ejercicios calculo

- 139 -

 4x 2 − 9  2 x + 3 , 11. Dada la función f ( x ) =  − 2  a. Determine

3 2 3 si x = − 2 si x ≠ −

lim f ( x )

x→− 3

2

 3 lim f ( x ) ≠ f  −  − 3 x→ 2  2 3 c. ¿es continua la función en x = − ?

2 b. demuestre

2 x − a  12. Sea f ( x ) = ax + 2b b − 5x 

si x < −3 si − 3 ≤ x ≤ 3 si x > 3

Determine los valores de a y b tales que la función sea continua en todo R.

- 139 -

- 140 -

LIMITES:

1. Aplique operatoria algebraica convencional y verifique los resultados;

x 2 + 4 x − 21 13. lim = 10 x →3 x−3

 1  1. lim 2  = 1 x →1 x   2.

lim (4 x 2 − 5 x ) = 6

14.

lim(x 2 − 4 x + 10) = 7

15.

x →1

4.

5.

5 n 2 + 3n − 5 = 2 n + 3n − 6 6

16.

lim

x 2 + 4 x − 21 = 10 x−3

17.

lim

x2 + 6x + 5 = -7 x2 − 2x − 3

18.

lim

x2 + 6x + 5 = -1 x2 − 2x − 3

lim

x2 − 9 =4 x−3

x →3

6.

x →2

7.

x → −1

8.

x →1

lim

x2 − a2 = 1, x ≠ 0 x 2 + 2ax + a 2

lim

x2 − a2 = 0, x 2 + 2ax + a 2

lim

25 x 3 + 2 = -1 75 x 7 − 2

lim

x2 − 4 =4 x−2

lim

x2 + 2 3 = x+2 2

lim

x2 − 1 =0 x −1

a →0

lim n →0

x2 − a2 x 2 + 2ax + a 2

x →0

x→2

3.

lim

x →a

x →0

x →2

19.

x →2

20.

x → −1

x−3 9. lim 2 = 0 x →3 x −2

x3 + 8 21. lim = 12 x → −2 x + 2

y2 + 5y + 6 10. lim y →2 y+2

x 3 − 64 22. lim = 48 x →4 x−4

=5

y2 − 5y + 6 = -1 11. lim y →2 y−2 12.

lim

x → −3

= -1,

x 2 + 3 x − 10 23. lim =1 x →2 3 x 2 − 5 x − 2

x2 + 4x + 3 = -2 x+3

24.

lim

h → −2

- 140 -

h 3 + 4 h 2 + 4h =0 h2 − h − 6

a≠0

a≠0

- 141 -

25.

lim

3 x3 − a3 =- a 2 2 a −x 2

lim

x 3 − 3 x 2 − 3 x − 4 21 = 4 x2 − 4x

lim

2x 4 − 6x 3 + x 2 + 3 = -8 x −1

x →a

26.

x →4

27.

x →1

2 ( 1 + h) − 1 28. lim =3

29.

h →1

h

lim

3x − 3 =0 2x

x →1

1 1 − 1 30. lim x 2 = x →2 x − 2 4 31.

lim x →2

x 4 − 16 8 = x3 − 8 3

 x 2 − 9 x − 3  15 32. lim  − 2  = x →1 4  x − 3 x − 9 33.

lim

x3 + x2 − x −1 4 = 3 x2 + x − 2

lim

x3 − x2 + x −1 2 = 3 x2 + x − 2

x →1

34.

x →1

x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 =4 x →3 x−3

35.

lim

36.

lim

37.

x 2 − 2x − 3 4 =− 3 x → −1 3 x +1

x 3 − x 2 − 5x − 3 = 16 x →3 x−3 lim

- 141 -

- 142 -

2. Aplicar criterios de mayor potencia y racionalización según convenga verifique los resultados:

1.

2 x 4 − 3x 2 + 1 1 lim = x →∞ 6 x 4 − x 3 − 3x 3

2.

1 x 2 − 2x + 3 lim = x →∞ 2 x 2 + 5x − 3 2

3.

lim

2x 5 − 4x 2 =0 3 x 7 + x 3 − 10

lim

3 3n 2 − 5n = 2 5n + 2n − 6 5

lim

x 2 − 5x + 1 1 = 3 3x 2 + 7

lim

x 3 + 6 x 2 + 10 x + 2 1 = 2 2 x3 + x2 + 5

x →∞

4.

n →∞

5.

x→∞

6.

x →∞

7.

 t +1   1  lim  2  , para  t = , h → 0  = 0 t →∞  t + 1  h 

8.

 n (n + 2) n3  lim  − 2  =1 n →∞ n + 1  n +1

9.

lim x − 2

10.

lim

n→4

x →0

11.

