Haustechnik Sanitär
Grundlagen Rechnen LĂśsungen
5. Rechnen
0
0. Inhaltsverzeichnis
Haustechnik Sanitär
Inhaltsverzeichnis
0
Inhaltsverzeichnis ............................................................................................................................. 1
1
Umgang mit dem Taschenrechner .................................................................................................... 2
2
3
4
5
6
1.1
Vorzeichen ................................................................................................................................. 2
1.2
Speichern .................................................................................................................................. 3
1.3
Abrufen aus dem Speicher ........................................................................................................ 3
1.4
Klammer .................................................................................................................................... 4
1.5
Prozent ...................................................................................................................................... 4
1.6
Pi ............................................................................................................................................... 5
1.7
Quadrieren................................................................................................................................. 5
1.8
Potenzieren ............................................................................................................................... 6
1.9
Zehnerpotenzen......................................................................................................................... 6
1.10
Quadratwurzel ........................................................................................................................... 7
1.11
Bruchrechnen ............................................................................................................................ 7
Grössen und Einheiten (SI-Einheiten) ............................................................................................... 8 2.1
Basisgrössen und Basiseinheiten .............................................................................................. 8
2.2
Definitionen................................................................................................................................ 8
2.3
Überblick der wichtigsten Grössen und Einheiten ...................................................................... 8
Umrechnen von Einheiten ................................................................................................................. 8 3.1
Vielfaches und Teile von Einheiten ............................................................................................ 8
3.2
Umrechnen in die Einheit ohne Vorsatzzeichen ......................................................................... 9
3.3
Umrechnen in die Vielfach- oder Teileinheit ............................................................................. 10
3.4
Zeit (t) ...................................................................................................................................... 11
Umrechnen von Längen-, Flächen- und Volumen-Einheiten ........................................................... 12 4.1
Längeneinheiten ...................................................................................................................... 12
4.2
Flächeneinheiten ..................................................................................................................... 14
4.3
Volumeneinheiten .................................................................................................................... 15
Arithmetik ........................................................................................................................................ 16 5.1
Addieren und Subtrahieren ...................................................................................................... 18
5.2
Addieren und Subtrahieren von Zahlen und Variablen mit verschiedenen Vorzeichen ............. 18
5.3
Das Rechnen mit Klammern .................................................................................................... 19
5.4
Multiplizieren ............................................................................................................................ 20
5.5
Multiplizieren "Zahl mal Klammer"............................................................................................ 21
5.6
Dividieren................................................................................................................................. 22
5.7
Kürzen und Erweitern von Brüchen.......................................................................................... 23
5.8
Addieren und Subtrahieren von Brüchen ................................................................................. 25
5.9
Multiplizieren von Brüchen ....................................................................................................... 26
5.10
Dividieren von Brüchen ............................................................................................................ 26
Die Lehre der Gleichungen ............................................................................................................. 28
Überarbeitete Auflage Martin Wittwer/Tom Renggli 2013
1
5. Rechnen 6.1 7
8
0. Inhaltsverzeichnis
Haustechnik Sanitär
Formeln umstellen ................................................................................................................... 30
Proportionen ................................................................................................................................... 31 7.1
Direkter Dreisatz ...................................................................................................................... 31
7.2
Indirekter Dreisatz .................................................................................................................... 31
7.3
Prozentrechnungen ................................................................................................................. 33
7.4
Prozentrechnungen: Berechnung Grundwert ........................................................................... 35
7.5
Prozentrechnungen: Berechnung Prozentsatz ......................................................................... 35
Geometrische Berechnungen im Fachrechnen ............................................................................... 37
Ăœberarbeitete Auflage Martin Wittwer/Tom Renggli 2013
2
5. Rechnen
1
1. Umgang mit dem Taschenrechner
Haustechnik Sanitär
Umgang mit dem Taschenrechner
Auf dem Markt sind eine Vielzahl verschiedener Taschenrechner erhältlich. Jeder Taschenrechner, auch vom gleichen Hersteller, muss individuell bedient werden. Mein Taschenrechner:
□ TI-30 eco RS
□ TI-30X-IIS (Solar+Batt.)
□ Anderes Modell
In diesem Kapitel werden alle wichtigen Taschenrechner-Funktionen bearbeitet, damit die Aufgaben auch perfekt gelöst werden können.
1.1
Vorzeichen
. Wir unterscheiden in den Berechnungen zwischen Vorzeichen (+ oder -) und Operationszeichen ( + , - , , :). Zahlen mit einem negativen Vorzeichen sind Minuszahlen, Schulden, Verluste usw. Beispiel: Temperatur = -15 °C. Negative Zahlen werden in der Arithmetik mit dem negativen Vorzeichen in einer Klammer (-) dargestellt, ausser die Minuszahl steht am Anfang einer Rechnung.
