Conjuntos equidistantes by Mario Ponce

Universidad Católica de Chile Facultad de Matemática Taller de Iniciación Científica

Conjuntos Equidistantes Patricio Santibáñez

Profesor Guía: Mario Ponce Santiago - 13 de Diciembre de 2011 Este trabajo fue financiado parcialmente por el Proyecto FONDECYT 11090003

Índice Índice

1. Introducción y Definiciones

2. Propiedades Topológicas

3. Comportamiento asintótico de los equidistantes

4. Sucesiones

5. Aplicación Computacional

Bibliografía

Introducción y Definiciones

En un espacio métrico ( X, ρ), al conjunto de puntos que se encuentra a la misma distancia de dos conjuntos A y B se le denomina conjunto equidistante, bisector o midset. Nosotros preferiremos la denominación de conjunto equidistante. No hay que buscar mucho, para darse cuenta que algunos de los objetos geométricos que suelen ser más conocidos, pueden ser vistos como este tipo de conjuntos. Así, una recta es el conjunto de puntos que está a la misma distancia de dos puntos dados, o bien, de dos conjuntos que no se intersectan donde uno es el reflejo de otro; las bisectrices de dos rectas secantes es el conjunto de puntos a la misma distancia de estas dos rectas dadas; una parábola es el conjunto de puntos que está a la misma distancia de un punto dado (o foco) y una recta; una rama de una hipérbola, es el conjunto equidistante de dos circunferencias de radios distintos, o incluso de un punto y una circunferencia; por último, no es difícil verificar que el conjunto equidistante entre una circunferencia y un punto interior a ella es una elipse. Dada la lista anterior de ejemplos se requiere recordar la definición de distancia punto-conjunto. Para un conjunto A ⊂ X y un punto x ∈ X, se define esta distancia como: d( x, A) = ´ınf{ρ( x, a) | a ∈ A}. Dada esta noción es posible definir al conjunto equidistante entre dos conjuntos no vacíos A, B ⊂ X como

{ A = B} := { x | d( x, A) = d( x, B)} . Que es la notación que ocupa Wilker [1]. Esta misma, puede ser ocupada, salvo variaciones, para representar dos conjuntos intimamente relacionados con el propio conjunto equidistante.

{ A < B} = { x | d( x, A) < d( x, B)}, { A ≤ B} = { x | d( x, A) ≤ d( x, B)}.

Además de la distancia antes nombrada, es necesaria una distancia conjunto-conjunto, la cual es conocida como distancia Hausdorff. Para un par de conjunto A, B ⊂ X, se define esta distancia como: !

d H ( A, B) = m´ax sup d( a, B), sup d(b, A)

a∈ A

b∈ B

Propiedades Topológicas

En lo que sigue, para cualquier tipo de distancia se ocupará la notación d( x, y) la cual adquirirá sentido mediante los tipos de elementos que sean x e y. Excepto para la distancia Hausdorff, la cual se notará como d H . 3

Lo primero que se ha de notar es que a partir de la distancia se puede definir una función asociada a cada conjunto A ⊆ X, d A :X

−→R

d A ( x )'−→d( x, A) Lema 2.1. d A es Lipschitz y, en particular, es continua. Así, la distancia nos ayuda caracterizar a la clausura de un conjunto. Lema 2.2. Sea A ⊂ X. Entonces A = { x | d( x, A) = 0} Demostración. Supongamos que existe b ∈ A tal que b (∈ { x | d( x, A) = 0}, por tanto, d(b, A) > 0. Luego, existe ε, tal que d(b, A) > ε. k→∞

Pero, b ∈ A y, por tanto, ha de existir una sucesión { ak } ⊂ A, tal que: ak −−→ b. Y por tanto, para ε existe N tal que d( xk , b) < ε para todo k > N. De lo que se tiene una contradicción, luego se tiene que A ⊆ { x | d( x, A) = 0}. 1 Se ha de notar que d− A ({0}) = { x | d ( x, A ) = 0}, y como {0} es cerrado, también lo es su 1 preimagen, dado que d A es continua. Además, A ⊂ d− A ({0}). Como A es el cerrado más chico 1 que contiene a A debe ocurrir que A ⊆ d− A ({0}).

Dado lo anterior se sigue claramente que: Lema 2.3. d( x, A) = d( x, A) Demostración. Como A ⊂ A, se tiene que d( x, A) ≤ d( x, A). Además, se tiene que: d( x, A) ≤ d( x, A) + d H ( A, A) donde d( A, A) = 0, ya que para todo a ∈ A se tiene que d( a, A) = 0. Y además, # $ Lema 2.4. { A = B} = A = B

Demostración. Si x ∈ { A = B}, por el Lema 2.3, se tiene que d( x, A) = d( x, B) d( x, A) = d( x, B)

Luego, se tiene la igualdad de conjuntos, ya que el proceso inverso es análogo.

De lo anterior es claro que, se tiene que A ∩ B ⊂ { A = B} x ∈ A ⇔ d( x, A) = 0 x ∈ B ⇔ d( x, B) = 0

Por tanto, x ∈ A ∩ B ⇔ d( x, A) = d( x, B) = 0. Pero se ha de advertir que, en general, no hay igualdad. Ya que existen puntos que no están a distancia nula de los conjuntos, pero están a la misma distancia de los dos. Por ejemplo al tomar dos circunfenrecias de igual radio que se intersectan en un punto, se tiene toda una recta equidistante tal que la distancia a ambos es nula solo en P.

