integral des fonctions by Ech-charafi adil

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Int´ egration des fonctions num´ eriques Sommaire I

III

V VI

VII

Int´ egrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . I.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Intégrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . Int´ egrale des fonctions continues par morceaux . . . . II.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . II.2 Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . II.3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Extension de la définition et nouvelle notation . . . . . Calcul approch´ e des int´ egrales . . . . . . . . . . . . . . III.1 Convergence des sommes de Riemann . . . . . . . . . . III.2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primitives et int´ egrale d’une fonction continue . . . . . IV.1 Le théorème fondamental et ses conséquences . . . . . . IV.2 Méthodes de calcul des intégrales . . . . . . . . . . . . . IV.3 Tableau de primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . Compl´ ements sur le calcul des primitives . . . . . . . . Fonctions ` a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . VI.1 Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes . VI.2 Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes . . . . . . VI.3 Intégration des fonctions à valeurs complexes . . . . . . Int´ egration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . VII.1 Intégrabilité des fonctions continues à valeurs positives . VII.2 Propriétés de l’intégrale des fonctions positives . . . . . VII.3 Opérations sur les fonctions intégrables positives . . . . VII.4 Intégrabilité des fonctions continues à valeurs complexes VII.5 Utilisation des intégrales de Riemann . . . . . . . . . . VII.6 Intégrale des fonctions à valeurs réelles ou complexes . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 5 5 5 6 9 11 11 12 14 14 15 17 18 23 23 24 25 26 26 27 29 29 30 31

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Int´ egrale des fonctions en escaliers

Dans ce chapitre, [a, b] d´esigne un segment de IR, avec a < b.

I.1

Fonctions en escaliers

D´ efinition (subdivisions) On appelle subdivision de [a, b] toute suite finie (x0 = a < x1 < . . . < xn−1 < xn = b). L’ensemble {a = x0 , . . . , xk , . . . , xn = b} est appelé le support de la subdivision. La quantité h = max(xk+1 − xk ) est appelée le pas de la subdivision. Remarque Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b]. On dit que σ est plus fine que σ 0 si le support de σ contient celui de σ 0 . La subdivision notée σ ∪ σ 0 et dont le support est la réunion de ceux de σ et de σ 0 est plus fine que chacune des subdivisions σ et σ 0 . Réciproquement si une subdivision de [a, b] est plus fine que σ et σ 0 , alors elle est plus fine que la subdivision σ ∪ σ 0 . D´ efinition (applications en escaliers sur un segment) Soit ϕ une application de [a, b] dans IR. On dit que ϕ est en escaliers s’il existe une subdivision σ = (xk )0 ≤ k ≤ n de [a, b] et n réels λ0 , λ1 , . . . , λn−1 tels que : ∀ k = 0, . . . , n − 1, ∀ t ∈ ]xk , xk+1 [, ϕ(t) = λk . On dit alors que la subdivision σ est adaptée (ou encore subordonnée) à ϕ. On note E([a, b], IR) l’ensemble des fonctions en escaliers sur [a, b]. Exemple La figure .1 représente une fonction en escaliers ϕ sur le segment [a, b]. On n’a pas représenté les valeurs de ϕ aux points xk , car ces valeurs sont sans importance. D´ efinition (applications en escaliers sur un intervalle quelconque) Soit I un intervalle de IR d’intérieur non vide. Soit ϕ une application de I dans IR. On dit que ϕ est en escaliers sur I s’il existe un segment [a, b] de I tel que : – L’application ϕ est nulle en dehors du segment [a, b]. – La restriction ψ de ϕ à [a, b] est en escaliers sur [a, b]. Une subdivision de [a, b] adaptée a` ψ est encore dite adaptée à ϕ. Remarques et propri´ et´ es – Dans la pratique, on considérera surtout des fonctions en escaliers sur un segment [a, b]. – Si σ est une subdivision adaptée à ϕ, toute subdivision plus fine que σ est adaptée à ϕ. – Les fonctions constantes sur [a, b] sont des cas particuliers de fonctions en escaliers. – Si ϕ, ψ sont en escaliers sur [a, b], alors : ∀ (α, β) ∈ IR2 , αϕ + βψ est en escaliers sur [a, b]. Plus généralement, toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers est encore en escaliers. De même ϕψ est en escaliers sur [a, b] (comme tout produit de fonctions en escaliers.) 2 c Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Fig. .1 – Une fonction en escaliers

I.2

Int´ egrale des fonctions en escaliers

D´ efinition Soient ϕ : [a, b] → IR une fonction en escaliers et σ = (xk )0 ≤ k ≤ n une subdivision adaptée. On suppose que : ∀ k ∈ {0, . . . , n − 1}, ∀ t ∈ ]xk , xk+1 [, ϕ(t) = λk . Z n−1 X Le réel (xk+1 − xk )λk est appelé intégrale de ϕ et est noté ϕ. [a,b]

k=0

Interpr´ etation graphique Comme le montre la figure .2, l’intégrale de ϕ est égale a` la somme des “aires” algébriques (comptées positivement ou négativement selon le signe des λk ) des zones rectangulaires définies par le graphe de ϕ : Remarques et propri´ et´ es – L’intégrale de ϕ ne dépend pas de la subdivision adaptée à ϕ choisie. Z – Si ϕ est constante égale a` λ sur [a, b], alors ϕ = (b − a)λ. [a,b]

– Soient ϕ en escaliers sur [a, b] et ψ ne Z diff´erant Z de ϕ qu’en un nombre fini de points. Alors ψ est en escaliers sur [a, b] et ψ= ϕ. [a,b]

[a,b]

– Soit ϕ une application nulle sur [a, b], Zsauf peut-être en un nombre fini de points. Alors ϕ est élément de E([a, b], IR) et

ϕ = 0. [a,b]

– Soit ϕ un élément de E([a, b], IR). Soit c est un élément de ]a, b[. Z Alors les restrictions de ϕ à [a, c] et [c, b] sont en escaliers et : [a,b]

Z ϕ=

Z ϕ+

[a,c]

ϕ. [c,b]

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Fig. .2 – Int´egrale d’une fonction en escaliers

Lin´ earit´ e de l’int´ egrale Soient ϕ, ψ deux applications en escaliers sur [a, b], et soient α, β deux réels. Z Z Z Alors on a l’égalité (αϕ + βψ) = α ϕ+β ψ. [a,b] [a,b] [a,b] Z L’application qui à ϕ associe ϕ est donc linéaire de E([a, b], IR) dans IR. [a,b]

Positivit´ e et croissance Z – Soient ϕ, ψ dans E([a, b], IR). Si ϕ ≥ 0 alors

Z ϕ ≥ 0. Si ϕ ≤ ψ alors :

[a,b]

Z ϕ≤

[a,b]

ψ. [a,b]

≤ |ϕ|. – Si ϕ ∈ E([a, b], IR), alors |ϕ| : t 7→ |ϕ(t)| ∈ E([a, b], IR) et

[a,b] [a,b]

– Si ϕ est en escaliers de [a, b] dans IR, alors

≤ (b − a) sup |ϕ(t)|. [a,b]

t∈[a,b]

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II II.1

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Int´ egrale des fonctions continues par morceaux Fonctions continues par morceaux

D´ efinition On dit qu’une application f : [a, b] → IR est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe une subdivision σ = {x0 = a, x1 , . . . , xn = b} de [a, b] (dite adaptée a` f , ou encore subordonnée à f ) telle que, pour tout k de {0, . . . , n − 1} : – La restriction fk de f à ]xk , xk+1 [ est continue. – Cette restriction est prolongeable par continuité aux points xk et xk+1 . On note Cm ([a, b], IR) l’ensemble des applications continues par morceaux sur [a, b]. Remarques et propri´ et´ es – Si σ est une subdivision adaptée à f , toute subdivision plus fine que σ est adaptée à f . – Dire que f est continue par morceaux sur [a, b], c’est dire que f n’a au plus qu’un nombre fini de discontinuités sur [a, b], et que toutes sont de première espèce : en chaque point de discontinuité, il y a une limite à gauche et une limite a` droite, et ces limites sont finies. – Toute application continue par morceaux sur [a, b] est bornée sur [a, b]. Toute application continue sur [a, b] est continue par morceaux. Toute application en escaliers sur [a, b] est continue par morceaux. – Soient f, g deux applications continues par morceaux sur [a, b]. Pour tous scalaires α et β, l’application αf + βg est continue par morceaux sur [a, b]. De même, l’application f g est continue par morceaux sur [a, b]. – Soit I un intervalle quelconque de IR, d’intérieur non vide. Soit f une application définie sur I, à valeurs réelles. On dit que f est continue par morceaux sur I si elle l’est sur tout segment de I. Par exemple, l’application “partie entière” est continue par morceaux sur IR. – Si f est continue par morceaux il en est de même de l’application |f | : x 7→ |f (x)|.

