Finanças Empresariais - aula 02

FINANÇAS EMPRESARIAIS

AULA 02 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

O conceito de valor do dinheiro no tempo tem o princípio de que uma determinada quantia de dinheiro hoje tem um valor que não será o mesmo depois de certo período.

Desta forma, pode-se afirmar que R$ 1.000,00 hoje não tem o mesmo valor do que R$ 1.000,00 amanhã ou em qualquer outra data futura.

Pense, por exemplo, que se você tivesse uma determinada quantidade de dinheiro no bolso e a emprestasse a um amigo e, logo depois, soubesse que poderia ter aplicado a mesma quantidade que emprestou, ganhando mais dinheiro. Ao receber o dinheiro do seu amigo, o mínimo de retorno que você esperaria seria o valor que ganharia na aplicação oferecida um instante após o empréstimo.

Como sabemos, a inflação é um fenômeno de corrosão do poder de compra da moeda e está presente praticamente em todas as economias. Para manter o poder de compra da moeda, fazemos a atualização dos valores ao longo do tempo.

Os juros são a remunerações do capital. Sob a ótica de quem empresta dinheiro, os juros são receita, mas também pode ser considerado um prêmio por abrir mão do dinheiro e de oportunidades que o dinheiro lhe proporcionaria. Já sob a ótica de quem toma dinheiro emprestado, os juros são encarados como o custo do dinheiro.

Dessa forma, podemos convencionar que o valor dos juros é o valor correspondente ao custo do capital corrigido e a taxa de juros é a proporção na qual esse capital será corrigido. A taxa de juros será representada nas operações de cálculo pela letra “i”. Vale relembrar que, na matemática financeira, as taxas de juros devem ser sempre representadas pelo período a que correspondem.

i = 1%am

=

1% ao mês

i = 1%aa

=

1% ao ano

i = 1%as

=

1% ao semestre

i = 1%ad

=

1% ao dia

O capital pode ser entendido como a quantidade de dinheiro envolvida no início da operação, ou seja, no tempo 0, também chamado de Valor Presente (VP) ou Present

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Value (PV). Esses diferentes nomes representam a mesma grandeza, o valor inicial do dinheiro.

Montante é a soma do capital acrescida de juros, representada pela fórmula a seguir: M = C + J, na qual: M = Montante C = Capital J = Juros (Capital multiplicado pela taxa de Juros)

Outra representação do montante é o Valor Futuro (VF), também chamado de FV (Future Value), que representa o valor do dinheiro no final do período de tempo analisado.

O tempo é representado pela letra “n”. Separamos os períodos de acordo com a necessidade, seja em anos, meses, dias, semestres, trimestres etc.

Para representarmos essas grandezas utilizaremos o gráfico apresentado na sequência, no qual poderemos entender as convenções dos fluxos de caixa que serão necessárias para a utilização das ferramentas (HP e Microsoft Excel®) e para melhor entendimento dos problemas que envolvem esses fluxos.

A seguir, temos a representação gráfica de um fluxo de caixa sob a ótica de quem empresta recursos e paga em 3 períodos, que podem ser três dias, três meses ou três anos.

A seta que representa o VP direcionada para cima significa uma entrada de caixa, ou seja, VP >0. Decorridos os 3 períodos, a seta que indica o VF direcionada para baixo representa uma saída de caixa, ou seja, VF < 0. Lembre-se de que o valor futuro é composto do valor presente acrescido de juros.

Figura 1: Fluxo de Caixa 1 Fonte: do autor

Este outro gráfico representa o mesmo fluxo de caixa, só que pela ótica de quem concede um empréstimo de recursos. Podemos observar que a seta que indica o VP direcionada para baixo representa uma saída de caixa, ou seja, VP<0, e a seta que indica o

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VF direcionada para cima representa uma entrada de caixa no futuro, ou seja, VF>0, que é o valor presente mais os juros do período.

Figura 2 – Fluxo de Caixa 2 Fonte: do autor

O conceito de valor do dinheiro no tempo quer dizer que o dinheiro hoje não terá o mesmo valor amanhã, ou seja, R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$1.000,00 em outro período. Essa diferença entre o valor inicial e o valor final chama-se juros e pode ser considerada a remuneração do dinheiro.

Tempo (n)

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Vamos entender os conceitos. Aproveitando este exemplo, temos que: Este é o Capital inicial, também chamado de Valor Presente (VP), ou de Present Value (PV).

Este é o Montante, também chamado de Valor Futuro (FV), ou de Future Value (FV).

A diferença entre as duas grandezas (Montante e Capital) são os juros que são acrescidos ao capital com o passar do tempo.

Fonte: do autor

Considere uma aplicação cujo capital seja de R$ 1.000,00 e, um ano após a aplicação inicial, o montante seja de R$ 1.100,00. Calcule o valor dos juros dessa aplicação.

M=C+J

1.100 = 1.000 + J

J = 1.100 – 1.000

J = 100 – Os juros desta aplicação são de R$ 100,00.

Com base nessas informações, qual a taxa de juros praticada? i=J/C i = 100 / 1000 i = 0,10 (ou 10%). Como o período da aplicação foi de 1 ano, então a taxa será de 10% aa.

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Juros Simples

Este regime de juros se caracteriza pelo fato de os juros serem calculados em cada período sobre o valor do principal, não sendo somados, no cálculo, ao principal do período seguinte e, consequentemente, não rendendo juros sobre juros. A progressão deste regime de juros ao longo do tempo se dá de forma linear, ou seja, os juros crescem de maneira uniforme no tempo.

A fórmula para aplicação dos juros simples é a seguinte: VF = VP * (1 + ( i * n ) ), em que VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = Taxa de Juros n = Período

Representação gráfica do crescimento dos juros simples, considerando um principal de R$1,00 à taxa de 10% aa e o período de 10 anos.

Gráfico 1- Evolução dos Juros Simples Fonte: do autor

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Desconto “Por Dentro”

No regime de juros simples, o desconto por dentro é uma operação também conhecida como desconto racional e a taxa de juros incide sobre o valor Presente (VP).

Obtemos sua fórmula a partir de dedução da fórmula original dos juros simples.

VP = ___ VF____

1 + (i * n)

Sendo: VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = Taxa de Juros n = Período Desconto “Por Fora”

No desconto “por fora”, obtemos o desconto aplicando a taxa de desconto, representada pela letra “d”, sobre o valor futuro. É representado pela fórmula:

VP = VF * (1 – (d * n)), sendo:

VF = Valor Futuro VP = Valor Presente d = Taxa de desconto n = Período

Vejamos alguns fatores:

1 – CALCULANDO O VALOR FUTURO (VF)

Vamos supor um empréstimo, no regime de juros simples, de R$ 3.000,00, por um período de 16 meses e a uma taxa de 3%am. Calcule o valor futuro desse empréstimo.

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VP = 3.000,00

VF = VP * (1 + (i * n))

i = 3%am , ou 3 / 100 = 0,03

VF = 3.000 * (1 + (0,03 * 16))

n = 16 meses

VF = 3.000* (1 + 0,48)

VF =?

VF = 3.000 * 1,48

VF = 4.440,00

O valor desse empréstimo, ao final dos 16 meses, será de R$ 4.440,00.

