Lycée Philippe Lebon
Mathématiques en situation Statistiques ~ Loi normale Une planche de Galton est un dispositif inventé par Francis Galton qui illustre la convergence d'une loi binomiale vers une loi normale. Des clous sont plantés sur la partie supérieure de la planche, de telle sorte qu'une bille lâchée sur la planche passe soit à droite soit à gauche pour chaque rangée de clous. Dans la partie inferieure les billes sont rassemblées en fonction du nombre de passages à gauche et de passage à droite qu'elles ont fait. Ainsi chaque case correspond à un résultat possible d'une expérience binomiale (en tant qu'une expérience de Bernoulli répété) et on peut remarquer que la répartition des billes dans les cases approche la forme d'une courbe de Gauss.
Supposons que nous tirions des échantillons aléatoires d'une population dont le poids moyen est de 170 livres, avec un écart type de 50 livres. Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche, appelée loi normale. 68% σ
σ
µ-σ
µ
µ-σ
Cette courbe est aussi appelée loi de Gauss, en l'honneur du grand mathématicien allemand Karl Friederich Gauss (1777-1855). La loi normale est la loi statistique la plus répandue et la plus utile. Elle représente beaucoup de phénomènes aléatoires. De plus, de nombreuses autres lois statistiques peuvent être approchées par la loi normale, tout spécialement dans le cas des grands échantillons. Son expression mathématique est la suivante : 2
n(x)=
(x−µ) n le nombre total d'individus dans l'échantillon n 2σ e avec µ est la moyenne σ l'écart type 2π σ 2
On montre les résultats suivants : • • • •
50% des individus en-dessous de la moyenne µ et 50% au-dessus 68% des individus entre µ-σ et µ+σ 95% des individus entre µ-2σ et µ+2σ 99,7% des individus entre µ-3σ et µ+3σ