ¿Y en cuál menos? ¿En Semana 3 200.000 • 2 = 450.000 2 2 qué te basas para interpretar eso? 3 3 3 En abril se obtuvo mayor ganancia y en marzo, menor. Esto se puede interpretar por 33 1 2 4 el hecho de que el crecimiento de la ganancia por semana se comporta de manera Semana 22 2 3 exponencial. 4 1 34 3 1 2 3 • Expresar la información en otro tipo de formato.2 2 25 Semana 22 2 3 3 Como la ganancia aumenta un 50% por semana, 1 se 1 es3decir, la mitad, si la semana 5 5 3 2 33 obtuvo una ganancia G, la semana 2 será: 2 2 2 2 22 3 2 Semana 3 6 3 1 3 3 G+ •G= •G 2 2 2 2 2 33 22 2 3semanales. 3 3 Completa la tabla para determinar3las ganancias 22 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 2 33 2 3 3 3 2 3 Paso 3 3 22 Planifica lo que vas a22realizar 3 2 2 3 2 y con esto se obtiene la ganancia 2 hasta la sexta 2semana. Se puede sumar la ganancia de cada semana 1 22 3 3 2 2 3 3 4 2 3 3 2 2 3 3 2 Paso 3 2 2 2 2 Resuelve el problema 23 3 2 3 3 3 4 5 2 2 3 3 2 3 3 3 2• + 200.000 • + 200.000 • = 200.000 + 200.000 • + 200.000 • 2 + 200.000 3 2 2 2 23 2 3 3 4 2 4 5 + 1.518.750 200.000 + 300.000 +450.000 + 675.000 = 4.156.250 32 + 1.012.500 3 3 2 2 3 3 3 $ 4.156.250 Por lo tanto, hasta la sexta de ganancias. 2 semana se obtuvo 2 23 2 4 2 3 5 2 2 32 3 5 3 3 3 Paso 2 2 3 2 2 solución 2 4 Revisa la 2 5 2 3 3 2 2 3 se puede considerar 3 = 1,5. 3que 32 Para comprobar el resultado 3 3 2 2 2 2 5 223,375 + 200.000 •25,0625 200.000 + 200.000 • 1,5 + 200.000 • 2,25 + 200.000 • + 200.000 • 7,59375 = 4.156.250. 3 4 3 3 2 3 descrito 32 el crecimiento El resultado es correctoy3además se refleja en los pasos anteriores. 2 2 3 2 2 32 2 Potencias 4 5 3 3 23 2 2 2
Paso
66
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Un pintor elabora un paisaje con 2 árboles. Si cada árbol tiene 8 ramas grandes, cada rama grande tiene 8 ramas menores, y estas, a su vez, otras 8 ramas con 8 hojas cada una, ¿cuántas hojas pintó el artista en el cuadro?
Paso
Comprende el enunciado
• Identificar lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
• Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Qué árbol tiene más hojas? ¿En qué te basas para interpretar eso?
• Expresar la información en otro tipo de formato.
Expresa la información del problema en una tabla de datos.
Paso
Paso
Paso
Resolución de problemas
2
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Una tienda de artículos deportivos tiene una promoción de pelotas de tenis consistente en una caja de 3 tarros con 3 pelotas cada uno a un precio razonable. Si para un partido de tenis los jugadores necesitan 3 de estas cajas, ¿cuántas pelotas comprarán si juegan tres partidos? Matemática 8
67
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Sumas y potencias con Excel Excel es un programa computacional que permite ingresar datos en celdas que están distribuidas en filas y columnas con los que se pueden realizar distintas operaciones. Por ejemplo, calcular sumas, potencias, promedios, realizar gráficos, etc. Realiza los siguientes pasos que te permitirán calcular la suma de los números: 3, 8, 4, 9, 400, 100, 2.000 y 5.000.
Paso
Paso
Ingresa los números en la columna A.
Escribe =suma( en la celda A9.
Paso Selecciona las celdas en las que se encuentran los números por sumar, arrastrando el mouse. Luego, presiona . Obtendrás la suma de estos números.
1. Comprueba manualmente si la suma obtenida corresponde al resultado de: 3 + 8 + 4 + 9 + 400 + 100 + 2.000 + 5.000.
68
Potencias
2. Utiliza Excel y calcula los cuadrados de los 100 primeros números naturales. Para ello, sigue los pasos. Paso Escribe los números del 1 al 100 en la columna A. Para no escribirlos de uno en uno puedes realizar lo siguiente: Escribe 1 en la celda A1. Escribe =A1+1 en la celda A2.
Herramientas tecnológicas
2 Copia la celda A2 con el comando Copiar en la opción Edición del menú principal. Pega lo copiado, en las celdas de la columna A hasta la número 100. Para ello, selecciónalas y utiliza el comando Pegar en la opción Edición del menú principal.
Paso Escribe en la celda B1 =A1^2 luego presiona . Esto es equivalente a calcular el cuadrado del contenido de la celda A1. Copia la celda B1 en la columna B hasta completar las 100 casillas en forma similar al proceso realizado en el paso 1.
a. Comprueba que los valores de la columna B son los cuadrados de los valores de la columna A. b. Utiliza Excel para calcular la suma de los cuadrados de los 50 primeros números naturales.
3. Calcula la suma de los cubos de los 30 primeros números naturales. Matemática 8
69
PARA NO EQUIVOCARSE 1. Analiza la resolución de cada ejercicio. Luego, responde. a.
4 • (2 • 3)2 – (2 + 32 • 3) 4 • 62
– (52 • 3)
4 • 36 – (25 • 3) 144 –
75
69 • ¿Por qué no está correcto el desarrollo del ejercicio?
• ¿Qué contenido matemático habrá que reforzar?
• Corrección:
b. Se afirma que como (0 + 3)2 = 32 = 9 y (0 + 3)2 = 02 + 32 = 0 + 9 = 9, entonces (a + b)2 = a2 + b2. • ¿Por qué no está correcta la afirmación?
• ¿Cuál debería ser la afirmación correcta?
c. Al calcular a2 sabiendo que a = –3, se realiza lo siguiente: a2 = –32 = –3 • 3 = –9 • ¿Por qué no está correcto el cálculo anterior?
• ¿Qué contenido matemático habrá que reforzar?
70
Potencias
d. Observa el cálculo de la siguiente expresión. 2
–2
1 1 1 1 + : + 2 2 2 2
2
1 1 1 : = + 2 2 2
2– (–2)
1 + 2
1 –2
4
–1
1 1 1 1 1 1 1 – = = + + = + 2 16 2 16 2 2 2
• ¿Por qué no está correcto el desarrollo del ejercicio?
• ¿Qué contenido matemático habrá que reforzar?
• Corrección:
e. Analiza la resolución del siguiente problema.
Para no equivocarse
2
Un edificio tiene 4 pisos; en cada piso hay 4 departamentos; cada departamento consta de 4 ventanas; cada ventana tiene 4 bisagras, y cada bisagra 4 tornillos. ¿Cuántas bisagras debe poner el encargado de instalar las ventanas del edificio? Expresa el resultado como una potencia de 2. - Si en el edificio hay 4 pisos y en cada piso 4 departamentos, entonces en el edificio hay 4 • 4 = 42 departamentos. - Si en cada departamento hay 4 ventanas, entonces en el edificio hay 42 • 4 = 43 ventanas. - Si en cada ventana hay 4 bisagras, entonces en el edificio hay 43 • 4 = 44 bisagras. - Si en cada bisagra hay 4 tornillos, entonces en el edificio hay 44 • 4 = 45 tornillos. El resultado es 45 = (22)5 = 22 + 5 = 27. Por lo tanto, en el edificio hay 27 bisagras. • ¿Por qué no está correcto el desarrollo del ejercicio?
• ¿Qué contenido matemático habrá que reforzar?
• Corrección:
Matemática 8
71
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Analiza los recuadros. Luego, resuelve. 13 – 1 = 1 – 1 = 0
0•1•2=0
23 – 2 = 8 – 2 = 6
1•2•3=6
33 – 3 = 27 – 3 = 24
2 • 3 • 4 = 24
43 – 4 = 64 – 4 = 60
3 • 4 • 5 = 60
n – n; con n ∈ 3
⇔
(n – 1) • n • (n + 1); con n ∈
El símbolo ⇔ significa equivalencia.
a. Interpreta la equivalencia entre los recuadros azul y verde. Para ello, descríbela con tus palabras.
b. Verifica si la igualdad es cierta para n = 8, n = 9 y n = 10.
c. Analiza los siguientes recuadros. Luego, complétalos. Si n ∈ : (n – 1) • n • (n + 1)
Si n ∈ :
Por asociatividad del producto en los números naturales:
n3 – n = (
) • n = ((n – 1) • (
)) • n
((n – 1) • (n + 1)) • n (n2 – 1) • n = n3 – n d. Aplica lo anterior para determinar tres números naturales consecutivos tal que su producto sea igual a 93 – 9.
72
Potencias
2. En las siguientes fi guras se destacan la cantidad de intersecciones ( ) que poseen. a. Representa la cantidad de intersecciones de cada figura como potencia. b. ¿Cuántas intersecciones tendrá la novena figura? Expresa el resultado como potencia. c. Si n es el número de la figura, ¿qué expresión permite calcular el número de intersecciones que esta posee? Figura 1
3. Resuelve los siguientes problemas.
Figura 2
Figura 3
4 a. El volumen de un balón de fútbol se puede calcular de manera aproximada mediante la fórmula V = • 3,14 • r3, 3 donde r es el radio del balón. ¿Cuánto mide el volumen del balón de la figura? 6 7
r = 12,5 cm 4 3 6
Ampliando mis conocimientos
2
b. Para pintar una pared rectangular de área 18,5 m2 se utilizan de un tarro de pintura. ¿Cuántos tarros de pintura se 7 necesitan para pintar una muralla de 18,52 m2?
4m
c. Una sustancia se desintegra a medida que transcurre el tiempo. Así, después de media hora queda la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento (t) hay 320 gramos de la sustancia, ¿cuánto quedará después de 1 hora? • ¿Qué ocurre con la cantidad de gramos a medida que el tiempo transcurre?
Cantidad Desintegración de la sustancia de gramos
• ¿Cuántos gramos quedan luego de 3 horas?
300
• ¿Cuántos gramos quedarán después de 4 horas?
200
• Completa el gráfico con los datos calculados anteriormente.
100 t
Tiempo (horas) Matemática 8
73
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál es el valor de (–4)3? A. 16 B. 64 C. –16 D. –64
2 ¿Cuál es el valor de la expresión (–1)3 + (–1)4 – (–1)2? A. 1 B. 2 C. 3 D. –1
3 ¿Cuál es el resultado de (–5)2 • (–2)2? A. 100 B. 104 C. –100 D. –102
4 Si a es un número entero positivo, ¿a qué conjunto de números pertenece el resultado de (–1)5 • (a)a? A. Natural. B. Entero positivo. C. Entero negativo. D. Racional positivo.
5 Si
= –343, ¿cuál es el valor que hace VERDADERA la igualdad? 3
A. 7 B. –7 C. 72 D. (–7)2
6 ¿Cuál es el resultado de la expresión –(3 • 2)2 • 6? A. –72 B. 108 C. 216 D. (–6)3
7 ¿Cuál es el valor de la expresión 4
1 (0,25) i – : (0,25)8 ? 4 4 A. 0,25 17 5 1 8 B.1–0,25 (0,25) i – : (0,25) 17 4 C.4(–0,25) 17 x D.1 1 5 i 5 = 1 5 4 x 3 1 la igualdad 9 • 33 • 27 • (–3)6 = 3 , 8 Dada 5 3 i 5 = 1 2 2 (3 :55número ) i hace que sea VERDADERA? ¿qué 4 5 5 1 8 (0,25) i – : (0,25) 3 A. 92 3 4 B.310 2 2 (3 : 5 ) i 17 5 C.511 1 2 D. 14 4 13 3 x 1 5 5 9 ¿Para 1qué valor de x se cumple que i 55 = 1? 2 5 3 3 A. 0 4 3 4 B.51 5 5 1 3 8 2 2 5 1 (0,25) i – : (0,25) (3 : 5 ) i (0,25) i – : (0,25 2 4 4 3 5 C.34 3 D. 5 17 2 17 3 1 4 1 8 5 51 5 3 (0,25) i – : (0,25) 44 10 ¿Cuál 4 3 3 es el resultado de la expresión 5 4 [(7 5 2 9 7 5 x 1 5: 7 ) • (7 : 7 )] : (7 )? 17 x 3 1 1 5 1 5 5 i 5 = 1 i 5 = 1 A. 7 05 4 5 4 5 3 B. 74 3 2 x 3 55 3 3 1 3 C. 7(3 2 2 2 2 i 55 = : 5 ) i 1 (3 : 5 ) i 5 D. 76 5 5 5 5
2
3 2 3 2 3 3 3 2 2 3 11 ¿Cuál 5 es el resultado al dividir (3 : 5 ) i por ? 5 5 5 1 4 2 1 3 3 3 3 A. 5 5 5 5 1 2 3 2 3 3 B. 5 5 5 3 2 3 3 3 3 C. 5 5 5 3 4 3 4 3 3 D. 5 5 5 4
3 5
74
Potencias
25 29 • 25 10 • 4 5 25 25 25 –2 81 9 25 81 81 5 8181 81 25 9 81 81 8181 81 25 25 25 81 25 25 25 25 25 25 81 ––81 25 25 – 81 – – 25 81 81 25 81 81–81 10 81 10 10 25 10– 10––25 – – 18 – 10 18 18 81 18 18––125 se escribe 18 ¿Cómo –1 en 1 18 –1 1 • 111 • 1 27 –1–110 –1 una sola potencia la expresión –1 1 1 81 1• • •• ((27 • –())–1 ?)27) 27 •81 1 •• 981 ( •9 •1 (27 ) 9 81 • 681 • (27)18 9 –910 81 961 666816 –1 1 1 • • (27) 1 11186 1 A. 91 9–1 81 9 91 9 19 6 27 • • ( 9 99 9 )1 991 9981 B.1 11 96 1 9 31 3 3 3 3 9 3 912 12 1211 1212 1 12 1 C.1 1 129 3 31 3 3 3 3 12 18 3 18 1 18 18 1811 18 1 12 D.1 1 18 3 31 3 3 3 3 18 3 1 11 1 -1 19 Si1 a1= 18 y b = a3 , entonces, ¿cuál es el valor de la 2 211 2 2 21 21 1 (a + 1b)-1? expresión 1 13 21 2 2 2 A. 1 2 2 5 2 5 5 1 2 5 5 2 5 2 2 2 B. 2 21 2 5 2 2 2 2 5 5 2 5 2 C. 5 52 52 2 2 2––22 – 5 – –2 5 5 5 D.5–25 –3 –3 –6 –3–6 –6 –3 –6 2 3 • 5 2 2 •23–6• 3 5• –3 – 2–32 3••–63–1–6 –3 –3 –1 –3 –1 –3 5 2 3–3 –3 8 las expresiones es 20 ¿Cuál 8–1–1 ••de 9 89 • 9 siguientes 8–1–81•2–19••–39–3 –3 –6 81 •19 equivalente a 2 •3 ? 1 15 31 –3 3 –6 3 8–1 • 9–3 2 •3 3 13 A. 31 1 ––811–1 •– 91 –3 B.1–1 12 2 – –2 3 –12 C.2 2 1 3 – 2 1 D. – 2
12 Si a, b son números enteros positivos, ¿cuál es el valor de la expresión (–(a+b)0)3? A. 0 B. 1 C. –1 D. (a+b)3
13 ¿Cuál de las siguientes igualdades es VERDADERA? A. (0,52)3 = 0,0253 B. (32 • 37)2 = 328 C. (42 : 23) : 2 = 20 D. (9 • 9) • (9 : (–9)) = 34
14 ¿Cuál es el signo del resultado de la potencia (–23)225? A. Positivo. B. Negativo. C. No tiene signo. D. No se puede determinar.
15 Aplicando las propiedades de potencias, ¿cuál es el 8 • 24 • 10–3 ? 2 • 10–4 • 4 A. 80 –2 B. 160 5 –3 8 • 24•910 C. 800 8 • 24 • 10–3 –4 D. 1.600 • 4 2 • 1025 2 • 10–4 • 4 5 –2 81 –2 5 81 16 ¿Cuál 9 es el resultado de ? 9 25 25 25 A. 25 81 – 81 81 81 10 B. 81 25 – 18 25 25 –1 1 1 C. – 25 • • (27) 81 – 9 81 81 10 6 D. – 1 10 – 18 18 9 –1 1 1 2 3 27 • es el• (resultado de (x 17 ¿Cuál –1 1 ) 1si x = 0,3? ) 9 81 1 9 • • (27) 9 81 A. 0,729 1 6 3 6 B. 0,0729 1 9 1 12 C. 0,00729 9 9 D. 0,000729 1 3 9 1 3 18 1 3 12 1 3 12 1 3 1 3 18 2 1 18 1 3 1 3 2 valor de
Evaluación final
2
21 Si la arista de un cubo mide 0,005 cm, ¿cuánto mide su volumen? A. 0,000125 cm3 B. 0,0000125 cm3 C. 0,00000125 cm3 D. 0,000000125 cm3
Matemática 8
75
x • 3 8
4 x • 3
EVALUACIÓNFINAL
9
4 x • 3
2
22 Un camión transporta 300 cajas con cuadernos. Si en cada caja hay 100 cuadernos de 100 hojas cada uno, ¿cuál de las siguientes expresiones representa mejor la cantidad de hojas que transporta el camión? A. 3 • 103 B. 3 • 104 C. 3 • 105 D. 3 • 106
23 ¿Cuál de los siguientes gráficos puede representar decrecimiento exponencial? A.
C.
B.
D.
3 2 0 • 4 que 26 En la figura se muestra una parte de un puente consta de 5 cables y 2 pilares. 3 8 3 8 Pilar 1 111 88 20 • 4 xxx •••• 3 Cable 1 3 3 4 9 3 9 Cable 2 111 99 20 • 4 Cable 3 xxx •••• 3 3 3 Cable 4 Cable 5 Pilar 2 3 8 3 8 8 3 8 4 4 20 • 4 4 xxx •••• 3 3 3 3 9 9 Si el pilar 4 4 991 mide 20 m y cada cable es del 4 4 xxx •••• 3 3 3 ¿cuál es la medida del cable 3? anterior, 2 2 3 3 22 3 20 0 ••• 2 0 A. 2 • 4 4 m 4 3 3 3 3 33 3 20 ••• m 20 B. 20 • 4 4 4 4 4 3 3 44 3 20 ••• m C. 20 20 • 4 4 4 3
24 Durante un año las ventas de un negocio aumentan un tercio por mes. Si las ventas del primer mes fueron de x productos, ¿cuántos vendieron el noveno mes? 8 11 888 1 x• A. xx •• 3 3 3 9 11 999 B. xxx ••• 31 3 3 8
C. xxx D. xx x
4 888 4 4 •• • 3 3 3 9 4 999 4 •• 4 • 3 3 3
3 3 33 3 3 3 3 3 D. 20 20 • 203 ••• m 4 4 4 se representa en notación científica el 27 ¿Cómo 3 3 3 0,00000027? número 4 4 4 A. 2,7 • 10–7 B. 2,7 • 10–6 C. 2,7 • 10–5 D. 2,7 • 10–4
28 ¿Cuál de los siguientes productos es 1.199.000.000? A. 1,199 • 106 B. 1,199 • 107 C. 1,199 • 108 D. 1,199 • 109
2
25 ¿Cuál es 33el222valor de 0,00025 • 0,53 expresado en 2 0 •• 3 2 notación ca? 20 0 • científi
76
4 4 4 -5 3 A. 3,125• 10 333 3 3 20 • 310 -4 B. 3,125 20 20 •• •4 -3 4 C. 3,125 •410 4 3 444-2 •3 D. 3,125 10 3 20 • 20 20 •• 4 4 4 3 3 333 3 3 3 2033 •• 3 20 • 4 Potencias 20 4 4 3 3 3
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Cierto tipo de células tienen la propiedad de dividirse en 2 cada hora. Si un biólogo ha comenzado a estudiar la reproducción de estas células a partir de una sola, ¿cuántas células observará al cabo de 10 horas?
Evaluación final
2
2 La distancia entre el Sol y Júpiter es aproximadamente de 778.330.000 km. ¿A cuántos centímetros corresponden? Expresa tu resultado en notación científica.
3 En un laboratorio se estudia la reproducción por fisión binaria de una determinada bacteria. Esta consiste en el reparto equitativo del material hereditario (ADN) para formar, a partir de ella, otras dos genéticamente iguales. Si este proceso tarda 6 horas, ¿qué tipo de crecimiento experimenta? ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de un día?
Matemática 8
77
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición an = a • a •.......• a
Potencias.
n veces a como factor a ∈ , n ∈
Ejemplo 54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
Potencias de base entero y exponente natural. Potencias de base racional y exponente natural.
Concepto Multiplicación de potencias de igual exponente. División de potencias de igual exponente. Multiplicación de potencias de igual base. División de potencias de igual base.
Potencias de una potencia.
Potencias de base racional y exponente negativo. Crecimiento y decrecimiento exponencial.
Notación científica.
78
Potencias
Procedimiento
Ejemplo
2
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Potencias
Aplicar
2
Potencias
Aplicar
3
Potencias
Aplicar
4
Potencias
Analizar
5
Potencias
Evaluar
6
Potencias
Aplicar
7
Potencias
Aplicar
8
Potencias
Evaluar
9
Potencias
Evaluar
10
Potencias
Aplicar
11
Potencias
Aplicar
12
Potencias
Evaluar
13
Potencias
Evaluar
14
Potencias
Analizar
15
Potencias
Aplicar
16
Potencias
Aplicar
17
Potencias
Aplicar
18
Potencias
Aplicar
19
Potencias
Evaluar
20
Potencias
Analizar
21
Potencias
Aplicar
22
Potencias
Evaluar
23
Crecimiento y decrecimiento exponencial
Analizar
24
Crecimiento y decrecimiento exponencial
Aplicar
25
Notación científica
Aplicar
26
Crecimiento y decrecimiento exponencial
Aplicar
27
Notación científica
Aplicar
28
Notación científica
Reconocer
Clave
Mi revisión
Solucionario de evaluación final
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL Nivel de logro
22 Potencias
6 Crecimiento, decrecimiento exponencial y notación científica
Matemática 8
79
Álgebra y funciones
3
Con la ley de Coulomb, estudiada en 1785, se pudo establecer el valor de la fuerza de atracción (F) entre cargas eléctricas (q1, q2, etc.) separadas por una distancia (d) y con una constante (k). La unidad de medida de esta fuerza (F) es el coulomb (C).
Se frotan dos globos con un paño seco y se acercan.
Se frota una peineta sobre el cabello y se acerca una hoja de papel.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
80
¿Para qué?
¿Dónde?
Lenguaje algebraico.
Representar diversas situaciones haciendo uso de expresiones algebraicas.
Páginas 82 a 83.
Valoración, reducción y multiplicación de expresiones algebraicas.
Interpretar y valorar expresiones algebraicas en diversos contextos.
Páginas 84 a 95.
Planteo y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Resolver problemas diversos que involucren este Páginas 96 a 97. tipo de ecuaciones.
Concepto de función, dominio y recorrido.
Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y modelar situaciones a Páginas 98 a 101. través de ellas.
Álgebra y funciones
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada y las imágenes? ¿Cómo se relacionan? 2) ¿Qué elementos intervienen en la ley de Coulomb? 3) Realiza los experimentos mostrados en las imágenes.
Evaluación inicial Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.
La fuerza de atracción (F) entre dos cargas eléctricas (q1 y q2) separadas por una distancia (d), está dada por: q iq F = k i 1 2 2 . Si q1 = 0,5 C; q2 = 0,4 C; k = 8,9 • 109 Nm2/C2 y d = 10-4 m, ¿cuál es el valor de F? d 1) ¿Qué se debe conocer para poder resolver el problema?
2) ¿Qué procedimiento puedes llevar a cabo para resolver el problema?
3) Aplica el procedimiento anterior.
Matemática 8
81
Lenguaje algebraico En Física, muchas magnitudes se obtienen a partir de otras por medio de alguna relación matemática. Por ejemplo, la rapidez de un automóvil se puede calcular como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que emplea en recorrerla. tiempo tiempo t1 t2 Distancia
¿Qué diferencias crees que hay entre la rapidez y la velocidad?
La siguiente expresión representa la relación entre las magnitudes de rapidez, distancia y tiempo: rapidez=
distancia tiempo
d Sin embargo, si se utiliza un símbolor = distinto para identifi car cada magnitud, esta relación distancia t se podría escribir de la siguiente manera: rapidez= tiempo x d 3 r= t x donde r representa la rapidez del vehículo, d la distancia que recorre y t el tiempo que 3 demora el automóvil en recorrerla. Estas letras “tomarán” valores numéricos según cada situación.
Para grabar El lenguaje algebraico comienza con el interés de los matemáticos por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número. Muchas ideas descritas en lenguaje natural se pueden traducir al lenguaje algebraico por medio de expresiones algebraicas.
Expresiones en lenguaje natural
Idea
El doble de un número. La tercera parte de un número.
Lenguaje natural
escrita en Lenguaje
Expresiones distancia rapidez= algebraicas tiempo 2r•=a d t x 3
La diferencia entre dos cantidades.
w-z
El cuadrado de un número.
y2
algebraico (Expresiones algebraicas)
Ejercita
1. Representa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones que están en lenguaje natural. Observa el ejemplo.
El cuadrado de la diferencia entre dos números.
Para saber más El uso de la coma (,) en el lenguaje natural puede incidir en la expresión algebraica. Por ejemplo: • El doble de un número aumentado en tres. 2x + 3 • El doble de, un número aumentado en tres. 2(x + 3)
82
Álgebra y funciones
a. El triple de un número. b. La mitad de, un número aumentado en uno. c. La diferencia entre un número y su cuadrado. d. El producto entre cuatro números. e. La mitad del cuadrado de un número.
(x - y)2
3
2. Representa en lenguaje natural las siguientes expresiones. k a. 4 b. h2 c. 2 • x2 d. (2 • x)2 e. 2(a2 – b2)
3. Representa los elementos pedidos en cada caso. Observa el ejemplo. Tres números enteros consecutivos a partir del entero n.
n, n + 1, n + 2
a. El sucesor y el antecesor par del entero 2n. b. El sucesor impar del entero impar 2n – 7.
4. Representa en lenguaje algebraico el perímetro (P) y el área (A) de las siguientes fi guras. a.
b.
c. d
a
bm
cm
bm
b
c
a am
b
am
P= A=
P= A=
P= A=
5. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. La figura corresponde al plano de una zona que debe ser cercada. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la cantidad de reja que se requiere para la cerca? 2x – 2y
2x + 2y x+2
3x – 1
3x – 1
6x + 2y –4
Matemática 8
83
Valoración de expresiones algebraicas Para el cálculo del pago de una cuenta de agua se considera su consumo en metros cúbicos (m3). El costo de la cuenta consta de tres cobros: cargo fijo, consumo de agua potable y uso de alcantarillado. Una expresión algebraica que permite representar el costo total de la cuenta es: C+P+A C: cargo fijo. P: consumo de agua potable. A: uso de alcantarillado.
• ¿Qué expresión algebraica permite calcular el costo de una cuenta de agua si el cargo fijo es de $ 500, el costo por m3 $ 300 y el uso del alcantarillado $ 350 por cada metro cúbico de agua potable utilizado? Si se considera x como el número de metros cúbicos de agua potable consumidos, entonces la siguiente expresión representa el costo total de la cuenta de agua en función de los m3 consumidos: $ 500 + $ 300 • x + $ 350 • x • ¿Cuál es el costo que se debe pagar por un consumo de 20 m3 de agua? Para responder la pregunta se puede valorizar la expresión algebraica considerada para el cálculo de la cuenta de agua. $ 500 + $ 300 • 20 + $ 350 • 20 = $ 13.500 Por lo tanto, por un consumo de 20 m3 se deben cancelar $ 13.500.
Para grabar Valorizar una expresión algebraica Expresión algebraica algebraica: consiste en asignar un número a cada variable que la compone y luego realizar las operaciones que permiten 1 – x2 + 3 • y calcular el valor de dicha expresión.
Valorización: Valorización • Si x = –1 e y = –2 1 – x2 + 3 • y = 1 – (–1)2 + 3 • (–2) = –6 • Si x = –2 e y = 5 1 – x2 + 3 • y = 1 – (–2)2 + 3 • 5 = 12
Ejercita
1. Aplica los siguientes valores de las variables a y b para obtener el resultado de la 1 expresión (a – b)2 – a – b.
84
Álgebra y funciones
3 1 1 yb=– 4 3 1 – 4
a. a = –1 y b = –2
c. a =
b. a = 0,5 y b = 4
d. a = 0,2 y b = – 0,3
2. Aplica la valorización de expresiones algebraicas para determinar el valor en cada caso. x– y ; con x = 0,1; y = 0,2; z = 0,5. a. z 1 2 1 4 1 8 b. pq2– q – p; con p = –3; q = –2. – 3
3
x– y z x– y 1 2 z 1 x– y 1 4 z 2 1 1 1 c. a • (b – d) – b • (a – c) – c • (b – c); con a = ; b = ; c = ; d = 1. 8 2 4 1 2 1 – 4 3 8 1 2 – 8 3 2 – 3
3. Resuelve los problemas que se formulan a continuación. a. La siguiente expresión representa una operación entre los valores a y b: a b = ab – ba De acuerdo a la igualdad anterior, ¿cuál es el valor de 2 (–3)?
b. Un paracaidista cae a una rapidez de 20 m/s. La expresión algebraica que representa su posición, en metros, con respecto al suelo está dada por: –5t2 + 2.000, donde t es el tiempo en segundos que lleva cayendo el paracaidista. ¿Desde qué altura se lanzó? ¿A qué distancia del suelo se encuentra el paracaidista cuando han transcurrido 8 segundos desde que se lanzó?
Matemática 8
85
Reducción de términos semejantes En un almacén se está probando un nuevo sistema computacional de control de inventario. A cada producto se le asigna un símbolo: por ejemplo, a la bolsa de un kilogramo de azúcar se le asigna 1a. Si se venden 5 kg de azúcar, esto se simboliza por –5a, y si se reponen en el mostrador 7 kg de azúcar, se simboliza por 7a.
Si al inicio del día en el mostrador del almacén hay 50 kg de azúcar, de los cuales se venden 3 kg en la mañana, 5 kg en la tarde y por último 1 kg por la noche y luego se reponen en el mostrador 6 kg de azúcar. ¿Cómo se representa algebraicamente el número de kilogramos de azúcar que hay en el mostrador al finalizar el día? 50a – 3a – 5a – 1a + 6a = 50a – 3a – 5a – a + 6a Observa que 1a = a. ¿Cuántos kilogramos de azúcar hay en el mostrador luego de esas transacciones? 50a – 3a – 5a – a + 6a = 47a Observa que al reducir la expresión algebraica se ha considerado que todos los términos tienen la misma letra, es decir, son términos semejantes. Por lo tanto, quedan 47 kg de azúcar.
Para grabar Los términos algebraicos son aquellas expresiones formadas por un número (coeficiente numérico) y/o símbolos, generalmente letras (factor literal), relacionados por multiplicaciones. 5ab
Reducción de términos semejantes
Términos algebraicos 1) 2a = 2 • a 2) 3abc = 3 • a • b • c
Términos semejantes 1) 5xy; 11xy; –0,4yx a2 2) 9a2; ; –39a2 4 Coeficiente numérico Factor literal Términos 1 semejantes 2 – no xy 2 10x2y Dos o más términos son semejantes 1) 6xy2;–5xy; 2) 3x; 2x2; x3 si tienen el mismo factor literal. La reducción de términos semejantes consiste en resolver las adiciones y/o sustracciones de sus coeficientes numéricos.
1) –7p + 8q + 10 – 9q + 2 – 11p = (–7p – 11p) + (8q – 9q) + (10 + 2) = –18p – q + 12 2) 4b – 7m + 3w – 6m – b = (4b – b) + (–7m – 6m) + 3w = 3b – 13m + 3w
Ejercita
1. Identifica los términos semejantes en cada expresión algebraica.
Ayuda ab = ba por la conmutatividad de la multiplicación.
86
Álgebra y funciones
Para ello, observa el ejemplo. a2 4 1 2 5xy2 + 6x2y + – xy + 0,2xy2 + (–1,3x2y) + 2 2 a. 6ab – 10ac + 4bc – 5ac + 7ab
d. –7abc + 5ab – 4bac + 10abc
b. –15p2 + 7p + p + 4p2 – 2p3
e. 9(a + b) + 50(c + b) – (a + b) + 7(b + c)
c. mn + 5mn – 3nm + 2n + 4m
f. 12ax2 + 4ax – 5a2x – 12ax + 4a2x + 5ax2
3
2. Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas. Luego, clasifi ca el resultado según la cantidad de términos que contenga. Para ello, observa el ejemplo.
5k – 10h – 2 + 40h – 12k + 9 = (5k – 12k) + (–10h + 40h) + (–2 + 9) = –7k + 30h + 7 (Trinomio)
a. 6a2b – 11ab2 – ab + 8b2a – 20ba2 + 5ab
b.
x 2a 3x a – a+ – 5x – – 4 3 2 2 x
–a+
4
2
–y
Ayuda Las expresiones algebraicas, según la cantidad de términos que tengan, se clasifican, en: Monomio Binomio Trimonio Un Dos Tres término términos términos
3
r2h c. –2y3 + 10y – 4y2 + 12 – 20y – 5y3 + 11y2 – y + y3 3
0,4x2y
x+y
Polinomio
x 2a 3x – 5x – Más–dea+ tres 4términos 3 2
4y2 + y + 12 x
–a+
4
2
–y
3
r2h 3
3. Representa de tres maneras distintas, utilizando adiciones y/o sustracciones de términos semejantes, las siguientes expresiones. Observa el ejemplo. 1) 4w – 5k = 5w – w – 5k 2) 4w – 5k = 20w – 10w + k – 6w – 6k 3) 4w – 5k = –w + 7k + w – 2k + 4w – 10k a. 8x – 1
b. 1 – x3
3 cm
4. Resuelve el siguiente problema. La figura de la derecha está compuesta por una parte cilíndrica y una parte cónica de volúmenes V1 y V2, respectivamente. ¿Cuál es su volumen total si el radio del cono y del cilindro miden 3 cm cada uno, y la altura del cono es de 4 cm y la del cilindro 10 cm?
10 cm
x 2h 2a 3 V1= r – a+ – 5x – 4 3 2 x
4 cm
–a+
4
V2=
2
–y
3
r2h 3
Matemática 8
87
EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Representa en lenguaje algebraico. a. La mitad de la diferencia entre dos números.
b. El cuadrado de la diferencia entre un número y el cuadrado de otro.
c. La quinta parte de un número disminuida en la mitad de otro número.
d. La mitad del cuadrado de, un número aumentado en cinco unidades.
Lenguaje algebraico.
2 Representa en lenguaje natural. a. 3x–
y 2
b. 2n; 2n + 2; 2n + 4
c. (m – n)3
3 Representa en lenguaje algebraico. Luego, ejemplifica cada caso. a. El área y el perímetro de un cuadrado.
b. El área y el perímetro de un rectángulo.
c. Tres números naturales pares consecutivos.
88
Álgebra y funciones
Valorización de expresiones algebraicas.
3 4 Calcula el valor de las siguientes expresiones según la información dada. a. –x2 – x; si x = –3.
d. 4b – b2 + 3; si b = –1. 1 1 a= 3 3 1 1 e. 3ab1– b2; si a= y b= . b= 3 2 2 1 m+n m+n b= 2 m–n m–n m+n 1 1 f. ; si p = 0,8 y q =p0,125. q m–n pq 1 pq a=
b. xy –1x2; si x = –2 e y = –3. a= 3 1 b= 2 m+n c. ; si m = 0,1 y n = 0,2. m–n 1 pq
5 Reduce las siguientes expresiones. a. 7hk – 12kh – 10h – 9k – 11kh – 2h – k
Reducción expresiones algebraicas.
b. –m2n + mn – mn2 – 3nm + 4n2m – 10nm2
6 Representa en lenguaje algebraico la respuesta a cada pregunta. a. ¿Cuál es la suma de tres números impares consecutivos si el menor de ellos está expresado por 2n – 1?
b. ¿Cuál es el promedio de dos números pares consecutivos si el mayor de ellos es 2n – 6?
Matemática 8
89
Multiplicación de expresiones algebraicas En la construcción de una multicancha se utilizaron planchas rectangulares de largo a cm y ancho b cm, como muestra la figura. a cm b cm
Como las planchas son rectangulares, su área (Aplancha) está dada por la multiplicación de las medidas de su largo por su ancho, es decir: Aplancha = (a • b) cm2 = ab cm2 Recuerda que para simbolizar la multiplicación entre dos variables no es necesario escribir el símbolo de la multiplicación. Así, a • b = ab = ba. A partir de la figura, se puede afirmar que la superficie de la multicancha es equivalente a la suma de las áreas de 24 planchas, por lo que esta mide: 24ab cm2 Otra forma de calcularla es multiplicando la medida de su largo 6a cm por la de su ancho 4b cm, ya que esta tiene forma rectangular. Con esto se concluye que su área es: 6a cm • 4b cm = 24ab cm2
Para grabar Ejemplos
Para multiplicar expresiones algebraicas se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. No se debe olvidar, luego de aplicar la propiedad, reducir términos semejantes si corresponde.
13m2n • mn = 13 • m2 • m • n • n = 13 • m3 • n2 = 13m3n2
2a • 3b = 6ab
a • (b + c) = a • b + a • c = ab + ac
x (2x + y) = 2x2 + x y
(a + b) • (c + d) = a • (c + d) + b • (c + d) =a•c+a•d+b•c+b•d = ac + ad + bc + bd (a + b + c) • (d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce
(4m – n)(3m + 7n) = 12m2 + 28mn – 3mn – 7n2 = 12m2 + 25mn – 7n2 (3x + 2xy + 4y)(x – y) = 3x2 – 3xy + 2x2y – 2xy2 + 4xy – 4y2 = 3x2 + xy + 2x2y – 2xy2 – 4y2
Ejercita
1. Relaciona cada operación con su resultado. Observa el ejemplo. a. 2ab • 6a
90
Álgebra y funciones
–z2y5x
b. 6q • (–3q5k2)
45f6
c. –9f • (–5f5)
12a2b
d. 10a2bc • 2abc2
–18q6k2
e. –zy3x • zy2
20a3b2c3
3
2. Calcula el producto de cada multiplicación. a. 12pq • (–6p) • p
e. 15q • (–0,3qk ) • (–2)
2
2
b. –2k • 19km
f.
d.
3 a (2b–4c) 4 a b a b – – 2 3 4 5
3
3a 4 ab • – 3 2 2xy j. 10xy–1 • – 5
3a 4 ab • – 3 2 2xy 10xy–1 • – 5
3 a (2b–4c) 4 g. (2a + 7b)(4b – 11a) a b a b – – 2 3 4 5
c. –6k(3 – 2k) 3a 4 ab • – 3 2 2xy 10xy–1 • – 5
i. –9f • 5f • 2f –1
h. 20xy(0,5x + 0,25xy)
3 a (2b–4c) 4 4a b a3a b ab • – 32 – 3 42–5 k. (3x – 7)(10 + 3x) 2xy 10xy–1 • – 5 3 a (2b–4c) 4 a b a b l. – – 2 3 4 5
3. Calcula en tu cuaderno el área y el perímetro de las siguientes fi guras. a.
c. 5b 2x + 7y
m + 2b
x + 2y x+y 4x + 3y
d.
b. 6k + 1
5 3d
4 + 3d 7 + 3d
6k + 1
4. Aplica la multiplicación de expresiones algebraicas para responder en tu cuaderno. a. Si 2n + 1 representa un número impar, ¿cuál es la expresión para el producto de este número y el número impar consecutivo a él? b. Si las medidas de los lados de un rectángulo están dadas por b + 3 y b + 10, ¿cuáles son las expresiones algebraicas para su perímetro (P) y su área (A)? c. ¿Qué expresión algebraica representa el producto de dos números enteros consecutivos si el mayor de ellos está dado por p + 10?
