Μαθηματικα γ λυκειου θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

http://www.mathschool-online.gr/elearning Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου –«Συναρτήσεις – Όρια συναρτήσεων» Τα βασικότερα σημεία της θεωρίας με αναλυτικά παραδείγματα Ερωτήσεις –Απαντήσεις-Παραδείγματα 1η Ερώτηση Τί ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του R Απάντηση Έστω A ⊆ R Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ονομάζουμε τη διαδικασία f με την οποίο κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y Το x ∈ A λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή Το y λέγεται τιμή της f στο x και γράφουμε y=f(x)

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 1o Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f με f(x)=1/x με π.ο το A=R-{0} και π.τιμών το B ⊂ R π.χ ,για x1=-1,f(-1)=1/-1 =-1 για x2=2, f(2)=1/2 για x3=1, f(1)=1/11 =1 κ.λ.π

Εύρεση π.ο συνάρτησης (0) Αν f(x)=P(x) ,δηλαδή αν η f είναι πολυωνυμική τότε το π.ο είναι το R (Ι)Aν f(x)=P(x)/Q(x) , δηλαδή αν η f είναι ρητή συνάρτηση όπου τα P(x),Q(x) είναι πολυώνυμα του x το

{

( )

}

π.ο είναι το x ∈ R : Q x ≠ 0

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning = f (x) (ΙΙ)Aν

ν

g ( x ) ,ν ≥ 2

{

}

Το π.ο της f είναι τα x ∈ R : g(x) ≥ 0

(

= f ( x ) ln= g ( x ) ή f ( x ) log g ( x ) (ΙΙΙ)Αν

)

Το π.ο της f είναι τα {x ∈ R : g(x)  0} 2o Παράδειγμα Να βρεθεί το π.ο των παρακάτω συναρτήσεων x

= 1)f (x)

x

, 2) = f (x)

ln(x − 1)

Λύση

1)f ( x ) =

x x

Σύμφωνα με τις (ΙΙ) και (Ι) πρέπει

x > 0 και

x≠0

Επομένως τα παραπάνω συναληθεύουν για x > 0

R Άρα το π.ο της f είναι τα {x ∈ R : x > 0} = ∗+

2) = f (x)

ln(x − 1)

Σύμφωνα με τις (ΙΙ) και (ΙΙΙ) πρέπει

ln ( x − 1 ) > 0 ↔ ln x > ln1 ↔ x − 1 > 1 ↔ x > 2

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning και

x −1 > 0 ↔ x >1 Οι παραπάνω ανισώσεις συναληθεύουν για x>2 επομένως το π.ο της f είναι τα {x ∈ R : x > 2}

(

δηλαδή το διάστημα 2, +∞

)

2η Ερώτηση Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f; Aπάντηση Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με π.ο το Α,ονομάζουμε το σύνολο των σημείων Μ(χ,y) του επιπέδου τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση f(x)=y ,για κάθε χ που ανήκει στο π.ο Α της f 3ο Παράδειγμα Παραβολή f(x)=ax2,a>0 ,π.ο το R

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

4ο Παράδειγμα : Παραβολή f(x)=ax2,a<O,π.ο το R

5ο Παράδειγμα Λογαριθμική f(x)=lnx ,π.ο το R*+

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 6o Παράδειγμα Εκθετική συνάρτηση f(x)=ex , π.ο το R

3η Ερώτηση Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες Απάντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο π.ο Α ΚΑΙ για κάθε

x ∈ A, f ( x ) = g (x)

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 7ο Παράδειγμα

) Έστω οι συναρτήσεις f ( x=

(

x x4 − 1 x +1 2

)

και g ( x= ) x3 − x

x2 + 1 > 0 Δηλαδή

x2 + 1 ≠ 0 Eπομένως το π.ο της f είναι το R, επίσης το π.ο της g είναι το R Άρα οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο π.ο Α=R Επιπλέον για

x ∈ A, εξετάζω αν f ( x ) = g (x) Έχω

(

x x4 − 1

)=

x3 − x ↔

(

)(

x x2 − 1 x2 + 1

x2 + 1 x2 + 1 x x2 − 1 ↔ x x2 − 1= x x2 − 1 ↔

(

)

(

)

(

)=

)

f(x) = g(x) Άρα οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες 4η Ερώτηση Έστω oι συναρτήσεις f και g με π.ο τα σύνολα Α και Β.

