Issuu on Google+

23

1.3 การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลม คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลม (0 <  < 90 หรือ 0 <  <

 2

เรเดียน)

เปนคาทางคณิตศาสตรที่สําคัญ สามารถนําไปประยุกตใชในศาสตรตางๆ ไดอยางมากมาย แตในเบื้องตนจะนําไปใชแกปญหาโจทยรูปสามเหลี่ยม เพื่อหาความยาวดานหรือขนาด ของมุม และจะนําไปใชอธิบายคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาดใหญกวามุมแหลม 1.3.1 คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30(  ) , 45(  ) และ 60(  ) 6

4

3

A 30 30

2

B

2

60

60

1

D 2

1

C

รูป 1.5 ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา แตละมุมกางมุมละ 60 องศา กําหนดใหแตละดานมีความยาวดานละ 2 หนวย จากจุดยอด A ลากเสนตรงตั้งฉากกับ BC ที่จุด D จะไดความยาวดาน BD เทากับ DC = 1 หนวย  เทากับ DAC  = 30 องศา และ BAD พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD หาความยาวดาน AD จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส AD2 = AB2 – BD2 = 22 – 12 AD2 = 3 AD = 3 ไดคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30 และ 60 ดังนี้ sin 30 = 1 = cos 60 , cosec 30 = 2 2

cos 30 = tan 30 =

3 2 1

3

, sec 30

=

2

= cot 60 , cot 30

=

3

= sin 60

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

3

= sec 60 = cosec 60 = tan 60 ประจําสัปดาหที่ 3


24 A

45 1

B

45

C

1

รูป 1.6 ABC เปนรูปสามเหลี่ยม มีมุม C เปนมุมฉาก และ A เทากับ B = 45 จะไดความยาวดาน AC = BC โดยกําหนดใหมีความยาวดานละ 1 หนวย หาความยาวดาน AB จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 12 AB2 = 2 AB = 2 ไดคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 45 ดังนี้ 1 2 sin 45 = , cosec 45 = cos 45 = tan 45

=

2 1

2

1

,

sec 45

=

,

cot 45

=

2

1

สรุปคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30(  ) , 45(  ) และ 60(  ) 6

4

3

30(  )

45(  )

60(  )

sin 

1 2

1

cos 

3 2 1

2

3 2 1 2

1

3

มุม ()

6

อัตราสวนตรีโกณมิติ

tan 

3

cosec 

2

sec 

2

cot 

4

2 1

3

2

2

3

3

2

2

3

1

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

1 3

ประจําสัปดาหที่ 3


25 1.3.2 คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลมจากตาราง คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลม (0 <  < 90 หรือ 0 <  <

 2

เรเดียน)

สามารถหาไดโดยการอานจากตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติของมุมตั้งแต 0 – 90 องศา ที่อยู ในภาคผนวก พิจารณาตารางตัวอยางตอไปนี้ ตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติของมุมตัง้ แต 0 – 90 องศา Angle  Degrees

