Ecuaciones parametricas y Longitud de arco - Mario brito

Ecuaciones Paramétricas ECUACIONES : Página 3 PARAMETRICAS Y SU GRAFICACIÓN TRANSFORMACIÓN : Página 5 DE EC. PARAMETRICAS LONGITUD DE ARCO : Página 9

ABRIL [2021]

ECUACIONES PARAMÉTRICAS ABRIL [2021]

ACTIVIDAD 10% - MATEMATICA III

ECUACIONES PARAMETRICAS MARIO ANDRES BRITO PALENCIA

Y SU GRAFICACION En este apartado veremos que es

V.-25.104.683

una ecuación paramétricas, resolveremos algunos ejemplos y

Ingeniería de Sistemas

veremos la manera de graficarlas

Instituto Universitario Politécnico

Santiago Mariño

TRANSFORMACION DE

2

ECUACIONES PARAMETRICAS Acá veremos las formas de transformar una ecuación paramétrica a una ecuación rectangular

LONGITUD DE ARCO

3

En este articulo podremos aprender a como calcular la longitud de arco en algunos ejemplos de ecuaciones paramétricas

24/04/2021

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2

1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Definición y ejemplos

Podemos profundizar el ejemplo dado anteriormente, asignando valores a un sistema de ecuaciones de ejemplo como el que sigue:

𝑡+5 𝑥= 2 𝑡2 𝑦= 5

−2 ≥ 𝑡 ≥ 2

Este Sistema de ecuaciones paramétricas se puede resolver de la siguiente forma: Podemos tabular algunos valores para encontrar puntos en el plano, y sustituir en las ecuaciones para encontrar coordenadas en los ejes x , y : Para t = 0

𝑥=

DEFINICIÓN: Las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas en el plano o superficies

0+5 2

=

5 2

𝑦=

𝑥=

cada coordenada de un punto como una función relacionada al parámetro.

Un ejemplo de esto puede ser el recorrido de una partícula en el plano, a medida que pasa el tiempo, siendo este el parámetro, y las coordenadas la ubicación de éste, en determinado valor del parámetro.

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=0

Para t = −1

en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo pertenecientes a los números reales, esto gracias a una variable llamada parámetro, considerando

0 2 5

−2+5 2

=

3 2

𝑦=

−2 2 5

=

4 5

Para t = −2

𝑥=

−1+5 2

4 2

= =2

𝑦=

−1 2 5

=

1 5 3

1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Otro ejemplo lo podemos plantear de la siguiente, un niño lanza un avión de papel de modo de que la ecuación paramétrica queda de la siguiente manera:

Definición y ejemplos

𝒕

Para t = 2

𝑥=

2+5 2

=

7 2

𝑦=

2 2 5

=

4 5

𝑥=

𝒚

0≤𝑡≤9

Entonces, asignamos algunos valores, cuidando de cumplir el intervalo de 𝑡 Y resolvemos las operaciones sustituyendo en 𝑡 los valores.

Para t = 1

1+5 2

𝒙

3𝑡 𝑥= ൞ 2 𝑦 =3+ 𝑡

Para t = 0

6 2

= =3

𝑦=

1 2 5

=

Observemos la grafica de este ejercicio. (Ver Fig.1)

1 5

0 2

𝑥= =0

𝑦 =3+ 0=3

𝒕

𝒙

𝒚

Para t = 1

𝑥=

3(1) 2

3 2

𝑦 = 3 + √1 = 4

=6

𝑦 = 3 + √4 = 5

=

Para t = 4

𝑥=

3 4 2

Para t = 9

𝑥= Fig.1: Ejemplo de graficación del problema 1

3(9) 2

=

27 2

𝑦 = 3 + √9 = 6 4

Fig.2: Ejemplo de graficación del problema 2

2 TRANSFORMACION DE ECUACIONES PARAMETRICAS Definición y ejemplos

A partir de las ecuaciones paramétricas podemos encontrar las ecuaciones cartesianas, esto lo podemos lograr resolviendo una de las ecuaciones para su variable (x o y), y luego conectarla a la ecuación restante obteniendo así una única ecuación sin parámetro. Mostrare en un par de ejemplos como se puede lograr esto.