II.2

Int´ egrale des fonctions continues par morceaux

Proposition (approximation par des applications en escaliers) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux. Pour tout ε > 0, il existe deux applications en escaliers ϕ, ψ telles que : – Pour tout x de [a, b], ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x). – Pour tout x de [a, b], 0 ≤ ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε. 5 c Page 5 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Proposition Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux. Il existe une suite (ϕn )n≥0 de fonctions en escaliers telles que lim

n→∞

sup |f − ϕn |

= 0.

[a,b]

On dit que la suite (ϕn ) converge uniformément vers f sur [a, b]. D’après la proposition précédente, on peut choisir la suite (ϕn ) telle que pour tout n de IN on ait ϕn ≤ f (ou au contraire telle que pour tout n de IN on ait f ≤ ϕn .) Proposition (intégrale sur Cm ([a, b], IR)) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux. Soit (ϕn )n≥0 une suite de fonctions en escaliers, uniformément convergente vers f sur [a, b]. Z Z Z Alors la suite des intégrales ϕn est convergente. On pose f = lim ϕn . [a,b]

[a,b]

n→∞

[a,b]

Cette quantité est appelée intégrale de f sur [a, b]. Remarques Z – La valeur de

f ne d´epend pas de la suite (ϕn ) de E([a, b], IR) utilis´ee pour approcher f .

[a,b]

– Si l’application f est en escaliers sur [a, b] elle est continue par morceaux. L’intégrale de f est évidemment la même selon les deux points de vue. – Si f est à valeurs positives, la suite (ϕn ) peut être choisie telle que ϕn ≥ 0 pour tout n. Interpr´ etation en terme d’aire Soit f une application continue par morceaux sur [a, b]. L’intégrale de f sur [a, b] représente l’aire algébrique du domaine situé entre la courbe y = f (x) et l’axe Ox, cette “aire” étant comptée positivement sur les intervalles o` u f ≥ 0 et négativement sur les intervalles o` uf ≤0 (voir figure .3). Numériquement, le résultat est exprimé en unités d’aire (ua).

II.3

Propri´ et´ es de l’int´ egrale

Elles découlent des propriétés analogues de E([a, b], IR) par passage à la limite. Proposition (linéarité de l’intégrale) Soient f, g deux applications continues par morceaux sur [a, b], et soient α, β deux scalaires. Z Z Z Alors on a l’égalité : (αf + βg) = α f +β g. [a,b] [a,b] [a,b] Z Ainsi l’application qui à f associe f est linéaire de Cm ([a, b], IR) dans IR. [a,b]

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Fig. .3 – Interpr´etation de l’int´egrale

Proposition (positivit´e et croissance de l’int´egrale) Soient f et g deux applications continues par morceaux sur [a, b] (on rappelle que a < b.) Z f ≥ 0. – Si f est positive ou nulle sur [a, b], alors [a,b] Z Z f≤ g. – Si f ≤ g sur [a, b], alors [a,b]

[a,b]

Proposition Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux. Z On suppose que l’application f garde un signe constant sur [a, b] et que

f = 0. [a,b]

Si f est continue en un point x0 de [a, b], alors f (x0 ) = 0.

En particulier, si f est continue sur [a, b], alors f est identiquement nulle. Remarques Z – Si f ≥ 0 est continue en un point x0 de [a, b] et si f (x0 ) > 0, alors

f > 0. Z Donc si f est continue ≥ 0 mais non identiquement nulle sur [a, b], alors f > 0. Z Z [a,b] f< g. – Si f et g sont continues, si f ≤ g sur [a, b] et si f 6= g, alors [a,b]

[a,b]

Proposition (in´egalit´e de la moyenne) Soient f, g deux applications continues par morceaux de [a, b] dans IR.

Alors on a l’in´egalit´e :

f g ≤ sup |f | |g|. [a,b] [a,b] [a,b]

En particulier :

≤ |f | ≤ (b − a) sup |f (x)|. [a,b]

[a,b]

x∈[a,b]

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D´ efinition (valeur moyenne d’une application) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux. Z 1 f est appel´e valeur moyenne de f sur [a, b]. La quantit´e b−a [a,b]

Remarques 1 – On a inf f ≤ b−a [a,b]

Z f ≤ sup f . Si f est continue, ∃ c ∈ [a, b] tel que

[a,b]

f = (b − a)f (c). [a,b]

Z – La valeur moyenne λ de f vérifie l’égalité

Z f =

[a,b]

λ : c’est le r´eel par lequel on peut [a,b]

remplacer f sans changer l’intégrale de f . Sur la figure .4 les deux aires hachurées sont donc égales.

Fig. .4 – Interpr´etation de la valeur moyenne

Proposition (in´egalit´e de Cauchy-Schwarz) Z Soient f, g : [a, b] → IR, continues par morceaux. Alors on a

2 fg

[a,b]

Z ≤

f [a,b]

g2.

[a,b]

Si f, g sont continues, il y a ´egalit´e⇔ f, g sont proportionnelles. Proposition (relation de Chasles) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux, et soit c un point de ]a, b[. Z Z Z Alors f est continue par morceaux sur [a, c] et sur [c, b], et on a : f= f+ [a,b]

[a,c]

[c,b]

Remarques diverses – Extension aux applications d´ efinies “presque partout” Si f est continue par morceaux sur [a, b] et si g ne diff`ere Z de f qu’en Z un nombre fini de points, alors g est encore continue par morceaux sur [a, b], et

f= [a,b]

g. [a,b]

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Si f est définie sur [a, b] sauf peut-être en un nombre fini de points x0 = a < x1 < . . . < xn = b, et si la restriction de f à chaque ]xk , xk+1 [ est prolongeable par continuité a` [xk , xk+1 ], on peut donc encore définir l’intégrale de f , en donnant à f une valeur quelconque en chacun des xk . – Invariance de l’int´ egrale par translation Soit f : [a, b] → IR, continue par morceaux. Soit α un nombre réel. On définit l’application g de J = [a + α, b + α] dans IR par g(t) = f (t − α). Z Z Alors g est continue par morceaux sur J et g= f. J

II.4

Extension de la d´ efinition et nouvelle notation

Dans cette section, I d´esigne un intervalle de IR, d’int´erieur non vide. D´ efinition Soit f : I → IR, continue par morceaux. Pour tous points a, b de I, on note : Z b Z Z b Z Z b Si a < b, f= f; Si a > b, f =− f; Si a = b, f = 0. a

[a,b]

[b,a]

Remarques Z b – La notation f est donc valable pour deux points quelconques Z ba, b d’un Z aintervalle I sur a lequel f est continue par morceaux. On v´erifie que ∀ (a, b) ∈ I 2 , f =− f. a

– Les propriétés relatives à la linéarité restent valables, mais celles qui sont relatives à la positivité et a` la croissance dépendent de la position respective des bornes de l’intégrale (le mieux est de vérifier que ces bornes sont “dans le bon sens”.) R

Par exemple, l’in´egalit´e de la moyenne devient : ∀ (a, b) ∈ I 2 , a f ≤ |b − a| sup |f |. [a,b]

– Soit f : I → IR, continue par morceaux, et soient a, b, c trois points quelconques de I. Z b Z c Z b On a toujours la relation de Chasles : f= f+ f Z cn a a c n−1 Z ck+1 X On peut g´en´eraliser a` une suite finie c1 , . . . , cn de points de I : f= f. c1

k=1

– L’inégalité de Cauchy-Scharz sur [a, b] reste valable, indépendamment de la position de a, b. Notation Z On note souvent

Z f (t) dt plutˆot que

f . Dans cette notation t est une variable muette. a

Cette notation s’av`ere pratique dans le calcul des int´egrales par changement de variable.