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Πού ορίζονται οι πράξεις f ± g,

f g

Απάντηση Το f ± g ορίζεται στη τομή A  B των Α και Β

f Το πηλίκο g ορίζεται στο σύνολο

{x : x ∈ A ∩ B με g(x) ≠ 0} 8ο Παράδειγμα

( )

Δίνονται οι συναρτήσεις f x = x και g(x)=x

f Να βρεθούν οι f+g και g Λύση

{

}

Το π.ο της f είναι τα A =x ∈ R : x ≥ 0 Το π.ο της g είναι το Β=R Το π.ο της f+g είναι το

AB = {x ∈ R : x ≥ 0} Επομένως

( f + g)( x ) =f ( x ) + g ( x ) = x + x http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

f To π.ο της g

{

} {

( )

}

0 Είναι τα x ∈ A  B : g x ≠ 0 = x ∈ R : x  5η Ερώτηση Πώς ορίζεται η σύνθεση συναρτήσεων; Aπάντηση Έστω f και g δύο συναρτήσεις με π.ο τα Α και Β αντίστοιχα Ορίζω ως σύνθεση της f με τη g τη συνάρτηση

gf με π.ο το Γ=

{x ∈ A : f(x) ∈ B} ≠ ∅ και τύπο

(

(g  f) ( x ) = g f ( x )

)

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 9ο Παράδειγμα

( )

x και g ( x )= x + 1

Δίνονται οι συναρτήσεις f x =

Να βρεθεί η g  f Λύση

{

}

Το π.ο της f είναι τα Α= x ∈ R : x ≥ 0 Το π.ο της g είναι το Β=R Για να ορίζεται η g  f πρέπει

Γ=

{x ∈ A : f(x) ∈ B} ≠ ∅ Όμως το

Γ=

{x ∈ R : x ≥ 0 με

}

x ∈R ≠ ∅

Δηλαδή

Γ =

{x ∈ R : x ≥ 0=}

[0, +∞) ≠ ∅

Επομένως

(

)

(g  f)= g f ( x ) = f(x) + 1=

x + 1, x ≥ 0

10ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με π.ο το Α=[0,2] Να βρεθεί το π.ο της f(x-2)

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Λύση Η συνάρτηση f(x-2) είναι σύνθεση της g(x)=x-2 με την f Δηλαδή

(

)

(f  g) (= x) f g (x = ) f ( x − 2) Για να ορίζεται η σύνθεση πρέπει

(x − 2) ∈ A → ( x − 2 ) ∈  0, 2 Ισοδύναμα

0 ≤ x−2 ≤2 ↔2 ≤ x ≤ 4

( )

( ( )) (

x f g x = f x −2 Επομένως το π.ο της (f  g) =

)

Είναι το [2,4] 6η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f λέγεται «1-1»; Απάντηση Μια συνάρτηση f με π.ο Α είναι «1-1» όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ A ισχύει Αν f(x1)=f(x2) τότε x1=x2 Ή ισοδύναμα Αν x1 ≠ x2 τότε f(x1 ) ≠ f(x2 )

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Έστω η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με π.ο το R Παρατηρώ ότι κάθε οριζόντια ευθεία , έστω η (ε) τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο Α 11ο Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x Να εξετασθεί αν είναι «1-1» Λύση Το π.ο της f είναι το [0, +∞) Έστω x1, x2 ∈ A με f(x1)=f(x2) Έχω

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning x1 =

x2 ↔

( x)= ( x) 2

1

2

2

↔ x1 = x2

Αυτό σημαίνει ότι η f είναι «1-1» 7η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f αντιστρέφεται ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f : A → R Aν η f είναι «1-1»

( )

−1 τότε ορίζεται η συνάρτηση f : f A → R

η οποία έχει π.ο το f(A) δηλαδή το σύνολο τιμών της f σύνολο τιμών το Α,δηλαδή το π.ο της f −1 και τύπο f ( y ) = x

Ισχύει δε η ισοδυναμία

f (x) = y ↔ f −1 ( y ) = x Δηλαδή η f αντιστοιχίζει το x στο y και η f-1 αντιστοιχίζει το y στο x