En este ejemplo, imaginemos que el niño anterior quiso lanzar el avión sobre un obstáculo que se encontraba en el camino del avión. Este obstáculo se encuentra representado por las siguientes ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 3 + sin(5𝜃) ቊ 𝑦 = 3 − cos(5𝜃) Para poder transformar esta ecuación paramétrica a rectangular, usaremos una identidad

Tendríamos representada en la grafica la trayectoria de este avión de papel desde 𝑡 = 0,

trigonométrica:

hasta 𝑡 = 9. Si vemos el parámetro t como el tiempo, podríamos decir que representamos vuelo

sin2 𝑎 + cos 2 𝑎 = 1

del avión de papel desde el segundo 0 hasta el segundo 9. (ver Fig. 2)

Por lo que podemos buscar la forma de igualar ambas ecuaciones y sustituir. Veámoslo: Primero despejamos las funciones trigonométricas:

𝑥 − 3 = sin(5𝜃) 𝑦 − 3 = − cos(5𝜃) 5

2 TRANSFORMACION DE

ECUACIONES PARAMETRICAS Definición y ejemplos

Luego, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, en ambas ecuaciones:

𝑥−3 𝑦−3

2

= sin(5𝜃 )2 2 = (−cos(5𝜃))2

Para el centro tenemos que igualar las ecuaciones internas a 0 para obtener las coordenadas:

𝑥−3=0 𝑥=3

𝑠𝑖𝑛2 (5𝜃)

𝑥−3

=

𝑦−3

2

= 𝑐𝑜𝑠 2 5𝜃

∴

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (3 , 3)

Y para hallar el radio solo hay que calcular 𝑟 2

𝑟2 = 1 𝑟 = √1 𝑟=1

Quedando de la siguiente forma:

2

𝑦−3=0 𝑦=3

𝑥=

3 4 2

∴

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 1

=6

𝑦 = 3 + √4 = 5

Podemos graficarla rápidamente gracias a estos datos.

Ahora podemos sumar ambas ecuaciones:

𝑥−3

2

+ 𝑦−3

2

= 𝑠𝑖𝑛2 5𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 5𝜃

Y además si quisiéramos saber la dirección de la curva paramétrica podemos saberlo si asignamos datos para sustituir en las ecuaciones: Para hacerlo mas fácil, hacemos un cambio de variable:

Si nos damos cuenta, hemos logrado que se cumpla la identidad, por lo que podemos sustituirla en la ecuación:

𝑥−3

2

+ 𝑦−3

2

=1

Y así nos queda una ecuación que es conocida en geometría analítica. La ecuación canónica de una circunferencia:

𝑥−ℎ

2

+ 𝑦−𝑘

2

5𝜃 = 𝑡 Y calculamos los puntos quedando tal que:

𝒕

𝒙

𝒚

= 𝑟2

De la cual podemos deducir las coordenadas del centro, y su radio:

6

Y nos quedaría representada las ecuaciones, y podemos ver los puntos que se van

Veamos como podemos obtener la ecuación cartesiana de un sistema de ecuaciones paramétricas. Planteemos entonces el siguiente ejemplo.

presentando desde t = 0 en adelante. Por lo que se puede apreciar que esta en sentido anti horario. Y podemos ver que la trayectoria del avión del problema anterior, efectivamente paso sobre el obstáculo. (Ver Fig. 3)

Tenemos las siguientes ecuaciones cartesianas:

𝑥 = 8 cos(𝑡) ቊ 𝑦 = 6 𝑠𝑖𝑛(𝑡) Empecemos por despejar las funciones trigonométricas como vimos en el ejemplo anterior

𝑥 = cos(𝑡) 8 𝑦 = s𝑖𝑛(𝑡) 6 𝑥 8

2

𝑦 + 6

𝑥 8 𝑦 6

2

= cos 𝑡

2

= s𝑖𝑛 𝑡

2

2

2

= cos 𝑡

2

+ s𝑖𝑛 𝑡

2

Por lo tanto se cumple la identidad:

sin2 𝑎 + cos 2 𝑎 = 1 Fig.3: Ejemplo de graficación del problema 3 Quedando entonces:

𝑥 8

2

𝑦 + 6

2

=1

7

Y teniendo esto, ya tenemos lo que seria la ecuación cartesiana, lo que nos permite graficar siguiendo las características de la ecuación:

𝑥 − 𝑥0 𝑎2

2

𝑦 − 𝑦0 + 𝑏2

2

=1

𝑥 8

2

𝑦 + 6

2

=1

3 LONGITUD DE ARCO Definición y ejemplos

Centro (0 , 0) Semieje X = 8 Semieje Y = 6

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente,

Donde:

ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios

• x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse

métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

• a : Semieje de abscisas • b : Semieje de ordenadas.