a) ____________________________________________________________________________
b) ____________________________________________________________________________
c) _____________________________________________________________________________ Überarbeitete Auflage Martin Wittwer/Tom Renggli 2013
2
5. Rechnen
1.2
1. Umgang mit dem Taschenrechner
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Speichern
Die Berechnungen werden in Ihrer Ausbildung laufend umfangreicher. Deshalb müssen Zwischenergebnisse abgespeichert und abgerufen werden können. Die meisten Rechner haben 2 und mehr Speicherplätze. a)
Zahl abspeichern (in den Speicher ablegen): 1'500 ____________________________________________________________________________
b)
Nun löschen Sie die Anzeige im Taschenrechner mit der clear-Taste. ___________________________________________________________________________
1.3
Abrufen aus dem Speicher
a)
Zahl aus dem Speicher holen: _____________________________________________________________________________
b)
Wir speichern die Zahl 431 und rufen sie danach wieder ab: _____________________________________________________________________________
c) _____________________________________________________________________________ d)
Für eine Ausstellung werden zwei Pavillons erbaut. Pavillon 1: 7 m 32 m 41 m Pavillon 2: 12 m 15 m 17 m Errechnen Sie die Volumendifferenz ( ) in m3. ____________ _____________________________________________________________________________ __________ _____________________________________________________________________________ __________ _____________________________________________________________________________
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3
5. Rechnen
1.4
1. Umgang mit dem Taschenrechner
Haustechnik Sanitär
Klammer
Bei vielen Aufgaben brauchen wir die Klammern des Taschenrechners. Brauchen wir die Klammern erst am Schluss einer Rechnung, vergessen Sie nach dem Schliessen der Klammer nicht, die Gleichheitstaste zu drücken. a)
__________ ____________________________________________________________________________
b)
____________ ____________________________________________________________________________
c)
__________ ____________________________________________________________________________
d)
+
__________
____________________________________________________________________________
1.5
Prozent
Anwendung findet das Prozent-Rechnen in der Offert-Kalkulation, bei Wirkungsgrad-Berechnungen und bei Zuschlägen. Prozent bedeutet pro Hundert - also der hundertste Teil. Sinnvollerweise werden die Prozentsätze zuerst addiert oder subtrahiert und dann in sogenannte Faktoren umgewandelt (Prozentsatz : 100 = Faktor). Diese können dann multipliziert werden. a)
(100% + 75%) : 100= ________ ____________________________________________________________________________
b)
(22% + 54% - 37% - 6%) : 100= _________ ____________________________________________________________________________
c)
Wenn Wasser gefriert, entsteht Eis. Dabei vergrössert sich das Volumen um 10%. Welches Volumen entsteht, wenn 23 m3 Wasser gefriert? (100% + 10%) : 100 = __________ ____________________________________________________________________________ V= 23 m3 ________ = ____________________________________________________________________________
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4
5. Rechnen
1.6
1. Umgang mit dem Taschenrechner
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Pi
Bei allen Kreisberechnungen muss mit der Zahl Pi gerechnet werden. Es ist falsch nur die Konstante 3,14 einzugeben. Im Taschenrechner ist diese Zahl mit mindestens 10 Stellen abgespeichert. Genaue Ergebnisse lassen sich nur mit Hilfe der a) 4.28
-Taste erzielen.
= ____________
____________________________________________________________________________ b)
Der Durchmesser eines Schwimmbeckens beträgt 9.23 m. Berechnen Sie den Umfang. m
= ________________
____________________________________________________________________________ c)
Der Umfang der Erde beträgt ca. 42 000 km. Wie viel beträgt der Durchmesser. = _______________ ____________________________________________________________________________
1.7
Quadrieren
Diese Funktion wird bei der Berechnung von Quadrat- und Kreis-Flächen angewandt. Die Zahl wird mit sich selbst multipliziert. a)
252= __________ ____________________________________________________________________________
b)
Ein Heizöltank hat einen quadratischen Grundriss mit einer Seitenlange von 3.25 m. Berechnen Sie die Grundfläche.
c)
A=l2= (3.25)2= ______________ ____________________________________________________________________________
d)
Ein kreisrunder Lüftungskanal hat einen Durchmesser von 25 cm. Wie gross ist die Kreisfläche?
________________ ____________________________________________________________________________
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5
5. Rechnen
1.8
1. Umgang mit dem Taschenrechner
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Potenzieren
Damit wir auch mit beliebigen Zahlen potenzieren können, benötigen wir die allgemeine,,Hoch“-Taste. a)
64= _________ ____________________________________________________________________________
b)
0.2-5= ___________ ____________________________________________________________________________
c)
Beim Durchfliessen von Leitungen erzeugt Wasser durch seine Reibung einen Druckverlust. Bei einem Druckverlust von 0,25 bar beträgt der Volumenstrom 2 l/s. Wie viel beträgt der Druckverlust bei einem Volumenstrom von 4 I/s?
