Geometry of Astana by Marat Yessenamanov

Астана — ең алдымен азаттығымыздын символы, Қазақстанның жаңа тарихының шынайы шежіресі, қарқынды дамуымыздың, қол жеткен табыстарымыздың, абырой-беделіміздің, береке-бірлігіміздің жарқын көрінісі. Н.Ә. Назарбаев

Назарбаев Зияткерлік мектептері дербес білім беру ұйымы Автономная организация образования «Назарбаев Интеллектуальные школы» "Nazarbayev Intellectual Schools" Autonomous Educational Organization

Астана геометриясы ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК ЗАДАЧ

АСТАНА ASTANA 2011

APPLIED PROBLEMS

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Сәулет — геометрия шұғыласы. Ральф Уальдо Эмерсон

стана, Қазақстан Республикасының жас елордасы, әлемнің ең әдемі қалаларының бірі. Елорда кең даңғылдар мен ғажайып әдемі ғимараттардың, сарайлардың, сауда-ойынсауық орталықтары мен заманауи әкімшілік және тұрғын үй кешендерінің шаhары. Олардың көпшілігі әлемдік сәулет өнерінің теңдесіз үлгілері екені айқын. Астана келген қонақтарды да, қала тұрғындарының өздерін де қайталанбас сәулеттік сән-салтанатымен қуантады. «Бізді қоршаған орта — көз алдымыздағы дүниенің шынайы, мінсіз геометриясы. Айналаның бәрі — үйлесімді геометрия». Жиырмасыншы ғасырдағы француздың көрнекті сәулетшісі Ле Корбюзьенің бұл сөзі Астана көшелері мен даңғылдарын аралаған кезде еріксіз ойыңа оралады. Сәулет — өнер, ол геометриямен тығыз байланысты. Аталған кітапта біздің ғажайып қаламыздың сәулеті геометрия тұрғысында қаралады. Оның «абстракты» геометриядан айырмашылығы «сәулеттік» геометрия өзіндік эстетикалық мазмұнмен толыға түседі. «Сәулеттік» геометрияның ажары айшықты, ол жер бедерінің аясында өрбиді. Өйткені геометриялық дене, бір жағынан, бізді қоршаған нақты объектілерден туындаған абстракциялар болса, екінші жағынан, адамның өз қолымен жасаған нысан бейнесі, үлгісі болып табылады. Бұл — Астана туралы кітап, алайда оның басты мазмұны — геометриялық есептер. Кітапқа Астана қаласының физика-математика бағытындағы Назарбаев Зияткерлік мектебінің математика пәні мұғалімдері құрастырған практикалық бағыттағы есептер мен танымдылықты арттыратын логикалық есептер енгізілген. Кітап елорда туралы көп мәлімет беріп қана қоймай, геометрияға деген қызығушылықты оятады,оны бекіте түседі деп сенеміз. 2

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Архитектура — расцвет геометрии. Ральф Уальдо Эмерсон

стана, молодая столица Республики Казахстан, — один из самых красивых городов мира; она растет и преображается, изумляя всех, кто хотя бы однажды посетит её. Это город просторных улиц и удивительно красивых зданий: дворцов, административных комплексов, торгово-развлекательных центров и просто жилых домов. Здесь построены уникальные объекты, многие из которых стали шедеврами мировой архитектуры. Астана радует гостей и самих астанчан своим неповторимым архитектурным обликом. «Окружающий нас мир — это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг — геометрия». Эти слова выдающегося французского архитектора двадцатого века Ле Корбюзье невольно приходят на ум, когда прогуливаешься по улицам и проспектам Астаны. Архитектура — искусство, тесно связанное с геометрией. В данной книге архитектура нашего уникального города рассматривается с геометрической точки зрения. В отличие от «абстрактной» геометрии «архитектурная» геометрия наполнена собственным эстетическим содержанием. Образы «архитектурной» геометрии весомы, они живут в поле земного тяготения. Геометрические тела, с одной стороны, являются абстракциями от реальных объектов, которые нас окружают, а с другой, являются прообразами, моделями формы тех объектов, которые создает своими руками человек. Эта книга об Астане, но все же главное ее содержание — задачи: задачи с практической направленностью, занимательные задачи, а иногда и просто учебные. Авторами большинства из них являются учителя математики Назарбаев Интеллектуальной школы физико-математического направления города Астана. Думается, что книга поможет не только больше узнать о столице, но и укрепит (а в ком-то, может, зародит) интерес к серьезным занятиям геометрией. Architecture is the flowering of geometry. Ralph Waldo Emerson

stana is one of the most beautiful cities in the world; it growing day by day, astonishing all who visit it. Astana is a city of spacious streets, magnificent constructions, administrative buildings, shopping and entertainment centers, as well as residential complexes. Many peerless residences, which have become masterpieces of world architecture, were built in

Astana. As the prominent French architect Le Corbusier said, «The world around us is the world of geometry, which is pure and genuine.» These words spring into your mind as you walk along the streets and avenues of Astana. Architecture is an art closely connected with geometry. This book provides readers with information about the unique design of Astana through geometry. In contrast to «abstract» and «mathematical» geometry, the «architectural» one has its own aesthetics. The images of «architectural» geometry play a great role in the field of Earth’s Gravity. On one hand, geometrical objects are considered to be abstracts of real objects, while, on the other hand, they perform as models of objects made by a man. This book is about Astana, but its main purpose is to solve problems both practical and educational. The authors of this book are teachers at Nazarbayev Intellectual School of Physics and Mathematics in Astana who hope that their work will help people to learn more about Astana and reinforce their interest in geometry. 3

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Астана-Бәйтерек» монументі Монумент «Астана-Байтерек» «Astana-Baiterek» Monument

«Бәйтерек» монументі 2002 жылы 29 тамызда ашылды. Аңыздарға сүйенсек, Бәйтерек — дүниенің ортасында өсетін өмір ағашы дегенді білдіреді. Оның басында мифологиялық Самұрық құс алтын жұмыртқа салады. Бәйтеректің құрылысын салуда күрделі техникалық шешімдер қабылданды. Табанының бағаналары темір бетонды тіректерге бекітілуі тосын жаңалық болды. Ағаштың ұшар басындағы алтын жұмыртқаның ертегідегідей бейнесі әдеттегі сегменттерден емес, иілген шынылардан жасалған. Осы иілген шынылар арнайы компьютерлік бағдарламалармен қадағаланып, жарықпен шағылысқан кезде бес жүз түрлі шұғыла шашып, таңғаларлық әсер береді. Арнайы шыны пакеттермен әйнектеген мұнараның салмағы 70 тонна. Монумент «Астана–Байтерек» — архитектурный символ столицы. «Байтерек» — это молодое, крепкое, растущее дерево, которое символизирует собой государство, сохранившее свои исторические корни, имеющее прочную опору и устремленность к будущему процветанию.

«Астана — Бәйтерек» монументі елордамыздың ғажайып сәулетін айшықтайтын символы іспеттес. «Бәйтерек» — тамырын тереңге жайған, мәуелі мықты ағаш, тарихи тамырын берік сақтап қалған, жарқын болашаққа деген ұмтылысты бейнелейді.

Монумент «Байтерек» был открыт 29 августа 2002 года. По преданиям, «Байтерек» — древо жизни, растущее в центре мироздания. В его кроне мифическая птица Самрук, прародительница казахов, откладывает золотые яйца. При возведении Байтерека были использованы неординарные технические решения. Сваи основания укреплены на железобетонной подушке — это было ноу-хау. Сказочный образ золотого яйца в кроне дерева выполнен в виде шара, не из сегментов, как принято, а из изогнутого стекла. Оно-то и дает ошеломительный эффект, переливаясь в свете огней до пятисот оттенков — подсветка регулируется специально разработанной компьютерной программой. Вес купола, остекленного специальными стеклопакетами, почти 70 тонн.

The “Baiterek” monument was opened on August 29, 2002. Baiterek is meant to represent a folk tale about a mythical tree of life and a magic bird of happiness. The bird Samruk, ancestor of the Kazakhs, laid its golden egg in the crown of the tree. When erecting “Baiterek”, unconventional technical solutions were used. Piles of the base were fixed on a concrete pad. The fairy tale image of the golden egg in the tree crown was made of curved glass in the form of a ball. Thanks to a specially designed computer program, Baiterek glistens with 500 lights that make it look stunning. The weight of the dome, glazed with special fiberglass, is about 70tons.

«Astana-Baiterek» monument is an architectural symbol of the capital city. «Baiterek» is a strong young tree. It symbolizes a state which has preserved its historical roots, has firm support, and determination toward future prosperity.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Монумент жасау идеясы Қазақстан Республикасының Президенті Н.Ә. Назарбаевқа тиесілі. Президенттің ойын сәулетші Ақмырза Исаұлы Рүстембеков бастаған әйгілі сәулетшілер, конструкторлар мен құрылысшы-инженерлер жүзеге асырды. Халықаралық сәулетшілер қауымдастығы «Астана-Бәйтерек» монументіне ТМД мемлекеттері арасында 2002 жылдың ең үздік құрылыс жобасы ретінде Гран-при жүлдесін табыс етті. Идея создания монумента принадлежит Президенту Республики Казахстан Н. А. Назарбаеву. Замысел Президента воплотили самые известные архитекторы, конструкторы и инженеры-строители под руководством Акмурзы Исаевича Рустембекова. Международная ассоциация Союзов архитекторов присудила монументу «АстанаБайтерек» высший знак отличия — Гран-при, как лучшему проекту и постройке 2002 года среди стран СНГ.

The idea of creating the monument belongs to Nursultan Nazarbayev — the President of the Republic of Kazakhstan. The President’s idea was materialized by the most renowned architects, designers and civil engineers under the direction of Akmurza Roustembekov. The International Union of Architects awarded “Astana-Baiterek” monument with the highest prize — Gran Prix for the best project and construction in the CIS in 2002.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Шешуі 68-бетте Решение на 68 стр. Solution on 68 page

«Бәйтерек» монументінің төменгі деңгейінде аквариум орналасқан, оның табаны радиустары 10 м және 9,3 м болатын концентрлі шеңберлерден жасалынған сақина бөлігі болып табылады. Кіші шеңбер доғасының ұзындығы 8 м, ал аквариум биіктігі 1,86 м. Аквариумның көлемін табыңдар. В подземном уровне монумента «Байтерек» расположен аквариум, основание которого представляет собой часть кольца (см. рис.), образованного концентрическими окружностями радиусами 10м и 9,3м. Длина дуги меньшей окружности 8м, а высота аквариума 1,86м. Найдите объём аквариума. On the basement level of the monument «Baiterek», there is an aquarium, the base of which is a part of the ring (see figure), formed by concentric circles with radii of 10 m and 9.3 m. The length of the arc of the smaller circle is 8 m and the height of the aquarium is 1.86 m. Find the volume of the aquarium.

Монументтің 97 метрлік биіктігінде Мемлекет Басшысы Нұрсұлтан Назарбаевтың оң қолының табы тиген «Аялы алақан» композициясы бар. Бұл жерде әлемнің он жеті діни конфессия басшыларының алғашқы съезіне қатысқандар Қазақстан халқы мен жеріне тілек — батасын берген тағы бір «Бата» композициясы орын алды. На отметке 97 метров находится композиция «Аялы Алакан» с оттиском правой руки главы государтва Нурсултана Назарбаева. Особую важность монументу придает проводившийся здесь первый съезд лидеров мировых и традиционных религий. После первого съезда рядом с «Аялы-Алаканом» появился еще один алтарь. На нем оставили свои «бата» — благословения земле Казахстана- лидеры 17 конфессий.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 68-бетте Решение на 68 стр. Solution on 68 page

«Астана — Бәйтерек» монументің биіктігі 97 метр, ал шармен қоса алғанда 105 метрді құрайды. Шардың диаметрі 22 метр. 2010 жылдың 27 мамырында Өскеменде осы монументтің кішірейтілген көшірмесі орнатылды. Конструкцияның биіктігі 21 метр. Конструкцияны диаметрі 4 м болатын алтындай жарқыраған шар көмкеріп тұр. а) Бұл көшірме дәл көшірмесі бола ала ма? б) Көшірмемен жұмыс жасағанда есептеулердің салыстырмалы қателігі қандай? Высота монумента «Байтерек» составляет 97 метров, с шаром, венчающим конструкцию, — 105 метров. Диаметр шара 22 метра. 27 мая 2010 года в Усть-Каменогорске была установлена уменьшенная копия монумента. Высота конструкции 21 м. Обрамляет конструкцию шар золотисто-перламутрового цвета диаметром 4 м. а) Является ли эта копия точной? б) Какова относительная погрешность расчетов, выполненных при работе над копией? The height of the building is 97 metres. Its height with the ball, crowning the structure is 105 metres. The diameter of the ball is 22 metres. A smaller version of the monument was installed in Ust-Kamengorosk on May 27, 2010. The height of the structure is 21 m. The structure is framed by the golden ball with the diameter of 4 m. a) Is this an exact copy? b) What is the relative calculating error of the copy?

At the height of 97 meters there is an artistic composition “Ayali Alakan” — an impression of the palm of the President of the Republic of Kazakhstan Nursultan Nazarbayev. At the same place the composition called “Bata” is situated. It means blessing to the earth and people of Kazakhstan made by the leaders of 17 World Religious Confessions, who gathered in Kazakhstan in 2003 thanks to N. A. Nazarbayev.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Қазақстан Республикасы Президентінің «Ақ Ордасы» Дворец Президента Республики Казахстан «Ақ ОРДА» «AK ORDA» Palace

2001 жылдың қыркүйегінде Астананың сол жағалауында жаңа әкімшілік орталық аймағында Қазақстан Республикасы Президенті Резиденциясының құрылысы басталды. «Ақ Орда» ғимараты — Қазақстан тәуелсіздігінің көркем образының бейнесі. Ғимаратта ресми қабылдауларды өткізуге арналған Салтанат сарайы, Баспасөз залы, Қысқы бақ, Шығыс залы (киіз үй стилінде мәрмәр мен граниттен жасалған), Мәрмәр зал (ресми кездесулер барысында құжаттарға қол қою рәсіміне арналған), Алтын зал (Қазақстан Республикасы Президентінің шетел мемлекеттері басшыларымен кездесуге, келіссөздер жүргізуге арналған ), Қауіпсіздік Кеңес залы, Күмбезді зал, кітапхана бар. Қазақстан Республикасы Президенті Резиденциясының атауының өзі терең мағынаға ие. Резиденцияны безендіруде өз атауына сай ақ және ашық түстер қолданылған. Площадь дворца составляет 36720 кв.м. Общая высота объекта — 86 м. Габаритные размеры здания составляют 99,0 м и 57,0 м. Боковые блоки состоят из 4 и 5 этажей. Здание состоит из пяти надземных этажей, (высота первого этажа составляет 10 м, всех остальных — по 5 м) и двух подземных.

Ғимараттың жалпы ауданы 36 720 м2 Ғимараттың жалпы биіктігі 86 м. Ғимараттың габариттік өлшемі 99,0 м және 57,0 м. Жанындағы блоктар 4 және 5 қабаттан тұрады. Ғимараттың жер асты тереңдігі бес қабаттан тұрса, бірінші қабатының ұзындығы 10 м, қалғандарының ұзындығы 5м, жер асты қабаттарының ұзындығы 2 метрден тұрады.

Строительство Резиденции Президента Республики Казахстан на территории нового административного центра Астаны на левом берегу Ишим было начато в сентябре 2001 года. Дворец «Ақ Орда» по замыслу и воплощению олицетворяет художественный образ независимости Казахстана. В здании расположены Торжественный зал для проведения официальных приемов, Зал пресс-конференций, Зимний сад, Восточный зал (стилизованный в виде юрты и отделанный мрамором и гранитом), Мраморный зал (предназначен для подписания документов в ходе официальных визитов), Золотой зал (предназначен для переговоров и встреч Президента Республики Казахстан с Главами зарубежных государств), Зал Совета Безопасности, Купольный зал, Библиотека. Само название Резиденции Президента Республики Казахстан несет в себе высокое смысловое значение. «Ақ Орда» в буквальном переводе — Белая ставка. Но в национальной семантике данное словосочетание в широком его понимании трактуется как «светлый дом нации». В цветовом решении фасадов и интерьеров Резиденции действительно преобладают белый цвет и светлые тона. 8

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The construction of the Residence of the President of the Republic of Kazakhstan in the new administrative center of Astana was launched in September 2001. “AK ORDA” Palace in concept and embodiment represents an artistic image of Kazakhstan's Independence. The building has a Ceremonial Hall for official meetings. It also has a Press Conference Hall, a Winter Garden, and an Oriental Hall, designed in the form of yurt decorated with marble and granite. The Marble Hall is frequently used for signing official documents while the Golden Hall is utilized during meetings between the President of the Republic of Kazakhstan and leaders of foreign nations. AK ORDA additionally has a Security Council Chamber, Domed hall, and an extensive library. The name of the President’s Residence– AK ORDA Palace — carries deep meaning itself. Literally, “AK ORDA” means “White settlement”. But in the wider national picture, it is often interpreted as “light house of the nation.” The white color and light shades prevail in the design of both facades and the interior of the building.