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Aν C και C΄ είναι οι γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεων f και f-1 αντίστοιχα τότε από την ισοδυναμία

f (x) = y ↔ f −1 ( y ) = x Προκύπτει ότι αν το σημείο Μ΄(α,β) ανήκει στη C τότε το Μ (β,α) ανήκει στη C ΄ και αντίστροφα .Δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f-1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x ,δηλαδή τη διχοτόμο ˆ και x΄Oy΄ ˆ των γωνιών xOy

12ο Παράδειγμα = ) Έστω η συνάρτηση f με f ( x

x −2

1)Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f-1=g της f 2)Na γίνει η γραφική πaράσταση Cf της f με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης Cg της f-1=g Tί παρατηρείτε; Λύση

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning = ) 1)Το π.ο της f ( x

x −2

είναι το [2, +∞) Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y=f(x) και λύνουμε ως προς x Eπομένως

f ( x ) = y ↔ x − 2 = y (i) Όμως [2, +∞) Άρα y ≥ 0 Δηλαδή το σύνολο τιμών της f είναι το [0, +∞) Υψώνω τη σχέση (i) στο τετράγωνο και έχω

(

x −2

)

2

= y2 ↔ x − 2 = y2 ↔ x = y2 + 2 Επομένως

f−1 ( x= ) g ( x=) x2 + 2, x ∈ [0, +∞) To πεδίο τιμών της f έγινε π.ο της f-1=g 2) H γραφική παράσταση της g είναι η παραβολή y=x2 μετατοπισμένη κατά 2 μονάδες κατακόρυφα προς τα πάνω για x ∈ [0, +∞)

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Γνωρίζω ότι η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφ.παράστασης της g ως προς τη διχοτόμο y=x των ˆ και x΄Oy΄ ˆ γωνιών xOy

Eπομένως τα συμμετρικά σημεία Μ΄(α,β) της Cf ως προς y=x είναι τα Μ (β,α) Π.χ το συμμετρικό Μ΄(1,3) ως προς y=x της γραφικής παράστασης της

f−1 ( x= ) g ( x=) x2 + 2, x ∈ [0, +∞) = ) είναι το Μ(3,1) της γραφ.παράστασης της f ( x

x −2

Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήμα

Όριο συνάρτησης στο x0 ∈ R 8η Ερώτηση

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο

( a, x ) ∪ ( x , β ) 0

0

Ποιά συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται για να υπάρχει το όριο της f στο x0 ; Απάντηση Για να υπάρχει το όριο της f στο x0 πρέπει να υπάρχουν τα πλευρικά όρια και να είναι ίσα Δηλαδή,

limx → x f ( x ) = l 0

aν και μόνο αν

= = lim f ( x ) lim f (x) l x → x+ x → x− 0

0

13ο Παράδειγμα Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο

( a, x ) ∪ ( x , β ) 0

0

με

limx → x+ f ( x= ) λ2 − λ 0

και

limx → x− f ( x )= λ − 1 0

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Να βρεθεί το λ ώστε να υπάρχει το όριο της f στο x0 Λύση Για να υπάρχει το όριο της f στο x0 πρέπει

limx → x+ f ( x ) = limx → x− f ( x ) 0

0

Ισοδύναμα

λ2 − λ = λ − 1 ↔ λ2 − λ − λ + 1 = 0 ↔ λ − 2λ + 1 = 0 ↔ ( λ − 1 ) = 0 ↔ 2

2

λ = 1 , διπλή Επομένως για λ=1

lim f ( x ) lim f (x) 0 = = x → x+ x → x− 0

0

Άρα το όριο της f στο x0 υπάρχει και είναι

limx → x f ( x ) = 0 0

9η Ερώτηση Πότε θα χρησιμοποιούμε τα πλευρικά όρια για την εύρεση του π.ο μιας συνάρτησης; Απάντηση

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Όταν η συνάρτηση εκφράζεται με πολλαπλό τύπο ή όταν εκφράζεται με απόλυτη τιμή τότε χρησιμοποιούμε τα πλευρικά όρια 14ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με

 ax + β, αν x ≥ 0  f (x) =    −2αx − β, αν x  0  Να βρεθούν τα α και β ώστε limx →1 f ( x ) = 16