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Utilisation d’une translation, de la parit´ e, de la p´ eriodicit´ e Z b Z b+α – L’invariance de l’intégrale par translation s’écrit : f (t) dt = f (t − α) dt. a a+α Z a Z a Z a – Si l’application f est paire, alors f =2 f . Si f est impaire, alors f = 0. −a 0 −a Z b+kT Z b – Si f est T -périodique sur IR, alors pour tout k de ZZ : f= f. a+kT a Z a+T Z b+T On a également l’égalité f= f. a

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III III.1

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Calcul approch´ e des int´ egrales Convergence des sommes de Riemann

D´ efinition (sommes de Riemann) Soit f une application, définie sur le segment [a, b] et a` valeurs réelles. Soit S = {x0 = a, x1 , . . . , xn = b} une subdivision de [a, b]. Pour chaque k de {0, . . . , n − 1}, on choisit un réel ξk dans [xk , xk+1 ]. n−1 P La quantité RS (f ) = (xk+1 − xk )f (ξk ) est appelée somme de Riemann de f associée à k=0

la subdivision S (et au choix des abscisses ξk .) Remarque Un cas particulier classique est celui o` u la subdivision S est régulière, c’est-à-dire formée en divisant [a, b] en n sous-segments de même longueur h = b−a n . Pour tout k de {0, . . . , n}, on a alors xk = a + kh. On choisit souvent ξk = xk , o` u ξk = xk+1 , ou encore ξk = 12 (xk + xk+1 ). n−1 P Les sommes de Riemann ainsi construites s’écrivent RS = b−a f (ξk ) n k=0

Interpr´ etation g´ eom´ etrique RS (f ) est la somme des aires algébriques des zones rectangulaires de base [xk , xk+1 ] et de hauteur f (ξk ). Sur la figure .5, toutes ces aires sont comptées positivement. On imagine que lorsque le pas de S tend vers 0, la somme RS (f ) tend vers l’aire algébrique comprise entre Ox et la courbe y = f (x), c’est-à-dire vers l’intégrale de f sur [a, b].

Fig. .5 – Interprétation géométrique d’une somme de Riemann 11 c Page 11 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Proposition (convergence des sommes de Riemann) Soit f : [a, b] → IR une application continue par morceaux. Soit ε un réel strictement positif. Alors il existe un réel δ > 0 tel que pour toute subdivision S de [a, b] de pas inférieur ou

Z b

´egal a` δ on ait :

f (x) dx − RS (f ) ≤ ε. a

Proposition (Cas particulier) Soit f : [a, b] → IR continue par morceaux. Z b n−1 1 P b−a 1 Alors on a l’´egalit´e lim n f a + k n = b−a f (x) dx. n→∞

k=0

Remarques – Dans ce r´esultat, on peut remplacer

n−1 P k=0

par

n P k=0

ou par

n P

: cela ne change rien.

k=1

– La proposition précédente permet de calculer des limites de suites dont le terme général peut être interprété comme une somme de Riemann. Il est recommandé de comparer un avec la forme générale d’une somme de Rimeann, pour éviter toute erreur sur le segment [a, b] et sur l’application f . 1 1 1 Posons par exemple : un = n+1 + n+2 + · · · + 2n . n P 1 On constate que un = n1 f a + k b−a n , avec a = 0, b = 1 et f (x) = 1+x . k=1 Z b Z 1 dx 1 f (x) dx = On en déduit lim un = b−a 1+x = ln 2. n→∞

III.2

M´ ethode des trap` ezes

Proposition Soit f : [α, β] → IR une application de classe C 2 . Soit M2 (f ) = sup |f 00 |. [α,β]

Soit ϕ : [α, β] → IR l’application affine telle que ϕ(α) = f (α) et ϕ(β) = f (β).

(t − α)(β − t)

∀ t ∈ [α, β], f (t) − ϕ(t) ≤ M2 (f ). 2 Z β Z β f (α) + f (β) (β − α)3 On a ϕ(t) dt = (β − α) et (t − α)(β − t) dt = . 2 6 α α

Z β

(β − α)3 f (α) + f (β)

On en d´eduit

f (t) dt − (β − α) ≤ M2 (f ). 2 12 α

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Sur le schéma ci-contre, on voit comment on approche l’intégrale de f sur [α, β] par celle de ϕ. Graphiquement, on approche l’aire du domaine situé entre l’axe Ox et la courbe y = f (x) par celle du trapèze construit sur les points (α, 0), (β, 0), (α, f (α)), (β, f (β)). Soit f : [a, b] → IR une application de classe C 2 . Soit M2 (f ) = sup |f 00 |. [a,b]

La méthode des trapèzes consiste a` décomposer l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles égaux [xk , xk+1 ] et à appliquer sur chacun d’eux l’approximation Z xk+1 Z xk+1 f (xk ) + f (xk+1 ) b−a f (t) dt ≈ (xk+1 −xk ) c’est-à-dire f (t) dt ≈ (f (xk )+f (xk+1 )) 2 2n xk xk Après sommation, on en déduit l’approximation suivante de l’intégrale de f sur [a, b] : Z a

n−2 n−1 b−aX b − a f (a) + f (b) X f (xk ) (f (xk ) + f (xk+1 )) = + f (t) dt ≈ In (f ) avec In (f ) = 2n k=0 n 2 k=1

Un majorant de l’erreur commise sur [xk , xk+1 ] est

(b − a)3 (xk+1 − xk )3 M2 (f ) = M2 (f ). 12 12n3

Z b

(b − a)3

Une majoration de l’erreur globale sur [a, b] est donc

f (t) dt − In (f ) ≤ M2 (f ). 12n2 a Remarques Si f ne change pas de concavit´e, alors on connait le sens de l’erreur dans cette m´ethode : Z b Si f est concave sur [a, b], alors In (f ) ≤ f (t) dt (cf. figure ci-dessus) a Z b Si f est convexe, alors f (t) dt ≤ In (f ). a

Il y a bien d’autres méthodes d’approximation des intégrales, mais seule la méthode des trapèzes est explicitement au programme.

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Primitives et int´ egrale d’une fonction continue

Dans cette section, I est un intervalle de IR, d’int´erieur non vide.

IV.1

Le th´ eor` eme fondamental et ses cons´ equences

D´ efinition (primitive sur un intervalle) Soit f une application de I dans IR. On dit qu’une application F : I → IR est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x de I : F 0 (x) = f (x). Proposition (relation entre les primitives d’une même fonction) Soit f une application I dans IR admettant une primitive F sur I. Soit G une application de I dans IR. G est une primitive de f sur I ⇔ il existe une constante λ telle que, pour tout x de I, G(x) = F (x) + λ. Proposition (primitive prenant une valeur donnée en un point donné) Soit f : I → IR, admettant une primitive F sur I. Soient a dans I et λ dans IR. Il y a une seule primitive G de f telle que G(a) = λ. Elle est donnée par G = F − F (a) + λ. En particulier, H = F − F (a) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a. Th´ eor` eme (le théorème “fondamental”) Si f : I → IR est une application continue, elle admet des primitives sur I. Z

Celle de ces primitives qui s’annule en un point a de I est donn´ee par F : x 7→

f (t) dt. a

Proposition (expression d’une int´egrale a` l’aide d’une primitive quelconque) Soit f : I → IR une application continue. Z b 2 Pour toute primitive F de f , on a : ∀ (a, b) ∈ I , f (t) dt = [F ]ba = F (b) − F (a). a

Remarque Z b 2 1 f 0 (t) dt = f (b) − f (a). Si f est de classe C sur I, on a : ∀ (a, b) ∈ I , a

Proposition (intégrale fonction de sa borne supérieure) Soit f : I → IR une application continue par morceaux. Soit a un point de I. Z x L’application F : x 7→ f (t) dt est appelée intégrale fonction de sa borne supérieure. a

L’application F est continue sur l’intervalle I. Soit x0 un point de I (distinct de l’extrémité droite de I). Alors F est dérivable à droite en x0 et Fd0 (x0 ) = lim f (x). x→x0 +

Soit x0 un point de I (distinct de l’extrémité gauche de I). Alors F est dérivable à gauche en x0 et Fg0 (x0 ) = lim f (x). x→x0 −

On retrouve que si f est continue sur I, alors F est de classe C 1 sur I et F 0 = f . 14 c Page 14 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Exemples

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f (x) = 0 si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 1 si 1 < x ≤ 2 Z x Soit F l’application d´efinie sur [0, 2] par F (x) = f (t) dt.

– Soit f l’application d´efinie sur [0, 2] par

On constate que F (x) = 0 sur [0, 1] et que F (x) = x − 1 sur [1, 2]. L’application F est donc continue sur [0, 1]. Elle n’est pas d´erivable en x = 1 car f n’est pas continue en ce point. On constate cependant que Fg0 (1) = 0 = lim f (x) et que Fd0 (1) = 1 = lim f (x). x→1−

x→1+

– L’application “partie enti`ere” f : x 7→ E(x) est continue par morceaux sur IR. Z x E(x)+1 . Pour tout x de IR, on a F (x) = f (t) dt = E(x) x − 2 0

L’application F est continue sur IR, mais n’est pas d´erivable aux points k de ZZ. On a cependant Fg0 (k) = k − 1 = lim f (x) et Fd0 (k) = k = lim f (x). x→k−

x→k+

Proposition (int´egrale fonction de ses bornes) Soit f une application continue de I dans IR. Soient u et v deux applications de classe C 1 , de J dans IR, telles ques u(J) ⊂ I et v(J) ⊂ I. Z

v(x)

f (t) dt est de classe C 1 .

