Análise combinatória e Binômio de Newton A Análise combinatória estuda métodos de contagem. Embora não se possa precisar a época em que surgiu nem seus idealizadores, é certo que a primeira obra impressa que apresenta problemas de Análise combinatória foi a Summa de Arithmetica, geometria, proportione et proportionalita, de Luca Pacioli, publicada em Veneza, no ano de 1494.
Se os experimentos A e B podem apresentar m e n resultados distintos, respectivamente, então o número de resultados distintos que o experimento composto de A e B pode apresentar, nessa ordem, é dado pelo produto: m3n Esse princípio pode ser generalizado para qualquer número finito de experimentos.
Princípio aditivo da contagem
Permutação simples Dados os n elementos distintos do conjunto I 5 {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se permutação simples dos n elementos de I todo arranjo simples desses n elementos, tomados n a n. Pn 5 An, n 5 n! Considere n elementos, entre os quais o elemento a1 comparece n1 vezes, o elemento a2 comparece n2 vezes, ..., o elemento ak comparece nk vezes. O número de permutações com elementos repetidos, que indicamos por Pn(n , n , n , ..., n ), é dado por: 1
2
3
k
Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por:
n! Pn(n , n , n , ..., n )5 ___________________ n1! 3 n2! 3 n3! 3 ... 3 nk! 1
2
3
k
n(A 0 B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A ) B) Se A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, se n(A ) B) 5 0, temos:
Combinação simples Dados os n elementos distintos do conjunto I 5 {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se combinação simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos, com {n, p} - v e p < n.
n(A 0 B) 5 n(A) 1 n(B)
Fatorial de n Seja n um número natural, com n > 2. Fatorial de n, que é representado por n!, é o produto dos números naturais consecutivos: n, n 2 1, n 2 2, ..., 1. Isto é: n! 5 n 3 (n 2 1) 3 (n 2 2) 3 ... 3 1 Define-se: 0! 5 1 e 1! 5 1 Propriedade fundamental dos fatoriais:
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Princípio fundamental da contagem
An, p n! Cn, p 5 ____ 5 __________ p! p!(n 2 p)!
Binômio de Newton Para quaisquer números reais x e a e qualquer número natural n, temos: n
n! 5 n 3 (n 2 1)!, un, com n 9 vR
∑ @ p n #x
(x 1 a)n 5
n2p
ap 5
p50
@ #
@ #
@ #
@ #
n n xna0 1 n 1 xn 2 1a1 1 n 2 xn 2 2a2 1 ... 1 p xn 2 pap 1 50
Arranjo simples Dados os n elementos distintos do conjunto I 5 {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I, com p 9 vR e p < n.
n n #x0an 1 ... 1 @ O termo geral do binômio de Newton é dado por: n • T 5 p x pan 2 p, segundo a ordem crescente dos expoentes
@ #
de x; n! An, p 5 ________ (n 2 p)!
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Suplemento de revisão
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n • T 5 p x n 2 p ap, segundo a ordem decrescente dos expoentes de x.
MATEMÁTICA
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