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Mathématiques en situation Electricité ~ Vecteurs de Fresnel et nombres complexes On considère un circuit avec un générateur et deux dipôles comme le montre le schéma ci-dessous.

En appliquant la loi des mailles à ce circuit, on a u=u1 +u2 . Mais la somme u1+u2 est souvent difficile à calculer. Nous disposons alors de deux "outils" afin de calculer cette somme. 1er outil : vecteurs de Fresnel On associe à chaque tension u1 et u2 un vecteur, que l’on notera Å2 comme le montre le schéma ci-contre. Å1 et U U Ces vecteurs sont appelés vecteur de Fresnel. Afin de calculer la somme u1+u2, on effectue la somme vectorielle Å1+ U Å2 U On trouve alors : u=U 2 cos(ωt+φ) avec U=7 V et φ=0,67 rad 1er outil : nombres complexes A la tension u1, on associe un nombre complexe, noté U1 défini par: U1=a+jb a et b vérifient les relations ci-contre : A la somme u=u1+u2, correspond la somme des nombres complexes U=U1+U2 On a U=3+(2,5+4,33j) On a U=5,5+4,33j On obtient : U= 5,52+4,332 =7 V φ=arctan 4,33 =0,67 rad  

5


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Mathématiques en situation Economie ~ Impôt sur le revenu Tout salarié est assujetti à l’impôt sur le revenu. Chaque année, il doit déclarer le montant des salaires touchés au cours de l’année précédente. On applique à ce revenu total un abattement de 10% (correspondent aux frais dus à l’emploi : déplacements, repas, vêtements de travail …) pour obtenir le revenu imposable. Le montant de l’impôt se calcule alors par "tranches" du revenu imposable, chaque tranche étant soumise à un taux différent. Les mathématiques permettent de trouver les formules de calcul figurant sur la notice (2007) que fournit le Trésor Public. Tranche En dessous de 5687 € Entre 5687 € et 11344 € Entre 11344 € et 25195 € Entre 25195 € et 67546 € Au-dessus de 67546 €

Taux d’imposition Formule de calcul 0% I=0 5,5 % I=R×0,055−313 14 % I=R×0,14−1277 30 % I=R×0,3−5308 40 % I=R×0,4−12063 Barème de la déclaration des revenus de 2007

déc oupag e en "tranc hes " d'un revenu impos able de 30 000 € 30 000 € 4 805 €

25195€

25 000 €

×30%

20 000 € 13 851 €

30000€

15 000 €

×14% 11344€

10 000 € 5 657 €

×5,5%

5687€

5 000 € 1 442 €

5 687 €

1 939 € 311 € revenu

3692€ 0€

impôt

20

montant de l'impôt (en milliers d'euros)

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

10

20

30

40

50 60 70 80 re ve nu im posa ble (e n m illie rs d'e uros)


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Mathématiques en situation Statistiques ~ Loi normale Une planche de Galton est un dispositif inventé par Francis Galton qui illustre la convergence d'une loi binomiale vers une loi normale. Des clous sont plantés sur la partie supérieure de la planche, de telle sorte qu'une bille lâchée sur la planche passe soit à droite soit à gauche pour chaque rangée de clous. Dans la partie inferieure les billes sont rassemblées en fonction du nombre de passages à gauche et de passage à droite qu'elles ont fait. Ainsi chaque case correspond à un résultat possible d'une expérience binomiale (en tant qu'une expérience de Bernoulli répété) et on peut remarquer que la répartition des billes dans les cases approche la forme d'une courbe de Gauss.

