Unidad N°3. Las figuras planas, características y medidas

Teorema de Pitágoras

Polígonos:

Triángulo

cuadrado

pentágono hexágono

círculo

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTERÍSTICAS Y MEDIDAS

Revisión 1. Completa la tabla con los datos que faltan.

44

2. Completa la tabla con los datos que faltan, teniendo en cuenta la figura de análisis de cada caso.

1,2dm 25cm

5 cm

0,03 m 40 mm

1,28 dm mm

Nombre de la figura

Perímetro en cm

Superficie en dm2

Codigo QR Área del rectángulo

Área del triángulo

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Área del cuadrado

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FIGURAS PLANAS. CARACTERÍSTICAS Y MEDIDAS POLÍGONOS

Un polígono es una región del plano limitado por tres o más rectas que se cortan de a dos.

45 Elementos:

Clasificación: Los polígonos se clasifican en: Cóncavos y Convexos.

Un polígono es convexo cuando cualquier par de puntos pertenecientes al polígono que determinan siempre un segmento interior al mismo.

Un polígono es cóncavo cuando existe por lo menos un par de puntos pertenecientes al polígono que determinan un segmento no incluido en el mismo.

En esta unidad se estudiarán los polígonos convexos.

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Clasificación de los polígonos según sus lados

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Propiedad de los polígonos •

De los ĂĄngulos

ď †

En todos polĂ­gono de n lados, la suma de sus ĂĄngulos interiores es igual a Sai =đ?&#x;?đ?‘š. (đ?’? − đ?&#x;?) Ă“ Sai đ?&#x;?)

=đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žâˆ˜ . (đ?’? −

47 Video: Propiedades de los ĂĄngulos de un polĂ­gono.

ď †

Cada ĂĄngulo interior es suplementario con el exterior correspondiente.

đ?œśđ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ + đ?œśđ?’†đ?’™đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° đ?œśđ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° − + đ?œśđ?’†đ?’™đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“

ď †

En todos polĂ­gono de n lados, la suma de sus ĂĄngulos exteriores es igual a đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Ž . ∘

ď Ą + ď ˘ + ď § + ď ¤ + ď Ľ + ď Ź = 360

•

De las diagonales

Propiedades de los PolĂ­gonos. AplicaciĂłn dinĂĄmica

ď †

En todos polĂ­gono de n lados, por cada vĂŠrtice se pueden trazar đ?’? − đ?&#x;‘ diagonales.

ď †

El nĂşmero total de diagonales es igual a

đ?’?.(đ?’?−đ?&#x;‘) đ?&#x;?

.

PolĂ­gonos regulares Un polĂ­gono es regular cuando tiene todos sus lados y ĂĄngulos interiores iguales.

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Ă ngulo central = 360∘ Ap = apotema đ?›ź =ĂĄngulo central l = lado Propiedades de los PolĂ­gonos regulares.

AplicaciĂłn dinĂĄmica.

La apotema (đ??´đ?‘? ) es el segmento perpendicular al lado del polĂ­gono, cuyos extremos son un punto del lado y el centro de la circunferencia.

Nombre

Figura

PerĂ­metro

Superficie

PolĂ­gono Regular

đ?’?. đ?’?

đ?’‘đ?’†đ?’“Ă­đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?. đ?’‚đ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’Žđ?’‚ đ?&#x;?

Actividad 1: 1- Utilizando los CĂłdigo QR: Propiedades de los PolĂ­gono y Propiedades de los polĂ­gonos regulares. AplicaciĂłn dinĂĄmica. Responder las preguntas planteadas.

2- ¿Cuål es el nombre del polígono regular, cuyo ångulo central mide 30°?

3- Calcular el perĂ­metro y ĂĄrea de un eneĂĄgono regular de 4cm de lado y 57 mm de apotema.

4- Completar la tabla.

PolĂ­gono regular Suma ĂĄngulos interiores Ă ngulo interior Ă ngulo central NĂşmero total de diagonales

heptĂĄgono pentĂĄgono octĂłgono hexagĂłno decĂĄgono

5- Calcular la medida de los ĂĄngulos solicitados a-

b-

c-

.

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TriĂĄngulos rectĂĄngulos Recordemos que un triĂĄngulo es rectĂĄngulo cuando tiene un ĂĄngulo recto. Los otros dos ĂĄngulos son agudos.

En los triĂĄngulos rectĂĄngulos, los lados reciben nombres especiales: - Los lados que forman el ĂĄngulo recto se llaman catetos.

- El lado opuesto al ĂĄngulo recto se llama hipotenusa, que es el mayor de los tres lados.

49

B hipotenusa

cateto A

cateto

C

En un triĂĄngulo rectĂĄngulo se puede trazar solo una altura, la de la hipotenusa, ya que: las otras dos coinciden con los catetos, es decir que la altura correspondiente a un cateto es el otro cateto.

B Las alturas del triĂĄngulo rectĂĄngulo son: M

đ??´đ??ľ altura correspondiente al cateto đ??´đ??ś. đ??´đ??ś altura correspondiente al cateto đ??´đ??ľ. đ?‘€đ??´altura correspondiente a la hipotenusa đ??ľđ??ś.

A

C

En todo triångulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual, determina en Êste, dos triångulos rectångulos congruentes y es cateto común a los dos triångulos rectångulos. �

A

đ??´đ??ľđ??ś isĂłsceles

h es altura del ladođ??ľđ??ś h

B

M

�

đ??´đ??ľ = đ??´đ??ś

đ??´đ?‘€es cateto comĂşn.

�

đ??ľđ?‘€đ??´   =   đ??śđ?‘€đ??´ son triĂĄngulos rectĂĄngulos.

C

Propiedad de los ĂĄngulos agudos de un triĂĄngulo rectĂĄngulo En todo triĂĄngulo rectĂĄngulo, la suma de los ĂĄngulos agudos es igual a 90Âş, es decir que son complementarios.

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đ??´Ě‚   +   đ??ľĚ‚   +   đ??śĚ‚   =  180Âş

por suma de ĂĄngulos

đ??´Ě‚   +   đ??ľĚ‚   +  90º  =  180Âş

por ser triĂĄngulo rectĂĄngulo

A interiores

đ??´Ě‚   +   đ??ľĚ‚   =  180º  −  90Âş

C

B

Teorema de PitĂĄgoras PitĂĄgoras, un famoso filĂłsofo griego que viviĂł hace mĂĄs de 2 500 aĂąos, enunciĂł una relaciĂłn numĂŠrica que vincula las medidas de los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo.

