Sección 3
Raíces n-ésimas de un número complejo En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, z = r ei (q + 2 kp ) con k Î ¢ . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número complejo z. Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es: z = n w Û zn = w . Supóngase que w = reiq es un número complejo de módulo r y argumento q y que z = seif un número complejo de módulo s y argumento f . Entonces z n = w equivale a: z n = s n ei nf = reiq = r ei (q + 2 kp ) = w . De esta manera: (1) s n = r (2) nf = q + 2kp Por lo tanto, z = seif donde s = n r y f =
q + 2kp , con k = 1, 2,K , n . n
Estas son las fórmulas para hallar las n raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que para todo otro valor de k , con k Î ¢ , se obtienen las mismas n raíces que para k = 0,1,K , n - 1 . Ejemplo. Hallar
1+ i .
p
i 1 + i = 2 e 4 . Por lo tanto s =
2=42 y f =
p + 2 kp 4 , con k = 0,1 . Entonces: 2
p
Para k = 0 , tenemos z = 4 2 ei 8 . 1 Para k = 1 , tenemos z = 4 2 ei 2
9p 8
.
El logaritmo de un número complejo Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación inversa de la exponencial, esto es:
Supóngase que w = reiq
z = log w Û e z = w . es un número complejo de módulo r y argumento q , entonces:
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