2 – CALCULANDO O VALOR PRESENTE (VP)

Calcule o valor de um capital necessário para gerar um montante de R$ 25.000,00 se aplicado a uma taxa de 10%aa, durante 5 anos, no regime de juros simples.

VP =?

VF = VP * (1 + (i * n))

i = 10% aa, ou 10 /100 = 0,10

25.000 = VP * (1 + (0,10 * 5))

n = 5 anos

25.000 = VP* (1 + 0,50)

VF = 25.000

25.000 = VP * 1,50

VP = 25.000 / 1,50

VF = 16.666,67

O valor do capital necessário para produzir um montante de R$ 25.000,00 durante 5 anos a uma taxa anual de 10% é de R$ 16.666,67.

3 – CALCULANDO A TAXA DE JUROS (I)

Qual a taxa de juros que, aplicada a um capital inicial de R$ 1.000,00, produzirá um valor de R$ 1.630,00 durante 7 meses?

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VP = 1.000

i = ?

VF = VP * (1 + (i * n))

1.630 = 1.000 * (1 + (i * 7))

n = 7 meses

1.630 = 1.000 + 7.000i

VF = 1.630

7.000i = 1.630 – 1.000

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i = 630 / 7.000

i = 0,09 ou 0,09 * 100 = 9%am

O valor da taxa de juros necessária para transformar R$ 1.000,00 em R$ 1630,00, no regime de juros simples e no período de 7 meses, é de 7%am.

4 – CALCULANDO O PERÍODO (N)

Qual o período necessário para transformar um capital de R$1.200,00 em um montante de $ 1.560,00 a uma taxa de juros de 10%aa?

VP = 1.200

i = 10%aa ou 10 / 100 = 0,10

VF = VP * (1 + (i * n))

1.560 = 1.200 * (1 + (0,10 * n))

n = ?

1.560 = 1.200 + 120n

VF = 1.560,00

120n = 1.560 – 1.200

n = 360 / 120

n = 3 anos

O período necessário para transformar um capital de R$1.200,00 em R$ 1.560,00, a uma taxa de 10%aa, é de 3 anos.

5 – DESCONTO “POR DENTRO”

Determine o valor do desconto “por dentro” de um título de R$ 1.000,00, com vencimento para 4 meses, a uma taxa de 1,5%am.

VP =?

VP =

1 + (i * n)

i = 1,5 %am ou 1,5 / 100 = 0,015 VP =

VF 1.000 1+(0,015*4)

n = 4

VP = 1.000 / (1+0,06)

VF = 1.000

VP = 1000 / 1,06

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VP = 943,40

O valor do desconto será obtido pela diferença entre o valor futuro e o valor presente (1.000 – 943,40) = 56,60 6 – DESCONTO “POR FORA”

Determine o valor do desconto “por fora” de um título de R$ 1.000,00, com vencimento para 4 meses, a uma taxa de 1,5%am.

VP =?

VP = VF * (1 – (d * n))

d = 1,5 %am ou 1,5 / 100 = 0,015 VP = 1.000*(1 – (0,015*4)

n = 4

VP = 1.000 * (1-0,06)

VF = 1.000

VP = 1000 * 0,94

VP = 940

O valor do desconto será obtido pela diferença entre o valor futuro e o valor presente (1.000 – 940) = 60

Juros simples é um sistema de capitalização linear no qual os juros são calculados sobre o principal em cada período. Portanto, nesse sistema de capitalização, os juros não rendem juros.

Período (n)

0

1

2

Capital VP

Juros Fonte: do autor

10

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VF = VP * (1 + (i * n))

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Desconto “por dentro” e “por fora”

No desconto “por dentro”, a taxa de juros “i” é aplicada sobre o valor futuro, descontando-a a partir do valor presente; no desconto “por fora”, a taxa de desconto “d” é aplicada sobre o VF. Tipo de Desconto

Fórmula

“Por Dentro”

VP =

“Por Fora”

VF 1 + (i * n)

VP = VF * (1 – (d * n))

O desconto por fora será sempre maior que o desconto por dentro.

Calculadora HP 12C e Microsoft Excel®

Agora veremos as principais funções e operações da calculadora HP 12C e do Microsoft Excel® para os cálculos de capitalização no regime de juros compostos. Essas duas ferramentas tornarão os cálculos muito mais dinâmicos e nos permitirão aumentar suas aplicações no nosso dia-a-dia.

Existe uma diferença para os cálculos por meio das fórmulas, HP 12C e Microsoft Excel®, quanto à taxa de juros. Se a taxa, por exemplo, for de 10%aa, nas fórmulas, nós consideramos o número 0,10; na calculadora HP 12C, incluiremos 10; e no Microsoft Excel®, 10%.

Calculadora HP 12C

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A calculadora HP 12C será uma ferramenta importante no estudo da matemática financeira. Essas imagens são dos modelos mais recentes desses equipamentos. As fórmulas financeiras programadas em sua memória tornam a sua utilização rápida e dinâmica nos cálculos financeiros, principalmente, no regime de juros compostos. A seguir, apresentaremos algumas noções básicas para a operação desse equipamento.

Para ligar e desligar o equipamento, aperte o botão . Quando ligada, ela mostrará os dígitos 0,00 na tela (se forem escolhidas 2 casas decimais para apresentação).

Para aumentar ou diminuir as casas decimais, aperte e o dígito correspondente à quantidade de casas que desejar.

Para realizar uma operação algébrica, devemos inserir o primeiro número da operação, em seguida teclar:

O segundo número da operação e o operador desejado (+, -, *, ou / ). Para apagar um número digitado incorretamente, tecle:

E para apagar os registros armazenados na memória e na memória financeira, tecle

depois e respectivamente depois .

A calculadora HP 12C e o Microsoft Excel® facilitam o cálculo também nos casos em que o número de períodos não é inteiro. Especificamente na calculadora HP 12C, devemos tomar o cuidado de analisar se este cálculo será efetuado utilizando o regime de juros simples ou composto. Para tanto, no visor da calculadora, devemos observar a presença da letra “c”, conforme a figura a seguir. A presença dessa letra no visor indicará que tanto os períodos inteiros quanto suas frações serão calculados levando em consideração o regime de juros compostos.

Para habilitar e desabilitar esse recurso, deve-se teclar , depois .

Como é prática comum no mercado calcular utilizando o regime de juros compostos, vamos habilitar e trabalhar todo este estudo com o regime de juros compostos, para os períodos inteiros e fracionados.

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Microsoft Excel®

Utilizaremos também o Microsoft Excel® como ferramenta para realizar os cálculos no regime de juros compostos, pois, assim como na calculadora HP 12C, as fórmulas estão programadas, facilitando e agilizando o processamento dos cálculos.

Para localizar e acessar as funções para cálculos financeiros, observe as figuras a seguir.

Ao selecionar, no menu “inserir”, “função” e, depois, na caixa de seleção, escolher as funções “financeiras”, aparecerão para seleção somente as funções financeiras que usaremos na resolução dos exemplos.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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Juros Compostos

No regime de juros compostos, ao final de cada período, os juros são somados ao principal e ambos são corrigidos para o próximo período, de maneira que os juros também rendem juros. Assim sendo, nesse regime, o crescimento dos juros é exponencial, uma vez que os juros do período são incorporados ao capital, gerando um novo capital a ser corrigido no final do período.

