Issuu on Google+

57

2.4 คาฟงกชันตรีโกณมิติของมุม 360n +  หรือ 2n + 

รูป 2.10 ให  เปนมุมในตําแหนงมาตรฐาน ดานสิ้นสุดของมุม  หรือ OP ตัดวงกลมหนึ่งหนวย ที่จุด P(x, y) ถาให OP หมุนเพิ่มจากมุม  ตอไปอีก 1 รอบ ขนาดของมุมที่เกิดขึ้น คือ 360+  หรือ 2 +  เรเดียน n รอบ ขนาดของมุมที่เกิดขึ้น คือ 360n +  หรือ 2n +  เรเดียน มุม 360n +  หรือ 2n +  เรเดียน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ (แทนจํานวน รอบของการหมุน) ตางก็มีดานสิ้นสุดของมุมเหลานี้ กลับมาอยูในตําแหนงเดิม ดังนั้น คาฟงกชันตรีโกณมิติของมุม 360n +  หรือ 2n +  เรเดียน จะเทากับ คาฟงกชันตรีโกณมิติของมุม  สรุปไดดังนี้ sin (360n + ) cos (360n + ) tan (360n + ) cosec (360n + ) sec (360n + ) cot (360n + )

= = = = = =

sin (2n + ) cos (2n + ) tan (2n + ) cosec (2n + ) sec (2n + ) cot (2n + )

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

= = = = = =

sin  cos  tan  cosec  sec  cot 

ประจําสัปดาหที่ 5


58 ตัวอยาง 2.6 จงหาคาตอไปนี้ (1) cos 420 (3) tan วิธีทํา (1) cos 420

(2) sin 1000

(3) tan

17 6

(2) sin 1000

17 6

(4) cosec = =

cos (360+ 60) cos 60

=

1 2

= = = = =

sin (720+ 280) sin 280 sin (360– 80) – sin 80 – 0.9848

=

tan (2 +

=

tan

=

tan ( –  )

=

(4) cosec

31 4

31 4

5 ) 6

5 6 6

– tan

 6

1

=

=

cosec (6 +

=

cosec

=

cosec (2 –  )

3

7 ) 4

7 4 4

=

– cosec

=

 4

2

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


59

2.5 คาฟงกชันตรีโกณมิติของมุมลบ (– )

 

รูป 2.11 จากรูป 2.11  EOP เทากันทุกประการกับ  EOQ ดังนั้น เมื่อ OP เปนดานสิ้นสุดของมุม  ตัดวงกลมหนึ่งหนวยที่จุด P(x, y) OQ ซึ่งเปนดานสิ้นสุดของมุม –  ก็จะตัดวงกลมหนึง่ หนวยที่จุด Q(x, – y) จะได

sin (– ) = – y และ cos (– ) = x แต y = sin  และ x = cos 

ดังนั้น คาฟงกชันตรีโกณมิติของมุม –  มีความสัมพันธดังนี้ sin (– ) cos (– ) tan (– ) cosec (– ) sec (– ) cot (– )

= = = = = =

– sin  cos  – tan  – cosec  sec  – cot 

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


60 ตัวอยาง 2.7 จงหาคาตอไปนี้

(ให   3.14)  5     3 

(1) sin (– 225)

(2) cos

(3) tan   7 

(4) cot (– 6.92)

วิธีทํา (1) sin (– 225)

(2) cos

 5     3 

(3) tan   7  

6 

(4) cot (– 6.92)

6 

= = =

– sin 225 – sin (180+ 45) – (– sin 45)

=

1

=

cos

=

cos (2 –  )

2

5 3 3

=

cos

=

1 2

=

– tan

=

– tan ( +  )

=

– tan

=

= =

– cot 6.92 – cot (6.28 + 0.64) – cot 0.64 – 1.3432

 