Λύση Θέλω

limx →1 f ( x ) = 16 αυτό σημαίνει ότι

limx →1− f ( x= ) limx→1+ f ( x=) 16 ↔

limx →1− ( −2ax − β) = limx →1+ (αx + β) = 16 ↔  −2α − β = 16 (Ι)    α + β = 16 (ΙΙ)  

(ΙΙ) → α = 16 − β Επομένως η (Ι) γίνεται

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning -2(16-β)-β=16<->-32+2β-β=16<->-32+β=16<>β=16+32=48<->β=48 Άρα α=16-48=-32<->α=-32 15ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με

f ( x= ) x − 1 με π.ο το R Να εξετασθεί αν υπάρχει το όριο της f στο x0=1 Λύση «βγάζω» το απόλυτο και έχω

 x − 1, aν x > 1    f ( x ) =  0, aν x = 1   −x + 1, aν x<1   

+ 1) 0 limx →1− f= ( x ) limx→1− ( −x= limx →1+= f ( x ) limx →1+ ( x = − 1) 0 Δηλαδή

lim = f ( x ) lim = f (x) 0 x →1 − x →1 + Άρα υπάρχει το όριο της f στο x0=1 και έναι το μηδέν

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 10η Ερώτηση Να διατυπωθεί το κριτήριο της παρεμβολής Απάντηση Έστω οι συναρτήσεις f,g,h αν

h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) κοντά στο x0 = = lim h ( x ) lim g (x) L x→x x→x 0

0

Τότε limx → x f ( x ) = L 0

16ο Παράδειγμα

( )

Έστω η συνάρτηση f με f x − 1 ≤ x με x < 1 Να υπολογισθεί το όριο της f στο x0=0 Λύση Γνωρίζω από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών ότι

x < 1 → −1 < x < 1 Επομένως

x ∈ ( −1,1) και

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning f (x) − 1 ≤ x ↔ − x ≤ f (x) − 1 ≤ x ↔ 1 − x ≤ f (x ) ≤ x + 1

 1 − x, 0 < x < 1  h x = 1 − x =   Καλώ ( ) 1 x, 1 x 0 + − < <  

 x + 1, 0 < x < 1  = + = g x x 1 ( )   και − + − < < x 1, 1 x 0   Επομένως έχω

limx → 0− h = +x 1 ( x ) limx→0− 1= limx → 0+ h = −x 1 ( x ) limx→0+ 1= Άρα

limx → 0 h ( x ) = 1 (I) και

limx → 0− g= +1 1 ( x ) limx→0− − x= limx → 0+= g ( x ) limx → 0+= x +1 1 Άρα

limx → 0 g ( x ) = 1 (II) Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) έχω

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

lim = h ( x ) lim = g (x) 1 x→0 x→0 Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής

limx → 0 f ( x ) = 1 Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων

limx → x ημχ = ημχ0 0

limx → x συνχ = συνχ0 0

limx → 0

ημχ =1 χ

Γενικά

limx → 0

ημαχ =α αχ

limx → 0

συνχ − 1 =0 χ

17ο Παράδειγμα Να υπολογισθεί το

lim

x→

π 2

συνx π x− 2

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση

lim

x→

π 2

συνx = lim π x→ π 2 x− 2

π − x) 2 (I) π  −  − x 2 

ημ(

π y Θέτω: − x = 2

επομένως Για x →

π 2

Το y → 0 Άρα η (Ι) γίνεται (Ι)->

limx → π

ημy ημy συνx = = − limy → 0 = −1 limy → 0 π −y y x− 2 Μη πεπερασμένο όριο στο x0 11η Eρώτηση

(

) (

Έστω μια συνάρτηση f με π.ο a, x0 ∪ x0 , β

)

Τι εκφράζει ο συμβολισμός

limx → x f ( x ) = +∞ 0

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση

( )

Ο συμβολισμός limx → x0 f x = +∞ Εκφράζει το γεγονός ότι καθώς το x πλησιάζει από οποιαδήποτε φορά προς το x0 , οι τιμές της συνάρτησης f αυξάνονται απεριόριστα

Ιδιότητες των ορίων

Aν limx → x f ( x ) = ±∞ τότε limx → x 0

0

1 = 0 f (x)

Aν limx → x f ( x ) = 0 και 0

  1 > = +∞ f x 0 κοντά στο x τότε lim  ( )  0 x → x0 f x ( )     1 f ( x ) < 0 κοντά στο x τότε lim = −∞  0 x → x0   f (x)  

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning limx → x f(x) =

α>0 α>0 α<0 α<0

limx → x g(x) =

+∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞

0

0

limx → x f ( x ) .g(x)

+∞ −∞ −∞ +∞

0

0

?