Enunciado: En todo triĂĄngulo rectĂĄngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

AplicaciĂłn 1: Construir en papel glasĂŠ de distintos colores: -

un triĂĄngulo rectĂĄngulo de catetos de 3 cm y 4 cm.

-

dos cuadrados de 3 cm de lado cada uno.

-

dos cuadrados de 4 cm de lado.

-

dos cuadrados de 5 cm de lado.

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Aplicación 2: Utilizando el código QR, descargar la aplicación del Teorema de Pitágoras con Geogebra y completar la tabla.

51 Aplicación Teorema de Pitágoras

a

b

3

4

6

8

5

7

c

a2

b2

c2

a2+b2

Actividad 2: 1) calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuando se conocen las longitudes de los catetos.

Ejemplo: b y c son los catetos del triángulo a es la hipotenusa del triángulo a=?

a2 = b2 + c2 a2 = (9 cm)2 + (12 cm)2 a2 = ...............................................

b = 9 cm c = 12 cm

2) Calcular las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuando se conoce la longitud de la hipotenusa.

Ejemplo: a es la hipotenusa del triángulo b y c son los catetos del triángulo b=?

a = 17 cm

a2 = b2 + c2 (17 cm)2 = b2 + (15 cm)2 ......................... = b2 + ....................... c = 15 cm 3- Los siguientes triángulos son rectángulos. Escriban, en cada caso, una expresión que permita calcular el lado indicado.

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a)

b)

c)

b

b b

c

a

a

a

c

c a = ‌‌‌‌‌‌‌

b =‌‌‌‌‌‌ c = ‌‌‌‌‌‌‌‌

Medidas del triĂĄngulo.

Nombre

Figura

PerĂ­metro

Superficie

TriĂĄngulo

h

l1 +l2+l3

đ?’ƒ . đ?’‰ đ?&#x;?

b

b

.

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Cuadriláteros Una vez estudiado el triángulo (polígono de menor número de lados), corresponde ahora, realizar el aprendizaje de los cuadriláteros.

Se llama cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados

Clasificación 53

Paralelogramos.

Se llama paralelogramo a todo cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.

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54

đ??´đ??ľ//đ??śđ??ˇ ∧ đ??ľđ??ś//đ??´đ??ˇ Propiedades generales de los paralelogramos:

ď ‰

En todo paralelogramo:

ď †

los lados y ĂĄngulos opuestos son congruentes.

A

D đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ

ď †

A

B

D

C đ??´đ??ˇ đ??ľđ??ś =

∧

B

đ??´Ě‘ = đ??śĚ‘

∧

đ??ľĚ‘ = đ??ˇĚ‘ C

las diagonales se cortan en partes iguales (en su punto medio).

A

B o

đ??´đ?‘‚ = đ?‘‚đ??ś

D

ď †

∧

đ??ľđ?‘‚ = đ?‘‚đ??ˇ

C las bases medias son paralelas y congruentes a los lados correspondientes.

Base media: segmento que une los puntos medios de los lados opuestos. đ?‘€đ?‘ A

đ?‘ƒđ?‘„

son bases medias del paralelogramo ����.

P

B

đ?‘ƒđ?‘„//đ??ľđ??ś//đ??´đ??ˇ N

M

D

∧

Q

đ?‘€đ?‘ //đ??´đ??ľ//đ??śđ??ˇ ∧ ∧ đ?‘ƒđ?‘„ = đ??ľđ??ś = đ??´đ??ˇ

đ?‘€đ?‘ = đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ

C

Medidas del paralelogramo Nombre

Figura

Paralelogramo

h

PerĂ­metro

Superficie

đ?&#x;?. (đ?’ƒ + đ?’‰)

đ?’ƒ. đ?’‰

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Actividad 3: 1- Utilizando Geogebra, construye un paralelogramo como el presentado en código QR2, a partir de la guía presentada en la actividad propuesta en QR3.

55

QR2. Propiedades de los paralelogramos. https://www.geogebra.org/m/hfdsuq

QR3. Construcción del paralelogramo dado 3 vértices. https://www.geogebra.org/m/ymfazcu e#material/upydfunb

2- Mueve los vértices del paralelogramo, completa la tabla y comprueba si se cumplen las propiedades de los paralelogramos. Ángulos opuestos Elementos 𝜶 ̂ 𝒚 𝜸̂

̂ 𝒚 𝜹̂ 𝜷

Lados opuestos AB y CD

BC y DA

Diagonales (punto medio) AO y BO y DO OC

Bases medias EF

GH

Medidas posición 1 Medidas posición 2 Medidas posición 3 Medidas posición 4 Conclusiones

3 - Completar la tabla con las medidas que faltan en cada caso, teniendo como referencia el paralelogramo de la figura.

B AB 4 cm 5,4 cm

BC 7,8 cm 14 cm 11,2 cm

h 3,5 cm 6 cm

Perímetro

C

Superficie

40,8 cm 56 ccm2

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A

D

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Paralelogramos especiales Dentro de los paralelogramos, existen algunos muy especiales por las caracterĂ­sticas que presentan. Ellos son: el rectĂĄngulo, el rombo y el cuadrado.

RectĂĄngulo Se llama rectĂĄngulo al paralelogramo que tiene los cuatro ĂĄngulos congruentes.

56 đ??´Ě‘ = đ??ľĚ‘ = đ??śĚ‘ = đ??ˇĚ‘ Propiedades particulares del rectĂĄngulo:

ď ‰

ď †

En todo rectångulo: las diagonales son congruentes. ̅̅̅̅ �� = ̅̅̅̅ ��

ď †

las bases medias son ejes de simetrĂ­a de la figura.

đ?‘€đ?‘

∧

đ?‘ƒđ?‘„  đ?‘ đ?‘œđ?‘›â€„đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘  đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘

Medidas del rectĂĄngulo Nombre

Figura

RectĂĄngulo

h

PerĂ­metro

Superficie

đ?&#x;?. (đ?’ƒ + đ?’‰)

đ?’ƒ. đ?’‰

b Actividad 4: 1- Utilizando Geogebra, construye un rectĂĄngulo como el presentado en cĂłdigo QR4, a partir de la guĂ­a presentada en la actividad propuesta en QR5.

QR4. Propiedades de los rectĂĄngulos.

