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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Criterios de Estabilidad

Participante: Ronald Reinoso Ci.15.003.605 Septiembre 2016

¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto?

Un sistema de control es un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos de producción industriales para controlar equipos o máquinas.

Existen dos clases comunes de sistemas de control, sistemas de lazo abierto y sistemas de lazo cerrado. En los sistemas de control de lazo abierto la salida se genera dependiendo de la entrada; mientras que en los sistemas de lazo cerrado la salida depende de las consideraciones y correcciones realizadas por la retroalimentación. Un sistema de lazo cerrado es llamado también sistema de control con realimentación. Los sistemas de control más modernos en ingeniería automatizan procesos sobre la base de muchos parámetros y reciben el nombre de controladores de automatización programables (PAC). ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto?

En el análisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante diferentes tipos de perturbaciones, por lo que se estudiarán, en esta sección, una serie de señales de entradas que comúnmente ocurren en la vida real, el impulso, el escalón, la rampa y la parábola. El impulso es una entrada cuya duración en el tiempo es instantánea; el escalón es aquella entrada cuya magnitud es aplicada en forma constante a lo largo del tiempo; la rampa es una entrada cuya amplitud varía linealmente a lo largo de todo el tiempo y la parábola es aquella cuya amplitud varía cuadráticamente a lo largo del tiempo.

En la Tabla ?? se muestra la expresión matemática de cada una de ellas y su Transformada de Laplace, en tanto que en la Figura ?? se muestra su representación gráfica., La respuesta permanente es aquella que se alcanza cuando el sistema se establece y es muy importante su estudio pues informa lo que sucede con la salida permanente una vez que el sistema es perturbado. Se pueden tener casos en los cuales, ante una entrada acotada, no se logra un valor de establecimiento constante, siendo éstas situaciones no deseadas, tal como sucede para la respuesta ante el escalón de los sistemas de tipo I EL valor de establecimiento que alcanzaban distintos tipos de sistemas, en tanto que en esta sección se estudiará la respuesta permanente desde el punto de vista del error del sistema en estado estacionario, el cual solamente está definido para sistemas a lazo cerrado pues corresponde con la diferencia entre la entrada o señal de referencia y la salida del sistema.

La señal de referencia es el valor que la salida está siguiendo y si fuese posible se desearía que la diferencia entre ellas fuese cero. Para un sistema con retroalimentación unitaria, como el que se muestra en la Fig. ??, el error se expresa según la Ec. ??, en la cual G(s) coincide con la función de transferencia a lazo abierto.

. ÂżQuĂŠ es Tiempo de levantamiento?

Tiempo de levantamiento, de subida o de crecimiento, tr (rise time): el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo comĂşn se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.

Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

en donde B se define en la figura 2. Es evidente que para un valor pequeĂąo de tr, wd debe ser grande.

Figura 2

¿Qué es Sobrepaso máximo?

Sobrepaso máximo (porcentaje), Mg o %OS (peak overshoot). El sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante:

CRITERIO DE ROUTH – HURWITZ. El criterio permite saber si una ecuación polinómicas posee raíces positivas sin resolverla.

El procedimiento se encuentra explicado en el libro de Ingeniería de Control Moderna de K. Ogata.

El criterio de Routh establece que la cantidad de raíces positivas o con parte real positiva es igual a la cantidad de cambios de signo en los coeficientes de la primera columna.

TRANSFORMACIÓN BILINEAL. La transformada bilineal (también conocida con el nombre de Método de Tustin) es usada habitualmente en el campo del procesamiento digital de señales y en la Teoría de control de señales discretas. Esta herramienta matemática suele usarse para transformar la representación en tiempo continuo de las señales en tiempo discreto y viceversa.

La transformada bilineal es un caso especial de la transformación conforme (también conocida como Transformación de Möbius). Suele usarse para convertir una función de transferencia {\displaystyle H_{a}(s)\ } {\displaystyle H_{a}(s)\ } de un filtro lineal e invariante en el tiempo, que se encuentra definido en el dominio continuo del tiempo (LTI), en una función de transferencia {\displaystyle H_{d}(z)\ } {\displaystyle H_{d}(z)\ } perteneciente a un filtro lineal e invariante en el tiempo que se encuentre definido en el dominio discreto del tiempo, comúnmente llamado filtros digitales. Cabe resaltar que los filtros, aunque trabajen en dominio discreto del tiempo, no se tienen por que considerar digitales dado que existen una variante de filtros analógicos construido a partir de

condensadores conmutados que por su naturaleza trabajan con muestras discretas).

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY. Este criterio de estabilidad tiene la particularidad de poder ser empleado directamente sobre sistemas de tiempo discreto expresados en la variable z. Sea la ecuación característica de un sistema discreto:

A partir de la ecuación anterior puede construirse el siguiente arreglo:

Problema 1 Considere la siguiente ecuaciĂłn caracterĂ­stica: đ?’Œđ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;‘(đ?’› + đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;?) đ?‘ˇ(đ?’›) = đ?&#x;? + =đ?&#x;Ž (đ?’› − đ?&#x;?)(đ?’› − đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;‘) Determine el valor K y examine su estabilidad a travĂŠs del Criterio de Jury.

SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2DC;1,1353(đ?&#x2018;§ + 0.5232) đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;§) = 1 + =0 (đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 0,1353) La soluciĂłn lazo cerrado seria: đ??ś(đ?&#x2018;§) đ?&#x2018;&#x2DC;1,1353(đ?&#x2018;§ + 0.5232) =1+ 2 đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018;§) đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 1.1353đ?&#x2018;§ + 0.1353 Entonces đ?&#x2018;&#x2DC;1,1353(đ?&#x2018;§ + 0.5232) =1+ 2 đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 1,1353đ?&#x2018;§ + 0,1353 + đ?&#x2018;&#x2DC;1,1353 + 0,5232 đ?&#x2018;&#x2DC;1,1353(đ?&#x2018;§ + 0.5232) = 1+ 2 đ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§(1.1353đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 0.1353) + 01353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; AsĂ­ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;§) = đ?&#x2018;§ 2 + đ?&#x2018;§(1.1353đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 0.1353) + 01353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; = 0 Como el sistema es de orden 2 las condiciones de estabilidad de jury son: 1) |đ?&#x2018;&#x17D;2 | < đ?&#x2018;&#x17D;0 2) đ?&#x2018;&#x192;(1) > 0 đ?&#x2018;&#x203A; = 2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; 3) P(-1)>0 Por la condiciĂłn 1 đ?&#x2018;&#x17D;2 = 0.1353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;0 = 1 â&#x2021;&#x2019; |0.1353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC;| < 1 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 < 0.1353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; < 1 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0.1353 < 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; < 0.865 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2.1710 < đ?&#x2018;&#x2DC; < 1.6532 Ahora por la condiciĂłn 2 đ?&#x2018;&#x192;(1) = 1 + 1.1353đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1.1353 + 0.1353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 â&#x2021;&#x2019; 1.6587đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 Lo cual queda đ?&#x2018;&#x2DC;>0 La tercera condiciĂłn P(-1)= 1 â&#x2C6;&#x2019; 1.1353đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.1353 + 0.1353 + 0.5232đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.6123đ?&#x2018;&#x2DC; + 2.2706 > 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.612đ?&#x2018;&#x2DC; > â&#x2C6;&#x2019;2.2706 â&#x2021;&#x2019; 0.6123đ?&#x2018;&#x2DC; < 2.2706 2.2706 â&#x2021;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;< 0.6123 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; < 3.7083

Problema 2 Dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a travĂŠs del mĂŠtodo de TransformaciĂłn Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh. đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x203A;) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2014;đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D; SoluciĂłn

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;§) = 27đ?&#x2018;§ 3 + 27đ?&#x2018;§ 2 + 9đ?&#x2018;§ + 1 = 0 Usando el mĂŠtodo de transformaciĂłn bilineal đ?&#x2018;¤+1 đ?&#x2018;§= đ?&#x2018;¤â&#x2C6;&#x2019;1 Tenemos que đ?&#x2018;¤ + 13 đ?&#x2018;¤ + 12 đ?&#x2018;¤+1 27 + 27 +9 +1=0 đ?&#x2018;¤â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;¤â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;¤â&#x2C6;&#x2019;1 Simplificando nos queda 27đ?&#x2018;¤ 3 + 81đ?&#x2018;¤ 2 + 81đ?&#x2018;¤ + 27 + 27đ?&#x2018;¤ 3 â&#x2C6;&#x2019; 27đ?&#x2018;¤ + 27đ?&#x2018;¤ 2 â&#x2C6;&#x2019; 27 + 9đ?&#x2018;¤ 3 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;¤ 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;¤ + 9 + đ?&#x2018;¤ 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;¤ 2 + 3đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0 AsĂ­ sumando restando 64đ?&#x2018;¤ 3 + 96đ?&#x2018;¤ 2 + 48đ?&#x2018;¤ + 8 =0 64 Nos queda asĂ­ đ?&#x2018;¤ 3 + 1.5đ?&#x2018;¤ 2 + 0.75đ?&#x2018;¤ + 0.125 = El arreglo de Ruth 1 0.75 đ?&#x2018;¤3 2 1.5 0.125 đ?&#x2018;¤ 1 0.75 0 đ?&#x2018;¤ 0 0.125 đ?&#x2018;¤ Como todos los coeficientes tienen el mismo signo đ?&#x2018;&#x2DC;(0.3679đ?&#x2018;§ + 0.2642) = đ?&#x2018;§ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 0.3679đ?&#x2018;§ + 0.3679 = đ?&#x2018;§ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1.3679đ?&#x2018;§ + 0.3679 (đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 0.3679)(đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 1)

Problema 3 Dado el sistema de control de lazo cerrado, encuentre la expresiĂłn del error asĂ­ como la constante de error de aceleraciĂłn estĂĄtica, Ka.

Solucion: đ??¸(đ?&#x2018; ) = đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018; ) â&#x2C6;&#x2019; đ??ś(đ?&#x2018; ) đ??ş(đ?&#x2018; )đ??ť(đ?&#x2018; )đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018; ) â&#x2021;&#x2019; đ??ś(đ?&#x2018; ) = 1 + đ??ş(đ?&#x2018; )đ??ˇ(đ?&#x2018; )đ??ť(đ?&#x2018; ) Ahora si

đ??ş(đ?&#x2018; ) 1 + đ??ş(đ?&#x2018; )đ??ˇ(đ?&#x2018; )đ??ť(đ?&#x2018; ) â&#x2021;&#x2019; đ??žđ?&#x2018;&#x17D; = lim đ??ş(đ?&#x2018; )

đ?&#x2018;&#x2019; = lim đ??¸1 (đ?&#x2018; ) = đ?&#x2018; â&#x;ś0

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