_____________
____________________________________________________________________________
1.9
Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen sind ganzzahlige Potenzen mit der Basis 10 und einem beliebigem, ganzzahligen Exponenten ( Hochzahl ). Ihre Potenzschreibweise lautet dann 10n mit einer natürlichen Zahl n. Zehnerpotenzen werden für die Darstellung von sehr grossen bzw. sehr kleinen Zahlen verwendet. a)
5 103= ________________ ____________________________________________________________________________
b)
13 123 10 -4= _____________ ___________________________________________________________________________
c)
Der Umrechnungsfaktor von Meter auf Millimeter beträgt 103. Rechnen Sie 7,25 m in mm um. 7.25
103 mm = _________
____________________________________________________________________________ d)
Wie viele Kilometer sind 34 200 cm, wenn der Umrechnungsfaktor 10-5 beträgt? 34 200 cm
10-5 km = __________
____________________________________________________________________________
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6
5. Rechnen
1. Umgang mit dem Taschenrechner
Haustechnik Sanitär
1.10 Quadratwurzel Wenn der Durchmesser des Kreises oder die Seitenlänge des Quadrats b rechnet werden muss, so geschieht dies mit der Quadrat-Wurzel. a)
Im Wohnzimmer sind keramische Bodenplatten verlegt. Berechnen Sie die Kanten-Länge einer quadratischen Platte wenn die Fläche 610.09 cm2 beträgt. ____________ ____________________________________________________________________________ b)
______ ____________________________________________________________________________ Die Kreisfläche einer Kunststoff-Abwasserleitung beträgt 3'1 17.2453 mm2. Wie viel misst der Durchmesser?
c)
_______________
____________________________________________________________________________
1.11 Bruchrechnen In einem weiteren Sinn versteht man unter Bruchrechnung das Rechnen mit Bruchtermen, das sind Ausdrücke, die formal wie gemeine Brüche gebildet werden, bei denen aber Zähler und Nenner Rechenausdrücke oder Terme sein können. Für diese Bruchterme gelten die Bruchrechenregeln sinngemäss. a)
-6 + 2 = _______________ ____________________________________________________________________________
b)
= ________________ ____________________________________________________________________________
c)
Gemischte Brüche Ganzzahlig machen = ___________________ ____________________________________________________________________________
d)
Bruch in Dezimalbruch umwandeln = _________________ ____________________________________________________________________________
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7
5. Rechnen
2. Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
2
Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
2.1
Basisgrössen und Basiseinheiten
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Erst mit der Einführung des SI-Systems (System International) im vergangenen Jahrhundert wurde eine klare Einheiten-Struktur geschaffen. Alle Einheiten lassen sich aus sieben Basiseinheiten ableiten.
2.2
Definitionen
Eine Grösse gibt an, worum es geht. Z.B. Strecke, Masse, Zeit... In den meisten Fachbüchern werden die Grössenzeichen kursiv (2.B. s, m, t) geschrieben, damit diese von den Einheiten unterschieden werden können. Jede Formel besteht aus Grössenzeichen. Mit der Einheit wird die Grösse gemessen, z.B. Meter, Kilogramm, Sekunde usw. Das heisst, es wird verglichen, wie oft die Einheit enthalten ist.
2.3
Überblick der wichtigsten Grössen und Einheiten Grösse
Grössen- Zeichen
_______________
s
_______________
t
Sekunde
s
Masse
m
Kilogramm
kg
______________
l
Meter
m
Fläche
A
Quadratmeter
m2
______________
V
______________
m3
3
Umrechnen von Einheiten
3.1
Vielfaches und Teile von Einheiten
Bezeichnung
Giga Mega Kilo Hekto Deka Basis Dezi Centi Milli Mikro
Vorsatz G M K H Da D C M
Einheit
m
Vielfaches/Teile der Basiseinheit 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.000001
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Abkürzung
Beispiel
GJ MJ km, kg, kJ, KN, ... hl Dekade (10 Jahre) m,g,J,W,N ... dm, dl cm, cI mm, ml m 8
5. Rechnen
3.2 a)
3. Umrechnen von Einheiten
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Umrechnen in die Einheit ohne Vorsatzzeichen 3.5 km (3.5 Kilo-Meter)
3.5 1000 b)
m = 3500 m
6.35 dm ( 6.35 Dezi-Meter)
6.35 0.1 m = 0.635m Übung 1 Rechnen Sie in die Einheit ohne Vorsatzzeichen um. Der Lösungsweg muss ersichtlich sein. a)
255 cm
______ _______ ______= _________
b)
3779 mm=___________________________________________________________________
c)
11.25 dl= ____________________________________________________________________
d)
6.48 hl=_____________________________________________________________________
e)
12.43 dm=___________________________________________________________________
f)
13.5km= ____________________________________________________________________
g)
550 ml=______________________________________________________________________
h)
2245 mg= ___________________________________________________________________
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5. Rechnen
3.3 a)
3. Umrechnen von Einheiten
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Umrechnen in die Vielfach- oder Teileinheit 12250 m in km: 12250 : 1000 km = 12.25 km
b)
0.25l in ml:
0.25 : 0.001 ml = 250 ml Übung 2 Rechnen Sie in die neue Einheit um. Der Lösungsweg muss ersichtlich sein.