Ahora bien, dado lo anterior se puede buscar una condición para que se tenga la otra inclusión. Lo que da pie para: Lema 2.5. Si X = A ∪ B, entonces se tiene { A = B} = A ∩ B Demostración. Solo falta demostrar que: { A = B} ⊂ A ∩ B. Para ello notar que si x ∈ { A = B}, entonces se tiene que d( x, A) = d( x, B). Pero, como X = A ∪ B se tiene que X = { x : d( x, A) = 0 ∨ d( x, B) = 0} . Por tanto, d( x, A) = d( x, B) = 0. Lo que implica que, x ∈ A ∩ B. 5

Dado lo anterior, si consideramos que X = A ∪ B y A = B, se tiene que X = { A = B}. De donde es claro que X = A = B. Si volvemos a observar la función distancia, se puede considerar combinar dos de estas funciones y estudiar los conjuntos equidistantes a través de ellas. f :X −→R

x '−→d A ( x ) − d B ( x )

La cual, al ser resta de funciones continuas, es continua.

Lema 2.6. Dado f definida como antes, se tiene que { A = B} es cerrado, { A ≤ B} es cerrado y { A < B} es abierto. Demostración. Dado que f es continua, se tiene que al ser {0} cerrado y { A = B} su preimagen, este último es cerrado. Algo similar ocurre con { A ≤ B}, dado que es preimagen de {(−∞, 0]} es cerrado. Y { A < B} es abierto, ya que {(−∞, 0)} lo es. Con lo anterior, no es difícil ver que { A ≤ B} = { A < B} ∪ { A = B}. La pregunta que naturalmente surge es si { A = B} resulta ser la frontera de { A < B}. Lo cual no es siempre verdad. Basta observar que cuando se tiene dos círculos del mismo radio intersectados en más de un punto, se consigue una región, la cual claramente es equidistante a ambos conjuntos y no todos los puntos de esta intersección se pueden considerar como puntos frontera de { A < B}.

Se ha de notar que cualquier cerrado es un conjunto equidistante. En particular, es el conjunto equidistante del espacio en el que está contenido y el mismo. Para ello notar que: { A = X } = A ∩ X = A. Teorema 2.1 (Wilker [1],Teorema 1). Sea (X,d) un espacio métrico. X es conexo si y sólo si los conjuntos equidistantes son no vacíos. Demostración. Supongamos que X no es conexo, por tanto existen C1 , C2 cerrados disjuntos tales que C1 ∪ C2 = X. Ahora bien, por el Lema 2.5, se tiene que {C1 = C2 } = C1 ∩ C2 = ∅. Lo cual contradice que un equidistante sea no vacío. Por otro lado, supongamos que X es conexo. Sean A, B ⊂ X no vacíos. Luego, { A ≤ B} es no vacío, ya que contiene por lo menos a A. Por otro lado, X = { A ≤ B} ∪ { B ≤ A} % &' ( % &' ( (=∅

(=∅

Como X es conexo, la intersección de ambos conjuntos cerrados debe ser no vacío. Y como hemos visto antes, la intersección es { A = B}. Si A (= ∅ cerrado entonces d( x, A) = d( x, a0 )

a0 ∈ A

Ya que si d( x, A) = δ, Bδ+1 ( x ) ∩ A = C Donde C es un compacto, dado que es la intersección de dos cerrados, y uno de ellos es acotado. Luego, d( x, A) = ´ınf {d( x, a) : a ∈ C }, se logra como mínimo. Un rayo es una semirecta cerrada la cual se denota por [ a, ∞) donde a es el punto inicial, y se ha definido anteriormente la dirección y sentido del mismo. Esta notación nos permite expandirla para hablar de segmentos de este mismo rayo. Para ellos ocuparemos una notación similar a la de los intervalos en R. Se ha de advertir que desde este punto, nos concentraremos en el caso de X = R n .

Lema 2.7. Sea x ∈ R n y a ∈ A tal que d( x, A) = d( x, a). Para todo z ∈ [ a, x ], la distancia se realiza en a, es decir d(z,A)=d(z,a). Demostración. Supongamos lo contrario, por tanto, que existe un punto z para el cual la distancia a A se realiza en a- (= a. Como z, x y a son todos colineales: d( x, a) = d( a, z) + d(z, x )

≥ d( a- , z) + d(z, x ) ≥ d( a- , x )

Dado que d( x, a) era la menor distancia al conjunto A, se tiene que d( x, a) = d( x, a- ). Por tanto, d( a- , z) + d(z, x ) = d( a- , x ). De lo que se tiene que:

d( a, z) + d(z, x ) = d( a- , z) + d(z, x ) d( a, z) = d( a- , z) De lo que se concluye que la distancia también se realiza en a. Lo que contradice nuestra suposición inicial. Si se tiene x ∈ X y A ⊂ X no vacío, se dice que y ∈ X es un pie de x sobre A si d( x, A) = d( x, y), y además y ∈ A. Al conjunto de los pies de x sobre A lo denotamos P A ( x ). Este conjunto nunca es vacío (pues A es cerrado). En el caso particular en que A es convexo, se tiene que P A ( x ) consiste de un solo punto para cada x ∈ X. Lo anterior, nos lleva a considerar el siguiente hecho. Lema 2.8. Sea x ∈ R n y A ⊂ R n , tal que x (∈ A. Para todo y en la bola abierta B( x, d( x, A)), la distancia se realiza en B( x, d( x, A))c . Demostración. Supongamos lo contrario, por tanto existe algún punto y ∈ B( x, d( x, A)) tal que realiza la distancia en y- ∈ B( x, d( x, A)). Por definición d( x, y- ) < d( x, A). Pero, dado que las bolas son abiertas, y- (∈ A. Y no puede ocurrir que y- esté en el interior de la bola. Por tanto, está en su complemento. Para reafirmar este hecho, se ha de notar que la situación en la siguiente imagen no podría ocurrir si consideramos que p realiza su distancia en p- y que q realiza su distancia en q- . 8