000

Radians

sin 

cosec 

tan 

cot 

sec 

cos 

0.0000

0.0000

No value

0.0000

No value

1.0000

1.0000

1.5708

9000

2200

0.3840

0.3746

2.6695

0.4040

2.4751

1.0785

0.9272

1.1868

6800

10 20

0.3869

0.3773

2.6504

0.4074

2.4545

1.0798

0.9261

1.1839

0.3898 0.3927

0.3800 0.3827

2.6316 2.6131

0.4108 0.4142

2.4342 2.4142

1.0811 1.0824

0.9250 0.9239

1.1810 1.1781

50 40

50

0.3956 0.3985

0.3854 0.3881

2.5949 2.5770

0.4176 0.4210

2.3945 2.3750

1.0837 1.0850

0.9228 0.9216

1.1752 1.1723

2300

0.4014

0.3907

2.5593

0.4245

2.3559

1.0864

0.9205

1.1694

6700

10

0.4043 0.4072

0.3934 0.3961

2.5419 2.5247

0.4279 0.4314

2.3369 2.3183

1.0877 1.0891

0.9194 0.9182

1.1665 1.1636

50

0.4102 0.4131

0.3987 0.4014

2.5078 2.4912

0.4348 0.4383

2.2998 2.2817

1.0904 1.0918

0.9171 0.9159

1.1606 1.1577

0.4160

0.4041

2.4748

0.4417

2.2637

1.0932

0.9147

1.1548

20 10

0.4189

0.4067

2.4586

0.4452

2.2460

1.0946

0.9135

1.1519

6600

30 40

20 30 40 50 2400 

0.7071

1.4142

1.0000

1.0000

1.4142

0.7071

0.7854

sec 

cot 

tan 

cosec 

sin 

Radians

4500

0.7854

cos 

30 20 10

40 30

4500 Degrees

Angle 

จากตาราง มุม  ประกอบไปดวยมุมในหนวยองศา และมุมในหนวยเรเดียน ดานซายมือเปนมุมตั้งแต 0 – 45 องศา หรือ 0 – 0.7854 เรเดียน (45 = 4 เรเดียน  3.1416 เรเดียน  0.7854 เรเดียน ) 4 ดานขวามือเปนมุมตั้งแต 45 – 90 องศา หรือ 0.7854 – 1.5708 เรเดียน (90 = 2 เรเดียน  3.1416 เรเดียน  1.5708 เรเดียน ) 2 มุมดานซายมือและมุมดานขวามือ ในแถวเดียวกันรวมกันมีขนาดเทากับ 90 องศา ชื่อของอัตราสวนตรีโกณมิตทิ ั้ง 6 อัตราสวน อยูที่ดานบนสุดและดานลางสุด บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 3


26 วิธีการอานคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมจากตาราง (1) การอานคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมตั้งแต 0 – 45 องศา ซึ่งเปนมุมที่อยูทาง ซายมือของตาราง ใหอานชื่อของอัตราสวนตรีโกณมิตินนั้ จากดานบนสุดลงมาใหตรงกับมุม ที่ตองการ เชน sin 23 = 0.3907 cos 23 20 = 0.9182 tan 23 50 = 0.4417 เปนตน (2) การอานคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมตัง้ แต 45 – 90 องศา ซึ่งเปนมุมที่อยู ทางขวามือของตาราง ใหอานชื่อของอัตราสวนตรีโกณมิตินั้นจากดานลางสุดขึ้นไปใหตรง กับมุมที่ตองการ เชน cos 67 = 0.3907 sin 66 40 = 0.9182 cot 66 10 = 0.4417 เปนตน ขอสังเกต 1. จากตารางจะเห็นความสัมพันธของอัตราสวนตรีโกณมิติแบบโคฟงกชัน เชน sin 23 = cos 67 = 0.3907 cos 23 20 = sin 66 40 = 0.9182 tan 23 50 = cot 66 10 = 0.4417 sec 24 = cosec 66 = 1.0946 เปนตน 2. จากตาราง คาของไซนและโคไซนของมุมระหวาง 0 และ 90 จะมีคาอยู ระหวาง 0 และ 1 ตัวอยาง 1.9 จงหาคาตอไปนี้ (1) 4 sin 30 tan 45 + 3 sec 60 (2)

3. sec2 2. cos

 3

 6

 1

 tan2

 4

(3) cosec 15 30 – 5 cos 72 วิธีทํา (1) 4 sin 30 tan 45 + 3 sec 60 = = = บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

4  1  (1) + 3(2)  2

2+6 8 ประจําสัปดาหที่ 3


27

3. sec

(2)

2. cos

2

 1

6

 3

2

 tan2

=

 4

= = = (3) cosec 15 30 – 5 cos 72

ตัวอยาง 1.10

= = =

 2  3   1  3 1 2    (1)2 2

4 3   1 3 1 1 4 1 2 3 2

3.7420 – 5(0.3090) 3.7420 – 1.5450 2.1970

ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีมมุ C เปนมุมฉาก มุม A เทากับ 60 องศา และดาน AB ยาว 8 หนวย จงหาความยาวดาน AC และ BC

60

วิธีทํา

หาความยาวดาน AC จากรูป

จะได

cos 60 1 2

= =

AC ความยาวดาน AC

= =

หาความยาวดาน BC จากรูป จะได sin 60

=

3 2

BC ความยาวดาน BC

= = =

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

AC AB AC 8 1  8 2

4

หนวย

BC AB BC 8 3  8 2

4 3

หนวย ประจําสัปดาหที่ 3


28 ตัวอยาง 1.11

วิธีทํา

ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีมมุ B เปนมุมฉาก ดาน AB และ AC ยาว 9.1 และ 10 หนวย ตามลําดับ จงหาขนาดของมุม A และมุม C

จากรูป จะได cos A

=

9.1 10

cos A จากตาราง cos 24 30 ดังนั้น ขนาดของมุม A และ ขนาดของมุม C

= = = = =

0.91 0.9100 24 30 90 – 24 30 65 30

ตัวอยาง 1.12

30

จากรูป จงหาความยาวดาน DC เมื่อกําหนดดาน AB ยาวเทากับ 5 3 หนวย 63

5 3

วิธีทํา หาความยาวดาน BD จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได tan 30 = 1 3

BD ความยาวดาน BD

=

5 3

= =

หาความยาวดาน DC จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได sin 63 = 0.8910

=

DC

=

ความยาวดาน DC

BD AB BD

1 3

 5 3

5

หนวย

BD DC 5 DC 5 0.8910

5.612 หนวย

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 3


29

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 3


Unit 1 3