Seja y uma grandeza inversamente proporcional a outra grandeza x e k a correspondente constante de proporcionalidade inversa.
A função de proporcionalidade inversa é definida por:
f (x) = k x , x>0
Recorda:
Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais e a a correspondente constante de proporcionalidade direta.
A função de proporcionalidade direta é definida por:
f (x) = a x, para todo o x pertencente ao domínio da função.
Uma função de proporcionalidade inversa de constante positiva k, é definida por uma expressão do tipo y = , x > 0.
O seu gráfico é uma curva designada por ramo de hipérbole.
y
Nota:
No caso de a constante de proporcionalidade inversa ser negativa ou seja, k<0, o gráfico da função de proporcionalidade inversa é um ramo de hipérbole do tipo:
Uma função de proporcionalidade direta de constante positiva a, é definida por uma expressão do tipo y = a x, x > 0.
O seu gráfico é uma reta que passa na origem do referencial e no ponto de coordenadas (1 , a).
y
Exemplos:
1. O ponto ��(5,4) pertence ao gráfico de uma função de proporcionalidade inversa.
Define essa função através de uma expressão algébrica.
Se �� 5,4 pertence ao gráfico de uma função de proporcionalidade inversa: �� =5×4=20
20
3. Considera o ponto B (6 , 4) que pertence ao gráfico da função h.
Determina a expressão algébrica da função h, se é:
a) uma função de proporcionalidade direta;
Se B (6, 4) pertence ao gráfico de uma função de proporcionalidade
direta, �� = 4 6 = 2 3 logo ℎ �� = 2 3 ��
b) uma função de proporcionalidade inversa.
Se B (6, 4) pertence ao gráfico de uma função de proporcionalidade
inversa, �� =6×4=24 logo ℎ �� = 24 ��
4. Numa prova de ciclismo, os concorrentes têm de percorrer 60 quilómetros. O gráfico seguinte representa a velocidade média, em ����/ℎ, e o tempo, em horas, gasto por cada ciclista.
a) Justifica que existe proporcionalidade inversa entre as grandezas �� e ��. Os pontos sobre o gráfico têm as seguintes
coordenadas: 5;12 , 7,5;8 , 10; 6 , 15;4 e 20;3
Calculando o produto entre os valores das coordenadas:
dão sempre o mesmo valor
b) Qual a constante de proporcionalidade e qual o seu significado?
A constante de proporcionalidade é 60 e representa a distância percorrida pelos ciclistas em ����.
c) Escreve a expressão algébrica da função.
d) Se a velocidade média fosse de 20 km/h, que tempo demorava o ciclista a fazer o percurso?
e) Se o ciclista demorou 12 horas a fazer o percurso, qual a sua velocidade média?
= 60 12 =5����/ℎ
5. Considera a função de proporcionalidade inversa �� �� = 12 �� , �� > 0.
Sabendo que o ponto ��(1 3,��) pertence ao gráfico da função ��, determina o valor de ��.
Se ��(1 3,��) pertence ao gráfico da função �� e se �� é uma função de proporcionalidade direta, �� = 12 1 3 =36
c) Sabendo que �� = −15 �� , complete a tabela seguinte:
Se �� =−1 então �� = −15 −1
Se �� =1,5 então �� = −15
Se �� =−7,5 então �� = −15 −7,5 =2
Se �� =5 então �� = −15 5 =−3
y
(II) O gráfico representa uma função de proporcionalidade inversa e a expressão algébrica que define a função é y = .
0 2 4 6 12
(III) O gráfico representa uma função de proporcionalidade inversa e a expressão algébrica que define a função é y = 6x.
(IV) O gráfico representa uma função de proporcionalidade inversa e a expressão algébrica que define a função é y = .
6 x 24 x
Indica a afirmação verdadeira e numa pequena composição explica porque motivo rejeitas as outras opções.
(A) (I) (B) (II) (C) (III) (D) (IV)
A afirmação verdadeira é a (D).
Rejeito a opção (A) porque se trata de uma função de proporcionalidade inversa e não direta.
Rejeito a opção (B) porque a constante está mal calculada, �� =2× 12=24.
Rejeito a opção (C) porque a função de proporcionalidade inversa não
é do tipo �� =����.