QR5. ConstrucciĂłn del rectĂĄngulo a partir de sus lados.

https://www.geogebra.org/classic/tkczyugu

https://www.geogebra.org/m/ymfazcue#material/kw 5au8ws

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2- Mueve los extremos de los segmentos AB y CD, y los vĂŠrtices del rectĂĄngulo EFHG: presentado en cĂłdigo QR4: Propiedades de los rectĂĄngulos, y en el construido.: ÂżObtienes la misma figura? ÂżquĂŠ diferencias encuentras? Completa la tabla, calcula perĂ­metro y superficie. Comprueba si se cumplen las propiedades y las medidas.

Bases medias ejes de simetrĂ­a

Diagonales Elementos AC

BD

EF

Base

Altura

Superficie PerĂ­metro

GH

Medidas posiciĂłn 1 Medidas posiciĂłn 2

57

Conclusiones

Rombo

Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.

đ??´đ??ľ = đ??ľđ??ś = đ??śđ??ˇ = đ??ˇđ??´

Propiedades particulares del rombo

ď ‰

ď †

En todo rombo:

las diagonales son perpendiculares, bisectrices de los ĂĄngulos que unen y ejes de simetrĂ­a de la figura.

đ??´đ??ś ⊼ đ??ľđ??ˇ. đ??´đ??ś đ?‘?đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ą đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§â€„đ?‘‘đ?‘’ đ??´Ě‘ đ?‘Śâ€„đ??śĚ‘ . đ??ľđ??ˇ đ?‘?đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ą đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§â€„đ?‘‘đ?‘’ đ??ľĚ‘  đ?‘Śâ€„đ??ˇĚ‘. đ??´đ??ś   ∧   đ??ľđ??ˇâ€„ đ?‘ đ?‘œđ?‘›â€„đ?‘’đ?‘—đ?‘’đ?‘  đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž.

Medidas del rombo Nombre Rombo

Figura l

D

PerĂ­metro

Superficie

4.l

đ?‘Ť .đ?’… đ?&#x;?

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Actividad 5: 1Utilizando Geogebra, construye un rombo como el presentado en cĂłdigo QR6, a partir de la guĂ­a presentada en la actividad propuesta en QR7.

58 QR6. Propiedades de los rombos. https://www.geogebra.org/m/vv uk3yr4

QR5. ConstrucciĂłn del rombo a partir de dos circunferencias secantes de igual radio. https://www.geogebra.org/m/ymfazcue #material/jpjysgsn

2Mueve los vĂŠrtices libres del rombo presentado en cĂłdigo QR6 Propiedades de los rombos, y en el construido.: ÂżObtienes la misma figura? ÂżquĂŠ diferencias encuentras?.

Completa la tabla, calcula perĂ­metro y superficie. Comprueba si se cumplen las propiedades y las medidas.

lementos

Diagonales perpendiculares

Diagonales ejes de simetrĂ­a

Lado (l)

Diagonal mayor (D)

Diagonal menor (d)

đ?œşĚ‚

AC Y BD

AB

BD

AC

Superficie PerĂ­metro

Medidas posiciĂłn 1 Medidas posiciĂłn 2 Conclusiones

Cuadrado

Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatro lados y cuatro ĂĄngulos congruentes.

đ??´đ??ľ = đ??ľđ??ś = đ??śđ??ˇ = đ??ˇđ??´ đ??´Ě‘ = đ??ľĚ‘ = đ??śĚ‘ = đ??ˇĚ‘ Propiedades del cuadrado

ď ‰

Por tener, el cuadrado, los ĂĄngulos congruentes, es un caso particular del rectĂĄngulo, y por tener los lados congruentes es un caso particular del rombo.

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Esto significa que el cuadrado es, simultĂĄneamente, un rectĂĄngulo y un rombo especiales. Por lo tanto, goza de las mismas propiedades que ambos.

ď ‰

En todo cuadrado

ď † -

las diagonales son: iguales. bisectrices de los ĂĄngulos que unen.

Perpendiculares. ejes de simetrĂ­a de la figura.

ď †

Las bases medias tambiĂŠn son ejes de simetrĂ­a. Es decir, que el cuadrado tiene cuatro ejes de simetrĂ­a. đ??´đ??ś   ⊼    đ??ľđ??ˇ đ??´đ??ś   ∧   đ??ľđ??ˇâ€„đ?‘ đ?‘œđ?‘›â€„đ?‘?đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ą đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??´đ??śâ€„, đ??ľđ??ˇâ€„, đ?‘€đ?‘  , đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘ đ?‘œđ?‘›â€„đ?‘’đ?‘—đ?‘’đ?‘  đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž

ConclusiĂłn Con todo lo expresado respecto al cuadrado (lados y ĂĄngulos congruentes, y las propiedades que cumple), podemos ratificar lo estudiado anteriormente: el cuadrado es el polĂ­gono regular de cuatro lados.

Medidas del cuadrado Nombre Cuadrado

Figura l

PerĂ­metro

Superficie

4.l

l2

Actividad 6: 1- Utilizando Geogebra, construye un cuadrado como el presentado en cĂłdigo QR8, a partir de la guĂ­a presentada en la actividad propuesta en QR9.

QR8. Propiedades de los cuadrados. https://www.geogebra.org/m/p7huqa4z

QR9. ConstrucciĂłn del cuadrado a partir de su diagonal. https://www.geogebra.org/m/ymfazcue #material/dgbf5ngc

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2Mueve los vĂŠrtices libres del rombo presentado en cĂłdigo QR6 Propiedades de los rectĂĄngulos, y en el construido.: ÂżObtienes la misma figura? ÂżquĂŠ diferencias encuentras?

Completa la tabla, calcula perĂ­metro y superficie. Comprueba si se cumplen las propiedades y las medidas.

Elementos

Diagonales perpendiculares

Diagonales ejes de simetrĂ­a

Lado (l)

Diagonal mayor (D)

Diagonal menor (d)

đ?œşĚ‚

AC Y BD

AB

BD

AC

Superficie PerĂ­metro

Medidas posiciĂłn 1 Medidas posiciĂłn 2

60

Conclusiones

Trapecio

Se llama trapecio al cuadrilĂĄtero que tiene un solo par de lados opuestos paralelos, llamados bases.

