Endomorphisme des espaces euclidiens E désigne un espace vectoriel euclidien. I. Automorphismes orthogonaux 1°) Matrices orthogonales Déf : Une matrice A ∈ M n ( ℝ ) est dite orthogonale ssi t AA = I n . On note On ( ℝ ) l’ensemble de ces matrices. Prop : On a équivalence entre : (i) A est une matrice orthogonale, (ii) A est inversible et A−1 = t A . (iii) A t A = I n . Prop : On ( ℝ ) est un sous-groupe compact de GLn ( ℝ ) appelé groupe orthogonal d’ordre n . Prop : Si A ∈ On ( ℝ ) alors det A = ±1 et Sp(A) ⊂ {1, −1} . Théorème : Soit A ∈ M n ( ℝ ) de colonnes C1 , …,C n et de lignes L1 , …, Ln . On a équivalence entre : (i) A est orthogonale (ii) la famille (C 1 ,…,C n ) est orthonormale (iii) la famille (L1 ,…, Ln ) est orthonormale. Cor : La matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale. (donc facile à inverser) 2°) Matrice de rotation Déf : Les matrices orthogonales de déterminant 1 sont appelées matrice de rotations. On note SOn ( ℝ ) l’ensemble de ces matrices. Prop : SOn ( ℝ ) est un sous-groupe compact de GLn ( ℝ ) appelé groupe spécial orthogonal d’ordre n . 3°) Automorphismes orthogonaux Déf : On appelle automorphisme orthogonal de E tout endomorphisme u de E conservant le produit scalaire i.e. ∀x , y ∈ E ,(u (x ) | u (y )) = (x | y ) . On note O (E ) l’ensemble de ces applications. Prop : On a équivalence entre : (i) u est un automorphisme orthogonal, (ii) u conserve la norme i.e. ∀x ∈ E , u (x ) = x . Théorème : Soit u ∈ L(E ) et B une base orthonormée de E . On a équivalence entre : (i) u ∈ O (E ) , (ii) u (B ) est une base orthonormée, (iii) Mat B (u ) ∈ On ( ℝ ) . Cor : O (E ) est un sous-groupe compact de GL (E ) appelé groupe orthogonal de E . Cor : Si u ∈ O (E ) alors det u = ±1 et Sp(u ) ⊂ {1, −1} . 4°) Rotations Déf : On appelle rotation de E tout automorphisme orthogonale de déterminant 1. On note SO (E ) l’ensemble des rotations de E . Prop : SO (E ) est un sous-groupe compact de GL (E ) appelé groupe spécial orthogonal de E .
E désigne un plan euclidien orienté. Une rotation de E est caractérisée par un angle θ (figure).
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(
)
Dans toute base orthonormée directe de E , la matrice d’une rotation d’angle θ est cos θ − sin θ . sin θ cos θ De plus les rotations commutent entre elles. II. Adjoint d’un endomorphisme 1°) Définition Théorème : Pour tout u ∈ L(E ) , il existe un unique endomorphisme u ∗ de E vérifiant : ∀x , y ∈ E , (u (x ) | y ) = (x | u ∗ (y )) . t
De plus, dans toute base orthonormée B de E : Mat B (u ∗ ) = [ Mat B (u ) ] .
Déf : L’endomorphisme u ∗ est appelé adjoint de l’endomorphisme u . 2°) Propriétés de l’adjonction Théorème : Soit u , v ∈ L(E ) et λ , µ ∈ ℝ .
(λu + µv )∗ = λu ∗ + µv ∗ , (u v )∗ = v ∗ u ∗ et u ∗∗ = u . Si u est inversible alors u ∗ aussi et (u ∗ )−1 = (u −1 )∗ .