Шешуі 69-бетте Решение на 69 стр. Solution on 69 page

Ақ Орданың күмбезінен жартылай сфераның радиусы 12 метрге тең болғанда 4 симметриялық терезе шығару үшін қандай көлденең қима жасауға болады? Какие поперечные сечения нужно провести в куполе Ақ Орды, чтобы получить четыре симметричных окна, если радиус полусферы равен 12 м. What are the cross sections that should be drawn in the dome of the AK ORDA, to get four symmetrical windows, if the radius of the hemisphere is equal to 12m? 9

The area of the palace is 36,720 m2. The total height of the building is 86 m. The outside measurements of the building are 99,0 m and 57,0 m. The side blocks consist of 4 and 5 floors. The building has two underground floors and five floors above the ground. The height of the first floor is 10 m, all the others — 5 m each.

Ғимарат биік жерде орналасқанына қарамастан қасындағы ғимараттармен өте үйлесімді, бір ось бойына орналасқан. Аталған композициялық ось «Қазмұнайгаз» ҰК-н, «Бәйтерек» монументін, «Ақ Орда» президент сарайы мен Бейбітшілік және Келісім сарайын қиып өтеді. Бұл — еуразиялық бірлік пен толеранттылық идеялары және қазіргі әлемде Қазақстанды танытатын көпвекторлы саясат ұстанымдарын тоғыстыратын көрініс белгісі. Дворец находится на возвышении и, несмотря на небольшие размеры по отношению к находящимся рядом зданиям, является композиционным и смысловым центром градостроительного ансамбля. Стержнем ансамбля является композиционная ось, проходящая через арку здания НК «Казмунайгаз», монумент «Байтерек», президентский дворец Ақ Орда и Дворец Мира и Согласия. Эта главная ось ансамбля зримо воплощает идеи евразийского единства, толерантности и принципов многовекторной политики, которые представляют Казахстан в современном мире. In spite of its size and location, the Palace is the composite and conceptual center of the city. The core of the ensemble is the composite axis going through the arch of Kazmunaygas National Company building, Baiterek tower, AK ORDA President’s Palace and the Palace of Peace and Reconciliation. This central axis of the ensemble has been a visible embodiment of the ideas of Euro — Asian unity, tolerance and the principles of multi-vector policy that represent Kazakhstan in the modern world.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Бейбітшілік және Келісім сарайы Дворец Мира и Согласия Palace of Peace and Reconciliation

Бейбітшілік және Келісім сарайы 2006 жылы әлемге әйгілі британ архитекторы Норман Фостердің арнайы «Әлемдік лидерлер және дәстүрлі діндер конгресін» өткізу мақсатында жасалған. Пирамиданың табаны — қабырғасының ұзындығы 62 м болатын шаршы. Пирамиданың биіктігі де 62 м. Темірден, алюминийден, арнайы шынылардан жасалған сан түрлі конструкциялар, тамаша техникалық идеялар, архитектураның соңғы жаңалықтары бейне бір ғажайыпқа ұқсайды. Панорамалы лифт аймақтың әдемілігін пирамида күмбезімен шағылыстырып, оның сыр-сымбатын одан әрі құлпырта түсіп, төңірегін мың түрлі нұрға бөлейді. Пирамида төбесіне толқынды баспалдақтармен Астананың аспалы бағына көтерілудің өзі бір ғанибет. Есілдің екі жағалауының қайсысына қарасаң да, Фостердің ғажайып туындысы көз тартады. Елорда төрінен орын тапқан әлем ғажабының төбесі түн мезгілінде жарқырап жанып тұрғандай әсер береді.

Жалпы ауданы — 25,5 мың шаршы метр. Сарайда 1,5 мың орындық опера залы, қысқы бақ, көрме залдары, баспасөз орталығы, діни конфессия кеңселері, мұражайлар, кітапхана орналасқан, ал жоғарғы жағында ғимараттың басты кеңсесі — конфессия залы бар. Бұл жерде ауқымды республикалық, халықаралық деңгейдегі мәжілістер өткізіледі.

Дворец Мира и Согласия построен в 2006 году по проекту всемирно известного британского архитектора Нормана Фостера специально для проведения «Конгресса лидеров мировых и традиционных религий». В основании пирамиды находится квадрат со стороной 62 метра, высота также равна 62 метрам. Сталь, алюминий, множество специальных стеклянных конструкций, уникальные технические идеи, архитектурное новаторство — сооружение на самом деле походит на чудо. Панорамный лифт позволяет всем желающим любоваться красотой зелёных террас и игрой света, льющегося с купола пирамиды. Ещё интереснее совершать пешее восхождение к вершине: проходить придётся по волнистым лестницам сквозь «висячие сады Астаны», как их сейчас называют. И снаружи есть на что посмотреть: величественная пирамида Фостера видна с обоих берегов Ишима. А ночью её вершина светится изнутри.

Общая площадь — 25,5 тыс. кв. м. Во Дворце находятся оперный зал на 1,5 тыс. мест, зимний сад, выставочные залы, пресс-центр, офисы духовных конфессий, музеи, библиотека, в верхней части — главное помещение здания — Зал конфессий. Здесь проходят крупные мероприятия республиканского и международного масштабов.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The Palace of Peace and Reconciliation was created by the world-renowned architect, Norman Foster, for the Congress of Leaders of World and Traditional Religions in 2006. The base of the pyramid is a square with a side of 62 meters; the height also equals 62 meters. Steel, aluminum, a number of special glass constructions, unique technological thoughts, and architectural innovations make the building attractive and miraculous. The panoramic lift will allow anyone to enjoy the beauty of green terraces and the play of light flowing from the dome of the pyramid. It would be even more interesting to ascend the top of the building on foot: you will have to cross the wavy ladders passing by the “hanging gardens of Astana”, as they are now called. There is also something to see from the outside: the magnificent Foster’s pyramid is visible from both sides of the Ishym River and its top glows from inside at night.

The total area is 25,5 thousand square meters. There is a concert and opera hall for 1500 viewers. The pyramid has conference rooms, exhibition areas, galleries, «Winter Garden», and a library. The main room at the top of the building is the Hall of Confessions, where important events take place.

Шешуі 70-бетте Решение на 70 стр. Solution on 70 page

1-5 — суреттердегі көпбұрыштардың қайсысы Астанадағы Бейбітшілік және Келісім сарайының пішіні болып табылатын дұрыс төртбұрышты пирамиданың жазбасы болып табылады? Таңдау кезінде пирамиданың әрбір жағы болып табылатын үшбұрыштардың дұрыс орналасуына көңіл бөліңіздер. Какие из данных многоугольников на рисунках 1-5 являются развертками правильной четырехугольной пирамиды, в форме которой построен Дворец мира и согласия в Астане? При выборе учитывайте правильное расположение треугольников на каждой грани пирамиды. Which of the polygons in Fig. 1-5 are the nets of the regular quadrangular pyramid in the form of which the Palace of Peace and Reconciliation in Astana was built? In the solution, take account of the correct location of the triangles on each face of the pyramid.

Бейбітшілік және Келісім Сарайының ең биігіндегі «Бесік» залында әлемдік дін көшбасшыларының конференциясы өткізілді. Қазақстандағы түрлі ұлт өкілдерін әйнек мұнарадағы 130 көгершін бейнелейді. Мұнара жобасының авторы — ағылшын суретшісі Б. Кларк. На самой вершине Дворца Мира и Согласия расположился зал «Колыбель», в котором проходила конференция лидеров мировых религий. Венчает пирамиду большой стеклянный купол с изображением 130 голубей, символизирующих народы Казахстана. Купол спроектирован английским художником Б. Кларком. At the top of the Palace of Peace and Reconciliation, is the «Cradle» hall, which held the conference of world religious leaders. The Pyramid is crowned by a large glass dome with the image of 130 doves, symbolizing people of Kazakhstan. The dome was designed by the British artist Brian Clarke.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

5 Өз бетінше беттің жазбасын қолдана отырып, дұрыс төртбұрышты пирамиданы жасауларыңызға болады. Вы можете самостоятельно сделать правильную четырехугольную пирамиду, используя развертку ее поверхности. You can make a regular quadrangular pyramid using its net.

Бейбітшілік және Келісім Сарайы — -елорданың ең көрнекті орындарының бірі. Пирамида -әртүрлі діндердің, этностардың және мәдениеттердің символы. Дворец Мира и Согласия — одна из лучших достопримечательностей столицы. Пирамида стала символом единения различных религий, этносов и культур. The Peace and Reconciliation Palace is one of the best sights in Astana. The Pyramid has become a symbol of different religions, ethnicities, and cultures.

Шешуі 70-бетте Решение на 70 стр. Solution on 70 page

Болуы мүмкін бе, әлде жоқ па? Мына сұрақтарға жауап беретін есептерді қарастыра отырып, берілген шарттарды қанағаттандыратын төртбұрышты пирамида болуы мүмкін бе? Егер мүмкін болса, онда сол пирамиданың жазбасын салыңыз, егер мүмкін емес болса, онда жауабыңызды негіздеңіз. 1. Барлық қырлары тең болатын төртбұрышты пирамида бола ма? 2. Барлық жақтарының аудандары а см2-қа тең болатын төртбұрышты пирамида бола ма? 3. Табанының периметрі бүйір қырларының ұзындықтарының қосындысына тең болатын төртбұрышты пирамида бола ма? 4. Табанының ауданы бүйір жақтарының аудандарының қосындысына тең болатын төрт бұрышты пирамида бола ма? 5. Барлық бүйір жақтары өзара тең емес тік бұрышты үшбұрыштар болатын төртбұрышты пирамида бола ма? 6. Бір төбесі басқа төбелерінен бірдей қашықтықта жататындай төртбұрышты пирамида бола ма? 12

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Существует или не существует? Рассмотрите задачи, в которых требуется ответить на вопрос, существует ли четырехугольная пирамида, удовлетворяющая заданным условиям. Если ответ на вопрос утвердительный, то постройте развертку такой пирамиды. Если ответ отрицательный, то обоснуйте его. 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны? 2. Существует ли четырехугольная пирамида, все грани которой равны а см2? 3. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой периметр основания равен сумме длин боковых ребер? 4. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой площадь основания равна сумме площадей боковых граней? 5. Существует ли четырехугольная пирамида, все боковые грани которой — неравные между собой прямоугольные треугольники? 6. Существует ли четырехугольная пирамида, одна из вершин которой равноудалена от остальных вершин?

Ертеректен қалған «Әлем уақытқа бағынышты, уақыт пирамидаға тәуелді» деген байлам шындыққа айналып, 2006 жылы салынған тағы бір пирамида — Бейбітшілік және Келісім Сарайы әлемнің сегізінші кереметі атанды.

Одна старая пословица гласит: «Мир боится времени, а время боится пирамид». И действительно, их простая форма и масштабы рождают в уме мысли о незыблимости этих сооружений. В 2006 году к ним присоединилась ещё одна пирамида — Дворец Мира и Согласия в Астане, которую уже называют Восьмым чудом Света.

Consider the following problems: you need to answer the question, whether or not there is a quadrangular pyramid, which complies with the given conditions. If the answer is positive, make the net of such a pyramid. If the answer is negative, prove it. 1. Is there a quadrangular pyramid, all edges of which are equal? 2. Is there a quadrangular pyramid, all faces of which are а сm2? 3. Is there a quadrangular pyramid, the base perimeter of which, is the sum of the lengths of the lateral edges? 4. Is there the quadrangular pyramid, the base area of which is the sum of areas of the lateral faces? 5. Is there a quadrangular pyramid, all lateral faces of which are unequal right-angled triangles? 6. Is there a quadrangular pyramid, one vertex of which is equidistant from the other vertices? 13

When looking at the pyramid’s simple form and shape, you recollect an old proverb: «The world fears time, but time fears the pyramids.» In 2006, another pyramid called the Peace and Reconciliation Palace appeared in Astana. It is considered to be the eighth wonder of the world.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

i Ежелгі Грек геометрлері r ⁄ x = x ⁄ (r – x) пропорциясы орындалатын ұзындығы r кесіндіні x және r – х бөліктеріне бөлу туралы есептерге аса мән берген. Есеп орта және шеткі қатынастарына бөлу деген атауға ие болды. Бізге жеткен көне әдебиеттерде шеткі және орта қатынасында кесіндіні бөлу туралы алғашқы рет «Евклид бастауларында» кездеседі (б.э.д. 300 жыл шамасында), ол оны дұрыс бесбұрышты салуда қолданды. Италиялық математик, Леонардо да Винчидің досы әрі замандасы — Лука Пачоли, осы бөлуді ғажайып пропорция деп атаған. Леонардо да Винчи бұл бөлікке алтын қима деген атау берді. r = 1 қабылдап, пропорциядан x² + x − 1 = 0 теңдеуді аламыз. Бұл теңдеудің оң түбірі x = (√5 – 1) ⁄ 2 = 0,6180339... тең. Алынған сан φ әрпімен белгіленеді. 2 ⁄ (√5 – 1) = 1,6180339... сан да қарастырылады. Эстетикалық түсінік тұрғысынан қарағанда алтын қима бейнелеу және сәулет өнерінде жиі пайдаланылады. Мәселен, егер ғимарат қасбетін екі бөлікке бөлу қажет болса, онда бұл бөліктерді биіктіктері бойынша теңестіріп емес, оларды алтын қима қатынасымен қарастырсақ, әдемірек болып шығады. Қабырғаларының ұзындықтарының қатынасы φ болып келетін тік төртбұрыш қабылдауға жеңіл. Ол алтын қиманың тік төртбұрышы немесе алтын тік төртбұрыш деп аталады. Кітап пішінін де осыған ұқсатып жасайды. Егер осы тік төртбұрыштан ауданы ең үлкен болатын шаршы қиып алса, онда қалған тік төртбұрыш өлшемі бойынша кіші әрі берілген тік төртбұрышқа ұқсас болатын алтын қима тік төртбұрышы болып табылады. Ежелгі гректердің сәулет туындысы — Парфенонның қысқа жағы 8 бағанадан, ал ұзын жағы 17 бағанадан құралған. Ғимарат биіктігінің оның ұзындығына қатынасы 0,618-ге тең. Егер Парфенон ғимаратын «алтын қима» бойынша бөлетін болсақ, онда қасбеттің сол немесе сол сияқты түрлерін аламыз. Бейбітшілік және Келісім Сарайы да алтын қима қағидасын сақтау арқылы салынған деген пікірлер бар. Осы мәселені зерттеңіздер.

Алтын қима тарихы италиялық математик сопы Пизадан шыққан Леонардо есімімен (Фибоначчи деген атпен танымал) тығыз байланысты. Ол Шығысқа жиі сапар шегіп, Еуропаны үнді (араб) сандарымен таныстырған. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 т.б. сандар Фибоначчи қатары деп аталады. Шектес сандар қатарының қатынасы алтын қима қатынасына жуықтайды.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Геометры Древней Греции уделяли много внимания задаче деления отрезка длиной r на части х и r – х, для которых выполняется пропорция r ⁄ x = x ⁄ (r – x). Задача получила название деления в среднем и крайнем отношении. В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Итальянский математик Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, назвал такое деление божественной пропорцией. Леонардо да Винчи дал этому делению название золотое сечение. Такие названия связаны со многими замечательными свойствами сечения. Приняв r = 1, из пропорции получим уравнение x2 + x − 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен x = (√5 – 1) ⁄ 2 = 0,6180339... Полученное число обозначается буквой φ. Рассматривается также число 2 ⁄ (√5 – 1) = 1,6180339... Из эстетических соображений золотое сечение часто используется в живописи, архитектуре. Например, если нужно разделить на две части фасад здания, то не следует эти части делать равными по высоте, красивее будет, если взять их в отношении золотого сечения. Прямоугольник, отношение длин сторон которого равно φ, также хорош для восприятия. Он называется прямоугольником золотого сечения или золотым прямоугольником. Близкими к нему делают форматы книг. Интересно, что если от такого прямоугольника отрезать квадрат максимальной площади, то оставшийся прямоугольник также будет прямоугольником золотого сечения, меньших размеров, но подобный исходному. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. Существует мнение, что Дворец Мира и Согласия также построен с соблюдением принципа золотого сечения. Исследуйте этот вопрос.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Geometers of Ancient Greece paid lots of attention to the problem of dividing a segment with length r to the parts of x and r – x, for which the proportion r ⁄ x = x ⁄ (r – x) is satisfied. The problem is called the division of a line into mean and extreme ratio. In the extant ancient literature the division of a line into extreme and mean ratio was first mentioned in the Elements of Euclid (300 BC), where it was used for constructing a regular pentagon. Italian Mathematician Luca Pachiolli named it a supernal proportion, whereas Leonardo Da Vinci called it a golden section. If we take r = 1, we obtain the following equation x² + x − 1 = 0. The positive root of this equation is equal to x = (√5 – 1) ⁄ 2 = 0,6180339... The obtained number is indicated by letter φ. The number 2 ⁄ (√5 – 1) = 1,6180339... is also considered. Because of aesthetic reasons, the golden section is often used in painting and architecture. For example, if you need to divide the façade of a building into two parts, you should not make those parts equal in height. It would be better to divide them using the golden section. The rectangle is also well-perceived when the ratio of the length of its sides is equal to φ. This rectangle is called the rectangle of golden section or the golden rectangle. If you cut the square of maximum area from this kind of rectangle, then the remaining one also will be the rectangle of the golden section, smaller, but similar to original. One of the finest works of ancient Greek architecture is the Parthenon (V century BC). It has 8 columns on its short sides and 17 columns on the long sides. The ratio of height of the construction to its length is equal to 0.618. If we divide the Parthenon according to the “golden section,” we get the façade projections. It is believed that the Peace and Reconciliation Palace was also built according to the principle of the golden section. Examine this question. 17

The name of the Italian mathematician and monk Leonardo of Pisa, better known under the name Fibonacci, is indirectly connected with the history of the golden section. He traveled a lot around the East, and acquainted Europeans with Indian (Arabic) figures. The sequence of numbers 0,1,1,2,3,5,8,13,21,24,55,…are famous as the Fibonacci sequence. The ratio of the related numbers is close to the ratio of the golden division.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Тәуелсіздік Сарайы Дворец Независимости Palace of Independence

Тәуелсіздік Сарайының елорданың архитектуралық ансамблінде алар орны ерекше. 60 000 астам шаршы метр ауданда Конгресс зал, Салтанат залы, электронды кітапхана, кинотеатрлар орналасқан. Екінші қабатта қолданбалы өнер, этнография, археология және антропология галереялары мен қазіргі заманғы өнер галереясын тамашалауға болады. Ал үшінші қабатта Астананың тарихи мұражайы орналасқан.