Supposons que nous tirions des échantillons aléatoires d'une population dont le poids moyen est de 170 livres, avec un écart type de 50 livres. Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche, appelée loi normale. 68% σ

σ

µ-σ

µ

µ-σ

Cette courbe est aussi appelée loi de Gauss, en l'honneur du grand mathématicien allemand Karl Friederich Gauss (1777-1855). La loi normale est la loi statistique la plus répandue et la plus utile. Elle représente beaucoup de phénomènes aléatoires. De plus, de nombreuses autres lois statistiques peuvent être approchées par la loi normale, tout spécialement dans le cas des grands échantillons. Son expression mathématique est la suivante : 2

n(x)=

(x−µ) n le nombre total d'individus dans l'échantillon n 2σ e avec µ est la moyenne σ l'écart type 2π σ 2

On montre les résultats suivants : • • • •

50% des individus en-dessous de la moyenne µ et 50% au-dessus 68% des individus entre µ-σ et µ+σ 95% des individus entre µ-2σ et µ+2σ 99,7% des individus entre µ-3σ et µ+3σ


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Mathématiques en situation Théorie des graphes ~ Les 7 ponts de Königsberg L'article considéré comme fondateur de la théorie des graphes fut présenté par le mathématicien suisse Leonhard Euler à l'Académie de Saint Petersburg en 1735, puis publié en 1741, et traitait du problème des sept ponts de Königsberg.

Le problème consistait à trouver une promenade à partir d'un point donné qui fasse revenir à ce point en passant une fois et une seule par chacun des sept ponts de la ville de Königsberg. Un chemin passant par toute arête exactement une fois fut nommé chemin eulérien s'il finit là où il a commencé. On accorde donc à Euler l'origine de la théorie des graphes parce qu'il fut le premier à proposer un traitement mathématique de la question, suivi par Vandermonde.

Il faut donc trouver un chemin qui permette de parcourir chacun des 7 ponts une et une seule fois On crée le graphe correspondant à la situation :

La résolution du problème des ponts de Königsberg repose sur l’utilisation du théorème d’Euler, plus précisément on recherche un chemin eulérien : Si tous les sommets sont de degré pair, alors il existe un chemin eulérien Dans le cas du problème des 7 ponts : Sommet

Degré



3



5



3



3

Le problème des 7 ponts de Königsberg n’a donc pas de solution…


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Mathématiques en situation Physique ~ Loi de désintégration radioactive En physique, certains éléments ont des propriétés radioactives, c’est-à-dire que les noyaux peuvent se désintégrer. Par exemple, le carbone possède un isotope radioactif, le carbone 14. Celui-ci se désintègre en perdant un électron, et se transforme en azote. Cette désintégration est utilisée notamment pour dater des fossiles ou des ossements (on sait que les noyaux commencent à se désintégrer quand l’organisme meurt).

Notons N(t) le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t. L’expérience montre que, entre les instants t et t+∆t, le nombre ∆N(t) de noyaux désintégrés par rapport au nombre de noyaux présents au départ est proportionnel à l’intervalle de temps ∆t. Ainsi on obtient les formules suivantes : ∆N(t) N(t)

=-λ×∆t

dN(t) et

dt

=-λ×N(t)

Les mathématiciens ont donc modélisé ce problème en cherchant les fonctions N vérifiant : N′(t)=-λ×N(t) pour tout t On obtient alors une équation particulière dont l’inconnue n’est plus un nombre, mais une fonction. Cette équation lie la fonction inconnue t→N(t) à sa dérivée ; on dit que c’est une équation différentielle. Les mathématiques permettent de trouver une fonction vérifiant ces contraintes à l’aide d’une méthode qui donne l’allure de la courbe N(t), c’est la méthode d’Euler. Cette méthode repose sur la formule d’approximation affine N(a+h)óN(a)+h×N′(a) et sur un procédé itératif qui permet de construire point par point la courbe de la fonction N :

courbe théorique

courbe pratique


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Mathématiques en situation Informatique ~ RVB ~ Couleurs HTML Le système RVB Chaque pixel d’un moniteur couleur est constitué de trois photophores : rouge, vert et bleu, dont on peut régler l’intensité d’émission. La couleur du pixel est fonction de l’intensité des phosphores : c’est le système additif RVB. Il existe 256 niveaux différents d’intensité pour chaque phosphore. Pour chaque couleur, le niveau d’intensité (entre 0 et 255) est codé en binaire (base 2). Puis les trois codes sont juxtaposés dans cet ordre : rouge, vert, bleu.

