Trigonometria no triângulo retângulo

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Trigonometria no triângulo retângulo e na circunferência trigonométrica A Trigonometria (do grego trigonon, “triângulo”, e metron, “medida”) estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos internos de triângulos, particularmente triângulos retângulos. Sua origem é incerta, porém sua sistematização iniciou-se na antiga Grécia, com o estudo das relações entre ângulo central, arco e corda de uma circunferência.

Circunferência trigonométrica

Sendo a a medida de um ângulo agudo em um triângulo retângulo qualquer, temos:

a

b

α c

• sen a 5

medida do cateto oposto a a b ​ _____________________________          ​​ 5 ​ __  ​ medida   da hipotenusa a

• cos a 5

medida do cateto adjacente a a c         ​ _______________________________  ​ 5 __ ​    ​ medida da hipotenusa a

• tg a 5

medida do cateto oposto a a b         ​ 5 __ ​ _______________________________ ​   ​  medida do cateto adjacente a a c

Em um plano, considere uma circunferência de raio r unitário (r 5 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. Essa estrutura, com as convenções a seguir, é chamada de circunferência trigonométrica. • O ponto A(1, 0) é a origem dos arcos a serem medidos na circunferência. • Se um arco for medido no sentido horário, então ao valor absoluto dessa medida será atribuído o sinal nega-­ tivo (2). • Se um arco for medido no sentido anti-horário, então ao valor absoluto dessa medida será atribuído o sinal positivo (1). • Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões, chamadas quadrantes (Q); esses quadrantes são numerados no sentido anti-horário, a partir do ponto A, conforme a figura. • Os pontos dos eixos coordenados não pertencem a nenhum quadrante.

Dado um ângulo agudo de medida a, temos:

y 1

sen a tg a 5 ______ ​   ​

cos a

II Q

Se dois ângulos agudos são complementares, então o seno de um deles é igual ao cosseno do outro, ou seja, se a é a medida em grau de um ângulo agudo, então:

1 A 0

�1 III Q

• sen a 5 cos (90w 2 a) • cos a 5 sen (90w 2 a)

r (1 rad)

r

s rad 5 180w Suplemento de revisão

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88

Aos pontos da circunferência trigonométrica associamos medidas em grau ou em radiano. Cada medida associada a um ponto M indica a medida do arco + ​   AM​ .

1 rad

A medida de uma circunferência é 2s rad. Temos a seguinte equivalência:

88

origem dos arcos �

B

O

x IV Q

�1

O radiano Um radiano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. +  m (​AB​ ) 5 m (AÔB) 5 1 rad

IQ

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Trigonometria no triângulo retângulo

90° ou

A

π rad 2 �

A 0° ou 0 rad 360° ou 2π rad

180° ou π rad

270° ou

3π rad 2

MATEMÁTICA

28.10.10

14:02:12


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