На площади перед Дворцом расположен уникальный Монумент государственности. Его центральными элементами являются мраморная стела высотой 91 метр, которая символизирует год обретения независимости, а также колоннада длиной 120 метров. У основания стелы установлена плита, олицетворяющая конституцию страны. На вершине стелы — мифическая птица Самрук.

Сарайдың алаңында Қазақстанның тәуелсіздік алған жылын көрсететін 91 метрлік мәрмәр тұғырлы баған мен ұзындығы 120 метрлі коллонада орнатылған Монумент болып табылады. Баған табанындағы тақта еліміздің Конституциясын бейнелейді. Оның ұшар басында мифтік самұрық құстың мүсіні бедерленген.

В архитектурном ансамбле Астаны особое место занимает Дворец Независимости. На площади, превышающей 60 000 квадратных метров, расположены Конгресс зал, Церемониальный зал, электронная библиотека, кинотеатры. На втором этаже находятся галереи прикладного искусства, этнографии, археологии и антропологии, галерея современного искусства. На третьем этаже разместился музей истории города Астаны.

The Palace of Independence occupies a special place among many architectural objects in Astana. The structure of the Palace of Independence with a total area of more than 60,000 square metres includes Congress hall, Ceremonial hall, Electronic library, and cinemas. On the second floor there are galleries of applied art and ethnography, archeology and anthropology, as well as the Gallery of modern art. The museum of Astana history is on the third floor. 18

There is a unique Monument of Nationhood in the square before the Palace. Its central elements are a marble stele with the height of 91 meters (symbolizing the year of gaining independence) and a colonnade with the length of 120 metres. On the base of the stele a plate, symbolizing the constitution of the country, can be found. On the top of the stele is the mythical bird Samruk.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 70-бетте Решение на 70 стр. Solution on 70 page

Тәуелсіздік сарайы үш қабаттан тұрады және қиық пирамида пішінді. Оның осьтік қимасы болып табылатын АВСD төртбұрышын қарастырайық, ол тең бүйірлі трапеция болып табылады. Оның бірінші қабатының қабырғасының ұзындығы (CD=142м) және табаны (АВ=131м). Екінші және үшінші қабат қабырғаларының ұзындығын табыңдар.

Здание Дворца Независимости состоит из трех этажей и имеет форму усеченной пирамиды. Рассмотрим её осевое сечение АВСD, которое является равнобедренной трапецией. Известны протяженность первого этажа (CD=142м) и крыши (АВ=131м). Найти протяженности 2-го и 3-го этажей. The Palace of Independence consists of three floors and has the shape of a truncated pyramid. Let’s consider its axial section ABCD which is an isosceles trapezoid. We know the length of the first floor (CD=142m) and the roof (АВ=131m). Find the length of the 2-nd and 3-rd floors.

Тәуелсіздік Сарайы мемлекеттік ресми іс-шараларды, форумдарды, мәжілістерді, кездесулерді, съездерді өткізу орны болып табылады. Ғимараттың сыйымдылығы, техникалық жабдықталуы мен жайлылығы іс-шараларды халықаралық деңгейде өткізуге мүмкіндік береді. Дворец Независимости является местом проведения официальных государственных мероприятий, форумов, совещаний, встреч, съездов. Вместимость помещений, техническое оснащение и комфорт позволяют проводить и освещать все происходящие события на высшем международном уровне. Palace of Independence is the venue for official state events, forums, conferences, meetings and congresses. Each room’s capacity, technical equipment, and comfort allow for the carrying out of all events at the highest international standard.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Шабыт» шығармашылық сарайы Дворец творчества «Шабыт» Palace of Art «Shabyt»

«Шабыт» шығармашылық сарайы өзінің архитектуралық пішінімен ғана емес, мазмұнымен де ерекше. Мұнда шығармашылық мамандықтарды даярлайтын қазақ ұлттық өнер университеті орналасқан. Университет студенттеріне арналған дәріс залдары мен аудиториялар, екі түсіру павильоны, сурет, бейнелеу және би студиялары, би бөлмелері, кітапханалар ізденуге, білім алуға мүмкіндік береді. «Шабыт» шығармашылық сарайы жеті қабатты, оның бір қабаты Гиппократтың әйгілі айшықтары кескіндемелерімен жасалған. Ол екі шеңбердің доғаларымен шектелген. Бұл кескіннің ерекшелігі, оны квадраттық кескінмен алмастыруға болады, яғни сызғыш пен циркульдің көмегі арқылы тең шамалы тік төртбұрыштармен алмастыруға болады. Гиппократ осы жолмен «дөңгелектің квадратталуы» проблемасын шешуге үміттенді. Квадратталатын айшықтардың бес түрі ғана табылды.

Конструкция здания опирается на 38 мощных колонн, достигающих верхнего этажа, имеющих наклон под углом 10 градусов и соединяющихся на самом верхнем уровне. Высота зрительного зала и спортивного зала 9м, высота помещений первого этажа главного блока 5,8 м, а всех остальных помещений — 3,9 м. Между верхними этажами находится атриум.

Ғимараттың конструкциясы жоғарғы қабатқа дейін жететін 10 градусты көлбеу бұрышы мен жоғары деңгейді байланыстырып тұрған қуатты 38 тіреумен ұсталып тұр. Көрермендер залы мен спорт залының биіктігі 9 м, негізгі блоктың бірінші қабатының биіктігі 5,8 м, ал өзге кеңселердікі — 3,9 м. Үстіңгі қабаттарда атриум орналасқан.

Дворец творчества «Шабыт» построен в год 10-летнего юбилея столицы Республики Казахстан — Астаны. Объект уникален не только своим архитектурным обликом, но и своим содержанием: здесь расположился Казахский национальный университет искусств, в котором ведется подготовка по многим творческим специальностям. Для обучения молодых талантов имеются лекционные залы и аудитории, два съемочных павильона, фото, художественная и хореографическая студии, танцевальные классы, библиотека и многое другое. Необычное здание дворца творчества «Шабыт» семиэтажное, причем план одного из этажей удивительным образом напоминает знаменитые Гиппократовы луночки -серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга». Было найдено всего пять типов квадрируемых луночек. 20

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The Palace of Art “Shabyt” is famous not only for its architectural shape but for its content: here is settled the Kazakh National University of Art. The university has a number of lecture halls and classrooms, two film studios, photo, art and choreographic studios, dance classes, a library and much more to educate young talents. The unusual building of the Palace of Art “Shabyt” has seven floors. The plan of one of the floors reminds the famous Lune of Hippocrates — a crescent figure, bounded by two circular arcs. Hippocrates wanted to solve the classic problem of squaring the circle, i.e. constructing a square by means of straight edge and a compass, having the same area as a given circle. Overall, there are five types of Lune that are quadrable: 3 of them were found by Hippocrates.

The construction of the building is based on 38 high-powered pillars, reaching upper floor and inclining at an angle of 10 degrees. The height of the audience hall and the gym is 9 meters; the height of the rooms on the ground floor is 5.8 meters. The height of all other rooms height is 3.9metres. Between the upper floors there is an atrium.

Астана еліміздің мәдени өмірінің жаңа орталығына айналып келеді. «Шабыт» шығармашылық сарайы шығармашыл жастарды қанатының астына жинаған бірегей кешен атанды. Сәулет өнерінің теңдессіз туындысы жас дарындарға баға жетпес сыйлық болды.

Шешуі 70-бетте Решение на 70 стр. Solution on 70 page

Боялған айшықтың ауданы АВС тікбұрышты ұшбұрыштың ауданына тең екенін дәлелдеңдер. Докажите, что площадь закрашенной луночки равна площади прямоугольного треугольника АВС. Prove that the area of the shaded Lune is equal to the area of a right triangle ABC. 21

Столица становится новым сердцем культурной жизни страны. Дворец творчества «Шабыт» — уникальный комплекс, объединяющий под своей крышей творческую молодежь. Этот шедевр архитектуры — подарок юным дарованиям Казахстана. Astana becomes a new heart of cultural life in our country. The Palace of Art “Shabyt” is a unique complex, uniting creative young people under one roof. This architectural masterpiece is a gift to young talents of Kazakhstan.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Қазақстан» орталық концерт залы Центральный концертный зал «Қазақстан» Central Concert Hall «Kazakhstan»

Қазіргі таңда мұндай бірегей жоба ТМД-ның бірде-бір елінде жоқ және ол Қазақстан Республикасындағы маңызы зор сәулет ғимараттары мен мәдениет орталықтарының бірі болып қалатыны сөзсіз. Идея авторы — италияндық сәулетші Манфреди Николетти.

На сегодняшний день такого уникального проекта нет ни в одной из стран СНГ. Автором идеи является итальянский архитектор Манфреди Николетти.

«Қазақстан» орталық концерт залы 3500 орынға арналып жасалған, акустикалық сипаттамасы өзгеше, теңдесі жоқ әлемдік сәулеттің ғажайып үлгісі болып табылады. Көрермен залы домбыра үлгісінде жасалған тұтас бір атриум. Қабырғаларының геометриясы мен оркестрдің төбесіндегі акустикалық торлар әртүрлі спектакльдер, симфониялық және камералық музыка концерттерін, опералар, балет қойылымдарын, сонымен қатар саяси сьездер, конгрестер өткізуге мүмкіндік береді. 14х8 метр көлемдегі кең форматты киноэкран бейнені кез келген форматта, соның ішінде ең алдыңғы қатарлы — Blue Ray форматында көрсету мүмкіндігімен әртүрлі кинокөрсетілімдер, бейнепрезентациялар өткізу ойластырылған. Центральный концертный зал «Қазақстан», рассчитанный на 3500 мест, воистину являющийся шедевром мировой архитектуры, уникален и по своим акустическим характеристикам. Зрительный зал, а если быть точнее, целый атриум, выполнен в форме домбры. За счет изменения геометрии стен и материалов их покрытия, акустической ловушки в потолке и передвижных рефлекторов над оркестром его акустические возможности позволяют проводить абсолютно разные по акустическим и стенографическим требованиям мероприятия: спектакли, концерты симфонической и камерной музыки, постановки оперы, балета, а также политические мероприятия — съезды, конгрессы. Наличие широкоформатного киноэкрана размером 14х8 метров подразумевает проведение различных кинопоказов и видеопрезентаций, с возможностью воспроизведения видео в любом формате, в том числе и в самом передовом — Blue Ray.

The Central Concert Hall «Kazakhstan», designed for 3500 seats, is a real masterpiece of the World architecture. It is unique for the acoustic characteristics of its Auditorium, which is designed in the form of dombra. Thanks to its acoustic flexibility it is capable of hosting a multitude of different events, from classical to pop music, ballet and conferences. This flexibility is produced by a system of acoustic curtains and a special false ceiling design called a black-hole, which absorbs most of the acoustic reflections of the hall. The large-sized movie screen of 14x8 meters allows to host various film-shows and video presentations with the ability to play videos in any format, including the most advanced one — Blue Ray. 22

Nowadays none of the CIS countries has such unique projects. It is one of the most significant architectural and cultural centers in the Republic of Kazakhstan. The idea belongs to Italian architect Manfredi Nicoletti.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 71-бетте Решение на 71 стр. Solution on 71 page

«Қазақстан» орталық концерт залының табанының формасы эллипске ұқсайды. Егер осы эллипстің жарты осьтері 50 м және 100 м болса, (эллипс мына x2 ⁄ a2 + y2 ⁄ b2 = 1, теңдеумен беріледі, мұнда а және b эллипстің жарты осьтері) табанының ауданын табыңдар. Основание здания Центрального концертного зала «Казахстан» имеет форму, близкую к эллипсу. Найдите площадь основания, если полуоси этого эллипса равны 50 м и 100 м. The base of the building of the Central Concert Hall «Kazakhstan» has a shape similar to an ellipse. Find the total area of the base if the semi axes of this ellipse are 50 m and 100 m (ellipse is given by the equation x2 ⁄ a2 + y2 ⁄ b2 = 1, where a and b are semi axes of the ellipse).

Орталық концерт залы отыз сегіз мың алты жүз шаршы метрді алып жатыр (38.600 шаршы м.) және оған 28 миллиард теңге қаржы жұмсалды (187 миллион доллар).

Центральный концертный зал занимает площадь тридцать восемь тысяч шестьсот квадратных метров (38.600 кв. м), и на него было затрачено 28 миллиардов тенге (187 миллионов долларов). The total area of the Central Concert Hall “Kazakhstan” is 38,600 square meters. 28 billion tenge (or 187 million dollars) were spent to construct this building. 23

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

НазарбаевУниверситеті «Назарбаев Университет» Nazarbayev University

«Назарбаев Университеті», Қазақстан Республикасындағы халықаралық дәрежедегі бірінші университет, Қазақстан Республикасы Президенті Назарбаевтың қолдауымен еліміздің болашақ элитасын тәрбиелеу мақсатында құрылды. Президенттің айтуынша, аталған университетті тәмамдаған студенттердің дипломы халықаралық стандартқа сай болады.

Новый университет расположен на левобережье Астаны. Общая площадь зданий и сооружений 143 тыс. кв. м. Все учебные корпуса соединены друг с другом через общий осевой атриум и внутренние переходы. Обслуживание лабораторий производится посредством кольцевой дороги, окружающей главный массив сооружения. Элитный ВУЗ рассчитан на 25 тыс. человек и призван стать флагманом высших учебных заведений Казахстана.

Назарбаев Университет, первый в Казахстане университет международного уровня, создан по инициативе Президента Казахстана Н.А. Назарбаева с целью формирования будущей интеллектуальной элиты страны. Выпускники этого вуза будут получать адаптированные дипломы международного стандарта.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Nazarbayev University is the first international university in Kazakhstan, founded on the initiative of the President Nazarbayev in order to form the intellectual elite of the nation. According to the President, the graduates of this university will receive an education that matches the world’s most prestigious universities. Nazarbayev University aims to become a university with a strong, modern scientific infrastructure, suitable for carrying out innovative research. Three research centers will function at the university: the Center for Life Sciences, the Center for Energy Research, and the International Interdisciplinary Instrumentation Center.

Шешуі 72-бетте Решение на 72 стр. Solution on 72 page

Назарбаев Университетінің негізгі ғимаратының үлкен атриумінде суретте көріп отырғандай фонтан бар. Осы суретті пайдаланып, сулы резервуардың диаметрін қалай табуға болады? В огромном атриуме главного здания Назарбаев Университета есть фонтан, который вы видите на снимке. Как можно использовать этот снимок, чтобы узнать диаметр резервуара с водой? In the large atrium of Nazarbayev University there is a fountain (you see it in the picture.) How can this image be used to find out the diameter of the water tank? 25

The new University is located on the left bank of Astana. The total area of construction equals 143 thousand square metres. All academic buildings are connected with each other via a common atrium and axial internal transitions. Laboratory service is conducted through the ring-road surrounding the main construction complexes. This elite university accommodates 25 000 people and aims to become the flagship of higher education in Kazakhstan.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Думан» ойын-сауық орталығы Развлекательный центр «Думан» Entertainment centre «Duman»

«Думан» ойын-сауық орталығы — 3D-кинотеатры, «Джунгли» аттракционы, боулингі, көпфункционалды зал, сонымен қатар қонақ үй кешені бар ғажайып океанариум. Океанариумде 2000-нан аса теңіз кереметтері, 100-ден аса теңіз фауналары: теңіз жұлдыздары, акулалар, түрлі-түсті маржанды балықтар, актинилер өмір сүреді. Океанариумның негізгі бөлігін түбінде шыны туннелі бар үлкен аквариум алып жатыр. Океанариумды қызықтауға келетін кісілер тап осы жерден акулаларды қызықтай алады. Мұражай алаңы ретінде жасалған Күмбезді зал тарихқа құмар жандардың ерекше қызығушылығын тудырады.