L’application G de J dans IR d´efinie par G(x) = u(x)

Sa d´eriv´ee est : ∀ x ∈ J, G0 (x) = v 0 (x)f (v(x)) − u0 (x)f (u(x)).

IV.2

M´ ethodes de calcul des int´ egrales

Si l’intégrale cherchée ne peut pas être obtenue immédiatement par utilisation d’une primitive usuelle, on cherche souvent a` transformer l’intégrale initiale en une ou plusieurs autres que l’on sait calculer. Voici à cet effet un certain nombre de méthodes courantes. Proposition (intégration par parties) Z

Soient f, g : [a, b] → IR, de classe C . Alors

fg =

[f g]ba

Z −

f 0 g.

Proposition (intégrations par parties répétées) Soient f et g deux applications de classe C n sur le segment [a, b]. n−1 b Z b Z b P (n) k (k) (n−1−k) n On a alors l’égalité : fg = (−1) f g + (−1) f (n) g. k=0

f g 00 = f g 0 − f 0 g

– Si n = 2 :

b 000

0 0

Z +

f 00 g.

a 00

fg = fg − f g + f g

– Si n = 3 : a

Z −

f 000 g.

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Proposition (changement de variable) Soient I et J deux intervalles de IR d’intérieur non vide. Soit f : I → IR, continue. Soit ϕ : J → IR, de classe C 1 , telle que ϕ(J) ⊂ I. Z b Z ϕ(b) 0 Alors, pour tous points a et b de J, on a l’égalité : (f ◦ ϕ) ϕ = f. a

ϕ(a)

Remarques – La formule s’étend au cas o` u f est seulement continue par morceaux, mais il est alors nécessaire que ϕ soit strictement monotone sur [a, b]. Z d Z b c = ϕ(a) 0 f (x) dx, o` u – Le résultat précédent peut aussi s’écrire : ϕ (t)f (ϕ(t)) dt = d = ϕ(b) c a Cette égalité peut être utilisée dans un sens ou dans l’autre selon les cas : Z b Z d 0 Dans le sens ϕ (t)f (ϕ(t)) dt ⇒ f (x) dx. a Z c b On veut calculer g(t) dt et on constate que g(t) se met sous la forme g(t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t). a

On pose alors x = ϕ(t), et on note que quand t = a et t = b alors x = c et x = d. Z b Z b Z d 0 0 On ´ecrit dx = ϕ (t) dt puis g(t) dt = ϕ (t)f (ϕ(t)) dt = f (x) dx. a

Connaissant une primitive de F , on peut mˆeme ´ecrire directement : Z b h ib ϕ0 (t)f (ϕ(t)) dt = F ◦ ϕ(t) = F (ϕ(a)) − F (ϕ(b)) a

Voici trois situations classiques (le changement de variable est donc `a peine visible) : Z b Z b Z b 0 h ib h ϕr+1 (t) ib h ib ϕ (t) 0 r 0 ϕ(t) ϕ(t) ϕ (t) ϕ (t) dt = dt = ln |ϕ(t)| ; ϕ (t) e dt = e ; r+1 a a a a a a ϕ(t) Z d Z b Dans le sens f (x) dx ⇒ ϕ0 (t)f (ϕ(t)) dt. c Z a d On part donc de f (x) dx et on pose (indication, intuition, exp´erience, etc.) x = ϕ(t). c

Dans ce cas, il faut trouver a et b tels que ϕ(a) = c et ϕ(b) = d. Il est préférable de choisir ϕ et l’intervalle sur lequel cette application est définie de manière à ce que ϕ soit bijective : on a alors a = ϕ−1 (c) et b = ϕ−1 (d). Z 1√ h i Par exemple, pour calculer 1 − x2 dx, on pose x = ϕ(t) = sin t, avec t ∈ 0, π2 . 0 √ On a donc 1 − x2 = |cos t| = cos t, et dx = cos t dt. D’autre part, quand x = 0 alors t = 0 et quand x = 1 alors t = π2 . Z 1√ Z π/2 Z 1 π/2 π 2 2 On en déduit : 1 − x dx = cos t dt = (1 + cos(2t)) dt = . 2 0 4 0 0 Z 1√ Remarque : il y a un moyen encore plus simple de calculer 1 − x2 dx (lequel ?) 16

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– Un changement de variable affine permet de transformer une int´egrale sur un segment [a, b] en une int´egrale sur le segment [0, 1] ou sur [−1, 1]. Il suffit pour cela de poser x = a + t(b − a) : quand t parcourt [0, 1], x parcourt [a, b]. Z b Z 1 On obtient alors : f (x) dx = (b − a) g(t) dt, avec g(t) = f (a + t(b − a)). a

De mˆeme, en posant x = a+b + t b−a t parcourt [−1, 1], x parcourt [a, b]. 2 : quand Z 2 Z b

On en déduit l’égalité : a

IV.3

f (x) dx = b−a 2

−1

b−a h(t) dt, avec h(t) = f a+b 2 +t 2 .

Tableau de primitives usuelles

Les r´esultats qui figurent dans le tableau suivant doivent ˆetre parfaitement connus.

f (x)

F (x)

sur

f (x)

F (x)

sur

xα , (α 6= −1)

1 xα+1 α+1

IR+∗

1 1 + x2

arctan x

1 x

ln |x|

IR−∗ , IR+∗

1 1 − x2

1 + x

2 1−x

x 6= ±1

√

a (a 6= 1)

ax ln a

√

√ 1 ln(x + 1 + x2 ) 1 + x2

1 1 − x2 1

sin x

− cos x

cos x

sin x

tan x

sh x

ch x

1 sin x

ch x

sh x

1 cos x

1 cos2 x

tan x

π + kπ 2

1 ch 2 x

x 6=

x2 − 1

arcsin x

] − 1, 1[

√

2 ln x + x − 1

|x| > 1

− ln |cos x|

x 6=

π + kπ 2

ln tan x 6= kπ

x π

ln tan +

x 6= + kπ 2 4 2 th x

1 1 −cotan x x 6= kπ −coth x IR+∗ , IR−∗ 2 2 sin x sh x On peut généraliser quelques-uns des résultats ci-dessus, notamment : Z Z dx 1 x dx 1

x − a

= arctan + λ ; = ln

+λ x 2 + a2 a a x 2 − a2 2a x+a 17 c Page 17 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Compl´ ements sur le calcul des primitives

Très souvent le calcul d’une intégrale se ramène au calcul d’une primitive. Dans ce paragraphe, on va passer Z en revue quelques situations courantes. On note

f (x) dx = F (x) + λ l’ensemble des primitives d’une application f .

1) Par lin´ earit´ eZ. On a bien sˆ ur

λk fk (x) dx = λk fk (x) dx. Z Z √ 1 2 1 x2 x− √ x−2+ dx = − 2x + ln |x| + λ. Par exemple : dx = x 2 x 2) Primitives de sinZp x cosq x. Si on veut calculer sinp x cosq x dx, avec p, q ∈ IN, tout dépend de la parité de p et q. Si p est impair, on peut poser t = cos x (donc dt = − sin x dx). Z Z t7 t5 cos7 x cos5 x 3 4 2 4 Exemple : sin x cos x dx = (t − 1) t dt = − + λ = − + λ. 7 5 7 5 Si q est impair, on peut poser t = sin x (donc dt = cos x dx). Z Z 2t3 t5 2 sin3 x sin5 x 5 + + λ = sin x − + + λ. Exemple : cos x dx = (1 − t2 )2 dt = t − 3 5 3 5 Si p et q sont pairs, on lin´ Z earise. 1 sin 4x sin 2x 3x Exemple : cos4 x dx = (cos 4x + 4 cos 2x + 3) dx = + + + λ. 8 32 4 8 3) Primitives de P (x) eax , o` u P est un polynˆ ome. On peut effectuer des intégrations par parties successives (autant que le degré de P ), mais on doit réserver cette méthode au cas o` u deg P est “petit”. Il est souvent préférable d’utiliser une méthode de coefficients indéterminés, et de chercher une primitive de P (x) eax sous la forme Q(x) eax , avec deg Q = deg P . Z Exemple : On veut calculer (x3 − 2x + 1) e−x dx. Z On pose (x3 − 2x + 1) e−x dx = Q(x) e−x + λ, avec Q(x) = αx3 + βx2 + γx + δ. Par dérivation et identification : (Q(x) e−x )0 = (Q0 (x) − Q(x)) e−x = (−αx3 + (3α − β)x2 + (2β − γ)x + γ − δ) e−x = (x3 − 2x + 1) e−x ⇒ α = −1, Z Ainsi

β = −3,

γ = −4,

δ = −5.