12.

lim

x 2+ x − 2−x x −1

lim

4+h −2 1 = 4 h

lim

=

2

=2

x −1

x →1

14.

1 4

x →1

h →0

13.

x−4

=

x3 − 1 3 = x2 − 1 2

lim 4 x − 4 = 0

27.

x →1

lim

x →∞

- 142 -

x7 − x2 + 1 1 = 7 3 2 x + x + 300 2

- 143 -

15.

(

)

lim 2 x 3 − 11x 2 + 12 x = 2 x →∞

x 3 − 16 x =0 16. lim x →∞ 5 x 4 + x 3 − 5 x 17.

lim

x →∞

18.

lim

x →∞

19.

lim x →1

20.

x −1 1 = x −1 2

34.

lim

x3 + 1 =0 x4 + 2

35.

lim

6 x3 − x 2 + 5 =2 3 x 3 − 100 x + 1

36.

lim

n→∞

lim

x →∞

x4 +1

x →∞

(

lim

( 2x

lim

(x + 1)( x + 2) = 1 (x + 3)( x + 4)

lim

3x 2 + x = 3 x

lim

4x 2 + 2x + 1 2 = 3x 3

x →∞

x→∞

x→∞

lim

x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x + 3 = 2

2

38.

3x

4x 2 + x

lim

x →∞

)

− 2x2 − 6x =

4x 2 + 2x + 1

x→∞

n +1 − n = 0

2 x 2 − 3x − 4

)

lim

x →∞

37.

2

9 x − 3x

45.

46.

=

=

2 3

2 3

x6 − x8 − 3 =0 2x 4

lim

5 − 2x2 2 = − 2 3x + 5 x 5

x →∞

4

2n 2 + n 2 41. lim = n →∞ 5n 2 − 1 5

16  2n − 3  47. lim  =  x → ∞ 3n + 7 81  

- 143 -

3 2 2

lim

x →∞

=2

= 18

x −9

x →81

x 4 + 1066 x 2 − 1492 1 = 2 x 4 − 2001 2

1+ x −1 3 25. lim = x →0 3 1 + x − 1 2

x − 81

lim

31.

1 2a

1 2

x2 + x − x =

x→∞

32.

5x3 + 2 x 24. lim 2 = ∞ x →∞ x + x + 7

40.

lim

lim

x →∞

39.

30.

33.

x →∞

23.

8x 3 − 2 x 2 + 1 4 = 3 6 x 3 + x 2 − 3x

29.

7 x 5 + 5x 4 7 lim =− x→∞ x 3 − 2 x 5 2

6x3 − x =0 2 x10 + 5 x + 8

x →∞

22.

3

x →a

lim

x →∞

21.

3x 2 + x = x

3x − a − x + a = x−a

lim

28.

- 144 -

42.

lim

n →∞

3n 2 + 4n + 5 3 = 7n 2 − 4 7

48.

x →a

4

43.

44.

 4n − 2  lim   = 16 n →∞  2n + 3 

49.

2n + 1 =2 n +1

50.

lim

n →∞

3x − a − x + a = x−a

lim

lim

n3 + n 1 = 3 2n + 1 2

lim

3

n →∞

n →∞

2n = n +1

3

1 2a

2

3. El costo en millones de dólares para el gobierno de aprehender un x% de cierta droga ilegal, a su entrada por las fronteras, viene dado por:

C=

528 x , 0 ≤ x < 100 100 − x

a. calcular el costo de aprehender el 25% b. Hallar el límite de C cuando x → 100 4. Una partícula cae del reposo bajo la acción de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad instantánea después de

1 1 segundos?.

2

5. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40cm/seg. La 2

distancia recorrida en cm después de t segundos está dada por s = 40t − 16t .

Determine la velocidad instantánea; a. después de un segundo Rp.:8cm/seg b. después de dos segundos Rp.:-24cm/seg 6. En el ejercicio anterior, calcule la velocidad instantánea después de t segundos. a. ¿qué ocurre cuando

t=5 ?

4

b. ¿cuál es la velocidad instantánea cuando

- 144 -

t=5 ?

2

- 145 -

7. Aplique Teorema de L’ Hopital y verifique los resultados: 3

a.

lim

b.

lim

x −1 4 = x −1 3

x →1 4

3

x →1

c.

d.

x →27 3

1− x − 4 1 =x−5 2

lim

x 2 − 16 =8 x−4 x+h − x 1 = h 2 x

lim h →0

1 g.

x+h h

lim h →0

h.

lim x →7

j.

lim

1

−

−1

x =

2x x

2x + 1 − 3

lim

x−2 − 2

x →4

i.