A fórmula para aplicação dos juros compostos é a seguinte:

VF = VP * (1+ i)n

Sendo:

VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

i = Taxa de Juros

n = Período

Vamos, agora, analisar o gráfico do comportamento dos juros compostos ao longo do tempo, considerando a mesma base de informações que utilizamos para os juros simples: VP = R$1,00, i = 10%aa, e n = 10 anos.

Gráfico 2 – Evolução dos Juros Compostos Fonte: do autor

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Gráfico 3 – Comparativo Entre Juros Simples e Juros Compostos Fonte: do autor

Até o 1º período, os dois regimes se equivalem. Entretanto, em seguida, o crescimento dos juros no regime de capitalização composta é maior e quanto maior for o prazo, maior será a diferença entre os dois sistemas de capitalização.

Desconto “por dentro” – Regime de juros compostos

De maneira análoga ao regime de juros simples, o desconto “por dentro” ou Racional é obtido a partir do valor presente, representado pela fórmula: VP = VF

(1 + i)n

Sendo:

VP = Valor Presente

VF = Valor Futuro

i = Taxa de Juros

n = Período

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Desconto “por fora” – regime de juros compostos

Também a exemplo do regime de juros simples, o desconto “por fora” ou Comercial atua sobre o valor futuro e é representado pela fórmula a seguir:

VP = VF (1 – d )n

Sendo:

VP = Valor Presente

VF = Valor Futuro

d = Taxa de Juros

n = Período

Vejamos alguns fatores:

1 – CALCULANDO O VALOR FUTURO (VF)

Suponha um empréstimo de R$ 3.000,00, no regime de juros compostos, por um período de 16 meses e a uma taxa de 3%am. Calcule o valor futuro desse empréstimo.

VP = 3.000,00

VF = VP * (1+ i) n

i = 3%am , ou 3 / 100 = 0,03

VF = 3.000 * (1 + 0,03)16

n = 16 meses

VF = 3.000 * (1,03)16

VF =?

VF = 3.000 * 1,604706439

O valor desse empréstimo, ao final dos 16 meses, será de R$ 4.814,12.

Agora vamos utilizar a calculadora HP12C para realizar essa operação.

Operação Tecle

e depois

Tecle 3000 e depois

16

VF = 4.814,12

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Visor

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

Informa à calculadora que o valor presente é igual a 3.000,00.

Tecle 3 e depois

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 3%am.

Tecle 16 e depois

Informa à calculadora que o número de meses é igual a 16.

A calculadora apresenta o Valor Futuro.

Tecle Fonte: do autor

Note que a calculadora apresentou o VF calculado como valor negativo. Lembrandose da representação gráfica do fluxo de caixa, você perceberá que, como o valor presente foi positivo, o valor futuro será negativo.

Vamos utilizar o Microsoft Excel® para realizar esta operação.

Operação Crie uma tabela conforme a da figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Tela

Interpretação Facilita a utilização da fórmula da planilha.

Com o cursor sobre a célula B2, clique em “inserir”, a seguir em “função”.

Aparecerá uma telinha conforme a figura ao lado.

Clique em “financeira”.

Escolhe qual categoria de funções será usada para os cálculos.

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras.

Selecione a função “VF”, depois clique em “OK”.

Seleciona as funções financeiras e a função usada VF.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

Note que o Microsoft Excel® também apresentou o VF calculado com valor negativo. Lembrando-se da representação gráfica do fluxo de caixa, você perceberá que, como o valor presente foi positivo, o valor futuro será negativo.

2 – CALCULANDO O VALOR PRESENTE (VP)

Calcule o valor de um capital necessário para gerar um montante de R$ 25.000,00 se aplicado a uma taxa de 10%aa, durante 5 anos, no regime de juros simples.

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VP =?

VF = VP * (1+ i) n

i = 10% aa , ou 10 / 100 = 0,10

25.000 = VP * (1 + 0,10)5

n = 5 anos

25.000 = VP * (1,10)5

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VF = 25.000

25.000 = VP * 1,61051000

VP = 25.000 / 1,61051000

VF = 15.523,03

Vamos utilizar a calculadora HP12C para realizar essa operação.

Operação Tecle

Visor

e depois

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

.

Tecle 25000 e depois

Informa à calculadora que o valor presente é igual a 25.000,00.

Tecle 10 e depois

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 10%aa.

Tecle 5 e depois

.

Informa à calculadora que o número de anos é igual a 5.

.

A calculadora apresenta o Valor Futuro.

Tecle Fonte: do autor

Vamos utilizar o Microsoft Excel® para realizar essa operação.

Operação Crie uma tabela conforme a da figura ao lado e preencha a frente de cada variável o valor correspondente.

Tela

Interpretação Facilita a utilização da fórmula da planilha.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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Com o cursor sobre a célula B1, clique em “inserir” e depois “função”.

Aparecerá uma telinha conforme a figura ao lado.Clique em “financeira”.

Escolhe qual categoria de funções será utilizada para os cálculos.

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras.

Selecione a função “VP” e depois clique em “OK”.

Seleciona as funções financeiras e a função usada VP.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em “OK”.

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FINANÇAS EMPRESARIAIS

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

Agora que você já está mais familiarizado com o Microsoft Excel® e com a HP 12C, vamos utilizar essas duas ferramentas para realizar os cálculos daqui para frente.

3 – CALCULANDO A TAXA DE JUROS (I)

Qual a taxa de juros que, aplicada durante 7 meses a um capital inicial de R$ 1.000,00, produzirá um valor de R$ 1.630,00?

Vamos utilizar a calculadora HP12C para realizar essa operação.

Fonte: do autor

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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Agora vamos utilizar o Microsoft Excel® para realizar essa operação.

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Fonte: do autor

4 – CALCULANDO O PERÍODO (N)

Qual o período necessário para transformar um capital de R$1.200,00 em um montante de R$ 2.338,46 a uma taxa de juros de 10%aa?

Vamos utilizar a calculadora HP12C para realizar essa operação.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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Fonte: do autor

Agora, vamos utilizar o Microsoft Excel® para realizar essa operação.

Operação

Tela

Crie uma tabela

Facilita a utilização da

conforme a da

fórmula da planilha.

figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

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Interpretação

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Com o cursor sobre a célula B4, clique em “inserir” e depois em “função”; aparecerá uma telinha conforme a figura ao lado.

Clique em “financeira” .

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras; selecione a função “NPER” e depois clique em “OK”.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Escolhe qual categoria de funções será utilizada para os cálculos.

Seleciona as funções financeiras e a função usada “NPER” – Número de períodos.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado.

Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C , o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

5 – DESCONTO “POR DENTRO”

Determine o valor do desconto “por dentro” de um título de R$ 1.000,00, com vencimento para 4 meses, a uma taxa de 1,5%am.

VP =? VP = VF

i = 1,5 %am ou 1,5 / 100 = 0,015 VP

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FINANÇAS EMPRESARIAIS

(1 + i)n =

1.000 (1+0,015)4

n = 4

VP = 1.000 / (1,015)4

VF = 1.000

VP = 1000 / 1,061363551

VP = 942,18

O valor do desconto será obtido pela diferença entre o valor futuro e o valor presente (1.000 – 942,18) = 57,82 6 – DESCONTO “POR FORA”

Determine o valor do desconto “por fora” de um título de R$ 1.000,00, com vencimento para 4 meses, a uma taxa de 1,5%am.