Matemática 8
91
Productos notables El cuadrado ABCD de lados a + b está formado por otras figuras. Para calcular su área se pueden sumar las áreas de las figuras que lo componen. D a
b
a
A2
A1
C
El área de cada figura que compone el cuadrado ABCD es:
A1 = a • a = a2
A2 = a • b
Por lo tanto, el área del cuadrado ABCD corresponde a la suma del área del cuadrado anaranjado más el doble del área del rectángulo azul más el área del cuadrado amarillo. Luego, el área total (At) está dada por: At = a2 + 2ab + b2
a+b b A
A2
A3 a+b
A3 = b • b = b2
Otra forma de calcular el área del cuadrado ABCD es multiplicar la longitud del lado (a + b) por sí misma: B
(a + b) (a + b)
= a (a + b) + b (a + b) =a•a+a•b+b•a+b•b = a2 + ab + ba + b2 /a•b=b•a = a2 + 2ab + b2
Para grabar Cuadrado del binomio Corresponde a la multiplicación entre dos binomios idénticos. ¿Por qué crees que algunos productos se llaman “notables”?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(3 + w)2 = 9 + 6w + w2 (k – 7)2 = k2 – 14k + 49
Binomios con término común Corresponde a la multiplicación entre dos binomios con un término común.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)(x – b) = x2 + (a – b)x – ab (x – a)(x + b) = x2 + (b – a)x – ab (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab
(a + 7)(a + 5) = a2 + 12a + 35 (k – 4)(3 + k) = k2 – k – 12
Suma por su diferencia Corresponde a la multiplicación entre dos binomios, donde uno de ellos es la suma de dos términos y el otro la diferencia entre ellos.
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(m – 4)(m + 4) = m2 – 16 (10 – y)(10 + y) = 100 – y2
Ejercita
1. Reconoce el tipo de producto notable que se relaciona con cada expresión. Para ello, observa el ejemplo.
(w + 5)2
92
Álgebra y funciones
Cuadrado del binomio
a. (3b + 2)2
d. (a – 2)(a + 2)
b. (q + 10)(q – 11)
e. (4n + 7)(4n – 3)
c. (3x – 5)(3x + 5)
f. (7 + h)(7 + h)
3
2. Aplica productos notables para resolver. a. (a + 2)(a + 2)
g. (p – 2q)(p + 2q)
b. (a – 3)2
h. (–2 + p)2
c. (c – a)2
i. (p + 5q)2
d. (x – 6)2
j. (10x – 6)(10x + 5)
e. (y + 4)(y + 5)
k. (5x – a)(5x + a)
2
1 l. k – 2
f. (w + 9)(w – 9)
3. Calcula el área (A) y el perímetro (P) de las siguientes figuras. a.
b.
4x + 6
c. 2x + 3
5d
x2 + x
10 5x – 2
8 – 4d
2x + 1 A=
3d
2x + 3
A=
P=
A=
P=
2x + 3
P=
Matemática 8
93
4. Determina las medidas que faltan en cada figura para que tengan el perímetro (P) y el área (A) señalados. a.
c.
m+4
15 + 3k A = m2 + 13m + 36
A = 225 – 9k2
P = 4m + 26
b.
P = 60
d.
h+5
6 + 2q A = h2 + 10h + 25 P = 4h + 20
A = 36 + 24q + 4q2
P = 24 + 8q
5. Calcula el término que falta para que se cumpla la igualdad. a. (x + 9)2 = x2 + 81 + b. (m + 3)(m+ 5) = m2 + c. (15 – f)(15 + f) =
d. (k – 10)(k + 8) = k2 – 80 +
e. (3w – 1)(3w + 1) = 9w2 –
+ 8m
f. (4q – 3)2 = 9 +
– f2
– 24q
6. Detecta y corrige el error en cada caso. a. (q + 7)(q – 5) = q2 + 2 – 35q
c. (x – y)(x + y) = x2 + y2
b. (a + 7)2 = a2 + 49
d. (6t – 2)(6t – 1) = 36t2 – 3t + 2
94
Álgebra y funciones
3
7. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Qué expresión algebraica representa el área de un cuadrado de lado (4x + 0,25) cm?
b. ¿Qué expresión algebraica representa el producto de dos números enteros impares consecutivos si el menor está dado por 2n – 7?
c. ¿Qué expresión algebraica representa el área de un rectángulo de lados (10p + 3) mm y (10p + 1) mm?
d. ¿Qué expresión algebraica representa el producto entre el número par 2n + 4 y el sucesor impar de él?
Ayuda Recuerda que la prioridad en la que se deben realizar las operaciones es: 1° Paréntesis. 2° Potencias. 3° Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4° Adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
8. Resuelve los siguientes ejercicios. Luego, representa el resultado de la forma más simple. a. (q + 8)2 + (q – 4)(q + 5)
c. (n – 7)(n + 11) – (n – 7)(n + 7)
b. (3 – 2x)(3 + 2x) – (2x – 1)(2x + 2)
d. –(3h – 2)(3h + 4) – 5(h – 1)2
Matemática 8
95
Ecuaciones El monte Everest es la montaña más alta de laTierra, con 8.844 m sobre el nivel del mar. Si un alpinista se encuentra a 8.530 m de altura, ¿cuántos metros le faltan para alcanzar la cumbre?
La situación del alpinista se puede representar a través de una igualdad que recibe el nombre de ecuación, la que contiene un valor desconocido, al que se le puede asignar una letra que lo represente. Observa que la siguiente ecuación interpreta la relación de los valores de altura considerados en el problema: x + 8.530 = 8.844 Cantidad de metros de altura que faltan para alcanzar la cumbre. Resolver esta ecuación consiste en calcular el valor de x que hace verdadera la igualdad. Observa que en este caso dicho valor es 314. Solución de la ecuación.
314 + 8.530 = 8.844 8.844 = 8.844
Con esto se puede afirmar que el valor de la incógnita x es 314. Por lo que, al alpinista le quedan por subir 314 m para alcanzar la cumbre.
Para grabar
Para saber más A las 10:32 horas del 15 de mayo de 1992, Cristián García Huidobro se convirtió en el primer chileno que puso pie en la cumbre del monte más alto del mundo. Fuente: http://www.himalaya.cl/oc_everest_1992.htm No olvides que las páginas web o su contenido pueden variar.
96
Álgebra y funciones
Resolución
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que aparecen uno o más términos con la misma incógnita, representados generalmente por una letra minúscula.
x + 17 x + 17 + (–17) x+0 x
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
2x + 3 2x + 3 + (–3) + (–x) x+0 x
Una propiedad de las ecuaciones: si a ambos lados de una igualdad se le suma o multiplica un mismo valor, la igualdad se mantiene.
= –4 / + (–17) = –4 + (–17) = –21 = –21
Comprobación –21 + 17 = –4 –4 = –4 Como se cumple la igualdad, x = –21 es solución de la ecuación.
= x – 1 / + (–3) + (–x) 2 • (–4) + 3 = –4 – 1 –8 + 3 = –4 – 1 = x – 1 + (–3) + (–x) –5 = –5 = –4 Como se cumple la igualdad, = –4 x = –4 es solución de la ecuación.
5x – (2x +1)=20– 4x 5x – 2x – 1 = 20– 4x 3x – 1 =20– 4x / +1+ 4x 1 7x =21 /· 7 1 1 · 7x = · 21 7 7 x=3
5 • 3 – (2 • 3 + 1) = 20 –4 • 3 15 – (6 + 1) = 20 – 12 15 – 7 = 8 8 =8 Como se cumple la igualdad, x = 3 es solución de la ecuación.
3
1. Reconoce la ecuación que expresa la relación entre las cantidades mencionadas en cada enunciado. Para ello, marca con una X. a. La edad de Pablo en 5 años más será de 19 años. ¿Cuál es su edad actual? 5 – p = 19
p + 5 = 19
p + 5 = 19 – 5
b. Una persona que paga una cuenta de $ 5.500 queda con $ 25.700. ¿Cuánto dinero tenía? d – 5.500 = 25.700
5.500 – d = 25.500
25.500 – d = 5.500
c. Albert Einstein nació en 1879 y vivió 76 años. ¿En qué año murió? 1879 + a = 76
1879 – a = 76
a + 76 = 1879
Ayuda
19 + p = 5 – 5
Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios se recomienda multiplicar cada término de esta por el mínimo común múltiplo x de sus denominadores.
d + 5.500 = 25.500 2x + 3x – 9 (x + 1) = 5 3 Ejemplo: x
x – 3 = – 2 / • m.c.m.(3, 2)=6 3 2
a = 1879 + 76
6x
2. Calcula el valor de la incógnita en cada ecuación. Escribe el procedimiento que usaste. a. 3x – 6 = 6
c. 7x + (x – 2)2 – (x + 3)(x – 3) = 2x + 3
3
– 18 =
6x 2
– 12 / Simplificando
2x – 18 = 3x – 12 / –3x + 18 –x = 6
/ •(–1)
x = –6
b.
2x 5
+ 3x – 9 (x + 1) =
d. 2(x – 3) + (x – 1)2 = (x + 3)(x – 2)
x 3
x
x – 3 = – 2 / • m.c.m.(3, 2)=6 3 2
6x 3
– 18 =
6x 2
– 12 / Simplificando
2x – 18 = 3x – 12 / –3x + 18
3. Resuelve los siguientes problemas. Para ello, plantea la ecuación respectiva. –x = 6 / •(–1)
a. Una familia de cinco integrantes paga $ 25.000 por entrar a un parque de diversiones, x = –6 y por cada invitado adicional, $ 6.000 más. Si en total se cancelan $ 55.000, ¿cuántos invitados llevaron?
b. Si por viajar en avión a Río de Janeiro Julia paga $ 280.000 por el pasaje y $ 80.000 en impuestos, ¿cuántas personas viajarán en un grupo que pagó $ 1.440.000 en total?
Matemática 8
97
Funciones Para cocinar un queque una persona gasta $ 3.000 en ingredientes y lo vende en trozos a un precio de $ 200 cada uno con el fin de recuperar el dinero. Cantidad de trozos
Ganancia (en pesos)
13
200 • 13 – 3.000 = –400
14
200 • 14 – 3.000 = –200
15
200 • 15 – 3.000 = 0
16
200 • 16 – 3.000 = 200
17
200 • 17 – 3.000 = 400
De acuerdo con los datos de la tabla, entre las variables cantidad de trozos y ganancia existe una relación de dependencia, ya que una depende de la otra. En este caso, la ganancia depende de la venta de los trozos de queque. Si x representa la cantidad de trozos vendidos (C) e y = f(x) la ganancia obtenida (G), entonces, según la venta: C = {13, 14, 15, 16, 17} y G = {–400, –200, 0, 200, 400} son los conjuntos de valores que pueden tomar estas variables, respectivamente. En este caso, la función que representa la relación de dependencia entre x e y es: y = f(x) = 200x – 3.000 Variable dependiente.
Variable independiente.
Para grabar Una función es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto A (variable independiente o preimagen) con un único elemento de otro conjunto B (variable dependiente o imagen). Al conjunto A se le denomina conjunto de partida, mientras que al conjunto B, conjunto de llegada. Notación: f: A x
B y = f(x)
Se lee: “la función f, de A en B, asigna a cada elemento x de A un único elemento y de B, por medio de y = f(x)” Donde y = f(x) representa la imagen y x la preimagen. El dominio (Dom) de una función es el conjunto formado por las preimágenes o valores de la variable independiente. El recorrido (Rec) de una función es el conjunto formado por las imágenes o valores de la variable dependiente.
Representación A 1 5 2 3 4
f
B 2 4 8 6 10
A 1 5 2 3 4
p
B 2 4 8 6 10
• A cada elemento del conjunto A le corresponde uno y solo un elemento del conjunto B; en este caso, por medio de f y p. A 1 5 2 3 4
h
B 2 4 8 6 10
A 1 5 2 3 4
g
B 2 4 8 6 10
• La relación h, en este caso, no es función, ya que al valor 4 del conjunto de partida se le asignan dos valores 6 y 8 del conjunto de llegada. • La relación g no es función, ya que el valor 2 del conjunto de partida no tiene asignado ningún valor del conjunto de llegada. Para que fuese función habría que “quitar” el valor 2 del conjunto A.
98
Álgebra y funciones
3
1. Identifica cuál o cuáles de los siguientes diagramas representan funciones. Para ello, observa el ejemplo.
A
f
0 12 11
10 20 30
a.
b.
d
A 1
B
La relación f: A B es función, ya que a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y solo un valor de B. 0 y se denota f(10) = 0. 10 20 0 y se denota f(20) = 0. 30 11 y se denota f(30) = 11.
c.
B 4
A 3
p
B 5
2
5
4
8
9
7
7
9
q
A 9
d.
B 8
0
A 2
j
6
4
2
3
1
B 6 5 9 7
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde. A 1
f
B 1
2
3
3
5
4
7
• Si se le asigna la letra x a la variable independiente que pertenece al conjunto A, e y a la dependiente que pertenece al conjunto B, la relación entre las variables se puede representar de la siguiente forma: y = 2x – 1
f(x) = 2x – 1
• La función f le asigna a la preimagen 2 la imagen 3. Esto se puede representar como: f(2) = 3 y se comprueba de la siguiente manera: f(2) = 2 • 2 – 1 = 4 – 1 = 3
a. ¿Cuál es la preimagen de 5? b. Comprueba que f(1) = 1. c. Comprueba que f(4) = 7. d. Si 24 ∈ A, ¿cuál es el valor de f(24)? Matemática 8
99
3. Evalúa en cada función los valores señalados. Luego, completa. x
f(x) = 3x
x
f(x) = x + 2
x
f(x) = 1 – 2x
x
34
–1,5
10
-4
3
–1
100
-2
32
–0,5
1.000
2
31
0
10.000
4
3
f(x) = x2
4. Analiza el ejemplo y luego resuelve. Sea la función f definida de A en B (f: A A a
f
B
b
1
c
2
d
B), se tiene que:
La función muestra la relación entre a ∈ A y 2 ∈ B, lo que puede ser escrito de la forma (a, 2). Por lo que f puede representarse como conjunto de la siguiente forma:
3
e
Primeras componentes. f = {(a, 2); (b, 3); (c, 1); (d, 3); (e, 1)} Segundas componentes.
a. Representa la función h como un conjunto. h A B 6 2 2 4 8 3 1
b. Representa en un diagrama la función g: M N, con N = {1, 0, –1, –2, –3} y el conjunto g = {(2, 0); (1, –1); (0, –2); (–1, –3)}
h={
5. Resuelve el siguiente problema. Un taxista tiene como costo fijo $ 200 y por cada kilómetro recorrido $ 500. Escribe la función que relaciona las variables distancia (x) y costo del viaje (y). ¿Cuánto cobra por un viaje de 15 kilómetros? ¿Y por uno de 27 kilómetros?
100
Álgebra y funciones
3
6. Identifica el dominio y el recorrido de cada función. a.
c. A
q
2
B 5
A -3 -4
6
6
-2
10
3
B 9 6
-8
1
0
k
7
100
Dom (q) = {
}
Dom (k) = {
}
Rec (q) = {
}
Rec (k) = {
}
b.
d. A
h
f
B
A 2
15
2
3
5
12
4
6
6
17
6
0
1
10
B
Dom (h) = {
}
Dom (f) = {
}
Rec (h) = {
}
Rec (f) = {
}
7. Relaciona cada función con la regla que la defi ne. Para ello, une con una línea. f = {(1, 2); (2, 4); (3, 6); (4, 8)}
A la primera componente se le resta dos para obtener la segunda.
g = {(1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6)}
Las imágenes se obtienen multiplicando por dos los valores del conjunto de partida.
h = {(5, 4); (6, 5); (7, 6); (8, 7); (9, 8)}
A cada valor del conjunto de partida se le asocia con su sucesor.
i = {(–1, –3); (–2, –4); (–3, –5); (–4, –6)}
Cada valor del dominio se relaciona con su antecesor.
Matemática 8
101
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. Una persona se prepara durante una semana para correr una competencia. Su entrenamiento comenzó un día lunes, corriendo cierta distancia para aumentarla un cuarto más el día martes. El día miércoles corrió la distancia realizada el día martes, más el cuarto del trayecto recorrido el día lunes. Así incrementó la distancia hasta el día sábado. ¿Qué distancia recorrió el día jueves si el trayecto del día sábado fue de 2.700 m?
Paso
Comprende el enunciado
x x +x x +x + 4 44 x x x +x x +x x +x + + 4+recorrida Día Distancia recorrida Día Distancia 4 44 44 x x x x +x x +x x +x Lunes x Jueves x +x + + 4+ + 4+ 4 44 44 44 x xxxxxxxx x x +x ++ 4+x ++ 4+x ++ 4+x + 4 Martes Viernes x +x + x + 44 44 44 44 44 x x x x x x x +x x x +x +x +x +x +x +x +x +x +x x + x + + x + + x + Miércoles Sábado 4 +4 +4 +4 4 44 44 44 44 44 44 44 x x+ xx+x xx+x xx+x xx+x xx+x x m9x 9x9x x x +x x +x x 4 x + === mmm m + + + + x + + +4 +4 +4 +4 m x+ + + x 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 44 44 x x Paso Planifica lo que vas a realizarx x x x x x x x x + + 9x 4 4x 9x9x ==2.700 2.700 x +x + + + + + + + /• 4/• 4• 4 = 2.700 que/representa 4 4 4 4 Se plantea la igualdad entre los 2.700 m recorridos4 el4día4sábado con algebraica el trayecto de ese xla+x expresión 4 x 4 x x 4 4 x+ x a la distancia xrecorrida 4+Este valor + + x x x x día. El valor resultante corresponderá el día lunes. se reemplaza en la expresión del día jueves 1 x+ x x x x x 4 1/• 1• = 10.800 4 día. x +x + 4+ + 4+ + 4+ + 4+ + 4 4 4 x 4 x 9x9x=9x=10.800 10.800 / y se obtendrá la distancia recorrida ese /• 9 x x 4 4 4 4 4 x x +x +x x 99 x+ + x x 4 4 + + + x + 9x x x x x x + x + 10.800 9x 9x x x x x x 4 4 4mx=4 x 49x x x++ ++ ++ ++ ++4 m mx9x 10.800 =10.800 Paso 4 4 44 44 44 44 4x4x+x = +x44m +x 9x=9= 9 9 x x x el problema Resuelve 9 x+ + + x x x x + + 4+ 4+ 94+ x = 1.20 x+ + + 4 4 4 9x x = 1.20 00 4 4 4 4 4 9 x x = 1.20 0 Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra con la que no se está 4 4 4 =2.700 2.700 /• 4• 4 x x x x = / + + + x + x x x x x x x 7x 7x x familiarizado. x + + 4 +4 7x x+ + + + x x x x 44 4 x 4+ m m = 9x m + m m x+ + + + 4 4 4 4 141 4 4 444 4 4 x x 4 4 4 49x9x==10.800 10.800 //• • x + x + x + 4x +9x + x x x x x 7• 1.200 9 1.200 • • 1.200 7• 1.200 • 1.200 = 2.700 y7x7x7x7= • Interpreta xla información. + + + + + •41.200 x x x x x 9x 99 L 4 M 4 M9x 49xJ4=9=9 • 300 =2.100 2.100 V S == 7 7• 300 = = 2.700 y =4 =4/ • 4 4 = 2.700 y ==2.100 +9x 10.800 = 2.700 4 4 4 4 4 x + + + + 9x 10.800 4 = 7 • 300 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4== 9x 4 x x4 x x4 x recorrió Si el día lunes 9x 9hizo x xel día sábado 9 un99trayecto de: x + + + + 1 + m = m x + x + x +x xmetros, m m = + + 9x x x 4 4 4 4/ • 4 4 4 4 4 4 x4+ x + x4 + x +x = + 1.200m = m9x = 10.800 • Emplea el procedimiento. 4 4 4x =41.2040 9 4 9x 7x = 2.700 / •4 9x 7x 10.800 9x = 2.700 / 9• x4 4 mm = = 2.700 44 / • 4 4 9 9 1 4 9x 99• 1.200 • 1.200 • 1.200 9x 0 = 10.800 /• 1 7x7x =77• 1.200 9x x = 1.20 = = 2.700 y = • 300==2.100 2.100 9x = 10.800 /• 1 = 797• 300 = = 2.700 y = 4 4 9x9= 10.800 44 / • 44 4 4 7x 9x 10.800 El día jueves9recorrió m , por = lo que, al reemplazar el valor de x en dicha expresión 9x 10.800 4 9 = 9x 10.800 9 = 9 9 se tiene que el atleta recorre 2.100 m. 7x 7 • 1.200 9 1.200 9x • 9 9 = 7 • 300 = 2.100 = = x = 1.200= 2.700 y x = 1.200 4 4 4 7x 4 x = 1.200 m 7x m 7x 4 Paso m 4 Revisa la solución 7x 7 • 1.200 9x 9 • 1.200 4 = 7 • 300 = 2.100 = = 2.700 y = 7x 7 • 1.200 9x 9 • 1.200 = 7 • 300 = = 2.700 = 7x =72.100 9x y9 • 1.200 • 1.200 4 4 4 4 = 7 • 300 = 2.100 = y = 4 4 = 2.700 4 4 4 4 4 4 ¿Qué datos son necesarios para reponder la pregunta? La distancia recorrida el día sábado y la distancia recorrida el día lunes.
102
Álgebra y funciones
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. 1 de su valor original por cada año que transcurre. 10 Si el precio original es de $ 5.000.000, ¿cuál es su valor luego de 4 años?
Un automóvil pierde
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta?
Paso
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
• Interpreta la información.
Resolución de problemas
3
• Emplea el procedimiento.
Paso
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un teléfono celular tiene un valor original de $ 120.000. Si todos los años pierde un 20% de su valor original, ¿en qué año tendrá un valor de $ 48.000?
Matemática 8
103
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Valorización de expresiones con Excel Realiza los siguientes pasos que te permitirán calcular distintas expresiones algebraicas con solo ingresar los valores de las variables. Ejemplo: calcular a – 3b si a = –1 y b = –7.
Paso
Paso
Escribe en la primera fi la a, b y valor.
Bajo la celda donde está escrito valor escribe =A2 – 3*B2 y luego presiona .
Paso Ingresa en la celda A2 el valor de a y en la celda B2 el valor de b. En este caso, -1 y -7, respectivamente. Observa que automáticamente el programa entrega el resultado de la expresión algebraica para dichos valores.
1. Calcula el valor de la misma expresión para los siguientes valores de a y b. Luego, comprueba tus resultados con este programa. a. a = –5 y b = –3 3 b. a = 0,1 y b = 3 –0,24 3 4 7 – 4 7 2 3 c. a = 7y b = – 2 –0,3 –4 2 7 –0,31 d. a = ––0,3 y b = 2 1 3 1 –0,3 3 3 1 3
104
Álgebra y funciones
2. Calcula manualmente el valor de la expresión (1 – 2x – y) en cada caso. Luego, comprueba tus resultados con los 2
entregados por el programa. a. x = –1 e y = –4
=(1–2*x–y)^2
b. x = –0,5 e y = –1,5
c. x = 3 e y = –0,75
3. Utilizando Excel, evalúa la expresión p–2q para cada caso. a. p = –2; q = –3 y w = –4
w
=(p–2*q)/w
Herramientas tecnológicas
3
b. p = –9; q = 2 y w = –1
c. p = –0,25; q = 10 y w = –10
d. p = –0,6; q = –0,1 y w = –0,5
Matemática 8
105
PARA NO EQUIVOCARSE 1. Analiza la resolución de cada ejercicio. a. Luego de resolver el cuadrado de binomio (3x – 1)2 se afirma que: (3x – 1)2 = 9x2 + 1. • El error cometido es:
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
b. Al evaluar la expresión 3x – x2 con x = –1 se obtiene lo siguiente: 3x – x2 = 3 • (–1) – (–1)2 = –3 + 1 = –2. • El error cometido es:
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
c. Al reducir la expresión –3xy + 7xy – 10xy se obtiene –6x3y3. • El error cometido es:
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
106
Álgebra y funciones
d. Se reconoce la expresión (x + 3)(x + 5) como un producto notable, entonces: (x + 3)(x + 5) = x2 + 15x + 8. • El error cometido es:
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
e. Resuelve el siguiente problema. La edad de una madre es seis veces la edad de su hija y hace un año era siete veces. ¿Cuál será la edad de la hija en cuatro años más?
Para no equivocarse
3
Si a la edad de la hija se le asigna un valor x, la edad de la madre será 6x. Luego, se plantea y resuelve lo siguiente: 7(x – 1) = 6x 7x – 7 = 6x x =7 Finalmente, se concluye que la edad de la hija será de 11 años en cuatro años más. • El error cometido es:
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
Matemática 8
107
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
1
fila Segunda
1
1
1
2
1
Cuarta fila
1
3
3
1
Primera fila
Tercera fila
1
4
6
4
1
Sexta fi la
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
Quinta fila
1
Séptima fila
Este ordenamiento de números se denomina triángulo de Pascal. Y puede seguir construyéndose. a. Escribe la octava y novena fila del triángulo de Pascal.
b. Describe cómo se puede obtener cualquier fila del triángulo.
c. Analiza la secuencia de números que está destacada en rojo en el triángulo de Pascal. ¿Qué regularidad se puede observar?
d. Analiza el desarrollo de cada expresión y luego responde. Cuadrado del binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cubo del binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ¿Qué relación existe entre el desarrollo de estos binomios y la tercera y cuarta fila del triángulo de Pascal?
108
Álgebra y funciones
2. Resuelve de acuerdo con la relación descubierta en la actividad anterior. a. ¿Cuál es la resolución de (a + b)4?
b. ¿Cuál es la resolución de (a + b)7?
c. ¿Cuántos términos tendrá la resolución de un binomio elevado a 12?
d. Observa el cálculo de los binomios anteriores para luego escribir una forma de obtener la resolución del cuadrado de cualquier binomio utilizando el triángulo de Pascal.
Ampliando mis conocimientos
3
3. Calcula, utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, el cuadrado de los siguientes trinomios. a. (a + b + c)2
b. (x + y + w)2
c. (2x + b + k)2
d. (m – 2n + 3q)2
Matemática 8
109
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cómo se escribe en lenguaje algebraico el doble del cuadrado de un número? A. 2x B. x2 C. 2x2 D. (2x)2
2 ¿Cómo se escribe en lenguaje natural la expresión 2(x – y)? A. El doble de dos números. B. El doble de la diferencia entre dos números. C. El cuadrado de la diferencia entre dos números. D. La mitad de la diferencia entre dos números.
3 ¿Cómo se pueden representar algebraicamente un número par, su antecesor par y su sucesor impar, respectivamente? A. 4n; 4n + 1; 4n – 1 B. 4n; 4n + 2; 4n + 1 C. 2n; 2n + 2; 2n – 1 D. 2n; 2n – 2; 2n + 1
4 ¿Cuál es el valor de la expresión 4m – n, si m = –1 y n = –2? A. 2 B. 6 C. –2 D. –6
5 ¿Cuál es el valor de aa – bb, si a = 2 y b = 3? A. 0 B. –5 C. –9 D. –23
6 ¿Qué resulta al reducir la expresión 5x – 3y – 6x + 4y? A. 0 B. x + y C. –x + y D. –x + 7y
110
Álgebra y funciones
1 , ¿cuál de las siguientes expresiones es la 1 x=–2 menor? 1 2 13 A. x3 x1 x1 B. x C. –x D. –x2
7 Si x = –
8 ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo cuyos lados corresponden a las expresiones 2p – 3q y 4q – p? A. p – q B. p + 2q C. 2p + q D. 2p + 2q
9 ¿Cuál es la expresión que representa la medida de un lado si el perímetro del cuadrado es 4q + 12? A. q + 3 B. q + 4 C. q + 12 D. 2q + 6
10 ¿Qué expresión se obtiene al calcular la diferencia entre (10x – 7w + 3z) y (11x – 6w – 4z)? A. x – w – 7z B. –x – w + 7z C. –x – 11w – z D. –x – 11w + 7z
11 ¿Qué expresión se obtiene al realizar la multiplicación de 4ab con –0,25b? A. –a B. –ab C. –ab2 D. –100ab2
12 ¿Cuál es el producto entre (7p) y (q – 2p)? A. 7p – 2p2 B. 7pq – 2p C. 7pq – 14p D. 7pq – 14p2
13 ¿Cuál expresión representa al área de un rectángulo cuyos lados son las expresiones (w + 5) y (3w + 2)? A. 3w2 + 17w + 7 B. 3w2 + 17w + 10 C. 3w2 + 15w + 10 D. 3w2 + 2w + 10
14 ¿Cuál es el producto entre dos números pares consecutivos si el mayor de ellos está dado por la expresión 2n – 10? A. 4n2 + 44 + 120n B. 4n2 + 44 – 120n C. 4n2 + 120 – 44n D. 4n2 + 80 – 36n
15 ¿Cuál es el producto entre tres números enteros consecutivos si el mayor de ellos está dado por x + 1? A. x B. x2 – 1 C. x3 – x D. x4 – x2
16 ¿Cuál es el producto entre (5b – 2p) y (3b – p)? A. 15b2 + 11bp + 2p2 B. 15b2 – 11bp + 2p2 C. 15b2 + 11bp – 2p2 D. 15b2 – 11bp – 2p2
17 ¿Qué expresión se obtiene al elevar al cuadrado el binomio 3x – 2? A. 9x2 – 4 B. 9x2 – 12x – 4 C. 9x2 – 12x + 4 D. 9x2 + 12x + 4
18 ¿Cuál es el resultado del cuadrado del binomio (5 – 4w2)2? A. 25 – 16w4 B. 25 + 40w2 + 16w4 C. 25 – 40w2 – 16w4 D. 25 – 40w2 + 16w4
Evaluación final
3 19 ¿Cuál de las siguientes igualdades es VERDADERA? A. (x + y)2 = x2 + y2 B. (x + y)(x – y) = x2 – y2 C. (x + 2)(x + 3) = x2 + 6x + 5 D. 3x(2x • 4y) = 6x2 + 12xy
20 ¿Cuál es el desarrollo de la expresión 2 9 (0,6x – 0,1t)(0,6x +t20,1t)? 9 9 x22 – tt22 x2 – 9 x2 – tt22 5 10 9 5 9 t 5 xxx22 ––– 10 10 2 A. 5 10 5 10tt222 9 x2 – t 9 5 t222 10 9 29 x 9– xx2 –– t222 25 100 9 x10 9 tt 5 25 100 xx222 ––– 2100 2 B. 25 25 100 25 1003 2 t 32 22 t2tt22100 9 25 x–2 –– t222 5 x – 10 x3 3 x 3 tt – 10 3 xx222 100 25 5 5 2 C. x 2–– 10 10 5 3 22t 10 t222 3 x2 – t 3 25 10 5 3 t x 3–xx2 –– t222 5 100 3 tt 5 2 – 100 3 xx10 5 2 2 –– 100 D. 5 3 x 5 100 3 2 8y33 3 x 2 – 8y 3 t22 100 3 25 53 100 8y x 3– xx 2 –– 8y333 4 5de: 3 5resultado 4 – 8y xxes 2 5 4 8y 3 100 21 ¿Cuál 2 5 2 –el – x 5 3 3 4 533 3 2 8y 3 4 5 x4 32 – 8y 8y 2 3 8y 333 x + 4 3 xx 22 5+ + 8y 5 ? 34 4 5 3 8y 4 5 x + 2 3 8y 2 2 x + 3 5 3 4 5 4 6 3 5 x2 y 3 642x+22 y8y x6 A. 3 6 x2 y 3 5 4 6 5 6 5 xxx222 yyy 3335 5 12 2 3 12 6 5 5 xy 123x22 y 33 2 12 x y x y B. 12 2 3 5 5 x y 2 3 5 12 2 3 5 xx2 yy 3 5 9 64 9 12 5 5 92 x344 – 64 64 y66 x4 – y6 x9 yx – 64 16 y6 25 9 25 C.5 16 9 xx4444 –– 64 64 16 25 yyy666 x – 16 25 9 64 25 9 9 16 16 256 y 33 x2 – y 3 2 64 94 x64 2 – 64 64 x9 – y x – 64 y163 25 9 25 yy 333 – 64 9 xx222225 16 16 16 D. x –– 25 y 16 25 9 16 16 64 25 25 x2 – y 3 16 25
Matemática 8
111
EVALUACIÓNFINAL 22 ¿Cuál es el doble del valor de m al resolver la ecuación 2(m – 3) – 5(1 – 2m) = 8(2 – m)? A. 3 B. –3 27 C. 10 27 27 D. 10 20 27 x x 3 x 23 ¿Cuál es el cuadrado del valor de x en la ecuación 20 3 – 1+ 2 2 – 4 = 2 x 3 x x – 1+ 2 – = ? 2 4 2 3 A. 9 B. 6 C. 3 D. –3
24 El doble de la edad de Francisco disminuida en cinco es trece. ¿Cuál es la edad de Francisco?
a b
B
C.
A
B
1
10
0
2
20
12
30
11
A
B
c B.
A 0,5
B
D.
0
1,5
función? A
f
1 2
B
C.
A
g
B
8
6
8
9
2
2
3 A 4 6
1
a b c
27 ¿Cuál es la preimagen de –1, si f(x) = x3?
g
B 7
D.
A
k
A. 0 B. –5 C. –10 D. –15
29 Sea f(x) = 2x – 3. ¿Cuál es la imagen de –4? A. –9 B. –10 C. –11 D. –12
B 0
8
0
3
1 Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
112
0
28 ¿Cuál es la imagen de 10 si f(x) = x – 52?
25 ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una
B.
función? A. A
A. 1 B. 3 C. –1 D. –3
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
A.
26 ¿Cuál de los siguientes diagramas NO representa una
Álgebra y funciones
II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Si las medidas de dos ángulos suman 180° y están dados por las expresiones 4x + 20 y 7x – 5, ¿cuál es la medida del ángulo menor?
Evaluación final
3
2 En un trapecio isósceles las bases miden 8k y 14k. Si la altura mide 4k, ¿cuál es una expresión para la medida de su superficie y de su perímetro?
3 En una cuenta de luz se aplica un cargo fijo de $ 900. Se sabe que por un consumo de 200 kWh se facturan $ 7.000. ¿Cuánto se pagó el mes siguiente si el consumo aumentó al doble?
Matemática 8
113
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Procedimiento
Ejemplo
Lenguaje algebraico.
Ecuación.
Función.
Concepto
Consiste en asignar un número a cada variable que la Valorizar una expresión algebraica. compone y determinar mediante operaciones dicho valor.
Reducción de términos semejantes.
Multiplicación de expresiones algebraicas.
Cuadrado de binomio.
Binomio con término común.
Suma por diferencia.
114
Álgebra y funciones
1 ey=3 2 La expresión: 12 – 2xy = 9 Si x =
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Expresiones algebraicas
Comprender
2
Expresiones algebraicas
Interpretar
3
Expresiones algebraicas
Comprender
4
Expresiones algebraicas
Aplicar
5
Expresiones algebraicas
Aplicar
6
Expresiones algebraicas
Aplicar
7
Expresiones algebraicas
Aplicar
8
Expresiones algebraicas
Aplicar
9
Expresiones algebraicas
Aplicar
10
Expresiones algebraicas
Aplicar
11
Expresiones algebraicas
Aplicar
12
Expresiones algebraicas
Aplicar
13
Expresiones algebraicas
Aplicar
14
Expresiones algebraicas
Analizar
15
Expresiones algebraicas
Aplicar
16
Productos notables
Aplicar
17
Productos notables
Aplicar
18
Productos notables
Aplicar
19
Productos notables
Evaluar
20
Productos notables
Aplicar
21
Productos notables
Aplicar
22
Ecuaciones
Aplicar
23
Ecuaciones
Aplicar
24
Ecuaciones
Analizar
25
Funciones
Evaluar
26
Funciones
Evaluar
27
Funciones
Aplicar
28
Funciones
Aplicar
29
Funciones
Aplicar
Clave
Mi revisión
¿Cuántas correctas tuve?
15 Expresiones algebraicas
6
Solucionario de evaluación final
3
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
Productos notables
3 Ecuaciones
5 Funciones
Matemática 8
115
4
Proporcionalidad El efecto invernadero es un fenómeno atmosférico natural que permite mantener la temperatura del planeta al retener parte de la energía proveniente del Sol. El aumento de la concentración de dióxido de carbono (CO2), proveniente del uso de combustibles fósiles, ha provocado la intensificación del fenómeno y el consecuente incremento de la temperatura del planeta.
Se estima que: • Un kilómetro cuadrado de bosque genera, aproximadamente, mil toneladas de oxígeno al año. • Una hectárea arbolada urbana produce al día el oxígeno que consumen seis personas. • Un árbol de unos 20 años absorbe en un año el CO2 emitido por un vehículo que recorre de 10.000 a 20.000 kilómetros.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
116
¿Para qué?
¿Dónde?
Tipos de variables.
Identificar y clasificar distintos tipos de variables.
Páginas 118 a 119.
Funciones que representan distintos tipos de proporcionalidad.
Reconocer variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional.
Páginas 120 a 131.
Relaciones de proporcionalidad entre dos variables. Porcentaje.
Resolver y analizar diversas situaciones problemáticas que representen magnitudes proporcionales y no proporcionales.
Páginas 132 a 135.
Proporcionalidad
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Qué es el efecto invernadero? 3) ¿Cuánto oxígeno genera aproximadamente un kilómetro cuadrado de bosque? 4) ¿Cuántas hectáreas de árboles producen el oxígeno que consumen 12 personas al día?
Evaluación inicial Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. Los bosques en Chile cubren 15,5 millones de hectáreas del total de la superficie chilena, que es de 75,7 millones de hectáreas. Es decir, el 20,7% del país está cubierto por bosques. Existen dos tipos de bosques en el territorio nacional: los bosques nativos y los exóticos o cultivados por el hombre, que se conocen con el nombre de plantaciones forestales. Si del total de la superficie que cubren los bosques en Chile, 13 millones 400 mil hectáreas son de bosques nativos, mientras que 2 millones 100 mil hectáreas son de bosques exóticos, ¿qué porcentaje del total del territorio cubierto por bosque es nativo? Fuente: www.bosquesparachile.cl 1) ¿Qué se debe conocer para poder contestar la pregunta?
2) ¿Qué procedimiento puedes aplicar para responder correctamente la pregunta?
3) Responde la pregunta que se plantea en el problema.
Matemática 8
117
Relación entre dos variables (dependientes e independientes) Para respaldar la información de un computador se comprarán CD grabables por un valor de $ 300 cada uno.
La cantidad de dinero necesaria dependerá del número de CD que se deben comprar; este número dependerá de cuánta información se quiere respaldar y esta, a su vez, dependerá del tamaño de cada archivo por respaldar. Como puedes observar, hay variables que dependen de otras.
Número de CD
Información por respaldar
Tamaño de archivos
Para grabar Variable: magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.