Le code HTML En langage HTML, les codes couleurs sont donnés sur le même principe (rouge-vert-bleu), mais en codage hexadécimal (base 16), à l’aide des caractères 0, 1, 2,…, 9, A, B, C, D, E, F. Ce codage est précédé du symbole #. Ainsi, le blanc par exemple est codé : #FFFFFF rouge maxi / vert maxi / bleu maxi

Voici un schéma expliquant le principe du système RVB :

En HTML, le bleu lavande, dont les niveaux d’intensité sont 150 pour le rouge, 131 pour le vert et 236 pour le bleu se code via : • 150 en base 10 donne 96 en hexa • 131 en base 10 donne 83 en hexa • 236 en base 10 donne EC en hexa • le bleu lavande a donc comme code HTML #9683EC Voici une vérification via le module Couleurs de Word© et celui de PhotoFiltre© :

HTML


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Mathématiques en situation Industrie ~ Volume d'un solide En faisant "tourner" une courbe autour d'un axe, on obtient un solide de révolution. Ce procédé permet d’obtenir des pièces avec des formes plus ou moins complexes. Il est ensuite intéressant de connaître le volume du solide ainsi défini.

Par exemple en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés on obtient un cylindre. La fonction f correspondante est f(x)=R, où R est le rayon de la base du cylindre. Pour un cylindre de hauteur, on fait varier x de 0 à h.

De manière générale, si on fait tourner autour de l’axe (Ox) la courbe d’une fonction f limitée par les droites d’équations x=a et x=b, on engendre un solide de révolution limité par les plans parallèles à (O;Åj ,Å k ) de cotes respectives a et b. Le volume de ce solide, en unités de volume, est donné par la formule : V = ⌠⌡ b S(x)dx=π× ⌠⌡ b [f(x)]2dx a

a

Avec par exemple la fonction f(x)= x 2−x 4 sur [-1;1], on obtient la courbe et la surface suivante :

Les formules nous donnent donc : V =π× ⌠⌡ 1 x 2−x 4dx= -1

4π 15

unités de volume

On obtient de mêmes les formules suivantes : 4πR 3 R −x dx= 3 2

• pour une boule de rayon R

R V =π× ⌠⌡ -R

• pour un cylindre de longueur L et de rayon R

V =π×  2 r 2dx=πR 2L

2

2

⌠L

⌡- L 2

• pour un cône de longueur l et de rayon r

⌠l V =π×   ⌡0 

r 2 1 x  dx= πrl 2 l  3


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Mathématiques en situation Architecture ~ Surfaces Le recours des architectes aux sciences mathématiques est guidé depuis les civilisations anciennes par des besoins pratiques, utilitaires et plus encore aujourd'hui, esthétiques. Le parcours d'Antonio Gaudi est atypique, il est connu du grand public pour la construction de la grande cathédrale de Barcelone, la Sagrada familia (encore inachevée) à la fois plus aérienne et plus solide qu'aucune autre cathédrale. Toute l'œuvre de l'architecte catalan Antonio Gaudi est inspirée dans les formes, notamment les paraboloïdes hyperboliques, la géométrie (et les couleurs) de la nature.

En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Certaines sections d'un paraboloïde avec un plan sont des paraboles. D'autres sont, selon le cas, des ellipses ou des hyperboles. On peut distinguer les paraboloïdes hyperboliques et les paraboloïdes elliptiques. Dans un repère bien choisi, l’équation d’un paraboloïde hyperbolique est donnée par :  x 2  y 2   −   −z=0 a  b  La forme particulière de cette surface lui vaut le surnom de selle de cheval L’utilisation d’un tableur permet d’obtenir une telle surface (ici x 2−y 2=z) :

Gaudi a utilisé des paraboloïdes hyperboliques pour concevoir la voute de la Sagrada Familia à Barcelone :


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Mathématiques en situation Economie ~ Prix d'équilibre En micro-économie, on analyse le marché d’un produit en considérant qu'il s'agit de la confrontation entre l'offre des producteurs et la demande des consommateurs. La fonction offre est modélisée par une fonction croissante f qui exprime la quantité offerte en fonction du prix unitaire. La fonction de demande est une fonction décroissante g qui exprime la quantité demandée en fonction du prix unitaire. Le prix d'équilibre du marché est donc la valeur pe pour laquelle : f ( pe) =g ( pe ) .