3

7 6 6

6

1 3

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


61

2.6 เอกลักษณตรีโกณมิติ เอกลักษณตรีโกณมิติ หมายถึง สมการของฟงกชันตรีโกณมิติที่เปนจริงสําหรับทุก คาของมุมใดๆ หรือจํานวนจริงใดๆ ที่ทําใหหาคาของฟงกชันที่ปรากฏอยูในสมการนั้นได เอกลักษณตรีโกณมิติพื้นฐาน ไดกลาวมาแลวในสาระการเรียนรูที่ผานๆ มา เปน การกลาวถึงความสัม พันธระหวางฟงกชันตรีโกณมิติ 2 ฟงกชัน จึงขอสรุปความสัมพัน ธ ระหวางฟงกชันตรีโกณมิติเหลานี้ เพื่อนําไปใชพิสูจนเอกลักษณตรีโกณมิติหรือเพื่อนําไปใช ในการศึกษาเรื่องอื่นๆ ดังนี้ เอกลักษณตรีโกณมิติพื้นฐาน 1. sin  cosec  = 1 หรือ sin  = 2. cos  sec  = 1 หรือ cos  = 3. tan  cot  4. tan  = 5. cot  =

= 1 หรือ tan  =

1 cosec  1 s ec  1 cot 

หรือ cosec  = หรือ sec  = หรือ cot  =

1 sin  1 cos  1 tan 

sin  cos  cos  sin  2

6. sin2  + cos  = 1 หรือ sin2  = 1 – cos2  หรือ cos2  = 1 – sin2  7. sec2  – tan2  = 1 หรือ sec2  = 1 + tan2  หรือ tan2  = sec2  – 1 8. cosec2  – cot2  = 1 หรือ cosec2  = 1 + cot2  หรือ cot2  = cosec2  – 1 จากเอกลักษณตรีโกณมิติพื้นฐานขางตน สามารถนําไปพิสูจนเอกลักษณตรีโกณมิติ อื่นๆ ไดดงั ตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยาง 2.8 จงพิสูจนวา (1) sin  sec  cot  = 1 (2) cosec  – cosec  cos2  = sin  (3) (1 + tan2 )(1 – sin2 ) = 1 วิธีทํา (1) sin  sec  cot 

1   cos      cos    sin  

=

sin  

=

1

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


62 (2) cosec  – cosec  cos2  = =

(3) (1 + tan2 )(1 – sin2 )

cosec (1 – cos2 ) cosec  sin2 

=

 1  2  sin   sin  

=

sin 

=

sec2  cos2 

=

1   2   cos 2  cos  

=

1

2.7 กราฟของฟงกชันไซนและโคไซน กราฟของฟ ง ก ชั น ตรี โ กณมิ ติ โดยเฉพาะกราฟของฟ ง ก ชั น ไซน แ ละโคไซน มีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตร วิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และศาสตรส าขาอื่น ๆ เพราะสามารถนํากราฟของฟงกชันไซนและโคไซน ไปอธิบายปรากฏการณตางๆ ไดอยาง หลากหลาย จึงควรศึกษาลักษณะและการเขียนกราฟของฟงกชันทั้งสอง การเขียนกราฟของฟงกชันไซนและโคไซน มีวิธีการดังนี้ คือ หาคาฟงกชันไซนและ โคไซนของมุมขนาดตางๆ กันแลวนําคูอันดับไปเขียนกราฟ โดยใหแกน X แทนขนาดของมุม และแกน Y แทนคาของฟงกชัน ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยาง 2.9 จงเขียนกราฟของ y = sin  และ y = cos  เมื่อ 0    360 หรือ 0    2 วิธีทํา กําหนดคา  และหาคาของ y = sin  และ y = cos  0

30

60

90 120 150 180 210 240 270 300

0

6

3

y= sin 

0

0.5

y= cos 

1

0.87

330

360

 2

2 3

5 6

7 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

0.87

1

0.87

0.5

0

-0.5

-0.87

-1

-0.87

-0.5

0

0.5

0

-0.5

-0.87

-1

-0.87

-0.5

0

0.5

0.87

1

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


63 นําคูอันดับ (, y) ของฟงกชัน y = sin  มาเขียนกราฟไดดังนี้

 

 

30

60

90

  120 150 180 210 240 270 300 330 360 

()

 

กราฟของ y = sin  เมื่อ 0    360

นําคูอันดับ (, y) ของฟงกชัน y = cos  มาเขียนกราฟไดดังนี้

 

   6

 3

 2

 2 3

5 6

7 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

()