Una variable independiente es aquella que no depende del valor de otra variable. Una variable dependiente es aquella cuyo valor depende del valor de otra variable.
¿Por qué crees que se emplean las palabras dependiente e independiente para identificar un tipo de variables?
Ejemplo:
A = x2
x Medida del lado de un cuadrado (variable independiente) y su área (A) (variable dependiente).
Ejercita
1.
Identifica qué tipo de variable representa cada situación. Para ello, completa la tabla. Situación Número de trabajadores y el tiempo empleado en una construcción. Consumo de tabaco y daño corporal. Capacidad de un pendrive y tamaño del archivo. Número de páginas de un libro y el papel usado.
118
Proporcionalidad
Variable independiente
Variable dependiente
4
2. Identifica la variable dependiente y la independiente en cada caso. a. Perímetro de un cuadrado y la medida de su lado. Variable dependiente: Variable independiente: b. Litros de bencina y kilómetros recorridos. Variable dependiente: Variable independiente:
3. Identifica el tipo de relación que se establece entre las variables de cada situación. Luego, completa la tabla. Observa el ejemplo. Situación Consumo de energía eléctrica y potencia de los electrodomésticos.
Relación entre las variables A mayor potencia de los electrodomésticos, mayor consumo de energía.
El área de una baldosa y la cantidad de ellas que se necesita para cubrir una superficie. La cantidad de hojas que se imprime y el consumo de tinta.
4. Analiza la siguiente información y marca el recuadro correspondiente en cada caso. Variable cualitativa (o de atributos) Entrega información que muestra una cualidad, un atributo no cuantificable. Por ejemplo, color de ojos. Variable cuantitativa (o numérica) Entrega información numérica, es decir, cuantificable. Por ejemplo, edad.
Cualitativa
Cuantitativa
b. Nacionalidad de un grupo de turistas que visita cierto país. Cualitativa
Cuantitativa
Cualitativa
Cuantitativa
d. Habitantes de las comunas de la Región Metropolitana. Cualitativa
Cuantitativa
Cualitativa
Cuantitativa
a. Temperatura máxima durante los días de abril.
c. Superficie de las regiones en que se divide Chile.
e. Colores de la bandera de un país.
Matemática 8
119
Planteamiento y resolución de problemas por medio de funciones El costo de energía eléctrica depende del gasto en kilowatts hora (kWh) consumido y de un cargo fijo mensual.
Si el costo de un kilowatt hora consumido es aproximadamente de $ 13,1 y el cargo fijo es de $ 130, entonces, si se designa como x el número de kilowatts hora consumidos, la función que permite calcular el costo de la energía eléctrica (C) está dada por: C(x) = 130 + 13,1x Variable dependiente
Variable independiente
Para grabar Una función permite modelar fenómenos relacionando un par de variables, una dependiente y otra independiente.
Ejemplo: Un contenedor se llena en función del tiempo, de tal modo que el volumen corresponderá al quíntuple de minutos que emplee en llenarse. Es decir: V(t) = 5 • t La variable volumen (V) depende del tiempo (t).
Ejercita
1.
Analiza cada enunciado. Luego, represéntalos como función. a. El perímetro (P) de un triángulo equilátero de lado x.
b. El volumen (V) de un cubo y una de sus aristas (a).
Para saber más Si en un hogar chileno se usa diariamente un computador durante 4 horas, se consumen 26 kWh por un valor aproximado a los $ 3.406 mensuales.
c. El suplemento (S) de un ángulo agudo .
d. El área (A) de un triángulo rectángulo y su altura (h).
Fuente: www.chilectra.cl No olvides que las páginas web o su contenido pueden variar.
e. El área (A) de un rectángulo de largo x y ancho nueve unidades menor que el largo.
120
Proporcionalidad
2. Resuelve el siguiente problema. Un vendedor de televisores de una tienda comercial recibe un sueldo base de $ 180.000. Si por cada televisor vendido gana $ 20.000, ¿cómo modelarías el sueldo que obtendrá a fin de mes con una función? Justifica.
4
3. Analiza el siguiente recuadro. Luego, completa. Observa qué función modela la siguiente secuencia de números según su posición. Secuencia: 3, 5, 7, 9, 11, 13,… Posición
1
2
3
4
5
6
Número
3
5
7
9
11
13
La idea es encontrar la relación que existe entre la posición del término de la secuencia y el valor de este. En este caso, cada número se obtiene multiplicando su respectiva posición por 2 y luego sumándole 1. Entonces, la función que modela esta secuencia numérica es: f(n) = 2n + 1, con n representando la posición. Así, el 5° término es 11, ya que f(5) = 2 • 5 + 1 = 11; el sexto término es 13, ya que . El 10° término es
, ya que
.
4. Aplica la técnica del ejercicio anterior y determina la función que modela cada caso. a. 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
b. 1, 3, 9, 27, 81, …
c.
1 2 3 4 5 , , , , , ... 2 3 4 5 6
Matemática 8
121
Razones y proporciones Un fabricante de automóviles promociona uno de sus modelos diciendo que este recorre 20 km por cada litro de combustible. Por su parte, otro fabricante asegura que su vehículo recorre 60 km por cada 3 litros de combustible. ¿Cómo se pueden comparar estos datos?
Estos datos se pueden comparar mediante expresiones, llamadas razones.
Razón
Para grabar
1 20 de litros Cantidad 3 de combustible 60 1 = 3 20 60
1 20 1 3 20 60 3 11Razón 1 = 3 60 60 20 20 1 a Proporción 20 1 ó a : b a 1 1 =33ó 20 3 a :b 1 b b 6020 20 1 20 60 3 Kilómetros 1 20 60 3 1 3recorridos20 a 1 = 3 3 40 3 ó 1a : b 60 60 3 20 60 60a c b 401 = 1 3 60 20 60 1 = 3 = 3 60 a20c 20 1 = 1 a 1 = 3 b d a = 20 = 60 ó a:b 1 201 60 b ód a : b 60 1 3 b 3 20= 60 40 b3 aa ó a : b 20 1 b3 ó a : b a = 60 a c60 1 a ó quea120 : b 20 40 1 = Ejemplos: Expresión numérica = 3 b3 b a ó a : b, conbb ≠d0,401 120 40compara dos cantidades 1 3 12 b ó a : b = 40 60 1 1 yla 12 3 b 20 60 1 3 a o cnúmeros mediante , “1 es a 40”. se1lee “a es a b”, donde: 2 10 1 3 = a yc 40 = 40 = 10 401 = 1antecedente 40 2a120 d b división. a: a 40 4 60 8 20 b ód aa=: bcc y a c b:40consecuente 3 b412 8b = d 1 3 20 a c a =5 9 = y 1 y b3 d ódo más a:b a =c 5 1 =9 1 40Igualdad 120 entrebdos 3 10 2 3 b1 10 y3 5 b = d, b ≠ 0, d ≠ 0, 40 120 1 = 3 , “1 es a 40 5 10 d b 40 12 3 razones. 4 8 60 40 = 120 1 3 1 6= 3 y yc 3 y 12 40 120 es a 120”. 401 1203 se1 lee= “a3 es a b como 3 312 6 yc como a 2 10 9 5 3 10 es40a =d”120 2 = 10 407 = y 12 3 y 12 3 10 7 40 4 8 10 b5y d 2 y 10 20 12 3 120 14 a 5yc 60 y y4 8
1 20 3 60 1 = 3 1 20 Proporción 60 20 a 3 ó a:b b 60 1 1 3 2 10 2a = 10 401 = 3 y 12 5 9 6 531 y=1443 8 ód ya 5: b 2 y 10 5 94 y 8 20 60 b4 20 a c 5 20 40 120 10 5 7 10 b1 y48 3 1 24 810 20 5y9 a= y y 10 y 5 5 Ejercita y 51 =9 b3 ód a : b 4 8 1 95 34 y 12 6 3 5 14 5y 9 9 y 10 4012 120 3 6 b1 10 3 10 y5 96 yy 5 12 510 95 7 10 60 5 y 10 20 2 40 = y 6 9 12 3 razones forman 1 y siguientes y7 106 3 3 1. Identifi una proporción. y y 401 ca 1203cuáles de5las 14 3 6 5 10 a c 4 491yy 867 10 2 =2410 12 6 y 3 40 = 14 5 7 y 10 3 1260 7 d10y 6 3 20 59 9 12 12 24 20 5 a. a yc d. b4 y18 g. 20 y 55 y 14 8 9 7 10 Razón
Para saber más Se estima que en Chile hay aproximadamente 6,9 personas por cada automóvil. Fuente: www.cavem.cl No olvides que las páginas web o su contenido pueden variar.
122
Proporcionalidad
2a = 10 b ód a : b b4 y 8 1 3 51 =9 40 120 10 5 40 3 y 12 a6 yc 3 2 = 10 b7 y d10 4 8 b. 51 y 143 5 =9 5 20 40 y 120 10 5 34 y 121 6y 3 9 12 10 2 7 y10 49 y 86 5 y 14 24 5 9 12 20 y 5 18 y 59 10 c. 4 y 1 50 3 6 6 12 y 9 y 60 7 105 9y 6 6 14 5y4 24 12 8 20 y35 18 y 9 4 1 50 6 12 y 9 60y 5 9 6 6 4 24y 12 8 y3
y 51 y 143 4 1 =9 y 6 5 50 5 20 12 9 4060 120 10 y 5 5 y 34 y 121 9 6 6 6y 34 9 12 y10 24 12 2 7 8y103 y 49 y 86 18 9 5 y 14 24 50 6 5 9 12 20 y 5 y 18 y 59 60 5 e. 10 4 y 1 50 6 4 3 6 y6 12 9 y 60 7 y105 8 3 9y 6 6 14 5y4 24 12 y 8 20 35 18 y 9 4 1 50 6 12 y 9 f. 60y 5 9 6 6 4 24y 12 8 y3 18 9 50 6 y 60 5 6 4 y 8 3
7 y 10 5 y 14 520 145 20 y 5 4 y 1 4 12 91 12 y 9 9y6 9 612 24 24 y 12 18 y 9 18 50 69 50 y 6 60 y 5 60 6 45 6 y4 8y 3 8 3
y 18 y 5 59 145 6 9 10 20 1 y5 4 y 20 34 y 1 612 y 6 24 50 y12 94 1 5 9 7 9y1012 18 60 9 y 612 y 9 14 y 6 56 4 50 6 12 y24y 9 59 612 20 60 8 5 yy324 9 y 12 18 24 1 y 9 6 44 18 y 50 6 18 9 8 h. 312 yy 950 6 60 50 5 y6 9 6 y5 6 460 60 12 45 24y 6 8 y36 y 4 18 89y 3 50 86 3 y 60 5 6 4 i. y 8 3
2. Analiza la siguiente información. Luego, identifica si las variables están en proporcionalidad directa, inversa o no hay relación de proporcionalidad.
4
Proporcionalidad directa: relación entre dos variables, tal que si una de ellas aumenta (o disminuye) en un factor, la otra aumenta (o disminuye) en el mismo factor. Ejemplo: el precio de un cuaderno y la cantidad por comprar están en proporción directa, ya que si el precio de cada cuaderno es $ P, se cumple que: 1 cuaderno 2 cuadernos 3 cuadernos
$P 2•$P 3•$P
Proporcionalidad inversa: relación entre dos variables, tal que si una aumenta (o disminuye) en un factor, la otra disminuye (o aumenta) en un factor igual al recíproco del aumento (o disminución) de la primera variable. Ejemplo: en una fiesta de cumpleaños se compra una torta y se reparte en porciones iguales por persona. Las variables número de personas y cantidad de torta están en proporción inversa, ya que a mayor número de personas, la porción disminuye, y a menor número de personas, la porción aumenta, proporcionalmente. No proporcionalidad: dos magnitudes no son proporcionales cuando no existe un factor que haga que sean inversa o directamente proporcionales. Ejemplo: la estatura de una persona y su edad. a. Cantidad de género y número de prendas iguales que se pueden confeccionar.
b. Cantidad de ampolletas encendidas y costo de la energía eléctrica consumida por ellas.
c. Rapidez de un automóvil y tiempo en recorrer una cierta distancia.
d. Cantidad de naranjas ingeridas en el desayuno y vitamina C absorbida por el cuerpo.
Matemática 8
123
Proporcionalidad directa Se estima que tres personas producen aproximadamente 1,2 kg de basura al día.
El número de personas y la cantidad de basura diaria producida por ellas están relacionadas proporcionalmente. Observa la tabla: Número de personas
5 númerodepersonas Cantidad de basura (kg) 1,2 2,4 3,6 4,8 cantidaddebasura 6 3 4 5 1 2 = = = =0,83 = 1,2 2,,4 3,6 4,8 6 númerodepersonas Para los valores de la tabla, el cociente: , es constante. y1 y2 y3 cantidaddebasura = = = ... = k; coon k constante. Es decir: númerodepersonas x1 x2 x3 3 4 5 1 2 cantidaddebasura = = = =0,83 = y 1,23 2,,44 3,65 4,8 6 1 2 =k Fuente: =y y= y = =0,83 = x http://www.conama.cl 3 2 4,8 6 1,2 2,,4 13,6 = = = ... = k; coon k constante. 20 15 x1 x2 x3 y y y = ⇒ 15M=360 ⇒ M= 24 númerodepersonas 3 1 2 = = = ... = k; coon k constante. M 18 y k x x x cantidaddebasura 1 2 3 =k Para grabar 5 N x = ⇒ 6N=50 ⇒ N=8,3 3 4 5 1 2 y = en proporcionalidad = =0,83 =númerodepersonas 6 10 2° Dos variables están en proporción directa si Ejemplo: 1° Si las variables x=e y están =k 20 15 1,2 2,,4 3,6 4,8 6 = que⇒ 15M=360 ⇒–M= el gráfico que las relaciona xes una línea recta La expresión 4x 6y =24 0 representa directa, entonces: a c5 una relación 18 = kya y y 1 ycantidaddebasura 20 del15eje M pasa por el origen (intersección con el de⇒proporcionalidad directa, b =dque: = 12 = 32= ... = k;3 coon k4constante. = ⇒5X15M=360 M= 24 5 N 5 y 6 x 1 x 2 =x 3 = M 18 = = =0,83 eje Y). = ⇒ 6N=50 ⇒ N=8,3 k = como: = 2 4,8en proporción 6 2,,4 (x e3,6 1° Puede ser escrita Es decir, dos1,2 variables y) están 6 5 N 6 10 y x 3 ⇒ N=8,3 =Y ⇒ 6N=50 ky 1 una y3 y 2 expresión directa si=dada matemática que las a c 2° Su gráfico es: 6 10 = = = co o n k constante. = ... = k; x y3 relaciona, sexpuede b d x escribir x como: a c 20 115 2 3 y = 2 y 2 = ⇒ 15M=360 ⇒ M= 24 Y b d 5 = M y 18 y1 = k ; con k una constante; númerodepersonas k= x 3 x4 y 2 6 5 xN =O x x x cantidaddebasura = 20⇒15 6N=50 ⇒ N=8,3 x 3 1 2 3 X 24 3 4 15M=360 5 1 6 2 10 =3 ⇒ ⇒ M= k es llamada 5 =constante = =0,83 =a c M 18= de proporcionalidad. 2 k = y4 1,2 2,=,4 3,6 4,8 6 6 (O) origen 5 N 1 b d y 1 y 2 y 3= ⇒ 6N=50 ⇒ N=8,3 = y =26 =10 ... = k; coon k constante. 0 1 2 3 x 1 x2= x3 númerodepersonas X x 3a = c cantidaddebasura y b d =k 3 4 5 1 2 x y 2 = = = =0,83 = = 1,2 2,,4 3,6 4,8 6 Ejercita 20 15 x 3 = ⇒ 15M=360 ⇒ M= 24 y1 y2 y3 5 M 18 = = = =X...e= Y on k constante. k; co kCalcula 1. el valor de M y N si las están en proporcionalidad directa. En 6 x 1variables x2 x3 5 NAyuda = ⇒ 6N=50 ⇒ N=8,3 cada caso, calcula la constante de proporcionalidad. 6 10 y = k X e Y están en proporción directa, entonces: Ejemplo: Como a c X Y x Si = , entonces: b d M 20 20 15 = ⇒ 15M=360 ⇒ M= 24 5 y 2 a•d=b•c 18 15 M 18 k = = 10 N x 3 6 5 N = ⇒ 6N=50 ⇒ N=8,3 6 5 6 10 a.
124
Proporcionalidad
1
a
X 3 N 7 30
Y 4 9 M 40
b
=
2
c d
y 2 = x 3
3
b.
X 20 10 5 2,5
4
Y 4 2 N M
4
2. Identifica cuál o cuáles de las siguientes igualdades relacionan a dos variables (x e y) en proporcionalidad directa. Calcula la constante de proporcionalidad cuando corresponda.
Ejemplo:
a. 3x – 5y = 1
3(x – 2) = 10y – 6 ⇒ 3x – 6 = 10y – 6 ⇒ 3x = 10y y 3 = ⇒ x 10 2 y= x 3 3 b. –2x – y = 0 y= x 2
Las variables x e y son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 0,3.
c. 10 – 7y + 5x = 10
3. Resuelve el siguiente problema. Estudios aseguran que la Isla de Pascua se acerca al continente sudamericano a razón de unos 10 cm por año. ¿Cuántos centímetros se acercará al continente durante 18 meses? (fuente: http://www.rapanuivalparaiso.cl)
4. Analiza la información del recuadro. Luego, responde en tu cuaderno. La fuerza (F) medida en Newton (N) necesaria para estirar un resorte es directamente proporcional a la longitud de su estiramiento x (x0), es decir, que se puede escribir F = k • x, donde k es la constante de proporcionalidad y no depende de x. La igualdad F = k • x puede ser representada por función lineal, F(x) = k • x, con constante de proporcionalidad k. x
Ayuda Una función lineal es de la forma: f(x) = m • x, con m ≠ 0.
y 3 = x 10 2 y 3 y= x = es la constante de proporcionalidad de las siguientes funciones? a. ¿Cuál 3 x 10 3 2 y= x y= x 3y = –2x 2 3 3 x = fuerza b. Siyla necesaria para estirar 10 cm de un resorte es 25 N, ¿cuál es el valor de la 2 constante de proporcionalidad en este caso? Además, F(x) = k • x, puede escribirse: y = k • x.
Matemática 8
125
Proporcionalidad inversa Un albañil quiere construir un piso rectangular de madera de 48 m2 pero no sabe las dimensiones del largo ni del ancho. ¿Cuáles podrían ser las posibles dimensiones del piso?
Para responder la pregunta se pueden organizar las posibles dimensiones en una tabla. Medidas de largo y ancho del piso Largo (m) 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48
Ancho (m) 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1
Observa que el producto entre cualquier par de valores de las variables largo y ancho es el mismo: 1 • 48 = 2 • 24 = 3 • 16 = 4 • 12 = 6 • 8 = .… = 48 En este caso, las variables están en proporcionalidad inversa, ya que si una de ellas aumenta al triple, la otra disminuye a la tercera parte.
Para grabar 1° Si las variables x e y están en proporcionalidad inversa, Ejemplo: entonces: Tiempo de producción de 600 tornillos Número de máquinas Tiempo (s) x1 • y1 = x2 • y2 = … = k 10 60 Es decir, dos variables (x e y) están en proporción inversa 20 30 si dada una expresión matemática que las relaciona, se 30 20 puede escribir como: 40 15 x • y = k; con k constante de 50 12 proporcionalidad 60 10 2° Dos variables están en proporción inversa si el gráfico que las relaciona es una curva que no pasa por el origen (intersección del eje X con el eje Y), ni intersecta a los ejes. Y y6 y5 y4 y3 y2 y1 O
126
Proporcionalidad
60
Las variables “número de máquinas” y “tiempo” son inversamente proporcionales. 1° El producto entre las cantidades correspondientes es constante. 10 • 60 = 20 • 30 = 30 • 20 = 40 • 15 = 50 • 12 = 60 • 10 = 600
Segundos
2°
10
60 50 40 30 20 10
50 40 30 20 10 0
x1
20
x2
30
x3
40 50 Numero de máquinas x x 4
5
X
0
60
Segundos Tiempo de producción de 600 tornillos
Segundos
50
40 30 20 10 10
0
10
20
20
30
30
40 50 Numero de máquinas 60 40 50
Número de máquinas
1.
Calcula el valor de A y B si las variables P y Q están en proporcionalidad inversa. En cada caso, calcula la constante de proporcionalidad. c.
a. P A 1 3 5
Q 90 B 15 9
A= B= k=
P 12 B 20 30
Q 5 10 3 A
P 25 10 B 4
Q 2 5 3 A
4
A= B= k=
d.
b. P 7 B 10 25
Q A 8 10 4
A= B= k=
A= B= k=
2. Identifica cuál o cuáles de las siguientes igualdades relacionan a dos variables (x e y) en proporcionalidad inversa. Calcula la constante de proporcionalidad cuando corresponda.
Ejemplo:
3 inversamente Las variables x e y son =x • y 7 proporcionales y su constante de 3 proporcionalidad es . 7
3 + 7x = 7x(y + 1) ⇒ 3 + 7x = 7xy + 7x ⇒ 3 = 7xy 3 ⇒ =x • y 7 3 7 a. –x – 3y = 0 b. –2x – 5y = –6
c. 10 – 4y(2x – 1) = 5 + 4y
3. Resuelve los siguientes problemas. a. Un auto se demora una hora y cuarto en recorrer una distancia con una rapidez de 90 km/h. ¿Cuánto demorará en recorrer la misma distancia si su rapidez aumenta en 10 km/h?
b. Para pavimentar un camino trabajan por igual 20 obreros y en 5 días terminan la obra. Si solo hubieran trabajado 12 de ellos y todos trabajan por igual, ¿cuánto tiempo hubiesen tardado?
Matemática 8
127
EVALUACIÓNINTERMEDIA 1
Ejemplifica los siguientes tipos de variables. Escribe tres de cada tipo. Variables cualitativas:
Variables.
Variables cuantitativas:
2 Ejemplifica los tipos de variables. Para ello, completa. Ejemplo 1
Ejemplo 2
a. Variable dependiente: Variable independiente:
3 Resuelve los siguientes problemas. a. El costo(C) de arrendar una máquina depende del número de horas(x) que este se arriende. Según la función: C(x) = 10.000 + 4.000x, responde: • ¿Cuál es el costo de arrendar una máquina por 3 horas? Planteo y resolución de problemas por medio de funciones.
• ¿Cuántas horas se arrendó una máquina si se cancelaron $ 36.000? b. Si una secuencia de números está modelada por la función f(n) = (nn-1)n, ¿cuál es el décimo término?
4 Analiza cada una de las secuencias de números y determina la función que las modela. a. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
b. 2, 5, 10, 17, 26, 37, …
128
Proporcionalidad
Razones y proporciones.
7 35 = 4 x 7 35 15 x = = Calcula el término que falta en cada caso para que se trate de una proporción. 5 4 x 18 6 15 x 7 35 x 3 b. c. = a. = = 18 6 4 x 6 5 x 3 15 x = = 6 5 18 6 x 3 = 6 5
4
6 Analiza y determina cuál de las siguientes relaciones entre x e y representa una proporción directa, una proporción inversa o ninguna de las dos.
a. 4x – 7y + 2 = 0
b. 9y – 20x = 0
c. 11 – 6xy = 0
Proporcionalidad directa e inversa.
7 Resuelve los siguientes problemas. a. Tres niños que trabajan por igual demoran 45 minutos en construir un castillo de arena. ¿Cuántos minutos demorarán cinco niños que trabajan por igual en hacer la misma construcción?
b. Para crear un bosque se plantan 4 árboles por cada 25 m2. ¿Cuántos árboles se podrán plantar si se tiene una superficie rectangular de lados 120 m y 250 m?
Matemática 8
129
Proporcionalidad compuesta Para poder armar veinte mediaguas se estima que se necesitan tres voluntarios trabajando durante 4 días. Si el número de voluntarios aumenta al doble y todos trabajan lo mismo, ¿cuántos días deben trabajar para poder armar 30 mediaguas?
Es posible calcular la cantidad de días que deben trabajar los voluntarios para terminar la obra considerando la relación entre las tres magnitudes involucradas. 1° Se ordenan los datos y se determina el tipo de proporcionalidad que hay entre la magnitud que contiene la variable, en este caso la variable número de días. Proporcionalidad directa Cantidad de mediaguas 20
Número de días 4
Cantidad de voluntarios 3
30
x
6 Proporcionalidad inversa
2° Se relaciona la magnitud que contiene la variable número de días con las otras magnitudes. 20 mediaguas
4 días
30 mediaguas
x días
Es decir, 3 voluntarios construyen 30 mediaguas en 6 días.
20 • x = 30 • 4 ⇒x=6
3° Se relaciona el resultado obtenido con la tercera magnitud. 3 voluntarios
6 días
6 voluntarios
x días
3•6=6•x ⇒x=3 ¿A qué crees que se refiere el título de esta página?
Es decir, 6 voluntarios tardan 3 días en construir 30 mediaguas.
Para grabar Una proporción compuesta corresponde a la relación entre tres o más variables que están en proporción directa y/o inversa. proporcionalidad directa Magnitud 1
Magnitud 2
Magnitud 3
a
c
d
b
x
e
proporcionalidad inversa Para calcular el valor de x se tiene que: a•c•e=b•x•d
130
Proporcionalidad
Ejemplo: proporcionalidad directa Cantidad de mediaguas
Número de días
Cantidad de voluntarios
20
4
3
30
x
6
proporcionalidad inversa Entonces se tiene que: 20 • x • 6 = 30 • 4 • 3 ⇒120 • x = 360 ⇒x=3 6 voluntarios demoran 3 días en construir 30 mediaguas.
1.
Resuelve los siguientes problemas. a. En una casa se mantienen encendidas 4 horas diarias 6 ampolletas durante 8 días. Si se desea mantener el gasto de energía eléctrica, ¿cuántos días deberán funcionar 12 ampolletas durante 8 horas diarias?
4
b. En una fábrica, dos máquinas pueden procesar 10 latas de conservas en 5 minutos. ¿Cuántas latas podrán procesar 3 máquinas en 12 minutos?
c. Dos jardineros pueden sembrar 20 m2 de jardín en seis horas. ¿Cuántos metros cuadrados de jardín podrán sembrar tres jardineros en cuatro horas?
2. Analiza la tabla. Luego, complétala y responde las preguntas. Distancia, velocidad y tiempo de recorrido de un vehículo Distancia (km) Velocidad (km/h) Tiempo (horas) 120
60
2
400
100
x
• ¿Cuánto demora un auto que recorre 250 km a una velocidad de 110 km/h?
Matemática 8
131
Porcentaje El disco duro de un computador es una unidad de almacenamiento de información. Si la capacidad del disco duro es de 80 GB y se distribuye de la siguiente manera: Espacio libre 65% 30%
Archivos del usuario
5%
Archivos del sistema
Para saber más El megabyte (MB) es una unidad que sirve para medir la cantidad de datos informáticos que puede contener un dispositivo de almacenamiento. 1 MB equivale a 1.024 KB (kilobyte) 1.024 MB equivalen a 1 GB (gigabyte)
132
Proporcionalidad
Para calcular la cantidad de gigabytes (GB) en cada categoría se puede hacer lo siguiente: Archivos del sistema El 5% de 80 GB es equivalente a: 5 • 80= 4 GB 100 30 5 • 80=24 GB Archivo del usuario 100• 80= 4 GB 100a: El 30% de 80 GB es equivalente 65 80 GB ⇔100% 30 • 80=52 GB 5 • 80=24 GB 100 100 • 80= 4 GB 5 100 a x • 80= 4 GB 65 = 30 • 80=52 GB 100 2 5 100 Espacio libre 5 100 • 80=24 GB 30 • 80= 4 GB 100 1 a: El 65% de 80 GB es equivalente • 80=24 GB a•a x 100 100 5 465= •280=52 30 5 4 GB GB 100• 80= 65 • 80=24 GB 700 x 100100 • 80=52 GB 100 51 a = x ⇒ x = 105 ••a80= 100 30 100 4 GB 15 = GB 65 4 • 80=24 100 a x• 80=52 GB 15 25 100100 Para grabar = x = 105 700 • 700 100 30 1 • 80=24 = 105 = ⇒ xGB 100 25 65100 a • 80=52 GB • Ejemplo: a x Porcentaje: El 25% de a como: 100 15 100 = 1 100420 El 15% de 700. Corresponde a una razón con 1) Proporción directa. a 25 •100 15 65700 x 700 = 105GB 4 directa. a 11•x•80=52 denominador 100. En palabras, se = = ⇒ x = 1051) Proporción 1 100 100 700 • a x 100 10025 15 intenta determinar: 4 = ⇒ x = 105 a20 x 100 15 1 15= 700 = 105 • 700 x • a11 25 “tantos de cada 100” 2) Fracción. 4100 15 = ⇒ x = 105 100 • 70015= 105 100 1 2) Fracción. 100 700•20 a x 15 4 = ⇒ x = 105 20 • 700 = 105 100 11 15 100 700 x 11 155 =• 80= x =GB 105 ⇒4 3) Número decimal. 20 15 = 105 100• 700 100 100 0,25 •a 3) Número decimal. 11 15 30 20 = 105 • •700 0,15 • 700 = 105 80=24 GB 100 100 11 20 65 • 80=52 GB 11 100 Ejercita a x 1. Calcula el porcentaje pedido en cada caso.100 = 25 1 a. 10% de 60 c. 75% de 2,4• a e. 20% de 7a 4 700 x = ⇒ x = 105 100 15 15 • 700 = 105 100 20 b. 15% de 120 d. 55% de f. 25% del 10% de 40 11
2. Calcula el porcentaje pedido en cada caso. a. 100% de 60
b. 450% es 6b
3 4 1 3 de 4 8 4 5 d. 300% de 60k
c. 750% es
e. 800% de 0,5
4
f. 200% de 0,1x
3 3. Calcula el porcentaje que representa la cantidad dada en cada caso. a. 12 de 60
b. 0,02 de 0,14
c. 150 de 120 3 4 1 3 de 4 8 4 d. de 2 5
4 1 3 e. de 4 8 4 5
f. 0,5ab de 3ab
4. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿El a% de b es igual al b% de a? Justifica tu respuesta con un ejemplo.
b. Un aumento de 20% en el precio de un artículo y, luego, un nuevo aumento de 20% sobre el nuevo precio ¿es equivalente a un único aumento de 40% del valor original? Justifica tu respuesta con un ejemplo.
c. Si el precio de un producto disminuye en 10% y luego sobre el nuevo precio se aplica un aumento de 10%, ¿el precio final del producto es igual al precio original?
Matemática 8
133
Aplicación de porcentaje El IVA corresponde al impuesto al valor agregado que el Estado recibe por una transacción comercial. Este impuesto equivale al 19% del valor inicialmente fijado al producto o servicio. ¿Cuál es el monto final que debe pagar una persona que desea adquirir un automóvil con el siguiente aviso?
SE VENDE $ 5.000.000 sin IVA
Una forma de determinar el monto final por pagar es: Calcular el 19% del valor inicial fijado y, luego, sumarlo al valor inicial. 19 • $5.000.000=$950.000 100 Luego, el monto final por pagar es: 119 • $5.000.000= $ 5.950.000 100 $ 5.000.000 + $ 950.000 = $ 5.950.000. $1935.700 x = ⇒ x = $ 5.700 • $5.000.000=$950.000 Otra forma consiste en calcular el 119% del valor inicial: 19 100119 $ 47.600 x 119 ⇒ x = $ 40.000 = $ 5.950.000 • $5.000.000= 119% de $ 5.000.000 = 100 100119 $ 35.700 x = ⇒ x = $ 5.700 19 119 Para grabar $ 47.600 x ⇒ x 19 = $ 40.000 = Una aplicación del porcentaje corresponde al Impuesto119 Ejemplos: • $5.000.000=$950.000 100 100 al Valor Agregado (IVA). 1) ¿Cuál es el IVA 119que se paga por un producto si su $5.000.000= $ 5.950.000 Valor a pagar o final monto final19 es de• •$$5.000.000=$950.000 35.700? 100 100 $ 35.700 x 119 = ⇒ x = $ 5.700 $ 5.950.000 19 119• $5.000.000= IVA Valor inicial 100 47.600 x producto si su monto 2) ¿Cuál es el$ $35.700 valor inicial ⇒ x = $ 40.000 =x de un ⇒ = 119 100 x = $ 5.700 final es de $ 47.600? 19 119 100% 19% $ 47.600 x ⇒ x = $ 40.000 = 119 100 19% de $ 5.000.000 =
Ejercita
1.
134
Proporcionalidad
Calcula el IVA de los siguientes montos finales. a. $ 6.000
c. $ 70.000
b. $ 10.500
d. $ 200.000
4
2. Calcula los montos para completar la tabla. Valor inicial
$ 20.000
IVA
$ 9.500
Valor final
$ 10.000 $ 95.200
3. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve los problemas. Otra aplicación de los porcentajes se puede observar en los sueldos de las personas que tienen un empleador. De manera muy simplificada, se puede modelar la forma que determina el sueldo que se va a recibir a fin de mes (sueldo líquido) de la siguiente manera: Al sueldo imponible se le debe descontar el 7% que se destina para la salud y el 12% (aproximadamente) para la jubilación, dinero que administra una AFP (Administradora de Fondos de Pensiones).
¿Qué relación tiene el sueldo imponible con el sueldo líquido?
Entonces, una liquidación tipo tendría la siguiente forma: Sueldo imponible: $ 600.000 Salud (7%): $ 42.000 AFP (12%): $ 72.000 Sueldo líquido: $ 486.000
Sueldo imponible
Imposiciones (Salud-AFP)
Sueldo líquido
a. Si una persona recibe como sueldo líquido $ 800.000, ¿cuál debe ser su sueldo imponible?
b. Si a una persona se le depositan en su cuenta de la AFP $ 120.000 para su jubilación, ¿cuál debe ser su sueldo líquido?
4. Calcula los montos para completar la tabla. Sueldo imponible Salud (7%) AFP (12%) Sueldo líquido
$ 800.000 $ 35.000 $ 108.000 $ 1.000.0000
Matemática 8
135
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.
D Analiza la resolución del siguiente problema. En la figura se observa un cuadrado de lado 4 cm y un punto E que está a 1 cm del lado CD . ¿Qué porcentaje del cuadrado está pintado?
Paso
C 1 cm E
Acuadrado = a 2
Comprende el enunciado b•h Atriángulo = ¿Qué datos son 2necesarios para resolver el problema? 4 • 3Een la 4 • 1 del2 punto Las medidas de los lados del cuadrado y la ubicación cm2 figura. 2 cm + 2 A + A Acuadrado 16 cm 8 cm2 100% • 8 cm2 16 cm 2 2 triángulo1 triángulo 2 ⇒ = ⇒ ⇒x= = = 50% = Paso 100% x 100% x 16 cm24 cm Planifica loxque vas a100% realizar A B Atriángulos = 8 cm2 Para calcular el porcentaje del área pintada, primero se debe calcular el área del cuadrado y de los triángulos pintados usando 100 el problema. 8 • 100 Luego, mediante una proporción directa se calcula el porcentaje pedido. los datos ⇒ que16entrega = = 50 ⇒x= 8 x 16 Paso 8 = 0,5 Resuelve el problema 16 Aplicar es usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. CD
Acuadrado = a 2 • Interpreta la información. CD CD b•h El área del cuadrado de lado a está dada por: Acuadrado = a 2 y el área de un triángulo de base b y altura h es: Atriángulo = . 2 Acuadrado = a 2 b • hcuadrado representa un 100% y las áreas de los triángulos un x%. De esta manera,busando el dibujo, se tiene queAel área=del •h triángulo Atriángulo = 2 A + Atriángulo 2 16 c A 2 • Emplea el procedimiento. 4 • 1 2 4 • 3 2cuadrado = triángulo1 ⇒ 4 • 1 2 4 • 3 2 cm100% cm + CD x 2 100 2 2 A + A cm cm +triángulo1 A cuadrado 16 cm 2 8 cm 100% 162cm 2 2 2 2 triángulo 2 2 2 ⇒ = 8 cm= ⇒cm 8=cm ⇒x= Acuadrado Atriángulo1 + Atriángulo 2 16Acm 16 100% • 8 cmAtriángulos a2 = 2 = CD ⇒ = ⇒ CDcuadrado ⇒x= x = 50% = = 100% 100% x x 100% 16 2 x 2 100% 100% x x 100% 16 cm 2 b h • 16 100 8 100 • Acuadrado = a 2 Atriángulo=A=atriángulos = 8 cm = 50 ⇒ = ⇒x= 2 Acuadrado Atriángulosel=50% 8 cmdel 2 8 x 16 Por lo tanto, área del cuadrado está pintado. b•h b •16 h 100 ⇒ x = 8 • 100 = 50 4 • 1 2 4 • 3 2 8 16 100 Atriángulo 8 •=1002 Atriángulo =⇒ = cm cm + = 0,5 = 50 A ⇒ = ⇒x= 8 x 16 2 2 2 2 A + A 2 2 16 100% • 8 cm2 16 cm Paso 16cm 8 cm triángulo1 triángulo 2 cuadrado 8 Revisa x 16 4 3 • • 4 1 ⇒ = ⇒ ⇒ = x = = cm2 + la solución 8 4 • 3 2 4 • 12 x 2 cm 2 100% 100% = 0,5 2x x 2 100% 16 cm2 8 2 2 cm cm216+ cm A + A A 2 • 8 cm 100% 8 cm 16 cm 2 2 triángulo1 triángulo16 2A 2 ⇒ 2 = = 0,5 cuadrado + A= 16 cm 2 se = 50% 100% • 8 cm2 cm calcular = ⇒ xcm = Para8esto, triángulo 2 se16 La suma de los triángulos es:Axcuadrado qué porcentaje de 16 es 8. 16 las áreas de100% Atriángulos= =⇒ 8triángulo1 c100% m2 , entonces, ⇒ ⇒ debe ⇒ = x = = = x 100% x 16 cm 2 x 100 100% % x x 100% 16 cm puede plantear la siguiente proporción2 directa. 16 100 2 8 • 100 Atriángulos = 8 cm = 50 ⇒ = Atriángulos = 8 cm⇒ x = 8 x 16 100% 16 16 100 8 • 100 8 • 100 = 50 ⇒ = ⇒ x = 816 100 = 50 ⇒ 16 ==0,5 ⇒ x = 8 x 8 x% x 16 168 8 8 0,5 También se puede verifi16 car=resolviendo: = 0,5 ; que como porcentaje representa el 50%. 16
136
Proporcionalidad
C
E
pasosAB estudiados anteriormente. AD En la figura, ABCD es un romboide de altura 3 cm y lado
=FD . Si E es un punto ubicado en la prolongación del AB= EF 5 cm lado AB DC ¿qué porcentaje le corresponde al área del triángulo ABE con respecto al área del romboide ABCD? AD EF =FD
Paso
Comprende el enunciado
Paso
Planifica lo que vas a realizar
DC
Paso
A
B
Resuelve el problema
• Interpreta la información.
Resolución de problemas
D
AB= 5 cm
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los
4
• Emplea el procedimiento
Paso
Revisa la solución
AB= 5 cm
AB= 5 cm
AB
3. Resuelve AD los siguientes problemas en tu cuaderno.
AB= 5 cm
AB
AB
AD
=FD ABCD es un cuadrado de lado 2a, F es el punto medio del lado AD y EF = FD. Además, EF =FD En la EF figura, es paralelo al lado DC. ¿A qué porcentaje del cuadrado corresponde el área del trapecio EFCD? DC EF =FD D C DC E
F
A
B
Matemática 8
137
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Realiza los siguientes pasos. Ellos te permitirán graficar la relación entre dos variables. En este caso, se utilizará el software Geogebra, que es de uso libre. Lo puedes descargar desde http://www.geogebra.org Ejemplo: –2x + y = –1
Paso
Paso Al abrir el programa observarás la siguiente pantalla.