đ??´đ??ľ//đ??śđ??ˇ đ??´đ??ľ   ∧   đ??śđ??ˇâ€„đ?‘ đ?‘œđ?‘›â€„đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘

Propiedad del trapecio

ď †

En todo trapecio la base media es paralela a las bases, e igual a la semisuma de las mismas. đ?‘€đ?‘  đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ž đ?‘€đ?‘ //đ??´đ??ľ//đ??śđ??ˇ

đ?‘€đ?‘ = Medidas del trapecio Nombre

đ??´đ??ľ+đ??śđ??ˇ 2

Figura

PerĂ­metro

Superficie

B +b + l1 +l2

(đ?‘Š + đ?’ƒ) . đ?’‰ đ?&#x;?

b Trapecio

l1

h

l2

B

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Trapezoide Se llama trapezoide al cuadrilĂĄtero que no tiene ningĂşn par de lados opuestos paralelos.

ď ‰

Dentro de la familia de los trapezoides, se encuentra el romboide, que es el Ăşnico trapezoide que presenta caracterĂ­sticas especiales.

61

Romboide Se llama romboide al trapezoide que tiene dos pares de lados congruentes que concurren a un mismo vĂŠrtice, pero distintos entre sĂ­.

Diagonal principal: es la diagonal que une los vĂŠrtices donde concurren los lados congruentes. đ??´đ??ľ = đ??ľđ??ś đ??śđ??ˇ = đ??ˇđ??´ đ??´đ??ľ ≠đ??śđ??ˇ đ?‘Šđ?‘Ťâ€„đ?’†đ?’” đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’‚đ?’? đ?’‘đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‘đ?’‚đ?’?

Propiedad del romboide

ď †

En todo romboide, la diagonal principal: - corta, a la diagonal secundaria, perpendicularmente en su punto medio, đ??´đ??śâ€„đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘˘ đ?‘›đ?‘‘đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž O es punto medio de đ??´đ??ś đ??´đ??ś ⊼ đ??ľđ??ˇ đ??´đ?‘‚ = đ?‘‚đ??ś -

Es bisectriz de los ĂĄngulos que une. đ??ľđ??ˇ

-

đ?‘?đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ą đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§â€„đ?‘‘đ?‘’ đ??ľĚ‘   ∧   đ??ˇĚ‘

Es eje de simetrĂ­a del romboide. đ??ľđ??ˇâ€„đ?‘’đ?‘  đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž

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Medidas del romboide Nombre

Figura l1

Romboide

l2

d

PerĂ­metro

Superficie

2 l1 + 2 l2

đ?‘Ť .đ?’… đ?&#x;?

D

62

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CIRCUNFERENCIA Y CĂ?RCULO

La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro fijo llamado centro.

El círculo estå formado por la circunferencia y todos los puntos del plano interiores a ella. • •

Elementos de la circunferencia cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. arco: porciĂłn de la circunferencia determinada por una cuerda. diĂĄmetro: cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. centro de la circunferencia. radio: distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.

Recordar: 1) El diĂĄmetro es igual a dos radios alineados. đ?‘‘ = 2đ?‘&#x;

;

đ?‘&#x;=

đ?‘‘ 2

2) El diĂĄmetro es la cuerda de mayor longitud.

Longitud de la circunferencia y superficie del cĂ­rculo Recordar: a) que el perĂ­metro de la circunferencia se llama longitud de la circunferencia. b) que el diĂĄmetro es el doble del radio de la circunferencia: d = 2 r.

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Longitud de la circunferencia Longitud de la circunferencia es: đ?‘ł = đ??… â‹… đ?’…đ?’ŠĂĄđ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’? đ?‘ł = đ??… â‹… đ?&#x;?đ?’“ đ?‘ł =đ?&#x;?â‹…đ??…â‹…đ?’“ Longitud de la circunferencia

Video: PerĂ­metro y ĂĄrea del cĂ­rculo

Superficie del cĂ­rculo Para determinar la fĂłrmula de la superficie del cĂ­rculo, partiremos de conceptos previos.

Cuando el nĂşmero de lados de un polĂ­gono regular aumenta mĂĄs y mĂĄs, el polĂ­gono tiende a ser un cĂ­rculo, donde la apotema del polĂ­gono tiende a ser el radio del cĂ­rculo.

Por lo tanto, el perĂ­metro del polĂ­gono tiende a ser la longitud de la circunferencia y la superficie del mismo, la superficie del cĂ­rculo.

Entonces, partiendo de la fĂłrmula para calcular la superficie del polĂ­gono regular, se obtiene la fĂłrmula para calcular la superficie del cĂ­rculo, ya que la medida de la apotema tiende a ser la medida del radio del cĂ­rculo, a medida que aumenta la cantidad de lados del polĂ­gono.

Superficie del polĂ­gono regular=

đ?’‘đ?’†đ?’“Ă­đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’? ⋅ đ?’‚đ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’Žđ?’‚

Superficie del cĂ­rculo= Superficie del cĂ­rculo=

đ?&#x;? đ?’?đ?’?đ?’?đ?’ˆ. đ?’„đ?’Šđ?’“đ?’„đ?’–đ?’?đ?’‡. ⋅ đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’Šđ?’? đ?&#x;? đ?&#x;?  đ??….  đ?’“ â‹… đ?’“ đ?&#x;?

Superficie del cĂ­rculo= đ??…  â‹…â‹…   đ?’“đ?&#x;?

Longitud de una circunferencia.

AplicaciĂłn dinĂĄmica

Superficie del cĂ­rculo Recordar: El nĂşmero

đ?œ‹ no puede expresarse como fracciĂłn porque no es un nĂşmero racional.

Actualmente se conocen varios millones de cifras decimales de đ?œ‹.

Generalmente, para realizar cĂĄlculos, se aproxima el valor de đ?œ‹ a centĂŠsimos.

ď ° = 3,14

Actividad 7: 1) Utilizando los CĂłdigo QR: Longitud de una circunferencia. AplicaciĂłn dinĂĄmica. Comparar la longitud de una circunferencia con su radio y responder las preguntas planteadas.

2) Calcular la longitud de una circunferencia de 25 cm de diĂĄmetro.

3) El radio de una circunferencia es de 15,5 mm. Calcular su longitud.

4) El contorno de una mesa circular es de 2,51 m. ÂżCuĂĄl es su diĂĄmetro?

5) Hallar la superficie de un cĂ­rculo de 3 cm de radio.

6) Calcular la superficie de un cĂ­rculo de 5,2 m de diĂĄmetro.

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64

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTER�STICAS Y MEDIDAS

7) La superficie de una carpeta circular es de 50,24 cm2. Determinar su diĂĄmetro.