(x3 − 2x + 1) e−x dx = −(x3 + 3x2 + 4x + 5) e−x + λ. 18

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4) Primitives de P (x) sin ax, ou P (x) cos ax, ou P (x) sh ax ou P (x) ch ax. On est ramené au cas précédent en utilisant les formules d’Euler (dans les deux premiers cas, on obtient des intégrales de fonctions à valeurs complexes : ce sujet est traité un peu plus loin dans ce chapitre.) Z ex + e−x Exemple : On veut calculer I = (x3 − 2x + 1) ch x dx. On remplace ch x par . 2 Z Z J +K 3 x On a donc I = , avec J = (x − 2x + 1) e dx et K = (x3 − 2x + 1) e−x dx. 2 On sait déjà que J = −(x3 + 3x2 + 4x + 5) e−x + λ (voir exemple précédent). Une méthode analogue donne K = (x3 − 3x2 + 4x − 3)ex + λ. On en déduit : I = 21 ex (x3 − 3x2 + 4x − 3) − 12 e−x (x3 + 3x2 + 4x + 5) + λ. Dans le résultat, on peut remplacer ex par ch x + sh x et e−x par ch x − sh x. Tout calcul fait, on trouve : I = −(3x2 + 4) ch x + (x3 + 4x + 1) sh x. Remarque : Si les coefficients de P sont réels, on a intérêt à écrire : Z Z Z Z iax P (x) sin(ax) dx = Im P (x) e dx et P (x) cos(ax) dx = Re P(x) eiax dx Z Z 4 4 ix Exemple : On veut calculer J = x cos x dx. On écrit J = Re x e dx . Z La méthode d’identification donne x4 eix dx = −eix (ix4 − 4x3 − 12ix2 + 24x + 24i) + λ. On en Z déduit : J = x4 cos x dx = x4 sin x + 4x3 cos x − 12x2 sin x − 24x cos x + 24 sin x + λ = (x4 − 12x2 + 24) sin x + 4(x3 − 6x) cos x + λ 5) Utilisation de r´ ecurrences. Z Dans le calcul de In =

fn (x) dx, il est parfois possible de trouver une relation de r´ecurrence

entre In et In−1 et/ou In−2 (en général par une intégration par partie.) Z Z n Exemple : calcul de In = sin x dx ou Jn = cosn x dx (intégrales de Wallis) On suppose n ≥ 2 et on intègre par partie sin x sinn−1 x en dérivant sinn−1 x. Z Z n n−1 On trouve : In = sin x dx = − cos x sin x + (n − 1) cos2 x sinn−2 x dx Z n−1 = − cos x sin x + (n − 1) (1 − sin2 x) sinn−2 x dx = − cos x sinn−1 x + (n − 1)(In−2 − In ) 1 n−1 On en déduit : In = − cos x sin x + (n − 1)In−2 n Connaissant I0 = x + λ et I1 = − cos x + λ, on peut ainsi trouver tous les In . 19 c Page 19 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Z Exemple : calcul de In =

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dx (a2 + x2 )n

1 : On intègre par parties, en intégrant 1 et en dérivant 2 (a + x2 )n Z Z x2 (a2 + x2 ) − a2 x x In = 2 + 2n dx = + 2n dx (a + x2 )n (a2 + x2 )n+1 (a2 + x2 )n (a2 + x2 )n+1 i x 1 h x 2 = 2 + 2n(In − a In+1 ) ⇒ In+1 = + (2n − 1)In (a + x2 )n 2na2 (a2 + x2 )n Connaissant I1 = a1 arctan xa + λ, on en déduit In pour tout n de IN∗ . Z dx Remarque : autre méthode pour In = 2 (a + x2 )n On effectue le changement de variable x = a tan t. Ainsi dx = a(1 + tan2 t) dt. Z Z dt 1 On trouve : In = = 2n−1 cos2n−2 t dt. a2n−1 (1 + t2 )n−1 a On est ainsi ramené au calcul d’une intégrale de Wallis. 6) Primitives des fractions rationnelles. On décompose en éléments simples dans IR, puis on intègre ces éléments simples. Seuls ceux qui sont de seconde espèce posent problème. λx + µ On doit donc intégrer des expressions comme f (x) = 2 , o` u b2 − 4c < 0. (x + bx + c)n λ(2x + b) 2µ − λb On écrit f (x) = + . 2 n 2 2(x + bx + c) 2(x + bx + c)n 2x + b u0 (x) s’int` e gre facilement car elle est du type . La fonction g(x) = 2(x2 + bx + c)n u(x) 1 b 2 1√ 2 2 2 Il reste a` intégrer h(x) = 2 . Or x + bx + c = x + + a , avec a = 2 2 4c − b . (x + bx + c)n Z Z dx dt b Le changement de variable x = t − 2 donne : = . (x2 + bx + c)n (t2 + a2 )n On est ainsi ramené a` une intégrale qu’on sait calculer (exemple précédent). Remarque : si on ajoute a` ce calcul le temps de la décomposition en éléments simples, il est clair que tout cela peut prendre beaucoup de temps. Z dx Exemple (très simple) : calcul de I = 2 x(x + 2x + 5) 1 1 x+2 1 2x + 2 1 = − = − − x(x2 + 2x + 5) 5x 5(x2 + 2x + 5) 5x 10(x2 + 2x + 5) 5(x2 + 2x + 5) 1 2x + 2 1 = − − 2 5x 10(x + 2x + 5) 5((x + 1)2 + 22 ) Z dx 1 1 1 x+1 2 Conclusion : = ln |x| − ln(x + 2x + 5) − arctan + λ. x(x2 + 2x + 5) 5 10 10 2 20 c Page 20 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Cas des fractions rationnelles impaires A(x2 ) , o` u A, B sont des polynômes. Une fraction rationnelle impaire R(x) s’écrit R(x) = x B(x2 ) Le changement de variable t = x2 permet alors d’abaisser le degré pratiquement de moitié. Par exemple : Z Z Z dx dt 1 1 1 − dt = = − x(x2 + 1)2 2t(t + 1)2 2t 2(t + 1)2 2(t + 1) 1 1 1 − ln(t + 1) + λ = ln t + 2 2(t + 1) 2 1 1 − ln(x2 + 1) + λ = ln |x| + 2 2(x + 1) 2 Autres possibilité d’abaisser le degré Il arrive qu’on puisse abaisser le degré de manière plus spectaculaire. Par exemple, avec le changement de variable t = x5 : Z Z dx dt 1 1 1 = = ln |t| + − ln(t + 1) + λ 5 2 2 x(x + 1) 5t(t + 1) 5 5(t + 1) 5 1 1 − ln(x5 + 1) + λ = ln |x| + 5 5(x + 1) 5 Expérience : calculer l’intégrale précédente avec Maple, ou une TI-89, et commenter. 7) “R` egles de Bioche”. On considère ici des expressions rationnelles R(sin x, cos x, tan x), c’est-à-dire formées par des sommes, des produits et des puissances entières. Les règles de Bioche consistent à proposer un changement de variable quand l’expression R(sin x, cos x, tan x) dx est invariante dans une certaine transformation. Ces changements de variable conduisent à une fraction rationnelle. On a “l’invariant du cosinus” si R(sin x, cos x, tan x) dx est inchangé dans x 7→ −x. Dans ce cas, on peut faire le changement de variable t = cos x. Z Z