En la parte inferior, en la casilla de entrada, digita la relación matemática por analizar.
–2x+y=–1
Paso Una vez ingresada la relación, presiona Enter y el gráfico aparecerá automáticamente.
Al ver el gráfico, se puede determinar que no existe una proporción directa entre las variables x e y, ya que la recta no pasa por el origen(O), y tampoco una proporción inversa, ya que el gráfico no es una curva representativa de esta. Para borrar la recta graficada debes presionar el botón derecho del mouse y seleccionar la opción Borra.
138
Proporcionalidad
1. Utiliza el programa Geogebra para graficar las siguientes relaciones y determinar el tipo de relación proporcional que hay entre las variables.
Ayuda
Herramientas tecnológicas
4 Para graficar relaciones proporcionales inversas debes ingresar la fórmula en la que aparezca la variable y despejada. Ejemplo: 7xy – 14 = 0 / + 14 6 143 k7xy = == Si x 0, se2 tiene que: 14 2 y= = 7x x
a. 7xy – 14 = 0 b. 4y – 12x + 3 = 3 c. 3(x – 2) = 9y – 6
2. Ahora, observa como obtener la constante de proporcionalidad a partir de un gráfico. Una vez graficada la expresión matemática que representa la relación entre las variables, en este caso 3x – y = 0, Geogebra permite determinar las coordenadas de los puntos que pertenecen a la gráfica. Selecciona Nuevo Punto y en la recta graficada posiciónate sobre el punto (2, 6). En el sector izquierdo y bajo Objetos Libres aparecerá el par ordenado que seleccionaste A = (2, 6). Ya que el gráfico es una línea recta que pasa por el origen, se puede afirmar que las variables x e y son directamente proporcionales, por lo que la constante (k) está dada por la razón entre la segunda y la primera coordenada del punto A. 6 k = =3 2 14
2
y = = es inversa; por ejemplo, Si la relación de proporcionalidad 7x x x*y = 6, y un punto de ella está dado por A = (12; 0,5), entonces la constante de proporcionalidad (k) es:
k = 12 • 0,5 = 6
3. Calcula la constante de proporcionalidad (si existe) a partir del gráfico en cada caso. a. 10x – 7y = 1
c. 3xy – 12 = 0
b. xy = 3
d. 5(1 – xy) = 10 Matemática 8
139
PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Evalúa la resolución de cada ejercicio. Luego, responde. a. Se calcula el precio final de una prenda de vestir luego que su valor original se rebajara a un 20%. Como el precio original es de $ 10.000 y se debe descontar el 20%, entonces el precio final está dado por: $ 10.000 – 20% de $ 10.000 = $ 10.000 – • ¿Cuál es el error cometido?
1 • $ 10.000 = $ 10.000 – $ 2.000 = $ 8.000. 5 20 100 = 25 x
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
1 b. Se debe determinar el número5cuyo 20% es 25. Para ello, se escribe: 20 100 = ⇒ x = 5. Por lo tanto, el número es 5. 25 x • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
140
Proporcionalidad
c. Se analiza qué sucede con el perímetro y el área de un cuadrado de lado a cuando la medida de sus lados aumenta en un 25%. Para esto, la situación se representa de la siguiente manera:
P = 4a
Perímetro = 16a
A = a2
Área = 16a2
a 4a Como la medida del lado aumenta un 25%, entonces su perímetro y área aumentan un 25%, siendo el nuevo perímetro 16a y la nueva área 16a2. • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
Para no equivocarse
4
• Corrección:
d. Se necesita saber el Impuesto al Valor Agregado (IVA) que se paga al Estado cuando se compra un producto y se recibe una boleta. Para ello, se analiza una boleta cuyo monto es de $ 4.000. Considerando que el IVA es el 19% del valor inicial, entonces se calcula el 19% de $ 4.000 de la siguiente manera. x 19 = . Obteniendo x = $ 760, entonces el Estado recibe $ 760. 100 4.000 • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
Matemática 8
141
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Secuencias 1. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34, … Si se designa por a1 al primer término de la secuencia, a2 al segundo término, a3 al tercer término y así sucesivamente, se puede observar que: a1 = 1; a2 = 1; a3 = a2 + a1; a4 = a3 + a2; a5 = a4 + a3, etc. a. Si se mantiene la forma de calcular los términos de la secuencia anterior, pero los dos primeros términos son 2 y 3, ¿cuáles son los 10 primeros términos de la nueva secuencia?
b. Si los dos primeros términos de una secuencia son a1 = 3 y a2 = 5 y otro término cualquiera se obtiene del promedio de los dos términos anteriores, ¿a qué valor se aproximan los términos de la secuencia?
c. Si en una secuencia se tienen los términos: a4 = –3, a5 = 4 y un término ak con k > 3 correspondiente a la diferencia entre ak – 1 y ak – 3, ¿cuáles son los 7 primeros términos de la secuencia?
142
Proporcionalidad
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde. Una secuencia numérica puede considerarse como un conjunto de números ordenados de tal modo que cada uno está determinado por los anteriores; mientras que en una sucesión no ocurre necesariamente esto. Una sucesión se denomina aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos (un término y su anterior) es siempre la misma. Por ejemplo: 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; … es una sucesión aritmética, ya que se cumple que: 8 – 5 = 14 – 11 = 17 – 14 = 20 – 17 = 23 – 20 = ... 3 2; 6; 9; 13; 16; 20; 23; … NO es una sucesión aritmética. Porque 6 – 2 9 – 6. a. Determina el término que sigue en cada secuencia. ¿Cuál(es) de las siguientes secuencias es(son) sucesión(es) aritmética(s)? En el caso de que sean, determina la diferencia constante. 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; … 11; 15; 19; 23; 27; 31; 35; … –20; –13; –6; 1; 8; 15; … –31; –26; –24; –19; –17; –12; … b. ¿Cuál de las sucesiones del ejercicio anterior presenta una proporción respecto de las variables “posición” y “número”? Recuerda lo realizado en la actividad 3 de la página 121.
Ampliando mis conocimientos
4
c. Una secuencia de números se puede describir por medio de una función; por ejemplo, f(n) = 2 – 3n, donde n corresponde a la posición del término en la secuencia. De acuerdo al ejemplo anterior, responde. • Determina los 7 primeros términos de la secuencia descrita por f(n) = 2 – 3n. ¿Es está una sucesión aritmética? Justifica tu respuesta.
• Si uno de los términos de la secuencia descrita por f(n) = 2 – 3n es el número –61, ¿qué posición ocupa en la secuencia?
Matemática 8
143
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál de las siguientes variables NO es cuantitativa? A. Nacionalidad. B. Temperatura. C. Número de habitantes. D. Masa corporal de una persona.
2 ¿Cuál de las siguientes alternativas NO representa dependencia entre sus variables? A. El área de un círculo y el diámetro de la circunferencia. B. Costo de pagar por pan y la cantidad de pan comprado. C. kWh consumido y el número de ampolletas encendidas. D. Edad de una persona y su estatura.
3 Si una secuencia numérica se define por f(n) = n2 – 2n, ¿cuál es su cuarto término? A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
4 ¿Cuál es el término que sigue en la secuencia –13, –10, –7, –4, –1, …? A. 0 B. –2 C. 2 D. 3
5 Si el costo de comprar 3 kg de azúcar es $ 1.650, ¿cuál es la función que modela el costo de comprar “x” kg de azúcar? A. C(x) = 3x B. C(x) = 550x C. C(x) = 1.650x D. C(x) = 1.650 + 3x
144
Proporcionalidad
6 Un sistema de estacionamiento cobra $ 300 de cargo fijo y $ 5 por cada minuto. ¿Cuántos minutos estuvo estacionado el auto de una persona si se cancelaron $ 1.500? A. 360 B. 240 C. 180 D. 120
7 ¿Qué función puede modelar a la secuencia
10 0, 3, 8, 15, 24, 35,…? 9 2 A. f(n) = 10 + 1) 10 9(n 2 B. f(n) = (n – 1) 9 10 92 10 C. f(n) =n +1 10 10 9 121092 D. f(n) =n –1 9 9 16910 9 10 99 de75 8 ¿Cuál 10 9las 10 12 siguientes parejas de razones forman 9 12 10 una16 10 916 10 9proporción? 10 100 12 12 975 10 12 9 100 75 A. 12 16 y 10 16 9 70 16 10 100 16 100 75 12 75 9 12 100 75 y5075 B. 100 100 100 16 10 16 70 100 70 20100 100 75 100 12 100 75 50 100 4 C. 50 70 y 100 70 16 100 20 70 20 5 70 50 50 100 75 100 5 50 4 50 4 D. 20 y 20 70 100 5 20 570 6 20 4 4 50 100 4 50 5 4 5 12 5 grupo 9 En 55un 20 70 55 6 de 24 personas, 10 de ellas son hombres. 620 ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el 5 5 50 4 7 5412 5 12 número de hombres? 66 20 5 5 655 6 12 5 12 4 5 512 A. 7 7 12 5 5 565 12655 77 5 12 B. 7 5 77125 5 5 65 125512 5 12 55 757 12 5 C. 7 12 12 512 12 55 12 77 7 75 D. 5 12 12 5 12 12 12 7 5 7 12 12 7 12
10 ¿Cuál es el doble del valor de x en la
4– x 6 proporción = ? 9 3 A. –4 47 B. –2 3 C. 0 29 D. 4 3 17 tabla se muestran valores de las 11 En la siguiente variables X e5Y que están en proporción directa. ¿Cuál es el valor 13 de P + Q? 5 X Y 5 3 4 4 5 Q 4– 6 1 4– xx = 6 = 4 P 12 9 3 9 3 4 47 47 A. 5 3 3 6 4– x 29 B. 293 = 9 3 3 47 4– 17 x = 6 17 C. 33 9 5 5 29 47 13 13 D. 3 5 5 17 29 5 5 53 12 Las4 4variables X e Y están en proporción directa 13 17 según 11 la relación 4x – 5y = 0. Entonces, ¿cuál es la 5 constante de proporcionalidad? 4 4 5 13 4 A. –20 4 4 B. –1 5 55 51 C. 4 4 D. 1 5 4 13 Una4 porción de leche de 200 ml entrega 68 kcal; 5 entonces, ¿cuántos mL de leche entregan 51 kcal? A. 180 B. 150 C. 120 D. 90
14 ¿Cuál de las siguientes características representa mejor al gráfico de dos variables que están en proporción directa? A. Línea recta. B. Línea recta vertical. C. Línea recta horizontal. D. Línea recta que pasa por el origen.
15 En la siguiente tabla se muestran los valores de las variables X e Y que están en proporción inversa. ¿Cuál es el cociente entre B y A? X 10 15 B
Y A 6 2
Evaluación final
4
A. 5 B. 9 C. 45 D. 90
16 Las variables X e Y están en proporción inversa según 18 – 6xy = 12; entonces, ¿cuál es la 6 4– xla relación = de proporcionalidad? constante 9 3 A. 18 47 B. 123 C. 629 D. 1 3 17 17 Si A y B están en proporción inversa con constante de 5 proporcionalidad 32, entonces, ¿cuál es el valor de B si A13= 8? 5 A. 256 5 B. 40 C. 4 1 D. 4 4 18 Con una botella de bebida se pueden servir 12 5 vasos de 250 cc de capacidad cada uno; entonces, con la misma botella, ¿cuántos vasos de 300 cc de capacidad se pueden servir? A. 24 B. 18 C. 10 D. 6
Matemática 8
145
EVALUACIÓNFINAL 19 En una carpintería trabajan dos personas que deben construir seis sillas de madera en cuatro días. Si el pedido de sillas aumenta en 9 unidades y solo tienen un día más de plazo para entregarlas, ¿cuántas personas más se deben contratar para cumplir con el pedido en el plazo señalado? A. 2 B. 10 C. 8 D. 6
20 ¿Cuál es el 15% de 320? A. 48 B. 40 C. 32 D. 24
21 ¿De qué número 120 es el 40%? A. 480 B. 400 C. 320 D. 300
22 ¿Qué porcentaje es 90 de 75? A. 120% B. 100% C. 90% D. 75%
23 Si el lado de un cuadrado se triplica, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A. 900% B. 800% C. 400% D. 300%
24 Un rectángulo tiene lados de medida a y b. Si un
25 Si el valor inicial de un producto es de $ 500, ¿cuál es su IVA? A. $ 95 B. $ 400 C. $ 405 D. $ 595
26 Si el sueldo imponible de una persona es de $ 750.000, ¿cuál es el monto destinado a la previsión en salud? A. $ 100.00 B. $ 90.000 C. $ 60.000 D. $ 52.500
27 Si el sueldo líquido de un trabajador es $ 526.500, ¿cuál es su sueldo imponible? A. $ 750.000 B. $ 700.000 C. $ 650.000 D. $ 626.535
28 Si el monto final a pagar de un producto es $ 900.000, ¿cuál es el valor del producto sin I.V.A. (19%)? A. $ 700.000 B. $ 756.000 C. $ 919.000 D. $ 1.710.000
29 Si el lado de un cuadrado de área A aumenta un 50%, ¿cuánto varía su área? A. Aumenta un 25%. B. Aumenta un 50%. C. Aumenta un 75%. D. Aumenta un 125%.
triángulo tiene una altura de medida b y la base respectiva a esta altura tiene medida a, entonces, ¿qué porcentaje es el área del rectángulo con respecto al área del triángulo? A. 200% B. 150% C. 100% D. 50%
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
146
Proporcionalidad
Evaluación final
4 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Un vendedor recibe un sueldo de acuerdo al número de artículos vendidos más un sueldo base. Si en una empresa
A le pagan $ 3.000 por producto vendido más un sueldo base de $ 200.000, y en una empresa B el sueldo base es de $ 300.000 y el pago por cada artículo vendido es de $ 2.000: a. Escribe una función que modele el sueldo que recibiría el vendedor en la empresa A y en la empresa B. Empresa A: Empresa B: b. ¿Con la venta de cuántos productos el vendedor obtendría el mismo sueldo en la empresa A y B?
2 Si el área de un trapecio está dada por el producto entre el promedio de sus bases y su altura, y en el trapecio isósceles ABCD de bases 8 y 12 cm se trazan las alturas DE y CF de longitud 5 cm, ¿qué porcentaje corresponde a la suma de las áreas de los triángulos AED y FBC con respecto al área del trapecio? D
8
C
5 A
E
5 12
F
B
3 Si A es directamente proporcional al cubo de B, y si B = 0,008 cuando A = 0,4, ¿cuál es el valor de B cuando A = 0,05?
Matemática 8
147
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición (procedimiento)
Ejemplo
Variables cualitativas.
Variable cuantitativa.
Variable dependiente e independiente.
Razón.
Proporción.
Proporcionalidad directa.
Relación entre dos variables donde el cociente entre dos valores relacionados es constante. Si los valores de una variable son a1, a2, a3, … y los respectivos valores de la otra variable son b1, b2, b3, … entonces: a1 a2 a3 = = = ... = k; con k constante. b1 b2 b3 1 4 = 300 1.200
Proporcionalidad inversa.
Proporcionalidad compuesta.
Porcentaje.
148
Proporcionalidad
Número de kilogramos de manzanas y el costo que se debe a a1 a2 cuesta pagar por ellos. Si el kilogramos entonces por = = 3 = ...$ =300, k; con k constante. 4 kg se cancelarán $ 1.200. b1 b2 b3 1 4 = 300 1.200
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Variables y funciones
Evaluar
2
Variables y funciones
Evaluar
3
Variables y funciones
Aplicar
4
Variables y funciones
Aplicar
5
Variables y funciones
Analizar
6
Variables y funciones
Aplicar
7
Variables y funciones
Analizar
8
Proporcionalidad
Aplicar
9
Proporcionalidad
Aplicar
10
Proporcionalidad
Aplicar
11
Proporcionalidad
Aplicar
12
Proporcionalidad
Aplicar
13
Proporcionalidad
Aplicar
14
Proporcionalidad
Analizar
15
Proporcionalidad
Evaluar
16
Proporcionalidad
Aplicar
17
Proporcionalidad
Aplicar
18
Proporcionalidad
Aplicar
19
Proporcionalidad
Analizar
20
Porcentaje
Aplicar
21
Porcentaje
Aplicar
22
Porcentaje
Aplicar
23
Porcentaje
Aplicar
24
Porcentaje
Analizar
25
Porcentaje
Aplicar
26
Porcentaje
Aplicar
27
Porcentaje
Aplicar
28
Porcentaje
Aplicar
29
Porcentaje
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
7 Variables y funciones
12 Proporcionalidad
Solucionario de evaluación final
4
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
10 Porcentaje
Matemática 8
149
EVALUACIÓN INTEGRADORA Habilidad
Integrar: reunir y organizar elementos para completar un todo.
1
1
En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 1, 2, 3 y 4 de tu Texto. Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.
Representa los números de cada conjunto en la recta numérica. a. {–2, 101, 100, 0, –100, 3}
2
b. {–3, –4, (–5)1, 1, –6, –1}
Representa cada caso en operatoria combinada y luego calcula su valor. a. La adición entre el triple del sucesor de –3 y el cociente entre 12 y –4. b. La suma entre el antecesor de –95 y el valor absoluto del producto entre el sucesor de 10 y el sucesor de –9.
3
Resuelve los siguientes problemas. a. Un submarino se encuentra a 3 • 101 m bajo el nivel del mar, luego sube 10 m y finalmente baja 1,8 • 101 m. ¿Qué número entero representa la posición del submarino con respecto al nivel del mar? b. En un pueblo la temperatura disminuía a razón de 2 grados cada dos horas. Si a las 3 de la mañana había 6°, ¿a qué hora habrá –4°?
4
Representa cada potencia como multiplicaciones de factores iguales y calcula su valor. 3
a. (–6) = 4
b. 0,033 =
5
Aplica las propiedades de las potencias para resolver. a. 0,00047 : (–0,0002)7 =
b. 62 • (22 • 32)2
6
Representa cada número en notación científica. a. 3.450.000 =
150
=
2 c. – 3 = – 23 3 4 1 4 221 3 23 = d. 2 – 324 –1 3 44: 2 1 3 21 :423 22 1 4 2 2 3 2 4 25 3 –1224 ⋅ 25 – 5 4 ⋅ 3 4 c. : 2 = 215 3 4 :2 2 4 3 2 25 – 4 ⋅ 3 2 25 d. – 5 ⋅ 4 = 5 4
Evaluación integradora
b. 23.000 • 10–6 =
7
Representa cada una de estas situaciones en lenguaje algebraico. a. La cuarta parte del costo de una prenda es equivalente a su costo disminuido en $ 3.000.
b. Si al 10% del peso de una carga se le agregan 1.200 kg, se obtiene el 300% del peso de la carga disminuido en 6.700 kg.
8
9
3a–b2 Calcula el valor 0,1c de la expresión de acuerdo con los datos entregados. 2 1 3a–b ; con a= , b = 0,1 y c = 3. b. (9a3 – 5ab2)c; con a = 102, b = 10–2 y c = 0. a. 3 0,1c 2y+5 3x 1 – 1= a= 5 5 3 5 2y+5 3x – 1 = y= 5 x expresiones. 5 las siguientes Reduce b. (p – q)(p + q) – 2(2p – q)2 + (p – 1)(p + 2) a. xy–=y52 + 2(x – y)2 x
10 Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 2x – 3 = 2(x – 3) x =
11
b. (x – 2)2 – (x – 1)2 = –(x + 1) x = 3a–b2 0,1c 1 Identifica cuál de las siguientes igualdades relaciona las variables (x e y) proporcionalmente. a= Reconoce el tipo de proporción. 3 2y+5 3x a. 2x = 5y b. c. y(x + 3) = 6 + 3y – 1= 5 5 5 y= x
12 Resuelve los siguientes problemas. a. Por cada 5 hombres asistentes a una fiesta llegaron 3 mujeres. Si los hombres eran 30, ¿cuántas mujeres asistieron?
b. Diez obreros construyen 9 herramientas en 3 horas. Si los obreros disminuyen a la mitad, ¿cuánto tiempo demoran en construir 6 herramientas?
Matemática 8
151
5
Circunferencia y círculo
El movimiento circular es aquel que tiene un eje o centro de giro y radio constante. Su trayectoria es una circunferencia. Si la velocidad de giro también es constante, se produce el llamado movimiento circular uniforme.
El London Eye tiene una capacidad de 800 pasajeros por vuelta. El equivalente a unos 25 buses del transantiago con todos los asientos ocupados.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
¿Para qué?
Circunferencia y círculo.
Diferenciar la circunferencia del círculo e identificar sus elementos.
Páginas 154 a 157.
Número pi, diámetro y longitud de una circunferencia. Área de un círculo.
Resolver problemas en diversos contextos que involucren dichos conceptos. Calcular o estimar el área de un círculo en diversas situaciones.
Páginas 164 a 167.
Planteo y resolución de problemas que Resolver problemas que involucren circunferencias y círculos. involucren el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
152
¿Dónde?
Circunferencia y círculo
Páginas 168 a 169.
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Qué es un movimiento circular? 3) ¿En qué elementos de la vida diaria se observan movimientos circulares?
Evaluación inicial Analizar es descomponer una situación, un texto o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. El London Eye es una rueda de carrusel que gira a unos 0,9 km/h, por lo que demora aproximadamente 30 minutos en dar la vuelta completa. Su altura es de 135 m. ¿Cuál es la longitud aproximada del desplazamiento que da esta rueda en una vuelta completa? 1) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permitirían responder la pregunta?
2) ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?
3) Propón una estrategia que te permita resolver el problema.
4) Aplica tu estrategia y calcula la longitud pedida.
5) Analiza nuevamente el problema. ¿Existe otra forma de calcular dicho desplazamiento?
Matemática 8
153
Circunferencia La invención de la rueda fue un avance muy significativo en el desarrollo de la tecnología en el período Neolítico (piedra nueva) entre 10.000 a 5.000 años a. C.
El lugar geométrico del plano en donde todos los puntos están a la misma distancia (r) de un punto llamado centro (O) se conoce como circunferencia de centro O y radio r.
r r
O
r
O r r
Cada rueda de la bicicleta puede ser representada en el plano por una circunferencia.
Para grabar C
A
Velocípedo de Rudge, construido entre 1882 y 1889, fue antecesor de la bicicleta moderna.
B E
O
D
Elementos de la circunferencia Centro (O): punto que equidista de cualquier punto (otro) que pertenezca a la circunferencia. Radio (OC): segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Cuerda (DE): segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro (AB): cuerda que pasa por el centro. Arco (DE): parte de la circunferencia que une dos puntos de ella.
Ejercita
Para saber más Dados dos puntos A y B en una circunferencia se distinguen dos arcos: AB; BA B
1.
Reconoce cada elemento de la circunferencia. Para ello, dibújalo y luego, identifícalo con su nombre. AB; BA P P c. e.OC a. AB; BA OC AB; BA DE OC DE
A
O
DE
O
AB DE OP AB; BA
AB DE OP AB; BA
A
QP O
154
Circunferencia y círculo
AB RS PQ
Q
QP OC O DE
QP OC b. O DE AB AB RS DE PQ OP
AB DE AB; BA OP OCQP
O
AB d. AB RS DE PQ OP
O B
QP O AB RS PQ
O
DEO R
S
O
ABAB f. DERS Q OP PQ QP O AB RS PQ
P
O
5
2. Analiza la información. Luego, responde. Una recta es secante a una circunferencia si su intersección con esta son dos puntos.
Una recta es tangente a una circunferencia si su intersección con esta es un punto.
Una recta es exterior a una circunferencia si no la intersecta.
A B
P
O
O
O
a. ¿Cuántas rectas secantes puede tener una circunferencia? ¿Por qué?
b. ¿Cuántas rectas tangentes puede tener una circunferencia? ¿Por qué?
c. ¿Cuántas rectas exteriores puede tener una circunferencia? ¿Por qué?
d. ¿Cuántas rectas tangentes pueden pasar por un solo punto de una circunferencia? ¿Por qué? A
B
3. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F) con respecto a la figura. Para ello, escribe V o F según corresponda. AB a. es una cuerda de la circunferencia. AB HL AB es secante a la circunferencia. b. HL HL AB DE es secante a la circunferencia. HL c. GL AB DE HL DE GL tAB AB d. GL DE et es diámetro de la circunferencia. DE GL tAB e e. eGL t es exterior a la circunferencia. AB te AB f. JeABes exterior a la circunferencia. AB
g. I es interior a la circunferencia. h. La circunferencia no tiene puntos exteriores.
F
O
E
AB HL H AB DE G GL t e
D
I K J L
Ayuda
AB : recta que pasa por los puntos A y B.
Punto interior de una circunferencia es aquel cuya distancia al centro es menor que la longitud del radio. Punto exterior de una circunferencia es aquel cuya distancia al centro es mayor que la longitud del radio. Matemática 8
155
Círculo Los tres dardos lanzados quedaron ubicados en sectores diferentes. Observa:
El primer dardo cayó en el exterior del tablero; el segundo, en el sector de color verde, y el tercero, en el sector de color rojo.
Para grabar Se lanzan tres dardos al tablero. El puntaje dependerá del sector en que estos caigan.
Regiones del círculo
El círculo (C) es el lugar geométrico formado por todos los puntos de la circunferencia y sus puntos interiores. Q O
O
Sector circular
Segmento circular
O
O
Corona circular
Trapecio circular
I
O
P
¿Por qué crees que las regiones del círculo reciben esos nombres?
Si un punto Q es exterior a la circunferencia de centro O, se dirá que Q ∉ C (Q no pertenece al círculo C). Si un punto I es interior a la circunferencia de centro O, se dirá que I ∈ C (I pertenece al círculo C). Si P es un punto de la circunferencia, también pertenece a C (P ∈ C).
Ejercita
1.
Reconoce cada región del círculo. Para ello, pinta con el color correspondiente en cada caso. Luego, compara las respuestas con las de tus compañeros. a. Segmento circular
O
b. Trapecio circular c. Corona circular
• ¿Qué relación hay entre el trapecio circular y la corona circular? Comenta.
156
Circunferencia y círculo
5
2. Analiza con qué concepto tratado anteriormente relacionarías cada uno de los siguientes objetos. a. Un trozo de pizza.
b. Un anillo.
c. Un plato.
3. Relaciona cada círculo con el enunciado correspondiente completando las casillas. Fíjate en el ejemplo. a.
b.
c.
O
O
• En el círculo de la letra
d.
O
O
b
se han pintado
2
coronas circulares.
• En el círculo de la letra
se han pintado
segmentos circulares.
• En el círculo de la letra
se han pintado
trapecios circulares.
• En el círculo de la letra
se han pintado
sectores circulares
4. Analiza la información. Luego, identifica la cantidad de segmentos circulares que determina cada uno de los polígonos regulares inscritos en las circunferencias. En un polígono regular inscrito en una circunferencia todos sus vértices pertenecen a ésta. a.
c.
Segmentos circulares
Ayuda Un polígono regular es una figura plana cerrada, limitada por al menos tres trazos rectos llamados lados del polígono, en donde todos sus lados son de igual medida y sus ángulos interiores congruentes.
Segmentos circulares d.
b.
Segmentos circulares
Segmentos circulares
•¿Cuántos segmentos circulares determina un polígono de n lados? ¿Por qué? Responde en tu cuaderno. Matemática 8
157
Posición relativa entre circunferencias Si se dejan caer dos piedras sobre un estanque con agua en reposo se forman ondas circulares.
Al considerar la superficie del agua como un plano, estas ondas se pueden representar por circunferencias que forman distintas combinaciones según su posición. Algunas de ellas son las siguientes: Concéntricas
O'
Interiores
Secantes
O' O
O
O
O'
Para grabar Dos circunferencias son tangentes entre sí cuando tienen un único punto en común. Tangente exterior
Tangente interior P
P O
Dos circunferencias son interiores si todos los puntos interiores de una son interiores de la otra. O'
O
O
O'
O'
Dos circunferencias son concéntricas si comparten el mismo centro. Si además tienen el mismo radio, se llaman congruentes.
Dos circunferencias son exteriores si los puntos interiores de una son exteriores de la otra. O
O
O'
Dos circunferencias son secantes si tienen dos puntos en común. P1
O
O' P2
Ejercita
1.
Analiza cada situación. Luego, completa. a. La distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes exteriormente es igual a:
b. La distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes interiores corresponde a:
c. La distancia entre los centros de dos circunferencias secantes es:
158
Circunferencia y círculo
2. Representa con un dibujo. Luego, responde. a. ¿Cómo son dos circunferencias cuyos centros están a una distancia mayor que la suma de sus radios? Dibujo:
5
Respuesta:
b. ¿Y si sus centros están a una distancia menor que uno de sus radios? Dibujo:
Respuesta:
c. ¿Pueden dos circunferencias concéntricas intersectarse? Dibujo:
Respuesta:
3. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Dos circunferencias concéntricas siempre son interiores. b. Dos circunferencias interiores son concéntricas. c. Dos circunferencias tangentes son también interiores. d. Dos circunferencias secantes son también exteriores. e. Dos circunferencias interiores siempre son secantes. Matemática 8
159
Perímetro y área de polígonos Un albañil debe poner una ventana rectangular de dimensiones 2 m • 3 m en el muro de una casa en construcción.
Para realizar la instalación, lo primero que hace el albañil es determinar cuántos metros de marco se necesita. Para ello mide el contorno de la ventana. Esto corresponde a la suma de las longitudes de cada uno de los lados del marco. En el plano, esto se podría asociar al perímetro de un rectángulo de lados 2 m y 3 m. Perímetro: 2 m + 2 m + 3 m + 3 m = 10 m Para finalizar el trabajo, el albañil pondrá el vidrio, por lo que debe calcular aproximadamente la superficie que este cubrirá. Para esto, calculará el área del rectángulo asociado. Área: 2 m • 3 m = 6 m2
Para grabar El perímetro (P) de un polígono corresponde a la suma de las longitudes de todos sus lados.
El área (A) de un polígono compuesto por otros se puede calcular por descomposición, sumando sus áreas.
3 cm
3 cm x
4 cm
x 5 cm
4 cm 4 cm
4 cm
5 cm
9 cm 3 cm 3 cm 2 2 Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que: 4 + 3 = x2 25 = x2 ± 5=x Sin embargo, como x representa una longitud, su valor será positivo, es decir, x = 5. Finalmente, P = (9 + 3 + 5 + 5) cm = 22 cm. 3• 4 3 • 4 2 cm = (6 + 12 +6)cm2 = 24 cm2 . Por otra parte, A = + 3 •4+ 2 2
Ejercita
1.
Calcula el perímetro de la figura pintada, sabiendo que la figura de vértices A, B, C y D es un cuadrado de lado 6 cm. B
E
A P=
F H C
G
D
2. Calcula en tu cuaderno el área (A) pintada en cada caso. a. ABCD rectángulo. A
B
5 cm
C
160
Circunferencia y círculo
3 cm
D
b. ABCD cuadrado de área 16 cm2 y E, F puntos medios. B E A
F
C
D
Perímetro y área de polígonos regulares El polígono representado se denomina octágono regular (8 ángulos interiores iguales y 8 lados de igual medida). En este caso, su perímetro mide:
La siguiente señal de tránsito representa la forma de un polígono de ocho lados de igual medida y ángulos interiores congruentes.
P = 8 • 25 cm = 200 cm Su área se puede determinar descomponiéndolo en 8 triángulos isósceles de iguales dimensiones y área. Al medir la altura de cada triángulo, se tiene que esta es de 30,2 cm, aproximadamente. Por lo que el área de cada triángulo 25 cm • 30,2 cm es de Atriángulo = =377,5 cm2 2 P • ael área total mide: Finalmente, A= 2 A =8•A = 3.020 cm2
PARE
t
6,8 2 – 4 2 = 30,24 ≈ 5,5 cm
PARE h
triángulo
Para 40cmgrabar • 5,5cm
220cm2 = 110 cm2 = 2 sus ángulos interiores Ejemplo: calcula el área del pentágono regular. Un polígono 2regular tiene todos 25 cm • 30,2 cm y lados de igual medida. =377,5 cm2 Atriángulo = El perímetro de la fi gura mide: 2 cm El perímetro (P) de un polígono regular de n lados es: 25 cm • 30,2 PA= 5 • 8Pcm =377,5 cm2 = = 40 cm P=n•l triángulo • a 2 A= 2 6,8 cm 25 cm • 30,2 cm donde l es la medida delAlado del=polígono. =377,5 cm 2 mide: La apotema triángulo 8 cm P a • a El área (A) de un polígono regular está dada2por: A= 2 2 ≈ 6,8 – 4 = 30,24 5,5 cm a = 2 P•a 4 cm A= 2 2 220cm 40cm 2 ≈ – 4 2• =5,5cm 30,24 5,5 cm 2 Por6,8 lo tanto, el área aproximada es: = 110 cm = donde P es el perímetro del la apotema 2 2 220cm22 ≈ 5,5 cm 40cm • 5,5cm 6,8polígono – 4 2 = y a30,24 = 110 cm2 = (distancia desde el centro del polígono hasta uno2 de los 2 2 220cmiguales). 2 40cmen• 5,5cm lados de este y que lo divide dos segmentos = 110 cm = 2 2
Si sus lados miden 25 cm cada uno, ¿cuál es la medida del perímetro y la del área del polígono representado?
Ejercita
1.
5
Calcula la medida de la apotema (a) para cada polígono regular. Para ello, aplica el teorema de Pitágoras. a.
b.
c.
Ayuda Simbología: ≈: aproximado
13,8 cm a
5,1 cm
6 cm
a
a 8 cm
6 cm a=
a=
a=
2. Calcula el perímetro (P) y el área (A) de cada polígono regular. a.
P=
b.
P=
A= 13,8 cm 9 cm
A= 20,6 cm 15 cm Matemática 8
161
EVALUACIÓNINTERMEDIA Elementos del círculo y la circunferencia.
1 Representa mediante un dibujo cada uno de los siguientes elementos. a. Cuerda.
b. Recta tangente a P. P
O
O
c. Sector circular.
. d. QP Q
O
O P
Posición relativa de la circunferencia.
2 Analiza lo planteado a continuación. Luego, comenta si el enunciado es verdadero o falso. Justifica.
Perímetro de polígonos.
3 Resuelve los siguientes problemas.
Si se tienen dos circunferencias NO congruentes de radios “r1” y “r2” que se intersectan en un plano, la distancia “d” entre sus centros está comprendida en el rango 0 < d < (r1 + r2).
a. La figura muestra un cuadrado inscrito en otro. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro del cuadrado EFGH? A E D P= F B
H G
C
b. Si el perímetro del polígono pintado es “m”, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo ABCD? P=
D
C
A
B
c. ¿Cuánto mide el perímetro del polígono regular que se muestra a continuación? P=
7 cm
162
Circunferencia y círculo
5 4 Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula la medida de la región pintada si el área del rectángulo ABCD es 24 cm2 y M es un punto cualquiera del lado CD.
b. Sea ABCD un rectángulo. Calcula el área de la región pintada si AM : MB = 1 : 3, DA = 6 cm y 2DA = AB.
D
C
A
B
D
C
A Área de polígonos.
M
B
M
c. Calcula el área de un octágono regular de centro O y lado 10 cm. O 12,07 cm
d. Si el área del triángulo AMC mide 13 cm2 y M es punto medio
C
D
de AB , ¿cuánto mide el área del rectángulo ABCD?
A
B
M
5 Analiza y resuelve el siguiente problema. Se quiere construir un cuadrado que tenga igual perímetro que un rectángulo cuya área mide 36 cm2, en el que sus lados están en la razón 1 : 4. a. ¿Cuál es el área del cuadrado?
b. ¿Qué conclusión relacionada con la variación de las áreas puedes obtener a partir de este problema?
Matemática 8
163
Longitud de una circunferencia Una rueda al dar una vuelta completa se desplaza una distancia que es igual a la longitud de su perímetro. D Longitud de desplazamiento (Perímetro) D
D
D
¿Cuántas veces está contenido el diámetro en la longitud de este desplazamiento?
Si se conoce el cociente entre el perímetro de la circunferencia que representa la rueda y su diámetro, se obtendrá un valor que es independiente del tamaño de esta. Este número no se puede escribir como fracción, ya que es un número decimal infinito. Es representado con la letra griega (Pi), y su valor aproximado a la centésima es 3,14. A lo largo de la historia, diversas civilizaciones utilizaron distintas aproximaciones para , siendo la más antigua, conocida hasta hoy, la propuesta por los egipcios, que fue hallada en el papiro de Rhind cerca 256 del año 1800 a. C, donde se consideraba que = . 81 P Para grabar D 1 Sea P la longitud o perímetro El perímetro de una circunferencia 256 12 cmde Ejemplo: 256 2 de una circunferencia y D el radio r está dado por: 81 1 diámetro de la81 misma, entonces: P 4 cm = P 4 4 cm O = D D P =1 D • 12 cm 1 P =22r • 12 cm r 2 1 4 cm 1O P = 2r • 4 cmr 4 D4 = 2 • 4 cm • = 8 cm
Ejercita
1.
Calcula el perímetro (P) de las siguientes circunferencias (considera = 3,14). a.
3,5 cm
Para saber más
P= b.
P= Circunferencia y círculo
8 cm O
O
Actualmente se conocen 1,3 billones de decimales para el número Pi ().
164
c.
256 81 P D 1 12 cm 2 1 4 cm 4O
P= d. O
P=
256 81 P D 1 12 cm 2 1 4 cm 4
5
2. Calcula la medida del radio (r) y del diámetro (D) de cada circunferencia. Para ello, considera = 3,14. a. El perímetro de la circunferencia es 188,4 cm. r =
b. El semiperímetro de la circunferencia es 37,68 cm. r =
D=
D=
Ayuda El semiperímetro (S) de una circunferencia de perímetro P es:
3. Analiza a qué parte de la circunferencia corresponde cada arco y calcula su valor. Fíjate en el ejemplo.
P 2 P 1 90° angular Se sexagesimal de toda P360° la medida S = considera = S= 2 circunferencia. 4 360° 2 90° 1 90° P 1 AB corresponde a un cuarto de la longitud = Por S =tanto, = 360° 4 360° de la2 circunferencia. 4 90° 1 AB Entonces AB mide= (2r) = 2 cm. 360° 4 AB F b. c. G H 60° E 72° 2,5 cm 6,2 cm O O S=
A 4 cm O B a. D 120° O 5 cm
P S= = • r 2 90° 1 = 360° 4 AB
C
4. Resuelve el siguiente problema. En un parque de diversiones, el carrusel da quince vueltas antes de detenerse a recoger nuevos pasajeros. Si el diámetro del carrusel mide 5 m, ¿qué distancia recorre cada pasajero?
5. Aplica el teorema de Pitágoras y calcula la longitud de cada circunferencia. Considera que cada triángulo esta inscrito en la circunferencia. a.
b. 4 cm 3 cm O
12 cm
5 cm O
Matemática 8
165
Área del círculo En una circunferencia se pueden inscribir polígonos regulares de n lados, con n > 2 y n ∈ . O
O
O
O
O
O
P•a , si se 2 considera la circunferencia como P • a un polígono de infinitos lados, la apotema se aproxima P • a al2πr • r A= = π • r 2 = Ac A = ≈ radio de la circunferencia y se tiene polígono 2 que: 2 2 P • a 2πr • r a: apotema 2 AB = π • r = Acírculo Apolígono = ≈ P: perímetro 2 2
Dado que el área de un polígono regular se calcula mediante la expresión A=
AB Triángulo
Cuadrilátero
a ¿Se puede calcular el área de un círculo a partir del análisis de estos polígonos?