L'économiste Jan Tinbergen a recherché un modèle permettant d'expliquer comment le prix d'équilibre est atteint par étapes successives à partir d'un prix initial donné. Il a posé l'hypothèse suivante : alors que les consommateurs s'adaptent immédiatement au prix du marché, les producteurs réagissent à la demande avec un décalage temporel car il leur fait le temps d'adapter leur(s) appareil(s) de production, qui présente(nt) une certaine inertie, tant à la hausse (pour des raisons techniques) qu'à la baisse (pour des raisons sociales). En prenant comme unité de temps qui selon le produit peut être la semaine, le mois, le trimestre, l'année… On note pn , dn et sn respectivement le prix unitaire, la demande et l'offre pour la période n, et on pose : dn =g pn 

 sn+1=dn sn =f pn 

On en déduit donc que f pn+1=sn+1=dn =g pn , ce qui permet en général d'exprimer pn+1 en fonction de pn , et donc d'étudier l'évolution temporelle du prix unitaire. Les fonctions f et g étant représentées dans un même repère, on peut représenter cette évolution par le schéma ci-contre, qui explique le nom imagé de "de toile d'araignée" (en anglais cabweb) donné à cette théorie. Le prix initial p0 crée immédiatement une demande d0=g p0. Une période plus tard, les producteurs ont adapté leur offre : s1=d0 ; cette offre est faite à un prix unitaire p1 telle que s1=f p1. Elle crée immédiatement une demande d1=g p1. Cette demande suscite, une période plus tard, une offre s2=d1 ; cette offre est faite à un prix unitaire p2 telle que s2=f p2, etc… On constate sur le schéma ci-contre que la suite des prix (pn ) converge vers le prix d’équilibre, abscisse du point d’intersection des courbes d'offre et de demande.


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Mathématiques en situation Travaux publics ~ Tracé de routes En France, la normalisation et la conception des référentiels techniques en matière de route provient de l'administration chargée des transports: le ministère de l'Equipement et plus particulièrement de la Direction des routes. Ce domaine bénéficie d'un certain nombre de règles facilitant la conception des ouvrages. Elles ont été complétées au fur et à mesure pour prendre en compte l'évolution des techniques et des fonctionnements de la société.

Le tracé en plan d'une route est constitué d'une succession de courbes et d'alignements droits séparés ou pas par des raccordements progressifs. Il vise à assurer de bonnes conditions de sécurité et de confort tout en s'intégrant au mieux dans la topographie du site. Un outil mathématique fondamental dans la gestion des raccordements de routes est la clothoïde, ou plus précisément les arcs de clothoïdes. x(t)=k ⌠⌡ t cosu 2du 0  ⌠t 2 y(t)=k ⌡0 sinu du Leurs domaines d’utilisation sont les suivants : • Ils peuvent constituer d'emblée une partie du tracé. • Ils servent de raccordement entre deux alignements droits entre deux cercles, etc… • Ils sont utilisés pour toutes les zones où le dévers doit varier. Quelques compositions de courbes sont fréquentes : Courbe en S ; Courbe à sommet ; Courbe en C ; Courbe en ove Dans les images ci-dessous, R représente un cercle de rayon R, et C une clothoïde

Concrètement, on peut voir un exemple de raccordements de routes, l’un aux environs de l’échangeur autoroutier de Chaumont et l’autre aux environs de Joinville.