Lema 2.9 (Wilker [1]). Sean A, B ⊆ R n no vacíos. Sea x ∈ { A = B} de manera tal que existe un pie y ∈ P A ( x ) que no es pie de de x sobre B (y (∈ P B ( x )). Entonces, para todo z ∈ [ x, y] se tiene que d(z, A) < d(z, B). Demostración. Si A ∩ B (= ∅. Para todo x ∈ { A = B} donde d( x, A) = d( x, B) = 0, esto se cumple trivialmente, ya que x = y. En caso contrario se aplica lo que sigue. Si A ∩ B = ∅, para todo x ∈ { A = B} existe δ tal que d( x, A) = d( x, B) = δ > 0. Luego, ya que las bolas son abiertas se tiene: B( x, δ) ∩ A = ∅ B( x, δ) ∩ B = ∅

Pero, ∂B( x, δ) ∩ A ⊃ {y A }

yA ∈ A

) * Sea z ∈ ( x, y A ], por tanto d(z, y A ) = δ1 < δ, por tanto, B(z, δ1 ) ∩ A ∪ B = {y A }. De donde (z, y A ] ⊂ { A < B}.

Teorema 2.2 (Wilker [1],Teorema 2). Si A y B son subconjuntos no vacíos de R n , tal que A ∩ B = ∅ entonces { A = B} tiene interior vacío y es la frontera entre { A < B} y { B < A}, es decir, ∂ { A < B} = ∂ { A > B} = { A = B} Demostración. Sea x ∈ { A = B}. Sobre este se puede ocupar el Lema 2.9, sobre y A ∈ P A ( x ) obteniendo que para todo z ∈ ( x, y A ] se tiene que (z, y A ] ⊂ { A < B}; y sobre y B ∈ P B ( x ) se obtiene que para todo z ∈ ( x, y B ] se tiene que (z, y B ] ⊂ { A > B}. Luego, es claro que { A = B} tiene interior vacío, y es frontera de ambos conjuntos. Teorema 2.3 (Wilker [1],Teorema 3). Si A = { a} y B un conjunto no vacío, se tiene que { A = B} es conexo o la unión de dos hiperplanos paralelos. El segundo caso ocurre si y sólo si a (∈ B y B es un subconjunto de una recta L a través de a el cual intersecta a ambos rayos en los que a divide a L. Demostración. Primero, notemos que el conjunto {{ a} ≤ B} es la intersección de semiespacios cerrados

{{ a} ≤ B} =

b∈ B\{ a}

{{ a} ≤ {b}}

Lema 2.10 (Wilker [1],Lema 1). El conjunto {{ a} ≤ B} es convexo y entonces conexo. Demostración. Como {{ a} ≤ B} es la intersección de conjuntos convexos, se tiene que es convexo. Y por tanto, como trabajamos en R n es arcoconexo. Luego, es también conexo. Dado lo anterior, podemos obtener el lema siguiente el cual nos permite caracterizar el equidistante si a ∈ B. Lema 2.11 (Wilker [1],Lema 2). Si a ∈ B, {{ a} = B} es conexo.

Demostración. Si a ∈ B, claramente d( x, B) ≤ d( x, a)

(1)

Así, {{ a} = B} = {{ a} ≤ B}, ya que por definición se tiene {{ a} = B} ⊆ {{ a} ≤ B} y para todo x ∈ { B ≤ { a}} ya que se cumple la Ecuación 1. Luego, si x ∈ {{ a} ≤ B} y x ∈ { B ≤ { a}}

⇔ x ∈ {{ a} ≤ B} ∩ { B ≤ { a}}

⇔ x ∈ {{ a} = B}

De donde se consigue que {{ a} ≤ B} ⊆ {{ a} = B}. Por tanto, {{ a} = B} = {{ a} ≤ B}. Luego, por el Lema 2.10 se concluye la demostración. 10

De modo que, para lo que sigue se puede considerar que a (∈ B.

→ → Sea − r un rayo cerrado que parte en a y H (− r ) el semiespacio abierto al cual a pertenece a su − → → borde y r apunta hacia adentro en la dirección de la normal del semiespacio. Así, − r intersecta − → − → al conjunto equidistante cuando H ( r ) intersecta a B y en un sólo punto e( r ) (= a.

→ Debemos probar que si los rayos de a dan la topología de la esfera sobre a, luego el mapeo − r −→ − → e( r ) es continuo. Además que para dimensión n ≥ 2 si cada recta a través de a interesecta al equidistante, se tiene que este conjunto de rectas resulta ser conexo. Por tanto, se tiene un dominio conexo para una función continua. De lo que se desprende que el conjunto equidistante es conexo. → → Lema 2.12 (Wilker [1],Lema 3). El mapeo − r −→ e(− r ) es continuo. → → Demostración. Sea − r0 un rayo el cual se intersecta con el conjunto equidistante en e(− r0 ).

→ → Tomemos B(e(− r0 ), ε), tal que ε < d( a, B)/2 y a (∈ B(e(− r0 ), ε). Recordemos que como a (∈ B, luego, la d( a, B) (= 0. Además, basta tomar estos casos de ε, ya que para otros casos la bola podría contener al punto a, en cuyo caso se toma una bola con estos requerimientos y el conjunto preimagen encontrado respetará la condición necesaria para que la función sea continua. → A partir de a se puede tomar un cono tal que sea tangente a B(e(− r0 ), ε), el cual determina inmediatamente una serie de direcciones que podrían intersectar al conjunto equidistante. Pero esto todavía no nos asegura que el conjunto de direcciones escogido tenga como imagen puntos en la bola inicial. Para asegurarnos de que los puntos queden totalmente dentro, tomemos una bola cerrada que esté totalmente contenida en {{ a} < B}. Ahora bien, dado que {{ a} ≤ B} es convexo, contiene → un cono de tangentes de e(− r0 ) a esta bola. Y estas tangentes determinan una serie de direcciones en la bola inicial, las cuales intersectan al conjunto equidistante dentro de esta. Lema 2.13 (Wilker [1],Lema 4). En dimensión n ≥ 2, si cada línea que pasa a través de a intersecta al conjunto equidistante, luego el conjunto de todos los rayos con los cuales intersecta es conexo.

