Trigonometria no triângulo retângulo e na circunferência trigonométrica A Trigonometria (do grego trigonon, “triângulo”, e metron, “medida”) estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos internos de triângulos, particularmente triângulos retângulos. Sua origem é incerta, porém sua sistematização iniciou-se na antiga Grécia, com o estudo das relações entre ângulo central, arco e corda de uma circunferência.
Circunferência trigonométrica
Sendo a a medida de um ângulo agudo em um triângulo retângulo qualquer, temos:
a
b
α c
• sen a 5
medida do cateto oposto a a b _____________________________ 5 __ medida da hipotenusa a
• cos a 5
medida do cateto adjacente a a c _______________________________ 5 __ medida da hipotenusa a
• tg a 5
medida do cateto oposto a a b 5 __ _______________________________ medida do cateto adjacente a a c
Em um plano, considere uma circunferência de raio r unitário (r 5 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. Essa estrutura, com as convenções a seguir, é chamada de circunferência trigonométrica. • O ponto A(1, 0) é a origem dos arcos a serem medidos na circunferência. • Se um arco for medido no sentido horário, então ao valor absoluto dessa medida será atribuído o sinal nega- tivo (2). • Se um arco for medido no sentido anti-horário, então ao valor absoluto dessa medida será atribuído o sinal positivo (1). • Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões, chamadas quadrantes (Q); esses quadrantes são numerados no sentido anti-horário, a partir do ponto A, conforme a figura. • Os pontos dos eixos coordenados não pertencem a nenhum quadrante.
Dado um ângulo agudo de medida a, temos:
y 1
sen a tg a 5 ______
�
cos a
II Q
Se dois ângulos agudos são complementares, então o seno de um deles é igual ao cosseno do outro, ou seja, se a é a medida em grau de um ângulo agudo, então:
1 A 0
�1 III Q
• sen a 5 cos (90w 2 a) • cos a 5 sen (90w 2 a)
r (1 rad)
r
s rad 5 180w Suplemento de revisão
088_095_SR_MAT_PLUS_T_11.indd
88
Aos pontos da circunferência trigonométrica associamos medidas em grau ou em radiano. Cada medida associada a um ponto M indica a medida do arco + AM .
1 rad
A medida de uma circunferência é 2s rad. Temos a seguinte equivalência:
88
origem dos arcos �
B
O
x IV Q
�1
O radiano Um radiano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. + m (AB ) 5 m (AÔB) 5 1 rad
IQ
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Trigonometria no triângulo retângulo
90° ou
A
π rad 2 �
A 0° ou 0 rad 360° ou 2π rad
180° ou π rad
270° ou
3π rad 2
MATEMÁTICA
28.10.10
14:02:12