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Introdu¸c˜ ao ` a Geometria Descritiva
Vamos agora come¸car o estudo da Geometria Descritiva, uma das ferramentas importantes para um arquiteto. Quando o arquiteto quer comunicar a um p´ublico leigo os elementos de um projeto de constru¸c˜ao pode apelar para a utiliza¸c˜ao de uma maquete, de uma planta e de um desenho em perspectiva da constru¸c˜ao. Mas haver´a momentos em que o arquiteto quer comunicar elementos de sua constru¸c˜ao com n˜ao leigos, como outros arquitetos, mestres de obra etc. Nessa hora pouco serve o uso de maquetes, etc.. Ter´a que apelar para a Geometria Descritiva. A partir da “´epura” eles poder˜ao se inteirar das medidas de comprimento e de ˆangulos de elementos da constru¸c˜ao.
1.1
Proje¸c˜ oes em um plano
Considere um ponto fixo O chamado “centro de proje¸c˜ao”, um plano α que n˜ao contem O e uma figura F localizada entre O e α. Tra¸cando linhas oriundas de O e passando por pontos de F at´e cortar o plano α, obteremos, em α uma figura F 0 denominada “proje¸c˜ao de F”. A Figura 1 a seguir pode ajudar no entendimento da situa¸c˜ao.
Figura 1: Esta proje¸c˜ao ´e chamada “proje¸c˜ao cˆonica”, as retas oriundas de O s˜ao os “raios projetantes”. Todos eles passam por O.
Figura 2: H´a um outro tipo de proje¸c˜ao, chamado “proje¸c˜ao cil´ındrica” cujos raios projetantes s˜ao todos paralelos, mostrada na Figura 2 acima. Para aproximar as duas proje¸c˜oes podemos supor que na proje¸c˜ao cil´ındrica o centro de proje¸c˜ao est´a “no infinito” ou que ´e o “ponto impr´oprio”. N˜ao h´a nada realmente importante neste par´agrafo e vocˆe pode esquecˆe-lo. Quando os raios projetantes s˜ao perpendiculares ao plano de proje¸c˜ao, diremos que temos uma “proje¸c˜ao cil´ındrica ortogonal”. Vamos estudar a Geometria Descritiva, que utiliza proje¸c˜oes cil´ındricas ortogonais.
1.2
A insuficiˆ encia de apenas um plano de proje¸c˜ ao
A proje¸c˜ao de um ponto sobre o plano de proje¸c˜ao ´e sempre poss´ıvel em quase todos os casos (uma exce¸c˜ao ´e se o ponto ´e impr´oprio...). Isto significa que dado P sempre se pode obter sua proje¸c˜ao P’. J´a o contr´ario n˜ao ocorre: dada a proje¸c˜ao P’ de um ponto, n˜ao se pode determinar P com certeza. De fato, a Figura 3 a seguir mostra que P 1, P 2, P 3, . . . tem P’ como proje¸c˜ao. A solu¸c˜ao? Vamos adotar mais um plano para proje¸c˜oes. Um deles ser´a denominado Plano Horizontal (e desenhado horizontalmente) e o outro Plano Vertical
Figura 3: (e desenhado verticalmente). Verifique na Figura 4 a seguir que “dadas as duas proje¸c˜oes de um ponto, ele fica bem determinado.”. Os planos PH e PV s˜ao perpendiculares. Em algumas ocasi˜oes precisaremos de um terceiro plano denominado Plano Lateral (PL) perpendicular a PH e PV simultaneamente. Este plano tamb´em est´a representado na Figura 4. A utiliza¸c˜ao desses planos de proje¸c˜ao, tamb´em chamados “vistas” s˜ao utilizados no Desenho T´ecnico para suas finalidades. Para fazer com que todas as proje¸c˜oes fiquem em um mesmo plano, rotacionamos o plano PH at´e que ele coincida com a parte inferior do PV, ou, rotacionamos o PV para tr´as at´e que coincida com a parte posterior do PH. A u´nica diferen¸ca ´e que no primeiro caso supomos que o observador est´a olhando os planos em frente ao PV e no segundo caso o observador est´a olhando os planos com uma vista superior ( de cima). Ver Figura 5. A parte `a direita da Figura 5 ´e chamada “´epura”. S´o ela ´e apresentada. A partir dela ser´a preciso visualizar a figura desenhada no plano, como figura espacial. A Figura 6 apresenta a ´epura de uma pirˆamide de base quadrada (2 cm x 2 cm) paralela ao PH a 1 cm do PH e 2cm do PV e e altura 2 cm. O sistema apresentado acima foi criado por Gaspar Monge (1746-1818) e `as vezes ´e chamado sistema de proje¸c˜ao Mongeano.
Figura 4:
Figura 5:
Figura 6: A interse¸c˜ao P V ∩ P H ´e uma reta chamada Linha de Terra, (LT). Nas ´epuras a LT ´e geralmente desenhada como na Figura 7 a seguir.
Figura 7: Vocˆe pode (e deve) consultar www.mat.uel.br/geometrica na se¸c˜ao Geometria Descritiva, Sistemas de Proje¸c˜ao e M´etodo de Monge. Fa¸ca tamb´em os Exerc´ıcios Propostos e consulte Exerc´ıcios Resolvidos.
1.3
Exerc´ıcios
Resolva os seguintes exerc´ıcios: 1 Marque numa ´epura, diretamente, os pontos A=(-1,2,2), B=(1,2,2), C=(2,0,3), D=(3,2,0) e E=(2,0,0). Se algum dos pontos estiver no PH ou PV aponteos. 2 Desenhe a ´epura do triˆangulo ABC, de v´ertices A=(-2,3,3), B=(0,3,1) e C=(0, 1,3). 3 Um cilindro reto com base paralela ao PH, tem raio da base igual a 3 cm e altura igual a 4 cm. Desenhe sua ´epura. Falta a posi¸c˜ao do centro? Escolha uma. 4 Determine graficamente a distˆancia do ponto m´edio do segmento de extremos A e B at´e a linha de terra. Dados: A=(1,2,5), B=(1,6,3). Observa¸c˜ao: Talvez seja necess´aria a considera¸c˜ao do PL. Resp: Aproximadamente 5, 65. 5 Como s˜ao as coordenadas de um ponto do PH? E do PV? E se P est´a na linha de terra? 6 Considere o plano bissetor impar, que divide o primeiro e terceiro diedros em partes iguais. Como s˜ao as coordenadas de um ponto nesse diedro? 6 Considere o plano bissetor par, que divide o segundo e quarto diedros. Como s˜ao as coordenadas de um ponto dele? 7 Dˆe as vistas superior, frontal e lateral de um prisma regular reto com aresta da base 2 cm, altura 5 cm, sabendo que a base est´a no PH, que uma aresta da base ´e paralela `a linha de terra e que o centro ´e C=(0,3,0). 8 Quais s˜ao os segmentos que se projetam em “verdadeira grandeza”, isto ´e, tanto o segmento como a proje¸c˜ao tem a mesma medida? 9 Qual ´e a verdadeira grandeza do segmento AB onde A=(1,2,3) e B=(2,4,5)? Dicas: Fa¸ca c´alculos . . . o que n˜ao ´e bem visto em Desenho ou experimente girar o segmento, mantendo A fixo e B com a mesma cota, at´e que a proje¸c˜ao no PH fique paralela `a linha de terra. Alguma proje¸c˜ao ter´a verdadeira grandeza? Qual? Quanto?