Progressão aritmética e progressão geométrica Qualquer conjunto cujos elementos obedecem a uma ordem é uma sequência. No cotidiano, encontramos várias sequências: a lista de chamada de uma turma, as palavras em um dicionário, a classificação dos alunos aprovados no vestibular etc.
O conceito de sequência
Representação genérica Dados x e r números reais, podemos usar as seguintes representações: Razão
Representação
PA de 3 termos
r
(x, x 1 r, x 1 2r)
PA de 3 termos
r
(x 2 r, x, x 1 r)
PA de 4 termos
r
(x, x 1 r, x 1 2r, x 1 3r)
PA de 4 termos
2r
(x 2 3r, x 2 r, x 1 r, x 1 3r)
Fórmula do termo geral
(a1, a2, a3, ... an)
Numa PA (a1, a2, a3, ... an, ...) de razão r, temos: extremos
an 5 a1 1 (n 2 1) 3 r
Dois termos, ai e aj, são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que precedem ai é igual à quantidade de termos que sucedem a j. Um termo am é chamado de termo médio de uma sequência com número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que antecedem am é igual à quantidade de termos que o sucedem. Lei de formação da sequência é um conjunto de informações que determina todos os termos de uma sequência e a ordem em que são apresentados.
Progressão aritmética (PA) Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética.
De maneira geral, temos: an 5 ak 1 (n 2 k) 3 r
Representação gráfica A representação gráfica da PA (a1, a2, a3, ... an, ...) é formada pelos pontos (n, an) do plano cartesiano. Esses pontos pertencem à reta de equação y 5 a1 1 (x 2 1)r.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Sequência finita é toda função de domínio A 5 {1, 2, 3, ..., n} com A - vR e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não vazio. Sequência infinita é toda função de domínio vR 5 {1, 2, 3, ...} e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não vazio. Cada elemento de uma sequência é também chamado de termo da sequência. O termo que ocupa a posição de número n é indicado pelo símbolo an. Em uma sequência finita (a1, a2, a3, ... an) , os termos a1 e an são os extremos da sequência.
Propriedades Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. (a1, a2, ..., ak 1 1, ..., an 2 k, ..., an 2 1, an)
(a1, a2, a3, ... an, ...) 1r 1r a1 1 an 5 a2 1 an 2 1 5 ak 1 1 1 an 2 k
Classificação Crescente
Cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior.
razão positiva
Decrescente
Cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior.
razão negativa
Constante
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Todos os termos são iguais.
Suplemento de revisão
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razão nula
Uma sequência de três termos é uma PA se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre os outros dois: a1c (a, b, c) é PA [ b 5 ______ 2 Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética entre os extremos.
MATEMÁTICA
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