dx dt 1

1 − t

1 − cos x

Exemple : = = ln

+ λ = ln

+ λ = ln tan + λ sin x t2 − 1 2 1+t 2 1 + cos x 2 On a “l’invariant du sinus” si R(sin x, cos x, tan x) dx est inchang´e dans x 7→ π − x. Dans ce cas, on peut faire le changement de variable t = sin x. Z Z Z 2 cos x dx cos x dx dt Exemple : = arctan t + λ = arctan sin x + λ. = = 2 3 − cos 2x 1 + t2 1 + sin x On a “l’invariant de la tangente” si R(sin x, cos x, tan x) dx est inchang´e dans x 7→ x + π. Dans ce cas, on peut faire le changement de variable t = tan x. Z Z dx dt Exemple : = = ln |t| + λ = ln |tan x| + λ. sin x cos x t 21 c Page 21 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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8) Fractions trigonom´ etriques R(sin x, cos x, tan x) sans invariant On se place dans le cas précédent, mais on suppose que la fraction en sin x, cos x, tan x ne présente pas d’invariant. Dans ce cas, on peut toujours effectuer le changement t = tan x2 , qui ramène a` une fraction rationnelle. l’inconvénient est que le degré est doublé. Les règles de Bioche sont donc prioritaires si elles sont applicables. 1 − t2 2t 2t x = On rappelle que sin x = , cos , tan x = . 2 2 1+t 1+t 1 − t2 1 x 1 2 dt x 1 + tan2 dx = (1 + t2 ) dx ⇒ dx = . D’autre part, t = tan ⇒ dt = 2 Z 2 2 1 + t2 Z Z 2 dx 2 dt 2 dt 1 2 Exemple : = = =− x +λ 2 2 2t 1 + sin x 1+t (1 + t) 1 + tan 1+ 2 1 + t2 9) Fractions trigonom´ etriques R(sh x, ch x, th x) On peut s’inspirer des règles de Bioche. Pour cela on imagine de remplacer les fonctions hyperboliques par les fonctions circulaires correspondantes, et s’il y a par exemple l’invariant du sinus alors on effectue le changement de variable t = sh x dans l’intégrale initiale. On peut aussi utiliser le changement de variable t = th x2 . Le changement de variable u = ex ramène lui aussi a` une fraction rationnelle. u2 − 1 u2 − 1 u2 + 1 du On a sh x = , ch x = , th x = 2 , et u = ex⇒ du = u dx⇒ dx = . 2u 2u u +1 u r 10) Un premier type d’int´ egrale “ab´ elienne” ax + b On doit intégrer une fraction rationnelle R(x, y), o` uy= n . cx + d On effectue le changement de variable défini par y. 11) Un second type d’int´ egrale “ab´ elienne” √ On doit intégrer une fraction rationnelle R(x, y), o` u y = ax2 + bx + c. On pose y 2 = ax2 + bx + c et on se ramène à l’une des trois formes canoniques suivantes : y 2 = α2 ((x + λ)2 + µ2 ) ⇒changement de variable x + λ = µ sh t. y 2 = α2 ((x + λ)2 − µ2 ) ⇒changement de variable x + λ = ± µ ch t. y 2 = α2 (µ2 − (x + λ)2 ) ⇒changement de variable x + λ = µ sin t. √ √ √ On retiendra surtout que la présence de 1 + x2 , 1 − x2 ou x2 − 1 incite à effectuer les changements de variables définis respectivement par x = sh t, x = sin t ou x = ± ch t. Z dx Exemple : on veut calculer . (x(2 − x))3/2 p On écrit y = x(2 − x) puis y 2 = x(2 − x) = 2x − x2 = 1 − (x − 1)2 . √ On pose alors x − 1 = sin t. Ainsi dx = cos t dt et y = cos2 t = cos t. Z Z Z dx dx dt x−1 On en déduit : = = = tan t + λ = p + λ. 3/2 3 2 y cos t x(2 − x) (x(2 − x)) 22 c Page 22 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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VI VI.1

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Fonctions ` a valeurs complexes Limites et continuit´ e des fonctions ` a valeurs complexes

D´ efinition Soit f : I → Cl une application. Soit a un élément ou une extrémité de I (éventuellement a = ±∞). Soit ` un nombre complexe. On dit que ` est limite de f en a si : Dans le cas a ∈ IR : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tq (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ |f (x) − `| ≤ ε. Dans le cas a = +∞ : ∀ ε > 0, ∃ A ∈ IR tel que x ≥ A ⇒ |f (x) − `| ≤ ε. Dans le cas a = −∞ : ∀ ε > 0, ∃ A ∈ IR tel que x ≤ A ⇒ |f (x) − `| ≤ ε. Si a ∈ I, on dit que f est continue en a si lim f (x) = f (a), c’est-à-dire si : x→a

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tq (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε. Proposition Soit f : I → Cl une application. Soient g = Re (f) : I → IR et h = Im (f ) : I → IR. Soit a un point de I ou une extr´emit´e de I. Soit ` = α + iβ ∈ C, l avec α, β ∈ IR. ( lim g(x) = α x→a Alors lim f (x) = ` ⇔ x→a lim h(x) = β x→a

En particulier, f est continue en a ⇔ g, h sont continues en a. L’existence d’une limite et la continuité d’une fonction a` valeurs complexes se ramènent donc à l’existence de limites ou à la continuité de deux applications a` valeurs réelles. Il en découle que de nombreuses propriétés établies pour des fonctions a` valeurs réelles s’étendent sans difficulté au cas des fonctions à valeurs complexes. Citons notamment : – Pour les limites : unicité, caractérisation par les suites, opérations. – Pour la continuité : opérations, caractérisation par les suites. Notions d’application continue sur un intervalle. Notion d’application uniformément continue, ou d’application lipschitzienne : les rapports de ces deux notions entre elles et avec la continuité sont inchangés. Une application continue sur un segment est encore bornée. – On définit encore la notion d’application continue par morceaux. L’application f : I → Cl est continue par morceaux⇔ Re (f) et Im (f ) le sont. En revanche, la spécifité de IR fait qu’un certain nombre de propriétés ne sont pas conservées. Citons notamment : – Pour les limites : tout ce qui concerne la relation d’ordre dans l’ensemble d’arrivée (on pense au “théorème des gendarmes” par exemple.). – Pour la continuité : l’image d’un intervalle n’est plus un intervalle. Il n’y a donc plus de théorème des valeurs intermédiaires, ni de théorème de la bijection réciproque. 23 c Page 23 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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VI.2

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D´ erivabilit´ e des fonctions ` a valeurs complexes

D´ efinition Soit f : I → Cl une application. f (x) − f (a) On dit que f est dérivable en un point a de I si lim existe dans C. l x→a x−a df (a). Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est notée f 0 (a), ou D(f )(a), ou dx Il revient au même de dire qu’il existe ` dans Cl et une application x 7→ ε(x) de I dans C, l vérifiant lim ε(x) = 0 et ε(a) = 0, et tels que : x→a

∀ x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)` + (x − a)ε(x) Le nombre complexe ` est alors égal à f 0 (a). Proposition Soient f : I → C, l g = Re (f) : I → IR et h = Im (f ) : I → IR. Soit a un point de I. f est dérivable en a ⇔ g, h sont dérivables en a, et alors f 0 (a) = g 0 (a) + ih0 (a). De nombreuses propriétés établies pour des fonctions à valeurs réelles s’étendent sans difficulté au cas des fonctions a` valeurs complexes. Citons notamment : – Notion d’application dérivable sur un intervalle, fonctions dérivées successives. Notion d’application de classe C k . Opérations (sommes, produits, quotients) sur les applications dérivables. – Pour la composition des applications dérivables, la propriété subsiste à condition de considérer g ◦ f , o` u f : I → IR et g : J → C, l avec f (I) ⊂ J. – La formule de Leibniz est toujours valable. Il y a toujours une formule de Taylor-Young, qui permet de généraliser la notion de développement limité. – Dans la pratique la partie réelle et la partie imaginaire du développement limité de f : I → Cl sont les développements limités de Re (f) et de Im (f ). Voici des propriétés qui ne se généralisent pas aux fonctions à valeurs complexes. – Il n’y a plus de dérivation de la “bijection réciproque”. – La notion d’extrémum local est liée a` la relation d’ordre dans l’ensemble d’arrivée et ne s’applique donc pas aux fonctions à valeurs dans C. l – Important : le théorème de Rolle et celui des accroissements finis ne sont plus valables ! Exemple : on considère l’application f : [0, 2π] → Cl définie par f (t) = eit . On a f (0) = f (2π) mais la dérivée f 0 (t) = ieit ne s’annule jamais. – En revanche, on a toujours l’inégalité des accroissements finis |f (a) − f (b)| ≤ |b − a| sup |f 0 |. En particulier la caractérisation des applications constantes par leur dérivée nulle, et celle des applications lipschitziennes par leur dérivée bornée sont toujours valables. – De la même manière deux applications dérivables f, g : I → Cl ont la même dérivée sur I si et seulement si elles diffèrent d’une constante sur I. 24 c Page 24 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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– Bien sˆ ur, parler de signe de la dérivée et de monotonie n’a pas de sens pour f : I → C. l – De même, tout ce qui concerne la convexité ne s’applique qu’aux fonctions à valeurs réelles.

