RODZAJE TRÓJKĄTÓW

Karolina Szczypta

Spis treści  Pojęcie

ogólne  Nazwy boków trójkąta  Suma miar kątów  Długość boków trójkąta  Podział trójkątów ze wzgl ędu na kąty  Podział trójkątów ze wzgl ędu na dł. boków  Wysokości trójkątów  Środkowa trójkąta  Ortocentrum

 Istnienie

trójkątów  Pole trójkąta  Obwód trójkąta  Przystawanie trójkątów  Podobieństwo trójkątów  Twierdzenie Pitagorasa  Wysokość trójkąta prosto kątnego  Trójkąty o katach 90° , 45°, 45°  Trójkąt o kątach 30°, 60°, 9 0°  Trójkąt wpisany w okrąg  Trójkąt opisany na okręgu  Ciekawostki o trójkątach

– wielokąt o trzech bokach (oraz 3 kątach)



Spis treści

Jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.



Spis treści

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.

180o

Można to odczytać z rysunku a ll b a b

+ 

Spis treści

+

o

= 180

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. b

c

a

a < b+c 

Spis treści

b < a+c

c < a+b

Podział trójkątów ze względu na kąty:  ostrokątny  rozwartokątny  prostokątny

Trójkąt jest ostrokątny, jeżeli wszystkie jego kąty są ostre tzn., że mają więcej niż 0º a mniej niż 90º.

Trójkąt jest rozwartokątny, jeżeli jeden z jego kątów jest rozwarty tzn., że miara tego kąta jest większa od 90° i mniejsza od 180°.

przyprostokątna

Trójkąt jest prostokątny, jeżeli ma jeden kąt prosty tzn. taki, którego miara wynosi 90º.



Spis treści

pr ze

a

ci w c pr

os to

ką tn

a

b przyprostokątna

Podział trójkątów ze względu na długość boków: różnoboczny równoboczny równoramienny

Trójkąt jest różnoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają różne długości;

c

a

b

Trójkąt jest równoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają taką samą długość.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe i mają po 60º.

  60

α a

a

α

α a

o

Trójkąt jest równoramienny, jeżeli dwa jego boki mają równe długości.

Boki te nazywamy wówczas ramionami trójkąta.

180° - 2 α a

a α 

Spis treści

α b

Każdy trójkąt ma trzy wysokości. 

ostrokątny

 rozwartokątny  prostokątny 

Spis treści

Proste, w których zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie.

Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta.

h3

h2 h1



Spis treści

Środkowa trójkąta

to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

a

a

a = ½ |AB| 

Spis treści

Tabela określająca istnienie poszczególnych rodzajów trójkątów: ostrokątny

prostokątny

rozwartokątny

różnoboczny

+

+

+

równoramienny

+

+

+

równoboczny

+

-

-

rodzaj trójkąta



Spis treści

Pole trójkąta C

h1

P = ½ * BC * h2 P = ½ * AB * h1 P = ½ * AC * h3

h2

A

h3

B 

Spis treści

Obwód trójkąta Obw = a + b +c

a

b c



Spis treści

Przystawanie trójkątów - Cecha BBB (bok, bok, bok) - Cecha BKB (bok, kąt, bok) - Cecha KBK (kąt, bok, kąt)

Cecha BBB ( bok, bok, bok) Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

a

c

b

a = a1 b = b1 c = c1

a1

c1

b1

Cecha BKB (bok, kąt, bok) Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające. α1

α = α1 b = b1 c = c1

a α

b2 b

a1

Cecha KBK (kąt, bok, kąt) Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty jednego trójkąta leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. α c β 

Spis treści

α = α1 c = c1 β = β1

α1 c1

β1

Podobieństwo trójkątów - Cecha BBB (bok, bok, bok)

- Cecha BKB ( bok, kąt, bok) - Cecha KKK (kąt, kąt, kąt)

Cecha BBB (bok, bok, bok) Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

c

a

a’ c’

b

b’

Cecha BKB Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

b’

b

α’

α

a’ a

Cecha KKK Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta mają taką samą miarę jak dwa kąty drugiego trójkąta to te trójkąty są podobne.



Spis treści

Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równy jest sumie kwadratów długości przyprostokątnych

c2 b2

c =a +b 2

a2 

Spis treści

2

2

W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.

h  x y

x h



Spis treści

y

Trójkąty o kątach 90° , 45°, 45°

a 2

45 °

a 45 ° a

W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość a 2

a 2 d d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a trójkąt ten jest połową kwadratu 

Spis treści

o boku a

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° 30°

2a a√3 60 °

a

2a 3 h 2 ha 3

Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a 

Spis treści

Trójkąt wpisany w okrąg Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży: 

w trójkącie prostokątnym, w połowie przeciwprostokątnej,



w trójkącie ostrokątnym, wewnątrz trójkąta,

.

w trójkącie rozwartokątnym, poza trójkątem.

.



.

Promień okręgu opisanego na trójkącie

2 R h 3



Spis treści

Trójkąt opisany na okręgu W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt

1 r h 3



Spis treści

Ciekawostki o trรณjkฤ tach

Trójkąt pitagorejski - to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi.

Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi.

Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

Trójkąt Pascala

to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki.

Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem: (a+b)3= a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Trรณjkฤ t Pascala

Wzór, który pozwoli nam znaleźć 3 całkowite liczby, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. n - dowolna liczba całkowita

a = 2n + 1, b = 2n (n+1), c = 2n²+ 2n +1 

Spis treści

Źródła, które użyłam: Szczepan Jeleński, „Śladami Pitagorasa’’ wikipedia.pl www.math.edu.pl www.matematykam.pl matematyka.opracowania.pl http://matma.eu http://www.matmana6.pl Matematyka z plusem. Podręcznik dla klas 1, 2 gimnazjum.

Oraz rady p. B. Łuczywo i p. E. Nowakowskiej (za co bardzo dziękuję ) 

Spis treści

Dziękuję za uwagę !



Spis treści