0

+∞ +∞ −∞ −∞

?

+∞ −∞ −∞ +∞

Το ερωτηματικό δηλώνει ότι είναι απροσδιόριστες μορφές limx → x f ( x ) =

a ∈R

0

limx → x g ( x ) =

+∞ limx → x (f ( x ) + g ( x )) = +∞ 0

0

a ∈R

−∞ −∞

+∞ +∞ +∞

+∞ −∞ ?

−∞ +∞ ?

−∞ −∞ −∞

18ο Παράδειγμα Να βρείτε τις τιμές του a ∈ R ώστε

limx → 0

x2 + 2x + 4 − a = 2, x ≠ 0 x Λύση Έχω

limx → 0 x2 + 2x + 4 − a = 4 − a και limx → 0 x = 0 Όμως

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Αν x>0 τότε limx → 0

1 = +∞ x

Δηλαδή

limx → 0+

1 = +∞ x

Αν x<0 τότε limx → 0

1 = −∞ x

Δηλαδή

limx → 0 −

1 = −∞ x

Διακρίνω περιπτώσεις

limx → 0 x2 + 2x + 4 − a = 4 − a 1ον αν 4-α>0->-α>-4->α<4 Τότε

limx → 0+

x2 + 2x + 4 − a 1 = limx → 0+ x2 + 2x + 4 − a = +∞ x x

limx → 0−

x2 + 2x + 4 − a 1 = limx → 0− x2 + 2x + 4 − a = −∞ x x

(

(

)

)

2ον αν 4-α<0->-α<-4->α>4

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Τότε

limx → 0+

x2 + 2x + 4 − a 1 = limx → 0+ x2 + 2x + 4 − a = −∞ x x

limx → 0−

x2 + 2x + 4 − a 1 = limx → 0− x2 + 2x + 4 − a = +∞ x x

(

(

)

)

3ον αν 4-α=0->α=4 τότε

limx → 0

x2 + 2x + 4 − a 0 = , απροσδιόριστη μορφή x 0 Θέτω

x2 + 2x + 4 − a f (x) = (I) x Για α=4 η (Ι) γίνεται

x2 + 2x + 4 − 4 x ( x + 2 ) f ( x )= = = x+2 x x Επομένως για α=4

limx → 0 = f(x) limx → 0 ( x= + 2) 2

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Όριο συνάρτησης στο άπειρο 12η Eρώτηση Έστω f μια συνάρτηση με π.ο το

( a, +∞ ) , a ∈ R Να εκφράσετε με σχηματικά παραδείγματα (γεωμετρικά) τις ισότητες

limx →+∞ = k limx →+∞ = +∞

limx →+∞ = −∞ Απάντηση

limx →+∞ = k http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

limx →+∞ = +∞

limx →+∞ = −∞ Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης στο +∞ ή -∞ Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση

f ( x )= aν χν + αν −1 χν −1 + ... + α0 , αν ≠ 0 τότε

limx →+∞ f ( x ) = limx →+∞ aν χν

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning και

limx →−∞ f ( x ) = limx →−∞ aν χν Όριο ρητής συνάρτησης στο +∞ ή -∞ Έστω η ρήτη συνάρτηση

f (x)

aν χν + αν −1 χν −1 + ... + α1 χ + α0 βκ χκ + βκ −1 χκ −1 + ... + β1 χ + β0

, αν , βκ ≠ 0

τότε

limx →+∞ f ( x ) = limx →+∞ limx →−∞ f ( x ) = limx →−∞

aν χν

βκ χκ

aν χν

βκ χκ

19ο Παράδειγμα Να υπολογισθεί το

 x  x2  limx →+∞  −  x + 1 ( x + 1 )( x − 1 )    Λύση

 x   x ( x − 1 ) − x2  x2 =  limx →+∞  limx →+∞  − 2  x + 1 ( x + 1 )( x − 1 )    x − 1    

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning  x2 − x − x2  −x = limx →+∞ = lim  x →+∞ 2 x2 − 1  x −1  −x 1 = = lim lim 0 x →+∞ x →+∞     1 1 x2  1 − 2  x 1 − 2  x x     Συνέχεια συνάρτησης !