Ценителей истории особо заинтересует Купольный зал, ставший своего рода музейной площадкой. В Купольном зале вы увидите Мавзолей Х.А. Яссауи, Великую Китайскую стену, Галикарнасский мавзолей, статую Свободы и многое другое. В кинозале мощность звука и специальные очки позволяют зрителям почувствовать себя в центре событий, происходящих на экране.

Мұражай алаңы ретінде жасалған Күмбез залы тарихқа құмар жандардың ерекше қызығушылығын тудырады. Күмбез залында сіздер Ахмет Яссауи кесенесі, Қытай қорғанын, Галикарнас кесенесін, Бостандық статуясы макеттерін көре аласыздар.Кинотеатрдағы дыбыстың күштілігі мен арнайы көзілдірік көрерменге экранда өтіп жатқан оқиғалармен бірге жүргендей әсер береді.

Развлекательный центр «Думан» открыт 6 мая 2003 года. Центр имеет уникальный океанариум, 3D-кинотеатр, аттракцион «Джунгли», боулинг, многофункциональный зал, гостиничный комплекс. В океанариуме обитают более 2000 морских особей, представляющих более 100 видов морской фауны: морские звезды, кошачьи акулы, морские коньки, яркие коралловые рыбки, актинии. Главная часть океанариума — большой аквариум, на дне которого находится стеклянный туннель. Именно здесь у посетителей есть возможность прогуляться по морскому дну, всего в нескольких сантиметрах от акул. Океанариум «Думан» занесен в КНИГУ РЕКОРДОВ ГИННЕСА, как самый удаленный от мирового океана океанариум. 26

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

History connoisseurs will be interested in the Dome Hall, which has become a kind of museum. In the Dome Hall you can see a Yassauyi Mausoleum, the Great Chinese Wall, the Halicarnassus Mausoleum, the Statue of Liberty and other sights. In the cinema, surround sound and special glasses allow audience to feel like they are in the center of the action occurring on the screen.

The Entertainment centre “Duman” was opened on May 6, 2003. The Entertainment centre “Duman” includes a unique oceanarium, 3D cinema, a Jungle attraction, a multifunctional room, and a hotel complex. More than 2000 marine inhabitants are living in the aquarium, representing over 100 species of marine fauna from all over the world. They include starfish, cat sharks, seahorses, colourful coral fish, and sea anemones. The main part of the Oceanarium is a large aquarium at the bottom of which a glass tunnel is located. It is here where visitors have an opportunity to “walk along the sea floor”, just a few inches away from sharks. The “Duman” oceanarium was included in the Guinness Book of World Records as the most distant from an ocean aquarium.

Шешуі 72-бетте Решение на 72 стр. Solution on 72 page

«Думан» ойын-сауық орталығындағы океанариум ТМД мемлекеттерінің арасындағы алғашқы океанариум болып есептеледі. Мұхиттан 3000 километр қашықтықта орналасқан әлемдегі жалғыз океанариум. Океанариумның сыйымдылығы 3 миллион литр су. Концентрациясы 4% су алу үшін неше тонна теңіз тұзы қажет?

Океанариумның жұмыс істеуі тіршілікті қамтамасыз етудің бірегей жүйесімен іске асырылады. Ұзындығы 11 шақырымнан тұратын құбыр балықтардың тіршілік етуіне зиян келтірмейді. Әрқайсысының сыйымдылығы 200 мың литр болатын 34 сорғы мен 6 құмды сүзгі су тазарту жүйесін қажетті химиялық құраммен камтамасыз етіп, судың мөлдірігін сақтап отырады. Функционирование Океанариума поддерживается уникальной системой жизнеобеспечения, состоящей из 11 километров труб, материал которых абсолютно безвреден для жизнедеятельности рыб, 34-х мощных насосов и 6-ти песочных фильтров, емкость каждого из них — 200 тысяч литров, а также системой очистки воды, обеспечивающей необходимый химический состав и прозрачность.

Океанариум развлекательного центра «Думан» — первый и единственный в СНГ. Это единственный в мире Океанариум, удаленный от океана более чем на 3000 километров. Емкость океанариума составляет 3 миллиона литров воды. Для создания флоры, приближенной к естественной, концентрация морской соли должна составлять 4%. Сколько тонн морской соли понадобилось для достижения The Oceanarium is supported by a unique life такой концентрации? Oceanarium “Duman” is the first and the only of its kind in the CIS. This is a unique aquarium, which is more than 3000 kilometers away from the nearest ocean. The Aquarium’s capacity is 3 million gallons of salt water. How many tons of sea salt were necessary to achieve a concentration of 4%? 27

support system, consisting of 11 kilometers of pipes made from material which is completely harmless for fish. There are 34 high-power pumps and 6 sand filters. The capacity of each is 200 000 liters. The essential chemical balance and water transparency are provided by water purification systems.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Шешуі 72-бетте Решение на 72 стр. Solution on 72 page

Океанариум екі үлкен аквариумнан және әртүрлі шамалы 11 аквариумы бар екі көрмеден тұрады. Океанариумның ең қызықтысы — үлкен аквариум. Оның табаны 70 метрлік туннелі бар акрилді шыныдан жасалған қозғалмалы төсеніштен тұрады. Шынының қалыңдығы 7 см. Туннельдің ені 2 м, биіктігі 3 м. Жартылай дөңгелек арканың диаметрі 2 м. Туннель үшін қанша текше метр акрилдік шыны қажет болды? Бұл есепті жеңілдету үшін туннельді 35метрден екі тіксызыққа бөліңіз. Океанариум состоит из большого аквариума и двух выставочных зон с одиннадцатью аквариумами различного размера. Самая интересная часть океанариума — большой аквариум, по дну которого проходит оснащенный движущейся дорожкой 70-метровый туннель из акрилового стекла. Толщина стекла — 7 см. Ширина туннеля 2 м, высота — 3 м. Диаметр полукруглой арки — 2 м. Сколько кубических метров акрилового стекла понадобилось для туннеля? Для упрощения решения разбейте туннель на две прямолинейные части по 35м. The Oceanarium consists of a large aquarium and two exhibition halls with eleven tanks of different sizes. The most interesting part of the Oceanarium is the large aquarium. There is a 70 meters tunnel with a moving track at the bottom. The tunnel is made of acrylic glass. The thickness of the glass is 7 cm. The width of the tunnel is 2 m and its height is 3 m. The diameter of the semicircular arch is 2 m. How many cubic metres of acrylic glass were needed to construct the tunnel? To simplify the solution divide the tunnel into two straight parts of 35m.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Астаналық цирк Столичный цирк The Circus

Астаналық цирк өзіндік сәулетімен қала келбетіне ерекше сән беріп тұр. Мұндады сәулет онерін жоғары техникалық дәрежеде жүзеге асыру, ішкі құрылғылардың эргономикасы және инфрақұрылым өзара үйлесім тапқан. Арена диаметрі 13 метрді құрайды. Цирк күмбезінің акробаттық ұшу құрылғысы, лазерлі шоу құрал-жабдықтары, мұз алаңына айнала орналасқан манеж-трансформерлер цирк өнерінің жаңа заманғы талаптарына сай жарақталған. Аренадағы әсерлі көріністі бір мезетте екі мыңнан астам адам тамашалай алады.

Автор проекта — архитектор Толеген Абдильда — со своими сотрудниками создал уникальное здание цирка, выполненное в виде «летающей тарелки». Открытие Столичного цирка состоялось 14 декабря 2005 года.

Сәулетші Төлеген Әбділда өз қызметтестерімен «ұшатын тәрелке» пішінді бірегей цирк ғимараты жобасының авторы атанды. Астаналық цирк 2005 жылдың 14 желтоқсанында ашылды.

Столичный цирк благодаря своей «космической» архитектуре заметно выделяется на городском фоне. Здесь уникально все: архитектурная мысль, ее высокотехнологичное воплощение, эргономика внутреннего устройства, расширенная инфраструктура. Диаметр арены составляет 13 метров. Она оснащена в соответствии с требованиями современного циркового искусства: устройство для акробатических полётов под куполом цирка, оборудование для лазерного шоу, манеж-трансформер, способный превратиться в ледовое поле. Посмотреть красочное действо на арене одновременно могут около двух тысяч человек. 29

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

The capital Circus with its cosmic architecture attracts people. Everything is unique here: the architectural idea, its high-tech embodiment, ergonomics of internal device, and the expanded infrastructure. The diameter of the arena is 13 meters. Its equipment meets the requirements of modern circus art: a device for acrobatic flying under the big top, equipment for laser shows and convertible manege that can turn into an ice field. Around 2,000 people can enjoy the performance.

Шешуі 73-бетте Решение на 73 стр. Solution on 73 page

50 метрлік биіктіктен «Думан» ойын-сауық орталығының шеңбер түріндегі диаметрі 4,5 см, ал цирктің шеңбер түріндегі диаметрі 5 см болып көрінеді. «Думан» орталығының ең үлкен ішкі диаметрі 90м. екендігін ескеріп, цирктің ең үлкен ішкі диаметрін есептеу қажет. С высоты 50 метров здание развлекательного центра «Думан» смотрится в виде круга диаметром 4,5 см, а цирк в виде круга диаметром 5см. Требуется вычислить наибольший внешний диаметр цирка, зная, что наибольший внешний диаметр центра «Думан» составляет 90м. From the height of 50 meters the Entertainment center “Duman” looks as a circle with the diameter of 4,5 cm, while the circus — as a circle with the diameter of 5cm. It is needed to determine the maximum outer diameter of the circus if we know that the maximum outer diameter of “Duman” is 90m.

The author of the project, Tolegen Abdilda together with his colleagues, created the unique building of the circus in the form of a “flying saucer”. The opening of the circus was held on December 14, 2005.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 73-бетте Решение на 73 стр. Solution on 73 page

Манеждің диаметрі 13 м — ге тең екені белгілі болған жағдайда цирк аренасының жиегінде бір-бірімен бірдей қашықтықта тұрған 6 клоунды қалай орналастырған дұрыс. Как разместить 6 клоунов на бордюре арены цирка, чтобы они находились на одинаковом расстоянии друг от друга, если известно, что диаметр манежа цирка равен 13м? How to place 6 clowns at the border of the circus arena, so that they are at the same distance from each other? We know that the diameter of the circus arena is 13 m.

Цирк ғимаратына қосымша жалғанған 4 қабатты 113 орындық қонақ үй блогы бар. Ал шаруашылық блогында цирк әкімшілігі, әртістердің киіну бөлмелері, жаттығу манежі, хайуанаттарға арналған торлы қоралар, шеберханалар мен өзге де қосалқы бөлмелер орналасқан. К зданию цирка примыкает 4-х этажный гостиничный блок на 113 мест. Имеется также административно-хозяйственный блок, в котором размещены администрация цирка, артистические уборные, тренировочный манеж, вольер для животных, мастерские и другие подсобно-вспомогательные помещения.

The four floors hotel with 113 seats is situated near the circus. The circus administration, the dressing rooms, the training arena, the open-air cage for the animals, workshops and other subsidiary rooms can be found in the administrative and service block.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Transport Tower» кеңселер ғимараты Офисное здание «Transport Tower» «Transport Tower» building

Қазақстандағы ең зәулім ғимараттардың бірі Transport Tower 2002 жылы салынған. Оның биіктігі 155 метр,36 қабатты ғимарат25 метрлік мұнарадан тұрады. Ғимаратта Транспорт және Коммуникация, Индустрия және сауда министрлігі орналасқан. ТМД елдері бойынша ең биік кеңселер ғимараты құрылымы мен жобасын жасау барысында жаңа шешімдер қабылданып, Қазақ құрылыс сәулет және сейсмология ғылымизерттеу институтымен бірлескен бірнеше рет арнайы есептеулер мен сынақтар өткізілді. Жобалаушы мамандар ғимараттың биіктігін ескере отырып, іргетасқа түсетін салмақтан ғимараттың тербелісін ерекше мұқияттылықпен зерттеді. Ғимаратта Көлік және Коммуникация, Индустрия және Сауда министрліктері орналасқан.

При строительстве «Transport Tower» впервые в Казахстане были применены буронабивные сваи с опорой на скалы, находящиеся глубоко под землей. Сваи бурили до скалы, которая обнаружилась примерно на 12–13-метровой глубине, а затем бетонировали их с применением высокопрочных бетонов.

«Transport Tower» ғимаратын салуда Қазақстанда алғаш рет бұрғы салынған қада пайдаланып, жердің 12-13 метрлік тереңдігінде тастақты жер ұңғыланып,одан кейін жоғары сапалы бетонмен қапталды.

Здание «Transport Tower» построено в 2002 году и является одним из самых высоких зданий Казахстана, его высота достигает 155 метров. 36-ти этажное здание завершает 25-ти метровая башня. Строительство такого высокого здания потребовало принятия новых решений при расчете конструкций и проектировании, поэтому был проведен ряд испытаний, а также специальных расчетов, которые осуществлялись совместно с Казахским научно-исследовательским институтом сейсмостойкого строительства и архитектуры. Учитывая, что здание высотное, специалистам-проектировщикам необходимо было особенно тщательно рассчитать нагрузки на фундамент, на здание, его колебания. В офисном здании размещены Министерство Транспорта и Коммуникаций, а также Министерство Индустрии и Торговли. 32

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The “Transport Tower” was built in 2002 and it is one of the highest buildings in Kazakhstan. Its height with a spire is 155 m. The 36-storey building is crowned with the 25 meters high tower. The tallest office building in the CIS “Transport Tower” necessitated the adoption of new solutions for the analysis of structures and design. Therefore, the company had to ask permission from the Construction Committee and undertook a series of tests and special calculations that were carried out jointly with Kazakh State Research and Experimental Design Institute on Earthquake Engineering and Architecture. Given that it was a high-rise building, professional designers should have been particularly careful when calculating the load of the building on the foundation and its variations. The building accommodates the Ministry of Transport and Communication and the Ministry of Industry and Commerce.

When building “Transport Tower” for the first time in Kazakhstan the bored piles were applied. The piles were drilled down towards the rock that was discovered at the depth of 12-13 meters. Then they were placed with the extra strong concrete.

Ғимараттың қасбетін әрлеуде қолданылған португалдық қызғылт түсті әйнек тек әдемілікті ғана мақсат тұтпай, сонымен қатар көк тіреген құрылысқа қойылатын талаптарды да қанағаттандырды.Ол арнайы қыздырылған және жылу жоғалтпау үшін көзге көрінбейтін Lom-E балқытылмасымен қапталған. Бұл жылу жоғалтуды 15-20% үнемдейді.

Шешуі 74-бетте Решение на 74 стр. Solution on 74 page

«Transport Tower» ғимаратының биіктігі 155 м екенін ескере отырып, берілген нүктеден осы ғимаратқа дейінгі ара қашықтықты табыңыз. Зная, что высота здания «Transport Tower» равна 155м, оцените расстояние от некоторой точки до этого здания. Knowing that the height of the building “Transport Tower” is equal to 155m, estimate the distance from some point to this building. 33

Розовое португальское стекло, использованное в отделке фасада здания, не только красиво, но и удовлетворяет требованиям, предъявляемым к этому материалу при строительстве небоскребов. Оно специального каления и для уменьшения теплопотерь покрыто невидимым глазу напылением Low-E. Такое напыление позволяет экономить теплопотери в среднем на 15-20%. Pink Portuguese glass that covers the building facade, is not only beautiful, but meets the requirements posed to the materials used in the construction of skyscrapers. It is of special incandescence and it is covered with the invisible Low-E coating to reduce the heat loss. Such coating allows to save heat loss by 15-20%.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Эталон орталығы Эталонный центр Center of Measurement Standards

Эталон орталығының ғимараты геометриялық пішіні жағынан қарапайым, әрі көркем — куб пішіндес болып келеді. Осы 8 қабаттық ғимаратта 76 бірліктегі 10 зертхана және эталон жабдықтары орналасқан. Мемлекеттік эталондар өз алдына жаңа технологиялар мен ғылыми-техникалық зерттеулерде қолданатын бірегей физикалық құрал немесе қондырғылар ұсынады. Біз бұрын уақыт тұтынушылары ретінде осы заманғы техниканы меңгерген өзге мемлекеттерді бағдарға алатынбыз. Ал бүгінде Қазақстан аймақтағы жалғыз дәлме — дәл уақыттың экспорттаушысына айналды. Өлшем эталоны қызметін телерадио компаниялары, транспорт саласы, жаңа өнеркәсіптік технология технопарктері, ғарыш саласы, қорғаныс кешендері және т.б.пайдаланады. Астаналық эталон орталығы — Орталық Азия ғана емес, бүкіл ТМД елдерінің ішінде барлық халықаралық талаптарға сай келетін әзірге жалғыз ерекше орталық. Эталонный центр был открыт 12 декабря 2006 года. Центр построен по заказу Комитета по техническому регулированию и метрологии Министерства индустрии и торговли РК. Стоимость проекта составляет 2,3 млрд. тенге.