VP =?

d = 1,5 %am ou 1,5 / 100 = 0,015 VP = 1.000*(1 – 0,015)4

n = 4

VP = 1.000 * (0,98500)4

VF = 1.000

VP = 1000 * 0,941336551

VP = VF (1 – d )n

VP = 941,34

O valor do desconto será obtido pela diferença entre o valor futuro e o valor presente (1.000 – 941,34) = 58,66

A capitalização composta é um sistema de capitalização no qual os juros rendem juros, ou seja, a cada período de aplicação da taxa de juros, o principal é acrescido dos juros e, então, corrigido. Veja o esquema a seguir: Período (n)

0

1

2

3

Capital VP Juros Fonte: do autor VF

= VP * (1 + (i * n))

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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Para facilitar o processo de cálculos no regime de juros compostos, é possível a utilização das fórmulas programadas na HP12C e no Microsoft Excel®.

Desconto “por dentro” e “por fora”

No desconto “por dentro”, a taxa de juros “i” é aplicada sobre o valor futuro, descontando-a a partir do valor presente. No desconto “por fora”, a taxa de desconto “d” é aplicada sobre o VF. Tipo de Desconto Fórmula

“Por Dentro”

VP

=

“Por Fora”

VP

VF (1 + i)n

=

VF (1 – d)n

O desconto por fora será sempre maior que o desconto por dentro.

Compare um principal de R$ 1.000,00, corrigido por 15 meses, a uma taxa de 1% ao mês, nos regimes de juros simples e compostos.

Relações de equivalência de Taxas de Juros

Estudar as relações de equivalência de taxas de juros permite entender melhor os impactos do efeito da capitalização sobre o valor presente ao longo do tempo.

Frequentemente, temos noções incorretas ao comparar as taxas expressas de diversas maneiras no mercado. Essas interpretações errôneas podem nos levar a erros no processo de tomada de decisões.

A má interpretação na relação de equivalência das taxas de juros pode fazer com que se paguem mais juros que o previsto ou pode prejudicar uma negociação que envolva taxas de juros.

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FINANÇAS EMPRESARIAIS

Taxas Proporcionais

A comparação das taxas de juros no regime de juros simples é conhecida como taxas proporcionais. Apesar de serem expressas em unidades de tempo diferentes, se aplicadas a um mesmo capital e no mesmo prazo, devem produzir um mesmo montante.

A relação de comparação dessas taxas é a seguinte:

iaa = ias * 2 = iaq * 3 = iat * 4 = iam * 12 = iad * 360, sendo:

iaa = Taxa de juros ao ano

ias = Taxa de juros ao semestre

iaq = Taxa de juros ao quadrimestre

iat = Taxa de juros ao trimestre

iam = Taxa de juros ao mês

iad = Taxa de juros ao dia

Taxas Efetivas

As taxas efetivas estão relacionadas ao período de capitalização dos juros, ou seja, qual a periodicidade em que será aplicada a taxa de juros, ao período que a taxa é expressa. Por exemplo, uma taxa de 12% ao mês, com capitalizações mensais, é uma taxa efetiva de 12%am.

Taxas Equivalentes

A comparação de taxas efetivas em períodos diferentes, no regime de juros compostos, é chamada de taxa equivalente. Desta forma, é possível comparar taxas de diferentes períodos considerando os critérios do regime de juros compostos, no qual o principal e os juros do período anterior são corrigidos ao final de cada período. A relação de equivalência de taxas é a seguinte:

(1 + iaa )= (1 + ias)2 = (1 + iaq)3 = (1 + iat)4 = (1 + iam)12 = (1 + iad)360 Sendo:

iaa = Taxa de juros ao ano

ias = Taxa de juros ao semestre

iaq = Taxa de juros ao quadrimestre

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

29

iat = Taxa de juros ao trimestre

iam = Taxa de juros ao mês

iad = Taxa de juros ao dia

Taxas Nominais

Taxas nominais são aquelas cujo período em que vêm expressas não coincide com o período de capitalização da taxa de juros, como uma taxa de 12% ao ano com capitalizações mensais. Pode-se dizer que a taxa nominal é de 12%aa / 12 meses = 1% ao mês, porém, para obter a taxa efetivamente cobrada, teremos que usar a relação das taxas equivalentes.

Taxas Bruta e Líquida

Entende-se por taxa bruta a taxa, por exemplo, obtida em uma aplicação financeira, sem considerar a incidência de impostos, que se dá pela relação entre o valor da aplicação e o valor do resgate.

Já a taxa líquida é a taxa bruta descontando o valor dos impostos envolvidos na operação. Por esse motivo, o planejamento tributário é fundamental para o processo de análise e tomada de decisão. Muitas vezes, não levando em consideração a incidência de impostos sobre determinado investimento, podemos ser levados a uma decisão incorreta.

Taxa Real e Taxa Nominal

Essas duas taxas estão diretamente ligadas ao fenômeno da inflação. A taxa nominal é similar à taxa bruta, ou seja, não leva em consideração o efeito da inflação. Já a taxa líquida e a taxa nominal têm descontado o efeito da inflação.

Vamos a alguns fatores:

1. TAXAS PROPORCIONAIS

Calcule as taxas proporcionais ao semestre e ao ano da taxa de 1%am.

iaa = ias * 2 = iaq * 3 = iat * 4 = iam * 12 = iad * 360

30

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Taxa ao semestre

ias * 2 = iam * 12

ias = iam * 12/2

ias = iam * 6

ias = 1 * 6 = 6%as

Taxa ao ano

iaa = iam * 12

iaa = 1 * 12

iaa = 12%aa

Calcule a taxa proporcional trimestral e mensal da taxa de 14%aa

Taxa trimestral

iaa = iat * 4

14 = iat * 4

iat = 14 / 4

iat = 3,50%at

Taxa mensal

iaa = iam * 12

14 = iam * 12

iam = 14 / 12

iam = 1,167%am

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

31

2. TAXAS EQUIVALENTES

Calcule as taxas equivalentes ao semestre e ao ano da taxa de 1%am

Taxa semestral

Utilizando a calculadora HP12C: Operação Tecle

Visor

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

e

depois .

Tecle 100 e

Informa à calculadora que o valor presente é igual a 100.

depois .

Tecle 1 e depois

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 1%am.

.

Tecle 6 e depois

Informa à calculadora que o número de meses é igual a 6, correspondente ao semestre.

.

Tecle

A calculadora apresenta o Valor Futuro. .

Vamos descontar os 100 que incluímos como VP para obter a taxa ao semestre.

Tecle .

Tecle 100 e

A calculadora devolve o valor da taxa equivalente ao semestre 6,15%as.

.

Fonte: do autor

32

FINANÇAS EMPRESARIAIS

No Microsoft Excel® Operação Crie uma tabela conforme a da figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Na célula C2, digite “=B2100”.

Com o cursor sobre a célula B2, clique em “inserir” e depois “função”; aparecerá uma telinha conforme a da figura ao lado.

Clique em “financeira”.

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras; selecione a função “VF” e depois clique em “OK”.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Tela

Interpretação Facilita a utilização da fórmula da planilha; é na célula C2 que obteremos o valor da taxa calculada.