Decágono
Pentágono
a
a
Dodecágono
Isodecágono
a
a
a
Para grabar El área de un círculo de radio r está dado por la fórmula: Ejemplo: A = • r2 3,5 cm r A
A = • r2 = • 3,52 = 12,25 cm2 ¿Qué diferencia observas entre los nombres de los polígonos? ¿Qué relación hay entre ellos?
Ejercita
1.
Calcula el área de los siguientes círculos. a.
A=
3 cm
c.
A=
2 mm O
3 cm
O P•a A= 2
P • a 2πr • r = π • r2 = Acírculo ≈ 2 2 d. En la figura, AB es diámetro de la circunferencia y el triángulo ABC rectángulo en C. C A= 4 cm 3 cm Apolígono =
b.
A= 8 cm O
A
166
Circunferencia y círculo
O
B
2. Calcula el área de cada círculo (considera = 3,14). Para ello, observa el ejemplo.
5
Ejemplo: El perímetro (P) de la circunferencia que lo define es 31,4 cm. Como P = 31,4 cm = 2 • • r, el radio está dado por: r=
31,4 31,4 =5 = 2 • 3,14 6,28
5 cm
O
Entonces, el área del círculo A= • r2 = 3,14 • (5 cm)2 = 3,14 • 25 cm2 ≈ 78,5 cm2 a. El semiperímetro de la circunferencia que lo define es 21,98 cm.
b. El ángulo que subtiende al arco AB, que mide 6,28 cm, es de 120°. A
O
6,28 cm
120° O B
3. Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula la máxima distancia a la que se pueden encontrar dos vasos en una mesa redonda cuya cubierta tiene una superficie de 3,1415 m2.
b. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia que representa la cubierta de la mesa?
Matemática 8
167
Figuras compuestas Al sobrevolar un terreno se distingue la siguiente figura generada por el aplastamiento de los pastizales.
Para calcular el área aproximada de los pastizales aplastados, se puede descomponer la figura. Por ejemplo: la parte de la figura marcada de color rojo.
6m
10 m
A1 = r2 = • (6 m)2 = 36 m2
A2 = r2 = • (10 m)2 = 100 m2
Por lo tanto, el área total (At) de la parte destacada de la figura es: At= A1 + A2 = 136 m2
Para grabar El área de figuras compuestas se puede calcular determinando el área de las figuras que la componen, sumándolas o restándolas según corresponda.
D
8 cm
C
O
ABCD rectángulo y AD diámetro del círculo de centro O. Entonces, el área de la figura compuesta 4 cm por el rectángulo y el semicírculo es: At = A rectángulo + Asemicírculo = (32 + 2) cm2
A
B D
ABCD rectángulo y el círculo de centro O y radio 2 cm. El área pintada que se obtiene es:
C 2 cm
4 cm
O
At = A rectángulo – Acírculo = (28 – 4) cm2 A
7 cm
Ejercita
1.
Determina el área (A) pintada en cada caso. a.
b.
O
6 cm
a
d = 64 cm O a
6 cm A=
168
Circunferencia y círculo
A=
B
5
2. Analiza la siguiente información.
b• h Se afirma que el área pintada es: A = a • b– , donde ABCD es un rectángulo y h la 2 altura del triángulo ABE. b• h 2 D C a E 2 π A= a2 1– a 4 h
A
B
b
Para verificar cuánto mide el área (A) pintada se debe restar el área b • del h triángulo ABE A = a • b– al área del rectángulo ABCD. Por lo tanto, resulta: 2 b• h A = A rectángulo – Atriángulo = a • b – 2 Luego, la afirmación es verdaderaa (V). 2 b• h A = a • b– π 2 A= a2 1– • b h 4 3. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica. 2 a. Rombo de lados a y b, respectivamente. b. I, II, III y IV son cuartos de a circunferencia de radio . 2 π A= a2 1– 4 II I d = 64rcm
b
O III a A = a • b – r2
d = 64 cm b• h A =O a • b– 2 b• h IV 2 a a 2 π A= a2 1– 4
a
Matemática 8
169
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.
Analiza la resolución del siguiente problema. En la figura se muestra la concha de un caracol cuya forma está relacionada con cuartos de circunferencia inscritos en cuadrados y una sucesión muy famosa, conocida con el nombre de Fibonacci, descrita por Leonardo De Pisa, matemático italiano. Analiza la figura y determina la longitud de la línea anaranjada.
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? La longitud de la línea anaranjada. ¿Qué información entrega el problema? Una figura en la que aparecen cuartos de circunferencia inscritos en cuadrados de lados 1, 1, 2, 3 y otros con longitud desconocida.
Paso
3
2 1 1
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver el problema debes analizar sus componentes, relacionarlos y diferenciarlos. Para esto, debes: • Organizar la información. Se calculan las longitudes de los cuartos de circunferencia que componen la línea anaranjada y luego se suman para obtener su longitud total. • Identificar las partes que la componen. En la imagen aparecen 7 cuadrados en los cuales están inscritos cuartos de circunferencia. Las medidas de los lados de los cuadrados son: 1, 1, 2, 3,… • Determinar de qué manera se diferencian las partes. El problema consiste en observar que la longitud de un cuadrado es la suma de las longitudes de los dos anteriores. Con esto se puede calcular la medida de los radios de los cuartos de circunferencia considerados en la línea anaranjada.
Paso
Resuelve el problema
Si se considera como unidad de medida el milímetro y = 3,14, se obtiene: P1 ≈ 1,57 mm; P2 ≈ 1,57 mm; P3 ≈ 3,14 mm; P4 ≈ 4,71 mm; P5 ≈ 7,85 mm; P6 ≈ 12,56 mm; P7 ≈ 20,41 mm. El perímetro de la línea anaranjada es de 51,81 mm.
Paso
Revisa la solución 2
3,14 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13) ≈ • 33 = 51,81 2 2 3,14 2
170
Circunferencia y círculo
1.
Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. La siguiente figura está formada por semicircunferencias inscritas en rectángulos cuyos lados están en la razón 1 : 2. ¿Cuál es la longitud de la línea roja?
Paso
2 cm 1 cm 3 cm
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el problema?
Paso
Planifica lo que vas a realizar
• Organizar la información.
• Identificar las partes que la componen.
• Determinar de qué manera se diferencian las partes.
Paso
Paso
Resolución de problemas
5
Resuelve el problema
Revisa la solución
2. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. La siguiente figura está compuesta por semicircunferencias con la condición de que la longitud de una es el doble de la anterior más pequeña. ¿Cuál es la longitud de la línea verde? 2 cm Matemática 8
171
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Geogebra Geogebra es un programa que da la posibilidad de construir figuras geométricas, experimentar, analizar, comprobar resultados, etc. Una de las características más importantes es que permite la interactividad, ya que luego de construir una figura se puede mover cualquiera de los objetos que la conforman y automáticamente se modifican los elementos que dependen de él. Para construir una circunferencia con centro en A y luego, sobre ella, dibujar un radio y denotar su longitud se deben seguir los siguientes pasos.
Paso Antes de comenzar a dibujar configura el programa para que asigne rótulos a los elementos que dibujes. Para ello, despliega el menú Opciones y en Rotulado seleccionar la opción Nuevos puntos exclusivamente.
Paso Dibuja el segmento AB, que corresponde al radio de la circunferencia. Para ello, despliega el menú del botón de la barra de herramientas.
172
Circunferencia y círculo
Paso Presiona dos veces seguidas el boton de la barra de herramientas y selecciona la opción Circunferencia por centro y punto que cruza. Presiona sobre la hoja de dibujo para asignar el centro de la circunferencia, desplaza el mouse y constrúyela. Presiona nuevamente sobre la hoja de dibujo para asignar un punto en ella.
Paso Presiona el botón de la barra de herramientas y podrás mover el punto B de la circunferencia, lo que modificará su tamaño.
1.
Utiliza el programa Geogebra para construir una circunferencia e incorpora las medidas del radio, perímetro y área.
Paso
Paso Luego de dibujar la circunferencia, presiona dos veces seguidas el botón que aparece en la barra de herramientas y selecciona la opción Distancia. Esto te permitirá asignar la distancia a los elementos que selecciones.
Asígnale distancia al radio de la circunferencia seleccionándolo con el mouse.
Paso
Paso Asígnale distancia a la circunferencia para obtener su perímetro, al cual el programa le llama PeriCónoca. Busca la forma de asignar el área del círculo para obtener la medida de su superficie.
Herramientas tecnológicas
5
Presiona el botón de la barra de herramientas y podrás mover el punto B de la circunferencia, lo que modificará su tamaño. Observa que la medida de su radio, área y perímetro también se modifican.
2. Calcula las áreas y perímetros de cada una de las siguientes circunferencias y comprueba tu resultado utilizando Geogebra. a. Circunferencia de radio 5 cm. b. Circunferencia de radio 2,5 cm.
c. Circunferencia de diámetro 8 cm. d. Circunferencia de diámetro 7 cm. Matemática 8
173
PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Analiza la resolución de cada ejercicio. Luego, responde. a. Para calcular el perímetro de una circunferencia de radio a cm se realiza lo siguiente: 2r = 2 • ( • a) = (2 • ) • (2 • a) ≈ (2 • 3,14) • (2 • a) ≈ (6,28) • (2a) ≈ 12,56a • El error cometido es:
• Corrección:
b. ¿Cuánto varía el área de un círculo cuando su radio aumenta 10%? Si se considera que el radio del círculo inicial mide a, su área estará dada por • a2 Como el radio aumentó 10%, entonces bastará con agregar el 10% del área inicial para así obtener la nueva área, es decir: 10 2 ••a 100 = • a2 +0,1 • • a2
• a2 + 10% • • a2 = • a2 + = 1,1 a2 Luego, la variación pedida es: 0,1 a2. • El error cometido es:
• Corrección:
174
Circunferencia y círculo
c. Para calcular el perímetro de la siguiente figura pintada se plantea la siguiente resolución.
1m 3m
El perímetro de la circunferencia mayor es: (2 • r) m = (2 • 3) m = 6 m El perímetro de la circunferencia menor es: (2 • r) m = (2 • 1) m = 2 m El perímetro de la figura pintada es: 6 m – 2 m = 4 m
Ayuda
Para no equivocarse
5 El perímetro de una corona circular se calcula sumando las longitudes de las circunferencias concéntricas que la forman.
• El error cometido es:
• Corrección:
d. Se quiere determinar la cantidad de m2 de cartón que se utiliza para construir la maqueta de un cilindro de área basal 50,24 cm2 y altura 40 cm. Para ello, se realiza el siguiente procedimiento, considerando = 3,14. 50,24 2 r2 = Comocm En primer lugar, se calcula el diámetro del círculo basal. • r2 = 50,24 cm2, luego: 50,24 2 50,24 2 cm ≈ 16 cm r2 = cm ≈ 3,14 Por lo tanto, r = 4 cm. 50,24 2 cm A partir 3,14 de esto se puede afirmar que las longitudes del rectángulo que se deben considerar para la confección del cilindro son 40 cm y 4 cm; en consecuencia, la cantidad de cartón utilizada está dada por la suma de las áreas de las bases circulares y la del rectángulo. El resultado es: (2 • 50,24 + 40 • 4) cm2 = 180,48 cm2 • El error cometido en el cálculo es: • Se produjo porque: • Corrección:
Matemática 8
175
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.
Analiza el método que permite, usando regla y compás, la construcción de rectas tangentes a una circunferencia. Sean la circunferencia de centro O y radio r, y A un punto perteneciente a su región exterior (Figura 1). Para construir sobre esta circunferencia rectas tangentes trazadas desde el punto A realiza los siguientes pasos:
A
O Figura 1
Paso Une el punto A con el centro de la circunferencia, determinando el segmento AO (Figura 2). AC AD
A
Figura 2
Paso Dibuja la simetral del segmento AO, determinando el punto medio M (Figura 3). AC AD
A
Ayuda
O
La simetral de un segmento es una recta que lo intersecta en su punto medio, formando un ángulo recto.
O
M
Figura 3
Paso Dibuja la circunferencia con centro M y radio AM. Asigna las letras C y D a los puntos de intersección entre las circunferencias (Figura 4).
M
C A
M
D
Simetral
O
Figura 4
AO AO AC Dibuja las rectas tangentes AC y AD (Figura 5). AD
Paso
C A M
O D Figura 5
2. Aplica el procedimiento anterior para construir las rectas tangentes desde el punto P sobre la circunferencia con centro en O.
P
O
176
Circunferencia y círculo
3. Aplica tus conocimientos y responde las siguientes preguntas. a. Si un cuadrado y un círculo tienen el mismo perímetro, ¿se puede afirmar que estos tienen igual área? Justifica.
b. Si la longitud de la base del triángulo isósceles ABC es igual al perímetro de la circunferencia con centro en D, y la longitud de su altura es igual al doble de la longitud del diámetro de esta circunferencia, ¿se puede afirmar que el área del círculo con centro en O es equivalente al área del triángulo ABC? Justifica. C
O D A
B
Ampliando mis conocimientos
5
c. ¿Se puede decir que la suma de los perímetros de dos o más circunferencias cualesquiera es equivalente al perímetro de una circunferencia, cuyo diámetro d mide lo mismo que la suma de las longitudes de los diámetros de las circunferencias consideradas al comienzo? Justifica.
Matemática 8
177
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Qué nombre recibe la recta que aparece en
6 Si el radio de una circunferencia aumenta 20%,
la figura?
¿qué variación porcentual experimenta su área?
A. Cuerda. B. Secante. C. Diámetro. D. Tangente.
A. Aumenta 12%. B. Aumenta 20%. C. Aumenta 40%. D. Aumenta 44%.
O
A
7 Al completar una vuelta, una rueda de bicicleta
recibe la parte pintada?
recorre 163,28 cm. ¿Cuál es aproximadamente la medida del radio de la rueda? Considera = 3,14.
A. Segmento circular. B. Corona circular. C. Trapecio circular. D. Sector circular.
A. 22 cm B. 26 cm C. 52 cm D. 56 cm
2 Si se considera la ruleta de la figura, ¿qué nombre
8 Si el radio de una circunferencia aumenta 10%, ¿qué 3 ¿Cuál es el área aproximada del sector circular AOB si el radio de la circunferencia mide 3 cm? Considera = 3,14. A A. 3,98 cm2 B. 4,71 cm2 C. 4,98 cm2 60° O B D. 5,12 cm2
variación porcentual experimenta su perímetro? A. Aumenta 10%. B. Aumenta 20%. C. Aumenta 30%. D. Aumenta 40%.
9 ¿Cuánto mide el área del círculo que se forma con un cordel de 12,56 m de longitud? Considera = 3,14.
4 ¿Cuál es la medida aproximada del ángulo BOA si el arco BA tiene una longitud de 3,14 cm? Considera = 3,14. A. 12° B. 16° C. 28° D. 30°
O
B
10 Si la razón entre los radios de dos circunferencias es
15 cm A
5 ¿Cuál es la longitud del arco AB? Considera = 3,14. A. 1,44 cm B. 1,54 cm C. 1,57 cm D. 1,68 cm
178
Circunferencia y círculo
B
O
A. 6,28 m2 B. 12,56 m2 C. 18,84 m2 D. 25,12 m2
45° A 2 cm
2 : 3, ¿en qué razón están sus áreas? A. 2 : 3 B. 3 : 7 C. 4 : 9 D. No se puede determinar.
11 Sobre tres de los lados del cuadrado ABCD de lado 10 cm se dibujan cuartos de una circunferencia, como muestra la figura, ¿cuánto mide el perímetro de la figura completa? D C A. 15 cm B. 30 cm C. (30 + 15) cm D. (40 + 15) cm A B
16 Los catetos del triángulo rectángulo de la figura
miden 3 y 4 cm y sobre su hipotenusa se dibuja una semicircunferencia. ¿Cuánto mide el perímetro de la región pintada? A. 2,5 cm B. 7 + 5 cm C. 9,5 cm D. 14,5 cm
17 ¿Cuánto mide el perímetro de la región pintada 12 ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio rectángulo que aparece a continuación? A. 35 cm B. 40 cm C. 45 cm D. 50 cm
D 8 cm
C
14 cm
B
10 cm
A
13 ¿Cuánto mide el perímetro de la región sombreada si el radio de la circunferencia de centro O mide 3 cm? A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm
O
Evaluación final
5 si el cuadrado ABCD es de lado 8 cm y los arcos corresponden a cuartos de una circunferencia? C D A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 9 cm
A B 18 Considerando la figura del ejercicio anterior, ¿cuál es el área de la región pintada? A. (64 – 16) cm2 B. (32 – 64) cm2 C. (32 – 64) cm2 D. (64 – 8) cm2
BDlos lados del cuadrado ABCD de diagonal 19 Si sobre AC = 3 2 cm se dibujan cuatro semicircunferencias, ¿cuánto mide el área de la figura completa?
14 ¿Cuál es el área comprendida entre las circunferencias concéntricas, si los radios están en razón 1 : 2 y el menor mide 3 cm? A. 14 cm B. 16 cm C. 18 cm D. 19 cm
A. 9 B. 9 + 1,5 C. 9 + 2,25 D. 9 + 4,5
O
D
C
A
B
20 ¿Cuál es el área de la parte pintada de la figura si se un cuarto de la 15 Sea el cuadrado ABCD de lado a y BD circunferencia de centro A y radio AB. ¿Cuánto mide 3 2 el área sombreada de la figura? D C A. a2 – (0,25)(a2) B. (a2) • (0,25) C. 4a2 – a2 D. a2 – (0,75) a2
A
B
sabe que el área del cuadrado es de 25 cm2 y r es el radio de la circunferencia de centro B? A. (25 – 20) cm2 B. (25 – 25) cm2 C. (12,5 – 20) cm2 D. (12,5 – 25) cm2 A
r
B Matemática 8
179
EVALUACIÓNFINAL 21 ¿Cuál es la medida del perímetro de la región sombreada si el radio de cada circunferencia mide 1,5 cm? A. (9 + 12) cm B. (12 + 12) cm C. (24 + 12) cm D. (24 – 12) cm
22 Si en la figura todos los arcos son semicircunferencias y ABCD es un cuadrado de lado 5 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la figura? A. (2,5 + 5) cm B. (5 + 2,5) cm C. (5 + 7,5) cm D. (7,5 + 5) cm
D
C
A. 42cm32 6 3 B. 8 cm2 32 5 C. 166 cm 2 3 D. 32 5 cm 2 AB= 12 cm 6 3 AB= 12 cm AO 5 y OB semicircunferencias. ¿Cuánto mide el 27 Sean AO área de la figura pintada si AB= 12 cm y es diámetro OB de la circunferencia de centro O? AO A O B A. 6 cm2 OB 2 B. 9 cm C. 18 cm2 D. 36 cm2
28 ¿Cuál es la posición relativa entre estas dos circunferencias? A
B
23 En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. Si sobre cada uno de sus lados se dibuja una semicircunferencia, ¿cuál es la medida de la superficie pintada? D C A. (36 + 3) cm2 B. (36 + 9) cm C. (36 + 18) cm2 D. (36 + 27) cm2 2
A
B
24 Si sobre los lados del triángulo equilátero ABC de altura 2 3 cm se dibujan tres semicircunferencias, 2 ¿cuánto 2 3 36 mide 3 el perímetro de la figura? C 6 3 3 A. 6 5 cm cm B. 5 5 AB= 12 cm C. 6 cm AB= 12 cm AB=AO 12 cm D. 12 cm A B AO AO OB OB OB 25 La siguiente figura fue construida con semicircunferencias. ¿Cuánto mide su perímetro? A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm
26 ¿Cuál es el 2área 3 de la figura de la pregunta anterior?
4 cm
A. Circunferencias tangentes. A B. Circunferencias secantes. C. Circunferencias concéntricas. D. Circunferencias interiores.
29 Si dos circunferencias concéntricas tienen como radios de 6 cm y 8 cm respectivamente, ¿cuál es la medida del segmento que une sus centros? A. 0 cm B. 7 cm C. 14 cm D. 20 cm
30 ¿Cuál es la distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes exteriormente si sus radios miden 4 cm y 7 cm? A. 3 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 11 cm Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
180
Circunferencia y círculo
O
Evaluación final
5 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Una municipalidad tiene un terreno cuadrado de 22 m de frente. En él se quiere construir una plaza.
El diseño contempla en el centro de la plaza una zona circular inscrita en un cuadrado interior ubicado a 6 m de los márgenes del terreno. ¿Cuánto mide el área del círculo central?
6m 6m
2 Un carpintero construyó un cajón de madera cuya base es un hexágono regular. ¿Cuánta madera utilizó en el cajón?
62 cm
34 cm
3 Una pista circular para ciclistas tiene un diámetro de 50 m. Si se considera que las ruedas de una bicicleta tienen un diámetro de 60 cm, ¿cuántas vueltas completas dan las ruedas por cada recorrido al borde de la pista?
Matemática 8
181
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Circunferencia.
Definición
Es el lugar geométrico formado por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto llamado centro.
Ejemplo
Centro Radio
Círculo.
Radio.
Arco de circunferencia.
Sector circular.
Tangente a una circunferencia.
Secante a una circunferencia.
Concepto Perímetro de la circunferencia. Área del círculo.
182
Circunferencia y círculo
Procedimiento
Ejemplo
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Círculo y circunferencia
Reconocer
2
Círculo y circunferencia
Reconocer
3
Círculo y circunferencia
Analizar
4
Círculo y circunferencia
Analizar
5
Círculo y circunferencia
Aplicar
6
Área y perímetro de la circunferencia
Aplicar
7
Área y perímetro de la circunferencia
Aplicar
8
Área y perímetro de la circunferencia
Aplicar
9
Área y perímetro de la circunferencia
Aplicar
10
Área y perímetro de la circunferencia
Aplicar
11
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
12
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
13
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
14
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
15
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Analizar
16
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
17
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Analizar
18
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
19
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
20
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
21
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
22
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
23
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
24
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
25
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
26
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
27
Áreas y perímetros de figuras compuestas
Aplicar
28
Posición relativa entre circunferencias
Reconocer
29
Posición relativa entre circunferencias
Analizar
30
Posición relativa entre circunferencias
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
5 Elementos del círculo y la circunferencia
5 Área y perímetro de la circunferencia
17 Área y perímetro de figuras compuestas
Solucionario de evaluación final
5
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
3 Posición relativa entre circunferencias
Matemática 8
183
6
Área y volumen
La pirámide de Giza, que es conocida como la gran pirámide, terminó de ser construida en el año 2570 a. C. Sus caras triangulares tienen una pequeña pendiente hacia el centro casi imperceptible, por lo que mirada desde arriba tiene forma de una estrella de cuatro puntas.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
184
¿Para qué?
¿Dónde?
Unidades de medida de superficie, volumen y capacidad.
Reconocerlas y diferenciarlas en diversos casos cotidianos.
Área y volumen de prismas y pirámides.
Calcular áreas y volúmenes de prismas y pirámides aplicados Páginas 190 a 193. en la resolución de problemas.
Área y volumen de cilindros y conos.
Calcular áreas y volúmenes de cilindros y conos aplicados en Páginas 196 a 201. la resolución de problemas.
Área y volumen
Páginas 186 a 189.
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué trata la información entregada? 2) ¿Qué año terminó de ser construida la pirámide de Giza? 3) ¿Qué otros cuerpos geométricos conoces?
Evaluación inicial Analizar es descomponer el material en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. Analiza la siguiente información y luego, responde. El volumen de una pirámide se puede obtener al dividir por 3 el producto entre el área de la base y su altura. Suponiendo que la pirámide de Giza tiene la forma del cuerpo geométrico llamado pirámide de base cuadrada, con arista basal de 230 m y altura de 146 m, aproximadamente, ¿cuál es su volumen? 1) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permitirían responder la pregunta?
2) ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?
3) Propón una estrategia que te permita resolver el problema.
4) Aplica tu estrategia y calcula el volumen pedido.
Matemática 8
185
Unidades de medida de superficie El tablero de ajedrez, conocido desde el siglo VI d. C., está conformado por 64 casillas de igual medida. ¿Cómo calcularías el área del tablero?
Para medir la superficie del tablero de ajedrez se necesita saber cuáles son las medidas de las casillas. Por ejemplo, si midiera 1 cm cada uno de los lados de una casilla: A = 1 cm2 1 cm 1 cm Como el tablero tiene 64 casillas, la superficie total del tablero sería 64 cm2, ya que cada casilla tiene un área de 1 cm2. La unidad de medida de área es el metro cuadrado. A partir de ella se definen sus múltiplos y submúltiplos.
Para grabar Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado Múltiplos
Ayuda Una unidad de área de un orden dado equivale a cien veces la unidad del orden inmediatamente inferior. Ejemplo: 1 m2 = 100 dm2 1m2 = (10 dm)2 = 100 dm2
Unidad
Submúltiplos
Kilómetro cuadrado (km2)
Hectómetro cuadrado (hm2)
Decámetro cuadrado (dam2)
Metro cuadrado (m2)
Decímetro cuadrado (dm2)
Centímetro cuadrado (cm2)
Milímetro cuadrado (mm2)
0,000001
0,0001
0,01
1
100
10.000
1.000.000
Ejercita
1.
Analiza cada enunciado. Luego, completa con las equivalencias pedidas en cada caso.
1 dam2 =
1 • (10m • 10m) = 100 m2
a. 1 km2 =
hm2
d. 100 hm2
=
dam2
b. 10 dm2 =
km2
e. 10.000 cm2
=
hm2
c. 1 m2
cm2
f. 100.000 mm2 =
m2
=
2. Resuelve el siguiente problema. La superficie del piso una bodega es de 4 dam2. ¿Cuántas baldosas de 1 m2 se necesitarían para embaldosar dicho piso? ¿Y con baldosas de 1 dm2?
186
Área y volumen
6
Unidades de volumen El espacio que ocupa un cuerpo se denomina volumen. Por ejemplo, el volumen del siguiente cubo es:
1 cm
1 cm
El volumen de un cuerpo corresponde al espacio que este ocupa. La unidad principal de medida del volumen es el metro cúbico (m3). Un metro cúbico corresponde al volumen de un cubo que tiene aristas de 1 metro de longitud. Las unidades de volumen aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000. Cada unidad de volumen es mil veces mayor que la del orden inmediatamente inferior y mil veces menor que la del orden inmediatamente superior.
1 cm
V = 1 cm • 1 cm • 1 cm = 1 cm3
Para grabar • 1.000
km3
• 1.000
hm3
: 1.000
• 1.000
dam3
: 1.000
• 1.000
m3
: 1.000
• 1.000
dm3
: 1.000
• 1.000
cm3
: 1.000
mm3
: 1.000
Ejercita
1.
Calcula el valor que falta en cada igualdad. Luego, completa los casilleros según corresponda.
Ayuda 0,01 hm3 = 4 dam3 + 6 dam3 0,01 hm3 = (0,01) • (1.000 dam3) = 10 dam3 = 4 dam3 + 6 dam3
1 m3 = 200 dm3 + 800 dm3
a. 1 dm3 = 600 cm3 +
e. 9 cm3 = 0,003 dm3 +
b. 0,01 hm3 = 4 dam3 +
f. 0,4 km3 = 2.000 hm3 +
c. 0,5 m3 = 200 dm3 +
g. 1 mm3 = 0,0005 cm3 +
d. 3 dam3 = 250.000 dm3 +
h. 0,5 dam3 = 200 m3 +
2. Expresa en decímetros cúbicos y centímetros cúbicos las siguientes cantidades a. 3,5 m3
=
dm3 =
cm3
b. 6 dam3 =
dm3 =
cm3
c. 750 cm3 =
dm3 =
cm3 Matemática 8
187
Unidades de capacidad La botella de la figura tiene una capacidad de: 1 litro = 1.000 cc = 1.000 cm3 La unidad principal para medir capacidades es el litro (L). Cada unidad de capacidad es diez veces mayor que la de orden inmediatamente inferior y diez veces menor que la de orden inmediatamente superior. 1.000 cc
Para grabar Múltiplos del litro
Submúltiplos del litro
1 Decalitro (daL) = 10 L 1 Hectolitro (hL) = 100 L 1 Kilolitro (kL) = 1.000 L
1 Decilitro (dL) = 0,1 L 1 Centilitro (cL) = 0,01 L 1 Mililitro (mL) = 0,001 L
• 10
kL
• 10
hL
: 10
• 10
daL
: 10
• 10
L
: 10
• 10
dL
: 10
• 10
cL
: 10
mL
: 10
Ejercita
1.
Expresa en mililitros las siguientes capacidades. Observa el ejemplo.
1,25 L = 1,25 • (1.000 mL) = 1.250 mL ¿Por qué crees que se estableció la igualdad 1.000 cc = 1.000 cm3?
c. 27 daL =
a. 15 kL =
5 d. 4,5 hL = dL = 2 1 L qué unidad utilizarías para medir la capacidad de los siguientes objetos. 2. Expresa 4 b.
Objeto
Lavadora automática
Vaso
Bañera
Piscina olímpica
Unidad elegida
• ¿Por qué hiciste esa elección? Responde en tu cuaderno.
188
Área y volumen
Tarro de pintura
Cuchara
6
Relación entre las unidades de volumen y capacidad La capacidad de un cubo de un decímetro de arista es un litro.
Debido a que: 1 cm3 es la milésima parte de 1 dm3 (1 cm3 ⇔ 0,001 dm3) 1 mL es la milésima parte de 1 L (1 mL ⇔ 0,001 L)
1L 1 dm 1 dm
1 dm
Se puede obtener que: 1 cm3 ⇔ 1 mL Luego, 1.000 cm3 ⇔ 1.000 mL ⇔ 1 L
Para grabar Las unidades de volumen y capacidad se relaciona de la siguiente manera: 1 m3 ⇔ 1 kL
1 dm3 ⇔ 1 L
1 cm3 ⇔ 1 mL
Ejemplo: 5 m3 = 5 kL = 5 (1.000 L) = 5.000 L = 5.000 (1.000 mL) = 5.000.000 mL
Ejercita
1.
Expresa en litros las siguientes cantidades. a. 9 dm3 =
b. 0,25 dam3 =
Ayuda
c. 450 cm3=
4,5 m3 = 4,5 kL = 4,5 • (1.000 L) = 4.500 L
2. Representa en la unidad pedida según corresponda para completar la tabla. Litro (L)
Mililitro (mL) Centímetro cúbico (cm3) Metro cúbico (m3) Decímetro cúbico (dm3)
2 1.400 24.000 2.000.000 0,65
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un vaso tiene una capacidad de 250 cm3. ¿Cuántas veces es posible llenar dicho vaso con una botella de 2 litros de agua?
Matemática 8
189
Área y volumen de un prisma Los prismas son poliedros cuyas bases son polígonos paralelos.
Si la base del prisma fuera un triángulo equilátero de lado 4 cm y la altura del prisma 15 cm, su área lateral se puede obtener de la siguiente manera:
4 cm
El área lateral (AL) de un prisma es el producto del perímetro de su base (Pbase) por la altura (h) del prisma.
Base AL = Pbase • h = 12 cm • 15 cm = 180 cm2
AL = 12 cm • 15 cm = 180 cm2
15 cm
Por lo tanto, el área lateral es 180 cm2.
Para grabar
Ayuda Un poliedro es un cuerpo geométrico formado por caras planas, las que encierran una parte finita del espacio, es decir, un volumen determinado.
En un prisma se reconocen las siguientes medidas:
Ejemplo: (prisma recto de base cuadrada)
El área lateral (AL) del prisma es el producto del perímetro de su base (Pbase) por la altura (h) del prisma. El área total (AT) del prisma es la suma de su área lateral (AL) y sus dos áreas basales (2AB). El volumen (V) del prisma es el producto del área basal (AB) por la altura del prisma (h).
7 cm 4 cm AL = Pbase • h = 16 cm • 7 cm = 112 cm2 AT = AL + 2AB = 112 cm2 + 2 • 16 cm2 = 144 cm2 V = AB • h = 16 cm2 • 7 cm = 112 cm3
Ejercita
1.
Analiza el prisma recto de base cuadrada. Luego, responde. a. ¿Cuál es el área de la base?
6 cm
6 cm
b. ¿Cuál es el área lateral?
c. ¿Cuál es el área total?
d. ¿Cuál es el volumen del prisma?
190
Área y volumen
13,5 cm
6
2. Analiza la información del recuadro. Luego, identifica visualmente y anota cuáles prismas son oblicuos y cuáles son rectos.
Los prismas oblicuos son aquellos cuyas aristas laterales son oblicuas con respecto a las bases.
Los prismas rectos son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos.
a.
b.
c.
3. Calcula el área lateral (A ), el área total (A ) y el volumen (V) de cada prisma recto. L
T
a.
b.
10 cm 8 cm 8 cm
5 cm
6 cm
AL =
AL =
AT =
AT =
V=
V=
3 cm
4. Resuelve el siguiente problema. El volumen de agua contenido en un recipiente con forma de prisma rectangular recto, cuya capacidad es de 30.000 cm3, se debe trasvasijar a otro recipiente de la misma forma pero de área basal igual a 500 cm2. Si al hacer esto el nuevo recipiente se llena completamente, ¿cuál es la altura del nuevo recipiente?
Ayuda Un prisma rectangular recto es aquel cuyas bases son rectangulares.
Matemática 8
191
Área y volumen de pirámides regulares Las pirámides de Egipto son, sin duda, uno de los monumentos arquitectónicos más conocidos e imponentes del patrimonio cultural mundial.
Una pirámide es un cuerpo geométrico en el que su base es un polígono y las caras laterales son triángulos. En una pirámide regular, el área lateral, el área total y el volumen son: • Área lateral (AL): es igual a la mitad del perímetro de la base por la altura de cada cara lateral de la pirámide (apotema). • Área total (AT): es la suma del área lateral con el área de la base.
Medidas en la pirámide
• Volumen (V): es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide. Ejemplo: perímetro
Para saber más No todas las pirámides tienen como base un cuadrado. Por ejemplo:
de la base apotema 1 AL = (60 cm)(12,5cm) = 375 cm2 perímetro 2 de la base apotema cm 10 área lateral área basal perímetro 1 1 2 ,5 (60 cm)(12,5cm) A = = 375 cm2 cm de la base ap2otema L cm AT =(375 cm2 ) +(225 cm2 ) = 600 2 1 2 áreacm lateral área basal AL = (60 cm)(12,5cm) = 375 área basal altura perímetro 2 de la base a1potema 2 2 2 3 A =(375 cm ) +(225 cm = 600 cm2 área lateral área basal 15 )cm V = (225 cm )(10 cm) = 750 cm T15 cm 1 2 3 AL = (60 cm)(12,5cm) = 375 cm área basal 2 cm altura AT =(375 cm2 ) +(225 cm2 ) = 600 2 P P a • 1 2 base área lateral A = base área •basal V = (225 cm )(10 cm) = 750 cm3 a = área basal L altura 3 2 2 12 Para grabar AT =(375 cm2 ) +(225 cm2 ) = 600Vcm = (225 cm2 )(10 cm) = 750 cm3 P • a P A T = AL + AB base 3 área basal AL = • a = base altura Área y volumen de la pirámide regular 2 2 A •h 1 P P •a 3 V = (225 cmV2 )(10 = B cm) = 750 cm AL = base • a = base A = A + A 3 T L (V)B 3 2 (AT) 2 Área lateral (AL) Área total Volumen P P •a A •h A T = AL + AB AL = base • a = base V= B 2 2 3 AB •lateral h AL: área V = = A + A P:Aperímetro de la base A : área de la base AB: área3 de la base T L B B a: apotema h: altura de la pirámide A •h V= B 3
h Pirámide triangular
Pirámide pentagonal
Ejercita
1.
Identifica cuál de las siguientes figuras te permite construir una pirámide. a.
b.
Sí
192
Área y volumen
No
c.
Sí
No
Sí
No
6
2. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de cada pirámide regular. a.
b.
15 cm
a
10 cm
6,9 cm
a 6,1 cm
10 cm
7 cm
AL =
AL =
AT =
AT =
V=
V=
Ayuda
3. Resuelve los siguientes problemas.
Para calcular la apotema de una pirámide regular se puede utilizar el teorema de Pitágoras. Ejemplo:
4 cm
a 3 cm
Por lo tanto, a2 = 16 cm2 + 9 cm2 ⇒ a = 5 cm
a. ¿Cuál es el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 16 cm2 y la altura es de 10 cm?
Ayuda Dos polígonos son congruentes si sus ángulos correspondientes miden lo mismo y sus lados tienen igual longitud. Ejemplo:
E
C
b. Si dos pirámides tienen como bases polígonos cualesquiera congruentes entre sí y sus alturas están en razón 1 : 2, ¿en qué razón están sus respectivos volúmenes? A
F
B D
4. Analiza el siguiente problema. Luego, responde cada pregunta en tu cuaderno. El área total de una pirámide de base cuadrada es 864 dm2. Si la altura es cuatro veces la medida del lado de la base: a. ¿Cuál es la medida del lado de la base? b. ¿Cuál es el área de la base? c. ¿Cuál es el área lateral? Matemática 8
193
EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Identifica la equivalencia entre cada una de las unidades.
Unidades de superficie y volumen.
a. 1.200 cm3
L
b. 0,3 m3
mL
c. 3.300 mL
cm3
d. 2,25 L
m3
e. 1 m3
cm3
2 Resuelve el siguiente problema. Un comerciante quiere envasar 3.000 L de aceite en botellas de 750 cm3 y de 1,25 L. Si se tiene la misma cantidad de botellas de ambos tipos, ¿cuántas botellas se necesitan?
Áreas de prismas y pirámides.
3 Calcula el área lateral (AL) y el área total (AT). a. Prisma recto con base octágono regular.
b. Prisma recto de base rectangular.
0,25 m 20 cm
35 cm
12 cm 10 cm
194
Área y volumen
15 cm
AL =
AL =
AT =
AT =
6 4 Calcula el volumen (V) de los siguientes cuerpos. a. Pirámide de base triángulo rectángulo.
b. Prisma recto con base hexágono regular.
14 cm
5 cm
Volumen de prismas y pirámides.
3,5 cm 8 cm
4,2 cm
6 cm
V=
V=
5 Resuelve los siguientes problemas. a. Determina la capacidad (volumen) en litros de un prisma hexagonal de área basal 55 cm2 y altura 22 cm.
b. Determina la variación porcentual del volumen de un cubo si su arista basal disminuye 30% y su altura aumenta 30%.
c. Se dispone de dos llaves para llenar una piscina de forma de prisma recto de base rectangular. La primera de ellas aporta 14 L por minuto y la segunda 16 L por minuto. Si trabajando simultáneamente se demoran 2 horas 50 minutos en llenarla, determina la altura de la piscina si su área basal es de 3 m2.
Matemática 8
195
Cilindro Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos círculos ubicados en planos paralelos, llamados base, y por una cara curva. Por ejemplo, en la vida diaria nos encontramos con distintos tipos de elementos que pueden ser representados por cilindros.
En un cilindro, el área lateral, el área total y el volumen son los siguientes: • Área lateral (AL): es igual al perímetro de la base por la altura del cilindro. • Área total (AT): equivale a la suma del área lateral más el área de las dos bases.