En este caso, el eje mayor es el horizontal. Ya que b ⩽ a.

Fórmula General

La gráfica quedaría de la siguiente forma: (Ver Fig. 4)

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una serie finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.

Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

8 Fig.4: Ejemplo de graficación del problema 4

Quedando entonces de la siguiente manera:

Tenemos el siguiente ejercicio de ejemplo:

𝑦 = ln(sin 𝑥)

8

1≥𝑥≥8

Para poder encontrar la longitud de arco, debemos encontrar

𝑥 𝑆 = න csc 𝑥 = ln(tan ) 2 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥

y sustituirlo en la Formula

general.

Como es una integral definida, lo siguiente que tenemos que hacer es hallar la diferencia entre sus limites, sustituyendo los valores en 𝑥, y restándolos:

Nos quedaría de la siguiente forma:

𝑦′ =

1 ∗ cos 𝑥 = cot 𝑥 sin 𝑥

Ahora que encontramos la derivada, procedemos a sustituirla en la Formula General: 8

𝑆= න

tan2

1 + (cot 𝑥) 2 𝑑𝑥

1

Veamos como la resolvemos. Empecemos elevando al cuadrado la cot(𝑥) 8

𝑆= න

1+

cot 2 (𝑥)

8 1 𝑆 = ln(tan ) − ln(tan ) 2 2 1 𝑆 = ln(tan 4) − ln(tan ) 2 tan 4 𝑆 = ln( 1 ) Resolvemos eso con la calculadora para hallar un valor. Quedando como resultado para la longitud de arco:

𝑆 ≈ 0,751122

𝑑𝑥

1

Tenemos la siguiente identidad trigonométrica: 1 + cot 2 𝑥 = csc2 𝑥. Así que sustituimos 8

𝑆= න 1

8

csc 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = න csc 𝑥 𝑑𝑥 1

Veamos como podemos resolver un ejemplo la longitud del arco que queremos calcular esta expresada en ecuaciones paramétricas.

𝑥 = 3 + sin(5𝜃) ቊ 𝑦 = 3 − cos(5𝜃)

Y vemos que nos quedo una integral inmediata:

𝑣 න csc 𝑣 𝑑𝑣 = ln(csc 𝑣 − cot 𝑣) + 𝐶 = ln(tan ) + 𝐶 2 9

Tenemos las siguientes ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 3 + sin(5𝜃) ቊ 𝑦 = 3 − cos(5𝜃)

𝜋

𝑆=න

25 cos2 (5𝜃) + 25 sin2 5𝜃 𝑑𝜃

0 𝜋

𝑆=න

25(cos 2 5𝜃 + sin2 (5𝜃)) 𝑑𝜃

0

Aplicando la identidad trigonométrica sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 . Obtenemos que: 𝜋

Y queremos saber la longitud del arco que forman en el intervalo 0 , 𝜋 . En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de “𝑡” como 𝑥 = 𝑓(𝑡) e 𝑦 = 𝑔(𝑡), la longitud de arco desde el punto (f(a), g(a)) hasta el punto (f(b), g(b)) se calcula mediante la formula:

𝑆=න

𝜋

25 𝑑𝜃 = න 5 𝑑𝜃

0

0

𝑆 = 5𝜋 − 5(0) 𝑆 = 5𝜋 Y de esta manera, encontramos que la longitud de arco para las ecuaciones paramétricas dadas es 5𝜋

Por lo que debemos encontrar las derivadas de ambas funciones. Así que empezaremos por allí:

𝑥 ′ = 5cos(5𝜃) 𝑦 ′ = 5sen(5𝜃) Entonces procedemos a sustituir en la formula, y nos quedaría de la siguiente manera: 𝜋

𝑆=න

(5 cos(5𝜃))2 + (5 sin(5𝜃))2 𝑑𝜃

0

Resolvemos:

24/04/2021 10

Acerca de este título ¡Este revista se hizo con el objetivo de dar un acercamiento hacia el tema de la unidad uno de la materia de Matemática III, Que nos define sobre Ecuaciones Paramétricas, como graficarlas, como transformarlas y como calcular la longitud de arco.

Espero haya sido una grata experiencia.

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