Análise combinatória e binômio de newton

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Análise combinatória e Binômio de Newton A Análise combinatória estuda métodos de contagem. Embora não se possa precisar a época em que surgiu nem seus idealizadores, é certo que a primeira obra impressa que apresenta problemas de Análise combinatória foi a Summa de Arithmetica, geometria, proportione et proportionalita, de Luca Pacioli, publicada em Veneza, no ano de 1494.

Se os experimentos A e B podem apresentar m e n resultados distintos, respectivamente, então o número de resultados distintos que o experimento composto de A e B pode apresentar, nessa ordem, é dado pelo produto: m3n Esse princípio pode ser generalizado para qualquer número finito de experimentos.

Princípio aditivo da contagem

Permutação simples Dados os n elementos distintos do conjunto I 5 {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se permutação simples dos n elementos de I todo arranjo simples desses n elementos, tomados n a n. Pn 5 An, n 5 n! Considere n elementos, entre os quais o elemento a1 comparece n1 vezes, o elemento a2 comparece n2 vezes, ..., o elemento ak comparece nk vezes. O número de permutações com elementos repetidos, que indicamos por ​Pn(n ​ , n , n , ..., n )​, é dado por: 1

2

3

k

Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por:

n! ​Pn(n ​ , n , n , ..., n )​5 ___________________ ​       ​ n1! 3 n2! 3 n3! 3 ... 3 nk! 1

2

3

k

n(A 0 B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A ) B) Se A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, se n(A ) B) 5 0, temos:

Combinação simples Dados os n elementos distintos do conjunto I 5 {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se combinação simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos, com {n, p} - v e p < n.

n(A 0 B) 5 n(A) 1 n(B)

Fatorial de n Seja n um número natural, com n > 2. Fatorial de n, que é representado por n!, é o produto dos números naturais consecutivos: n, n 2 1, n 2 2, ..., 1. Isto é: n! 5 n 3 (n 2 1) 3 (n 2 2) 3 ... 3 1 Define-se: 0! 5 1 e 1! 5 1 Propriedade fundamental dos fatoriais:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Princípio fundamental da contagem

An, p n! Cn, p 5 ____ ​   ​ 5 __________    ​  ​  p! p!(n 2 p)!

Binômio de Newton Para quaisquer números reais x e a e qualquer número natural n, temos: n

n! 5 n 3 (n 2 1)!, un, com n 9 vR

∑ ​​​ @ p n​  ​ #​​x

(x 1 a)n 5 ​

n2p

ap 5

p50

@  #

@  #

@  #

@  #

n n         ​  ​  ​xna0 1 ​ n ​1 ​   ​xn 2 1a1 1 ​ n ​2 ​  ​xn 2 2a2 1 ... 1 ​ p ​  ​  ​xn 2 pap 1 5​0

Arranjo simples Dados os n elementos distintos do conjunto I 5 {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I, com p 9 vR e p < n.

n ​n​  #​x0an 1 ... 1 ​@   O termo geral do binômio de Newton é dado por: n   •  T 5 ​ p ​ ​   x​ pan 2 p, segundo a ordem crescente dos expoentes

@  #

de x; n! An, p 5 ________ ​     ​  (n 2 p)!

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Suplemento de revisão

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@  #

n   •  T 5 ​ p ​ ​   x​ n 2 p ap, segundo a ordem decrescente dos expoentes de x.

MATEMÁTICA

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