Geometria analítica cônicas

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Geometria analítica: cônicas Iluminando uma parede plana com uma lanterna, a intersecção da superfície do cone de luz com o plano da parede representa uma figura cônica. Dependendo da inclinação do eixo do cone em relação ao plano da parede, essa figura pode ser uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou um ramo de hipérbole.

P é interior a H

P pertence a H

P é exterior a H

d,R

d5R

d.R

Consideremos no plano cartesiano uma circunferência H de centro C(a, b) e raio R. Sendo G(x, y) um ponto genérico, temos que G pertence a H se, e somente se, CG 5 R, ou seja:

P

y

P R G(x, y)

C

d

C

C �

R

P

R

d=R

d

d​ lllllllllllllll (x 2 a)2 1 (y 2   b)2 ​ 5 R b

C x

a

Equação reduzida da circunferência Elevando ao quadrado ambos os membros da equação acima, obtemos a equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio R:

Posições relativas entre reta e circunferência No plano cartesiano, as posições relativas entre uma reta s e uma circunferência H podem ser observadas a partir da comparação entre o raio r de H e a distância d entre a reta e o centro C da circunferência. s é secante a H

s é tangente a H

s é exterior a H

d,R

d5R

d.R

(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 R2 A equação (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 k, nas variáveis x e y, com {a, b, k} - V, representa: •  uma circunferência se, e somente se, k . 0; •  um ponto se, e somente se, k 5 0; •  o conjunto vazio se, e somente se, k , 0.

Equação geral da circunferência Eliminando os parênteses da equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio R, obtemos a equação geral (ou normal) da circunferência: x 2 1 y 2 2 2ax 2 2by 1 a 2 1 b2 2 R2 5 0

Posições relativas entre ponto e circunferência

Suplemento de revisão

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d=R C

C

d

R C

R

Dadas as equações da reta s: ax 1 by 1 c 5 0 e da circunferência H: (x 2 x0)2 1 (y 2 y0)2 5 R2, temos que s ) H é o conjunto solução do sistema:

{

ax 1 by 1 c 5 0 ​           ​       ​ (x 2 x0)2 1 (y 2 y0)2 5 R2​

Por substituição, obtemos uma equação do 2o grau em uma única variável. Sendo S o discriminante dessa equação, temos: • Se S , 0, o sistema é impossível, o que significa que s é exterior a H.

No plano cartesiano, as posições relativas entre um ponto P e uma circunferência H podem ser observadas a partir da comparação entre o raio R de H e a distância d entre o ponto e o centro C da circunferência.

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d

s

s

s

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Circunferência

• Se S 5 0, o sistema tem uma única solução, o que significa que s é tangente a H. • Se S . 0, o sistema tem exatamente duas soluções, o que significa que s é secante a H.

MATEMÁTICA

29/10/10

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Geometria analítica cônicas by Prof° Everton Moraes - Issuu