→ → Demostración. Si los rayos − r1 y − r2 no intersectan al conjunto equidistante se han de intersectar en → → → → un ángulo 0 ≤ θ < π. Si − r es un rayo en el ángulo θ, luego como H (− r ) ⊂ H (− r1 ) ∪ H ( − r2 ), no − → puede intersectar a B, y por tanto, r no se intersecta con el conjunto equidistante. Entonces, en cualquier círculo grande los rayos los cuales no se intersectan con el conjunto equidistante caen → en un arco, y los que si se intersectan con el conjunto equidistante completan el arco. Si − r0 es un rayo fijo el cual intersecta al conjunto equidistante, entonces cualquier otro rayo que también lo → haga puede ser unido con − r0 por un gran arco circular de rayos del mismo tipo. Por otro lado, si existe una linea L a través de a la cual no intersecta al conjunto equidistante, el conjunto B debe estar contenido en un plano E de dimensión (n − 1) en una perpendicular 11

a L. Así, el conjunto equidistante es un cilindro sobre {{ a} = B} ∩ E y será conexo si y sólo si este subconjunto del equidistante es conexo. Una elección inductiva de una sucesión de rectas y planos ortogonales permiten conseguir la dimensión m ≥ 2 cuando un conjunto equidistante conexo es garantizado por la argumentación antes hecha. Luego, {{ a} = B} es un cilindro conexo. Por otro lado, la inducción permite probar que B es un subconjunto de una linea L1 a través de a. Luego, {{ a} = B} es un hiperplano o una pareja de hiperplanos paralelos dependiendo si B intersecta uno o dos de los rayos en los cuales L1 es divida por a. Teorema 2.4 (Wilker [1],Teorema 4). En R n si A y B son conjuntos conexos no vacíos, luego { A = B} es conexo. Demostración. Lema 2.14 (Wilker [1],Lema 5). Si A, B ⊂ R n son no vacíos, con A conexo, entonces { A ≤ B} es conexo. Demostración. Ya hemos visto que las distancias se realizan en la clausura de los conjuntos, por tanto,

{ A ≤ B} =

a∈ A

Como A es conexo y { a} ⊂ {{ a} ≤ B} ∩ A, A = Ecuación 2. Y por tanto, Ua∈ A {{ a} ≤ B} es conexo.

{{ a} ≤ B} -

a∈ A

(2)

{ a} está contenido en la unión de la

Dado que cada uno de los conjuntos es conexo y contienen a A, la unión no es disjunta. De lo que se concluye que { A = B} es conexo. Lema 2.15 (Wilker [1],Lema 6). Si R n = Y ∪ Z donde Y y Z son no vacíos, abiertos y conexos, luego Y ∩ Z es conexo. Lema 2.16 (Wilker [1],Lema 7). Sean A y B cerrados, no vacíos y conexos, tales ques que R n = A ∪ B, entonces A ∩ B es conexo.

Demostración. Supongamos lo contrario A ∩ B no es conexo. Por tanto, existen C1 , C2 cerrados no vacíos disjuntos tales que A ∩ B = C1 ∪ C2 . Dado que R n es normal, se puede separar tales cerrados por dos abiertos Ui . De forma que Ci ⊂ Ui con i ∈ {1, 2}. Tomemos Vi =

x ∈O⊂Ui O abierto x ∈Ci

de tal forma que Vi ⊂ Ui . Además, definamos V = V1 ∪ V2 . Con lo cual, se puede escribir Y = A ∪ V y Z = B ∪ V. Se ha de notar que A ∩ B ⊂ V y Bc = A \ ( A ∩ B) dado que R n = A ∪ B. De lo que se concluye que Y = Bc ∪ V, por tanto, también es abierto. Ya que es la unión de dos abiertos: Bc , por ser complemento de un cerrado; y V, por ser la unión de dos abiertos, por definición. Por otro lado, Y resulta ser conexo, dado que es A unido a un conjunto de abiertos que se intersectan con A. De forma análoga se concluye que Z es abierto y conexo. Se ha de notar que Y ∩ Z = ( Ac ∪ V ) ∩ ( Bc ∪ V )

= ( Ac ∩ Bc ) ∪ V = ∅∪V = V

Y por el Lema 2.15, se tiene que V es conexo. Pero V = V1 ∪ V2 es la unión de dos conjuntos disjuntos abiertos. Lo cual contradice el hecho de ser conexo. Luego, se completa la prueba. Así, sabiendo que { A ≤ B} ∪ { B ≤ A} = R n junto con { A ≤ B} ∩ { B ≤ A} = { A = B}, se concluye que { A = B} es conexo.

Dado el teorema anterior, lo lógico sería tratar de pensar si al tener dos conjuntos arcoconexos, su equidistante también lo es. Pero, no es verdad que si A y B son arcoconexos luego { A = B} es arcoconexo. Para ello se definen los conjuntos: . / 1 1 A = {( x, 1) : x ≥ 0} ∪ ( x, y) : x = , −1 + ≤ y ≤ 1, n = 1, 3, 5, . . . n n . / 1 1 B = {( x, −1) : x ≥ 0} ∪ ( x, y) : x = , −1 ≤ y ≤ − 1, n = 2, 4, 6, . . . n n Luego, { A = B} es el semiplano cerrado {( x, y) : x ≤ 0} junto con una curva parecida al gráfico de sin 1x tal y como se muestra en la siguiente figura.