Figuras circulares Arco de la circunferencia Recordemos que un ĂĄngulo central es el que tiene el vĂŠrtice en el centro de una circunferencia.

65

đ?œś đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’–đ?’?đ?’? đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’? đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’„đ?’Šđ?’“đ?’„đ?’–đ?’?đ?’‡đ?’†đ?’“đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚

En la figura estĂĄ marcada una parte de la circunferencia llamada arco.

La longitud del arco de la circunferencia depende de la medida del ĂĄngulo central que le corresponde. La longitud del arco es directamente proporcional al ĂĄngulo central correspondiente.

Longitud del arco de la circunferencia: đ?œś

longitud de la circunferencia =

2 ďƒ— ď ° ďƒ— r ďƒ— ď ĄË† 360Âş

Sector circular Cuando la parte sombreada corresponde a un sector del cĂ­rculo, se obtiene un sector circular.

La superficie del sector circular, depende del ĂĄngulo central que le corresponde. La superficie del sector circular es directamente proporcional al ĂĄngulo central correspondiente.

Superficie del sector circular:

sup erficie del cĂ­rculo =

ď ° ďƒ— r 2 ďƒ—ď ĄË† 360Âş

Video Ă rea del Sector circular

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTERÍSTICAS Y MEDIDAS

Corona circular En la figura la región sombreada está comprendida entre dos círculos concéntricos. Dicha figura es una corona circular.

Radio mayor (R)

Superficie de la corona circular: Radio menor (r)

  R2 −   r 2 =  ( R2 − r 2 ) 66

Corona circular

Trapecio circular La región de la corona circular comprendida entre dos radios se llama trapecio circular.

La superficie del trapecio circular depende del ángulo central que se considere. La superficie trapecio circular es directamente proporcional al ángulo central correspondiente.

Superficie del trapecio circular:

sup erficie de la corona circular =

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  ( R 2 − r 2 )  ˆ 360º

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTER�STICAS Y MEDIDAS

FĂ“RMULAS PARA RECORDAR

Figura h

Nombre

PerĂ­metro

Superficie

RectĂĄngulo

đ?&#x;?. (đ?’ƒ + đ?’‰)

đ?’ƒ. đ?’‰

Cuadrado

đ?&#x;’. đ?’?

đ?’?đ?&#x;?

b

l

67

h

Paralelogramo

đ?&#x;?. (đ?’ƒ + đ?’‰)

đ?’ƒ. đ?’‰

TriĂĄngulo EquilĂĄtero

đ?&#x;‘. đ?’?

đ?’ƒ. đ?’‰ đ?&#x;?

b

l

h b

l d L

D

Rombo y Romboide

đ?&#x;’. đ?’? ; + đ?‘ł)

đ?&#x;?. (đ?’?

b h

Trapecio

đ?’?đ?&#x;? + đ?’?đ?&#x;? + đ?’?đ?&#x;‘ + đ?’?đ?&#x;’

(đ?‘Š + đ?’ƒ). đ?’‰ đ?&#x;?

ap.

PolĂ­gono Regular

đ?’?. đ?’?

đ?’‘đ?’†đ?’“Ă­đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?. đ?’‚đ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’Žđ?’‚ đ?&#x;?

r

Circunferencia

ď °.d Ăł2.ď °.r

______

�

Arco de circunferencia

Ě‚ đ??… .đ?’… .đ?œś đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°

______

Circulo

ď °.d Ăł2.ď °.r

ď ° . r2

�

Sector circular

Ě‚ đ??… .đ?’… .đ?œś + đ?&#x;?đ?’“ đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°

Ě‚ đ??… . đ?’“đ?&#x;? . đ?œś đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°

r

Corona circular

ď ° . ( D +d) Ăł

ď ° . ( R2 - r2)

B

r

r

r

đ?‘Ť. đ?’… đ?&#x;?

R

2 . ď ° . (R + r)

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTERÍSTICAS Y MEDIDAS

TRABAJO PRÁCTICO N° 3 Las figuras planas características y medidas.

1)

Encontrar los ángulos indicados.

a -

b -

c-

68

d -

2)

e-

Calcular el perímetro y el área de la figura sombreada.

3) Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que, en cada fila, y c son las medidas en cm de los lados de un triángulo.

b 8 cm

c 1,5 dm

50mm

4)

a

b2 +c2 = a2

a, b

¿Es triángulo rectángulo?

170 mm 13cm

8

14

22

3 dm

125 mm

32,5 cm

Si

Resolver las siguientes situaciones problemáticas: (Construir la figura de análisis) a. Calcular el perímetro de un triángulo isósceles RST, sabiendo que los lados RS = ST, RT= 10 cm y la altura correspondiente al lado desigual es 12 cm. b. La base de un triángulo rectángulo es de 12 cm y la altura mide las tres cuartas partes de la base. Hallar la medida de la hipotenusa.

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTERÍSTICAS Y MEDIDAS

5)

c. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. ¿Cuánto mide el perímetro? ¿Cuánto mide la altura correspondiente a la hipotenusa? d. Calcular el área de un triángulo equilátero, cuyo perímetro mide 48 cm. e. Una paloma está posada en el extremo de una antena de 2,5m de altura; otra paloma está en un bebedero ubicado a 9m de la base de la antena. ¿A qué distancia se encuentran las palomas entre sí?

Responder verdadero o falso. Un cuadrilátero es un paralelogramo si se verifica que: a) Un par de lados opuestos son congruentes. b) Sus ángulos opuestos son congruentes. c) Sus diagonales se cortan en el punto medio de las mismas. d) Un par de lados son congruentes y paralelos. e) Sus lados opuestos son paralelos. f) Sus ángulos opuestos son suplementarios. g) Uno de sus ángulos es suplemento de cada uno de los no opuestos a él. h) Sus cuatro ángulos son congruentes. i) Sus diagonales son congruentes.

6)

Indicar con X, las propiedades que cumplen cada uno de los paralelogramos.

CARACTERÍSTICAS DEL PARALELOGRAMO Lados opuestos congruentes Bases medias: ejes de simetría. Ángulos opuestos congruentes.

Diagonales congruentes.

Diagonales: ejes de simetría.

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTER�STICAS Y MEDIDAS

Diagonales que se cortan en partes iguales.

Diagonales: bisectrices de los ĂĄngulos que unen.

Diagonales perpendiculares.

70 Base media paralela e igual a los lados correspondientes.

7) Aplicando propiedades de los paralelogramos, calcular el valor de x e y en cada una de las siguientes expresiones:

a.