Escolhe qual categoria de funções será usada para os cálculos.

Seleciona as funções financeiras e a função usada VF.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

33

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo. A célula C2 apresenta o valor futuro, descontados os 100 lançados como valor presente, e a taxa equivalente ao semestre 6,15%as.

Fonte: do autor

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Taxa anual

Utilizando a calculadora HP12C Operação Tecle

Visor

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

e

. depois Tecle 100 e .

Informa à calculadora que o valor presente é igual a 100

depois .

Tecle 1 e depois

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 1%am.

.

34

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Tecle 12 e

Informa à calculadora que o número de meses é igual a 12, correspondente ao ano.

.

depois Tecle

A calculadora apresenta o Valor Futuro.

.

Vamos descontar os 100 que incluímos como VP para obter a taxa ao semestre.

Tecle .

Tecle 100 e

A calculadora devolve o valor da taxa equivalente ao semestre %as.

.

Fonte: do autor

No Microsoft Excel®

Operação Crie uma tabela conforme a da figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Na célula C2, digite “=B2100”.

Com o cursor sobre a célula B2, clique em “inserir” e depois em “função”; aparecerá uma telinha conforme a da figura ao lado.

Clique em “financeira”.

Tela

Interpretação Facilita a utilização da fórmula da planilha; é na célula C2 que obteremos o valor da taxa calculada.

Escolhe qual categoria de funções será utilizada para os cálculos.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

35

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras; selecione a função “VF”, depois clique em “OK”.

Seleciona as funções financeiras e a função usada “VF”.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo. A célula C2 apresenta o valor futuro, descontados os 100 lançados como valor presente, e a taxa equivalente ao semestre 12,68%aa.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

36

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Calcule a taxa proporcional trimestral e mensal da taxa de 14%aa.

Taxa trimestral

Utilizando a calculadora HP12C Operação Tecle

Visor

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

e

. depois Tecle 100 e Informa à calculadora que o valor presente é igual a 100.

depois .

Tecle 114 e

Informa que o valor presente de -100 corrigido a taxa de 14%aa por um ano seria 114.

depois .

Tecle 4 e depois

Informa à calculadora o número de 4 trimestres em um ano.

.

Tecle

A calculadora apresenta a taxa ao trimestre.

.

Fonte: do autor

No Microsoft Excel® Operação Crie uma tabela conforme a figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Tela

Interpretação

Facilita a utilização da fórmula da planilha.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

37

Com o cursor sobre a célula B3, clique em “inserir” e depois em “função”; aparecerá uma telinha conforme a figura ao lado. Clique em “financeira”.

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras; selecione a função “TAXA”, depois clique em “OK”.

Escolhe qual categoria de funções será escolhida para os cálculos.

Seleciona as funções financeiras e a função usada “TAXA”.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado.

Para concluir, clique em “OK”.

38

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo, a taxa equivalente ao trimestre 3,33%at.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

Taxa mensal

Utilizando a calculadora HP12C Operação Tecle

Visor e

depois .

Tecle 100, e

depois

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

Informa à calculadora que o valor presente é igual a 100.

.

Tecle 114 e .

depois Tecle 12,

.

depois Tecle .

Informa que o valor presente de -100 corrigido à taxa de 14%aa por um ano seria 114.

Informa à calculadora o número de 12 meses em um ano.

A calculadora apresenta a taxa ao mês.

Fonte: do autor

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

39

No Microsoft Excel®

Operação Crie uma tabela conforme a da figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Com o cursor sobre a célula B3, clique em “inserir”, depois “função”; aparecerá uma telinha conforme a figura ao lado.

Clique em “financeira”.

40

Tela

Interpretação Facilita a utilização da fórmula da planilha.

Escolhe qual categoria de funções será usada para os cálculos.

Neste campo, aparecerão todas as funções financeiras; selecione a função “TAXA”, depois clique em “OK”.

Seleciona as funções financeiras e a função usada “TAXA”.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável

FINANÇAS EMPRESARIAIS

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em ‘OK”.

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo, a taxa equivalente ao mês de 1,10%am.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

Calcule a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 12%aa com capitalizações mensais.

Primeiro, vamos transformar a taxa nominal anual para o mesmo período de capitalização:

12%aa = iam *12

iam = 12/12 = 1%am

Utilizando a calculadora HP12C Operação

Visor

Tecle

e

depois

.

Interpretação Limpa os registros da memória da calculadora.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

41

Tecle 100, Informa à calculadora que o valor presente é igual a 100.

e

depois .

Tecle 1 e depois

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 1%am.

.

Informa à calculadora que o número de meses é igual a 12, correspondente ao número de capitalizações no ano.

Tecle 12 e .

depois

Tecle

A calculadora apresenta o Valor Futuro.

.

Tecle

Vamos descontar os 100 que incluímos como VP para obter a taxa ao semestre.

A calculadora devolve o valor da taxa equivalente ao ano %aa

.

Tecle 100 e .

Fonte: do autor

42

No Microsoft Excel®

Operação Crie uma tabela conforme a da figura ao lado e preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Na célula C2, digite “=B2100” Com o cursor sobre a célula B2, clique em “inserir” e depois em “função”;

Tela

Interpretação

Facilita a utilização da fórmula da planilha; é na célula C2 que obteremos o valor da taxa calculada.

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Escolhe qual categoria de funções será utilizada

Com o cursor sobre a célula B2, clique em “inserir” e depois em “função”; aparecerá uma telinha conforme a figura ao lado.

Clique em “financeira”. este campo, aparecerão todas as funções financeiras; selecione a função “VF” e depois clique em “OK”.

Escolhe qual categoria de funções será utilizada para os cálculos.

Clique sobre cada célula que corresponde ao valor solicitado.

Informar à planilha os valores correspondentes a cada variável.

O Microsoft Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo. A célula

Seleciona as funções financeiras e a função usada “VF”.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

43

com o nome de cada célula selecionada e apresenta o resultado. Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C, o Microsoft Excel® apresenta o resultado do cálculo. A célula C2 apresenta o valor futuro, descontados os 100 lançados como valor presente e a taxa equivalente ao ano 12,68%aa.

Insere o resultado do cálculo na célula correspondente.

Fonte: do autor

Portanto, uma taxa nominal de 12%aa com capitalizações mensais equivale a uma taxa efetiva de 12,68%aa.

Para tornarmos as taxas de juros comparáveis nos diferentes regimes de capitalização (simples e composto), podemos utilizar os seguintes métodos: Taxas proporcionais iaa = ias * 2 = iaq * 3 = iat * 4 = iam * 12 = iad * 360

Taxas equivalentes (1 + iaa) = (1 + ias)2 = (1 + iaq)3 = (1 + iat)4 = (1 + iam)12 = (1 + iad)360

44

FINANÇAS EMPRESARIAIS

As taxas podem ser:

• Taxa efetiva: é aquela cujo período de capitalização coincide com o período em que a taxa é expressa. Por exemplo, uma taxa de 1,5%am com capitalizações mensais é uma taxa efetiva de 1,5%am.

• Taxa nominal: é aquela cujo período de capitalização nem sempre coincide com o que a taxa é expressa. Por exemplo, uma taxa nominal de 12%aa pode ter capitalizações mensais; neste caso, a taxa efetiva será maior que a taxa nominal.