Cor : L’application u ֏ u ∗ est un automorphisme involutif de L(E ) . ∗
Cor : ∀u ∈ L(E ) , ∀n ∈ ℕ,(u ∗ )n = (u n )∗ et ∀P ∈ ℝ [X ] , (P (u )) = P (u ∗ ) . 3°) Propriétés de l’adjoint Théorème : ∀u ∈ L(E ) , rg(u ∗ ) = rg(u ) , tr(u ∗ ) = tr(u ) , det u ∗ = det u , χu ∗ = χu . Cor : u et u ∗ ont mêmes valeurs propres et celles-ci ont mêmes multiplicités. Prop : u est diagonalisable (resp. trigonalisable) ssi u ∗ l’est. ⊥
⊥
Prop : ker(u ∗ ) = [ Im u ] et Im(u ∗ ) = [ ker u ] . Théorème : Un sous-espace vectoriel F est stable pour u ssi F ⊥ est stable pour u ∗ . Cor : Les hyperplans stables par u sont ceux dont un vecteur normal est vecteur propre de u ∗ . III. Endomorphismes autoadjoints 1°) Définition Déf : Un endomorphisme u de E est dit autoadjoint (ou symétrique) ssi u ∗ = u . On note S (E ) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints de E . Théorème : Soit u ∈ L(E ) et B une base orthonormée de E . On a équivalence entre : (i) u est autoadjoint, (ii) ∀x , y ∈ E ,(u (x ) | y ) = (x | u (y )) , (iii) Mat B (u ) ∈ Sn ( ℝ ) .
Cor : S (E ) est un sous-espace vectoriel de L(E ) de dimension
n (n + 1) . 2
2°) Théorème spectral Prop : Les sous-espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux. lemme : Tout endomorphisme autoadjoint u de E ≠ {0} possède au moins une valeur propre réelle.
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Théorème : Tout endomorphisme autoadjoint peut être diagonalisé dans une base orthonormée. Cor : Si u ∈ S (E ) alors E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de u . 2
2
Cor : Soit u ∈ S (E ) . ∀x ∈ E , λmin x ≤ (u (x ) | x ) ≤ λmax x . Théorème : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable par le biais d’une matrice orthogonale : ∀A ∈ Sn ( ℝ ), ∃P ∈ On ( ℝ ), ∃D ∈ Dn ( ℝ ), D = P −1AP = tPAP . On dit que A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale. 3°) Rayon spectral Déf : On appelle rayon spectral d’un endomorphisme u ∈ S (E ) le réel ρ (u ) = max λ . λ∈Sp(u )
Théorème : ∀u ∈ S (E ) , sup (u (x ) | x ) = u = ρ (u ) x ≤1
4°) Forme bilinéaire symétrique associée Prop : Si u ∈ S (E ) alors l’application ϕu : E ×E → ℝ définie par ϕu (x , y ) = (u (x ) | x ) est une forme bilinéaire symétrique sur E dont la matrice dans une base orthonormée est égale à celle de u . Déf : On dit que ϕu est la forme bilinéaire symétrique associée à l’endomorphisme automorphisme adjoint u . Théorème : L’application φ : S (E ) → BS (E ) définie par φ (u ) = ϕu est un isomorphisme de ℝ -espace vectoriel. Déf : Pour toute forme bilinéaire symétrique ϕ sur E , l’unique endomorphisme autoadjoint u tel que ϕ = ϕu est appelé endomorphisme autoadjoint associée à la forme bilinéaire symétrique ϕ . Théorème : Pour toute forme bilinéaire symétrique ϕ sur E il existe une base orthonormée B= (e1 ,…,en ) telle que la matrice de ϕ dans B soit diagonale. 5°) Positivité Déf : Un endomorphisme autoadjoint u de E est dit positif ssi ∀x ∈ E ,(u (x ) | x ) ≥ 0 . On note S + (E ) l’ensemble de ces endomorphismes. Un endomorphisme autoadjoint u de E est dit défini positif ssi il est positif et ∀x ∈ E ,(u (x ) | x ) = 0 ⇒ x = 0 . On note S ++ (E ) l’ensemble de ces endomorphismes.
Prop : Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique de forme quadratique q , de matrice A dans une base et d’endomorphisme autoadjoint u . Les notions de positivité et de définie positivité relatives à ϕ , q , A et u sont équivalentes. Théorème : Soit u un endomorphisme autoadjoint de E . u est positif (resp. défini positif) ssi Sp(u ) ⊂ ℝ + (resp. Sp(u ) ⊂ ℝ +∗ ). Cor : Si A ∈ S n ( ℝ ) alors A est positive (resp. définie positive) ssi Sp(A) ⊂ ℝ + (resp. Sp(A) ⊂ ℝ +∗ ).
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