Si đ?‘ đ?‘ƒ = 2đ?‘Ľ − 3đ?‘?đ?‘š

b.

Si đ?‘ đ?‘… = 8đ?‘Ľ

c.

Si đ?‘€đ?‘ƒ = 10đ?‘?đ?‘š

d.

Si đ?‘€đ?‘ = 3đ?‘Ľ − 7đ?‘?đ?‘š

e.

Si 1Ě‘ = 2đ?‘Ś

f.

Si 2̑ = � + 5°

g.

Si đ?‘€đ?‘ Ě‘đ?‘ƒ = 144°

h.

Si đ?‘ đ?‘€Ě‘đ?‘„ = 4đ?‘Ś + 3°

Resolver

los

đ?‘Ś

đ?‘Ś

siguientes

đ?‘Ś

đ?‘€đ?‘„ = 11đ?‘?đ?‘š

→ X =.......... → X =..........

đ?‘…đ?‘„ = 5đ?‘Ľ + 15đ?‘?đ?‘š đ?‘Ś

đ?‘€đ?‘… = 3đ?‘Ľ + 4đ?‘?đ?‘š. đ?‘Ś

→ X =.......... → X =..........

đ?‘ƒđ?‘„ = 2đ?‘Ľ + 4đ?‘?đ?‘š.

3̑ = � + 20°. �

→ Y =..........

4Ě‘ = 2đ?‘Ś − 20°.

→ Y =..........

đ?‘€đ?‘„Ě‘ đ?‘ƒ = 6đ?‘Ś.

→ Y =..........

đ?‘Ś

đ?‘Ś

problemas

đ?‘€đ?‘„Ě‘ đ?‘ƒ = 7đ?‘Ś + 12°.

→ Y =..........

aplicando las propiedades de los paralelogramos.

Construir la figura de anĂĄlisis adecuada.

8) En el paralelogramo ABCD, đ?›źĚ‘ es adyacente al đ??´Ě‘ que vale 104° 30´. Calcular el valor de los ĂĄngulos del paralelogramo.

2 9) Calcular el valor de los ĂĄngulos del paralelogramo ABCD, sabiendo que đ??ˇĚ‘ = đ??´Ě‘.

3

10) En el paralelogramo ABCD, đ??ľĚ‘ = 2đ?‘Ľ + 78° đ?‘Ś đ??ˇĚ‘ = 6đ?‘Ľ − 50°. Calcular el valor de los ĂĄngulos de la figura.

11) En el paralelogramo MNPQ, đ?‘ƒĚ‘ = 8đ?‘Ľ − 10° đ?‘Ś đ?‘„Ě‘ = 4đ?‘Ľ + 70°. Calcular el valor de los ĂĄngulos del mismo.

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTER�STICAS Y MEDIDAS

Calcular la amplitud de los ĂĄngulos del paralelogramo ABCD, sabiendo que đ??ľĚ‘ mide 38° menos que đ??śĚ‘ .

12)

13) Siendo el perĂ­metro de un paralelogramo de 2,52 dm, y uno de los lados de 5,2 cm, ÂżcuĂĄl es el valor de los otros tres lados?

14)

3

En el paralelogramo ABCD, đ??´đ??ľ = 4 đ??ľđ??ś y su perĂ­metro es de 129,5 cm. Calcular el valor

de cada lado.

15) El perĂ­metro del paralelogramo ABCD es 44 cm, đ??ľđ??ś = 2đ?‘Ľ + 3đ?‘?đ?‘š đ?‘Ś đ??śđ??ˇ = 5đ?‘Ľ − 2đ?‘?đ?‘š. Calcular el valor de los lados y el ĂĄrea de ABCD si la altura mide 80mm.

16)

Calcular el perĂ­metro del paralelogramo MNPQ, sabiendo que đ?‘€đ?‘ = 10,6đ?‘?đ?‘š + đ?‘Ľâ€„,

 đ?‘ đ?‘ƒ = đ?‘Ľ + 7,8đ?‘?đ?‘šâ€„đ?‘Śâ€„đ?‘ƒđ?‘„ = 3đ?‘Ľ.

17) La base media de un paralelogramo supera en 25 mm a uno de los lados del mismo.

Sabiendo que el perĂ­metro es de 49 cm, calcular el valor de cada lado.

B C → Ě‘ 18) En el paralelogramo ABCD, đ??ˇđ??š  đ?‘’đ?‘  đ?‘?đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ą đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§â€„đ?‘‘đ?‘’ đ??´đ??ˇđ??¸, 

 EDF = 2 x − 30ď‚° y đ??ľĚ‘ = 3đ?‘Ľ + 30°. Calcular el valor de los

A

D F

ĂĄngulos interiores del mismo.

E 19) Completar con el nombre del cuadrilĂĄtero que corresponda a cada una de las afirmaciones. a- Un rombo que tiene sus ĂĄngulos iguales es un................................................. b- Un rectĂĄngulo que tiene sus diagonales perpendiculares es un......................... c- Un paralelogramo que tiene sus diagonales iguales es un................................ d- Un paralelogramo que tiene sus ĂĄngulos iguales es un..................................... e- Un paralelogramo que tiene sus diagonales perpendiculares es un..................

20) Si una base media de un rectĂĄngulo es el doble de la otra y si el perĂ­metro de la figura mide 36 cm. ÂżCuĂĄnto vale cada uno de los lados consecutivos?

21) Uno de los lados de un rectĂĄngulo mide 12 cm y la medida del otro es las dos terceras partes. Calcular Las medidas de las diagonales, el ĂĄrea y el perĂ­metro.

22) En un rombo ABCD, đ??śđ??ľĚ‘ đ??ˇ = 35°40′. Calcular los ĂĄngulos del mismo.

23)

3

3

En un cuadrado ABCD, đ?‘€đ?‘  đ?‘Śâ€„đ?‘ƒđ?‘„ son bases medias, đ?‘€đ?‘ = 2 đ?‘Ľ − 4đ?‘?đ?‘š, đ?‘ƒđ?‘„ = 4 đ?‘Ľ +

5đ?‘?đ?‘š. Calcular el perĂ­metro y el ĂĄrea del cuadrado.

1 24) En el rombo EFGH, el ĂĄngulo đ??ťđ??šĚ‘ đ??ş = đ??¸. Calcular la amplitud de los ĂĄngulos interiores.