กราฟของ y = cos  เมื่อ 0    2 การเขียนกราฟของฟงกชันไซนและโคไซน ไมจําเปนตองหาคาฟงกชนั ของมุม หลายๆ คา อาจกําหนดเฉพาะมุมที่ฟงกชันมีคาต่ําสุด สูงสุด และจุดที่กราฟตัดแกน X เทานั้น ก็สามารถเขียนกราฟของ y = sin  และ y = cos  ได นอกจากนั้นเราทราบแลววา sin (2n + ) = sin  และcos (2n + ) = cos  เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ (จํานวนรอบของการหมุน) ทําใหกราฟของฟงกชันไซนและ โคไซนซ้ํากันเปนชวงๆ ซึง่ ชวยใหการเขียนกราฟงายขึ้น บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


64 ดังนั้นจากตัวอยาง 2.9 เราสามารถเขียนกราฟของ y = sin  และ y = cos  เมื่อ 0    720 หรือ 0    4 ไดดังนี้

90

180

270

 360

450

 540

 

630

720

( )

กราฟของ y = sin  เมื่อ 0    720 รูป 2.12

 2

 3 2

2

 5 2

3

 7 2

4

()

กราฟของ y = cos  เมื่อ 0    4 รูป 2.13 จากกราฟของฟงกชัน y = sin  และ y = cos  ขางตน จะเห็นวาทุกๆ ชวง 360 หรือ 2 เรเดียน กราฟในแตละชวงมีลักษณะเหมือนกัน ฟงกชันของกราฟลักษณะนี้เปน ฟงกชันที่เปนคาบ (period function) กลาวคือ

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


65 ถาแบงแกน X ออกเปนชวงยอย (sub interval) โดยที่ความยาวของแตละชวงยอย เทากันแลว จะทําใหกราฟของแตละชวงมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของชวงยอยที่สั้น ที่สุดดังกลาว เรียกวา คาบ (period) ดังนั้น y = sin  และ y = cos  เปนฟงกชันที่เปนคาบ และคาบของฟงกชัน ทั้งสองเทากับ 360 องศา หรือ 2 เรเดียน และจะเห็ น ว า ระยะห า งจากแกน x ถึ ง จุ ด สู ง สุ ด หรื อ จุ ด ต่ํ า สุ ด ของกราฟของ y = sin  และ y = cos  เทากับ 1 หนวย เรียกระยะหางนี้วา แอมพลิจูด (amplitude) ดังนั้น ฟงกชัน y = sin  และ y = cos  มีแอมพลิจูดเทากับ 1 หนวย ตัวอยาง 2.10 จงเขียนกราฟเฉพาะคาบที่ 1 และหาแอมพลิจูดและคาบของฟงกชนั ตอไปนี้ (1) y = 3 sin 2 (ให  มีหนวยเปนเรเดียน) (2) y = 2 cos 3 (ให  มีหนวยเปนองศา) วิธีทํา (1) กําหนดคา  และหาคา y = 3 sin 2 

0

4

2

2

0

y = 3 sin 2

0

3

2

0

3 4 3 2

–3

2 0

นําคูอันดับ (, y) ของฟงกชัน y = 3 sin 2 มาเขียนกราฟไดดังนี้

  4

  2

 3 4

()

จากกราฟของ y = 3 sin 2 จะได แอมพลิจูดเทากับ 3 หนวย และ คาบเทากับ  เรเดียน หรือ 180 องศา บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


66 (2) กําหนดคา  และหาคา y = 2 cos 3 0 0 2

3 y = 2 cos 3

30 60 90 120 90 180 270 360 0 –2 0 2

นําคูอันดับ (, y) ของฟงกชัน y = 2 cos 3 มาเขียนกราฟไดดังนี้

30

60

90

( )

120

จากกราฟของ y = 2 cos 3 จะได แอมพลิจูดเทากับ 2 หนวย และ คาบเทากับ 120 องศา หรือ

2 3

เรเดียน

ขอสังเกต จากกราฟของฟงกชันไซนและโคไซน 1. ถาอยูในรูป y = sin  หรือ y = cos  แลว จะมีคาบ = 2 เรเดียน หรือ 360 องศา และแอมพลิจูด = 1 หนวย 2. ถาอยูในรูป y = a sin k หรือ y = a cos k เมื่อ a, k > 0 แลว จะมีคาบ

=

และแอมพลิจูด =

2 k

เรเดียน หรือ

360 k

องศา

a หนวย

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


67

บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)

ประจําสัปดาหที่ 5


Unit 2 2