a)
3.4 km in cm
______ _______________ ______= _________
b)
2.88 m in mm = _______________________________________________________________
c)
0.325 m in km=________________________________________________________________
d)
7.5 m in dm =_______________________________________________________________
e)
44500g in kg = ________________________________________________________________
f)
14.55 l in dl =________________________________________________________________
g)
0.425 l in ml = ________________________________________________________________
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10
5. Rechnen
3.4
3. Umrechnen von Einheiten
Haustechnik Sanitär
Zeit (t)
Alle Berechnungen der Geschwindigkeit und der Leistung basieren auf einer Sekunde, respektive welche Strecke oder welche Arbeit in einer Sekunde verrichtet wird. Die Basiseinheit der Zeit ist die Sekunde. 1 Sekunde = 1 s 1 Minute = 1 min = . ................ s 1 Stunde = 1 h = .................. min = ........ ........................ s 1Tag = 1 d = ... ............... h = .. ................................ min = .... ................................... s Beispiele von Umrechnungen: a)
1.25 h = ? s
1.25 h 3600
b)
= 4500s
9000 s = ? h
____________________________________________________________________________
c)
1 h 40 min 20 s = ? h
___________________________________________________________________________ Ăœbung 3 a)
0.5 h = ? s ____________________________________________________________________________
b)
2.25 h = ? s ___________________________________________________________________________
c)
5400 s = ? h ___________________________________________________________________________
d)
2 h 30 min 45 s = ? s ? h ___________________________________________________________________________
e)
18 h 17 min 21 s = ? s ? h ___________________________________________________________________________
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11
5. Rechnen
4. Umrechnen von Längen-, Flächen- und Volumen-Einheiten
Haustechnik Sanitär
4
Umrechnen von Längen-, Flächen- und Volumen-Einheiten
4.1
Längeneinheiten
Merken Sie sich folgendes Verhältnis:
a)
2.386 dm = ? cm ____________________________________________________________________________
b)
0.0235 m = ? mm ____________________________________________________________________________
c)
- 425 dm = ? m ____________________________________________________________________________
d)
240 mm – 33 dm + 471 cm = ? m
:1000
0.24
______
m
______
-
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_____m
+
______m
=
_____________m
12
5. Rechnen
4. Umrechnen von Längen-, Flächen- und Volumen-Einheiten
Haustechnik Sanitär
Übung 4 685 mm + 12 dm – 14.5 cm = ? m
a)
____________________________________________________________________________ b)
-14.3dm + 32 cm= ? m ____________________________________________________________________________ 1.38 m – 225 mm + 45 dm – 3.244 m = ? cm
c)
___________________________________________________________________________ 410 mm + 53.3 dm + 12 cm – 1.12 m = ? m
d)
____________________________________________________________________________ -4.90 m + 41.6 cm – 21.3 dm + 612 mm = ? mm
e)
____________________________________________________________________________ 6.52 dm + 2.518 m + 16 cm – 480 mm = ? dm
f)
____________________________________________________________________________ 375 mm – 25.4 cm – 7.23 dm – 4.46 m = ? mm
g) h)
____________________________________________________________________________
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13
5. Rechnen
4.2
4. Umrechnen von Längen-, Flächen- und Volumen-Einheiten
Haustechnik Sanitär
Flächeneinheiten
Merken Sie sich folgendes Verhältnis:
Übung 5 a)
322.3 mm2 = ? cm2 ____________________________________________________________________________
b)
0.025 m2 = ? dm2 ____________________________________________________________________________
c)
63412 cm2 = ? m2 ____________________________________________________________________________
d)
0.00475 m2 = ? mm2 ____________________________________________________________________________
e)
2375 cm2 – 7500 mm2 + 17 dm2 = ? m2 ____________________________________________________________________________
f)
0.92 m2 + 50 dm2 - 460 mm2 = ? cm2 ____________________________________________________________________________
g)
-350 cm2 + 0.0825 m2 - 42500 mm2 = ? dm2 ____________________________________________________________________________
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14
5. Rechnen
4.3
4. Umrechnen von Längen-, Flächen- und Volumen-Einheiten
Haustechnik Sanitär
Volumeneinheiten
Merken Sie sich folgendes Verhältnis:
Der Liter ist eine wichtige Einheit in der Haustechnik: 1 dm3 = 1 l = 10 dl 1 m3 = 1000 l = 1000dm3 Übung 6 a)
1.95 dm3 = ? cm3 ___________________________________________________________________________
b)
0.0354 m3 = ? dm3 ____________________________________________________________________________
c)
9450 cm3 = ? dm3 ____________________________________________________________________________
d)
3120 cm3 + 0.00488 m3 = ? dm3 ____________________________________________________________________________
e)
-7.25 m3 – 3‘750‘800 cm3 = ? dm3 ____________________________________________________________________________
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15
5. Rechnen
5
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Arithmetik
Unter Arithmetik versteht man: Das Rechnen mit bestimmten Zahlen (1 ; 6 ; 7 ; ...). Das Rechnen mit Buchstaben ( a ; b ; c ; ...), die Stellvertreter von Zahlen oder Grössen sind.
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16
5. Rechnen
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Für das Rechnen mit Buchstaben gelten besondere Regeln: Ein Malzeichen zwischen den Variablen wird oft weggelassen. Die Buchstaben werden nach dem Alphabetgeordnet.
Ein Malzeichen zwischen der sogenannten Beizahl und der Variable wird ebenfalls nicht geschrieben.