Эталон орталығы 2006 жылы 12 желтоқсанда ашылды. Эталон орталығы ҚР Индустрия және Сауда министрлігінің техникалық қадағалау және метрология комитеті тапсырысымен салынған. Жобаның құны 2,3 млрд. теңге.

Здание Эталонного центра имеет строгую и в то же время изящную геометрическую форму — форму куба. В этом современном 8-этажном здании располагаются 10 лабораторий по 76 единицам эталонов и эталонного оборудования. Государственные эталоны представляют собой уникальные физические приборы или установки, при создании которых применяются новейшие технологии и научно-технические разработки. Прежде мы, как потребители времени, ориентировались на другие страны, обладающие современной техникой измерения. Теперь Казахстан сам стал «экспортером» точного времени, пока единственным в регионе. Основными потребителями измерительной информации являются телекоммуникационные компании, транспорт, технопарки с новыми промышленными технологиями, космическая отрасль, оборонный комплекс и др. 34

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The construction of Center of Measurement Standards has an austere and at the same time a graceful geometric cube form. This modern 8–storey building has ten laboratories according to seventy–six reference standards and equipments. National reference standards represent unique physical devices and equipments, where up-to date technologies and research developments are applied. Previously, our country focused on other states measuring techniques. Nowadays, Kazakhstan has become the only country which can be considered as “an exporter” of accurate time in the whole region. Telecommunication companies, transport system, techno parks, space industry, defense complex as well as other industries can be concerned as the main users of measurement information.

Шешуі 75-бетте Решение на 75 стр. Solution on 75 page

Ер Төстік пен сиқырлы алма ең үлкен қашықтықта болатын кубтың қарама-қарсы төбелерінде орналасқан (суретті қара). Ер Төстік алмаға кубтың үстімен қысқа жолмен қалай жете алады? Егер кубтың қыры а-ға тең болса, Ер Төстік жүрген жолдың ұзындығы қандай? Ер Тостик и волшебное яблоко находятся в противоположных (наиболее удаленных) вершинах куба (см. рисунок). Как кратчайшим путем Ер Тостик может добраться до яблока по поверхности куба? Какова длина маршрута Ер Тостика, если ребро куба равно а? Er-Tostik and a magic apple are in the opposite (furthest) vertices of the cube (Fig. 4). How can Er-Tostik get to an apple by the surface of the cube using the shortest route? What is the length of the route if the cube’s edge is equal to an a? 35

The Center of Measurement Standards was opened on December 12, 2006. The center was built by the order of the Committee for Technical Regulation and Metrology of the Ministry of Industry and Trade. The cost of the project is 2.3 billion tenge.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Kazyna Tower» кеңсе ғимараты Офисное здание «Kazyna Tower» Kazyna Tower

Министрліктер үйімен түйісіп тұрған күмбездері алтындай жарқыраған кеңсе ғимараты «Қазына-Тауэр» деп аталады. Мұнда «Қазына» тұрақты дамыту қоры» АҚ және дамыту институттары орналасқан. 21 қабатты нысанның жалпы ауданы 17,5 мың шаршы метр. Бұл құрылыс осы заманғы «ақылды үй» концепциясына сай. Сонымен қатар біртіндеп электронды құжаттар айналысын жасайтын, ішкі интранетті, жобаларды басқарудың ақпараттық жүйесін, қаржылық және интерактивті қызмет көрсететін электронды «Қазынаның» «зияткерлік құрылысына» айналуда.

Две золотые башни придают административно-деловому комплексу «Дом министерств» монументальность и завершенность. Очертания этих зданий ассоциируются с головным убором Золотого человека, олицетворяющего истоки и возрождение государственности и независимости казахского народа.

Жарқыраған алтын тектес қос күмбез «Министрліктер үйі» іскерлік кешеніне айбын беріп тұр. Бұл ғимараттар кескіні қазақ халқының мемлекеті мен тәуелсіздігінің жаңаруын және қайнар көзін бейнелейтін Алтын адамның бас киімін елестетеді.

Золотистые башни, примыкающие к Дому министерств — офисное здание «Казына-Тауэр». Здесь разместились АО «Фонд устойчивого развития «Казына» и институты развития.

The golden towers adjacent to the House of Ministries are called “Kazyna Tower”. It is an official building of the JSC “National Welfare Fund “Samruk-Kazyna” and development institutes. The total area of the 21-storey building is 17.5 thousand square meters. The building meets the modern concept of a “smart house”. It is being gradually transformed into the concept of an “intelligent building and electronic “Kazyna”. This will develop an electronic document flow, the internal Intranet, as well as more complex information systems to manage projects, finance, and interactive services. 36

Two golden towers give the administrative business complex the “House of Ministries” monumental and complete look. The contour of the buildings resembles the headdress of the Golden Man who represents the origin and rebirth of the national identity and independence of Kazakh people.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 75-бетте Решение на 75 стр. Solution on 75 page

«Қазына-Тауэр» кеңсесінде жұмыс істейтін қызметкер өзін жайлы сезінеді. Интеллектуалды автоматтандыру арқылы ғимараттың бүкіл инженерлік жүйесі басқарылып, температураны, ылғалдылықты, кабинеттерге жарық түсіруді әркімге өз қалауы бойынша таңдап алуға мүмкіндік беріліп, қауіпсіздігі қамтамасыз етіледі.

«Қазына-Тауэр» ғимаратының құрылысы қиық конус тәріздес, оның табандарының диаметрлері сәйкесінше 33 м және 22 м, ал биіктігі 97 м, ал эталон орталығы орналасқан мекеме құрылысының ғимараты — қыры 30 м болатын куб. Он үш адамнан тұратын қызмет көрсетуші альпинистер тобын аймақтағы жұмыс бір уақытта аяқталатындай етіп, Эталон орталығы мен Любой сотрудник в офисе «Казына-Тауэр» «Қазына-Тауэр» ғимаратының сыртын жуу үшін қалай бөлуге бо- может чувствовать себя комфортно. Интеллектуальная автоматика управляет всеми лады? Жұмысшылардың өнімділігін бірдей деп есептеу қажет. Здание «Казына-Тауэр» представляет собой усечённый конус, диаметры оснований которого равны 33м и 22м, высота — 97м, а здание эталонного центра — куб с ребром 30м. Как распределить бригаду промышленных альпинистов из тринадцати человек для мытья поверхностей зданий Эталонного центра и «Казына-Тауэр», чтобы работа на участках была выполнена за одинаковый промежуток времени? Производительность рабочих считать одинаковой. “Kazyna Tower” building is a 97m high truncated cone with the radii of bases 33m and 22m.The building of the National Center of Accreditation is a cube with the edge of 30m. How should we distribute the team of 13 industrial climbers to clean the surface of National Center of Accreditation and “Kazyna Tower”, so that the work at both buildings will be completed in an equal period of time? The workers are assumed to have similar productivity.

инженерными системами в здании, что позволяет человеку централизованно устанавливать комфортные для себя условия: температуру, влажность, освещенность в комнатах, зонах и обеспечивает безопасность. Every worker in “Kazyna Tower” can feel comfortable. Intelligent Automation manages all engineering systems of the building: it allows the personnel to regulate temperature, humidity, lighting, and security.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Қазақстан Темір Жолы» Ұлттық компаниясының әкімшілік ғимараты Административное здание Национальной компании «Қазақстан Темір Жолы» Administrative Building of the National Company «Kazakhstan Temir Zholy»

«Қазақстан Темір Жолы» Ұлттық компаниясының әкімшілік мекемесі орналасқан ғимарат Астанадағы зәулім құрылыстардың бірі болып табылады. Оның биіктігі 175 метр. Ғимарат бірін-бірі толықтырып тұратын жартылай дөңгеленген екі бөліктен тұрады, пішіні 8 қабатты тік параллепипед тәріздес. Бұл құрылыстың жобасын жасау кезінде оның қауіпсіздігі басты назарда болды. Schüco жүйесін қолдану арқылы аумақтағы жел, өрт қауіпсіздіктері мен энергияны үнемдеу мүмкіншіліктері ескерілген. Здание национальной компании имеет оригинальный силуэт, образованный композиционным единством двух высотных башен, одна из которых состоит из 37 этажей, другая — из 40. Вид сверху дает картинку имиджевого знака компании.

Ұлттық компанияның 37 және 40 қабаттан тұратын қос мұнарасы өзіндік келбетімен композициялық бірлікте тұр. Ғимараттың үстінгі жағының көрінісі компанияның белгісін айқындап тұр.

Административное здание Национальной компании «Қазақстан Темір Жолы» — одно из самых высоких в Казахстане. Высота здания — 175 метров. Здание состоит из двух смещенных относительно друг друга полукруглых башен, которые возвышаются над прямоугольным 8-этажным корпусом. Большое внимание при выполнении проекта уделялось безопасности здания. Использование систем Schüco позволило построить здание, отвечающее всем требованиям по ветровым нагрузкам в регионе, пожарной безопасности и энергосбережению.

The administrative building of the National Company “Kazakhstan Temir Zholy” is one of the tallest buildings in Kazakhstan. The building is 175 metres tall. The building consists of two semi-circular towers that rise above the rectangular 8-storey pavilion. During the course of the project, considerable focus was placed on the security of the building. Using Schüco systems, it was possible to create a building that satisfies all the requirements in terms of the wind loads in the region, fire safety and energy efficiency. 38

The building of the national company has an original shape. It is composed of two highrise buildings. One of them has 37 floors, and the other, 40. The view from the top gives the image of the company’s brand logo.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 76-бетте Решение на 76 стр. Solution on 76 page

«Қазақстан Темір Жолы» ғимарат табанының ауданы дөңгелек сегмент тәріздес, оның радиусы R = 21,5 м және бұрышы α = 200°. Сегменттің ауданын табыңыздар. Основание башни здания «Казахстан Темир Жолы» имеет форму кругового сегмента радиусом R = 21,5 м и углом α = 200°. Найдите площадь сегмента. The base of the tower building “Kazakhstan Temir Zholy” has a shape of a circular segment with the radius of R = 21,5 m, and angle α = 200°. Find the area of the segment.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Северное Сияние» тұрғын үй кешені Жилой комплекс «Северное сияние» Northern Lights

«Северное Сияние» тұрғын үй кешені — сәулетшілер Одағының Халықаралық ассоциация жүлдесіне ие болған «хай-тек» үлгісіндегі аса құнды жоба. 32, 37, 42 қабаттан тұратын зәулім үйлер шынайы солтүстік шұғыласының көрінісін беріп тұр. «Северное Сияние» тұрғын үй кешенінің үш ғимараты екі қабатты стилобатпен біріктірілген, онда паркинг пен инфрақұрылымдар орналасқан. Далаға шықпай-ақ кез келген секциясына баруға болады. Ыңғайлы галереямен кез келген корпусқа өтуге мүмкіндік бар. Қасиетті жердің қуатын, арқа самалының лебін, көшпенділердің жұмбақ өмірін, күн, су және шексіз даланың ғажайып үндестігін сезініп, ерекше шабытқа бөленген авторлар осындай бірегей жобаны дүниеге әкелді. Прообразом для внешнего облика комплекса стали березы, которые растут на севере Казахстана. У них очень красивые, причудливо-изогнутые стволы. Новый жилой комплекс словно имитирует это природное явление.

Ғимараттың сыртқы көрінісі Қазақстанның солтүстігінде өсетін қайыңдарға ұқсаған. Жаңа тұрғын үй кешені табиғаттың осы бір ғажап құбылысына еліктеп тұрғандай болады.

Жилой комплекс «Северное сияние» — уникальный проект архитектора Акжайыка Сауменова в стиле «хай-тек», который получил премию Международной ассоциации Союза архитекторов. Высотные дома (32, 37 до 42 этажей) подобны воплощенным в реальность отблескам северного сияния. Три корпуса жилого комплекса «Северное сияние» объединены двухэтажным стилобатом, в котором расположились паркинг и объекты инфраструктуры. В любую секцию можно попасть, не выходя на улицу. Просторные галереи-переходы по периметру всего здания удобно связывают между собой все корпуса. Разрабатывая этот эксклюзивный проект, авторы черпали вдохновение в уникальной энергетике земли, степном ветре, жизни кочевников. Рассматривались все природные составляющие: солнце, вода, бескрайняя степь…

The residential complex “Northern Lights” is a unique project of Akzhaik Saumenov in the “high-tech” style which has won an award from the International Union of Architects. The complex features three towers of 32, 37, and 42 storeys resembling the glow of the Aurora Borealis. The high-rise portions of the complex are connected by a two-story stylobate where the parking and infrastructure facilities are located. The main advantage of the stylobate is that one could enter any building within the complex without having to step outside. When developing the project, the architects found inspiration in the unique energy of the earth, the steppe wind, and the life of nomads. All natural components were taken into account — the sun, water, and endless steppe… 40

The birches growing in the north of Kazakhstan became the prototype for the external appearance of the complex. The birches have very beautiful and fancifully curved trunks. The new residential complex imitates this natural phenomenon.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 76-бетте Решение на 76 стр. Solution on 76 page

Екі бала бір уақытта 32 және 37 қабатты үйлердің лифтісімен көтеріліп, бірден төмен түсті, осыны бірнеше рет қайталады. Қай кезде екі бала бірдей биіктікте болады? Два мальчика начали одновременно подниматься на лифтах 32-х и 37-и этажных домов и сразу же спускаться вниз, и так может повторяться несколько раз. Когда оба мальчика вновь окажутся на одной и той же высоте? Two boys simultaneously entered the elevators to go up the 32 and 37-storey buildings respectively. As soon as they reached the last floors they immediately went down. They did it several times. When would the two boys find themselves at the same height once again?

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Изумрудный квартал» әкімшілік кешені Административный комплекс «Изумрудный квартал» The Emerald Towers

«Хай-тек» сәулетінің ерекше үлгісіндегі жасалған «Изумрудный квартал» әкімшілік кешені қала көркіне көрік қосып тұр. Жоба атауы жайдан-жай пайда болған жоқ. Әкімшілік кешеннің қасбетін қаптау үшін сәулетшілер көк жасыл және сұр шыныларды таңдады. Ғимараттың ерекшелігі — 32 қабаттан бастап әр қабаттың көлемінің ұлғая түсетіндігінде. Бірте-бірте ауытқудың әсерінен ғимарат ассиметриялана береді. Оның жоғарғы жақ бөлігінің ауытқуы 15 метрді құрайды. Бұл ассиметрия ғимаратқа ерекше әдемілік пен әсемдік беріп тұр. Елорданың күшті желінің салмағы жобалаушыларға қабылдаған конструкциялық үлгіні асқан ыждағаттылықпен зерттеуді міндеттеді. Канадалық инженерлер жоба сынағын аэродинамикалық құбырда өткізді. Әкімшілік жаңа орталық қала өмірінің қазіргі заманғы талаптарына сай келеді. Бұл жерде бір уақытта 15 мың адам жұмыс істей алады.

«Изумрудный квартал» — композиция из трех высотных зданий — 37, 43 и 54 этажа, одно из которых (210 метров) входит в число самых высоких строений на территории СНГ. Концепция комплекса разработана всемирно известным архитектором Роем Варакалли и фирмой Zeidler Partnership Architects (Канада)

«Изумрудный квартал» композициясы зәулім 37,43 және 54 қабаттан тұрады, оның бір ғимараты (210 м) ТМД елдері аумағындағы ең биік құрылыс болып саналады. Кешеннің концепциясын әлемге әйгілі сәулетші Рой Вараккали мен Zeidler Partnership Architecships (Канада) фирмасы жасады.

Административный комплекс «Изумрудный квартал» привлекает внимание необычной архитектурой в стиле «хай-тек». Название проекта появилось не случайно. Для облицовки фасада административного комплекса архитекторы выбрали стекла изумрудного и серого цветов. Уникальность зданий заключается в том, что, начиная с 32 этажа, площадь каждого последующего этажа увеличивается. Постепенно отклоняясь, здание становится ассиметричным. Отклонение верхней части здания составляет 15 метров. Эта ассиметричность придает зданию особую красоту и изящество. Сильные ветровые нагрузки в Астане обязали проектировщиков проводить тщательный анализ принятой конструктивной схемы. Канадские инженеры провели значительное количество испытаний проекта в аэродинамической трубе. Новый административный центр отвечает всем требованиям современной деловой жизни города. Здесь одновременно могут работать до 15 тысяч человек. 42

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The administrative building “Emerald Towers” attracts people’s attention with its unusual and even fantastic design in the “high-tech” style. The project was not named accidentally. To clad the façade of the administrative building the architects chose glass of emerald and gray colors. From the 32nd floor onwards, the area of each subsequent floor increases. Gradually deviating, the building becomes asymmetrical. The deviation of the upper part of the building is 15 meters. This asymmetry makes the building especially beautiful and elegant. Because of the strong winds in Astana, the designers were obliged to undertake a thorough analysis of the adopted design concept. Canadian engineers made a considerable number of tests in a wind tunnel. The new administrative building meets all the requirements of modern business life in the city. 15,000 people can work here.