13η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x0 ; Απάντηση Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x0 όταν Το x0 είναι σημείο του π.ο της f και

limx → f ( x ) = f ( x0 ) 0

14η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του π.ο της; Απάντηση Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του π.ο της όταν δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο xo ή

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning όταν limx → x f ( x ) ≠ f ( x0 ) 0

Βασικές συνεχείς συναρτήσεις Πολυωνυμική

limx → x P(x) = P(x0 ) 0

Ρητή

P (x)

limx → x

0

Q (x)

=

P ( x0 )

Q ( x0 )

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

limx → x ημχ = ημχ0 0

limx → x συνχ = συνχ0 0

ημχ0 ημχ = = limx → x εφχ lim , συνχ0 ≠ 0 x → x0 0 συνχ συνχ0 Εκθετική συνάρτηση

limx → x a x = a

x0

0

Λογαριθμική συνάρτηση

limx → x loga x = loga x0 0

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Συναρτήσεις που προκύπτουν από συνεχείς συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα σημείο x0 του π.ο τους τότε είναι συνεχείς στο x0 και οι συναρτήσεις f+g, f.g, λ.f, λ ∈ R ,

f , f, g

k

f, k ∈ N*

Mε την απαίτηση το x0 να είναι σημείο του π.ο τους Σύνθεση συναρτήσεων Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η g είναι συνεχής στο f(x0) τότε η σύνθεσή τους

gf είναι συνεχής στο x0 15η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) Απάντηση Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β)

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 16η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Απάντηση Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του [α,β] και επιπλέον ισχύει

= limx → a+ f ( x ) f= ( a ) και limx→β− f ( x ) f (β ) 20ο Παράδειγμα Να βρείτε τις τιμές του a ∈ R ώστε η συνάρτηση

x2 + 2a, x < 1  f (x) =    x + a, x ≥ 1  να είναι συνεχής Λύση Τρόπος δράσης Θα μελετήσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης στα ανοικτά διαστήματα του π.ο της και κατόπιν θα μελετήσουμε τη συνέχεια στο άκρο του κλειστού διαστήματος (εκεί που αλλάζει τύπο) Επομένως

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

(

)

Στο διάστημα −∞,1 ο τύπος της f είναι

f ( x= ) x2 + 2a και είναι συνεχής ως πολυωνυμική συνάρτηση Στο διάστημα (1, +∞) ο τύπος της f είναι

f (x = )

x+a

και είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων

g ( x )=

x και h ( x )= x + a Δηλαδή

(

)

f ( x ) = (g  h) ( x ) = g h ( x ) = g ( x + a ) =

x+a

Για να είναι η f συνεχής πρέπει να είναι συνεχής σε όλο το π.ο της ,επομένως πρέπει να είναι συνεχής και στο x0=1 Δηλαδή πρέπει

lim = f ( x ) lim = f ( x ) f (1 ) (I) x →1 + x →1 − Έχω

f (1= )

1+a και

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning limx →1+ f ( x = ) limx→1+ x + a = 1 + a

(

)

limx →1− f ( x ) = limx →1− x2 + 2a = 1 + 2a Επομένως η (Ι) γίνεται

1 + 2a =

1 + a ↔ (1 + 2a ) = 2

2

1+a ↔

1 + 4a + 4a2 = 1 + a ↔ 4a2 + 3a = 0 ↔  a=0    a ( 4a + 3) =0 ↔  −3   a = 4  Θεώρημα Bolzano Έστω η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] αν η f είναι συνεχής στο [α,β] Και f(a).f(β)<0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (a, β) τέτοι ώστε f ( x0 ) = 0

17η Ερώτημα Τι προκύπτει από το Θεώρημα Bolzano;

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η ξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α,β) 18η Ερώτημα Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano; Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f τέμνει τον άξονα xx΄ σε ένα τουλάχιστον σημείο x0

21ο Παράδειγμα Να δείξετε ότι η εξίσωση 3συνx=x-1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,π) Λύση 3συνx=x-1->3συνx-x+1=0 Θεωρώ τη συνάρτηση