Medidas en el cilindro
• Volumen (V): es igual al producto del área de la base por la altura del cilindro. Así, en el cilindro de la figura estas medidas considerando = 3,1416 son: r = 6 cm de la base altura perímetro AL =2(3,1416)(6cm)(12 cm) = 452,4 cm2 área de las bases área lateral 2 AT = 452,4cm2 +2(3,1416)(6cm) =678,6 cm2
12 cm
áreade labase altura 2 V = (3,1416)(6cm) (12cm) = 1.357,2 cm3
Para grabar Área y volumen del cilindro Área lateral (AL) AL = 2rh
Área total (AT) AT = AL + 2AB AT = 2rh + 2r2
r: radio de la base h: altura del cilindro
Volumen (V) V = AB • h V = r2h AB: área de la base h: altura del cilindro r
AL: área lateral AB: área de la base r
2 r h
h
h r
Ejercita
1.
Identifica cuál de las siguientes figuras te permite construir un cilindro. a.
b.
Sí
196
Área y volumen
No
c.
Sí
No
d.
Sí
No
Sí
No
2. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de cada cilindro (considera = 3,14). a.
b.
7 cm
6 cm
c.
6
4 cm 15 cm
9 cm 8,5 cm AL =
AL =
AL =
AT =
AT =
AT =
V=
V=
V=
3. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Qué cantidad de metal aproximadamente se requiere para fabricar un tarro cilíndrico como el de la figura? (considera = 3,14) 20 cm
10 cm
b. Se dispone de 24.800 tarros de 8 cm de diámetro y 11.200 de 5 cm de diámetro, ambos de 10 cm de altura, ¿qué cantidad de papel se necesita para colocar una etiqueta que recubra la superficie lateral de todas las latas, sabiendo que este papel no se superpone al pegarlo?
c. Si se sabe que la altura de la lata de bebida de la figura equivale a cuatro veces la medida del radio de su base, ¿cuál es aproximadamente su área total? 4,5 cm
Matemática 8
197
Cono Un cono es un sólido cuya base es un círculo y la superficie lateral termina en un punto llamado vértice. Vértice
Para calcular el área lateral, el área total y el volumen del cono se tienen en cuenta las siguientes definiciones. • Área lateral (AL): es igual al semiperímetro de la base por la generatriz del cono. • Área total (AT): es igual al área lateral más el área de la base.
Medidas en el cono
• Volumen (V): es un tercio del área de la base por la altura del cono.
Superficie lateral
Así en el cono de la figura estas medidas, considerando = 3,1416, son: Base
semiperímetro
de la base generatriz AL = (3,1416)(4cm)(5cm) =62,8 cm2
semiperímetro
de la base generatriz AL = (3,1416)(4cm)(5cm) =62,8 cm2 r = 4 cm área lateral área de la base 2 AT = 62,8cm +(3,1416) 16cm2 = 1
área lateral área de la base h = 3 cm AT = 62,8cm2 +(3,1416) 16cm2 = 113,1cm2
(
)
(
)
(
área de la base
altura 2 1 semiperímetro 3,1416)(4cm 3cm) =50,27 cm3 V = de ( ) ( la base generatriz 3 2 2 )(24cm)(5cm) =62,8 cm AL =g(3,1416 = h +r
Ayuda La generatriz de un cono recto se puede calcular usando el teorema de Pitágoras, ya que equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo, que tiene a la altura y radio del cono como catetos.
g=
)
(
)
r2 AT = r g+(V) Volumen 1 V = r 2h 3 2 2 r: radio de la gbase = (12 cm) +(9 cm) h: altura del cono g = 15 cm h r
(12 cm) +(9 cm) 2
2
semiperímetro
g = 15 cm de la base generatriz Ejercita AL = (3,1416)(4cm)(5cm) =62,8 cm2 1. Calcula lageneratriz de cada área lateral área de lacono. base Observa el ejemplo.
(
)
(
)
AT = 62,8cm2 +(3,1416) 16cm2 a.= 113,1cm2 área de la base altura
2 1 3 cmcm V = (3,1416)(4cm) (3cm) =50,27 8 12 cm 3 g = h2 + r 2
AT = r g+ r 1 V = r 2h 3 g=
g = 15 cm
198
Área y volumen
b. 24 cm
6 cm
2
7 cm
9 cm
(12 cm) +(9 cm) 2
2
g=
(
)
altura 2 1 V = (3,1416)(4cm) (3cm) =50,27 3 g = h2 + r 2
área lateral 2 área de la base r grabar g+ APara r T = 2 1 2 +(3,1416) 16cm2 = 113,1cm2 AT =V 62,8cm = Área r h (AL) Área total (AT) 3 área delateral la base A = rg AT = AL + AB altura2 L 2 2 2 cm 1 =del (cono g 12 cm + 9 r:Vradio 3 A = rg + r ) ( ) = (3,1416)(4cm) (3cm) =50,27 cm T g: generatriz del cono 3 AB: área de la base g = 15 cm g = h2 + r 2 r: radio de la base g: generatriz del cono AT = r g+ r 2 1 V = r 2h 3
(
)
área de la base
g=
6
2. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de cada cono. a.
b.
c. 10 cm
15 cm
d.
24 cm 12 cm
6 cm 12 cm
10 cm
14 cm
AL =
AL =
AL =
AL =
AT =
AT =
AT =
AT =
V=
V=
V=
V=
3. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es el volumen de un cono recto cuya generatriz mide 24 cm y el radio de su base mide 7,6 cm?
b. La figura representa un tipo de anclaje utilizado en algunas aplicaciones de la ingeniería civil. ¿Cuál es el volumen del anclaje? 3 cm
5 cm 16 cm
24 cm c. Si el volumen de un cono es 314 cm3 y su altura mide 12 cm, ¿cuánto mide el radio de su base? ¿Y su área lateral?
Matemática 8
199
Cuerpos de revolución Eje de rotación o revolución
Si se hace girar un rectángulo sobre uno de sus lados se puede obtener la siguiente figura.
C
A
A
C
D
B
B
D
Para grabar Un cuerpo de revolución se obtiene a partir del giro de una figura plana alrededor de un eje.
Ejemplos: Cilindro, cono y esfera.
Ejercita
1.
Identifica en cada caso qué figura se obtendrá al girar sobre el eje indicado. Observa el ejemplo. a.
b.
CONO
2. Determina el volumen (V) que se genera al hacer rotar cada una de las figuras en torno al eje marcado. a.
V=
b.
4 cm
V=
2,5 cm 3 cm 9,5 cm
8 cm
5 cm
200
Área y volumen
6
Principio de Cavalieri
¿Cómo se podrá determinar el volumen de estos cuerpos? Para encontrar la solución a este problema se enunciará lo que se conoce como el Principio de “Cavalieri”, en honor a su creador Bonaventura Cavalieri (1598–1647).
Base
Altura
En este caso, al aplicar un corte transversal a una misma altura se generan secciones congruentes (áreas pintadas). Lo mismo ocurrirá para cualquier corte transversal que se realice a una misma altura.
Altura
Base Gracias al principio de Cavalieri se pueden extender las fórmulas de los volúmenes de prismas, pirámides, cilindros y conos rectos a todos los prismas, pirámides, cilindros y conos oblicuos.
Para grabar Si a dos o más cuerpos que tienen la misma altura y la misma base se les aplican cortes transversales (paralelos a las bases) a una misma altura y estos generan secciones cuyas áreas son congruentes, entonces, los volúmenes de dichos cuerpos son iguales.
Ejercita
1.
¿Por qué crees que están en negritas las palabras “misma altura” y “misma base” en el recuadro Para grabar?
Calcula en tu cuaderno el volumen de los siguientes cuerpos oblicuos. a.
2 cm
b.
c.
3 cm 5 cm
8 cm
7,5 cm
12 cm 1,4 cm
2. Determina el volumen del cuerpo formado por el grupo de monedas de la imagen si se sabe que todas las monedas son iguales y que sus medidas son 2,3 cm de diámetro y la altura del cuerpo es 2 mm.
Matemática 8
201
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.
Analiza la resolución del siguiente problema. Determina el volumen de una caja cúbica de tal forma que sirva para contener una pelota de forma esférica de 12,5 cm de radio, sabiendo que la esfera toca las seis caras de la caja. Observa la figura. R Analizar es descomponer el material en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras.
Paso
L
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? El volumen de la caja cúbica que contendrá a la pelota. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La forma esférica de la pelota y el diámetro de esta.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver el problema debes analizar sus componentes, relacionarlos y diferenciarlos. Para esto debes: • Organizar la información. El problema consiste en calcular el volumen de la caja cúbica considerando que debe contener una pelota esférica de 12,5 cm de radio. • Identificar las partes que la componen. Según la figura, la pelota debe tocar las seis caras de la caja; para ello, se debe determinar la relación entre el radio de la esfera y el lado del cubo. • Determinar de qué manera se diferencian las partes. Se puede observar en la figura que si el radio de la esfera es 12,5 cm y a su vez la esfera toca las caras del cubo, el lado del cubo debería medir lo mismo que el diámetro de la esfera, es decir, 25 cm.
Paso
Resuelve el problema
Como el diámetro de la esfera mide 25 cm, se tiene que el volumen del cubo es: (25 cm)3 = 15.625 cm3.
Paso
Revisa la solución
El radio de la esfera es 12,5 cm; por lo tanto, el diámetro será: 2 • r = 2 • 12,5 cm = 25 cm. Luego, como el volumen de un cubo es igual a su arista elevada a 3, se tiene que el volumen será (25 cm)3 = 15.625 cm3
202
Área y volumen
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. La figura muestra el plano de una piscina con forma de prisma de base rectangular, cuya mayor profundidad es de 2,2 m y la menor de 1,6 m. Si el rectángulo superior tiene dimensiones de 3 m y 5 m, respectivamente, determina la capacidad máxima de la piscina.
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso
Planifica lo que vas a realizar
• Organizar la información.
• Identificar las partes que la componen.
5m
3m
Resolución de problemas
6
• Determinar de qué manera se diferencian las partes.
Paso
Paso
Resuelve el problema
Revisa la solución
Matemática 8
203
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Excel es un programa computacional que admite incluir fórmulas que hacen posible calcular cantidades de manera automática, como el área o el volumen de cuerpos geométricos. Realiza los siguientes pasos que te permitirán calcular el volumen de un cilindro teniendo las medidas de su radio y altura.
Paso Escribe las palabras Radio en la celda B3, Altura en la B4 y Volumen en la B5.
h
r
Paso Ingresa, en la celda C5, la fórmula del volumen de un cilindro: V = • r2 • h Utiliza el formato equivalente en Excel =3,141592*C3^2*C4. Donde 3,141592 es una aproximación de , C3 corresponde al radio y C4 a la altura del cilindro.
Paso Asigna valores para el radio y la altura del cilindro en las celdas C3 y C4, respectivamente. Observa que en la celda C5 aparece el valor del área de un cilindro con las magnitudes que ingresaste. Compruébalo.
204
Área y volumen
1.
Realiza los siguientes pasos para calcular el volumen de una pirámide recta de base cuadrada, teniendo las medidas de la arista basal (b) y la apotema (a).
Paso Escribe las palabras Arista basal en la celda B8, Apotema en la B9, Altura de la pirámide en la B10 y Volumen en la B11.
a h
b
Paso Ingresa en la celda C10 la fórmula de la altura de la pirámide: 2
b h= a – 2 2
b2 • h que en su equivalente V =para Excel en este caso es: =(C9^2-(C8/2)^2)^0,5. 3
Paso
Herramientas tecnológicas
6
2
b a – del volumen de la Ingresa en la celda B11h= la fórmula 2 pirámide: b2 • h V= 3 2
que en su equivalente para Excel en este caso es: =(C8^2*C10)/3.
a) Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada con lado 6 cm, que tiene como altura del triángulo que forma una de sus caras un segmento de longitud 5 cm.
2. Utiliza Excel para calcular el volumen y el área de un cono. Escribe los pasos que se deben realizar. Matemática 8
205
PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Analiza el desarrollo de los siguientes problemas. Luego responde. a. Para calcular el área total de una pirámide recta cuya base cuadrada mide 36 cm2 y su altura 8 cm, se plantea lo siguiente: “El área total del prisma equivale a la suma de las áreas laterales y el área basal”. Para realizar dicho cálculo se propone: Área de la pirámide = Área basal (cuadrado) + 4 • Área de la cara lateral (triángulo) Área= 36 cm2 +
4 • (6 • 8) 2 cm = 36 cm2 +96 cm2 = 132 cm2 2
• ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
b. Para saber cuánto varía el volumen de un prisma recto de base cuadrada y altura “h” cuando dos de sus aristas basales se aumentan en 10% y las otras dos se disminuyen en 10%, formando un rectángulo como cara basal, se plantea lo siguiente: “El volumen del prisma permanece inalterable, ya que la disminución del 10% de dos de sus aristas basales se compensa con el aumento del 10% de las otras dos”. • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
206
Área y volumen
c. La figura muestra un octógono, el que se hace girar sobre el eje vertical, formando un cuerpo espacio vacío en su interior. Al preguntar si alguien tiene alguna idea de cómo se puede calcular el volumen del cuerpo generado, un alumno plantea el siguiente procedimiento como solución: “En primer lugar, calculo el volumen del cilindro de diámetro 3 cm y altura 8 cm y luego le resto el volumen del área del cilindro de diámetro 1 cm y altura 4 cm”, es decir:
3 cm
8 cm
4 cm
Volumen del cuerpo generado = volumen del cilindro mayor – volumen del cilindro menor
1 cm
Volumen del cuerpo generado = • 1,52 • 8 – • 0,52 • 4 • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
Para no equivocarse
6
d. Se quiere construir un cono recto de tal forma que la altura de este sea igual al radio basal. Para ello, se realiza el siguiente bosquejo: r • ¿Cuál es el error cometido?
r
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
Matemática 8
207
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Dentro de los poliedros existen solo 5 en los que cada una de sus caras son polígonos regulares congruentes. Estos poliedros, llamados regulares, son el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Estos cuerpos han cautivado a numerosos estudiosos y civilizaciones, principalmente por su rareza y hermosura, la que se explica por la gran simetría que poseen. En la antigua Grecia, estos cuerpos representaban los elementos que componían el Universo y se denominaban sólidos platónicos: el tetraedro representaba el fuego, el hexaedro a la tierra, el octaedro al aire, el icosaedro al agua y finalmente el dodecaedro representaba al Universo.
Tetraedro Las 4 caras son triángulos equiláteros.
1.
Hexaedro Las 6 caras son cuadrados.
Octaedro Las 8 caras son triángulos equiláteros.
Icosaedro Las 20 caras son triángulos equiláteros.
Dodecaedro Las 12 caras son pentágonos regulares.
Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula el área y el volumen de un tetraedro de arista 6 cm. ¿La altura del tetraedro coincide con algún punto especial del triángulo? ¿Cuál? b. Calcula el área y el volumen de un hexaedro de arista 12 cm. c. Calcula el área y el volumen de un octaedro de arista 8 cm. d. Calcula el área de un icosaedro de arista 7 cm.
2. Construye en tu cuaderno una red para formar un dodecaedro y un icosaedro de arista 10 cm. Para ello, guíate por las siguientes redes.
208
Área y volumen
3. Analiza la relación que existe entre los elementos de un poliedro convexo, es decir, entre el número de caras, vértices y aristas. Observa los poliedros y completa los datos pedidos en la siguiente tabla.
Cuerpo
N° de caras
N° de vértices
N° de aristas
Poliedro1
Ayuda
Los poliedros se pueden clasificar en cóncavos y convexos. Los primeros son aquellos que no se pueden apoyar sobre todas sus bases, a diferencia de los convexos, en donde sí es posible.
Cóncavo
Poliedro2
Ampliando mis conocimientos
6 Convexo
Poliedro3 Poliedro4 Poliedro5 Poliedro6
Poliedro1
Poliedro2
Poliedro3
Poliedro4
Poliedro5
Poliedro6
Al completar la tabla podrás observar una relación que se repite entre los elementos estudiados y todos los poliedros analizados. Esta relación se conoce como el teorema de Euler, que establece la siguiente relación para los poliedros convexos: “la suma entre el número de caras y el número de vértices excede en dos unidades al número de aristas”, es decir: N° caras + N° vértices = N° aristas + 2
4. Verifica en tu cuaderno que se cumpla el teorema de Euler para los siguientes poliedros.
Matemática 8
209
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál es el volumen máximo, en litros, que puede contener un recipiente con forma de prisma recto de base triangular si su base tiene un área de 0,3 m2 y su altura es de 0,5 m?
5 Si a un prisma recto de base triangular y de altura h se le aplica un corte paralelo a sus bases a igual distancia de ambas, ¿qué porcentaje del volumen del prisma original tiene uno de los prismas que se forma? A. B. C. D.
25% 50% 60% 75%
6 Si las aristas basales de un prisma recto de base cuadrada disminuyen 10% y su altura aumenta 20%, ¿cómo varía el volumen del nuevo prisma? A. B. C. D.
0,15 m3 1,5 m3 15 m3 150 m3
2 Un recipiente cúbico tiene capacidad para almacenar 27 L de líquido. ¿Cuál es el área del cubo en metros cuadrados? ( = 3,14) A. B. C. D.
cuadrado. Si la capacidad del cuerpo es de 256 L, ¿cuánto mide el lado del cuadrado? 16 cm 20 cm 48 cm 80 cm
4 La base rectangular de un prisma recto mide 32 cm2. Si los lados están en razón 1 : 2 y su altura es 1,5 dm, ¿cuál es el área del prisma? A. B. C. D.
210
Se mantiene. Aumenta 10%. Aumenta 18%. Disminuye 2,8%.
7 La figura muestra un cubo de volumen 27 dm3. ¿Cuál es el área del prisma recto cuyas bases son los triángulos BCD y AEF? A
0,09 m2 0,36 m2 0,54 m2 0,63 m2
3 La base de un prisma recto, de altura 40 cm, es un
A. B. C. D.
A. B. C. D.
25 cm2 50 cm2 100 cm2 200 cm2
Área y volumen
E
G F
D B
H C
A. 9 dm3 B. 27 dm3 9 C. dm3 2 27 D. dm3 2
8 Cuál es el volumen de una pirámide de altura 3 dm y área de la base igual a 4,5 dm2 de vértices? A. 9 dm3 B. 27 dm3 9 C. dm3 2 27 D. dm3 2
9 El área total de la pirámide regular de la figura es de 600 cm2. ¿Cuál es el área de una de sus caras triangulares si su área basal es de 225 cm2?
Evaluación final
6 13 Un círculo de radio 4 cm se desplaza 9 cm,
perpendicularmente a su plano, formando un cilindro. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que describe este movimiento? ( = 3,14)
A. 93,75 cm2 B. 187,5 cm2 C. 225 cm2 D. 375 cm2
9 cm
10 ¿Cuál es el volumen de la pirámide de base cuadrada
4 cm
que se representa en la siguiente figura?
5 cm
A. 0,45216 L B. 4,5216 L C. 45,216 L D. 452,16 L
14 ¿Cuál es el volumen del cilindro inscrito en un recipiente cúbico que puede contener un litro de agua? 6 cm A. 132 cm3 B. 144 cm3 C. 150 cm3 D. 164 cm3
11 ¿Cuánto mide el radio de un cilindro de volumen 9,0432 L si su altura es de 20 cm?
A. 0,25 cm3 B. 2,5 cm3 C. 25 cm3 D. 250 cm3
15 La siguiente figura representa un embudo. Si se quiere vaciar 1 L de cierto líquido, ¿cuántas veces se deberá usar este embudo a su máxima capacidad, aproximadamente? ( = 3)
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm
5 cm
5 cm
12 Si de un recipiente cilíndrico, que almacena 20 litros de agua, se extraen 8 litros, ¿en qué porcentaje disminuye la altura de la columna de agua? A. 20% B. 30% C. 40% D. No se puede determinar.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Matemática 8
211
EVALUACIÓNFINAL 16 Un triángulo rectángulo de hipotenusa 13 cm, cuyo cateto menor 12 cm, se hace girar, generando un cono. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?
13 cm 12 cm
20 Si un triángulo isósceles de base 48 cm y lados 26 cm se hace rotar sobre su base, ¿cuál es el volumen del cuerpo generado? A. B. C. D.
400 cm3 800 cm3 1.600 cm3 3.200 cm3
21 Dos circunferencias concéntricas de radios 1 cm y
A. 240 cm3 B. 300 cm3 C. 720 cm3 D. Faltan datos.
2 cm son desplazadas verticalmente una altura h. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cilindro interior y el volumen del cilindro exterior? 1 cm A. 1 : 4
17 Respecto del ejercicio anterior, ¿cuál es el área del cono? A. 144 cm2 B. 156 cm2 C. 200 cm2 D. 300 cm2
B. 1 : 3 C. 1 : 2 D. 1 : 1
2 cm
22 Dentro de un cilindro se colocan dos conos
18 Un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 5 cm y 10 cm, se hace rotar primero en torno al menor de los catetos y luego en torno al mayor de ellos. ¿En qué razón se encuentran los volúmenes generados? A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 1 : 4 D. 1 : 5
19 ¿Cuál es el volumen que hay entre el prisma recto de base cuadrada y el cilindro más grande que cabe en su interior?
6 cm
congruentes en sentido contrario (como un reloj de arena). Si cada uno de los conos tiene por base la del cilindro y la altura de este es 2h, ¿qué parte del volumen del cilindro queda entre este y los conos? 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 4 D. No se puede determinar.
23 ¿Cuál es el volumen que queda entre un prisma rectangular de base cuadrada, de altura 8 cm y arista basal 4 cm, y el cono en su interior de altura 8 cm y radio basal de 2 cm? ( = 3) A. B. C. D.
68 cm3 72 cm3 84 cm3 96 cm3
6 cm A. (216 – 54) cm3 B. (216 + 54) cm3 C. (180 + 54) cm3 D. (54 – 216) cm3
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
212
Área y volumen
II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Si se desea vaciar el contenido líquido de un estanque de forma de prisma recto, de base hexagonal, de arista basal 4 cm y altura 12 cm a un estanque cilíndrico de radio 4 cm, ¿cuál debe ser la altura del nuevo estanque?
Evaluación final
6
2 ¿Cuál es el volumen aproximado de una pirámide regular de base pentagonal cuya arista basal mide 4 cm y su altura es de 8 cm?
3 Si un envase de forma de prisma recto, de base cuadrada debe modificarse en su diseño de tal forma que sus aristas basales disminuyan en 50% cada una, ¿qué variación debe experimentar su altura si no se quiere alterar el volumen original?
Matemática 8
213
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Procedimiento
Ejemplo
Unidad de área. Unidad de volumen. Unidad de capacidad.
Concepto Área de un prisma.
Volumen de un prisma.
Área de una pirámide.
Volumen de una pirámide.
Área de un cilindro.
Volumen de un cilindro.
Área de un cono.
Volumen de un cono.
214
Área y volumen
Es igual al producto del área de la base por la altura del cilindro. V = AB • h
V = • 42 • 10 = 160 cm3 r = 4 cm 10 cm
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Área y volumen de prismas
Aplicar
2
Área y volumen de prismas
Aplicar
3
Área y volumen de prismas
Aplicar
4
Área y volumen de prismas
Analizar
5
Área y volumen de prismas
Analizar
6
Área y volumen de prismas
Analizar
7
Área y volumen de prismas
Aplicar
8
Área y volumen de pirámides
Aplicar
9
Área y volumen de pirámides
Aplicar
10
Área y volumen de pirámides
Aplicar
11
Área y volumen de cilindros
Aplicar
12
Área y volumen de cilindros
Analizar
13
Área y volumen de cilindros
Analizar
14
Área y volumen de cilindros
Aplicar
15
Área y volumen de conos
Analizar
16
Área y volumen de conos
Analizar
17
Área y volumen de conos
Aplicar
18
Área y volumen de conos
Analizar
19
Área y volumen de cilindros y conos
Aplicar
20
Área y volumen de cilindros y conos
Analizar
21
Área y volumen de cilindros y conos
Analizar
22
Área y volumen de cilindros y conos
Analizar
23
Área y volumen de cilindros y conos
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
7 Área y volumen de prismas
3 Área y volumen de pirámides
4 Área y volumen de cilindros
Solucionario de evaluación final
6
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
4 Área y volumen de conos
5 Área y volumen de cilindros y conos
Matemática 8
215
7
Transformaciones isométricas
Maurits Cornelis Escher Fue un artista gráfico en cuyas obras se pueden observar conceptos como los de simetría, traslación, rotación y teselación. El carácter matemático geométrico de su obra es famoso en el entorno científico.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
¿Para qué?
¿Dónde?
Transformaciones isométricas en el plano. Reconocer y clasificar las transformaciones isométricas. Construir transformaciones isométricas de figuras planas Páginas 218 a 227. usando regla y compás. Composición de transformaciones Reconocer y construir composiciones de Páginas 230 a 231. isométricas. transformaciones isométricas sobre figuras planas. Teselaciones regulares y semirregulares de superficies planas.
216
Transformaciones isométricas
Reconocer transformaciones isométricas en teselaciones del plano y recubrir superficies planas con diseños propios.
Páginas 232 a 235.
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Qué movimiento se debe realizar sobre la figura marcada con color azul para que quede en la posición de la marcada con color rojo? 3) ¿Qué movimiento se debe realizar sobre la figura marcada con color azul para que quede en la posición de la marcada con color amarillo?
Evaluación inicial Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido.
Dos amigos responden a la pregunta: ¿qué movimiento(s) se debe(n) realizar sobre la figura marcada de color verde para que quede en la posición de las otras? Uno de ellos afirma que a partir de traslaciones y rotaciones sobre la figura marcada se pueden obtener las demás. El otro dice que solo con rotaciones se puede lograr el objetivo. 1) ¿En qué orden están dispuestas las figuras en el diseño?
2) ¿De qué forma se pueden aplicar movimientos sobre la figura marcada de color verde que le permitan quedar en la posición de las otras?
3) Evalúa las repuestas de cada amigo. ¿Cuál tuvo la razón? ¿Por qué?
Matemática 8
217
Transformaciones isométricas En los siguientes diseños se muestran transformaciones sobre figuras en el plano:
En el diseño de la izquierda se puede apreciar que la “figura original” conserva su forma pero no su tamaño.
En cambio, en el diseño de la derecha la figura original conserva su forma y su tamaño.
¿En cuál de ellos se muestran transformaciones que no hacen variar ni la forma ni el tamaño de estas?
Para grabar Una transformación isométrica es un cambio que se realiza sobre figuras planas, que no modifican la forma ni el tamaño (área) de estas.
Ejemplos: Traslación
Rotación
90°
La palabra isometría tiene origen griego: iso, que significa igual, y metría, que significa medir. Por lo tanto, esta palabra puede ser traducida como igual medida.
¿Qué crees que significa traslación, rotación y simetría?
Simetría
L
Ejercita
1. Identifica en cada caso si se realizó una transformación isométrica. Para ello, marca Sí o No. a.
Sí
c.
No
b.
Sí No
218
Transformaciones isométricas
Sí No
d.
Sí No
7
2. Analiza las fotografías y luego responde.
Fotografía 1
Fotografía 2
Fotografía 3
a. ¿Se puede afi rmar que las situaciones que muestran las fotografías representan transformaciones isométricas? Justifi ca. Fotografía 1: Fotografía 2: Fotografía 3:
3. Reconoce el o los tipos de transformaciones isométricas que se realizaron para obtener el diseño en cada caso. Para ello, marca el contorno de la fi gura original. a.
c.
b.
d.
Matemática 8
219
Traslación Se puede observar que la distancia desde el punto A hasta el punto A’ es la misma que existe desde el punto B al B’ y desde el punto C al C’. Es decir, esta transformación isométrica mueve cada punto de la figura original en una misma longitud. C
¿Qué características tiene la transformación isométrica que se aplicó al triángulo ABC? C
C’
60°
C’
60°
60° 60°
A A
30°
B
A’
B
30°
A’
30°
B’
30°
B’
Observa que las flechas verdes muestran hacia dónde y en qué magnitud (longitud) se debe realizar el movimiento.
Para grabar La traslación de una figura plana es una transformación isométrica que mueve todos los puntos de la figura en una misma dirección, sentido y longitud.
Ejemplo: Imagen D’
Para trasladar una figura geométrica plana se puede realizar utilizando un vector de traslación, que tiene longitud, dirección y sentido.
C’ E’
Para saber más
Punto final (sentido)
Dir ec ció
n
En un vector, la dirección está dada por la recta que lo contiene; el sentido, por la “punta de flecha” que este tiene y la longitud es la distancia desde el punto inicial del vector hasta su punto final.
B’
A’
v
D C
Vector de traslación
E
1. Identifica en cuál de los siguientes casos se realizó una traslación. En el caso que corresponda, dibuja el vector de traslación. a.
B’
b.
D’ E’
C’ D’
G H
D E B C
H’ G’
F
A’
D
c.
F’
B C
A
D’ E’ B’
E A Transformaciones isométricas
B
Ejercita
Punto inicial
220
Figura original
A
D
C’ A’
2. Analiza el ejemplo y luego traslada cada fi gura según el vector traslación dado.
7
v C’
D’ C
D
A’
B’
B
A
a. A
E D C
B v
b.
D
C
E F u
G A B
c. E
D F G
s A
C B
Matemática 8
221
Reflexión La fotografía muestra un ave y su refl ejo en el agua y, al parecer, el reflejo es idéntico a la figura del ave.
Figura original
Esta situación de la realidad tiene mucha relación con una transformación isométrica en el plano, conocida como simetría axial, en la que una figura se refleja y genera otra respecto de una recta. La imagen conserva la forma y el tamaño de la original.
Eje de simetría
Figura original
Imagen
O Punto de simetría
Imagen En la figura de los caballos de mar se observa otra reflexión o simetría; en este caso, respecto de un punto.
Para grabar La simetría axial es una reflexión en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto, llamado imagen, tal que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.
Eje de simetría 3 cm 3 cm C’ C 1 cm 1 cm
B’ Imagen
A’ 1 cm La simetría central es una reflexión en la que a cada punto, de la figura original se le asocia otro punto llamado imagen, tal que el punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado punto de simetría.
Figura original
B Figura original
1 cm A B’
C 3 cm 5 cm
A
4 cm O
5 cm
4 cm 3 cm Punto de simetría
B
A’ Imagen
C’
Ejercita
1. Identifica en cuál o cuáles de las siguientes fi guras se realizó una simetría axial. Para ello, marca sí o no. a.
b. C
C’
c.
B
A’
A A’ Sí
222
Transformaciones isométricas
No
D’
E’
E
B B’
A
D’
D F’
F
A’
B’
D
C
C’
C’
C
A Sí
No
B Sí
No
B’
7
2. Aplica el concepto de eje de simetría. Luego, dibújalo en cada caso y completa. a.
c.
Ayuda Al realizar una simetría, esta se puede clasificar en tres tipos.
Simetría b.
Simetría
Simetría exterior
d.
E
F
C
A
B
A’
B’
D D’
C’
F’
E’
Simetría interior
Simetría
Simetría
3. Plantea un procedimiento que permita determinar el centro o punto de simetría entre las fi guras.
L
P O’
P’
Q
O
Procedimiento:
Q’ Simetría de contorno M
J
K
I
K’ J’
I’
H
H
4. Aplica el concepto de punto de simetría. Luego, dibújalo en cada caso y completa. a.
c.
Simetría b.
Simetría d.
Simetría
Simetría Matemática 8
223
Uso de la regla y del compás Con la regla y el compás es posible realizar transformaciones isométricas sobre figuras en el plano.
¿Cómo se utilizan la regla y el compás para dibujar la imagen de un punto al ser trasladado respecto de un vector?
Para trasladar un punto P respecto de un vector v es necesario construir una recta perpendicular a este o a la recta que lo contenga. Para ello, se deben realizar los siguientes pasos: v P 1° Marca en el vector o en la recta que lo contenga dos arcos de circunferencia con centro en P (punto a trasladar) y de igual radio (abertura del compás) y determina los puntos M y N, que son las intersecciones entre los arcos M y el vector o recta que los contiene. 2° Marca un arco de circunferencia con centro en M y luego otro de igual radio que el anterior con centro en N para determinar el punto de intersección Q distinto de P. P 3° Dibuja la recta PQ, que es perpendicular al vector v y que contiene a P.
Q
N
v
Luego, se debe construir una recta perpendicular a la recta PQ que contenga a P. Para ello, debes hacer lo siguiente: Q
1° Marca dos arcos de circunferencia con igual radio
M
sobre la recta PQ con centro en P. 2° Determina los puntos R y S, que son intersecciones entre los arcos y la recta PQ. 3° Con centro en R y luego en S, dibuja dos arcos de circunferencia de igual radio y determina los puntos X e Y, que son intersección entre estos.
N
R
X
v
P S
4° Dibuja la recta XY.
Y P’
Por último, se debe copiar el vector v sobre la recta XY desde el punto P. Para ello, se debe medir con el compás, manteniendo la abertura. 1° Marca con centro en P un arco sobre la recta XY. El punto de intersección entre este arco y la recta XY es la imagen P’ del punto P.
Para grabar Para realizar la traslación de un polígono se debe trasladar cada vértice según el vector de traslación y luego unir las imágenes de acuerdo con el orden establecido en la figura original. B C A B’
Figura original D
C’
A’
Imagen D’
224
Transformaciones isométricas
7
1. Construye la traslación del polígono ABCD respecto del vector v .
B
C
A
D
v
2. Analiza el procedimiento que se muestra a continuación y luego aplícalo para construir las refl exiones que se solicitan.
L
Construcción de la imagen de un punto al realizar una simetría axial. P
1° Dibuja una recta perpendicular a la recta L que contenga al punto P.
M
2° Determina el punto de intersección M entre las rectas.
P’
3° Mide con el compás la distancia entre el punto P y el punto M.
L’
4° Manteniendo la abertura del compás, copia un arco con centro en M que intersecte la recta L’, determinando el punto P’ que es imagen de P. a. Aplicar la simetría axial al triángulo ABC respecto de la recta L.
b. Aplicar la simetría axial al cuadrilátero ABCD respecto de la recta M.
L
M A
A
B
B
D
C C Matemática 8
225
Rotación En este juego, ¿qué movimiento se debe realizar sobre la figura para que ésta quede en la posición marcada con línea segmentada?
Para lograr que esta figura quede en la posición marcada se debe realizar sobre ella una rotación, en sentido contrario al movimiento que hacen las manecillas del reloj, respecto de un punto P y en un ángulo de 90°.
P
90° P
Al aplicar la rotación, la figura no varía su forma ni su tamaño, por lo que este movimiento cumple con las características de una transformación isométrica. ¿Qué resultado obtendrías si realizaras la rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj?
Para grabar
Para saber más El tetris es uno de los videojuegos más populares de la historia, creado en 1984 por Alexey Pajitnov, ingeniero ruso. Fuente: http://www.elmundo.es No olvides que las páginas web o su contenido pueden variar.
226
Transformaciones isométricas
Rotación exterior Una rotación es una transformación isométrica C’ en la que todos los puntos Imagen de la figura de origen se D’ mueven respecto de un B’ punto fijo llamado centro de D rotación en un determinado A’ ángulo, llamado ángulo de rotación. Ángulo de 90° El centro de rotación puede rotación B O estar en el interior, en el Figura Centro de contorno o en el exterior de original rotación A la figura. El sentido positivo de la rotación es el sentido antihorario, es decir, contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Mientras que el sentido negativo de la rotación es en el sentido horario.
Rotación contorno A’
C’
C
–60°
A
O
B B’
B
Rotación interior U’ R 45°
R’
T’
U
P S
S’ T
1. Analiza los pasos realizados para rotar la figura ABCD en 80°. Luego, aplica las rotaciones pedidas en cada caso. PASO 1
PASO 2
Con centro en O, dibuja con el compás una circunferencia de radio OA. Luego, dibuja con el transportador un ángulo de 80°, como indica la imagen.
PASO 3
Realiza el paso 1 con todos los vértices de la figura. Une todos los vértices y obtendrás la rotación de Obtendrás lo siguiente. la figura original.
B’
B’
C’
C’
D’ A’
D
D’
C
A’
D
C
A’
O
O 80° A
7
D
C
O A
B
A
B
a. Rotación con centro en D y un ángulo de 60°.
B
b. Rotación con centro en C y en un ángulo de –90°.
B
D F
C
A
E
G
C
D
2. Identifica cuáles de los siguientes dibujos se obtuvieron a partir de una rotación. Para ello, dibuja el centro de rotación y marca el ángulo de rotación. Comenta la estrategia utilizada con tus compañeros. a.
C’
b.
B
A’
D
A
C B’
c.
A D
D’
C A’
C’ B’
A
B
C
B’
C’
A’
D’ B
Matemática 8
227
EVALUACIÓNINTERMEDIA Transformaciones isométricas.
1 Argumenta en cada caso si la imagen corresponde a una transformación isométrica. Transformación isométrica
Argumentación
El movimiento del peón blanco.
2 Identifica cuál de las siguientes transformaciones es una traslación. a.
b.
c.
d.
Traslaciones.
Si/No
Si/No
Si/No
Si/No
3 Construye la traslación de la siguiente figura geométrica plana mediante el vector de traslación dado.
v
228
Transformaciones isométricas
H
G F E
A
B C D
7 4 Construye la reflexión respecto de la recta L dada en cada caso. a.
b.
B
L
C
D
C E
F
E D F
G
A B L
A
Reflexiones.
5 Construye la simetría central de la figura respecto del punto de simetría marcado con azul en cada caso. a.
b.
E
D C
F
E
B
D
A F
A
B
C
Rotaciones.
6 Construye la rotación pedida en cada caso. Para ello, utiliza transportador y compás. a. Con centro en O y en –200°. A
b. Con centro en P y en 300°.
D B
O P A
D
C B
C
Matemática 8
229
Composición de transformaciones isométricas ¿Qué transformaciones isométricas puedes detectar en la siguiente secuencia de figuras?
Observa que la figura 2 se puede obtener de una traslación realizada sobre la figura 1, y la figura 3 de una rotación de la figura 2.
v
Figura 2
–90°
La figura 3 es el resultado de la composición aplicada a la figura 1 al efectuar sobre ella una Figura 1
Figura 3
traslación respecto del vector v y posteriormente una rotación con centro en el punto O y en un ángulo de 90° en sentido de las manecillas del reloj (–90°).
Para grabar Una composición de transformaciones isométricas consiste en aplicar sobre una figura una transformación y luego, sobre su imagen, otra transformación, y así sucesivamente un número determinado de transformaciones.
Ejemplos: Figura original D
L
Imagen
D’ C’
C
A’’ O
A’
A
B’’
C’’
D’’ B B’ En este dibujo se aplicó sobre el cuadrilátero ABCD una reflexión respecto de la recta L, obteniéndose el cuadrilátero A’D’C’B’, y a este se le aplica una simetría central respecto del punto O, obteniéndose finalmente el cuadrilátero A’’D’’C’’B’’. La composición de estas transformaciones mueve el cuadrilátero ABCD hasta el cuadrilátero A’’D’’C’’B’’.
Ejercita
1. Aplica la composición de transformaciones isométricas indicadas sobre la fi gura original. a. Trasladar el triángulo ABC respecto del vector v y luego su imagen respecto del
C p
A B v
vector p . b. Rotar el cuadrilátero ABCD en torno al punto M y en un ángulo de –270°. Luego, a la imagen aplicar la simetría respecto de la recta L.
230
Transformaciones isométricas
L
D C M A
B
7
2. Describe la composición de transformaciones isométricas que se muestra en cada uno de los siguientes dibujos. a.
B’ Imagen 1 A
A’ B’’
C’
A’’ Imagen 2
D’
B Figura original C
Ayuda
C’’
La composición de traslaciones se puede representar por un solo vector.