• Taxas Brutas e Líquidas: o conceito de taxa bruta e líquida está relacionado com a incidência de impostos. É comum que as aplicações financeiras apresentem a taxa antes da incidência de impostos (Taxa Bruta) e após a incidência de impostos (taxa Líquida).

• Taxa Nominal e Taxa Real: as taxas nominal e real são utilizadas para excluirmos os efeitos da inflação. A taxa nominal é a taxa que não considera os efeitos inflacionários e a taxa real é a taxa nominal descontando a inflação.

Calcule as taxas mensal e anual, efetiva e nominal de uma taxa de 0,3333%ad com capitalizações diárias.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

45

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES

As séries de pagamentos uniformes também são conhecidas como Modelo Price.

Neste modelo, as prestações têm o mesmo valor e são chamadas de PMT ou PGTO, denominações utilizadas, respectivamente, na calculadora HP 12C e no Microsoft Excel®.

Por meio de aplicação de fórmula, é possível realizar a capitalização e o desconto destas parcelas em vários períodos. Esse sistema de cálculo é muito utilizado nos planos de pagamentos pré-fixados, anunciados pelas lojas na venda a varejo e na venda de produtos com maior valor agregado.

Foi muito utilizado no financiamento habitacional em um passado recente.

Atualmente, o mercado tem utilizado outros sistemas de amortização para o caso de financiamento imobiliário, apesar de essa prática não ter sido plenamente descartada.

Existem duas formas para calcular os pagamentos por esse sistema. Uma é a forma postecipada, ou seja, sem desembolso no ato do financiamento, conhecido como plano sem entrada. A forma antecipada, ou com entrada, é aquela em que o primeiro pagamento coincide com a liberação do financiamento.

Na calculadora HP 12C, quando o visor trouxer a informação “begin”, conforme a figura abaixo, o cálculo se dará antecipado, isto é, com entrada. Para seleção desta forma de cálculo, devem-se apertar as teclas

, depois

.

Entretanto, quando o visor não trouxer a informação “begin”, estará selecionado o cálculo postecipado, sem entrada. Para a seleção do cálculo postecipado, deve-se apertar as teclas

46

e depois

. Então o visor se apresentará conforme segue:

FINANÇAS EMPRESARIAIS

No Microsoft Excel®, a seleção do cálculo antecipado ou postecipado é efetuada após a seleção da função PGTO no menu “Inserir”, “Função”, “Financeira”. O campo “tipo” pode ser 0 ou 1. Se for 0, o Microsoft Excel® entenderá como sendo um plano sem entrada, ou seja, pagamento postecipado; se for 1, entenderá como um plano com entrada, pagamento antecipado. Veja a ilustração a seguir.

As fórmulas para o cálculo da prestação postecipada e antecipada são as seguintes:

POSTECIPADA - END PMT =

ANTECIPADA - BEGIN n

PV * i * (1+i) n (1+i) - 1

PMT =

n PV * i * (1+i) n-1 (1+i)

Vejamos alguns exemplos, utilizando a calculadora HP12C e o Microsoft Excel®.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

47

(1+i)n - 1

(1+i)n-1

Vejamos alguns exemplos, utilizando a calculadora HP12C e o Microsoft Excel®.

Cálculo das semparcelas entrada sem entrada 1.parcelas Cálculo das Calcule o valor das parcelas de um financiamento em 10 prestações mensais, sem entrada, de uma valor é de R$ 2.300,00, a uma taxa de juros de

Calcule o valor das mercadoria parcelas de cujo um financiamento em 10 prestações mensais, sem entrada, de uma mercadoria cujo valor é de R$ 2.300,00, a uma taxa de juros de 4%am.

4%am.

Na Calculadora HP12C Na Calculadora HP12C: Operação

Visor

Interpretação Limpa

Tecle depois Tecle

os

registros

da

e

memória da calculadora.

e

A calculadora entende que o

.

2300

principal é de 2.300. depois

.

Tecle 4

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 4%am.

depois Tecle

.

10

e

Informa à calculadora que o número de parcelas é igual a

depois

.

10.

A calculadora apresenta o

Tecle

.

valor

das

parcelas

e

apresenta o valor negativo conforme convenção do fluxo de caixa.

Fonte: do autor

48

FINANÇAS EMPRESARIAIS

No Microsoft Excel® Operação Crie

uma

Tela

tabela

conforme

a

da

figura ao lado e

Interpretação Facilita a utilização da

fórmula

da

planilha.

preencha, à frente de cada variável, o valor correspondente.

Com

o

cursor

Escolhe

sobre a célula B2,

categoria

clique em “inserir”

funções

e

“função”;

utilizada

uma

cálculos.

aparecerá

qual de será para

os

telinha conforme a figura ao lado.

Clique

em

“financeira”.

Neste

campo,

aparecerão as

Seleciona

as

todas

funções financeiras

funções

e a função usada:

financeiras;

“PGTO”.

selecione a função “PGTO”,

depois

clique em “OK”.

Clique sobre cada

Informar à planilha

célula

os

que

corresponde valor

ao

solicitado.

Preencha

valores

correspondentes a cada variável.

a

variável “tipo” com “1”

para

o

Microsoft

Excel®

entender

como

plano com entrada.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

49

O Microsoft Excel® preenche nome

com

de

o

cada

célula selecionada e

apresenta

resultado.

o

Para

concluir, clique em “OK”.

Como

na

Insere o resultado

calculadora

do cálculo na célula

HP12C,

o

Microsoft

®

Excel

apresenta

o

resultado

do

correspondente.

cálculo.

Fonte: dooautor Calcular Valor Presente (VP) dado “PGTO”, “i”, e “n”.

3. Calcular o Valor Presente (VP) dado “PGTO”, “i”, e “n”.

Calcule o valor da mercadoria ofertada em 24 parcelas mensais de R$192,00, a uma Calcule taxa de 5% am. o valor da mercadoria ofertada em 24 parcelas mensais de R$192,00, a

uma taxa de 5%am.

Na Calculadora HP12C Operação

Visor

Interpretação Limpa

Tecle

e

depois

.

Tecle

192,

os

registros

da

memória da calculadora.

A calculadora entende que o valor da parcela é de 192.

e

.

Tecle 5 e

Informa à calculadora que a taxa de juros é igual a 5%am.

depois Tecle

.

24

e

Informa à calculadora que o número de parcelas é igual a

depois

.

24.

Tecle

A calculadora apresenta o valor .

presente

deste

financiamento.

Elaboração: Autor

50

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Microsoft Excel®: Operação Crie

uma

Tela

tabela

Interpretação Facilita a utilização

conforme a da figura

da

ao lado e preencha,

planilha.

à

frente de

variável,

o

fórmula

da

cada valor

correspondente.

Com o cursor sobre

Escolhe

a célula B1, clique

categoria

em

“inserir”,

funções

“função”; aparecerá

utilizada

uma

cálculos.

telinha

qual de será para

os

conforme a figura ao lado.

Clique

em

“financeira”.

Neste

campo,

Seleciona

as

aparecerão todas as

funções financeiras,

funções financeiras;

e a função usada

selecione a função

“VP”.

“VP”, depois clique em “OK”.