Ist die Beizahl 1 oder -1, wird sie nicht geschrieben:
Bei den " + " und " - " Zeichen unterscheidet man zwischen Operationszeichen und Vorzeichen. Vorzeichen schreibt man in Klammern (ausser am Anfang): Vorzeichen
Operationszeichen
Es gilt jedoch die Regel, dass positive Vorzeichen nicht geschrieben werden. Wir können also den Ausdruck von oben wie folgt schreiben: Übung 7 a)
Schreiben Sie ausschliesslich die nötigen Operationszeichen. Ordnen Sie zudem nach dem Alphabet.
____________________________________________________________________________ b)
Variable sind Stellvertreter von Zahlen oder Grössen. Was würde aus der Rechnung unten resultieren, wenn Sie für a = 12 und b = 20 einsetzen? Rechnen Sie aus. = ____________________________________________________________________________
c)
Welche Zahlen können Sie auslassen, ohne dass der Ausdruck falsch wird?
____________________________________________________________________________ d)
Wie viele Vorzeichen und wie viele Operationszeichen sehen Sie bei der folgenden Rechnung? ( Anzahl Vorzeichen __________
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Anzahl Operationszeichen _________ 17
5. Rechnen
5.1
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Addieren und Subtrahieren
Addieren heisst Zusammenzählen:
Das Subtrahieren ist die Umkehrung der Addition:
Wir können nur gleichartige Variablen addieren und subtrahieren. Konkret addieren oder subtrahieren wir ihre Beizahlen. Dazu einige Beispiele: __________________________________________________________________ ____________________________________________________________ _____________________________________________________ _________________________________________________________
5.2
Addieren und Subtrahieren von Zahlen und Variablen mit verschiedenen Vorzeichen
Müssen wir Zahlen oder Variablen mit verschiedenen Vorzeichen addieren oder subtrahieren, so gelten folgende Regeln:
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18
5. Rechnen
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Beispiele: _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________
5.3
Das Rechnen mit Klammern
Wollen wir eine Rechnung als geschlossenes Ganzes behandeln, so müssen wir sie in eine Klammer einfügen. Beim Weglassen der Klammer gelten die folgenden Gesetze:
Steht also ein Minuszeichen vor einer Klammer, so müssen wir beim Auflösen der Klammer die Zeichen darin umkehren: _______________________________________________________________
________________________________________________________ __________________________________________________________ Übung 9 Lösen Sie die Klammern. Danach addieren und subtrahieren Sie: a)
__________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ b)
____________________________________________________
___________________________________________________________________________________ Überarbeitete Auflage Martin Wittwer/Tom Renggli 2013
19
5. Rechnen
5.4
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Multiplizieren
Anstatt einer wiederholten Addition der gleichen Variablen führen wir als abgekürzte Schreibweise die Multiplikation ein:
Wird eine Variable mit 1 multipliziert, so ändert sich der Wert der Variable nicht:
Wird eine Variable mit -1 multipliziert, so ändert sich das Vorzeichen der Variable:
Eine Variable mit Null multipliziert gibt Null:
Bei der Multiplikation gelten folgende Vorzeichenregeln:
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20
5. Rechnen
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Beispiele Multiplikation:
5.5
Multiplizieren "Zahl mal Klammer"
Wir multiplizieren eine Zahl mit einer Klammer, indem wir jedes Glied in der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln mit der Zahl, die vor der Klammer steht, multiplizieren:
Bei nachfolgender Rechnung könnten wir verschiedene Ergebnisse erhalten, je nachdem, wie wir rechnen:
Die Rechenart höherer Stufe geht immer der niederen Stufe vor ("Punkt vor Strich"). Ist eine Klammer vorhanden, so ist diese zuerst auszurechnen. Übung 10 a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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21
5. Rechnen
5.6
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Dividieren
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.
Sonderregel: Ein Bruch mit dem Zähler Null gibt 0:
Ein Bruch mit dem Nenner 1 ist gleich , 1 - dem Zähler:
Ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner gleich sind, hat den Wert 1:
Die Division durch 0 ist nicht erlaubt:
Die Vorzeichenregeln für das Dividieren sind:
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22
5. Rechnen
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Beispiele:
Daraus folgen zwei wichtige Regeln: Die Vorzeichen von Zähler und Nenner können wir vertauschen
Ein Vorzeichen vor dem Bruchstrich können wir in den Zähler oder in den Nenner schreiben.
5.7
Kürzen und Erweitern von Brüchen
Einen Bruch kürzen heisst: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht. Achtung: Kürzen Sie nie einzelne Teile von Zähler oder Nenner!
= _____________________
Ünung 11 Kürzen Sie soweit wie möglich und beachten Sie auch die Vorzeichenregeln: a)
b)
c)
d)
e)
f
g)
h)
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23
5. Rechnen
2. Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
Haustechnik Sanitär
Einen Bruch erweitern heisst: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht. Wir erweitern den ersten Bruch mit 6, den zweiten mit 14 und den dritten mit 100:
Oft müssen wir einen Bruch auf einen schon bekannten, neuen Nenner erweitern:
Dann müssen wir zuerst den Erweiterungsfaktor bestimmen. Mit ihm multiplizieren wir dann den Zähler. Den Erweiterungsfaktor können wir oft angeben, so wie im Beispiel oben. Sie finden ihn jedoch immer mit Hilfe des folgenden Merksatzes: Neuer Nenner durch alten Nenner.