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning f(x)=3συνx-x+1 στο διάστημα [0,π] Η f είναι συνεχής συνάρτηση ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων f(0)=3συν0-0+1=3.1+1=4>0 f(π)=3συνπ-π+1=3(-1)-π+1=-3-π+1=-2-π=-(2+π)<0 Επομένως f(0). f(π)<0 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano

(

)

( )

0 Υπάζρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ 0, π : f x0 =

f ( x 0 ) = 0 ↔ 3συνx0 − x0 + 1 = 0 ↔ 3συνx0 = x0 − 1 Δηλαδή η εξίσωση 3συνx=x-1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (ο,π) 22ο Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 = 12+2x έχει δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες Λύση Τρόπος δράσης Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f(x)=0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες αρκεί να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano σε δύο κατάλληλα διαστήματα

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Επομένως x3 = 12+2x-> x3 – 12-2x=0 ,π.ο R θέτω f(x)= x3 – 12-2x Επιλέγω μια ένωση διαστημάτων της μορφής

[a, 0] ∪ [0, γ], α,β ∈ R Για να εξετάσω εάν σε καθένα από τα διαστήματα αυτά εφαρμόζεται το θεωρ.Bolzano Επομένως Θεωρώ την ένωση διαστημάτων

[ −1, 0] ∪ [0,1] H f ως πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R ,επομένως και στο

[ −1, 0] ∪ [0,1] επιπλέον f(-1)= -1-12-2(-1)=-13+2=-11<0 f(0)=0-12-0=12>0 Δηλαδή f(-1). f(0)<0 άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ ( −1, 0 )

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning τέτοιο ώστε f(x0)=0-> x03 – 12-2x0=0-> x03 = 12+2x0 (I) Επίσης f(0)=0-12-0=12>0 f(1)=1-12-2=-13<0 Δηλαδή f(0). f(1)<0 άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ ( 0,1 ) τέτοιο ώστε f(x0)=0-> x13 – 12-2x1=0-> x13 = 12+2x1 (II) επιπλεον

x0 ≠ x1 Από (I)και(ΙΙ) συμπεραίνω ότι η f έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες 18η Ερώτηση Τι προκύπτει από το θεώρημα του Bolzano; Απάντηση Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: 1) αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning x ϵ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ϵ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ

2) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 23ο Παράδειγμα Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f(x)=x3-6x2+9x Λύση Βρίσκουμε τις ρίζες της f(x)=0 επομένως f(x)=x3-6x2+9x=0<->x(x2-2.3x+9)=x(x-3)2=0->x=0 ή x=3 διπλή Σχηματίζω το παρακάτω πίνακα Διάστημα

( −∞, 0 )

( 0, 3)

(3, +∞ )

Επιλεγμένος αριθμός x0 f(x0) Πρόσημο της f(x)

-1

1

4

f(-1)=-16

f(1)=4

f(4)=4

-

+

+

19η Eρώτηση Να διατυπωθεί το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f με π.ο ένα κλειστό διάστημα [α,β] Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) και

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

f ( a ) ≠ f (β ) τότε Για κάθε αριθμό λ μεταξύ των f(a) και f(β) υπάρχει ένα

( )

τουλάχιστον x0 ∈ a, β Τέτοιο ώστε f(x0)=λ

Παρατήρηση Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα 24ο Παράδειγμα Έστω η εξίσωση x4+1=3x Na εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών Λύση

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Έστω η συνάρτηση f(x)= x4+1-3x η f έχει π.ο το

R=

( −∞, +∞ )

και ως πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο π.ο της επιπλέον

limx →−∞ f ( x ) = limx →−∞ (x3 + 1 − 3x) = −∞ limx →+∞ f ( x ) = limx →+∞ (x3 + 1 − 3x) = +∞ Δηλαδή

limx →−∞ f ( x ) ≠ limx →+∞ f ( x ) Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών για κάθε αριθμό λ του πεδίου τιμών

R=

( −∞, +∞ ) (

υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ −∞, +∞

)

Τέτοιο ώστε f(x0)=λ 20η Ερώτηση Να διατυπωθεί το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα Δ=[α,β], τότε η f έχει στο διάστημα [α,β] μια μέγιστη Μ και μια ελάχιστη τιμή μ Δηλαδή υπάρχουν x1, x2 ∈ [α, β] τέτοια ώστε f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x2 ) ↔ μ ≤ f ( x ) ≤ Μ