Clique sobre cada

Informar à planilha

célula

os

que

corresponde

ao

valor solicitado; caso

valores

correspondentes a cada variável.

a variável “tipo” não seja especificada, o Microsoft entende portanto,

Excel® como

0, sem

entrada.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

51

O Microsoft Excel® preenche

com

o

nome de cada célula selecionada

e

apresenta

o

resultado.

Para

concluir, clique em “OK”.

Como

na

Insere o resultado

calculadora HP12C,

do cálculo na célula

o Microsoft Excel apresenta

®

correspondente.

o

resultado do cálculo.

Fonte: do autor

Calcular Taxa (i) dado “PGTO”, “VP”, e “n”.

Qual a taxa praticada em um financiamento em 15 parcelas mensais de R$ 98,90, de uma mercadoria cujo valor à vista é R$ 989,00?

Na Calculadora HP12C: Operação

Visor

Interpretação Limpa os registros da memória

Tecle depois

e

da calculadora.

e

A calculadora entende que o

.

Tecle

989

valor presente é de 989.

Fonte: do autor

.

Tecle

98.90,

Informa à calculadora que o valor da parcela é de 98,90.

depois e

.

Tecle 15

Informa à calculadora que o número de parcelas é igual a

e depois

.

Tecle

15.

A

calculadora

valor

da

apresenta

taxa

de

o

juros

praticada: 5,556% am.

Fonte: do autor

52

FINANÇAS EMPRESARIAIS

No Microsoft Excel® Operação Crie

uma

Tela tabela

Interpretação Facilita a utilização

conforme a da figura

da

fórmula

ao lado e preencha,

planilha.

da

à frente de cada variável,

o

valor

correspondente.

Com o cursor sobre

Escolhe

a célula B3, clique

categoria

em

e

funções

“função”; aparecerá

utilizada

uma

cálculos.

“inserir”

telinha

qual de será para

os

conforme a figura ao lado.

Clique

em

“financeira”.

Neste

campo,

Seleciona

as

aparecerão todas as

funções financeiras

funções financeiras;

e a função usada

selecione a função

“TAXA”.

“TAXA”,

depois

clique em “OK”.

Clique sobre cada

Informar à planilha

célula

os

que

corresponde valor

ao

solicitado.

Caso

a

“tipo”

não

seja

especificada,

o

Microsoft entende portanto,

valores

correspondentes a cada variável.

variável

Excel® como

0, sem

entrada.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

53

O Microsoft Excel® preenche

com

o

nome de cada célula selecionada

e

apresenta

o

resultado.

Para

concluir, clique em “OK”.

Como

na

Insere o resultado

calculadora HP12C,

do cálculo na célula

o Microsoft Excel apresenta

®

correspondente.

o

resultado do cálculo.

Fonte: do autor

Calcular a quantidade de parcelas (n), dado “PGTO”, “VP” e “i”.

Quantas parcelas serão necessárias para liquidar um financiamento de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2%am, com parcelas de R$ 80,00?

Na Calculadora HP12C Fonte: do autorOperação

Visor

Interpretação Limpa

Tecle

e

depois

.

Tecle

1200 e

os

registros

da

memória da calculadora.

A calculadora entende que o valor presente é 1200.

.

Informa à calculadora que o valor da parcela é 80.

Tecle 80, e

.

Tecle 2 e

Informa à calculadora a taxa de juros.

depois

.

Tecle

A calculadora apresenta a quantidade de parcelas. .

Elaboração: Autor

54

FINANÇAS EMPRESARIAIS

No Microsoft Excel®: Operação

Tela

Interpretação

Crie uma tabela

Facilita

conforme a da

utilização

da

figura ao lado e

fórmula

da

à

preencha,

a

planilha.

frente de cada variável, o valor correspondente.

Com o cursor

Escolhe

qual

sobre a célula

categoria

B4, clique em

funções

“inserir”, depois

utilizada para os

“função”;

cálculos.

de será

aparecerá uma telinha conforme

a

figura ao lado.

Clique

em

financeira.

Neste

campo,

aparecerão

Seleciona

as

funções

todas

as

financeiras

funções

função

financeiras;

“NPER”.

selecione

e

a

usada

a

função “NPER”, depois

clique

em “OK”.

Clique

sobre

Informar

à

cada célula que

planilha

os

corresponde ao

valores

valor solicitado.

correspondentes

Caso a variável

a cada variável.

“tipo’ não seja especificada, o Microsoft Excel® entende como

0,

portanto,

sem

entrada.

O

Microsoft

Excel® preenche com o nome de cada célula selecionada

e

apresenta

o

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

55

especificada, o Microsoft Excel® entende como

0,

portanto,

sem

entrada.

O

Microsoft

Excel

®

preenche com o nome de cada célula selecionada

e

apresenta

o

resultado. Para concluir, clique em “OK”.

Como na calculadora HP12C,

Insere o resultado

®

o Microsoft Excel apresenta o

do

cálculo

resultado do cálculo.

célula

na

correspondente.

Fonte: do autor

Fonte: do autor

Resumo As séries de pagamentos uniformes são muito utilizadas pelo comércio em geral,

As séries de pagamentos uniformes são muito utilizadas pelo comércio em geral, parcelando o pagamento dos produtos em prestações mensais fixas. Existem duas parcelando o pagamento dos produtos em prestações mensais fixas. Existem duas formas de pagamento: a antecipada, com entrada no ato da compra, e a postecipada, sem entrada no ato da compra. Veja o diagrama que segue: Postecipada Ex.:

0

1

Antecipada Ex.:

2

3

PGTO PGTO PGTO PGTO

0

1

2

3

ENTRADA

PGTO

PGTO

PGTO

PGTO

Figura 3 - Fluxo de Caixa 3 Fonte: do autor.

56

FINANÇAS EMPRESARIAIS

POSTECIPADA - END PMT =

ANTECIPADA - BEGIN n

PV * i * (1+i) n (1+i) - 1

PMT =

n PV * i * (1+i) n-1 (1+i)

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Existem diferentes sistemas de amortização para financiamentos. Veremos, a seguir, os mais utilizados nas diferentes modalidades de financiamento. Faremos a comparação do valor dos juros pagos em cada sistema de amortização, no final dos financiamentos analisados, comparando também as modalidades no final de cada período de capitalização e amortização.

SISTEMA PRICE

Como sabemos, o Sistema Price é aquele no qual o valor de pagamento das parcelas é constante, o que varia é o valor da amortização sobre o capital em cada período. O sistema price, como também já vimos, é muito utilizado na venda a prazo com parcelas fixas pelo varejo. Também foi muito utilizado para financiamentos habitacionais, tendo perdido esse espaço para o Sistema de Amortização Constante (SAC), que veremos a seguir. Pelo fato de o valor das parcelas ser constante e a amortização crescente, o valor dos juros pagos é maior do que nos outros sistemas de amortização.

SISTEMA SAC

O Sistema de Amortizações Constante, ou SAC, é o sistema de amortizações no qual o valor da parcela varia e a amortização do saldo devedor é constante. Por esse motivo, o valor das parcelas é decrescente e o pagamento dos juros nesse sistema de amortização é menor. Esse é o sistema mais utilizado nos cálculos de amortização do sistema financeiro de habitação e nos financiamentos de maior valor agregado. Sua aceitação no mercado foi mais fácil pelo fato de a cobrança dos juros ser mais justa, permitindo pagamento menor de juros ao final do plano ou maior dedução do saldo devedor para a liquidação antecipada.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

57

SISTEMA MISTO

O valor das parcelas no Sistema de Amortização Misto é obtido pela média aritmética da prestação do Sistema Price e do Sistema SAC. Assim, o valor das prestações varia para cada período e o valor da amortização também. Como o valor dos pagamentos é obtido pela média dos dois sistemas anteriores, podemos entender que o valor dos juros pagos também estará entre o Sistema Price (valor maior) e o Sistema SAC (valor menor).