= 27

x −3

lim

x →4

f.

x − 27

lim

x →5

e.

x 2 − 23 x + 1 1 = 9 ( x − 1)2

=

2 2 3

2 − x − 3 −1 = x 2 − 49 56 x −1

x →1 3

=

x −1

1 6

5 x =5 k. lim x →0 1 x+ x 1+

l.

x3 + 1 =0 x → −1 x 2 + 1 lim

- 145 -

- 146 -

“DERIVADAS”

EJERCICIOS

I- Determinar la primera derivada, usando las operaciones básicas de derivación;

y ' = 3 − 3 x − 21x 2

3.

y = 2 x 3 + 4 x 2 − 5x + 8 3 y = −5 + 3 x − x 2 − 7 x 3 2 4 y = (x − 2)

4.

y = (x 2 + 2 )

y ' = 6 x (x 2 + 2 )

5.

y = ( 4 − x2

1.

2.

6.

7.

y' = 6x 2 + 8x − 5

3

y ' = 4( x − 2 )

3

2

y ' = −20 x (4 − x 2 )

9

)10

(

y = (2 x 2 + 4 x − 5) 1 5 1 3 y= x + x 5 3

6

8.

y = 3x 2 − 4

9.

y = 1− x2

6 4 3 + 2 − 3 x x x 2 3 11. y = x ( x + 1) 10.

y=

12.

y = ( x + 1) ( x − 3)

3

2

y=

17.

y=

18.

y=

2

3

y ' = 3( x + 1) ( x − 3) + 2( x + 1) ( x − 3) 3

3

2

2

y ' = 2( x + 2 ) (2 − x ) − 3( x + 2 ) (2 − x ) 1 x +1 y' = − x − 1 ( x − 1 )2

x 2 + 2x − 3 x2 x2 +1 16. y = 2 x +2 15.

5

2

2

y = ( x + 2 ) (2 − x ) x +1 14. y = x −1 13.

)

y ' = 6 2 x 2 + 4 x − 5 (4 x + 4 ) 1 1 y’= x4 + x2 5 3 2 x 2 x 3x y' = 3x 2 − 4 x y' = − 1− x2 6 8 9 y' = − 2 − 3 + 4 x x x 2 2 y ' = 3 x ( x + 1) + 2 x 3 ( x + 1)

y' =

1

(2 x + 1)3 −1

2x + 2 x2 + 2x − 3 − 2 x2 x3 2x y' = 2 (x + 2)2 6 y' = − (2 x + 1)4 x y' = 3 x2 − 9

(

x2 − 9

)

II.- En los siguientes ejercicios aplicar las propiedades de las derivadas antes mencionadas;

- 146 -

- 147 -

3 − 2x 3 + 2x

y' = −

1.

y=

2.

y = 3 + 4x − x 2

3.

y = 1+ x 1 y' = 4 1+ x

(

4.

5.

)

x

y = sen 2 (3x + 2 ) 1 y = tg x ⋅ sen 2 x 2

y ' = 3 sen(6 x + 4) y ' = sen 2 x

2

6.

y = ln ( x + 3)

7.

y = ln(sen 3x )

8.

y = ln x + 1 + x 2

9.

12 (3 + 2 x ) 2 2−x y' = y

y' =

2 x+3

y ' = 3 cot g 3 x

(

)

1

y' =

1+ x

2

y = x2 ⋅ ex y ' = xe x ( x + 2)

10.

y = e − x ⋅ cos x y ' = −e − x (sen x + cos x )

11.

y = 23 x ⋅ sen x

12.

y = A cos(ωt + φ ) y ' = − Aω 2 sen (ωt + φ )

13.

y = 2 ln ( x − 2 )

14.

y = 2a x −ln

x

y ' = 2a x − ln

x

15.

y' =

2

( )

33 x

2

sen x +

1 cos x 6 x

1 5

2 5( x − 2 )

y' =

, a = cte.

1   ⋅ ln a ⋅ 1 −   2x 

2

y' =

y = 2 + 2x

4 x 2+ 2 x 16.

y=

x2 x3 +1

y' = - 147 -

2x − x 4

(x

3

+ 1)

2

- 148 -

3

17.

y = (2 x − 7 )

18.

y = 3(9 x − 4 )

19.

y=

y ' = 6(2 x − 7 ) 4

3

y ' = 108(9 x − 4 )

1 x−2 1

y' = −

( x − 2 )2

2

 1  20. y =    x − 3

y' = −

3 21. y = 3 x −4 22.