Comportamiento asintótico de los equidistantes

En esta sección trabajaremos sobre R2 . La envoltura convexa de un conjunto A es el menor convexo, que denotaremos ec( A), tal que contiene al conjunto. Por tanto, es posible describirlo como ec( A) =

A⊂C

C convexo

Se ha de notar que la envoltura convexa de un conjunto compacto es compacta, esto resulta como corolario del Teorema de Caratheodory [[3], pág.184-185]. Una tangente T a un conjunto A es una recta tal que este último queda totalmente contenido en uno de los semiplanos que T determina y T ∩ A (= ∅. Al semiplano que contiene al conjunto lo notaremos por H T . Además, es sabido que entre dos conjuntos compactos convexos disjuntos A, B existen sólo 4 tangentes a ambos conjuntos, dos de ellas interiores y dos exteriores. Donde las tangentes exteriores son aquellas tales que A ⊂ H T y B ⊂ H T , y las interiores, aquellas que A ⊂ H T y B ⊂ H cT .

Lema 3.1. Las tangentes de un conjunto compacto conexo A y las de su envolvente convexa ec( A) son las mismas. Demostración. El enunciado es claramente equivalente, a demostrar que T es tangente de A si y sólo si T es tangente a ec( A). Primero, supongamos que T no es tangente a ec( A). Se tiene que A ⊂ H T y que ec( A) ∩ H T es convexo, dado que es la intersección de dos convexos. Como T no es tangente de ec( A), entonces existen puntos de ec( A) que no pertenecen a H T . Pero, A ⊂ ec( A) ∩ H T , por tanto ec( A) ∩ H T ⊂ ec( A). Lo que contradice la minimalidad de la envoltura convexa. Por otro lado, supongamos ahora que T no es tangente de A, pero si lo es de ec( A). Como A ⊂ ec( A), se tiene que al T no ser tangente solo puede intersectar de forma vacía a A. Además, para todo x ∈ ec( A) ∩ T, x ∈ ec( A), x (∈ A y x es combinación convexa de x1 , x2 ∈ A. Luego, x ∈ [ x1 x2 ]. Por tanto, o bien, [ x1 x2 ] ⊂ T, lo cual es una contradicción directa con que A ∩ T = ∅; o bien, x2 o x1 ∈ HcT , lo que contradice el hecho de que A ⊂ H T , ya que A ⊂ ec( A). Teorema 3.1 (Loveland [2], Teorema 3.2). Si A y B son cerrados disjuntos de R n con A convexo. Entonces { A = B} es homeomorfo a un subconjunto abierto de una (n − 1)-esfera, y { A = B} es una (n − 1)-esfera si y sólo si A es acotado y cae en el interior de ec( B). Se ha de notar que dados los resultados anteriores, es posible tratar a los pares de conjuntos A, B 15

donde uno está en el interior de la envoltura convexa del otro. Notando que esto implica que el conjunto equidistante está acotado en el interior del conjunto mayor por contención, y por tanto, está acotado.

Dada la notación de intervalos de los rayos se puede considerar un punto p (∈ B y parametrizar el segmento que determina con el punto donde realiza la distancia al conjunto B, o sea b. Esta parametrización queda definida como:

x :[0, d( p, B)]−→R n t

'−→

1 ((d( p, B) − t) p + bt) d( p, B)

Luego, esta función es claramente continua, ya que es una suma de funciones continuas. Por tanto, al componer f con x, obtenemos una función continua. Se ha de notar que, si suponemos que p está más cerca de A que de B, se tiene: f (0) = d( p, B) − d( p, A) > 0

f (d( p, B)) = d − d(b, A) < 0

donde d = d(b, B). Ocupando el Teorema del Valor Intermedio, se tiene que existe un ξ ∈ [0, 1] tal que f (ξ ) = 0. Y 16

por tanto, 0 0 0d( xξ , A) − d( xξ , B)0 = 0

d( xξ , A) = d( xξ , B)

de donde xξ ∈ { A = B}. Se ha de notar que las tangentes logran separar el espacio en dos semiespacios, tal que uno de ellos contiene al conjunto. Dado que en R n para un compacto es posible definir un cono de tangentes, se pueden separar dos conjuntos vía estos conos. Así, si entre dos conjuntos los conos que estos determinan están separados por un ángulo α, entonces se dice que los conjuntos son separados. En lo sucesivo se pretende estudiar conjuntos que son casi equidistantes. A estos conjuntos los llamaremos ε− equidistantes. Y continuando con la notación ya introducida, serán:

{| A − B| < ε} = { x : |d( x, A) − d( x, B)| < ε} Teorema 3.2. Sean A, B compactos. Si x0 ∈ {| A − B| < ε}, d( x0 , A) < d( x0 , B) y a partir de él A y B están separados por α, existe x ∈ B( x0 , t) tal que x ∈ { A = B}. Donde t=ε

1 ε + 2d 2 ε + d − d cos α

y d = d ( x0 , A ). Demostración. Lo primero es notar que dado que x0 ∈ {| A − B| < ε} se tiene: 0 < f ( x0 ) < ε Para la demostración necesitaremos hacer algunas construcciones auxiliares. La primera es establecer los conos de tangentes que encierran nuestros conjuntos. Luego, se puede precisar aún más el lugar donde se encuentra el conjunto A, por la minimalidad de la distancia entre x0 y el conjunto A, se puede hacer un arco de circunferencia de radio d. De forma que en particular, se encuentra un punto a el cual es la intersección entre el arco y la tangente en la cual se mide el ángulo α. Por otro lado, en el segmento entre x0 y donde se realiza la distancia con B se define un punto. Este, dada la parametrización de este segmento se encuentra a distancia t de x0 . Luego, se puede hacer un arco de circunferencia, con centro en x0 y radio t. De forma de marcar en la tangente en la cual se mide el ángulo α esta distancia t, a este punto lo llamaremos t- .