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Mathématiques en situation Informatique ~ Courbes de Bézier Vers 1962, Pierre Bézier, ingénieur chez Renault a créé un modèle qui est à la base de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO). L’enjeu est de pouvoir créer des courbes répondant à certaines contraintes de façon simple. Synthèse d'images Les courbes de Bézier composent l'outil de la base du dessin vectoriel qui repose sur la transcription mathématique des objets. Les courbes de Bézier cubiques, les plus utilisées, se retrouvent en graphisme et dans de multiples systèmes de synthèse d'images, tels que PostScript©, Metafont© et The Gimp© ou PhotoShop©, pour dessiner des courbes « lisses » joignant des points ou des polygones de Bézier. Rendus de fontes Les textes sont également définis par des courbes de Bézier dans le cadre des fonctions de PAO comme la mise en page complexe, la gestion de bloc de texte, les habillages. Les polices de caractère TrueType© utilisent des courbes de Bézier quadratiques plus simples. C'est ce type de courbe qu'on peut tracer dans Paint© avec l'outil Courbe , en traçant un trait de A à D puis en cliquant successivement sur les points B et C.

A l’aide de quatre points A, B, C et D, on définit des points G, H, K, N, P et N par : • • • • • •

G=bary{ (A;1-t), (B;t) } H=bary{ (B;1−t), (C;t) } K=bary{ (C;1−t), (D;t) } N=bary{ (G;1−t), (H;t) } P=bary{ (H;1−t), (K;t) } M=bary{ (N;1−t), (P;t) }

Quatre points A, B, C et D définissent une courbe de Bézier cubique. La courbe se trace en partant du point A, en se dirigeant vers B et en arrivant au point D selon la direction C-D. En général, la courbe ne passe ni par B ni par C : ces points sont simplement là pour donner une information de direction. La distance entre A et B détermine la « longueur » du déplacement dans la direction de B avant de tourner vers D. Les captures suivantes montrent la courbe obtenue avec Paint© et celle obtenue à l’aide de Geogebra®, cela se passe de commentaire…


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Mathématiques en situation Physique ~ Charge et décharge d’un condensateur Un condensateur est un composant électronique qui permet de stocker momentanément de l’énergie électrique (on dit que le condensateur se charge) pour la restituer ensuite (le condensateur alors se décharge). Dans le montage électrique ci-dessous, le condensateur est symbolisé par deux barres parallèles. Il est monté en série avec une résistance (symbolisée par un rectangle) et un générateur de tension continue (symbolisé par un cercle). K est un commutateur permettant de court-circuiter le générateur : dans la position K1, le condensateur se charge, et dans la position K2 il se décharge.

On note U la tension aux bornes du condensateur (U est une fonction du temps t). Pendant la charge du condensateur, on montre que U vérifie l’équation différentielle (*) : (*)

U(t)+τ×

dU(t)

=E

dt

où E est la charge délivrée par le générateur, et τ est une constante caractéristique du condensateur.

Pendant la décharge du condensateur, on montre que U vérifie l’équation différentielle (**) : (**)

U(t)+τ×

dU(t) dt

=0

L’étude mathématique nous donne les expressions de U lors de la charge et de la décharge : Charge Décharge

t  -   τ U(t)=E 1−e 

U(t)=Ee

-

t τ

U (t ) (en V)

E

τ

τ

t (en ms)


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Mathématiques en situation Cryptographie ~ Nombres premiers Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui-même. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1 est dit composé. Par exemple 12 = 2×6 est composé, tout comme 21 = 3×7 ou 7×3, mais 11 est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11. Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Les nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97. De telles listes peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul. Il existe une infinité de nombres premiers. En 2008, le plus grand nombre premier connu est 243 112 609-1, qui comporte près de 13 millions de chiffres en écriture décimale. De nombreuses applications industrielles de l'arithmétique reposent sur la connaissance algorithmique des nombres premiers, et parfois plus précisément sur la difficulté des problèmes algorithmiques qui leur sont liés ; par exemple certains systèmes cryptographiques et des méthodes de transmission de l'information. Les nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de hachage et pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires.