Шешуі 76-бетте Решение на 76 стр. Solution on 76 page

«Изумрудный квартал» ғимаратының биіктігі 210 м. Бұл ғимараттың төбесінде тұрған адам жерді қаншалықты алыстан барлай алады? Көкжиектің алыстығына әсер етуші физикалық факторларды ескермеуге болады. Высота самого высокого здания Изумрудного квартала — 210 м. Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на этом здании? Физические факторы, влияющие на дальность горизонта, можно не учитывать. The height of the tallest tower of “The Emerald Towers” is 210m. How far can a person standing on the top of the building observe the land? Physical factors influencing the range of the horizon can be ignored.

“The Emerald Towers” building consists of three towers of 37, 43, and 54 floors. One of them (210 meters high) is one of the tallest buildings in the CIS. The complex was designed by the world renowned architect Roy Varacalli and the company “Zeidler Partnership Architects (Canada).”

Ғимараттың өзгеше пішініне қоса салмағы да едәуір болып келеді. 210 метрлік мұнараның көк тіреген салмағы 186 мың тонна. «Изумрудный квартал» кешені тереңдігі 20 метр болатын қадаға орнатылған және қалыңдығы үш метр болатын тақтадан құралған мықты іргетастан тұрады. Помимо необычной формы здание обладает солидным весом: 210-метровая башня самого высокого небоскреба весит 186 тысяч тонн. «Изумрудный квартал» установлен на сваях глубиной до 20 метров и мощном фундаменте, состоящем из плиты трехметровой толщины. “The Emerald Towers” are not only unusual, but also massive. The 210-meters high building weighs 186 thousand tons. “The Emerald Towers” are established on a 3 meters thick foundation.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Санкт-Петербург» іскерлік-сауда орталығы Торгово-деловой центр «Санкт-Петербург» Business and Trade Center «Saint Petersburg»

«Санкт-Петербург» іскерлік-сауда орталығы елорда орталығында орналасқан. Цилиндрлік пішінінің мәнерімен өңделген материалдардың өзара үйлесім табуы ғимараттың даралығын айқындайды.

Торгово-деловой центр «Санкт-Петербург», выстроенный в стиле «хай-тек», органично вписывается в общий ландшафт административного центра города. Общая площадь 21-этажного здания комплекса составляет около 20000 м2.

«Хай-тек» үлгісінде салынған «СанктПетербург» іскерлік-сауда орталығы қаладағы әкімшілік орталығының жалпы көрінісіне сән беріп тұр. 21 қабатты ғимараттың жалпы ауданы 20000 шаршы метрді құрайды.

Торгово-деловой центр «Санкт-Петербург» расположен в самом центре деловой части столицы. Строгая выразительность цилиндрической формы и контрастная игра отделочных материалов подчеркивают индивидуальность здания.

The Business and Trade center “Saint Petersburg” is located in the heart of the administrative part of the capital. The strict cylindrical shape of the building and contrasting finishing materials highlight the uniqueness of the building. Wide sidewalks, original street lamps, flowers and landscape design make the building look neat and appealing. 44

The Business and Trade center “Saint Petersburg” with its “high-tech” style matches the landscape of the administrative center of the city. The total area of the 21-storey building is about 20000 square meters.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 77-бетте Решение на 77 стр. Solution on 77 page

Мереке күндерінде қасбетті жарықпен безендіруге ішкі түрлі-түсті жарық диодтары бар пластикалық түтігі «дюралайт» шырағданы жиі қолданылады. Айталық, осындай түтіктің тура сызықтық кесіндісі «Санк-Петербург» бизнес-орталығының қасбетінің цилиндрлі бөлегінің үш нүктесіне бекітілген. Түтіктің тік орналасқанын дәлелдеңіз. Для светового оформления фасадов в праздничные дни часто используют светильники «дюралайт», представляющие собой пластичные трубки с находящимися внутри цветными светодиодами. Допустим, что прямолинейный отрезок такой трубки закрепили в трех точках на цилиндрической части фасада бизнес-центра «Санкт-Петербург». Докажите, что трубка расположена вертикально. To light the facades during the holidays “duralight’ lamps are normally used. These are plastic tubes with colored LEDs inside. Let’s assume that a line segment of such a tube was fixed at three points on the cylindrical part of the business center façade. Prove that the tube is set in a vertical position.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Мёбиус лентасы Лист Мёбиуса Mobius strip

Қала ішінде орналасқан ерекше мүсін Мёбиус лентасы айналдырылған сақина пішінді. Бұл сақинаға аса бір қызығушылықпен қарайсың. Оның беті біржақты, бір жағынан екінші шетіне қиылыспай кете береді. Мёбиус лентасы шексіздіктің символы болып есептелінеді. Көптеген суретшілер, мүсіншілер, сәулетшілер өздерінің шығармаларын осы тамаша математикалық нысанға арнаған. Астанада Ұлттық кітапхана ғимаратының құрылысы жоспарлануда. Сәулетшілердің пайымдауынша, Мёбиус лентасына төрт пішін: дөңгелек, ротонд, доға және киіз үй біріктірілген. Ғимараттың жалпы ауданы 33 мың шаршы метр. Оның айналасында саябақ болады. Кітапхана көпфункционалды интеллектуалды мәдениет орталығы болады. Автора скульптуры «Лента Мёбиуса», архитектора, изобретателя и художника Сакена Нарынова интересуют так называемые односторонние тела и поверхности, какими являются известные лист Мёбиуса и бутылка Клейна. Нарынов гениально соединяет в своих творениях раздел математики-топологию, изучающую свойства фигур, с архитектурой, скульптурой, дизайном и скульптурной символикой. Именно топология дает ему пищу для философских размышлений и вдохновляет на новые творения.

«Мёбиус лентасы» мүсінінің авторы, сәулетші, өнертапқыш, суретші Сәкен Нарыновты біржақты денелермен қоса Мёбиус лентасы мен Клейн шынысы сияқты сыртқы бейнелер қызықтырады. Нарынов өз туындыларында топологияны сәулет, мүсін өнерімен, дизайнмен, мүсін символикасымен ғажап үндестіре білді. Топология философиялық ой қорытуға және жаңа туындылар тудыруға мүмкіндік береді.

Одна из скульптур, установленных в городе, имеет форму листа Мёбиуса — перекрученного кольца. Такое кольцо обладает любопытным свойством: его поверхность односторонняя. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лист Мёбиуса часто считают символом бесконечности. Многие художники, скульпторы, архитекторы посвятили свои творения этому красивому математическому объекту. В Астане планируется строительство Национальной библиотеки, здание которой, по замыслу архитекторов, объединит в лист Мёбиуса четыре формы — круг, ротонду, арку и юрту. Общая площадь здания составит 33 тыс. кв. м. Вокруг него будет разбит парк. Библиотека будет служить в качестве интеллектуального многофункционального культурного центра.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

One of the sculptures, established in our city, has the form of Mobius strip, i.e. the form of twisted circle. It owns an interesting feature: the surface of the ring is one-sided which means that you can get from one side of the surface to any other side without crossing the edge. The Mobius strip is considered as a symbol of perpetuity. Lots of artists, sculptors and architects devoted their masterpieces to this beautiful mathematical object. The construction of the National Library, which is planned to be built in Astana, will unite four forms into a Mobius strip — the circle, the rotunda, the arch and the yurta. The total area will occupy 33,000 square metres and will be surrounded by a park. The library will serve as an intellectual, multifunctional and cultural center of Astana.

The author of the monument, a famous architect, the artist and inventor Saken Narynov, is interested in the so-called one-sided figures and surfaces, such as the Mobius strip and the Klein bottle. In his inventions, Narynov skillfully joins mathematical topology with architecture, sculpture, design and sculptural symbolism. This topology gives him food for philosophical meditations and inspiration for new creations.

22 Ені 5 см Мёбиус лентасын дайындаңыз. Егер оны 1, 2, 3, 4 см болатындай етіп, көлденеңінен қисақ, не болады? Екі сақинадан тұратын бірі жай, екіншісі дөңгеленген шынжырды дайындаңыз. Екеуін де көлденеңінен қиыңыз. Қию нәтижесі қандай болды? Қағаздан солдат қиып алыңыз. Мёбиус лентасының ортасындағы пунктир сызықтардан өткізіңіз. Солдат бастапқы орнына қандай түрде келеді? Склейте лист Мёбиуса шириной 5 см. Что получится, если разрезать его вдоль, отступив от края сначала на 1см, затем на 2 см, на 3 см, на 4 см? Приготовьте цепь из двух колец: одно простое и одно перекрученное. Разрежьте оба вдоль. Каков результат разрезания? Вырежьте из бумаги солдатика и отправьте его вдоль пунктира, идущего по середине листа Мебиуса. В каком виде солдатик вернется к месту старта? 1) Glue a 5cm wide Mobius strip. What happens if we cut along it, leaving 1cm from the edge, then 2cm, 3cm, 4cm? 2) Make a chain of two rings, one normal and one twisted. Then cut both of them along. What is the result of the experiment? Cut a small soldier out of paper and move it along the dotted line which is in the middle of Mobius strip. In what position will the soldier come to the starting place?

Нарынов топологиямен шұғылданатын американдық оқымысты Эйнштейн Мартине Гарднерге хат жазып, көп ұзамай жауап алады. – Сіз бұл мәселеге басқалардан ерекше ден қойыпсыз, — деген американдық ғылымның сөзі Нарыновқа ой салды. Содан бері сәулетші заттың біржақты бетіне ғана тәжірибе жасаумен айналысып жүр. Соңғы он жылда Сакен Нарынов елімізде және шетелде мойындалған 20-дан астам көркем-сәулет композициясын жасады. Однажды, узнав об американском ученом, последователе Эйнштейна Мартине Гарднере, тоже увлекающемся топологией, Нарынов написал ему письмо и вскоре получил ответ. — Вы так заглянули в эту проблему, как никто, — отмечал в нем Гарднер. Нарынова это вдохновило. С тех пор мастер не перестает экспериментировать с односторонними поверхностями. В последние десять лет Сакен Нарынов создал более 20 художественноархитектурных композиций, получивших широкое признание как в нашей стране, так и за рубежом. Once Saken Narynov learned about Martin Gardner’s interest in topology, he wrote Gardner a letter. In his reply, Gardner pointed out, “You have looked into this problem as no one else.” These words inspired Narynov and since that time the master has been experimenting with one-sided surfaces. In the last 10 years Saken Narynov has created more than 20 architectural constructions which are widely recognized in our country as well as abroad.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

i Мёбиус лентасы «күтпеген математикалық» есепке жатады. Аңыз бойынша Мёбиус лентасының пайда болуына қызметші әйелдің лентаның соңғы ұштарын дұрыс қоспай асығып тігуі себеп болыпты. Қалай десе де, 1858 жылы астроном әрі геометр, К. Ф. Гаусстың шәкірті, лейпциг профессоры Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) Париж ғылым академиясына осы ақпарат туралы жұмысын жібереді. Жеті жыл бойы өз еңбегінің нәтижесін ала алмаған ол ақыры жұмысын баспаға ұсынады. Мёбиуспен бір мезгілде бұл парақты К. Ф. Гаусстың екінші шәкірті Геттингенс университетінің профессоры Иоганн Бенедикт Листинг (1808–1882) ойлап тапты. Ол өз жұмысын Мёбиустан үш жыл бұрын 1862 жылы жариялады. Мёбиус бетінің бір жақтылығына көз жеткізу қиын емес. Оны кез келген жерінен бастап бір түске бояйтын болсақ, толық боялатынын көруге болады. Егер жай ғана сақинаны орта сызығынан екіге бөлсек, одан екі сақина алуға болады. Ал Мёбиус жапырағын бөлгенде бір айналмалы сақина пайда болады. Осындай геометриялық объектілердің қасиетін математикалық ғылым топология зерттейді. Мебиус лентасы деген атауды Иоганн Листинг берді. Мёбиус лентасының бір жақтылығы техникада таспаны лента түрінде жеткізуде қолданылады. Бұл жағдайда таспалар екі есе төзімді болып, үнемдеуге мүмкіншілік береді. Мёбиус лентасының ең басты қасиеті оның математикалық зерттеулерге жол ашуы еді. Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К.Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, — в 1862 году. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Вторая неожиданность поджидает нас в тот момент, когда мы попробуем разрезать лист Мёбиуса по его средней линии. «Нормальное» кольцо при этом бы распалось на два куска, а лист Мёбиуса при этом превратится в одно перекрученное кольцо. Свойства геометрических объектов, которые не меняются при таких преобразованиях, изучает математическая наука — топология. Любопытно, что это название дал ей Иоганн Листинг. Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. 48

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

A Mobius strip can be referred as one of the “unexpected things in Mathematics.” It is said that Mobius discovered the “strip” after his maid made a mistake with the ribbon. In 1858, Professor August Ferdinand Mobius (1790 — 1868) sent his work about the strip to the Paris Academy of Science. After awaiting the results of an examining operation for seven years and, Mobius decided to publish his findings. Along with Mobius, the strip was invented by another Gauss student: Johann Benedict Listing (1808-1882), Professor of Gottingen University. Listing published his work three years earlier than Mobius, in1862. It is very easy to test whether or not a Mobius strip is one-sided. You should start by painting the strip from any place and at the end you will find out that it is fully painted. Another amazing thing happens when we cut it through the midpoint. The “normal” ring will be broken up into two parts, while a Mobius strip becomes an entire twisted circle. Topology studies the features of geometric objects that do not change under such process. It was named by Johann Listing. The peculiarity of the Mobius strip was applied in machinery; if a transmission belt is in the form of Mobius strip its surface will serve longer than a normal ring. It provides tangible cost savings. The main value of the Mobius strip is that it facilitated extensive mathematical research. 49

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Халықтар достығы» монументі Монумент «Дружба народов» Monument «Friendship of Nations»

Биіктігі 8 метр 3 қола мүсіннен жасалған субұрқақтар хауызы тостағанға ұқсас. Мүсінші Сакен Нарыновтың идеясы бойынша би үстінде шеңбер жасай айқасқан құшақ адамдардың бір-бірімен мәңгі достығын, бейбіт өмірін бейнелейді. Композицияның көп мағыналығы, философиялық тереңдігі, біркелкі атқылаған субұрқақтар көрген жандардың өмір сүруге деген құлшынысын арттырады. Монумент 2003 жылдың 1 мамырында ашылды.

Автор монумента — известнейший скульптор Сакен Нарынов, профессор Государственной архитектурной академии, архитектор, дизайнер-тополог. Фигуры, символизирующие народы Казахстана, сплелись не как-нибудь, а топологическим узлом «клеверный лист». Эти взаимоперетекающие три рукава, не имеющие начала и конца, означают долгую жизнь, бесконечность, счастье и благополучие.

Монумент авторы белгілі мүсінші, Мемлекеттік сәулет академиясының профессоры, сәулетші, дизайнер-тополог — Сәкен Нарынов. Қазақстанда тұратын ұлттарды бейнелейтін мүсіндер жайдан-жай өрілген жоқ, ол — «жоңышқа жапырақшасы» топологиялық байлам арқылы көрініс тапты. Айқасқан бұл үш құшақ ұзақ ғұмырды, шексіздікті, бақыт пен амандықты меңзейді.

