Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
31. Sobre os lados de um triângulo ABC constróem-se externamente os triângulos equiláteros BCD , CAE e ABF . Demonstrar que os segmentos AD , BE e CF são congruentes.
32. Demonstrar que a soma dos segmentos que unem um ponto interno de um triângulo aos seus três vértices está compreendida entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.
33. O perímetro de um triângulo é igual a 14. Determinar as medidas dos lados sabendo que são expressas por números inteiros.
34. M e N são os pontos médios dos lados BC e AD , respectivamente, de um quadrado ABCD . K é um ponto arbitrário, externo ao quadrado, no prolongamento da diagonal AC , a partir de A . O segmento KM intersecta o lado AB em um ponto L . Prove que ∡KNA = ∡LNA .
35. (CN) Observe a figura abaixo. O ponto P do menor
dista 6 cm e 10 cm , respectivamente, das arco AB tangentes AQ e BQ . Qual a distância, em cm, do ponto P à corda AB ?
36. A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s . A reta r é tangente às circunferências C 1 e C 3 , a reta s é tangente às circunferências C 2 e C 3 , e as circunferências tocam-se como também mostra a figura. Se as circunferências C 1 e C 2 têm raios iguais a a e b , respectivamente, qual é o valor do raio da circunferência C 3 ?
Geometria Plana
37. Seja AB um segmento de comprimento 26 cm , e sejam C e D pontos sobre o segmento AB tais que AC = 1 cm e AD = 8 cm .
Sejam
E
e
F
pontos
sobre
a
semicircunferência de diâmetro AB , sendo EC e FD perpendiculares a AB . Quanto mede o segmento EF ?
38. (PUC-RJ) Operários rolam um cubo de granito de 1 m de aresta até ele dar uma volta completa. Ao rolar o cubo, sempre uma de suas arestas fica em contato com o solo sem deslizar. Qual a distância, em metros, percorrida por um vértice desse cubo?
39. Três círculos de centros em A , B e C e de raios respectivamente iguais a r , s e t se tangenciam exteriormente dois a dois. A tangente comum interior aos dois primeiros círculos intersecta o terceiro determinando uma corda MN . Provar que MN =
4t rs r+s
.
40. Que horas o relógio indicado na figura abaixo marca, sabendo que os ângulos α indicados possuem a mesma medida?
41. Em uma coroa circular, conforme a figura abaixo, estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o raio da circunferência externa da coroa mede: a)
b)
c)
d)
e)
Brasília, fevereiro de 2016.
Lista M03-16
1 + sen π/ n 1 − sen π/ n 1 + cos π/ n 1 − sen π/ n 1 + sen 2 π/ n 1 − sen 2 π/ n 1 + cos 2 π/ n 1 − cos 2 π/ n 1 + cos 2 π/ n 1 − sen 2 π/ n
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Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
Geometria Plana
Lista M03-16
42. Um polígono regular admite para medida de suas diagonais apenas os números n1 , n2 , n3 ,..., n27 , tais que n1 < n2 < n3 < ... < n27 . Quantos são os possíveis lados desse polígono?
43. Todos os ângulos internos de um polígono convexo são menores que 160° . Determine o número máximo de lados que esse polígono pode ter.
44. Os ângulos internos de um n-ágono convexo são α, 2 α,..., nα . Determine todos os valores possíveis de n e os correspondentes de α .
45. Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o seu perímetro e maior que o seu semiperímetro.
Respostas 33. (6,6,2), (6,5,3), (6,4,4), (5,5,4) 35. 2 15 cm 36. 2 ab 37. 7 2 cm
38.
(2 + 2 ) π m 2
40. 6h 55
5 13
min
41. A 42. 56 ou 57 43. 17 44. (n, α) = (3, 30°), (4, 36°)
O professor Martins Rama é formado em Engenharia pelo IME, turma de 2002, possui mestrado em Matemática pela UnB e prepara jovens para as escolas militares desde 2004.
Brasília, fevereiro de 2016.
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