A l’aide d’une calculatrice, ou d’un ordinateur, on peut : • tester si un nombre est premier ; • décomposer un nombre en produit de nombres premiers. R.S.A. (Rivest-Shamir-Adleman) est un algorithme à clé publique inventé en 1977 par Ron Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman. Cet algorithme sert aussi bien au chiffrement de documents qu’à l’authentification. Ce système a résisté à toutes les attaques, jusqu’à présent, et il est devenu un standard dans le monde. Tout le principe de R.S.A. repose sur le fait qu’il est très difficile et très long de décomposer un très grand nombre en deux facteurs premiers. On choisit deux nombres p et q différents de 2. On pose n=p×q et φ(n)=(p−1)×(q−1). On choisit un entier e premier avec φ(n) tel que 1<e<φ(n) 1ÂdÂφ(n) Il existe un unique nombre d tel que  ≡1 (φ(n)) de≡ Le triplet (p;q;d) est la clé privée, le couple (n;e) est la clé publique.

Le propriétaire découpe le message en blocs de 3 chiffres (comme la clé n) et trouve : 13523≡16 (187) ; 09823≡21 (187) ; 07023≡09 (187) ; …


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Mathématiques en situation Industrie ~ Réglage d'une presse (phénomène de déport) Le déport est un défaut d’alignement entre la matrice supérieure et la matrice inférieure lors de la création d’une pièce par forgeage. Les gravures supérieures et inférieures se retrouvent décalées. Il faut donc régler la presse afin d’obtenir une pièce respectant les niveaux de tolérance.

Å u

α

L’opérateur connaît les valeurs des décalages, à l’aide d’une machine appelée Tri-D. Le mathématicien va chercher à déterminer par le calcul les éléments caractéristiques des cales à utiliser. On se place dans le plan complexe d’origine O (le coin inférieur gauche de la matrice supérieure). Les plans donnent les affixes zA ′ et zB ′ des deux "yeux" de la matrice supérieure. La tri-D mesure les affixes zA et zB de ces yeux sur le dessous de la pièce, autrement dit celles correspondant à la matrice inférieure. Les affixes zA , zB , zA ′ et zB ′ sont donc connues. Å d’affixe z uÅ et r la rotation Notons t la translation de vecteur u de centre O et d’angle α. Posons l la longueur de la matrice.

On montre que α et z uÅ vérifie les relations : zA′=e iα ×zA +zuÅ  qui donne les formules iα ×z +z  z =e Å  B′ u  B

zuÅ= zA ×zB′−zB ×zA′  zA′−zB′   zA′  α=arg z +z    A uÅ 

Il ne reste plus qu’à exploiter les données précédentes pour déterminer les valeurs des cales à utiliser : cale en bout cale en côté cale à fausser

Im(zuÅ) Re(zuÅ) tan(α)×l


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Mathématiques en situation Optique ~ Loi de Snell-Descartes Vers 1650, Pierre de Fermat conjectura que parmi toutes les trajectoires possibles, la lumière suit celle qui nécessite le temps le plus court. Un rayon lumineux part du point A, dans le milieu E1 dans lequel la vitesse de la lumière est c1 , pour arriver au point B, dans le milieu E2 dans lequel la vitesse de la lumière est c2 . C'est ce principe dit du « moindre temps » qu'on applique pour démontrer la Loi de Snell-Descartes : n1 ×sin ( i1 ) =n2 ×sin ( i2 ) c c où n1 = et n2 = sont les indices de réfraction des milieux E1 et E2 (c=célérité de la lumière dans le vide) c1 c2

Pierre de Fermat

Willebrord Snell

René Descartes

On montre que le temps mis pour aller du point A au point B est : a 2+x 2 b 2+(d−x)2 t(x)= + c1 c2 Une étude de la dérivée de t conduit à l’étude du signe de la dérivée seconde t″ : a2 b2 t″(x)= +   2 2 2 2 c1a +x  a +x c2b 2+(d−x)2 b 2+(d−x)2 On montre de ce fait que : t′(x)=

sin(i1) sin(i2) − c1 c2

Puis que la fonction t′ s’annule lorsque : sin(i1) sin(i2) = c1 c2


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