Монумент представляет собой чашу, бассейн с фонтанами, в центре которого на постаменте располагается бронзовая скульптура из трех пересекающихся фигур высотой 8 метров. По замыслу автора Сакена Нарынова, взаимосвязанные ветви символизируют сплетение, пожатие рук, узы дружбы, клятву в защите друг друга, мир и согласие. Многозначность композиции, глубокий философский смысл, загадочность сплетений рук, ровные ряды бьющих фонтанов вызвают у зрителя ощущение радостной устремленности ввысь, желание изменить жизнь к лучшему, жить в дружбе и согласии. Открытие монумента состоялось 1 мая 2003 года. The monument “Friendship of Nations” is a large “bowl” with the fountains, in the middle of which there is an 8 meters high bronze statue of three intersecting figures. According to the author’s idea, the interconnected branches symbolise handgrip, friendship, oath to protect each other, peace and harmony. The polysemy of the composition, deep philosophical meaning, mysteriousness of the tangled arms, and even the rows of fountains make the spectators feel the desire to change their lives for the best, to live in peace and harmony. The opening ceremony of the monument was held on May 1, 2003. 50

The author of the monument — the famous sculptor Saken Narynov — is a professor of the State Academy of Architecture, designer and topological scientist. The figures, symbolizing the nations of Kazakhstan, interlaced in a topological knot called a “cloverleaf”. These three interflowing arms without any beginning or ending represent long life, eternity, happiness and prosperity.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

i Бұл мүсін Борромео сақинасын еске түсіреді: бір-біріне кіріктірілген, қалған екеуі қапсырылмаса да ажырамайтын үш сақинадан тұрады. Ертеде олар Норманд, Бургун және Ломбард нәсілінің ұрпақтарының негізін қалаушыларды таңғалдырғаны соншалықты, олар осы үш сақинаны елтаңбаларына енгізген. Милан қаласының ежелгі итальян ұрпақтары, Борромео ұрпағының жауынгерлері үш бүктелген сақинаны киімдеріне таққан, сондықтан бұл сақиналарды Борромео сақинасы деп атап кеткен. Неге Борромео сақинасы шешілмейді? Осы сақиналарды майысқақ сымнан немесе жіптерден жасайық. Қандай да бір екі сақинаны алып (мысалы, сары және көгілдір) бір-біріне бүктемей үйлестірейік (6 сурет). Сонда үшінші (қызғылт) сақина бүктеледі де, екі қапсырма жасайды. Бұл қапсырма сары сақинаға орнатылған, ал көгілдір сақина сары сақинадан қапсырманың шығып кетпеу қызметін атқарады. Сақинаның біреуін үзіп алсаң — барлығы шашылады! Сым сақиналардың мәндестігі, егер олар бір — бірімен қапсырылмаса, демек,бір-бірінен ажыратылған болса (оларды бүктеуге және қозғауға болады, тек жыртуға болмайды), онда сым сақиналар тривиалды қапсырма жасайды. Сонымен Борромео сақинасы қапсырылса, басқа сақинадан босауы тривиалды қапсыруға әкеледі. Егер сақиналарды қатарлап орналастырса, бірнеше сақиналар қапсырмасын осы қасиеттер бойынша жасауға болады. Қатар — қарапайым және белгілі қапсыру, дегенмен басқа да түрлері болуы мүмкін. Қарапайым шынжырға қарағанда ұқсас шынжырлар дайындау оңай. Қарапайым шынжырдың ішкі буынын жанындағысымен біріктіру керек, ал біздің шынжырда барлық қатары (екі шеткісінен басқасы) жеке дайындалады. Сондықтан болар, бұл конструкция бұрыннан тұрмыста (есік шынжырлары) және әшекей бұйымдарын жасау үшін қолданылады.

)

) 51

Биіктігі сегіз, ені алты метрлік монумент Республика даңғылы мен Омаров көшесінің қиылысында орналасқан. Субұрқақтарда мереке күндері музыка ойнап, астынғы жағының шамдары шағылысып, мың құбылып тұрады.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Эта скульптура напоминает кольца Борромео: три кольца, переплетенные между собой так, что их не расцепишь, хотя любые два из них не зацеплены. Известны они издавна — когда-то они так поразили основателей древних родов Нормандии, Бургундии и Ломбардии, что те поместили эти кольца в свои гербы. По древнему итальянскому роду патрициев из города Милана, роду Борромео, чьи воины носили на одежде нашивки из трех переплетенных колец, эти кольца и стали называть кольцами Борромео. Почему кольца Борромео не расцепляются? Изготовим их из гибкой проволоки или веревки. Выбрав какие-нибудь два кольца (например, желтое и голубое), разведем их, не изгибая, друг от друга. При этом третье (розовое) кольцо изогнется, образуя нечто вроде двойной скобы. Эта скоба вставлена в желтое кольцо, а голубое кольцо служит замком, не позволяя нам вынуть скобу из желтого кольца. Но оборвешь любое кольцо — все развалится! Будем говорить, что совокупность проволочных колец образует тривиальное зацепление, если они на самом деле не зацеплены, т. е. их можно отделить друг от друга (разрешается их гнуть и как угодно двигать, но рвать нельзя). В противном случае будем говорить, что кольца образуют нетривиальное зацепление или что они зацеплены. Таким образом, кольца Борромео, во-первых, зацеплены, а во-вторых, удаление любого кольца приводит к тривиальному зацеплению. Нетрудно изготовить переплетение любого числа колец, обладающее тем же свойством, если расположить кольца в виде цепочки. Цепочка на рисунке — наиболее естественное и известное зацепление, но возможны и другие. Подобные цепочки изготовить легче, чем обычные цепи. У обычной цепи приходится сваривать внутренние звенья, предварительно зацепив их с соседними, в то время как у наших цепочек все звенья (кроме двух крайних) изготавливаются независимо. Недаром эта конструкция издавна применяется в быту (дверные цепочки) и для украшений. This statue resembles Borromean rings — three rings are linked so that it is impossible to pull them apart although any two of them are not linked. The Borromean rings have been known for a long time — once they inspired the founders of ancient clans of Normandy, Burgundy, and Lombardy to put them in their coats of arm. The warriors of an ancient Italian clan of patricians from Milan and a Borromean clan used to decorate their clothes with three interlinked rings so lately they were called the “Borromean rings”. Why is it impossible to unlink the Borromean rings? Let’s make the rings from flexible wire or rope. Having chosen any two of them (e.g. yellow and blue), dissolve them from each other without bending 52

Монумент, высота которого восемь, а ширина — шесть метров сооружен на пересечении проспекта Республики и улицы имени Омарова. В дни праздников фонтаны работают «бегущей волной» со звучанием музыки и красивой подсветкой внизу.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The third ring (of pink colour) will bend, forming a kind of a double bracket. This bracket is inserted into the yellow ring, and the blue one serves as a lock which doesn’t let us remove the bracket from the yellow ring. If you remove any ring the entire configuration will be destroyed. It can be said that a set of wire rings form a trivial connection if they are not really linked, i.e. they can be separated from each other (they can be bent or moved, but not torn). Otherwise it can be said that the rings form a non-trivial connection or they are linked. Hence, the Borromean rings are linked and removal of one of the rings leads to the trivial connection. It is not difficult to form a configuration from several rings if you place the rings in chain. The chain in Figure 7a is the most natural and well-known chain, but other options are also possible. Such chains are easier to form than ordinary ones. To make an ordinary chain you have to weld the internal links. The rings here are interconnected. In our chain all the links (except the two at both ends) are made independently. No wonder that this configuration has long been used in everyday life (as door chains or for decoration).

The monument of 8 meters high and 6 meters wide is situated on the crossroads of Republic Avenue and Omarov Street. On holidays you can see the fountains accompanied by music and colorful illumination.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Отан қорғаушылар» монументі Монумент «Отан қорғаушылар» «Otan Korgaushylar» (Defenders of the Motherland) monument Бұл монумент — қазақстандық сәулетшілер мен мүсіншілер жасаған баға жетпес айбынды туынды. Оның ортасына Қазақстанда тұратын барлық ұлттар бірлігінің символы іспеттес 101 масақтан тұратын стела қойылған. Оң жақтағы барельефте Ұлы Отан соғысында қаза болған қазақстандық жауынгерлер, сол жағында жоңғарларды талқандаған қазақ батырлары бейнеленген. Монументтегі алтын тостаған ұстаған әйел бейнесі — бейбітшілік пен өркендеудің негізгі символы болып табылады. Монумент айналасы тұрғындардың сүйікті демалыс орны болатын саябаққа айналған.

У самого подножья монумента расположен Вечный огонь, доставленный из Алматы и являющийся частицей огня, который горит у мемориала 28 героев — панфиловцев. 9 мая 2001 года состоялась торжественная церемония открытия мемориала.

Алматыдан әкелінген 28 панфиловшылар мемориалында жанып тұрған алаудың бөлшегі болып табылатын монументтің етегіндегі Мәңгілік алау жанып тұр. Монумент 2001 жылғы 9 мамырда ашылды.

Это творение группы казахстанских архитекторов и скульпторов считается одним из самых красивых и величественных монументов. В центре расположена стела, состоящая из 101 колоса, она является символом единства всех наций, проживающих в Казахстане. На барельефе справа изображены воины-казахстанцы, погибшие на фронтах Великой Отечественной, слева — казахские батыры, разгромившие джунгар. Фигура женщины, держащей золотую чашу, — символ мира и процветания — является центральной фигурой монумента. Вокруг монумента разбит парк, который стал одним из любимых мест отдыха горожан.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

The monument is considered to be one of the magnificent monuments created by a group of Kazakhstani architects. The central figure of the monument — is a woman. She holds a golden bowl which symbolizes peace and prosperity. A 24-meter arrow, consisting of 101 ears, is a symbol of the unity of all nations living in Kazakhstan. On the right side of bas-relief there are Soviet soldiers, on the left side –a Kazakh Batyr who had defeated the dzhungars. Around the monument there is a park, which has become one of the favorite places for people in Astana.

Шешуі 78-бетте Решение на 78 стр. Solution on 78 page

24 метрлік «Отан қорғаушылар» мемориалы 63 тонна қоладан құйылған. Биіктігі 40 см болатын үлгіге қанша қола керек? 24-метровый мемориал «Защитники Отечества» изготовлен из 63 тонн бронзы. Сколько бронзы потребуется на изготовление ее модели высотой 40 см? A 24-meters-high monument “Defenders of the Motherland” was made of 63 tons of bronze. How much bronze is needed to manufacture its 40-cm-high copy?

The Eternal Flame at the foot of the monument was brought from Almaty. It is a part of the flame that burns at the memorial of 28 Panfilov heroes. The monument was opened on May 9, 2001

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Гранд Алатау» тұрғын үй кешені Жилой комплекс «Гранд Алатау» «Grand Alatau» residential complex

«Гранд Алатау» кешені Астананың тарихи орталығында салынған. Кешен зәулім төрт 20, 28, 38 және 43 қабатты біркелкі үлгідегі тұрғын үй ғимаратынан тұрады. Жасыл тасты төрт мұнара өзінің әсемдігімен қала сәулетіне ерекше сән беріп тұр. «Гранд Алатау» кешені — астаналық бас сәулетшілердің бірі — Шоқан Матайбековтің төл туындысы.

При строительстве комплекса «Гранд Алатау», самая высокая башня которого достигает 144 м, было прорублено 1400 свай глубиной 27 метров. Архитекторы предусмотрели практически все, даже суровые климатические особенности Астаны, в результате чего «Гранд Алатау» защищен от ветра, пыли и резких температурных колебаний.

Ең зәулім мұнарасы 144 м болатын «Гранд Алатау» кешенін салуда 27 метр тереңдікке 1400 қада қағылды. Сәулетшілердің Астанадағы климаттық жағдайдың ерекшелігін ескеруінің арқасында, «Гранд Алатау» желден, шаң-тозаңнан қорғалып, температуралық өзгерістерге төтеп беретін ғимаратқа айналды.

Комплекс «Гранд Алатау» построен в историческом центре Астаны. Сам комплекс представляет собой четыре высотных жилых здания из 20-и, 28-и, 38-и и 43-х этажей, объединенных одним стилобатом. Четыре башни бирюзового цвета имеют эксклюзивный дизайн и органично вписываются в архитектуру города. Комплекс «Гранд Алатау» — детище одного из ведущих столичных архитекторов Шокана Матайбекова.

The residential complex “Grand Alatau” was built in the historical center of Astana. The complex itself comprises four towers of 20, 28, 38 and 43 floors connected by one stylobate. The four turquoise towers have an exclusive design and fit perfectly into the architecture of the city. “Grand Alatau” residential is a brainchild of one of the prominent architects in Astana Shokan Mataybekov. 56

When constructing the residential complex, the highest tower of which is 144 meters high, 1400 piles were drilled 27 meters deep into the ground. Everything was considered by the architects, including the severe climate of Astana. Thus, “Grand Alatau” is protected from strong winds, dust and sharp climate changes.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 78-бетте Решение на 78 стр. Solution on 78 page

Құрама Штаттардағы Эмпайр-стейт-билдинг ең биік ғимарат қана емес, сонымен қатар жарыс алаңына да жатады. Осы көк тіреген 102 қабаттық ғимараттың баспалдақтарында 5 ақпанда жүгіруден жарыс өтеді Әзірлігі мықты желаяқтар 1-қабаттан 86қабатқа дейін бірнеше минут ішінде ғимараттың бір жарым мың баспалдағынан жүгіріп өтуге тиіс. Осы рекордты 2003 жылы Полом Крейк жасаған болатын. Қазіргі кезге дейін 9 минут 33 секундты әзірге ешкім өзгерте алмады. Айталық, осындай жарыс «Гранд Алатау» кешенінің ең биік 43 қабаттық ғимаратында өткізілсе, қатысушыларға бірінші қабаттан қырық үшінші қабатқа дейін жүгіріп, қайтадан түсу керек. Бұл ғимараттардың әрбір баспалдақтарының аралығы біркелкі деп есептейміз. Егер жарысқа қатысушының бір баспалдаққа көтерілу жылдамдығы 1 секундқа кем болып, керісінше, 1 — баспалдаққа түсуі рекорд жасаушыдан артық болса, Пол Крейктің рекордын қайталай ала ма? Эмпайр-стейт-билдинг — не только одно из самых высоких зданий Соединенных Штатов, но и площадка для соревнований. 5 февраля на лестницах этого 102-этажного небоскрёба проходят соревнования по бегу. Хорошо подготовленным бегунам удаётся преодолеть более полутора тысяч ступеней здания — с 1 по 86 этаж — за несколько минут. В 2003 году Полом Крейком был установлен рекорд, который до сих пор не побит, — 9 минут 33 секунды. Допустим, что такой забег проводится в самой высокой 43-х этажной башне комплекса «Гранд Алатау», но участникам нужно не только подняться с первого на сорок третий этаж, но и спуститься обратно. Будем считать, что количество ступеней каждого лестничного пролета в этих зданиях одинаково. Если Пол, участвуя в этом забег, будет подниматься со скоростью на 1 ступень в секунду медленнее, а спускаться на 1 ступень в секунду быстрее, сможет ли он повторить свой рекорд? The Empire State Building is not only one of the highest buildings in the USA but also a venue for competitions. Every year in early February a Run-up foot race is held here. The well-prepared runners have to go up 1,576 steps from the ground floor to the 86th floor. The record time is 9 minutes and 33 seconds, achieved by Australian professional cyclist Paul Crake in 2003. Let’s consider that a similar race is held in the tallest tower of “Grand Alatau” residential, but the participants have to go up to the 43rd floor and go down to the ground floor. Let’s assume that the number of steps on each stairwell of this building is the same. If one of the runners goes up 1 step per second slower and goes down 1 step per second faster than the champion Paul Crake, can he repeat his record? 57

«Гранд Алатау» кешені Есіл өзенінің жағасында астаналық саябаққа қарамақарсы орын тепкен, осы маңнан Кенесары ескерткіші, ҚР Парламенті, тіршілігі қайнаған қалалық алаң мен елорданың басқа да тарихи және сәулет ғимараттары ғажайып үндестік тапқан. «Гранд Алатау» расположен на самом берегу реки Ишим, напротив городского парка, откуда открывается прекрасный панорамный вид на памятник Кенесары, Парламент РК, оживленную городскую площадь и другие исторические и архитектурные сооружения Астаны. “Grand Alatau” is located on the bank of the Ishym river just opposite Astana park. Monument to Kenessary, Parliament of the Republic of Kazakhstan, a crowded square and other historic and architectural buildings in Astana can be viewed from this place.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Eurocenter» бизнес орталығы Бизнес-центр «Eurocenter» Eurocenter

«Eurocenter» бизнес орталығының архитектуралық шешімінің өзі ерекше: оның тік бұрыштары жоқ. Ғимараттың төменгі жағындағы екі жартылай цилиндрлердің есебінен бұрыштары «жоғалған», жоғарғы жағы бір-біріне қарай ығысқан.18 қабатты «Eurocenter» биіктігі жөнінен елордада бой түзеген зәулім ғимараттарға тең келмесе де, кемеге ұқсап, едәуір айбынды көрініп тұрады.

«Eurocenter» расположен на улице Сыганак. Сыганак — наименование города, основанного в IX веке. С начала второй половины XIII века являлся столицей Конфедерации кыпшаков и имел хорошо развитую инфраструктуру: библиотеки, торговые площади, большую мечеть...

«Eurocenter» кешені Сығанақ көшесінде орналасқан. Сығанақ — IX ғасырда салынған қаланың атауы. XIII ғасырдың екінші жартысында қыпшақтар одағының астанасы ретінде инфрақұрылымы жетілген кітапханасы мен үлкен мешіті бар қала атанған.

Бизнес-центр «Eurocenter» необычен по архитектурному решению: здание почти не имеет прямых углов. Нижняя часть здания «теряет» углы за счет разместившихся по его бокам двух полуцилиндров, в верхней части его две половинки смещаются относительно друг друга. Хотя 18-тиэтажный «Eurocenter» уступает по высоте многим зданиям столицы, выглядит он величественно, напоминая корабль.