Dado esto se logra un triángulo por estos puntos antes determinados, t- y a, y el punto p. De forma que el ángulo α es parte de este triángulo. El largo del lado definido entre el punto a y t- , puede ser calculado por el teorema del coseno, de forma que se obtiene: s(t)2 = t2 + d2 − 2dt cos α

Considerando lo anterior, se tiene que s(t) ≤ d(t, a). Y por tanto:

f ( t ) ≤ d ( x ( t ), B ) − d ( x ( t ), a )

≤ d( p, B) − t − s(t) < d + ε − t − s(t)

Con la última expresión se puede definir una función f (t) = d + ε − t − s(t), la cual es continua por ser suma de funciones continuas. Además, es diferenciable. Analizando f se nota que:

f (0) = d + ε − 0 −

= d + ε − |d|

0 + d2 − 2d · 0 · cos α

= d+ε−d = ε

Así, f (0) = ε = f (0). Lo cual es importante dado, que nuestra función f mayora en todo punto a la función f y en 0 son iguales. Ahora bien, lo que nos interesa es estudiar los ceros de f . Así, de manera indirecta, por lo dicho antes, estudiaremos los ceros de f (t).

d+ε−t−

t2 + d2 − 2dt cos α = 0 1 d+ε−t = t2 + d2 − 2dt cos α

d2 + ε2 + t2 − 2dt − 2tε + 2dε = t2 + d2 − 2dt cos α 2dt cos α − 2dt − 2tε = −ε2 − 2dε ) * t (2d cos α − 2d − 2ε) = − ε2 + 2dε t =

1 ε2 + 2dε 2 ε + d − d cos α

Se ha de verificar que t pertenezca a nuestro intervalo de definición. Primero, veamos que es positivo. Para ello analizaremos el denominador (ε + d − d cos α) de la fracción que representa t, dado que el numerador es positivo por ser suma de elementos positivos (ε y d).

cos α ≤ 1

−1 ≤ − cos α

−d ≤ −d cos α

ε + d − d ≤ ε + d − d cos α 0 < ε ≤ ε + d − d cos α

Por tanto, se tiene que t es positivo. Notemos que además la función f (t) es decreciente. Para ello observemos su derivada:

f (t) =

d+ε−t−

t2 + d2 − 2dt cos α

2t − 2d cos α 1 = − √ 2 t2 + d2 − 2dt cos α 4 5 t − d cos α = − 1+ √ t2 + d2 − 2dt cos α

) 6 La cual, por simple inspección cuando cos α < 0. Por tanto, cuando α ∈ π2 , 3π 2 . Por 7 π 6 es 7 3πnegativa 6 otro lado, cuando α ∈ 0, 2 ∪ 2 , 2π , basta con analizar el caso en que d cos α > t; dado que en otro caso la parte entre paréntesis será positiva, y por tanto, la función será decreciente. Notemos que 2td cos α ≤ 2td, por tanto,

(d − t) ≤ |t − d| 8 = ( t − d )2 8 = |t2 − 2td + d2 | 1 = t2 + d2 − 2td 1 d cos α − t ≤ t2 + d2 − 2td cos α Donde el lado derecho es 0 solo cuando α = 0 y t = d, pero este caso no lo estamos considerando, ya que los conjuntos no están separados.

−1 ≤ − √

d cos α − t

t2 + d2 − 2td cos α t − d cos α 0 ≤ 1+ √ 2 t + d2 − 2td cos α

De lo que se concluye que la función es no creciente. Además, se ha de notar que el cero que hemos encontrado cumple que:

ε ε + 2d =0 ε→0 2 ε + d − d cos α

l´ım

Por tanto, podemos asegurar que para ε suficientemente pequeños, se tiene una solución muy cerca del ε−equidistante.

El valor obtenido es posible aproximarlo por

t ∼ ε

3 1 2 1 − cos α

Para lo que sigue es necesario un rayo de otra forma. Este 9− 9 que$ identifiquemos 9− 9 se puede ver como #− − → → − → → − → − → → ⊥ 2 ⊥ 9 9 9 r = a + t v | t ≥ 0, v = 1 . Sea v ∈ R ortogonal a v con v 9 = 1. Para ε > 0 y un → → vector inicial − a definimos un tubo de ancho ε, entorno a − r como : ; ) →* − → → → Tubε − r = a + t− v + s− v ⊥ | t ≥ 0, |s| ≤ ε

→ Decimos que { A = B} tiene una cola asintótica a − r si existe ε > 0 tal que el conjunto ) →* C = { A = B} ∩ Tubε − r

verifica que

→ a) La proyección ortogonal π : C → − r es una biyección.

) →* b) Si escribimos C con los parámetros (t, s) del tubo Tubε − r el punto anterior asegura que existe una función s : [0, ∞) → (−ε, ε) tal que C = {(t, s(t)) | t ≥ 0} con esta notación pedimos además que l´ım s(t) = 0

t→∞

Dada la definición anterior, se han de hacer los siguientes comentarios: a) Notar que la función s definida arriba necesariamente es continua, pues su gráfico es cerrado [[4]].

→ → b) El lector habrá notado que para todo rayo − p ⊆− r el conjunto equidistante { A = B} tiene → → una cola asintótica a − p (por simple restricción de la cola correspondiente a − r ). Si bien, uno puede formalizar definiendo una relación de equivalencia apropiada, en el resto del texto consideraremos que estas dos colas son realmente la misma. c) La segunda condición de definición la denominaremos comportamiento asintótico de la cola, y por tanto, el rayo es una asíntota de la cola. Lo que difiere un poco del significado geométrico usual de una asíntota, ya que permitimos que la cola intersecte al rayo de forma no vacía, pero en infinito el rayo y la cola están tan cerca que son indistinguibles.