VI.3

Int´ egration des fonctions ` a valeurs complexes

D´ efinition Soit f : I → Cl une application continue par morceaux. Z Z Pour tous points a, b de I, avec a ≤ b on pose f= [a,b] b

Z Pour a, b quelconques dans I, on a donc

Re (f) + i

[a,b]

Z f (t) dt =

Z Im (f). [a,b]

Z Re (f)(t) dt + i

Im (f)(t) dt a

Voici un certain nombre de propriétés qui s’étendent au cas des fonctions à valeurs dans C. l – On a toujours la linéarité de l’intégrale – On a toujours les inégalités de la moyenne (avec ici a ≤ b) :

Z Z

≤ sup |f |

≤

f g |g| et f |f | ≤ (b − a) sup |f (x)|

[a,b]

x∈[a,b]

[a,b]

– La relation de Chasles est encore valable. – Les méthodes de calcul des intégrales continuent à s’appliquer (parité, périodicité, intégration par partie, changement de variable). – On a toujours la propriété de convergence des sommes de Riemann. L’approximation par la règle des trapèzes s’applique encore (même si on ne peut plus guère parler de “trapèze”.) – On a encore le “théorème fondamental” : Z x Si f : I → Cl est une application continue, elle admet des primitives sur I. Celle de ces primitives qui s’annule en un point a de I est donnée par F : x 7→ f (t) dt. a On en déduit les mêmes conséquences : Z b

Pour toute primitive F de f continue, on a : f (t) dt = [F ]ba = F (b) − F (a). a Z b En particulier, si f est de classe C 1 , f 0 (t) dt = f (b) − f (a). a

– La formule de Taylor avec reste intégral est encore valable. – Il en est de même de l’inégalité de Taylor-Lagrange. l En revanche voici des propriétés qui ne se généralisent pas aux fonctions a` valeurs dans C. – Il n’est plus question de positivité et de croissance de l’intégrale. – L’inégalité de Cauchy-Schwarz doit être modifiée. Z b 2 Z b Z b 2 On montre que cette inégalité devient fg ≤ |f | |g|2 . a

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´matiques Cours de Mathe ´gration des fonctions nume ´riques Inte Partie VII : Int´egration sur un intervalle quelconque www.math-sup.blogspot.com

VII

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Int´ egration sur un intervalle quelconque

On considère des applications définies sur un intervalle I de IR, à valeurs dans IK (IR ou C). l On note C(I, IK) l’ensemble des applications continues de I dans IK. Z Dans cette section, on cherche à étendre la signification du symbole n’est pas un segment ou quand l’application f n’est pas bornée.

f quand l’intervalle I I

Pour cela on commence par effectuer cette g´en´eralisation pour des fonctions a` valeurs dans IR+ .

VII.1

Int´ egrabilit´ e des fonctions continues ` a valeurs positives

Dans ce paragraphe on considère des applications f de I dans IR+ . D´ efinition Soit f un élément de C(I, IR+ ). On dit que f est intégrable ou encoreZ sommable sur I s’il existe un réel M ≥ 0 tel que pour tout sous-segment J de I, on ait : f ≤ M. J Z Z On note alors f la borne supérieure des f , pour tous les sous-segments J de I. I J Z La quantité positive ou nulle f est appelée intégrale de f sur l’intervalle I. I

Notation On note L1 (I, IR+ ) l’ensemble des fonctions int´egrables de I dans IR+ . Exemples – L’application x 7→ f (x) = e

−x

est int´egrable sur IR et

f = 1. Z 1 – L’application x 7→ f (x) = √ est intégrable sur I =]0, 1] et f = 2. x ]0,1] Z 1 – L’application x 7→ f (x) = est intégrable sur IR et f = π. 1 + x2 IR 1 1 – L’application x 7→ f (x) = 2 est intégrable sur IR+∗ , mais pas x 7→ f (x) = . x x Remarques – Supposons que l’intervalle I soit réduit a` un point a. Alors toute application f définie en a est intégrable sur I = {a} et d’intégrale nulle... Z – Si I est un segment [a, b], on connait déjà le sens de f. IR+

[a,b]

L’application f est ur intégrable sur [a, b] au sens de la définition ci-dessus, et la valeur Z bien sˆ de son intégrale f ne change pas ! [a,b]

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VII.2

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Propri´ et´ es de l’int´ egrale des fonctions positives

Proposition (Intégrabilité par réunion croissante) Soit f un élément de C(I, IR+ ). On suppose qu’il existe une suite croissante (Jn )n≥0 de sous-segments de I tels que : [ Jn = J (on dit que la suite (Jn ) est exhaustive.) – L’intervalle I est la réunion des Jn : Z Z n∈IN + – La suite f est majorée : il existe M dans IR tel que f ≤ M pour tout n. n≥0 Jn Jn Z Z Alors f est intégrable sur I et on a : f = sup f. n∈IN

Remarques Z Z – Réciproquement, si f est intégrable sur I, alors on a l’égalité f = sup n∈IN

f pour toute

suite (Kn )n≥0 (croissante et exhaustive) de sous-segments de I. – Notons a et b les extrémités gauche et droite de I avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞. f est intégrable sur I ⇔ il existe une suite (an ) décroissante de limite (bn ) Z Z a, et une suite Z croissante de limite b, telles que la suite f converge. On a alors : f = lim f. [an ,bn ]

n→+∞

[an ,bn ]

Proposition (Intégrabilité par partition de l’intervalle) Soit f un élément de C(I, IR+ ). Soit c un élément de I. Notons Ig = I ∩ ] − ∞, c] et Id = I ∩ [c, +∞[. Z Z Z f est intégrable sur I ⇔elle l’est sur Ig et sur Id . On a alors f = f+ f. I

Cons´ equences – Supposons par exemple que l’application f soit continue sur IR+∗ . Alors f est int´egrable sur IR+∗ ⇔ elle l’est sur ]0, 1] et sur [1, +∞[. Z Z Z Dans ce cas on a : f= f+ f. IR+∗

]0,1]

[1,+∞[

– Soit f un élément de C([a, b[, IR+ ), avec a < b ≤ +∞ (le “problème” est donc en b). Soit c un élément de [a, b[. L’application f est donc continue sur [a, c]. Dans ces conditions, f est intégrable sur [a, b[ ⇔ elle l’est sur [c, b[. Z Z Z On a alors l’égalité f= f+ f. [a,b[

[a,c]

[c,b[

– De même, supposons que f soit continue sur ]a, b] (le “problème” est en a.) Soit c un élément de ]a, b] : f est intégrable sur ]a, b] ⇔ elle l’est sur ]a, c]. Z Z Z On a alors l’égalité f= f+ f. ]a,b]

]a,c]

[c,b]

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Proposition (Intégrabilité par translation de l’intervalle) Soit f un élément C(I, IR+ ). Soient α un réel et J l’intervalle se déduisant de I par la translation x → x + α. Soit g l’application définie sur J par : ∀x ∈ J, g(x) = f (x − α). Z Z Alors g est continue sur J, intégrable, et g = f. J

Z Z Exemple 1 1 √ = 2. – L’application g : x 7→ √ est intégrable sur ]1, 2] et g= x x−1 ]1,2] ]0,1] Le changement de variable x → x + 1 a permis ici de se ramener “à l’origine”. Proposition (Intégrabilité par utilisation d’une primitive) Soit f un élément de C([a, b[, IR+ ), avec a < b ≤ ∞. Z Soit F la primitive de f qui s’annule en a : ∀x ∈ [a, b[, F (x) =

f (t) dt. a

Alors f est int´egrable sur I = [a, b[ ⇔ F (qui est croissante) est major´ee. Z On a alors : f = sup F (x) = lim F (x). I

x→b

x∈I

Remarques – On a un r´esultat analogue si f appartient `a C(]a, b], IR+ ), avec −∞ ≤ a < b. Z b En effet, soit G : x → f (t) dt. On a G0 (x) = −f (x) ≤ 0 sur I =]a, b] et G(b) = 0. x

L’application G est donc décroissante sur I =]a, b]. Z Alors f est intégrable ⇔ G est majorée, et on a : f = sup G(x) = lim G(x). I

x∈I

x→a

– Une conséquence des deux résultats précédents est que si l’application f est continue sur [a, b] (donc intégrable sur ce segment) alors elle est intégrable sur chacun des intervalles [a, b[, ]a, b] et ]a, b[, l’intégrale de f restant la même. Les int´ egrales de Riemann 1 – L’application f : x 7→ α est intégrable sur ]0, 1] ⇔ α < 1. x 1 – L’application f : x 7→ α est intégrable sur [1, +∞[ si et seulement si α > 1. x 1 . – Plus généralement, considérons l’application g : x 7→ x |ln x|β i 1i L’application g est intégrable sur 0, , ou sur ]2, +∞[, si et seulement si β > 1. 2

28 c Page 28 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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VII.3

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Op´ erations sur les fonctions int´ egrables positives

Proposition (Additivité de l’intégrale) Soient f et g deux éléments de L1 (I, IR+ ). Z Alors l’application f + g est intégrable sur I et :

Z (f + g) =

Z f+

g. I

Proposition (Produit par un réel positif) Soit f un élément de L1 (I, IR+ ), et soit λ un réel positif. Z Z Alors l’application λf est intégrable sur I et on a l’égalité λf = λ f . I

Proposition (Positivit´e de l’int´egrale) +

Soit f une Z application continue int´egrable de I dans IR . On sait que On a : f = 0 ⇔ f est l’application nulle sur I.

