Polinômios e equações polinomiais

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Polinômios e equações polinomiais Até o início do século XIX, os matemáticos já haviam deduzido fórmulas resolutivas para equações polinomiais do 1o ao 4o grau. Nessa época, os matemáticos Niels Henrik Abel e Évarist Galois provaram que equações polinomiais de grau superior a 4 não podem ser resolvidas por radicais e combinações dos coeficientes, isto é, não existem fórmulas resolutivas de equações polinomiais de grau igual ou superior a 5.

Polinômios

Indicamos a identidade entre dois polinômios, P(x) e Q(x), por P(x) 6 Q(x).

•  Para indicar que P(x) representa a expressão anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 an 2 2xn 2 2 1 ... 1 a1x 1 a0, escrevemos: P(x) 5 anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 an 2 2xn 2 2 1 ... 1 a1x 1 a0, ou P(x) 6 anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 an 2 2xn 2 2 1 ... 1 a1x 1 a0 •  Cada uma das parcelas anxn, an 2 1xn 2 1, an 2 2xn 2 2, ..., a1x e a0 é um termo ou monômio do polinômio, sendo a0 o termo independente da variável x. •  Os números complexos an, an 2 1, an 2 2, ..., a1 e a0 são os coeficientes do polinômio. Se todos esses coeficientes são iguais a zero, o polinômio é chamado identicamente nulo. Indica-se que um polinômio P(x) é identicamente nulo por P(x) 6 0. •  O grau de um polinômio não identicamente nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não nulos. Indicamos o grau de um polinômio P pelo símbolo P ou pelo símbolo gr(P). Não se define grau de um polinômio identicamente nulo, pois todos os seus coeficientes são nulos. •  O coeficiente não nulo da variável de maior expoente é o coeficiente dominante do polinômio, ou seja, o coeficiente dominante é o do termo que determina o grau do polinômio.

Valor numérico de um polinômio Atribuindo um valor complexo a à variável x, obtemos a expressão: anan 1 an 2 1an 2 1 1 an 2 2an 2 2 1 ... 1 a1a 1 a0, cujo resultado é chamado de valor numérico do polinômio P(x) para x 5 a. Indicamos esse valor numérico por P(a).

Chamamos de raiz do polinômio P(x) todo número complexo a tal que P(a) 5 0. A raiz também é chamada de zero do polinômio.

Identidade de polinômios Dois polinômios são idênticos se, e somente se, têm o mesmo grau e termos semelhantes iguais ou se são identicamente nulos. Suplemento de revisão

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Adição e subtração de polinômios A soma de dois polinômios, P(x) e Q(x), é o polinômio obtido adicionando-se os termos de P(x) com os termos semelhantes de Q(x). Se os polinômios P e Q têm graus m e n, respectivamente, com m > n, e P 1 Q é não nulo, então: gr(P 1 Q) < m Dois polinômios são opostos quando a soma deles é o polinômio identicamente nulo. Assim, o oposto de P(x) 5 anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 an 2 2xn 2 2 1 ... 1 a1x 1 a0 é o polinômio que indicamos por 2P(x), dado por: 2P(x) 5 2anxn 2 an 2 1xn 2 1 2 an 2 2xn 2 2 2 ... 2 a1x 2 a0 A diferença entre os polinômios P(x) e Q(x), nessa ordem, que indicamos por P(x) 2 Q(x), é definida como a soma de P(x) com o oposto de Q(x), isto é: P(x) 2 Q(x) 6 P(x) 1 [2Q(x)]

Multiplicação de polinômios O produto dos monômios ax r e bx s, de variável x e coeficientes a e b, é o monômio abx r 1 s. Sendo P(x) e Q(x) polinômios quaisquer, definimos o produto de P(x) por Q(x) como a soma dos produtos de cada monômio de P(x) por todos os monômios de Q(x). Se os polinômios P e Q têm graus m e n, respectivamente, então: gr(P 3 Q) 5 m 1 n

Divisão de polinômios Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio não nulo D(x) significa obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que:

Raiz de um polinômio

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Operações com polinômios

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser representada na forma anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 an 2 2xn 2 2 1 ... 1 a1x 1 a0 em que {a0, a1, a2, ..., an] - n, {n, n 2 1, n 2 2, ..., 1, 0} - v, e a variável x pode assumir qualquer valor complexo.

Q(x) 3 D(x) 1 R(x) 6 E(x) de modo que gr(R) , gr(D) ou R(x) 6 0. •  Os polinômios E(x), D(x), Q(x) e R(x) são chamados, respectivamente, de dividendo, divisor, quociente e resto da divisão. •  Demonstra-se que existe um único quociente Q(x) e um único resto R(x) na divisão de E(x) por D(x).

MATEMÁTICA

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