3

25)

Determinar el valor de las diagonales y el ĂĄrea del rombo ABCD, sabiendo que: đ?‘‚đ??ľ =

2đ?‘Ľ − 1đ?‘?đ?‘š, đ?‘‚đ??ś = 3đ?‘Ľ − 0,5đ?‘?đ?‘š đ?‘Ś đ??ˇđ??ľ = 12đ?‘?đ?‘š.

26) Dado el grĂĄfico del romboide ABCD, se pide:

A D

B

a) Hallar el perĂ­metro y la amplitud de đ??´Ě‘ đ?‘Ś đ??ľĚ‘, sabiendo que: đ??´đ??ľ = 4đ?‘?đ?‘š, đ??ľđ??ś = 6đ?‘?đ?‘š, đ??śĚ‘ = 52° đ?‘Ś đ??ˇĚ‘ = 126°. b) Calcular el perĂ­metro, sabiendo que đ?‘¨đ?‘Š = đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;?đ?’„đ?’Ž, Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

C

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTER�STICAS Y MEDIDAS

đ?‘¨đ?‘Ť = đ?&#x;“đ?’™ − đ?&#x;?đ?’„đ?’Ž,

đ?’š

đ?‘Şđ?‘Ť = đ?’™ + đ?&#x;”đ?’„đ?’Ž.

c) Determinar el valor de cada lado, sabiendo que đ??´đ??ľ = 2đ?‘Ľ + 1đ?‘?đ?‘š, đ??śđ??ˇ = 3đ?‘Ľ + 2đ?‘?đ?‘š y el perĂ­metro es de 0,36 m. d) Hallar las amplitudes de los ĂĄngulos interiores, siendo:đ??ľĚ‘ = 4đ?‘Ľ − 40°, đ??ˇĚ‘ = 3đ?‘Ľ yđ??´Ě‘ = 2đ?‘Ľ − 10°.

27)

Calcular la medida de la base media del trapecio ABCD, sabiendo que las bases miden:

đ??ľđ??ś = 24đ?‘?đ?‘š − đ?‘Ľ, 28)

đ??´đ??ˇ = 16đ?‘?đ?‘š + đ?‘Ľ,

đ?‘Ś

đ?‘€đ?‘ = 4đ?‘Ľ.

Calcular las medidas de las bases del trapecio MNPQ, y la amplitud de los �̑ � �̑,

sabiendo que: đ?‘´đ?‘¸ = đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;•đ?’„đ?’Ž, đ?‘ľđ?‘ˇ = đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;?đ?’„đ?’Ž, los ĂĄngulos đ?‘´Ě‘ = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;“°đ?’š đ?‘ˇĚ‘ = đ?&#x;–đ?&#x;‘°.

29) 30) 31) 32)

la base media đ?‘¨đ?‘Š = đ?&#x;”đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž y

Un rectĂĄngulo de 8,5 cm de base ocupa una superficie de 34 cm2. Calcular su perĂ­metro.

Calcular la longitud de las diagonales de un rectĂĄngulo de 12 cm de base y 5 cm de altura.

Calcular el perĂ­metro de un rombo, sabiendo que las diagonales 16 cm y 12 cm.

En el trapecio isĂłsceles ABCD, calcular los ĂĄngulos interiores, sabiendo que: A

B

đ??´Ě‚ = 2đ?‘Ľ + 45Âş đ??ľĚ‚ = 3đ?‘Ľ + 15Âş D

C

33) El perĂ­metro del trapecio isĂłsceles ABCD es de 78 cm. Calcular el valor de cada lado congruente.

B M A

34)

2x 2x + 5 cm 3x – 1 cm

C N D

Dado el romboide ABCD, se pide: a)

0,4đ?‘‘đ?‘š,

A

Calcular el perĂ­metro, sabiendo que đ??´đ??ľ = 3đ?‘Ľ − 3đ?‘?đ?‘š, đ?‘Ś

đ??ľđ??ś = 4đ?‘Ľ − B

D

đ??´đ??ˇ = đ?‘Ľ + 50đ?‘šđ?‘š.

b) Hallar las amplitudes de los ĂĄngulos interiores, siendo:đ??ľĚ‘ = 3đ?‘Ľ − 14°, Ě‚ = 2đ?‘Ľ + 24°. đ??śĚ‚ = đ?‘Ľ + 46Âş y đ??ˇ 35)

C

Completar los valores que faltan en la tabla.

Radio

DiĂĄmetro

Longitud de la circunferencia

Ă rea del cĂ­rculo

32 cm 10cm 34,56cm 314 cm2 Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

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UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTERÍSTICAS Y MEDIDAS

36) Cada uno de los rayos de una bicicleta mide 30 cm (realizar un gráfico de análisis).

Calcular: a) La longitud que recorre la bicicleta cuando la rueda da una vuelta completa. b) La cantidad máxima de vueltas que tiene que dar la rueda para recorrer no más de 100m.

37) Andrés, Martín y María José se están entrenando para una carrera y corren alrededor de una pista circular de 75 m de radio. a) Si Andrés corre por la pista, ¿Cuántos metros recorre al dar 5 vueltas? ¿Cuántas vueltas tiene que dar para recorrer 4239 m? b) María José corre adentro de la pista, a 2 m del borde. ¿Cuántos metros recorre al dar 5 vueltas? c) Martín recorre 502,4 m cuando da una vuelta circular. ¿A qué distancia del centro de la pista está? ¿Corre adentro o afuera de la pista?

38) Calcular la superficie del sector circular sombreado, sabiendo que el radio del círculo es 10 cm.

39)

¿Cuál es el perímetro de la figura?

40)

Calcular la superficie y el perímetro de la región sombreada:

a)

b)

c) ABC es un triángulo equilátero de 4 cm de lado. D, E, F son los puntos medios de los lados.

d)

e)

f) ABCD es un cuadrado de 96 cm de perímetro.

Resultados Trabajo Práctico N° 3 1)

a) c=108°; d=106°. b) g=111° ; h=82°. c) a=b=103°; c=97°; d=83°; e=154° d) a= 64°; b=138°40’. e) a=156°; b=132°; c=108°.

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2) đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; = 33,1đ?‘?đ?‘š ; ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž ≅ 26,21đ?‘?đ?‘š2 .

3) b

c

8 cm

1,5 dm

50mm 8

b2 +c2 = a2

ÂżEs triĂĄngulo rectĂĄngulo?