Calcule e compare o valor total de juros pagos pelos 3 sistemas de amortização para um financiamento de R$ 500.000,00, em 8 parcelas anuais, com taxa de juros de 10%aa.

Para este exemplo, vamos utilizar o Microsoft Excel®.

Sistema Price

Primeiramente, calcule o valor da prestação mensal.

Operação Crie

Tela

uma

tabela

Interpretação Facilita

a

conforme a da figura ao

utilização

da

lado

fórmula

da

e

preencha,

à

frente de cada variável,

planilha.

o valor correspondente.

Com o cursor sobre a

Escolhe

célula B2, clique em

categoria

“inserir”

funções

e

“função”;

qual de será

aparecerá uma telinha

utilizada para os

conforme a figura ao

cálculos.

lado.

Clique

em

“financeira”.

Neste aparecerão

58

campo, todas

as

Seleciona funções

funções

financeiras;

financeiras

selecione

a

função

função

FINANÇAS EMPRESARIAIS “PGTO”, depois clique

as

“PGTO”.

e

a

usada

selecione

a

função

“PGTO”, depois clique

função

usada

“PGTO”.

em “OK”.

Clique

sobre

cada

Informar à planilha

célula que corresponde

os

ao

correspondentes a

valor

solicitado.

Caso a variável “tipo”

valores

cada variável.

não seja especificada, o Excel®

Microsoft entende

como

0,

portanto, sem entrada.

O

Microsoft

Excel®

preenche com o nome de

cada

selecionada

célula e

apresenta o resultado.

Para concluir, clique em “OK”.

O

Microsoft

Excel®

Insere o resultado

apresenta o resultado

do

do cálculo.

célula

cálculo

na

correspondente.

Fonte: do autor

Fonte: do autor

Agora, vamos aproveitar essa informação e criar uma tabela, na planilha, conforme o modelo a seguir:

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

59

Agora, vamos aproveitar essa informação e criar uma tabela, na planilha, conforme o modelo a seguir:

Figura 4 – Sistema Price de Amortização A Fonte: do autor

O campo “saldo inicial” é preenchido com o valor do financiamento no período 0 (Célula B7) e, a partir do período 1, é igual ao saldo final do período anterior.

A coluna seguinte, “Saldo corrigido por período”, será preenchida a partir do período 1. Vamos calcular o valor futuro inserindo a fórmula respectiva através dos seguintes passos: Selecione, no menu “Inserir”, “função”, depois escolha as funções “financeiras” e finalmente “VF”. Preencha os campos com os dados, conforme segue: VP = Saldo Inicial i = 10%, n = sempre 1, pois estamos corrigindo o saldo inicial por período.

O pagamento mensal é constante e já foi calculado anteriormente. Repita o valor (93.722,01) do período 1 ao 8.

Os juros pagos por período serão obtidos pela diferença entre o saldo corrigido por período e o saldo inicial do período 1 ao 8.

A amortização do saldo devedor é a diferença do pagamento mensal menos o pagamento dos juros do período 1 ao 8.

O saldo no final do período é o saldo inicial menos a amortização do saldo devedor.

Depois de preenchidas as informações, vamos ver como ficará nossa planilha:

60

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Figura 5 – Sistema de Amortização B Fonte: do autor

Inclua a função “SOMA” para saber o valor total dos juros pagos.

SISTEMA SAC

Para o sistema SAC, vamos fazer uma planilha semelhante, entretanto, vamos alterar a fórmula de cálculo de 2 campos:

A amortização do saldo devedor será o saldo inicial do período 0 dividido pela quantidade de pagamentos (8).

O pagamento mensal será a soma da amortização do saldo devedor e dos juros pagos por período.

Vejamos agora como ficou nossa planilha no sistema SAC:

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

61

Figura 6 – Sistema SAC de Amortização Fonte: do autor

Inclua a função “SOMA” para saber o valor total dos juros pagos.

SISTEMA MISTO

Para o cálculo do sistema misto, vamos utilizar a mesma tabela do sistema price, entretanto, vamos alterar o valor do pagamento mensal, substituindo-o pelos valores obtidos por meio do cálculo da média das parcelas do sistema Price e SAC.

Vejamos, na tabela a seguir, o cálculo do valor das parcelas e, depois, a tabela com o sistema misto de amortização:

62

FINANÇAS EMPRESARIAIS

Figura 7 – Sistema Misto de Amortização Fonte: do autor

• Sistema Price: neste sistema, o valor das parcelas é fixo e o valor da amortização do saldo devedor é crescente, portanto, a somatória dos juros pagos é maior.

• Sistema SAC: o valor das parcelas é decrescente e o valor da amortização do saldo devedor é fixa, portanto, a somatória dos juros pagos é menor do que no sistema Price.

• Sistema Misto: o valor das parcelas é obtido pela média aritmética do sistema Price e do sistema SAC; o cálculo é semelhante ao do sistema Price e a somatória dos juros é um valor intermediário entre o sistema SAC e Price.

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

63

A História da Matemática Comercial e Financeira •

I-) Introdução

É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.

As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecida.

Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos.

Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas. Das 400 tábuas matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas.

Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais. Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

•

II-) Os Juros e os Impostos

Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra. Um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000 aC. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.

A História também revela que a idéia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC, com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos.

Como em todas as instruções que tem existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a juros têm sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais, mas alguns dos antigos costumes ainda persistem de tal modo que o seu uso nos dias atuais

64

FINANÇAS EMPRESARIAIS

ainda envolve alguns procedimentos incômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. Assim, o cálculo de juros numa base anual era mais razoável; tão quanto o estabelecimento de juros compostos para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas em um ano. Conforme a necessidade de cada época, foi se criando novas formas de se trabalhar com a relação tempo-juros ( juros semestral, bimestral, diário, etc).

Há tábuas nas coleções de Berlirn, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos e há algumas tábuas em Istambul que parecem ter sido originalmente tábuas de a’ para n de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podemse resolver equações exponenciais do tipo a’ = b. Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?

(GONÇALVES, 2005)

AULA 02 - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

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ASSAF NETO, A. Finanças Corporativas e Valor. 1. Ed. São Paulo: Atlas, 2003.

FERREIRA, J. A. S. Finanças Corporativas: Conceitos e aplicações. São Paulo: Pearson Educations, 2005.

GITMAN, L. J; JOEHNK M. D. Princípios de Investimentos. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2005.

Gonçalves, J. P. A História da Matemática Comercial e Financeira. 2005. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/matfinanceira.php>. Acesso em 19-ago2015.

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PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 7. Ed. São Paulo: Saraiva, 2004.

WESTON, J. F.; BRIGHAM, E. F. Fundamentos da Administração Financeira. São Paulo: Makronn Books, 2000.

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FINANÇAS EMPRESARIAIS