2

y' = −

y = x 2 (x − 2)

2 (x − 3)3

9x2

(x

3

−4

)

2

4 3

y ' = 2 x ( x − 2 ) )3x − 2) 23.

y = 1− x

y' = −

24.

y = x 2 + 2x − 1

y' =

25.

y = 3 9x 2 + 4

y' =

26.

y = 2 4 − x2

27.

y = (9 − x 2 )

2

28.

y=

y = x 1− x2

30.

y=

x 2 + 2x − 1

6x

(9 x

y' = −

1 x+2

29.

( x + 1)

y' = −

3

y' = −

y' =

x

y' =

x2 +1

- 148 -

1 2 1− x

2

2

+ 4) 2x

4 − x2

4x 3(9 − x 2 )

1

1 2( x + 2 )

1 − 2x 2 1 − 2x 2

1

(

3

x2 +1

)

3

3

2

3

- 149 -

3x + 2 x −1

31.

y=

32.

1 y = x 2 − cos x 2

33.

y=

34.

y = 4 x + 3 cos x

y' = −

5

( x − 1)2

1 y ' = 2 x + sen x 2

1 − 3 sen x x

y' = −

1 − 3 cos x x2

2 − 3 sen x x

y' =

III.- Aplicar las fórmulas de derivación de funciones trigonométricas; 1.

y = 5 sen x

2.

y = 7 cos x

3.

y = 2 tg x

4.

y = −6c tg x

5.

y = 3 sec x

6.

y = 5 csc x

7.

y = x 2 ⋅ sen x

8.

y = x 3 ⋅ sec x

9.

y = x 3 sen x

10.

y = tg x − x

12.

y = tg 2

14.

y = sen 3 2 x

11.

y = − c tg x − x

x

13.

y = sen 2 3x

15.

y = sen 3 x

17.

y = cos 3 4 x

18.

y = x 2 ⋅ sen 5 3 x

19.

y = sen 5 (3x + 2 )

20.

y = sen (3 x + 2 )

21.

y = sen x − x cos x

22.

y = sen x ⋅ tg x

23.

y = 3 csc x + 2c tg x

24.

y = 2 x sen x + 2 cos x − x 2 cos x

25.

y = 2 x cos x − 2 sen x + x 2 sen x

26.

y = x 2 sen 5 2 x

16.

y = x − sen x ⋅ cos x csc x 29. y = x 1 − sen x 31. y = cos x

y = cos 3x ⋅ sen 4 x

5

y = sen 2 x 1 + sen x 30. y = cos x 1 + 3 sec x 32. y = tg x

27.

28.

- 149 -

- 150 -

Respuestas: 1. y ' = 5 cos x 2.

y ' = −7 sen x

3.

y ' = 2 sec 2 x

4.

7.

y ' = 6 cos ec 2 x y ' = 3 sec xtanx y ' = −5 cos ecx cot anx y ' = x(2 sen x + x cos x)

8.

y ' = x 2 sec x(3 + xtanx)

9.

y ' = x 2 (3 sen x + x cos x)

10.

y ' = tan 2 x

11.

y ' = cot an 2 x

5.

6.

16.

1 + tan 2 x y ' = tan x x y ' = 6 sen 3 x cos 3 x y ' = 6 sen 2 2 x cos 2 x y ' = 3 sen 2 x cos x y ' = −3 sen 3 x sen 4 x + 4 cos 3 x cos 4 x

17.

y ' = −12 cos 2 4 x sen 4 x

18.

y ' = 2 x sen 5 3 x + 15 x 2 sen 4 3 x cos 3 x

19.

y ' = 15 sen 4 (3 x + 2 ) cos(3 x + 2 )

12.

13.

14.

15.

(

5

)

y ' = 15 cos(3 x + 2 ) (3 x + 2 ) 21. y ' = x sen x 20.

4

22.

y ' = cos xtanx + sen x sec 2 x

23.

y ' = −3 cos ecx cot anx − 2 − 2 cot an 2 x

24.

y ' = x 2 sen x

25.

y ' = 4 cos x − 4 x sen x − x 2 cos x

26.

y ' = 2 x sen 5 2 x + 10 x 2 sen 4 2 x cos 2 x

y ' = 2 sen 2 x 28. y ' = 2 cos 2 x

27.

cot anx 1 cos ecx − 2 x x3 1 + sen x 30. y ' = 1 + sen x cos 2 x 1 − sen x 31. y ' = −1 + sen x cos 2 x 1 + 3 sec x 32. y ' = 3 sec x − 1 + tan 2 x tan 2 x 29.

y ' = − cos ecx

(

) - 150 -