Por otro lado, un segmento tangente ST es aquél segmento en una tangente T exterior a conjuntos compactos conexos A y B, determinado por los puntos de tangencia de A y de B en T que están a la mínima distancia. Luego, si A ∩ B = ∅ entonces solo existen dos segmentos tangentes. Teorema 3.3. Dado dos conjuntos compactos conexos A, B tales que A ∩ B = ∅. Para cada ST , su simetral es una recta de acumulación de los puntos del equidistante.

Demostración. Como ya hemos visto todo conjunto compacto tiene una envolvente convexa. Por tanto, trabajaremos con ellas. Luego, es posible suponer además que A y B son convexos. Como ya hemos dicho, por la convexidad de los conjuntos existen dos tangentes exteriores. Sea T una de ellas. Luego, por cada uno de los conjuntos existe al menos un punto de tangencia con T. Dado que cada conjunto es compacto, se pueden tomar los puntos de tangencia más cercanos entre ambos conjuntos. A estos puntos los llamaremos A T y BT , los que definen el segmento tangente ST . Como los conjuntos son convexos, estos quedan en uno de los semiplanos HT determinados por la tangente. Sea p un punto en la simetral determinada por el segmento tangente ST muy distante de los conjuntos A y B. Al ser simetral d( p, A T ) = d( p, BT ) y por tanto, T puede determinar un segmento circular el cual puede o no intersectar los conjuntos A y B, en puntos distintos a A T y BT .

Por otro lado, se ha de notar que de realizarse la distancia en un punto distinto a A T o BT , en 22

alguno de los los conjuntos. Se ha de realizar en el segmento circular. En el peor de lo casos se da que uno de los puntos es el extremo del radio del segmento circular y el otro punto en el pie de la simetral. Esa diferencia es calculable, teniendo en cuenta que la simetral determina el punto medio del segmento [ A T , BT ], tal que esta distancia es 2a; y el largo de [ p, A T ] es R. De forma que resulta:

R−

R2 − a2 −→ 0,

R→∞

De forma que el conjunto de puntos de A y B que queda en el segmento circular cada vez es menor. Por tanto, si consideramos puntos a distancia mayor a un R0 3 0 de los conjuntos, podemos considerar que los conjuntos son unos cuadrados de lado ε en torno a A T y BT .

Luego, bajo estas condiciones se puede formular: Lema 3.2. En la proyección de ST sobre la paralela a la tangente que pasa por p hay segmentos que se puede asegurar que, como conjunto de puntos, están más cerca de uno de los conjunto. Así, si π AT es la proyección de A T sobre la paralela, [π AT , p A ] ⊂ { A ≤ B}. De forma similar, [π BT , p B ] ⊂ { A ≥ B} Demostración. Sea q ∈ [π AT , p A ], el cual cumple que d(q, A) ≤ d(q, C A ). Donde C A es el punto de intersección del cuadrado de lado ε y la circunferencia de centro en p y radio d( p, A T ).

Ahora bien, también es posible notar que d(q, Bε ) ≤ d(q, B). Donde Bε es el vértice del cuadrado distinto a BT sobre T. Dado todo lo anterior, no es difícil ver que q ∈ { A ≤ B}.

Luego, no es difícil notar que existen dos zonas determinadas por estos cuadrados. Zonas rectangulares a distancia ε de la simetral, con límites exteriores las perpendiculares a los puntos A T y BT , para cada una de ellas; e interiores las rectas a distancia ε de la simetral. Además, estas mismas son zonas que se componen de puntos que están más cerca del conjunto A y B, respectivamente. De forma que cuando R → ∞, los puntos del equidistante están obligados a estar cada vez más cerca de la simetral. Se ha de notar que como corolario inmediato del Lema 3.2, se tiene: Corolario 3.1. Si A, B cumplen las hipótesis del Lema anterior. Se tiene que en en la proyección de ST sobre una paralela a la tangente T en el semiplano que no contiene a A ni B la cual está a distancia b 3 0 hay sólo un elemento del equidistante. Dado lo anterior, se ha de notar que cada simetral del ST , para cada tangente exterior, tiene 24

asociada una cola del equidistante. Se define como Tub(ST ) al subconjunto de puntos del semiplano, que determina el segmento tangente ST definido por A T ∈ A y BT ∈ B que no contiene ni A ni a B, tales que su proyección ortogonal sobre T cae precisamente en ST . Teorema 3.4. Dado dos conjuntos compactos conexos A, B tales que A ∩ B = ∅, su equidistante solo tiene dos colas. Demostración. Supongamos que no solo tiene dos colas, las cuales son determinadas por las simetrales de los segmentos tangentes, y consideremos B(c, R) una bola tal que contiene a los conjuntos y R es considerablemente grande. Por tanto, como B(c, R) es compacta, se puede extraer otra dirección de acumulación de puntos equidistantes. Para ellos existe una recta l, a la cual se aproximan. Si bien esta recta no necesariamente intersecta a los conjuntos, alguno de los semiplanos que determina intersecta con ellos. De forma que se puede elegir una perpendicular l ⊥ a esta recta la cual sea tangente al menos a uno de los conjuntos, y por tanto, define un semiplano en el cual ambos conjuntos están contenidos. Si sólo es tangente a uno de los conjuntos, digamos a A, entonces B está estrictamente contenido en el semiplano que determina l ⊥ . Por tanto, los puntos que se acumulan a l en realidad están más cerca de A que de B. Si es tangente a ambos conjuntos, entonces ha de coincidir con T, una de las dos tangentes exteriores a los conjuntos. Por el Teorema 3.3, l no pertenece al TubST , ya que supusimos que l no era una de las simetrales. Por tanto, solo podría acumularse en una perpendicular a T fuera de TubST . Y este caso es fácil de descartar ya que estos puntos están más cerca de un conjunto que del otro.

