Enfin, comme ci-dessus, on a aussi f (v ) = ±v . Or le cas f (v ) = v est à exclure puisque les axes de f et g sont orthogonaux. Il reste donc f (v ) = −v qui donne que f est un retournement.
Produit mixte et produit vectoriel Exercice 51 Soit u un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien orienté E de dimension 3. Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme f : E → E défini par f (x ) = u ∧ x . x ∈ ker f ⇔ x et u colinéaires. Par suite ker f = Vect(u ) . Par le théorème du rang dim Im f = 2 . ⊥
⊥
⊥
Puisque ∀x ∈ E , f (x ) = u ∧ x ∈ {u } , on a Im f ⊂ {u } puis par égalité des dimensions Im f = {u } .
Exercice 52 Dans E espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, on se donne deux vecteurs a ≠ 0 et b . Résoudre l’équation a ∧ x = b d’inconnue x ∈ E . : Si l’équation admet une solution x alors on a a ∧ x = b , puis (a | a ∧ x ) = (a | b ) = 0 . Si (a | b ) ≠ 0 , S = ∅ . Si (a | b ) = 0 alors cherchons une solution particulière x 0 de la forme λ (a ∧ b ) . On obtient x 0 =
b ∧a
solution particulière. 2 a Soit x ∈ E , x ∈ S ⇔ a ∧ (x − x 0 ) = 0 Par suite S = x 0 + Vect(a ) .
Exercice 53 Soit a ,b ,c ,d quatre vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté E de dimension 3. Montrer que [a ∧ b , a ∧ c ,a ∧ d ] = 0 . Si a = 0 , ok. Sinon, les trois vecteurs sont coplanaires car orthogonaux à a .
Exercice 54 Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Montrer que ∀a ,b , c ∈ E : Det(a ∧ b ,b ∧ c ,c ∧ a ) = Det(a ,b ,c ) 2
Det(a ∧ b ,b ∧ c ,c ∧ a ) = ((a ∧ b ) ∧ (b ∧ c ) | c ∧ a ) or (a ∧ b ) ∧ (b ∧ c ) = ((a ∧ b ) | c )b et (b | c ∧ a ) = Det(b ,c ,a ) d’où la relation. Exercice 55 Soit a un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien orienté E de dimension 3. On pose f : E → E définie par f (x ) = (x | a )a + a ∧ x . Montrer que f ∈ O (E ) et préciser géométriquement f . 2
f (x ) = (x | a ) 2 + a ∧ x
2
= x
2
car a = 1 donc f ∈ O (E ) .
Si f (x ) = x alors a ∧ ((x | a )a + a ∧ x ) = a ∧ x conduit à a ∧ x = 0 puis x ∈ Vect(a ) . Inversement, si x ∈ Vect(a ) alors f (x ) = x .
f est une rotation autour de D = Vect(a ) . Orientons D par a . ⊥
Pour x ∈ {a } , on a f (x ) = a ∧ x = Rot π 2 (x ) . Finalement f est la rotation d’axe dirigé et orienté par a et d’angle π 2 .
Exercice 56 Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et u un vecteur unitaire de E . Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur (α, β , γ ) ∈ ℝ 3 pour que f : E → E définie par f (x ) = αx + β (u | x )u + γu ∧ x soit une rotation. Déterminer alors ses éléments caractéristiques.