Beim Beispiel von oben also: ___________________________________________________________
= __ __________________________
Übung 12 Erweitern Sie den Bruch auf den gesuchten Nenner. Bestimmen Sie dabei den Erweiterungsfaktor systematisch: a)
b)
c)
d)
e)
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24
5. Rechnen
5.8
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Gleichnamige Brüche addieren (subtrahieren) wir, indem wir die Zähler addieren (subtrahieren) und den gemeinsamen Nenner beibehalten:
Ungleichnamige Brüche müssen wir vor dem Addieren oder Subtrahieren zuerst gleichnamig machen. Dazu müssen wir die Brüche auf den Hauptnenner erweitern.
Falls die Nenner nur aus einzelnen Variablen bestehen, können Sie den Hauptnenner durch das Multiplizieren der einzelnen Nenner bestimmen.
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5. Rechnen
5.9
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Multiplizieren von Brüchen
Brüche multiplizieren wir miteinander, indem wir "Zähler mal Zähler" durch "Nenner mal Nenner" rechnen:
5.10 Dividieren von Brüchen Man dividiert einen Bruch durch einen Bruch, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
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5. Rechnen
2. Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
Haustechnik Sanitär
Wenn Zähler und Nenner eines Bruches selbst wieder Brüche sind, sprechen wir von einem Doppelbruch. Wenn wir den Hauptbruchstrich durch einen Doppelpunkt ersetzen, können wir die Aufgabe wie gewohnt lösen.
Achten Sie beim Schreiben auf: Hauptbruchstrich länger zeichnen Hauptbruchstrich auf der Höhe des Gleichheitszeichen
---- = ______________________________________________________________________________
---- = ______________________________________________________________________________
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5. Rechnen
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5. Arithmetik
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Die Lehre der Gleichungen
Eine Gleichung besteht aus zwei Seiten, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind:
Eine Gleichung ist wie eine Waage, die im Gleichgewicht ist. Gleichgewicht haben wir aber nur dann, wenn beide Waagschalen gleich belastet sind.
Eine Gleichung bleibt im "Gleichgewicht", wenn wir beide Seiten in gleicher Weise verändern. Wir können also auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren, mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren (ausser durch Null). Hier einige Beispiele:
Wir können auch jederzeit die Seiten der Gleichung vertauschen:
Beim Lösen einer Gleichung ist es unser Ziel, dass x links und alleine vom Gleichheitszeichen steht. Wir sagen dann: "wir haben x bestimmt". Dazu einige Beispiele: Bei diesem Beispiel vertauschen wir zuerst die Seiten Wenn wir nun zu beiden Seiten 5 addieren, haben wir x bestimmt.
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5. Rechnen
5. Arithmetik
Haustechnik Sanitär
Eine Beizahl vor dem x beseitigen wir, indem wir beide Seiten der Gleichung durch diese Beizahl dividieren (hier also durch 7).
Um X aus dem Nenner zu bringen, müssen wir die Gleichung mit X multiplizieren.
Auch bei diesem Beispiel müssen wir die Gleichung zuerst mit X multiplizieren.
Die Seiten müssen jetzt vertauscht werden.
Wir dividieren wieder durch die Beizahl.
Eine Probe zeigt uns, ob unsere Lösung richtig ist.
Manchmal kommt die Variable x mehrmals vor. Dann fassen wir die X-Glieder und die Zahlen auf beiden Seiten soweit wie möglich zusammen:
Mit einer Probe können wir feststellen, ob unsere Lösung richtig ist: Übung 13 Berechnen Sie die Unbekannte x auf einem Zusatzblatt:
a.)
b) 79 = x + 44
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c) 30 = x – 6
d) 29
5. Rechnen
6.1
2. Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
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Formeln umstellen
Eine Formel umstellen bedeutet rechnerisch das gleiche, wie eine Gleichung nach X aufzulösen. Doch anstelle von Zahlen kommen bei einer Formel Grössen mit den entsprechenden Einheiten vor . Zuerst multiplizieren wir beide Seiten mit dem Nenner.
Nun müssen wir noch die Seiten vertauschen.
Hier können wir zunächst die Seiten vertauschen.
Nun subtrahieren wir 2b von beiden Seiten.
Schliesslich dividieren wir noch durch die Beizahl.
Übung 14 Stellen Sie die Formeln nach der gesuchten Grösse um.
a)
b)
c) d)
d)
e)
f)
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5. Rechnen
5. Arithmetik
7
Proportionen
7.1
Direkter Dreisatz
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Bei vielen Zusammenhängen kann man folgende allgemeinen Aussagen machen: „ je ,mehr desto mehr“ „je weniger desto weniger“ Je mehr Benzin jemand tankt, desto mehr muss er bezahlen. Je kürzer die Zugstrecke ist, desto weniger kostet das Billett.
