Fractales en Fisica CEUPS FAC EDUCACION UNMSM

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE EDUCACION CENTRO DE EXTENSION UNIVERSITARIA Y PROYECCION SOCIAL

Proyecto de Aprendizaje Caos y Fractales Nace una nueva Ciencia Mario Ríos Quispe mario@educiencias.org2005 www.educiencias.org

Mario Ríos Quispe  Graduado en Ciencias Físicas UNMSM  Post Grado en Medición de la Calidad Facultad de Educación UNMSM  Pdte del Grupo Educiencias  Director Académico Centro Langle  Conferencista – Editor Unidad de Post Grado Facultad de Administración UNMSM  mario@educiencias.org  ac_consult@starmedia.com  www.educiencias.org

Por un clavo, se perdió la herradura; Por una herradura, se perdió el caballo; Por un caballo, se perdió el jinete; Por un jinete, se perdió la batalla; Por una batalla, se perdió el reino.

Folklore anglosajón

FRACTAL  Objeto que presenta una estructuración del mismo tipo cualquiera sea la escala a la que se contempla. Está asociada al concepto de autosimilaridad en matemática y afinidad en la física.  Mandelbrot Propuso un método matemático simple para la descripción y la reconstrucción de montañas, costas, árboles e incluso las finísimas circunvoluciones de las venas y arterias de nuestro cuerpo.  ¿Cómo se mide la costa?, Cosas rotas e irregulares.

Triada de Cantor

1975 Benoit Mandelbrot denominó fractales (del latín fractus, irregular) Primer concepto de fractal: Es el conjunto de formas que generadas por un proceso de repetición Se caracterizan: • Se repite • Detalle a toda escala • Longitud infinita • No son diferenciables (derivables) • Es de dimensión fraccional generalmente

La definición formal de la fórmula de Hausdorf es:

log( N (ε ) d f = lim 1 ε →0 log( ) ε d f = lim ε →0

log( N (ε ) 1 log( ) ε

Df se interpreta : ¿Cuál es la capacidad del conjunto de llenar el espacio?

La dimensión nos dice cuan parecido es una parte del todo.

P 2 = 4πAC

Una manera indirecta de comprobar la fórmula P : perímetro del círculo Ac : Area del Círculo

P = 2πR

P=2 π

P R= 2π

P = 2 π ( AC ) 2

AC =πR

2

Tomando los logaritmos:

AC

P AC = π 4π 2

en _ general df c

pc = A

log Pc = d f log( AC ) log( pc ) df = log( Ac )

1 2

Otra forma de llegar a la formulación de la Dimensión Fractal: l

l

l

L

L

L l

L l= 2 2 L l2 = 4 L2 4= 2 l

l

L l= 2 3 L l3 = 8 L3 8= 3 l

L l= 3 L 3= l

En general :

L N =  l

df

L log( N ) = log d f l ( ) log N d f= Log L l

( )

Triada de Cantor L l

l

Df = Log(N)/Log(L/l) = Log(2)/Log(3) = 0.6309

Comentario ……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….

Veamos el siguiente ejercicio Nro de partes: N = 8 El segmento está dividido en 4 partes. L/l = 4

3 1

2

4

8

5

7 6

La dimensión fractal o de Hausdorff sería : df = Log(N)/Log(L/l) = Log(8)/Log(4) df = 3*log(2) / 2*Log(2) df = 1.5 Le doy el siguiente dato: Cada segmento a su vez es ¿Cómo hallamos la dimensión fractal La figura inicial.

Para la siguiente figura, que es la Extensión de la figura analizada?

HOME WORK Hallar la dimensi贸n fractal de la figura (1) y (2)

(1)

(2)

Las dimensiones fractales parecen tener algo de arte

Veamos la funci贸n regla y=kx(1-x) Sea k = 2 y = 2x(1-x) Xo = 0.9 x1 = 2(0.9)(1-0.9) X1 = 0.18 ......................

X2 = 2(0.18)(1-0.18)

X2 = 0.2952 ..................

X3 = 0.4161

X3 = 0.4161...................

X4 = 0.4859

X3 = 0.4859...................

X4 = 0.4996

X4 = 0.4996....................

X5 = 0.49999968

X6 = 2(0.5)(1-0.5)

!ATRACTOR!

U

El hecho que los puntos Est茅n cerca del promedio Indica un atractor

El atractor es aquel que caracteriza el comportamiento din谩mico del sistema, Transforma de manera espectacular su estructura, en este efecto debe reflejar 2 Tendencias aparentemente antag贸nicas: la atracci贸n de las trayectorias hacia el Atractor y su divergencia en este.

CAOS DETERMINISTA

CAOS CAOTICO PI = 1.4142135

10 ,

10 ,

10 ,

r1 = 3.1 r2 = 4.14 r3 = 3.141 r4 = 3.1415 r5 = 3.14159 r6 = 3.141592 r7 = 3.1415926 . . rn = 3.1...........

3.1415926535897932384626433832795...............

10 ..............( ....)

r1 = 3.162277 r2 = 1.778279 r3 = 1.333521 r4 = 1.154781 r5 = 1.074607 r6 = 1.036632 r7 = 1.018151 . . . , . . rn = 1.............

xn+1 = 1+(1/xn).

Otro Ejemplo: Xn+1 = f(xn) Xn+1=Xn2

ATRACTOR EXTRAÑO

X0 = 2  x1=4 ∞X

1

=4  x2=16

X2 =16  x3=256 X3 =256  x4= . . ∞ Xn+1 =

Aplicaciones de los Fractales  Científicos – Ciencia Matemática – Ciencias naturales – Ciencias Sociales

 Aplicaciones Tecnológicas – Transformar la realidad natural – Transformar la realidad Social

 Aplicaciones Artísticas – Reproducir obras de arte – Crear formas artísticas nuevas

Rutas de Interés sobre fractales         

http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Cockpit/5889/ http://webfractales.free.fr/es http://www.fractovia.org/es/what_es6.shtml http://segre.upc.es/nllab/ http://ejad.best.vwh.net/java/fractals/intro.shtml http://mathforum.org/alejandre/workshops/fractal/fractal3.html http://free.prohosting.com/josuna/fractal/ http://www.fractalus.com/sharon/page2.htm http://matap.dmae.upm.es/cursofractales

Grupo Godofredo Garcia UNMSM

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