D’’ D
B E
C B’
A D A’ E’
C
O 60° 90°
D’’
A B
B’’
3. Construye la composición isométrica que se pide en cada caso. a. Realiza la simetría axial del triángulo ABC respecto de la recta L, y sobre la imagen obtenida, la simetría axial respecto de la recta M. L
A’ C’’ v
u Imagen 2
C’
A
C’ Imagen 1
C’’
A’’E’’
D’
Figura original
M
B’
p
A’’ B’’ Al componer las traslaciones representadas por los vectores v y p, resulta una traslación representada por el vector u.
C
B
b. Aplica la simetría central sobre el pentágono regular en torno al punto O, y sobre la imagen obtenida, aplica la simetría axial respecto de la recta K. K
D E C
O
A B
Matemática 8
231
Teselaciones regulares y semirregulares Se desea pavimentar completamente una superficie plana repitiendo un polígono regular, de tal forma que no se superpongan las figuras.
¿Todos los polígonos regulares pueden ser utilizados para pavimentar una superficie plana?
No todos lo polígonos regulares permiten pavimentar completamente una superficie plana sin que estos se superpongan. Por ejemplo, al utilizar un pentágono regular quedan espacios del plano sin cubrir.
¿Qué particularidad tienen los polígonos regulares que permiten pavimentar o cubrir completamente el plano? Estos polígonos tienen la particularidad de que la medida de cada uno de sus ángulos interiores son divisores de 360. En el caso del triángulo equilátero, por ejemplo, cada ángulo interior mide 60° y 6 • 60° = 360°.
Para grabar La teselación es una técnica que permite recubrir el plano con figuras geométricas planas, de tal manera que todos los espacios resulten cubiertos, sin dejar vacíos, ni tampoco figuras superpuestas. Una teselación es regular cuando en el recubrimiento se utiliza un solo polígono regular. Este tipo de teselación solo es posible utilizando triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. ¿En qué diferenciarías una teselación regular de una semirregular?
Una teselación es semirregular cuando en el recubrimiento se utilizan combinaciones de polígonos regulares. Para que esto sea posible, los polígonos que se juntan en un vértice deben tener ángulos interiores que sumen exactamente 360°.
232
Transformaciones isométricas
Ejemplo:
1. Identifica visualmente si las siguientes teselaciones son regulares o semirregulares. a.
d.
7
b.
e.
c.
f.
2. Describe en cada caso, la forma en que se pueden aplicar transformaciones isomĂŠtricas sobre las figuras pintadas que permitan teselar el plano. a.
b.
MatemĂĄtica 8
233
Ayuda La medida del ángulo interior de un polígono regular de n lados está dada por la siguiente fórmula:
(n - 2) • 180° n n: número de lados del polígono.
3. Analiza cada fi gura compuesta por polígonos regulares y determina si con ella es posible teselar el plano. a. Pentágonos regulares y triángulos equiláteros.
b. Hexágonos regulares, cuadrados y triángulos equiláteros.
c. Hexágonos regulares y triángulos equiláteros.
4. Construye teselaciones utilizando las fi guras que se muestran a continuación.
Para saber más
a.
Las siguientes combinaciones de polígonos regulares permiten teselar un plano.
b.
c.
234
Transformaciones isométricas
5. Analiza el ejemplo y llévalo a cabo. Para construir fi guras más complejas que permitan teselar un plano se pueden utilizar fi guras básicas como: cuadrados, triángulos, paralelogramos, es decir, cualquiera que tesele el plano por sí misma. Por ejemplo: PASO 1 Dibuja un triángulo cualquiera.
PASO 2 Divídelo en tres partes que consideren los lados completos.
1
2 3
1
7 Para saber más Todo triángulo, cuadrilátero y paralelogramo puede teselar el plano. Una teselación no regular es la que utiliza polígonos no regulares.
2 3
PASO 4 Tesela el plano utilizando la figura obtenida en paso anterior.
PASO 3 En los lados de otro triángulo congruente (de igual forma e igual tamaño) al anterior, dibuja las partes obtenidas sobre los lados correspondientes.
1 2 3
6. Construye fi guras que te permitan teselar el plano. a. Utilizando un cuadrado.
b. Utilizando un paralelogramo.
Matemática 8
235
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Se desea teselar una pared y se realiza un concurso para elegir la fi gura que se va a utilizar como cerámica. Participan 4 diseños. Luego del análisis realizado por los jueces se elimina uno de ellos, ya que no cumple con la condición de teselar el plano. ¿Están los jueces en lo correcto?
Paso
Participantes: Diseño 1: un pentágono regular y dos triángulos equiláteros, ambos con lados de igual longitud.
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Si los jueces emitieron una conclusión correcta. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Los diseños que participan en el concurso.
Paso
Diseño 2: un dodecágono regular (12 lados), un cuadrado y un hexágono regular.
Planifica lo que vas a realizar
Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido. • Analizar el objeto o situación que se va a evaluar. Se deben analizar los diseños propuestos por los participantes. • Defi nir el o los criterios de evaluación. Es necesario saber cuáles son las condiciones que deben cumplir los diseños de cerámica que permitan cubrir el plano. Las figuras propuestas en los diseños deben tener la característica de que al juntarse en un vértice, la suma de sus ángulos interiores sea de 360°.
Paso
Diseño 3: dos dodecágonos regulares y un triángulo equilátero.
Diseño 4: un pentágono regular y dos hexágonos regulares.
Resuelve el problema
• Verificar si la o las respuestas propuestas son correctas. La determinación tomada por los jueces es incorrecta, ya que aparte del diseño 1 hay otro diseño que no permite teselar el plano. • Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada. Al medir los ángulos que confluyen en un mismo vértice, estos no suman 360° en dos de los diseños. En el diseño 1 suman 228° y en el diseño 4 suman 348°. Por lo que ambos diseños deben ser descalificados del concurso.
Paso
Revisa la solución
Al disponer cada diseño por sí mismo en el plano,con el diseño 1 y 4 no se puede teselar ya que quedan espacios sin cubrir.
Teselación 1
236
Transformaciones isométricas
Teselación 2
Teselación 3
Teselación 4
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Evalúa las afirmaciones realizadas por tres estudiantes respecto de los dibujos.
A
• El primero indica que la imagen A’B’C’D’ se puede obtener a partir de la aplicación de una traslación sobre el polígono ABCD. • El segundo dice que a través de una simetría central. • El tercero, a través de una rotación.
Paso
D
C
O
B’ C’
D’
B
Resolución de problemas
7 A’
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso
Planifica lo que vas a realizar
• Analizar el objeto o situación que se desea evaluar.
• Defi nir el o los criterios de evaluación.
Paso
Resuelve el problema
• Verificar si la o las respuestas propuestas son correctas.
• Explicitar de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada.
Paso
Revisa la solución
C
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un alumno de octavo básico afirma que es posible teselar el plano con el cuadrilátero de la imagen; su compañero de puesto le dice que está equivocado. ¿Quién tiene la razón?
D
A B Matemática 8
237
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Geogebra es un programa que da la posibilidad de construir fi guras geométricas, experimentar, analizar, comprobar resultados, etc. Otra de sus capacidades es que permite realizar transformaciones isométricas tanto sobre elementos geométricos básicos como sobre fi guras más complejas. Ejemplo: construye un polígono como el que se muestra en el paso 1.
Paso Si al ejecutar el programa aparecen los ejes, los puedes borrar seleccionando la opción Cuadrícula del menú Vista. Para construir el seleccionando la opción polígono selecciona y al presionar el botón izquierdo del mouse se generarán los vértices y lados del polígono. Para concluir, debes presionar en el vértice inicial. Luego, utilizando la opción vector presionar en el vértice inicial. Luego, utilizando la opción entre dos puntos , que aparece en el menú que se despliega al seleccionar el botón de la barra de herramientas, grafi ca un vector entre estos puntos.
Paso Selecciona la opción traslada objeto por un vector que aparece en el menú que se despliega al seleccionar el botón de la barra de herramientas. Aplica una traslación del polígono, acorde al vector, seleccionando primero el polígono y luego el vector.
Paso Presiona el botón de la barra de herramientas para seleccionar la punta del vector, y sin dejar de presionar el botón izquierdo del mouse, desplázalo y podrás observar como cambia automáticamente la imagen del polígono original.
Ayuda Para asignar la longitud a un elemento del dibujo debes utilizar la opción distancia que aparece en el menú que se despliega al hacer clic en el botón de la barra de herramientas.
238
Transformaciones isométricas
1. Utiliza Geogebra para realizar la traslación que se solicita a continuación. Un polígono de cinco lados acorde a un vector de magnitud (longitud) 3 cm.
7 Paso Dibuja el polígono y el punto de simetría. Recuerda que para hacer esto debes seleccionar y al presionar el botón izquierdo del mouse se generarán los vértices y lados del polígono. Para concluir, debes presionar en el vértice inicial. Luego, crea el punto de simetría.
Paso Utiliza la opción refleja objeto por punto que aparece en el que aparece en el menú que se despliega al seleccionar el botón de la barra de herramientas. Aplica la simetría al polígono, respecto del punto, seleccionando, con el cursor, ambos elementos en el orden mencionado. Mueve con el cursor alguno de los elementos dibujados y observa como varían los demás. ¿Cuál de ellos no puedes mover?
3. Plantea una estrategia que permita, utilizando Geogebra, realizar una
Herramientas tecnológicas
2. Utiliza Geogebra para realizar una simetría central a un polígono de cuatro lados. Para ello, realiza los siguientes pasos.
simetría respecto de una recta.
4. Aplica Geogebra para realizar una rotación a un polígono. Para ello, efectúa los siguientes pasos. 1° Dibuja el polígono y el centro de rotación. 2° Utiliza la opción rota objeto en torno a punto que aparece en el menú que se despliega al seleccionar con el botón izquierdo del de la barra de herramientas. Aplica la rotación mouse la casilla al polígono respecto del centro de rotación seleccionando con el cursor ambos elementos en el orden mencionado. Observa que deberás ingresar la medida del ángulo de rotación y sentido de este.
Matemática 8
239
PARA NO EQUIVOCARSE 1. Completa cada desarrollo según corresponda. a. Se realizó la traslación del polígono ABCDE respecto del vector v. ¿Cuál es el error cometido? B C
v
A D E
B C
A D E
- El error cometido es:
- La equivocación ocurrió porque:
- Corrección: B v
C
A D E
b. Ante la pregunta ¿estamos frente a una transformación isométrica?, Camila respondió que sí, e indicó que la transformación isométrica presente es una traslación. - El error cometido es:
- La equivocación ocurrió porque:
- Corrección:
240
Transformaciones isométricas
V
7
Para no equivocarse
2. Analiza la resolución de cada problema. Luego, responde. a. Se realizó una simetría axial sobre la imagen A respecto de la recta L, obteniéndose la imagen B. - El error cometido es:
L
A
B
- La equivocación ocurrió porque:
Imagen A
Imagen B
- Corrección: L
b. Se realizó una rotación de la fi gura ABCD, con centro en O y en un ángulo de -90°, obteniéndose la fi gura A’B’C’D’. B
- El error cometido es: C - La equivocación ocurrió porque:
D
A
O -90° A’ D’
B’ - Corrección: C’
B
C D
A
O
Matemática 8
241
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Las transformaciones isométricas también se pueden estudiar en el plano cartesiano. Este consta de dos rectas numéricas perpendiculares, el eje X (de las abscisas) y el eje Y (de las ordenadas), que se intersectan en el punto (0, 0) llamado origen. Y 5 4
P
3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1
–1
O 1
2
–2 Origen (0, 0)
3
4
5
X
Cada punto se escribe como un par ordenado (x, y), donde x corresponde a la abscisa e y a la ordenada. El punto P tiene coordenadas P(2, 3).
–3 –4 –5
1. Grafica los siguientes puntos en el sistema cartesiano y luego únelos para que determines la fi gura geométrica presente en cada caso.
a. A(–1, 2); B(–5, 2); C(–3, 0)
Y 5 4 3 2 1
b. D(–2, –1); E(3, –1); F(–2, 1); G(3, 1)
–5 –4 –3 –2 –1
–1 –2 –3 –4 –5
c. H(3, 2); I(5, 2); J(3, 4); K(5, 4)
242
Transformaciones isométricas
O 1
2
3
4
5
X
2. Analiza en el plano cartesiano las traslaciones que se muestran a continuación. Luego, realiza las traslaciones pedidas. Sea el triángulo con vértices A(–2, –1); B(2, 1) y C(–3, 2) al que se le aplicó una traslación T(2, 3).
Y C’
5 4
C
B’
3 2 A’ 1
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 –1 A –2
B 2
3
4
5
X
–3
La traslación T(2, 3) quiere decir que cada punto del triángulo se trasladará dos coordenadas hacia la derecha y tres coordenadas hacia arriba, resultando el triángulo A’B’C’. Observa que con solo trasladar los vértices y luego unir sus imágenes se obtiene la traslación completa del triángulo.
–4 –5
Y 5 4 3
C
Si se aplica al triángulo una traslación con coordenadas negativas, por ejemplo, T(–1, –2), que el vértice A se moverá 1 coordenada hacia la izquierda y 2 hacia abajo, y lo mismo ocurrirá con los demás vértices.
2
1 B C’ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 B’ A –2 A’
4
5
X
–3 –4 –5
a. Triángulo de vértices A(–2, 1); B(3, –4); C(0, 5) y T(1, –4).
b. Cuadrado de vértices A(2, 2); B(4, 2); C(4, 4) y D(2, 4) y T(–5, –3).
Y
–5 –4 –3 –2 –1
Ampliando mis conocimientos
7
Y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
–1
O 1
2
3
4
5
X
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
O 1
2
3
4
5
X
Matemática 8
243
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a
4 El cuadrado ABCD se traslada hasta coincidir con
una transformación isométrica?
el cuadrado A’B’C’D’. ¿Cuál de los siguientes es el vector traslación? D’ C’
A. Rotación. B. Traslación. C. Simetría axial. D. Polígono regular.
2 ¿Qué condición deben cumplir una figura y su imagen al ser aplicada una transformación isométrica? A. Que la imagen conserve la misma forma de la fi gura original. B. Que la imagen conserve el mismo tamaño de la fi gura original. C. Que la imagen conserve la forma y el tamaño de la fi gura original. D. Que la imagen no conserve la forma ni el tamaño de la fi gura original.
3 Respecto de la figura que aparece a continuación, ¿cuál de las siguientes figuras NO representa solo una transformación isométrica de ella?
5
D
C
A
B
A’
A.
C.
B.
D.
B’
¿Qué transformación isométrica se efectuó en la figura 1 para obtener la figura 2? Figura 1 Figura 2
A.
C.
A. Rotación. B. Traslación. C. Simetría axial. D. Simetría central.
6 ¿Qué transformación se efectuó a la figura 3 para obtener la figura 4?
B.
D. Figura 3 A. Rotación. B. Traslación. C. Simetría axial. D. Simetría central.
244
Transformaciones isométricas
Figura 4
7 ¿Qué transformación se le aplicó a la figura 5 para obtener la figura 6?
Figura 5
Evaluación final
7 11 ¿Qué transformación isométrica puedes observar en la siguiente imagen?
Figura 6
A. Rotación. B. Traslación. C. Simetría axial. D. Simetría central.
8 ¿En qué alternativa se muestra el eje de simetría de la siguiente reflexión?
A. Rotación. B. Traslación. C. Simetría axial. D. Ninguna.
12 ¿Con qué transformación isométrica se puede relacionar la siguiente imágen?
A.
B.
C.
D.
9 ¿Cuántos ejes de simetría tiene el siguiente rectángulo?
A. Rotación. B. Traslación. C. Simetría axial. D. Simetría central.
13 ¿Con qué transformación isométrica se puede A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
relacionar el movimiento giratorio de una rueda?
10 ¿Qué elementos se deben considerar al realizar la rotación de una figura? A. El punto de rotación. B. El ángulo de rotación. C. Si es un polígono regular. D. El punto y el ángulo de rotación.
A. Rotación. B. Simetría. C. Teselación. D. Traslación. Matemática 8
245
EVALUACIÓNFINAL 14 A la figura 3 se le ha efectuado una rotación en sentido positivo de 90° en torno al punto O. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa la imagen obtenida?
Figura 3
O
18 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa con respecto a la teselación de un plano? A. Se puede teselar con cuadrados. B. Se puede teselar con pentágonos. C. Se puede teselar con triángulos equiláteros. D. Se puede teselar con cualquier tipo de triángulos.
19 Al componer una rotación de 90° seguida de una rotación de -90°, ¿cuál es un resultado equivalente si el centro de rotación en ambos casos es el mismo?
C.
A. O
B.
O
20 ¿Cuál de los siguientes vectores anula la traslación
D
O
A. Una rotación de -180°. B. Una rotación de 180°. C. Una rotación de 90°. D. Una rotación de 0°.
que provocaría el vector v sobre el triángulo ABC? O
A V
15 ¿A qué tipo de teselación corresponde el siguiente
B
recubrimiento?
C
A.
B.
C.
D.
A. Regular. B. Irregular. C. Isométrica. D. Semirregular.
16 ¿En qué consiste teselar un plano? A. En rotar una fi gura en el plano. B. En trasladar una fi gura en el plano. C. En cubrir el plano con fi guras geométricas. D. En determinar los ejes de simetría de polígonos regulares.
17 ¿Qué nombre recibe una teselación en la que
Mi desempeño
intervienen dos o más polígonos regulares? A. Teselación regular. B. Teselación irregular. C. Teselación isométrica. D. Teselación semirregular.
Buenas Malas Omitidas
246
Transformaciones isométricas
II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Rotar el siguiente cuadrado en 45° con centro de rotación el punto O. C
D
O A
B
Evaluación final
7
2 ¿Qué transformaciones isométricas se le realizaron a la figura A para llegar a la figura B y posteriormente a la figura C?
A
B
C
3 Construye la teselación de un plano utilizando hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros.
Matemática 8
247
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Transformación isométrica. Traslación.
Es una transformación isométrica que mueve todos los puntos de la figura en una misma dirección, sentido y longitud.
C A
B A’
Rotación. Simetría axial. Simetría central. Teselación. Teselaciones regulares. Teselaciones semirregulares.
Concepto Traslación. Rotación. Simetría axial. Simetría central. Composición de transformaciones isométricas. Teselaciones regulares. Teselaciones semirregulares.
248
Transformaciones isométricas
Procedimiento
Ejemplo
C’ B’
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Transformaciones isométricas
Reconocer
2
Transformaciones isométricas
Reconocer
3
Transformaciones isométricas
Reconocer
4
Traslación
Reconocer
5
Traslación
Relacionar
6
Reflexión
Analizar
7
Reflexión
Aplicar
8
Reflexión
Recordar
9
Reflexión
Reconocer
10
Rotación
Evaluar
11
Rotación
Reconocer
12
Rotación
Evaluar
13
Rotación
Reconocer
14
Rotación
Recordar
15
Teselación
Recordar
16
Teselación
Recordar
17
Teselación
Recordar
18
Teselación
Analizar
19
Composición de transformaciones isométricas
Analizar
20
Composición de transformaciones isométricas
Reconocer
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
14 Transformaciones isométricas
Solucionario de evaluación final
7
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
4 Teselaciones
2 Composición de Transformaciones Isométricas
Matemática 8
249
EVALUACIÓN INTEGRADORA Habilidad
Integrar: reunir y organizar elementos para completar un todo.
1
2
En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 5, 6 y 7 de tu Texto. Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.
Representa los elementos de la circunferencia y las regiones del círculo pedidas en cada caso. a. Arco AB y cuerda DE.
b. Segmento circular respecto de MN. M
A
N
D O
c. Diámetro que contenga al punto P.
O
O
E B
2
P
Calcula el perímetro (P) y área (A) de las figuras pintadas en cada caso. a. Circunferencia de centro O inscrita en el cuadrado ABCD. b. BD cuarto de circunferencia de centro A.
C
D
D
5 cm
C
O
A
6 cm
A
B
P =
P =
A =
A =
3
B
Calcula el área (A) y el volumen (V) de los siguientes cuerpos. a. Prisma recto de base pentágono regular. b. Pirámide de base triangular de altura 4 cm.
c. Cono recto.
5 cm
3 cm a = 2,06 cm
250
a 3 cm
4 cm
22 cm
3 cm
A =
A =
A =
V =
V =
V =
Evaluación Integradora
4
Resuelve los siguientes problemas. a. El área basal de un cilindro mide 25 cm2 y su altura es de 4 cm. ¿Cuál es el área del cilindro?
b. El radio de un recipiente de forma cónica mide 3 cm y su altura mide 5 cm. ¿Cuántos litros de líquido puede contener?
5
Aplica sobre la figura la transformación isométrica pedida en cada caso. a. Traslación respecto de v .
c. Simetría respecto de la recta L. L
v
O P
D C
A
M N
B
b. Rotación en 90° respecto de O.
d. Simetría respecto del punto P. Z
P
P X
O
6
E
Y
Analiza el siguiente recuadro. Luego, determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
A
A'
v D
D' A''
B''
D'' B' B
C'' C'
C
a. El cuadrilátero A’B’C’D’ se obtiene de la traslación del cuadrilátero ABCD respecto del vector u . b. El cuadrilátero A’’B’’C’’D’’ tiene longitudes diferentes a las del cuadrilátero ABCD. c. El cuadrilátero A’’B’’C’’D’’ se obtiene al aplicar sobre el cuadrilátero A’B’C’D’ la composición de una traslación y una rotación. d. El cuadrilátero imagen de la traslación aplicada sobre ABCD solo mantiene constantes las medidas de sus ángulos. Matemática 8
251
Datos y azar
8
Hacia el año 3.000 a. C., los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.
En esta unidad aprenderás...
El azar es una cualidad que está presente en muchos fenómenos, los cuales no presentan una estructura fija ni regularidades en su desarrollo.
¿Qué?
252
Datos y azar
¿Para qué?
¿Dónde?
Muestras y características de una población.
Comprender la importancia de tomar una muestra aleatoria de una población.
Páginas 254 a 255.
Tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados en intervalos y determinación de media, moda y promedio ponderado.
Interpretar la información de tablas y gráficos para comunicar ideas.
Páginas 256 a 265.
Experimentos aleatorios y asignación teórica del concepto de probabilidad.
Calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables.
Páginas 268 a 273.
Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Qué información recopilaban los babilonios hacia el año 3.000 a. C.? 3) ¿En qué crees tú que ayudaba tener este tipo de información en esa época?
Evaluación inicial Crear consiste en reorganizar la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional. Construye un gráfico que represente la información de la siguiente tabla. Evolución de la población total por sexo en Chile Censos
Hombres
Mujeres
1982
5.553.409
5.776.327
1992
6.553.254
6.795.147
2002
7.447.695
7.668.740 Fuente: www.ine.cl
1) ¿Qué variables están involucradas en la tabla? ¿De qué tipo son? 2) ¿Qué tipo de gráfico de los que conoces es más conveniente en este caso? ¿Por qué?
3) Crea aquí tu gráfico.
Matemática 8
253
Población y muestra Sergio realizó una encuesta entre sus compañeros y compañeras de colegio para determinar la preferencia entre Facebook y Messenger. Los datos recogidos los tabuló de la siguiente manera:
En el estudio realizado por Sergio, la variable en estudio es “red social”, en tanto la población corresponde al total de alumnos del colegio; en este caso, 630 estudiantes. Pero si quisiera hacer la misma encuesta entre todos los estudiantes de Chile, es más práctico que escoja una muestra. Estudiantes de Chile
Población
Muestra
Estudiantes escogidos
Informe de la encuesta Red social
Cantidad de preferencias
427
Messenger
203
Para grabar Población Conjunto de individuos u objetos (elementos) con características determinadas. Elementos del estudio estadístico
Variable estadística Característica que se estudia en una población o muestra. Muestra Parte de una población que representa sus características.
Ayuda Una muestra aleatoria es aquella cuyos componentes son escogidos al azar.
254
Datos y azar
Cuantitativa Se puede medir y expresar numéricamente. Por ejemplo: número de hermanos, tiempo, etc. Cualitativa Característica o aspecto que no se puede medir ni expresar numéricamente. Por ejemplo: color de ojos, sexo, profesión, etc.
Discreta No admite valores intermedios entre dos valores de la variable. Por ejemplo: número de hijos, páginas de un libro, número de hermanos, etc. Continua Admite valores entermedios entre dos valores de la variable. Por ejemplo: estatura, masa, porcentaje de grasa, etc.
Ejercita
1.
Identifica en cada uno de los siguientes estudios si son aplicados a la población o a una muestra. Para ello, marca el recuadro correspondiente. a. Una cadena de supermercados desea conocer las preferencias de sus clientes con respecto al consumo de vegetales. Para ello realizan una encuesta y la aplican a los clientes un día sábado entre las 9 y las 11 de la mañana.
Población
Muestra
b. Un estudiante desea conocer cuántos de sus compañeros de curso hacen deportes los días sábado. Para ello, encuesta a cada uno de sus compañeros.
Población
Muestra
c. Una compañía telefónica efectúa un estudio para determinar cuál es el horario de mayor frecuencia en que sus clientes utilizan el servicio. Para ello, lleva a cabo una encuesta telefónica a 1.000 personas seleccionadas al azar.
Población
Muestra
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde. Una muestra aleatoria es aquella en que los individuos que constituirán la muestra se determinan al azar. La aleatoriedad supone permitir la obtención de una muestra representativa de la población en estudio, en la que cada uno de sus miembros tiene la misma posibilidad de ser parte de la muestra.
8
Ejemplo: en Chile la estatura promedio es de 1,72 m. Si se toma una muestra no aleatoria de niños menores de 10 años, seguramente el promedio de estatura será mucho menor, ya que la muestra no fue hecha aleatoriamente, por lo que el grupo elegido no representa la población en estudio. Por lo tanto, inferir características de la población a partir de la muestra de niños menores de 10 años sería errado. a. ¿Cuál sería una muestra aleatoria apropiada para este ejemplo?
b. Si consideras como muestra a los alumnos y alumnas de tu colegio, ¿cómo crees que variaría el promedio?
3. Crea un ejemplo donde tengas que elegir una muestra aleatoria para saber el promedio diario de uso de internet en tu curso.
4. Clasifica las siguientes variables estadísticas. Para ello, completa la tabla. a. Gustos musicales.
f. Marca de celular.
b. Tiempo.
g. Número de hermanos.
c. Cantidad de personas.
h. Sabor de helado.
d. Color de ojos.
i. País.
e. Estatura.
j. Masa corporal.
Cualitativa
Cuantitativa discreta
Cuantitativa continua
5. Analiza el siguiente problema. Luego, responde en tu cuaderno. Un agricultor tiene dos hectáreas de terreno y desea saber si la tierra contiene los nutrientes necesarios para el cultivo. Entonces, toma de diferentes sectores una muestra de dos kilogramos de tierra y la envía a examinar a un laboratorio. Al conocer los resultados, determina que debe agregar ciertos químicos a la tierra para tener éxito con el cultivo. a. ¿Qué variable(s) interviene(n) en el estudio del agricultor? ¿De qué tipo es(son)? b. ¿Cuál es la muestra del estudio? c. ¿Cuál es la población del estudio? Matemática 8
255
Tablas de frecuencias con datos agrupados El Instituto Nacional de Estadísticas, INE, realizó una proyección sobre la población chilena, según grupo de edad, al 30 de junio de 2050.
Total de población chilena, según grupo de edad, al 30 de junio de 2050 Grupo de edad
Frecuencia absoluta (f)
Frecuencia absoluta acumulada (F)
Frecuencia relativa (fr)
0–9
2.221.691
2.221.691
0,11
10 – 19
2.284.718
4.506.409
0,1131
20 – 29
2.410.084
6.916.493
0,1193
30 – 39
2.477.099
9.393.592
0,1226
40 – 49
2.431.544
11.825.136
0,1203
50 – 59
2.681.550
14.506.686
0,1327
60 – 69
2.487.172
16.993.858
0,1231
70 – 79
1.822.785
18.816.643
0,0902
80+
1.388.136
20.204.779
0,0687
TOTAL = 20.204.779
Las edades que están consideradas en este intervalo son: 40, 41,…, 49 años.
1
Habrá 6.916.493 personas menores de 30 años. Este dato representa que habrá 1.388.136 personas de 80 años y más.
Fuente: www.ine.cl
El 13,27% de la población chilena tendrá entre 50 y 59 años.
Para grabar Las tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos sirven para organizar datos cuando los valores de la variable son muchos.
Frecuencia absoluta (f): es el número de veces que se repite un dato o número de datos incluidos en un intervalo.
La amplitud (a) de un intervalo es el cociente entre la diferencia del mayor y el menor valor de la variable, y el número total de intervalos.
Frecuencia relativa (fr): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Se puede expresar como fracción, decimal o porcentaje.
Frecuencia absoluta acumulada (F): es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a un valor de la variable.
Ejercita
1.
Interpreta la tabla presentada al inicio de la página. Luego, responde. a. ¿Cuál es la variable en estudio? ¿De qué tipo es?
b. ¿Cuántas personas aproximadamente tendrán menos de 50 años en el año 2050?
c. ¿Qué grupo de edad presenta mayor cantidad de personas? ¿A qué porcentaje corresponde?
256
Datos y azar
8
2. Analiza cada tabla. Para ello, complétala y luego responde las preguntas. a.
Tiempo que demoran los estudiantes en llegar al colegio Tiempo (min)
f
15 – 30
9
31 – 45
12
46 – 60
7
61 – 75
12
F
fr (fracción) 9 40 f n
TOTAL (n) = 40 • ¿Qué fracción del total de estudiantes tarda menos de 46 minutos en llegar al colegio? b.
Duración de batería alcalina Duración de baterías (minutos) 24 – 28 29 – 33 34 – 38 39 – 42 43 – 47
f
F
8 12 18 14 8 TOTAL (n) =
fr (decimal)
9 40 f fr = n
Ayuda
fr = f : n fr = f : n • 100
fracción decimal porcentaje
12 : 60 = 0,2
• ¿Qué intervalo(s) presenta(n) la menor frecuencia absoluta? ¿Qué significa esto? • ¿Qué número decimal representa la cantidad de baterías que duran más de 42 minutos? c.
Temperatura de una ciudad en un año Temperatura (°C) 0,0 – 5,5 5,6 – 10,5 10,6 – 15,5 15,6 – 20,5 20,6 – 25,5 25,6 – 30,5 30,6 – 35,5
f 22 44 104 88 57 40 10 TOTAL (n) =
F
fr (%)
104 : 365 • 100 ≈ 28,5
• ¿Entre qué temperaturas se concentró la mayor frecuencia? • ¿Qué porcentaje de días en ese año hubo temperaturas bajo los 30,6 °C? Matemática 8
257
Construcción de tablas de frecuencias con datos agrupados Los alumnos y alumnas del 8° año A se someten a la medición de su estatura.
Las estaturas obtenidas se ordenan de la siguiente forma: 1,56
1,74
1,53
1,69
1,73
1,63
1,58
1,51
1,66
1,56
1,61
1,52
1,48
1,59
1,63
1,72
1,65
1,57
1,67
1,63
1,64
1,49
1,63
1,71
1,60
1,55
1,54
1,49
1,50
1,56
1,53
1,66
1,76
1,61
1,71
1,68
1,54
1,55
1,76
1,51
Para organizar la información de una manera más ordenada se construye la respectiva tabla de frecuencias para datos agrupados. Antes de construir la tabla, primero debes determinar el mayor y el menor valor de la variable; en este caso, la estatura.
Ayuda
1,56
1,74
1,53
1,69
1,73
1,63
1,58
1,51
1,66
1,56
1,61
1,52
1,48
1,59
1,63
1,72
1,65
1,57
1,67
1,63
El rango está dado por la diferencia entre el mayor y el menor valor de una variable.
1,64
1,49
1,63
1,71
1,60
1,55
1,54
1,49
1,50
1,56
1,53
1,66
1,76
1,61
1,71
1,68
1,54
1,55
1,76
1,51
Estatura menor Estatura mayor
Luego, se calcula el rango 1,76 – 1,48 = 0,28. Si se quiere separar el grupo de datos en 7 intervalos, se divide el rango por la cantidad de intervalos, es decir, 0,28 : 7 = 0,04. Por lo tanto, los intervalos tendrán una amplitud de 0,04 m. Así, el primer intervalo empezará con el menor valor de la variable estatura, que es 1,48 metros. Si se le suman 4 centímetros, se obtiene 1,52 m, que será el valor superior del primer intervalo. Estatura de los estudiantes de un curso.
En este intervalo se consideran las estaturas mayores o iguales a 1,57 m y menores o iguales que 1,60 m.
258
Datos y azar
Estatura (m)
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
1,48 – 1,52
7
7 40
1,53 – 1,56
9
1,57 – 1,60
4
1,61 – 1,64
7
1,65 – 1,68
5
1,69 – 1,72
4
1,73 – 1,76
4
TOTAL
40
99 40 40 44 40 40 77 40 40 55 40 40 44 40 40 44 40 40 40 40 40 40
Para grabar Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos para así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos.
8
Para construir tablas de frecuencias con datos agrupados, puedes seguir los pasos que se indican a continuación: 1°. Calcula el rango de la variable. 2°. Determina la cantidad de intervalos en la que agrupas los datos. 3°. Calcula la amplitud o largo del intervalo dividiendo el rango por la cantidad de intervalos. 4°. Construye la tabla, como se muestra el ejemplo anterior.
Ejercita
1.
Construye una tabla de frecuencias con la información entregada en cada caso. a. La siguiente información corresponde al número de horas de estudio semanales de un grupo de alumnos. 15; 5; 2; 4; 6; 23; 7; 17; 6; 8; 16; 4; 21; 10; 9; 12; 11; 17; 16; 3; 15; 9; 5; 20; 23; 10; 12; 21; 15; 9.
b. La siguiente información se obtuvo de la boleta de pago de Carolina correspondiente a la duración en segundos de las llamadas realizadas por su celular. 120 131 142 157
15
27
94
57
80
94
71
15
7
21
32 239 210 49
23
59
70 234 12
77
54 200 157 170 42
23
62
12
49
58 149 210 120 131 57 139
21
48
49 100 101
48
74
31
Matemática 8
259
Medidas de tendencia central: media y moda El profesor de Matemática de un 8° básico decide tomar una prueba de selección múltiple que consta de 70 preguntas.
En la clase siguiente el profesor presenta una tabla de frecuencias que muestra la cantidad de respuestas correctas de los alumnos, las que están agrupadas en intervalos de amplitud 5. Respuestas correctas Intervalo
Marca de clase (Mc)
f
Mc • f
40 – 44
42
5
210
45 – 49
47
8
376
50 – 54
52
5
260
55 – 59
57
12
684
60 – 64
62
8
496
65 – 70
67
2
134
TOTAL (n) = 40
M0 = 55 + 5 •
260
Datos y azar
Suma de todos los valores de la columna Mc • f.
x a la La marca de clase (Mc) de un intervalo corresponde semisuma de sus valores extremos. Por ejemplo, 55 +59 = 57 2 M • f1 +M c2 • f2 +M c3 • f3 +... +M cm • fm x = losc1 que Para resumir la información, el profesor señala que hay ciertos valores para los datos tienden a agruparse. Estos parámetros son llamados medidas de tendencia central.n x M • f +M • f +M • f +... +M cm • fm x = c1 1 c2 2 c3 3 55 +59 x n x = 57 Para grabar 210 + 376 + 260+684 + 496 + 134 x 2 55 +59 55 +59 = 57x = M =• 57 f +M c2 • f2 +Mdec3 las +... +M cm •40fm • f3 respuestas +59por: La media aritmética Su valor está55dado Usando 2 x =2 c1 la 1información = 57 x 2.160 ( x ) es el cociente correctas del inicio de página: 2 Mc2c1 •• f12+M • f3 +... = 54 x+M =nc2c3••f2f3+M M c1 • f1 +M +... +M • fm+M cm • fm c3 entre la suma de los x = 55 +59 • f3 +... +Mcm •f x =cmM• fc1m • f1 +M c2 • f2 +M c340 M c1 • f1 +M c2 • f2 +M c3 • f3 +... +M 55 +59 = 57x = n cm m x= 57 las n productos=de D 2 n= L• f+ +M 2 n •1f3 +... Mc2c1 •• f12+M M a • +M • f +M • f M c1 • f1 +M +M marcas de clase (Mc) de 0 c2c3 • 2f3 +... c3 x = M f +M f +M f +... +M f • • • • D + Dcm2 m cm m 210 + 3 7 6 + 260+684 + 496 + 134 x =cm • fm M c1 • f1 +M c2 • f2 +M c3 • f3 +...c1+M1 cm • fc2mM c12 • f1 +M c3 c23• f2 +M c3cm• f3 m+... +M 1 x= x= cada n x = intervalo por sus x= n n 40 n L=55 n respectivas frecuencias + 376 + 260+684 + 496 + 134 210 + 376210 + 260+684 + 496 + 134 • f1 +M • f2 ++M M c1+M f3 +... +M cm+•496 fm + x134= 2.160x = • fm210 M c1 •(f) f1 +M 376c3 +• 260+684 absolutas y elc2 • f2 +M c3 x• f=3 +... 70 – 40 cm c2 = 54 40 x= 40 = 5 x= x= a= 40 n número total de 40 n 6 2.160 2.160x = = 54 de respuestas datos210+ (n). 376 + 260+684 + 496 = 54 x =lo tanto, 210++134 376 + 260+684 + 496 + 134 Por elDpromedio 2.160 x = M0 =L40+ a • 401 D 1 =12– 5=7 = 54 x= x= correctas esDde+54. D 4040 40 1D 2 D D =112–8=4 1+ a • 2 1 M = L La moda (M ) es el Usando la información de las respuestas 2.160 M = L + a • D1 2.160 o 0 L=55 0 =M 54 =L + a • x= D1 + D2 = 54 x = que presenta D 1inicio + D 2 de 7 0 valor correctas del página: 40 = 58,18 M0 = 55 + 5 • 40 D1 + D2 70 – L=55 40 7 + 4 la mayor frecuencia L=55 = 5 a = D1 D1 6 =elL menor + a • L=55 L:Mes número del intervalo modal. absoluta. M0 =L +Puede a • ocurrir 0 70 – 40 70 – 40 D + D D + D =5 a == 5 1 70 aD=1 =12– 5=7 a: es la amplitud de2–intervalo. 2 40 que exista más1 de una 6 = 5 a = 6 DL=55 : es la diferencia entre moda L=55o que no haya 6 la frecuencia 1 =112–8=4 D 1 =12– 5=7 DD12=12– 5=7 absoluta del intervalo modal y la del moda70– si todos los 70 – 40 D 1 =12– 5=7 40 7 =5 a= =5 a = de la distribución intervalo anterior. DM2 0=1=12–8=4 datos = 58,18 • 12–8=4 55D+25=1 6 D =112–8=4 6 7+4 2 D2: es la diferencia entre la frecuencia tienen la misma 7 7 D 1 =12– 5=7 D 1 =12– 5=7 M0 = 55 M + 50 •= 55 + =5 •58,18 = 58,18 absoluta del intervalo modal7 y la del frecuencia. = 58,18 M0 = 55 + 5 • 7+4 7+4 D 2 =112–8=4 intervalo siguiente. D 2 =112–8=4 7+4 Intervalo modal: el de mayor frecuencia absoluta
¿Por qué crees que estas medidas reciben el nombre de medidas de tendencia central?
2.160
Producto de la marca de clase por su frecuencia: 42 • 5 = 210
7 7 = 58,18 = 58,18M0 = 55 + 5 • 7+4 7+4
8
Ejercita
1.