Solche Aufgaben löst man mit dem direkten Dreisatz. Zum Beispiel: 200 g Pilze kosten Fr. 6.-. Wieviel kosten 360 g Pilze?
Für die Bodenheizung eines 16 m2 grossen Raumes werden 64 m Rohr benötigt. Wie viele Meter Rohr werden für einen Raum von 42 m2 benötigt?
7.2
Indirekter Dreisatz
Bei vielen anderen Zusammenhängen gelten gerade die umgekehrten Aussagen: „ je ,mehr desto weniger“ „je weniger desto mehr“ Je mehr Leute an einer Arbeit mithelfen, desto weniger lang geht es, bis die Arbeit beendet ist. Je weniger Öl ein Brenner pro Stunde verbrennt, desto länger geht es, bis der Tank leer ist. Solche Aufgaben löst man mit dem indirekten Dreisatz.
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5. Rechnen
5. Arithmetik
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5 Arbeiter erledigen eine Arbeit in 12 Stunden. Wie lange hätten 8 Arbeiter?
Bei einem Arbeitsweg von 45 km ist der Benzintank in 9 Tagen leer. Nach wie vielen Tagen ist er leer, wenn der Arbeitsweg 20 km beträgt?
Übung 15 Überlegen Sie sich, ob ein direkter oder indirekter Dreisatz vorliegt und lösen Sie danach die Aufgabe. a) Für das Streichen einer Wand von 10 m2 benötigt man 1,2 kg Farbe. Wie viele kg Farbe benötigt man, wenn die Oberfläche 6,7 m2 misst? b)
Ein Trinkwasservorrat reicht für eine 18köpfige Besatzung 55 Tage. Wie lange reicht er für eine 22köpfige Besatzung, wenn der Trinkwasserverbrauch pro Person und Tag gleich bleibt?
c)
Beim Einsatz von 6 gleichartigen Pumpen kann ein vollbeladener Öltanker innerhalb von 18 Stu den leergepumpt werden. Wie viele Pumpen müssten eingesetzt werden, wenn der Tanker innerhalb von 13.5 Stunden entladen sein sollte?
d) 30 l Benzin kosten Fr. 40.50 . a) Wie viel kosten 8,7 I? b) Wie viele Liter bekommt man für Fr. 81 .-? a)
b)
c)
d)
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5. Rechnen
7.3
5. Arithmetik
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Prozentrechnungen
Die Prozentrechnungen gehören zu den direkten Dreisatz-Aufgaben. Speziell daran ist, dass wir immer von einem Ganzen ausgehen. Das Wort "Prozent' heisst auf Deutsch: Hundertstel Zum Beispiel bedeutet 12%: 12 Hundertstel Damit meinen wir 12 Hundertstel von einem Ganzen
Ein Sportwagen kostet neu Fr. 44'000.-. Berechnen Sie 1% davon.
Entsprechend gilt: 3% von Fr. 44'000.- =
2% von Fr. 44'000.- =
127% von Fr. 44'000.- =
Es gibt ein paar häufig vorkommende Prozentwerte, die wir praktisch im Kopf berechnen können: Wenn wir den Grundwert durch 2 teilen, erhalten wir: Wenn wir den Grundwert durch 4 teilen. erhalten wir: _______ Wenn wir den Grundwert durch 10 teilen, erhalten wir:_______ Wenn wir den Grundwert durch 5 teilen, erhalten wir:________ Wenn wir den Grundwert durch 3 teilen, erhalten wir: _______ Wenn wir den Grundwert durch 8 teilen, erhalten wir: _______ Überarbeitete Auflage Martin Wittwer/Tom Renggli 2013
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5. Rechnen
2. Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
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Normalerweise können wir die Prozentwerte mit dem direkten Dreisatz lösen: 12% von 140 ?
Schneller jedoch können Sie die Prozentwerte berechnen, wenn Sie die Grundwerte mit dem Prozentfaktor multiplizieren.
34% von 600=
30% von 1 '800 = _____________________________________________________________________ 5% von 1'800 = ______________________________________________________________________ 12,5% von 1'800 =____________________________________________________________________ 105% von 1'800 = ____________________________________________________________________ 0.2% von 1'800 = _____________________________________________________________________ 145.7% von 1'800= ___________________________________________________________________ Übung 16 Berechnen Sie mit Hilfe von Faktoren. Die Lösungen sind direkt anzugeben und auf eine Stelle nach dem Komma zu runden. a) 12% von 738 kg = ____________________
b) 28% von 413 kg = _____________________
c) 42% von 123 m = ____________________
d) 54% von 1'735 kg = ____________________
e) 125% von 8 cm = _____________________
f) 44,7% von 14 dl = _____________________
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5. Rechnen
7.4
5. Arithmetik
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Prozentrechnungen: Berechnung Grundwert
Nach einem Rabatt von 32% bezahlt eine Person für eine Sportjacke noch genau Fr. 238.-. Wie teuer war die Sportjacke ursprünglich? Mathematisch formuliert:
Gesucht ist hier demnach:
Auch hier können wir die Lösung mit Hilfe des direkten Dreisatzes finden:
480 kg = 15%
7.5
100%=?