64cm2+225cm2=289cm2

Si

a

12cm

170 mm 13cm

25cm2+144cm2=169cm2

Si

14

22

64 + 196 ≠484

No

125 32,5 900cm2+156,25cm2=1056,25cm2 SI mm cm 4) a) El perĂ­metro es igual a 36cm. b) La hipotenusa mide 15cm. c) el perĂ­metro mide 24,14cm y la altura correspondiente a la hipotenusa aproximadamente 5cm. d) el ĂĄrea mide aproximadamente 110,85cm2 . e) Las palomas estĂĄn a 9,34m.

5) a) F b) V c) V d) V e) V f) F g) V h) V i) F 6) 3 dm

CARACTERĂ?STICAS DEL PARALELOGRAMO Lados opuestos congruentes Bases medias: ejes de simetrĂ­a. Ă ngulos opuestos congruentes.

Diagonales congruentes.

Diagonales: ejes de simetrĂ­a.

Diagonales que se cortan en partes iguales.

Diagon.: bisectrices de los ĂĄng. que unen.

Diagonales perpendiculares B.media paralela e igual los lados corresp.

Base media: eje de simetrĂ­a

7) 8)

X X X

X X

X X

X

X

X X

X X X

X

X

X X

X X

X X

X X

X 1

a) x = 7 cm b) x = 5 cm c) x = 3cm e) y = 20Âş f) y = 25Âş g) y = 24Âş Ě‚ Ě‚ Ě‚ Ě‚ đ??´ = đ??ś =75Âş 30’ 9) đ??´ = đ??ś =108Âş Ě‚ Ě‚ Ě‚ =72Âş đ??ľ = đ??ˇ =104Âş 30’ đ??ľĚ‚ = đ??ˇ

d) x = 11 cm h) y = 15Âş 10) x = 32Âş Ě‚ = 142Âş đ??ľĚ‚ = đ??ˇ đ??´Ě‚ = đ??śĚ‚ =38Âş 13) dos lados opuestos iguales de 52cm dos lados opuestos iguales de 74cm

11) x = 10Âş 12) đ??´Ě‚ = đ??śĚ‚ =109Âş Ě‚ Ě‚ Ě‚ =71Âş đ?‘€ = đ?‘ƒ =70Âş đ??ľĚ‚ = đ??ˇ Ě‚ = đ?‘„Ě‚ = 110Âş đ?‘ 14) đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ = 27,75 cm 15) x = 3 cm đ??ľđ??ś = đ??ˇđ??´ = 37 cm đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ = 13 cm đ??ľđ??ś = đ??´đ??ˇ = 9 cm 17) dos lados opuestos iguales de 13,5 cm dos lados opuestos iguales de 11 cm 19)

16) đ?‘€đ?‘ = đ?‘ƒđ?‘„ = 15,9 cm đ?‘ đ?‘ƒ = đ?‘„đ?‘€ = 13,1 cm đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ = 58 cm 18) x = 30° Ě‚=đ?‘Ť Ě‚ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° đ?‘Š đ??´Ě‚ = đ??śĚ‚ =60° 20) Los lados consecutivos miden

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2°AÑO A Y B Secundario

UNIDAD N°3: LAS FIGURAS PLANAS: SUS CARACTER�STICAS Y MEDIDAS

a- Cuadrado 6 cm y 12 cm b- cuadrado c- rectĂĄngulo o cuadrado 21) Las diagonales ≅1 4,14cm d- rectĂĄngulo o cuadrado perĂ­metro = 40cm, ĂĄrea=96cm2 e- rombo o cuadrado 22) đ??´Ě‚ = đ??śĚ‚ = 108Âş 40’ 23) đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ = 56 cm 24) đ??¸Ě‚ = đ??şĚ‚ = 108Âş 2 Ě‚ Ě‚ Ě‚ = 72° đ??ľ = đ??ˇ = 71Âş 20’ Ă rea =196 cm đ??šĚ‚ = đ??ť 25) đ??ˇđ??ľ = 12 cm 26) a) PerĂ­metro = 20 cm 26) b) x = 0,5 cm Ě‚ đ??´đ??ś = 20 cm đ??´ = 56Âş PerĂ­metro = 14 cm 2 Ě‚ Ě‚ Ă rea = 120cm đ??ľ = đ??ˇ = 126Âş 26 c) x = 3 cm 26d) đ??´Ě‚ = 70° 27) x = 5 cm Ě‚ = 120 đ?‘¨đ?‘Š = đ?‘Šđ?‘Ş = 7 cm đ??ľĚ‚ = đ??ˇ đ??ľđ??ś = 19 cm đ??śđ??ˇ = đ??ˇđ??´ = 11 cm đ??śĚ‚ = 50° đ??´đ??ˇ = 21 cm đ?‘€đ?‘ = 20 cm 28) x = 11 cm 29) Per = 25cm 30) đ??´đ??ś = đ??ľđ??ˇ = 13đ?‘?đ?‘š Ě‚ = 75° đ?‘ đ?‘ƒ = 34 cm đ?‘ 31) Per= 40 cm Ě‚ = đ??śĚ‚ = 75Âş đ?‘€đ?‘„ = 62 đ?‘?đ?‘š đ?‘„Ě‚ = 97Âş 32) đ??´Ě‚ = đ??ľĚ‚ = 105Âş đ??ˇ đ??´đ??ľ = 48 đ?‘?đ?‘š 33) đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ = 12đ?‘?đ?‘šâ€„ 34) a) Per = 42cm.

35) Radio DiĂĄmetro

b) đ??´Ě‚ = 76Âş

;

đ??śĚ‚ = 84Âş

Ě‚ = 100Âş đ??ľĚ‚ = đ??ˇ

Longitud de la circunferencia

Ă rea del cĂ­rculo

32 cm

64cm

201,06cm

3216,99cm2

5cm

10cm

31,416cm

78,54cm2

5,5cm

11cm

34,56cm

95,03cm2

10cm

20cm

62,83cm

314 cm2

36) a) La longitud cuando da una vuelta completa es de 1,884m. b) 53 vueltas.

37) a) Al dar 5 vueltas recorre2355m. Tiene que dar 9 vueltas. b) Al dar 5 vueltas recorre2292,2m. c) EstĂĄ a 80 m del centro y corre afuera de la pista.

38) La superficie mide 130,83 cm2.

39)El perĂ­metro mide 41,4 cm.

40) a) Sup = 34,54 cm2. b) Sup = 10,8 cm2. c) Sup = 6,28 cm2. d) Sup = 25,74 cm2. e) Sup = 235,5 cm2. f) Sup = 123,84 cm2.

Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

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