Επιπλέον ισχύει f(Δ)=[μ,Μ] Δηλαδή η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα 25ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημx ορισμένη στο κλειστό διάστημα [0,π/2]

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Να εξετάσετε εαν εφαρμόζεται το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Λύση Η f(x)=ημx ως τριγωνομετρική συνάρτηση είναι συνεχής στο R επομένως και στο [0,π/2] Γνωρίζω ότι στο διάστημα [0,π/2]

1 ≤ ημx ≤ 0 Δηλαδή

1 ≤ f (x) ≤ 0 Επομένως Μ=1 και μ=0 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x)=ημx παίρνει στο διάστημα [0,π/2] μια μέγιστη Μ και μία ελάχιστη τιμή μ. Άρα το το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής ικανοποιείται

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Σύνολο τιμών συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης

Δ

[α,β]

(α,β)

[α,β)

(α,β]

Αν f ↑ f(Δ)

[f(α),f(β)]

(Α,Β)

[f(a),B)

(A,f(β)]

Aν f ↓ f(Δ)

[f(β),f(α)]

(Β,Α)

(B,f(a)]

[f(β),Α)

Όπου

A = limx → α+ f ( x ) και

B = limx →β− f ( x )

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 26ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f(x)=1-lnx 1) Na βρεθεί το π.ο της f 2) Na βρεθούν τα όρια της f στα άκρα του π.ο της 3)Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π.ο της 4)Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f Υπόδειξη: να δειχτεί προηγουμένως ότι είναι συνεχής Λύση 1)για να ορίζεται η lnx πρέπει x>0 , Eπομένως το π.ο της f(x)=1-lnx είναι Δ =

{x ∈ R : x > 0} → Δ= ( 0, +∞ ) 2) f(x)=1-lnx

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

limx → 0 f ( x= ) limx→0 (1 − ln x)= 1 − limx → 0 ln x = 1 − ( −∞) = +∞

limx →+∞ f (= x ) limx →+∞ (1 − ln= x) 1 − limx →+∞ ln x = 1 − ( +∞) = −∞

(

3) έστω x1, x2 ∈ 0, +∞

)

με x1<x2

x1 < x2 → ln x1 < ln x2 → − ln x1 > − ln x2 →

1 − ln x1 > 1 − ln x2 → f ( x1 ) > f ( x2 ) → f ↓

(

Eπομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, +∞

)

4)Η συνάρτηση g(x)=lnx είναι συνεχής , η συνάρτηση h(x)=1 είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Η συνάρτηση f(x)=1-lnx είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων Επιπλέον η f είναι φθίνουσα , επομένως το σύνολο τιμών

(

της είναι το f(Δ)=( limx →+∞ f ( x ) , limx → 0 f ( x ) )= −∞, +∞ 27ο Παράδειγμα Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β]

( )

( )

Αν f a ≠ f β

( )

Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ α, β τέτοιο ώστε

f ( a ) + f (β )

f ( x0 ) =

2 Λύση

Τρόπος εργασίας Γράφουμε τη σχέση

f ( x0 ) =

f ( a ) + f (β ) 2

ως εξής

f= (x )

f ( a ) + f (β ) 2

f ( a ) + f (β ) ↔ f (x ) − = 0 2

http://www.mathschool-online.gr/elearning

)

http://www.mathschool-online.gr/elearning Θέτουμε f ( a ) + f (β ) h (x) = f (x ) − , x ∈  a, β 2

Επομένως Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α,β] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων επιπλέον

h (α) = f (α) −

f ( a ) + f (β )

2 2f ( α ) − (f ( α ) + f (β )) 2

=

=

f ( α ) − f (β ) 2

και

h (β ) = f (β ) −

f ( a ) + f (β )

2 2f (β ) − (f ( α ) + f (β )) 2 f (β ) − f ( α ) 2

= −

=

=

f ( α ) − f (β ) 2

Επομένως h(a).h(β)<0 Άρα από το θεώρημα Bolzano , υπάρχει ένα τουλάχιστον

x0 ∈ ( a, β )

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Τέτοιο ώστε

h ( x0 ) = 0 ↔ f ( x0 ) − f ( x0 ) =

f ( a ) + f (β )

2 f ( a ) + f (β )

= 0↔

2

Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kaλή ανάγνωση !

http://www.mathschool-online.gr/elearning