Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
Geometria Plana
Lista M02-16
16. O triângulo ABC , isósceles de base BC , é tal que ∡BAC = 20° . Marcamos os pontos D ∈ AC e E ∈ AB , tais que ∡DBC = 60° e ∡ECB = 50° . Calcule o ângulo ∡BDE .
25. Num triângulo ABC , retângulo em A , BS é a bissetriz do seu maior ângulo agudo. Sabendo que S ∈ AC , BC = 30 cm e AC − AB = 6 cm , calcule o comprimento de
17. Seja ABC um triângulo retângulo em B tal que AB > BC . Dado um ponto P no interior de ABC , prove que PA + PB + PC < AB + AC .
26. (PROFMAT) É dado um retângulo ABCD tal que em seu interior estão duas circunferências tangentes exteriormente no ponto T , como mostra a figura abaixo. Uma delas é tangente aos lados AB e AD e a outra é tangente aos lados CB e CD .
18. (Teorema de Varignon) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Mostre que os pontos médios de seus lados são vértices de um paralelogramo.
a) Mostre que a soma dos raios dessas circunferências é constante.
BS .
b) Mostre que o ponto T pertence à diagonal AC do retângulo.
19. Uma reta r passa pelo baricentro G de um triângulo ABC e deixa o vértice A de um lado e os vértices B e C do outro. Prove que a soma das distâncias de B e C à reta r é igual à distância de A a r .
20. Prove que, em todo triângulo, a soma dos comprimentos 3 3 das medianas é menor que do perímetro e maior que 2 4 do perímetro do triângulo.
21. Seja o triângulo ABC e sua ceviana CZ , com Z pertencente ao lado AB . A partir do vértice A , traça-se uma reta paralela à CZ que encontra BC em X . De modo semelhante, a partir de B , traça-se uma reta paralela à CZ 1 1 1 que encontra AC em Y . Prove que + = . AX BY CZ
27. (FUVEST) A figura abaixo representa duas polias circulares C 1 e C 2 , de raios R 1 = 4 cm e R 2 = 1 cm , apoiadas em uma superfície plana nos pontos P1 e P2 , respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1 e P2 é
3 3 cm , determinar o comprimento da correia.
22. Se a , b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, prove que a 3 + b3 + 3abc > c 3 .
23. Num triângulo retângulo ABC , traçam-se a bissetriz AS e a altura AH , sendo S e H pontos sobre a hipotenusa. Se a razão
BS SC
= k , determine a razão
BH
em
HC
função de k .
24. (IME) Considere um triângulo ABC com lado BC = ℓ . São dados um ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC , de modo que sejam válidas as
DA
=
lado AB do triângulo.
EC
= m , com m > 1 . Pelo ponto médio do DB EA segmento DE , denominado M , traça-se uma reta paralela ao lado BC , interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H . Calcule o comprimento do segmento MH em função de m e ℓ . relações
28. Considere que num triângulo ABC as medianas que partem dos vértices A e B sejam perpendiculares entre si. Se BC = 8 cm e AC = 6 cm , determine o comprimento do
Brasília, fevereiro de 2016.
29. Seja ABC um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência C 1 ; C 2 é uma circunferência tangente ao
de C . Uma reta através de lado BC e ao menor arco BC 1 A tangencia C 2 em P . Prove que AP = BC .
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Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
Geometria Plana
Lista M02-16
30. (Teorema da Corda Quebrada) Dados uma circunferência Γ e os pontos A , B e C sobre Γ , tais que
e N AB < BC , considere M o ponto médio do arco ABC o pé da perpendicular baixada de M sobre BC . A poligonal formada pelas cordas AB e BC é chamada corda quebrada. Prove que N é o ponto médio da corda quebrada, ou seja, NC = NB + BA .
Respostas 16. 30° 23. k 2 mℓ
24.
2( m + 1)
25. 9 5 cm 27. 6
(
)
3 + π cm
28. 2 5 cm
O professor Martins Rama é formado em Engenharia pelo IME, turma de 2002, possui mestrado em Matemática pela UnB e prepara jovens para as escolas militares desde 2004. Brasília, fevereiro de 2016.
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