Calcula la media aritmética y la moda en cada caso. a. Cantidad de películas por persona
b. Estatura de un grupo de personas
Número de películas
f
Estatura (m)
f
80 – 89
4
1,49 – 1,56
2
90 – 99
8
1,57 – 1,63
15
100 – 109
4
1,64 – 1,70
13
110 – 119
4
1,71 – 1,77
6
120 – 129
5
130 – 139
1
x=
M0 =
M0 =
x=
2. Analiza la información. Luego, responde. Se encuestó a un grupo de 56 estudiantes por el tiempo, en minutos, de uso diario de su computador y se obtuvieron las siguientes respuestas: 25
35
35
28
16
15
60
12
45
95
56
40
12
36
65
56
72
75
65
35
25
40
45
25
12
52
24
75
90
45
56
65
74
25
64
30
70
85
15
25
25
36
5
10
35
65
60
60
59
15
20
65
45
90
13
65
a. Construye una tabla de frecuencias. Usa intervalos de amplitud de 20 min para agrupar los datos.
b. ¿Cuál es la media aritmética de los datos?
c. ¿Cuál es el intervalo modal y cuál la moda?
d. ¿Qué se puede concluir de los resultados anteriores?
Matemática 8
261
Promedio ponderado Las calificaciones de Rodrigo en Matemática son: 5,5; 6,3 y 5,8. La primera vale 25%; la segunda, 35%, y la tercera, 40% de la nota final. Si el promedio para eximirse del examen final es un 5,9, ¿se exime Rodrigo? Asignatura Nota 1 Nota 2 Nota 3 Matemática
5,5
6,3
xp =5,5 • 0,25+6,3 • 0,35+5,8 • 0,4 =5,9 De la información anterior se desprende que: xp • 5,5 equivale al 25% de la nota final. = x 1 • wde + x 2 •nota w 2 +...fi+nal. xn • wn 1 la • 6,3 equivale alxp 35% • 5,8 equivale alx 40% de la nota final. = 5,5 • 0,25 +6,3 + 5,8 • 0, 4 = 5,9 • 0,35 p Entonces, el promedio ponderado ( xp ) se puede calcular de la siguiente manera: Nota por prueba
Nota final
xp =5,5 • 0,25+6,3 • 0,35+5,8 • 0,4 =5,9
Promedio
xp
prueba xp = x 1 Porcentaje +... + x n • wpor • w 1 + x 2 • owponderación 2 n
5,8
xp = 5,5 • 0,25 +6,3 • 0,35 + 5,8 • 0, 4 = 5,9 xp =5,5 xp =5,5 • 0,25+6,3 • 0,35+5,8 • 0,4 =5,9• 0,25+6,3 • 0,35+5,8 • 0,4 =5,9 Para grabar x xp xp p • 0,4 =5,9 xp =5,5 • 0,25+6,3 • 0,35+5,8 En el ejemplo anterior: El promedio ponderado Su valor está dado por: xp = x 1 • w 1 + x 2 • w 2 +... + x n • w n xp = x 1 • w 1 + x 2 • w 2 +... + x n • w n ( xp ) es la suma de los productos de cada valor xp = 5,5 • 0,25 +6,3 • 0,35 + 5,8 • 0, 4 = 5,9 xwp n= 5,5n corresponde + 5,8 • 0, 4 = 5,9 • 0,25 +6,3 • 0,35 al número x = x 1 • w 1 + x 2 • w 2 +... + x n •donde de pla muestra (x) por su total de datos. xp xp = 5,5 • ponderación 0,25 +6,3 • 0,35 respectiva (w).+ 5,8xp• 0, 4 = 5,9 xp
Ejercita
1.
Analiza la siguiente tabla y luego responde las preguntas. Para calificar una disertación se entrega la siguiente pauta: Disertación Tema
Ponderación
Presentación visual
20%
Dominio del tema
50%
Conclusiones
30%
a. Si un alumno es calificado con un 6,4 en presentación visual, con un 5,0 en dominio del tema y un 5,2 en las conclusiones, ¿cuál es su calificación final?
b. Si Vicente obtuvo un 4,8 en presentación visual, un 5,6 en dominio del tema y un 5,7 en las conclusiones, ¿cuál es su calificación final?
262
Datos y azar
2. Resuelve el siguiente problema. Un alumno quiere conocer sus 4 calificaciones por las que obtuvo un promedio ponderado de 5,3. Sí la segunda calificación vale el doble de la primera; la tercera, el triple de la primera y la cuarta vale cuatro veces la primera, ¿cuál es su promedio si sus 3 primeras calificaciones son 5,5; 6,3 y 4,3?
8
3. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a. Para obtener la nota final de un control de matemática se multiplica por 5 la nota de resolución del problema; por 4 la nota de cálculos, y por 2 la nota de manejo del contenido. Si un alumno obtiene 5,5; 6,3 y 7,0, respectivamente, su nota en el control es: xp =8 • 20+5 • 15+7 • 35+ 9 • 30= 750 5,5+6,3+7,0 18,8 = =6,3 3 3 Error:
Corrección:
b. En una competencia de danza se evalúan los siguientes aspectos: Ponderación competencia de danza Aspecto
Ponderación
Creatividad
20%
Técnica
15%
Desplazamiento
35%
Vestuario
30%
Error:
Si las puntuaciones van de 0 a 10 y una pareja participante obtiene 8 puntos en creatividad; 5 puntos en técnica; 7 puntos en desplazamiento, y 9 en vestuario, entonces su puntuación final es: xp =8 • 20+5 • 15+7 • 35+ 9 • 30= 0= 750
5,5+6,3+7,0 18,8 = =6,3 3 3 Corrección:
Matemática 8
263
Gráficos de datos agrupados en intervalos La información de la tabla se puede representar de diferentes maneras: Masa corporal de 48 personas
• En un histograma, donde el ancho de cada barra es equivalente a la amplitud o largo del intervalo, y la altura corresponde a la frecuencia absoluta dada en cada uno de ellos.
Masa (kg)
f
fr (%)
[50 – 60[
8
17
[60 – 70[
10
21
[70 – 80[
16
33
[80 – 90]
14
29
• En un gráfico circular, el que se divide en tantas porciones como intervalos tenga la tabla. Cada porción circular es proporcional a la frecuencia relativa porcentual de cada intervalo.
Para grabar Histograma
Gráfico Circular
Masa corporal de 48 personas
A este intervalo pertenecen los valores mayores o iguales que 50 y menores que 60.
Masa corporal de 48 personas
16 Número de personas
14
17%
12 10 8 6
21%
4
33%
2 0
50
60 70 80 90 Masa corporal (kg)
• Todas las barras tienen el mismo ancho. • Los valores de la frecuencia (número de personas) se distribuyen de acuerdo a los datos obtenidos. En este caso, de 2 en 2.
• Se divide el círculo en tantas porciones como intervalos (clases) existan. • El círculo completo representa el 100% de los datos. • La frecuencia relativa de cada dato representa una porción del círculo.
Ejercita
1.
Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde.
Cantidad de personas
Tiempo que habla un grupo de personas por teléfono móvil en una semana 18 12 10 5 0
10 20 30 40 50 Tiempo (min)
a. ¿Cuántas personas hablan entre 40 y 50 minutos? b. ¿Cuántas personas hablan menos de 30 minutos?
264
Datos y azar
[50 - 60[ [60 - 70[ [70 - 80[ [80 - 90]
29%
8
2. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, considera el gráfico de la actividad anterior. a. Hay 18 personas que hablan menos de 50 minutos por celular. b. El 22,2% de las personas habla entre 40 y 50 minutos por celular. c. El total de personas encuestadas es 45. d. Aproximadamente el 66,6% habla menos de 30 minutos.
Un polígono de frecuencias permite analizar la forma de distribución de los datos. En este caso, la masa corporal en función de la cantidad de personas. Si en un histograma se unen los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos, se obtiene el polígono de frecuencias.
Cantidad de personas
Para grabar Cantidad de personas según su masa corporal 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50 60 70 80 90 Masa corporal (kg)
3. Construye un histograma, un gráfico circular y un polígono de frecuencias con la información presente en la siguiente tabla. Una casa discográfica realiza un estudio sobre la cantidad de discos que distribuye a las tiendas para su venta. Este estudio consta, de una encuesta telefónica aleatoria en la que se pregunta por la cantidad de discos que se han vendido el presente mes. Los datos obtenidos se muestran en la tabla.
Histograma
Distribución de discos Cantidad de discos
f
[80 – 90[
4
[90 – 100[
8
[100 – 110[
4
[110 – 120[
4
[120 – 130]
5
Gráfico circular
Ayuda Si la frecuencia absoluta de un intervalo es 2 de un total de 6, la medida del ángulo del centro del sector circular se calcula: 6 360° 2 x° x° =
360° • 2
6 x° = 120°
Polígono de frecuencias
Matemática 8
265
EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Identifica en cada uno de los siguientes estudios si son aplicados a la población o a una muestra. Para ello, marca el recuadro correspondiente.
Población y muestra.
a. Un canal de televisión quiere conocer las preferencias de sus televidentes con respecto a los programas culturales. Por esto, decide encuestar telefónicamente a 50 personas de cada región.
Población
Muestra
b. Se realiza un estudio para determinar la cantidad de estudiantes de un colegio con promedio mayor a 6,0 en la asignatura de Matemática. Para ello, cada profesor(a) jefe revisa los promedios de sus alumnos(as).
Población
Muestra
2 Crea en cada caso, una situación que se caracterice por: a. Tu curso corresponde a una muestra del estudio.
b. Tu curso corresponde a la población del estudio.
Variables estadísticas.
3 Crea un ejemplo para cada variable. Luego, escribe tres posibles valores para ella. a. Variable cualitativa.
b. Variable cuantitativa discreta.
c. Variable cuantitativa continua.
266
Datos y azar
8 4 Interpreta la información de la tabla. Luego, responde.
Cantidad de libros que tiene un grupo de personas
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos.
Cantidad de libros
f
0–3
7
4–7
15
8 – 11
12
12 – 15
17
16 – 19
9
b. ¿Qué porcentaje de personas tiene menos de 12 libros? c. ¿Cuántas personas tienen más de 15 libros?
5 Evalúa cada afirmación relacionada con la información de la tabla del ejercicio anterior. Luego, responde.
a. “El porcentaje de personas que tiene menos de 8 libros es inferior al porcentaje de personas que tiene entre 12 y 15 libros”. ¿Es correcta esta afirmación? ¿Por qué?
b. “Hay 11 personas que tienen más de 8 libros”. ¿Es correcta esta afirmación? ¿Por qué?
Medidas de tendencia central.
6 Calcula la media aritmética y la moda de la información presente en la tabla. Media aritmética
Cantidad de horas diarias de uso de internet f
[0 – 2[
0
[2 – 4[
3
[4 – 6[
9
[6 – 8[
15
[8 – 10]
6
7 Interpreta la información presente en el gráfico. a. ¿Cuántos alumnos tiene el curso?
b. ¿Cuántos alumnos tardan entre 30 y 45 minutos?
c. ¿Cuántos alumnos demoran menos de una hora?
Cantidad de alumnos
Gráfico de datos agrupados en intervalos.
Tiempo (horas)
Moda
14 12 10 8 6 4 2 0
Tiempo que demoran los alumnos de 8° en llegar al colegio
0
15
30
45
Tiempo (min)
60
75
Matemática 8
267
Experimentos aleatorios Si colocas una cantidad de agua, en condiciones normales, a una temperatura de más de 100° C, su resultado será predecible: ésta hervirá. ºC
100° C Punto de ebullición del agua.
A diferencia de este tipo de experimentos donde el resultado es predecible, hay casos donde no se podrá predecir cuál será su resultado. Por ejemplo, obtener cierto número al tomar una baraja de cartas y sacar una al azar, al lanzar un dado, lanzar una moneda o al jugar un juego de azar, entre otros.
Para grabar Experimento
Determinístico Es aquel en el cual se puede predecir su resultado, es decir, se obtendrá el mismo resultado siempre que el experimento se realice en condiciones semejantes.
Aleatorio Es aquel que depende del azar y no se puede predecir su resultado.
Ejercita
1.
Para saber más Aleatorio significa “azaroso”, “relativo al azar”, a todo conocimiento incierto. Proviene del latín “aleas”, que significa originalmente “dados” y luego, por extensión, “azar”. Fuente: DRAE
268
Datos y azar
Clasifica entre experimentos aleatorios y determinísticos. Para ello, marca el recuadro correspondiente. a. Elegir al azar a una persona y adivinar su nombre.
Aleatorio
Determinístico
b. Calcular la cantidad de días que faltan para tu cumpleaños.
Aleatorio
Determinístico
c. Lanzar tres veces una moneda y verificar la cantidad de caras que aparece.
Aleatorio
Determinístico
d. Jugar con una ruleta y determinar el número que se obtendrá.
Aleatorio
Determinístico
e. Inflar un globo y luego exponerlo directamente al fuego.
Aleatorio
Determinístico
f. Medir una mesa rectangular y calcular su perímetro.
Aleatorio
Determinístico
g. Jugar un juego de azar.
Aleatorio
Determinístico
h. Adivinar el número de cédula de identidad (R.U.N) de un ciudadano chileno.
Aleatorio
Determinístico
2. Formula dos experimentos aleatorios relacionados con: a. Juego de naipes.
b. Partido de fútbol.
Experimento 1
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 2
8
3. Formula dos experimentos determinísticos relacionados con: a. Lanzamiento de un dado.
b. Juego de ajedrez.
Experimento 1
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 2
4. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Lanzar un dado corriente y obtener seis es un fenómeno aleatorio. b. Adivinar el resultado de un partido de fútbol es un fenómeno determinístico. c. Determinar el lugar donde caerá un rayo es un fenómeno determinístico. d. Extraer una bolita azul de una urna con solamente bolitas azules es un fenómeno determinístico. Matemática 8
269
Espacio muestral El siguiente juego consiste en lanzar 2 dados de manera simultánea, para luego sumar los puntos obtenidos.
• Si la suma es 7 u 11, el jugador gana. • Si la suma es 2, 3 ó 12, el jugador pierde. • Si la suma es otra cantidad, el jugador repite el lanzamiento. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral (E). En este caso, hay 36 resultados posibles, y el espacio muestral correspondiente es: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Cada subconjunto de un espacio muestral se denomina evento o suceso. Por ejemplo, el evento A: “obtener igual cantidad de puntos en ambos dados” está dado por: A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Para grabar El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: en el experimento “lanzar dos monedas al suelo”, si C representa cara y S sello, entonces su espacio muestral es: E = {CS, SC, SS, CC}
Ejercita
1. ¿Por qué crees que en el ejemplo de la sección “Para grabar” se simboliza C: cara, S: sello?
Relaciona cada experimento con su espacio muestral. Para ello, une con una línea. a. Lanzar una moneda.
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b. Extraer una bolita de una urna que contiene tres bolitas de distinto color.
E = {1, 5, 10, 50, 100, 500}
c. Lanzar simultáneamente dos monedas al aire.
E = {CS, SS, CC, SC}
d. Extraer una moneda de una bolsa.
E = {C, S}
e. Participar en una rifa con números de una sola cifra.
E = {azul, amarillo, rojo}
f. Extraer una carta de un mazo inglés.
E = {♣, ♥, ♦, ♠}
2. Interpreta la información de cada espacio muestral y da un ejemplo de un experimento aleatorio según corresponda. a. E = {hombre, mujer} b. E = {2, 4, 6} c. E = {bueno, defectuoso}
270
Datos y azar
3. Identifica cuáles son los posibles resultados de los siguientes experimentos aleatorios. Descríbelos brevemente. Experimento aleatorio
8
Descripción
Lanzar una moneda. Extraer una carta del naipe español (40 cartas). Sacar una bolita de una caja con bolitas numeradas del 1 al 15. Determinar el marcador de un partido de tenis a 5 sets. Sacar un globo de una bolsa que tiene 15 globos de color rojo, 5 globos de color amarillo y 10 de color verde.
4. Determina los casos favorables de los sucesos (A y B) definidos en el siguiente experimento aleatorio. “Extraer una bolita de una caja que contiene 11 bolitas y cada una de ellas tiene impresa una letra de la palabra MURCIELAGOS”
a. A: obtener una vocal.
b. B: obtener una consonante.
5. Formula dos sucesos del experimento aleatorio “lanzar un dado”. Luego, determina sus casos favorables. A:
Casos favorables:
B:
Casos favorables:
6. Formula dos sucesos del experimento aleatorio “extraer una bolita de una caja con 20 bolitas numeradas del 1 al 20”. Luego, determina sus casos favorables. A:
Casos favorables:
B:
Casos favorables:
Matemática 8
271
Probabilidad de un suceso Actualmente se considera que son 8 los planetas que conforman el Sistema Solar. En una tómbola se depositan 8 papeles, cada uno con el nombre de un planeta. Júpiter Urano Neptuno Venus Mercurio
Saturno
Tierra Marte
Al extraer un papel al azar, la probabilidad de ocurrencia del suceso “obtener el nombre de un planeta que tenga como letra inicial M” es: 2 8 P(A) = A = {Marte, Mercurio}
3 6
Número de resultados favorables. Número de elementos del espacio muestral. Número deresultados favorables Númeroo totalderesultadosposibles E = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}
3 1 P(A) = = de un evento es un valor comprendido entre 0 y En general, la probabilidad de ocurrencia 6 2 1, incluyendo los extremos. 1 P(A) = = 0,5 = 50% 2 2 2 Para grabar 8 0,320547945 2 8 favorables • La probabilidad de ocurrencia de un evento imposible Ejemplo: P(A) = Número deresultados Número deresultados favorables 8 P(A) = o totalderesultadosposibles es 0. La probabilidad de A:Número “obtener un número par al lanzar Número o totalderesultadosposibles Número deresultados favorables 3 P(A) = un dado” es , ya que de los 6 casos posibles, 3 de • La probabilidad de ocurrencia de un evento seguro 3 Númeroo totalderesultadosposibles 6 es 1. ellos son pares. 3 3 6 1 P(A) = = 3 1 • Según la regla de Laplace, la probabilidad que ocurra 6 6 P(A) 2= = 2 6 2 un suceso A está dada por: 1 3 1se puede expresar como 8 La probabilidad 0,5==150% P(A)deP(A) =un ==evento 6 = 2 = 0,5 = 50% 2 P(A) fracción, decimal o porcentaje: Número deresultados favorables P(A) = 1 2 0,320547945 Númeroo totalderesultadosposibles P(A)0,320547945 = = 0,5 = 50% 2 3 0,320547945 6 3 1 Ejercita P(A) = =
2 8
6 2 1 Número deresultados favorables 1. Evalúa rmación es verdadera o falsa. Para ello, escribe V o FP(A) según = 0,5 afi = 50% P(A) si = cada = 2 corresponda. Númeroo totalderesultadosposibles 0,320547945 3 amarilla” es 4. a. La cantidad de casos favorables para el evento “extraer una bolita 6 b. Al sacar una bolita al azar el número de casos posibles es 10. 3 1 P(A) = = 6 2 c. La probabilidad de sacar una bolita de color blanco es cero. 1 P(A) = = 0,5 = 50% 2. Comprueba usando la calculadora científica que la probabilidad de extraer 2una bolita azul de una tómbola que contiene 248 bolitas blancas y 117 azules es 0,320547945.
272
Datos y azar
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde. Si un suceso puede ocurrir de N1 maneras diferentes, y a continuación un segundo suceso puede ocurrir de N2 maneras distintas y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los sucesos pueden ocurrir está dado por N1 • N2 • N3……. • Nk. Cardinalidad del espacio muestral = N1 • N2 • N3……. • Nk
8 Para saber más La cardinalidad de un conjunto A (# A) es el número de elementos que este posee.
Ejemplo: Una patente de automóvil contiene 2 letras seguidas y 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes pueden fabricarse? Número de letras posibles.
AA 12 34 C H I L E
27 • 27 • 10 • 10 • 10 • 10 = 7.290.000
Número de dígitos posibles.
Si las letras fueran distintas habría que descontar una, por lo que serían 26. a. ¿Cuál es la probabilidad de tener la patente AA 12 • 12? Justifica.
b. ¿Cuántas placas de automóviles pueden fabricarse si cada placa contiene 2 letras diferentes, seguidas de 3 dígitos diferentes?
4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. Para ello, utiliza la regla de Laplace. a. En un hotel de cuatro pisos hay tres habitaciones en el primer piso, cuatro en el segundo y cinco en el cuarto piso. Si en total el hotel consta de 20 habitaciones: • ¿Cuál es el espacio muestral (E) para el experimento “seleccionar una habitación del hotel”? Comenta. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener una habitación en el primer piso? b. En el juego de la ruleta, la bolita lanzada puede caer en cualquiera de las 37 casillas numeradas del 0 al 36. Hay 18 casillas rojas, 18 negras y una verde (la del 0). Gana la persona que acierta el número de la casilla en que cae la bolita después de hacerla girar libremente y detenerse por sí sola. • ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita quede en una casilla negra y de número impar? • ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita quede en una casilla roja y de número par? Matemática 8
273
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.
Disco 1
Analiza la resolución del siguiente problema. Se tienen dos discos hechos en cartulina que pueden girar sobre una base que tiene una flecha indicadora. Si se hacen girar sucesivamente los dos discos del dibujo, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números indicados por la flecha sea menor que 4, considerando que cada disco está dividido en sectores iguales?
Paso
Disco 2
2
1
1
3 3
2
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? La probabilidad de que la suma de los números indicados por la flecha sea menor que 4. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Los números que tiene cada disco y que éstos están divididos en tres sectores iguales cada uno. ¿Qué se debe considerar para calcular la probabilidad? Que es un juego equitativo, el total de casos posibles y el total de casos favorables.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver un problema se debe crear una estrategia que reorganice la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional. • Crea una estrategia. Crea un modelo para poder calcular el total de casos posibles y el total de casos favorables; por ejemplo, una tabla de doble entrada como la que se muestra a continuación. Observa aquellas combinaciones que al sumarlas dan como resultado un número menor que 4, como es el caso de 1 + 1 = 2.
Paso
Disco 2
1
2
3
1
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
2
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
3
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
Disco 1
Resuelve el problema
Los casos favorables son 3 de un total de 9. Por lo tanto, la probabilidad de que la suma de los números indicados por las flechas 3 sea menor que 4 es . 9 3 1 Paso = = 0,3 ≈ 33,3% Revisa 9 la3 solución 3 El total de casos está dado por los 9 pares que se expresan en la tabla. Luego, los casos favorables son: 9 3 1 (1, 1); (2, 1) y (1, 2). Por lo tanto, = = 0,3 ≈ 33,3% es la probabilidad pedida. 9 3
274
Datos y azar
8
Resolución de problemas
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Rodrigo lanza dos dados de 6 caras cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 7?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
¿Qué se debe considerar para calcular la probabilidad?
Paso
Planifica lo que vas a realizar
• Crea una estrategia.
Paso
Paso
Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. Si se lanzan dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? b. Si se extraen de una baraja de naipe inglés un as de trébol, un 10 de diamantes, una reina y un rey de corazones, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una carta aleatoriamente esta sea de corazón y de número mayor que 8? Matemática 8
275
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS La siguiente tabla muestra el tiempo que demoró un curso de 8° básico en resolver un problema matemático. ¿Cuál fue el tiempo promedio que demoran los estudiantes en encontrar la solución? Para resolver este problema se usará el programa Excel.
1. Lleva a cabo los siguientes pasos que te permitirán hacerlo.
Resolución de un problema Tiempo (minutos) Número de alumnos 10 – 15 10 16 – 20 5 21 – 25 12 26 – 30 15 31 – 35 2
Paso Escribe la tabla en la planilla de cálculo.
Escribe en celdas separadas cada uno de los extremos de los intervalos. Por ejemplo, 10 – 15 ocuparán las celdas A2 y B2, respectivamente.
Paso Calcula la marca de clase de los intervalos. Recuerda que la marca de clase es la semisuma de los extremos de cada intervalo. En Excel se debe escribir una fórmula que permita calcularla. Para ello, escribes =(A2+B2)/2 en la celda de la marca de clase del primer intervalo. Luego, presionas .
276
Datos y azar
Te entregará el valor de la marca de clase del primer intervalo. Luego, para los demás, ubicas la flecha del cursor en el extremo inferior derecho de la celda y lo arrastras con el mouse hasta la fila del último intervalo.
Paso
Paso
Calcula el total de alumnos y total de la columna Mc • f.
Multiplica la frecuencia absoluta con la marca de clase. Para ello, considera otra columna (en este caso, E). Escribe =(C2*D2) en la celda E2 y presiona . Luego, ubica la flecha del cursor en el extremo inferior derecho de la celda y lo arrastras con el mouse para que lo calcule en toda la columna.
Marca la columna correspondiente (en este caso C) y luego, presiona el ícono autosuma . Posteriormente, realiza lo mismo con la columna E, y el valor que obtienes es 977.
Paso Ahora, calcula el promedio o media aritmética.
Herramientas tecnológicas
8
En una celda vacía, por ejemplo E10, escribe la fórmula =(E7/C7) y luego, presiona , arrojando como promedio 22,2045455.
• Por lo tanto, el tiempo promedio que demoran los estudiantes es aproximadamente de 22,2 minutos.
2. Calcula la media aritmética utilizando Excel. Tiempo de espera al descargar un software de internet Tiempo (min) Número de computadores 0–4 3 5–9 1 10 – 14 7 15 – 19 10 20 – 24 2 Matemática 8
277
PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Analiza cada situación. Luego, responde. a. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 9. Si se extrae una bolita al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga una bolita con número par? Los números pares entre el 1 y el 9 son: 2, 4, 6, 8. Entonces, la probabilidad de obtener una bolita par es • ¿Cuál es el error cometido?
9 . 4
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Resuelve el problema de manera correcta.
b. En un juego participan 2 jugadores. Si la probabilidad de que el jugador 1 gane es de 35% y la probabilidad de que gane el jugador 2 es de 0,6, entonces ambos jugadores cubren el total de casos posibles. • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Resuelve el problema de manera correcta.
278
Datos y azar
c. Se debe calcular la media aritmética de las edades presentadas en la siguiente tabla, correspondientes a los trabajadores de una empresa agrupados por edad. Cantidad de trabajadores por grupo de edad Edad Cantidad de trabajadores 21 – 31 2 32 – 42 53 43 – 53 60 54 – 65 25 El total de intervalos es 4. Por lo tanto, la media aritmética está dada por: x = Finalmente, la media aritmética es de 28 años.
2+53+60+25 140 = = 28 . 5 5
• ¿Qué error se cometió en este cálculo?
• Corrección:
Para no equivocarse
8
Cantidad de trabajadores
d. Se presenta en un gráfico la información de la tabla del ejercicio anterior. 70 60 50 40 30 20 10 0
Cantidad de trabajadores por grupo de edad
• ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
21
31
32 42 43 53 54 65 Edad
• Corrección:
Matemática 8
279
AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Analiza la resolución del problema. Luego, resuelve.
Para saber más Los diagramas de árbol permiten representar gráficamente los espacios muestrales de experimentos aleatorios y calcular de manera intuitiva la probabilidad de ocurrencia de un suceso particular.
a. Andrés selecciona la ropa que usará para su fiesta de cumpleaños. Puede elegir entre 4 poleras de distinto color (roja, amarilla, azul y verde). Además, escoge un pantalón, el que puede ser café, azul o negro. ¿Cuál es la probabilidad de que Andrés opte por una polera azul con un pantalón negro? Para resolver este problema se deben determinar todos los posibles resultados en la elección. Observa el siguiente diagrama de árbol. Esta fila representa las distintas poleras que puede elegir Andrés. Esta fila señala que por cada polera, Andrés puede elegir un pantalón entre 3 diferentes. Esta fila muestra todas las combinaciones que se pueden determinar al combinar 4 poleras con 3 pantalones.
280
Datos y azar
1 Si observas, existe una opción de obtener la combinación polera azul 12 y pantalón negro de un total de 1 12 combinaciones. Por lo tanto, la probabilidad de elegir una polera20 azul y pantalón negro es de . 1 12 36 20 12 b. Un curso está formado por 16 niñas y 20 niños. Al escoger al azar 16 tres estudiantes, el diagrama de árbol 20 36 que representa la situación descrita es: 36 1 16 36 16 • Completa el diagrama. 12 16 36 1 35 20 • ¿Cuál es la probabilidad de elegir 2 niños y una niña? 16 36 12 20 36 16 35 niño 20 35 niño 16 20 niña 35 36 16 36 1 1 20 35 16 34 16 12 12 niño 16 35 36 19 35 20 20 16 34 16 34 20 niño 36 36 19 34 niña 35 19 niña 35 16 16 19 1 34 20 34 16 36 36 19 34 12 35 20 34 16 16 20 19 34 16 34 19 35 35 20 36 34 niño 34 niño 34 20 20 16 20 niña 34 19 19 35 35 36 34 34 34 16 niña 16 16 19 20 34 34 35 34 34 19 niño 19 20 niña 20 niña 34 34 35 34 19 19 16 34 34 34 20 20 19 34 34 34
2. Resuelve los siguientes problemas. a. Una persona se comprará un auto. Puede elegir entre autos de 3 puertas o de 5 puertas, y los colores disponibles son: rojo, gris, blanco y negro. ¿Cuál es la probabilidad de que elija un auto gris de 5 puertas? Representa el espacio muestral con un diagrama de árbol y luego, calcula la probabilidad pedida.
b. Al lanzar 3 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? Representa el espacio muestral con un diagrama de árbol y luego, calcula la probabilidad pedida.
Ampliando mis conocimientos
8
c. Camila va a un restaurante a comer ensaladas. Puede elegir entre ensalada de lechuga, tomate o apio. Y además debe escoger un agregado, que puede ser palta, atún, pollo, queso fresco o una salsa especial. ¿Cuál es la probabilidad de que Camila elija la ensalada de apio con palta? Representa el espacio muestral con un diagrama de árbol y luego, calcula la probabilidad pedida.
Matemática 8
281
EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 Un canal de televisión desea realizar una encuesta para averiguar qué opinan los televidentes respecto de la nueva teleserie. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la población del estudio? A. Todos los televidentes de cierta ciudad. B. 50 televidentes de cada ciudad del país. C. Todas las personas del país que ven la teleserie. D. Las personas que en el horario de la teleserie ven televisión.
2 Al realizar un estudio estadístico, ¿cómo se llama el subconjunto de todos los elementos que son objeto de estudio? A. Censo. B. Muestra. C. Población. D. Frecuencia.
5 ¿Cuál es el porcentaje aproximado de personas que tienen entre 51 y 55 años? A. 5% B. 4,9% C. 51% D. 55%
A. Hay 3 personas mayores de 45 años. B. Hay 5 personas en el teatro mayores de 50 años. C. Hay 84 personas en el teatro menores de 41 años. D. Hay 15 personas en el teatro con edades entre los 26 y 30 años.
7 ¿Cuál es la edad promedio aproximada de los
Edad
Cantidad de personas
21 – 25
12
26 – 30
15
31 – 35
27
36 – 40
30
41 – 45
10
46 – 50
3
51 – 55
5
Usa la información de la tabla para responder las preguntas 3 a la 9.
3 ¿Cuántas personas había en el teatro?
Datos y azar
A. 27 B. 30 C. 42 D. 54
la información de la tabla es FALSA?
Personas en el teatro
282
teatro?
6 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones con respecto a
La siguiente tabla muestra la cantidad de personas por intervalos de edad que se encuentran en un teatro mirando una obra.
A. 55 B. 94 C. 97 D. 102
4 ¿Cuántas personas menores de 36 años hay en el
asistentes al teatro? A. 15 años B. 27 años C. 30 años D. 35 años
8 ¿Cuál es la moda aproximada de las edades? A. 27 años B. 30 años C. 37 años D. 38 años
9 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. La moda aproximada de las edades es 35 años. B. El promedio aproximado de las edades es igual a su moda aproximada. C. Hay 48 personas que son mayores al promedio aproximado de las edades. D. Hay 48 personas que son mayores a la moda aproximada de las edades.
Número de estudiantes
El siguiente gráfico muestra el tiempo que demoran los estudiantes en responder una prueba. 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Tiempo que demoran los estudiantes
15 ¿Cuál es el tiempo promedio aproximado que demoraron los estudiantes en resolver la prueba? A. 40 min B. 50 min C. 55,3 min D. 60 min
16 ¿Cuál es la moda aproximada?
30
40 50 60 Tiempo (minutos)
70
80
Con esta información responde las preguntas desde la 10 a la 16.
10 ¿Cuál es el intervalo que presenta mayor frecuencia? A. [30 – 40[ B. [40 – 50[ C. [50 – 60[ D. [60 – 70]
11 ¿Cuál es el intervalo que presenta menor frecuencia? A. [40 – 50[ B. [50 – 60[ C. [60 – 70[ D. [70 – 80]
12 ¿Cuántos estudiantes rindieron la prueba? A. 15 B. 20 C. 30 D. 38
A. 50 min B. 60 min C. 65 min D. 63 min
17 ¿Cómo se obtiene el promedio final de una asignatura
si la primera nota, N1, tiene una ponderación del 25%; la segunda nota, N2, un 30% y la tercera, N3, un 45%? A. Nota final = N1 • 0,25 + N2 • 30 + N3 • 0,45 B. Nota final = N1 • 0,25 + N2 • 0,3 + N3 • 0,4 C. Nota final = N1 • 0,2 + N2 • 0,3 + N3 • 0,45 D. Nota final = N1 • 0,25 + N2 • 0,3 + N3 •0,45
18 ¿Cuál de los siguientes experimentos NO es aleatorio? A. Jugar lotería. B. Encender un papel. C. Lanzar una moneda y verificar si aparece cara o sello. D. Sacar una carta de un mazo de naipe inglés y verificar la pinta que aparece.
19 ¿Cuál es el espacio muestral del experimento aleatorio “girar la ruleta y verificar el número indicado por la flecha”?
13 ¿Cuántos estudiantes demoraron entre 40 y 50
8
minutos en resolver la prueba? A. 4 B. 7 C. 10 D. 15
Evaluación final
8
1
7
2
6
3 5
4
14 ¿Cuántos estudiantes demoraron menos de 60 minutos en resolver la prueba? A. 7 B. 10 C. 14 D. 21
A. {1; 2; 3; 4} B. {5; 6; 7; 8} C. {2; 4; 6; 8} D. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Matemática 8
283
EVALUACIÓNFINAL 20 Del experimento aleatorio anterior, ¿cuál es la
23 En una bolsa hay 5 bolitas azules, 8 bolitas blancas y
probabilidad de obtener un número menor que 4? 1 A. 11 1 8 8 8 2 8 2 2 B. 8 2 8 8 3 8 3 3 3 C. 8 8 8 4 8 4 4 4 8 D. 8 8 811 11 6 6 21 Al sacar una letra de la palabra ESTUPENDO, ¿cuál 6 611 probabilidad aproximada de sacar una vocal? es la 11 36 36 A. 40% 36 5 36 5 B. 42% 5 5 36 C. 48% 36 36 11 36 D. 44,4% 11 6 6 22 ¿De6 cuál de las siguientes cajas es más probable 2 6 2 2 sacar 2 una bolita azul? 6 6 6 3 6 3 3 3 6 6 6 4 6 4 4 4 6 6 6 6
7 bolitas rojas. Si se extrae aleatoriamente una bolita, 11 1 ¿cuál es la probabilidad que esta sea azul? 8 8 2 A. 08 2 2 B. 0,4 8 8 8 C. 0,25 3 3 D. 0,35 31 8 811 8 1 4 24 ¿Cuál 8 4 es la probabilidad de obtener 6 puntos al lanzar 8 4 2 dos8 dados? 8 2 8 2 21 8 1 A. 8 8 1 3 8 6 3 6 3 6 31 8 8 1 1 B. 8 4 8 36 4 36 4 36 4 8 5 8 5 8 5 1 8 C. 36 136 136 11 6 6 1 6 11 6 6 D. 50% 611 6 1 36 2 36 2 36 2 5 25 ¿Cuál 36 es la probabilidad de obtener un número primo 6 65 5 en 6 el 5 puntaje del lanzamiento de un dado? 36 3 36 3 36 3 1 36 A. 6 611 6 1 4 6 4 6 4 2 6 6 2 6 2 B. 6 2 6 6 3 6 3 3 3 C. 6 6 6 4 6 4 4 4 6 D. 6 6 6
Caja 1
Caja 2
26 ¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de dos monedas se obtengan 2 sellos? A. 20% B. 25% C. 50% D. 75%
Caja 3 A. Caja 1 B. Caja 2 C. Caja 3 D. Caja 4
284
Datos y azar
Caja 4
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
II. Resuelve los siguientes problemas.
Evaluación final
8 1 En dos octavos básicos de un colegio se encuesta a 55 alumnos para saber el tiempo semanal de estudio dedicado a la asignatura de Matemática en su hogar. Con los datos obtenidos se construye el siguiente gráfico:
Número de estudiantes
Número de horas de trabajo a la semana 25
Construye una tabla de frecuencias con los datos presentes en el gráfico.
20 15 10 5 0
5
6
7 8 Tiempo (horas) 2 ¿Cuántas pelotitas azules, como mínimo, es necesario agregar en cada caja para tener la misma probabilidad de sacar aleatoriamente una pelotita roja de cualquiera de ellas?
3 La siguiente tabla muestra la cantidad de regiones del mundo según su superficie. Regiones agrupadas por superficie (km2) Superficie (km2)
Cantidad de regiones
50.000 – 60.000
25
60.001 – 70.000
24
70.001 – 80.000
31
Determina: a. La superficie promedio entre las regiones tabuladas.
b. La superficie más común entre las regiones.
Matemática 8
285
RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Procedimiento
Ejemplo
Población. Muestra. Tabla de datos agrupados en intervalos. Media aritmética. Moda. Promedio ponderado. Histograma. Espacio muestral. Evento o suceso. Probabilidad.
Concepto Media aritmética para datos agrupados en intervalos. Moda para datos agrupados en intervalos.
Promedio ponderado.
Regla de Laplace.
Si se realiza un experimento en el que hay finitos casos igualmente probables, entonces la probabilidad de ocurrencia del suceso A es: Númeroderesultados favorables Número totalderesultadosposibles 1 P(1) = 6
P(A) =
286
Datos y azar
Númeroderesultados favorables P(A) = Número otalderesultadosposibles La probabilidad de tque salga 1 en el lanzamiento de un dado 1 es: P(1) = 6
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Población y muestra
Analizar
2
Población y muestra
Recordar
3 4 5 6
Tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos Tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos Tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos Tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos
Interpretar Interpretar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
6 Datos agrupados en intervalos
Aplicar Analizar
7
Medidas de tendencia central
Aplicar
8
Medidas de tendencia central
Aplicar
9
Medidas de tendencia central
Evaluar
10
Gráficos de datos agrupados en intervalos
Interpretar
11
Gráficos de datos agrupados en intervalos
Recordar
12
Gráficos de datos agrupados en intervalos
Interpretar
13
Gráficos de datos agrupados en intervalos
Interpretar
14
Gráficos de datos agrupados en intervalos
Interpretar
15
Medidas de tendencia central
Aplicar
16
Medidas de tendencia central
Aplicar
17
Medidas de tendencia central
Identificar
18
Experimentos aleatorios
Identificar
19
Experimentos aleatorios
Identificar
20
Probabilidad
Aplicar
21
Probabilidad
Analizar
22
Probabilidad
Aplicar
23
Probabilidad
Aplicar
24
Probabilidad
Aplicar
25
Probabilidad
Aplicar
26
Probabilidad
Aplicar
11 Medidas de tendencia central en datos agrupados
Solucionario de evaluación final
8
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
9 Experimentos aleatorios y probabilidad
Matemática 8
287