Prozentrechnungen: Berechnung Prozentsatz
Auf einem Katalogpreis von Fr. 1'705.- werden Fr. 90.- als Rabatt gewährt. Wie viele Prozente macht der Rabatt aus? Mathematisch formuliert:
Gesucht ist hier demnach: Die Lösung finden wir wieder mit Hilfe des direkten Dreisatzes:
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2. Grössen und Einheiten (SI-Einheiten)
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Wie viel % sind 2'937,5 von 23'500 ?
Achtung: Bei Vergleichen immer gut überlegen, was der Grundwert ist! Rohr A ist 240 cm lang, Rohr B ist 160 cm lang. Um wie viele cm ist Rohr A länger als Rohr B? Lösung:_______________________________________ Um wie viele cm ist Rohr B kürzer als Rohr A? Lösung:_______________________________________ Dass die Antwort auf die beiden letzten Fragen gleich lauten muss, ist klar. Jedoch nicht so klar ist es, wenn wir die Resultate in %-Angaben haben wollen: Um wie viel % ist Rohr A länger als Rohr B? Lösung:
__________________________________ _________________________________ _________________________________
Aber: Um wie viel % ist Rohr B kürzer als Rohr A? Lösung:
__________________________________ __________________________________ __________________________________
Bei Vergleichen ist es sehr wichtig zu erkennen, was den Grundwert der Aufgabe darstellt. Merke: Was nach „ als“ kommt ist 100%
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5. Rechnen
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5. Arithmetik
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Geometrische Berechnungen im Fachrechnen
Eine Grösse besteht aus einer Zahl und einer Einheit
Beispiel Die Länge eines Heizkessels beträgt 1 m und 8 cm.
Darstellung im Fachrechnen Aufgabe: Geg(Gegeben) :
Rechteck: l = 13 m, b = 95 m
Ges (Gesucht):
A = ? m2
Lösung: GG (Grössengleichung):
A=l b
EG (Einheitengleichung): ZG (Zahlengleichung):
13 95 = 1'235 m2
AW (Antwortsatz):
Die Fläche beträgt 1235 m2.
Übung 17 Suchen Sie die entsprechenden Formeln für die nachfolgenden Berechnungen nun im Formelbuch. Wenn einzelne Formeln oder Ableitungen aus den Grundformeln fehlen, so ist jetzt der ideale Zeitpunkt, um diese zu ergänzen. Die Umstellung der Grundformel haben Sie im Kapitel 6.1 Algebra kennengelernt und können dies nun praktisch anwenden. a) Quadrat Geg: l=4.25m Ges: A= ? m2
b) Quadrat Geg: A=77.44m2 Ges: l= ? cm
c) Quadrat Geg: l=250mm Ges: A= ? dm2
d) Rechteck Geg: l=1.75 m, b=1.05 m Ges: A= ? m2
e) Rechteck Geg: A=3.6 m2, l=2.5 m Ges: b= ? m
f) Rechteck Geg: A=1275 cm2, b=300 mm Ges: l= ? dm
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5. Rechnen
5. Arithmetik
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g) Dreieck Geg: l=3.05m, h= 0,85 m Ges: A= ? m2
h) Dreieck Geg: A=12.7 m2, l= 65 dm Ges: h= ? m
i) Dreieck Geg: A=1425 cm2, h= 0.3m Ges: l= ? dm
k) Kreis Geg: d=2.5 m, Ges: A= ? m2
l) Kreis Geg: A=176.715 dm2 Ges: d= ? cm
m) Kreis Geg: d=40 cm, Ges: U= ? cm
n) Kreis Geg: r=17.5 cm Ges: A= ? cm2, U= ? cm
o) Kreis Geg: A=12.566 cm2 Ges: d= ? cm, U= ? cm
p) Kreis Geg: U=9.4248 m, Ges: A= ? m2, r= ? m
q) Würfel Geg: l=4.2 m, Ges: V= ? m3
r) Würfel Geg: V=753.571 dm3 Ges: l= ? cm
s) Würfel Geg: l=14.3 mm, Ges: V= ? cm3
t) Quader Geg: l=3.5 m,b= 2.15 m, h= 0.8 m Ges: V= ? m3
u) Quader Geg: V=55.3 m3, l= 4.75 m, b=4.25m Ges: h= ? m
v) Quader Geg: V=0.7425 m3, b= 0.9 m, h= 75 cm Ges: l= ? m
w) Quader Geg: V=75 m3, A=37.5 m2 Ges: h= ? m
x) Quader Geg: V=360 m3,h= 1200 cm Ges: A= ? m2
y) Zylinder Geg: d=0.8 m, h= 7.5 m Ges: V= ? m3
z) Zylinder Geg: V=7540 dm3, h= 240 cm Ges: d= ? m ) Zylinder Geg: d=101 mm, h= 5 m Ges: V= ? dm3
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) Zylinder Geg: V=2380.67 mm3, d=8.3 mm Ges: h= ? mm ) Zylinder Geg: A=2.25 m2, h= 34 dm Ges: V= ? m3
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