Z f ≥ 0. I

Proposition (Croissance de l’intégrale) Soit f et g deux applications continues de I dans IR+ . On suppose que pour tout x de I, on a l’inégalité : 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Z Z Si g est intégrable sur I alors f est intégrable sur I et on a l’inégalité f ≤ g. I

VII.4

Int´ egrabilit´ e des fonctions continues ` a valeurs complexes

Dans ce paragraphe, on définit l’intégrabilité d’une fonction continue sur un intervalle et a` valeurs complexes, mais dans un premier temps on ne définit pas l’intégrale d’une telle fonction. D´ efinition Soit f une application de I dans C, l continue par morceaux. On dit que f est intégrable sur I si l’application |f | est intégrable. On note L1 (I, C) l l’ensemble des applications intégrables sur I et à valeurs dans C. l Proposition Si f, g sont intégrables sur I, et si α, β ∈ C, l alors αf + βg est intégrable sur I. 1 Autrement dit l’ensemble L (I, C) l est stable par combinaisons linéaires. Proposition (Intégrabilité par domination) Soit f : I → Cl une application continue. Soit ϕ : I → IR+ une application intégrable. On suppose que |f | ≤ ϕ sur I. Alors l’application f est intégrable sur I. 29 c Page 29 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.

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Cons´ equences Soient f et g deux applications continues de I = [a, b[ dans C. l – Si g est intégrable sur [a, b[, et si f = Ob (g), alors f est intégrable sur [a, b[. – On suppose que les applications f et g sont équivalentes au voisinage de b. Alors f est intégrable sur [a, b[ ⇔ g est intégrable sur [a, b[.

VII.5

Utilisation des int´ egrales de Riemann

Int´ egrabilit´ e sur ]a, b] Soient a et b deux nombres réels, avec a < b. Soit f une application continue de ]a, b] dans Cl (le “problème” est en a.) – Si (x − a)α f (x) reste borné au voisinage de a avec α < 1, alors f est intégrable sur ]a, b]. C’est le cas en particulier si lim+ (x − a)α f (x) = 0 (toujours avec α < 1). x→a √ Exemple : l’application x 7→ ln x est intégrable sur ]0, 1] car lim+ x ln x = 0. x→0

– Si |(x − a)f (x)| ≥ M > 0 au voisinage de a, alors f n’est pas int´egrable sur ]a, b]. C’est le cas en particulier si lim+ (x − a)f (x) = λ 6= 0. x→a

Exemple : l’application f : x 7→

ln x n’est pas int´egrable sur ]0, 1] car lim+ xf (x) = ∞. x→0 x

Int´ egrabilit´ e sur [a, +∞[ Soient a un nombre réel, et f une application de [a, +∞[ dans C, l continue par morceaux. – Si xα f (x) reste borné au voisinage de +∞ avec α > 1, alors f est intégrable sur [a, +∞[. C’est le cas en particulier si lim xα f (x) = 0 (toujours avec α > 1). x→+∞ √ − x

Exemple : l’application x 7→ e

est int´egrable sur IR+ car lim x2 e−

√

= 0.

x→+∞

– Si |xf (x)| ≥ M > 0 au voisinage de +∞, alors f n’est pas int´egrable sur [a, +∞[. C’est le cas en particulier si lim xf (x) = λ 6= 0. x→+∞

Exemple : l’application x 7→ sin x1 n’est pas int´egrable sur [1, +∞[ car lim xf (x) = 1. x→+∞

Int´ egrales de Bertrand Soient α et β deux réels, et soit f l’application définie sur IR+∗ − {1} par f (x) = – f est intégrable sur ]0, 21 ] ⇔ (α < 1) ou (α = 1, β > 1).

β . xα ln x

– f est int´egrable sur [2, +∞[ ⇔ (α > 1) ou (α = 1, β > 1).

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VII.6

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Int´ egrale des fonctions ` a valeurs r´ eelles ou complexes

On a défini ce qu’est une fonction intégrable sur un intervalle I de IR et à valeurs dans C, l mais on n’a pas encore défini ce qu’on appelle l’intégrale sur I d’une telle fonction. Proposition (fonctions à valeurs réelles) Soit f une application continue sur I et à valeurs dans IR. L’application f est intégrable sur I ⇔ f + et f − sont intégrables sur I. Z Z Z Z Z Z + − + On pose alors f = f − f . Dans ces conditions, on a : |f | = f + f − . I

Proposition (fonctions à valeurs complexes) Soit f une application continue sur I et à valeurs dans C. l L’application f est intégrable sur I ⇔ Re (f) et Im (f ) sont intégrables sur I. Z Z Z On pose alors f = Re f + i Im f. I

Remarques – Si I = {a}, toute application définie en a est intégrable sur I = {a} et d’intégrale nulle... – Si f : [a, b] → Cl est continue elle est intégrable et son intégrale a la valeur déjà connue. Proposition (Linéarité de l’intégrale) Soient f et g deux applications continues intégrables de I dans C. l Soient α et β deux scalaires. On sait déjà que αf + βg est intégrable sur I. Z Z Z De plus on a l’égalité : (αf + βg) = α f + β g. I

Proposition (Inégalité de la valeur absolue) Soit f : I → C, l continue et intégrable. Alors on a l’inégalité :

Z Z

f ≤ |f |.

Proposition (Utilisation d’une suite exhaustive de sous-segments) Soit f une application continue intégrable de I dans C. l Soit (Jn ) une suite croissante de Zsegments telle que I = ∪Jn . Z Alors on a l’égalité

f = lim I

n→+∞

f. Jn

Exemple ln x sur IR+∗ . L’application f est continue sur IR+∗ . 1 + x2 √ Elle est int´egrable sur ]0, 1] car lim+ xf (x) = 0, et sur [1, +∞[ car lim x3/2 f (x) = 0. x→+∞ x→0 Z On v´erifie que pour tout n de IN∗ , on a f = 0 (changement de variable t = x1 .)

On d´efinit f : x 7→ f (x) =

[1/n,n]

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La suite des Jn = [ n1 , n] est exhaustive dans IR+∗ . Z On en d´eduit le r´esultat : f = 0. IR∗

Proposition (Utilisation d’une partition de l’intervalle) Soit f une application continue de I dans C. l Soit c un élément de I. Notons Ig = I ∩ ] − ∞, c] et Id = I ∩ [c, +∞[. f est intégrable sur I ⇔ elle l’est sur Ig et sur Id . Z Z Z On a alors : f = f+ f. I

Propri´ et´ es diverses – Intégrale de la conjuguée d’une application Soit f : I → Cl une application continue et intégrable. Soit f¯ : I → Cl définie par f¯(x) = f (x). Z Z ¯ ¯ Alors f est intégrable sur I et on a l’égalité : f = f . I

– Intégrale sur un sous-intervalle Soit f une application continue et intégrable de I dans C, l et J un sous-intervalle de I. n χJ (x) = 1 si x ∈ J . On note χJ la fonction caractéristique de J, d´ e finie par : Z Z 0 si x ∈ /J Alors f est intégrable sur J et f = (χJ f ). J

Notation Soit f une application int´egrable de I =]a, b[ dans IK, avec −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Z b Z Z a Z On note f= f . De mˆeme on pose f =− f. a

]a,b[

Remarques Z c – Pour tout c o` u f est définie, on convient que f = 0. c Z b Z b – On note fréquemment f (x) dx (x ou toute variable “muette”) plutôt que f. a a Z b Z c Z b – On dispose encore de la relation de Chasles f= f+ f. a

Calcul des int´ egrales On peut en principe utiliser les méthodes classiques, notamment l’intégration par parties et le changement de variables, à condition de vérifier à priori (c’est-à-dire avant d’écrire l’égalité) que toutes les intégrales qu’on va écrire existent bien. Il est plus prudent d’appliquer ces méthodes sur des segments et pour des applications continues, pour passer ensuite à la limite dans les bornes sur le résultat. 32 c Page 32 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.