Se ha de observar que en el caso en que un conjunto está en la envoltura convexa del otro y que las tangentes exteriores coinciden, también se cumple que sólo hay dos colas. Y éstas resultan ser paralelas, ya que se aproximan a dos rectas que son perpendiculares a la misma tangente exterior.

De esta manera, se tiene que el conjunto equidistante de dos conjuntos compactos conexos y tales que no están contenidos en envoltura convexa del otro, se parece a una rama de una hipérbola. La cual, puede ser vista como un conjunto equidistante. Que corresponde a considerar el conjunto equidistante de una circunferencia y un punto fuera de la región que la circunferencia encierra. Donde ambos conjuntos cumplen las condiciones iniciales de los conjuntos de nuestro interés.

De forma que las asíntotas de la hipérbolas, las cuales corresponde a las simetrales entre el punto y los puntos de tangencias de las tangentes a la circunferencia relacionadas con el punto. En este 26

caso, la cola queda bien definida desde la intersección de la simetral con la tangente a la cual corresponde. De forma que, los conjuntos equidistante de esta clase particular de conjuntos se puede ver como una hipérbola generalizada.

Sucesiones

Teorema 4.1. Sean A, B compacto y sucesiones { An } y { Bn }, de conjuntos compactos y separados de B y A, respectivamente, que convergen Hausdorff a A y a B. Luego, { An = Bn } converge Hausdorff a { A = B} H

Demostración. Tomemos x ∈ { An = Bn }. Como An − → A, se tiene que para ε existe un NA , tal que para todo n > NA , d H ( A, An ) ≤ ε. De forma similar se consigue que, para todo n > NB , d H ( B, Bn ) ≤ ε. Por tanto, es posible tomar N = m´ax { NA , NB } de forma que ambas desigualdades serán verdad para n > N. Utilizando que x ∈ { An = Bn }, se tiene que d( x, Bn ) = d( x, An ). Y por tanto, para n > N: d( x, A) ≤ d( x, An ) + d H ( A, An )

≤ d( x, An ) + ε = d( x, Bn ) + ε

≤ d( x, B) + d H ( x, Bn ) + ε ≤ d( x, B) + 2ε

d( x, A) − d( x, B) ≤ 2ε

(3)

Por otro lado, por los mismos argumentos antes ocupados, se tiene: d( x, B) ≤ d( x, Bn ) + ε

= d( x, An ) + ε ≤ d( x, A) + 2ε = d( x, A) + 2ε

−2ε ≤ d( x, A) − d( x, B)

(4)

Luego, de (3) y (4), y un N apropiado se consigue

|d( x, A) − d( x, B)| < ε por tanto, x ∈ {| A − B| < ε}. Luego, para todo x ∈ { A = Bn } por Teorema 3.2, se tiene que para todo ε existe un p x,ε ∈ { A = B}, que está a distancia t x,ε . 27

Además, si ahora se toma y ∈ { A = B} y ε, de forma que exista un N tal que para todo n > N, por un proceso similar al anterior se consigue que y ∈ {| An − Bn | < ε}. De forma que ocupando, nuevamente, el Teorema 3.2, se concluye que existe py,ε ∈ { An = Bn }, que está a distancia ty,ε . Se ha de recordar que t x,ε , ty,ε → 0, cuando ε → 0. Luego, d H ({ A = B} , { An = Bn }) → 0.

Aplicación Computacional

A lo largo de este trabajo hemos ocupado para representar algunos conjuntos equidistantes, una serie de dibujos realizados por un computador. Lo cual podría despertar cierta inquietud en aquellos que recuerden que un computador desgraciadamente no tiene memoria infinita, y por tanto, la gran mayoría de los cálculos que este realice solo serán una aproximación de la realidad. Ya que claramente se tiene que ni lo conjuntos iniciales ni el conjunto equidistante resultante, son exactamente los que deberían ser. Es aquí donde el el Teorema 4.1 cobra fuerza, ya que nos asegura que a medida que podamos ir mejorando la precisión de nuestros conjuntos iniciales podremos obtener una representación más fiel del conjunto equidistante que estos definen. Ya que lo que hacemos al aumentar los detalles de los conjuntos aumentando, por ejemplo, la resolución de nuestras imágenes, es conseguir conjuntos iniciales cada vez más parecidos al original. Y por tanto, logramos una representación más fiel del conjunto equidistante de estos conjuntos. Por otro lado, se ha de notar que en un plano, tanto la diferencia de distancia como el ángulo de separación de los conjuntos desde cierto punto determinan regiones, en las cuales los puntos que pertenecen a ellas tienen una, o ambas, características semejantes. Esto nos permite considerar por el grado de separación de los conjuntos y el Teorema 3.2, un valor para el error que se está cometiendo al considerar un punto (un pixel) de tal región como equidistante. O visto de otro modo, decidir cual el error que deseamos conseguir en nuestra imagen final, considerando que los conjuntos iniciales son prácticamente idénticos a los conjuntos que nos interesa estudiar. De forma que podamos elegir todos aquellos pixeles que cumplan con que la diferencia de las distancias a los conjuntos esté acotada por nuestro error.

Bibliografía [1] Equidistant Sets and their Connectivity Properties, J. B. Wilker, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 47, No. 2 (Feb., 1975), pp. 446-452 [2] When Midsets are Manifolds, L. D. Loveland, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 61, No. 2 (Dec., 1976), pp. 353-360

[3] Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhikerâ&#x20AC;&#x2122;s Guide, Charalambos D. Aliprantis,Kim C. Border,Springer, Third Edition [4] Closed graph theorem: Topological approach, Piotrowski, Z.,Szymanski, A., Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,Vol.37,pp.88-99