The “Eurocenter” business center has an unusual architecture: it almost has no right angles. The lower part of the building ‘loses’ its angles due to two semi-cylinders nestled on its sides; the two halves are shifted towards each other at the top. Although the 18-storey “Eurocenter” is not the highest building in the capital city, it looks magnificent and resembles a ship. 58

The “Eurocenter” is located on Syganak Street. Syganak is the name of the city founded in the IX century. Since the beginning of the XIII century it had been the capital of Kypshak Confederation with a well-developed infrastructure.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 79-бетте Решение на 79 стр. Solution on 79 page

«Eurocenter» бизнес орталығының 16-қабатында балкон бар. (балкон суретте көгілдір түспен белгіленген), егер АВ = 15 м, r = 7 м және R = 9,55 м болса, балконның ауданын табыңыз. На 16-ом этаже здания бизнес- центра «Eurocenter» имеется балкон (на рисунке балкон выделен голубым цветом). Найдите площадь балкона, если АВ = 15 м, r = 7 м и R = 9,55 м. The 16th floor of the “Eurocenter” business center has a balcony (the balcony is highlighted blue in the Figure). Find out the total area of the balcony if AB =15 m, r = 7 m and R = 9,55 m.

Шешуі 79-бетте Решение на 79 стр. Solution on 79 page

Егер мұқият қарайтын болсақ, онда «Eurocenter» бизнес орталығының бір дәлізінің пішіні «кілт» тәрізді (суретті қараңыз). Осы дәліздің ауданын табыңыз, егер а = 3,85 м, b = 1,15 м, с = 15,3 м, d =2,4 м, R = 3,3 м. Если внимательно присмотреться, то можно заметить, что один из коридоров здания бизнес- центра «Eurocenter» имеет форму «ключа» (см. рисунок). Найти площадь этого коридора, если а = 3,85 м, b = 1,15 м, с = 15,3 м, d =2,4 м, R = 3,3 м. If you look closer, you notice that one of the corridors of “Eurocenter” takes the form of a “key” (see picture). Find out the area of this corridor if а = 3,85 m, b = 1,15 m, с = 15,3 m, d = 2,4 m, R = 3,3 m.

Сығанақ көшесінде орналасқан көптеген әсем ғимараттардың ішінде «Бейжін сарайы» бизнес орталығы, «Нұр-Астана» мешіті, «Номад» тұрғын үй кешені, «Eurocenter» орталығы өзіндік сәулеті ерекше, ең көрнекті ғимараттар қатарында. Среди множества красивых сооружений, расположенных на улице Сыганак, таких как здание бизнес-центра «Бейжін сарайы», мечеть «Нур Астана», жилой комплекс «Номад», здание «Eurocenter» — одно из самых ярких и оригинальных. Among the great number of magnificent buildings on Syganak Street, such as “Beijing Palace”, “Nur Astana” Mosque, “Nomad” residential complex, the building of “Eurocenter” is one of the brightest and most unusual.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Москва-парк» бизнес орталығы Бизнес-центр «Москва-парк» Business Center «Moscow Park»

«Москва-парк» бизнес орталығы — еуропалық және азиялық екі астананың достастығының символы іспеттес, қазіргі заманға сай, көпфункциялы кешен. Құрылымды әйнектермен өрнектелген қасбеті ғимаратқа ерекше «мөлдірлік» сипат береді. Құрылыстың сопақша сыртына қалайы декорациясымен қоршалған параболалық құрылым ерекше сән беріп тұр. Внешняя стеклянная шахта панорамного лифта высотой 112 м, соединяющего торгово-развлекательную часть комплекса, фитнес-центр, офисные и гостиничные этажи, вынесена по отношению к плоскости фасада на 6 метров. Подобная конструкция есть в мире только в одном из зданий в Токио и составляет всего 90 метров.

Биіктігі 112м панорамалық лифтінің ішкі шыны шахтасы кешеннің сауда-ойын-сауық бөлігін, кеңселік және қонақ үй қабаттарын жалғап тұр. Қасбеттердің жазықтығы 6 метрді құрайды. Осындай конструкция әлемде тек Токио қаласында бар, оның өзі 90 метрді ғана құрайды.

Бизнес-центр «Москва-парк» — современный многофункциональный комплекс, символизирующий связь двух столиц — европейской и азиатской. Исполнение фасада с использованием структурного остекления придает зданию необычный «прозрачный» характер. Овальный корпус строения украшает параболическая конструкция, к которой крепятся декоративные алюминиевые накладные элементы, опоясывающие здание.

The “Moscow Park” business center is a modern multifunctional complex symbolizing the connection of two capital cities — European and Asian. The façade with the structural glass makes the building look unusually transparent. The oval carcase of the building is decorated with a parabolic structure with decorative aluminum elements encircling the building.

The outer panoramic elevator of 112 m high, connecting the commercial and entertainment parts of the complex, fitness-center, office and hotel blocks, is brought out on 6 meters with respect to the façade surface. A similar construction can be found only in Tokyo and its height is only 90 meters.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 80-бетте Решение на 80 стр. Solution on 80 page

«Москва» сауда орталығының ауданы 1920 м2 жуық ал, үлкен осінің ұзындығы 94 м бірнеше қабатының жоспары эллипс пішінді. Табыңыз: а) эллипстің екінші осін; б) эллипстің теңдеуін; в) эллипстің эксцентриситетін; г) әр қабаттың биіктігі 3,5 м құрайтын болса, неше адам бір мезгілде сол қабатта қанша уақыт тұра алады?

Бизнес-орталықтың жалпы ауданы 75 мың шаршы метрді құрайды. Мұнда ауданы 16 мың шаршы метр кеңсе бөлмелері, 30 мың шаршы метр сауда ойын-сауық кешендері және ауданы 16,5 мың шаршы метр 200 нөмірге арналған 4 жұлдызды қонақ үй құрылысы қарастырылған.

План нескольких этажей торгового центра «Москва» имеет форму эллипса, площадь которого составляет приблизительно 1920 м2, а длина большой оси около 94 м. Найдите: а) вторую ось эллипса; б) уравнение эллипса; в) эксцентриситет эллипса; г) сколько человек могут одновременно находиться без ущерба для здоровья на этаже в течение нескольких часов, если высота помещения на каждом этаже составляет 3,5 м? According to the plan, several floors of the “Moscow” shopping center have the form of an ellipse, the total area of which is approximately 1920 square meters, and the length of the major axis is about 94 m. Find out: a) the second axis of the ellipse; b) the equation of the ellipse; c) the eccentricity of the ellipse; d) how many people can simultaneously be on the same floor for several hours without damage to health if the height of the room on each floor is 3.5 m? Общая площадь бизнес-центра составляет 75 тыс. кв. метров. В нем предусмотрены офисные помещения площадью 16 тыс. кв. метров, торгово-развлекательный комплекс площадью 30 тыс. кв. метров и гостиница категории 4 звезды на 200 номеров площадью 16,5 тыс. кв. метров. Впервые в Астане при возведении бизнесцентра «Москва-парк» была применена технология «стена в грунте», позволившая устроить под зданием единственную в столице Казахстана двухуровневую подземную парковку. The total area of the business center is 75 thousand square meters. It has office rooms (16 thousand sq. meters); commercial and entertainment complex (30 thousand sq. meters); and a 4-stars hotel of 200 rooms (16.5 thousand sq. meters). When constructing the business center “Moscow-park” a new technology “slurry walls” was applied for the first time in Astana. This technique allowed to organize the only two-level underground parking in Astana. 61

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Шахматшылар шағын бағы Cквер шахматистов «Chess Players Square» (Kenesary Street-Republic Ave.)

Шахматшылар шағын бағы Кенесары көшесі мен Республика даңғылының қиылысында орналасқан.Спорттың ең интеллекуалды түрін ұнататындар үшін түрлі түсті тротуарда үлкен шахмат тақтасы салынып, жарты метрлік әсем шахмат фигуралары қойылған.

В Астане очень сильные шахматные традиции. Сквер шахматистов открыт в честь успехов школы шахматистов Астаны.

Астанада өте берік шахматтық дәстүрлер қалыптасқан. Шахматшылар шағын бағы Астана шахматшылар мектебінің жетістіктері құрметіне ашылған.

Сквер шахматистов расположен на пересечении улицы Кенесары и Проспекта Республики. Для любителей самого интеллектуального вида спорта в сквере прямо на земле из разноцветной тротуарной плитки выложена большая шахматная доска и выставлены изящные шахматные фигуры.

The “Chess Players Square” is located at the crossroads of Kenesary Street and Republic Avenue. For the lovers of the most intellectual kind of sport there is a big chess board laid with the colored paving on the ground. Fine half-meter chess pieces are also there. 62

Astana is well known for its strong chess traditions. The “Chess Players Square” was opened in honour of success of chess players in Astana.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 81-бетте Решение на 81 стр. Solution on 81 page

Бос тұрған шахмат тақтасына ақ және қара түсті екі пешканы орналастыру қажет. Олар тақтада қанша жағдайларда орналасуы мүмкін? На пустую шахматную доску надо поместить две пешки — белую и черную. Сколько различных положений они могут занимать на доске? Two pawns — black and white — were put on an empty chess board. How many different positions they can take on the board?

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

«Хан-Шатыр» сауда ойын-сауық орталығы Хан Шатыр Khan Shatyr

Әлемде теңдесі жоқ «Хан Шатыр» ойын-сауық орталығының авторы — атақты британ сәулетшісі Лорд Норман Фостер. Хан Шатыр — елорданың сәулет өнеріндегі тосын жаңалық. Ғимараттың алып шатырының ұзындығы 150 м (шатырұш), мөлдір полиметрлі ETFE жабынмен қапталған болат кермелер желісінен құралған. Өзінің ерекше химиялық құрамына байланысты кешеннің ішкі кеңістігін температуралық ауытқулардан қорғап, оның ішкі ахуалына қолайлы жағдай туғызады.

Хан Шатыр является вторым самым высоким сооружением шатровой формы в мире и самым просторным развлекательным центром в Центральной Азии. Общая площадь Хан Шатыра — 127 тысяч квадратных метров. Здесь представлено несколько климатических зон с ботаническими садами, аквапарком с искусственным пляжем, бассейном с эффектом волн, мини-площадкой для игры в гольф, концертными залами, кафе, офисами, пятизвездочным отелем и торговым центром.

Khan Shatyr is a grandiose and unique building project in the world which is authorized by a famous British architect. Khan-Shatyr is a new architectural masterpiece in Astana. It is a giant marquee of 150 meter height with a spire constructed by steel bracing wires system on which transparent polymeric covering ETFE is fixed. The special chemical compound of the covering protects the inner area of the building from temperature changes and maintains favorable microclimate.

Хан Шатыр — дүние жүзіндегі шатыр тәрізді зәулім құрылыс, ал Орталық Азиядағы ең іріойын-сауық орталығы. Хан Шатырдың жалпы аумағы 127 мың шаршы метр. Мұнда бірнеше ботаникалық бақтары, жасанды жағажайлы аквапаркі мен толқынды бассейндері бар климаттық аймақтар жасалған. Сондай-ақ, гольф ойнауға арналған шағын алаңдар, концерттік залдар, дәмханалар, кеңселер, бесжұлдызды қонақ үй және сауда орталықтары бар.

Грандиозный проект, автором которого является знаменитый британский зодчий Лорд Норман Фостер, не имеет аналогов в мире. Хан Шатыр стал новым архитектурным шедевром Астаны. Здание представляет собой гигантский шатер высотой 150 м со шпилем, сконструированный из сети стальных вант, на которых закреплено прозрачное полимерное покрытие ETFE. Благодаря особому химическому составу, оно защищает внутреннее пространство комплекса от резких температурных перепадов и создает комфортный микроклимат внутри комплекса.

Khan-Shatyr is the second highest hipped construction in the world and the most spacious entertainment centre in Central Asia. The total area is 127 thousand square kilometers. Several climatic zones with botanic gardens, aqua parks with man-made beach, a swimming pool with wave effect, mini area for golf, concert halls, cafes, offices, the 5 stars hotel and the shopping centre are situated in it.

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Шешуі 81-бетте Решение на 81 стр. Solution on 81 page

«Хан-Шатыр» ойын-сауық орталығының 1-ші қабатында тең бүйірлі екі трапеция түрінде біріккен павильон бар (АВСD және EKLM). Алғашқы трапецияның табандары: АD = 13 м, ВС = 14,8 және биіктігі h = 6 м, ал екінші трапецияның табандары: ЕМ = 7,8 және KL = 4,3 м, биіктігі h =13 м. Павильонның ауданын табыңыз. На 1-этаже Торгово-развлекательного центра «Хан Шатыр» находится павильон в виде объединенных двух равнобедренных трапеций (ABCD и EKLM). Основания первой трапеции АD = 13 м, ВС = 14,8 и высота h = 6 м, а второй трапеции основания ЕМ = 7,8 м и КL = 4,3 м, высота H = 13 м. Найдите площадь павильона.

Шатырдың торлы конструкциясы салмағы 2000 тонна үшаяқты қадаға тіреулі тұр, ал оның жабыны арнайы материалдан жасалған. Осы жабын мен арнайы кондиционер жүйесінің арқасында сырттағы ауа райындағы өзгерістерге қарамастан мұнда бірқалыпты жағдайда жайлы климат қалыптасқан. Forbes Style журналының пайымдауынша, Хан Шатыр ең үздік әлемдік экоғимараттар ондығының қатарына енді. Сонымен қатар Forbes Style журналы Хан Шатырды ТМД елдерінің күллі кеңістігіндегі жалғыз ерекше ғимарат деп атап, өз хитшеруіне енгізді. Сеточная конструкция шатра держится на треноге весом более 2000 тонн, а ее покрытие выполнено из специального материала. Благодаря этому покрытию и специальной системе кондиционирования здесь всегда поддерживается комфортный климат, не зависящий от внешних погодных условий. Хан Шатыр вошел в десятку лучших мировых экозданий по версии журнала, став единственным зданием со всего пространства СНГ, которое журнал счел возможным включить в свой хит-парад.

On the first floor of the shopping centre there is a pavilion in the shape of 2 integrated isosceles trapezoids (ABCD and EKLM). The bases of the first trapezoid AD = 13 m, BC = 14.8, height h = 6 m and the bases of the second trapezoid EM = 7.8 The marquee is fixed on a tripod weighing and KL = 4 m, height h = 13 m. 2000 tones and its covering is made of a What is the area of the pavilion? special material. Favorable interior conditions are maintained with the special covering and air conditioning system. Forbes Style magazine included Khan Shatyr in its list of the 10 top eco-friendly buildings in the world.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

i Математикада әр түрлі есептерді шығаруда эллипс, гипербола және парабола секілді конустық қималар жиі қолданылады. Конустық қималар дөңгелек конусты оның төбесі арқылы өтпейтін жазықтықпен қиғанда шығады. Бұл қисықтар олардың осьтерінен айналғанда эллипсоид, гиперболоид және параболоид шығады. А.Н. Толстойдың «Инженер Гариннің гиперболоиды» атты романының кейіпкері сәулелерді нүкте көзінің түзу бойымен жіберетін құрылғы ойлап табады. Жоғары техникалық біліммен қаруланған Толстой құрылғыны параболоид деп атауды білетін еді. Алайда, психологиялық пайымдау тұрғысынан осылай атауды жөн көрген болар. «Гипер» сөзінің түбірі табиғаттан тыс күш дегенді білдіреді. Гиперболаның екі осьтік симметриясы бар. Бірі гиперболамен қиылысады, екіншісі қиылыспайды. Гиперболаны екінші осінен айналдырғанда бір қуысты гиперболоид шығады. Оның тамаша қасиеті — әр нүктесі арқылы осы гиперболоидқа тиісті түзу өтеді. Ол түзу сызықтардан тұрады. Оны тек гипербола осімен айналдыру арқылы ғана емес, сонымен қатар түзу сызықты онымен айқас түзуден айналдырып шығаруға болады. Бір қуысты гипербола сәулет өнерінде кең қолданылады. Хан Шатыр сыртқы келбеті көлбеу айналу осі болатын фигура. Бұл фигураның гиперболоид болатынын дәлелдеңіз.

Ғимараттың ауданы 109 мың шаршы метрді құрайды, ол шамамен, 10 футбол стадионына тең келеді. Жаңа қаланың солтүстік осін аяқтай келе, екі жүз метрлік эллипс түріндегі іргетасының арқасында биіктей түседі. Орталық Азиядағы кең, әрі ең ірі ойын-сауық орталығы ретінде «Хан Шатыр» елорданың кез келген жерінен көріне беретін ең жоғарғы нүктесі болып табылады. Площадь помещений комплекса составляет 109 тысяч квадратных метров, что примерно равно 10 футбольным стадионам.. Венчая северный конец оси нового города, он возвышается на двухсотметровом эллипсовидном фундаменте. Являясь самой высокой точкой столицы и самым просторным развлекательным центром Центральной Азии, «Хан шатыр» виден отовсюду.

В математике для решения различных задач широко используются так называемые конические сечения эллипс, гипербола и парабола. Конические сечения получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. При вращении этих кривых вокруг их осей получают эллипсоид, гиперболоид и параболоид. Герой романа А.Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» создал аппарат, посылающий лучи от точечного источника вдоль прямой. Имевший высшее техническое образование Толстой, конечно, знал, что аппарат следует назвать параболоидом. По-видимому, из чисто психологических соображений он дал такое название. Ведь приставка «гипер» сообщает названию нечто сверхестественное. Гипербола имеет две оси симметрии. Одна из них пересекает гиперболу, а другая нет. Вращая гиперболу вокруг второй оси, получают однополосный гиперболоид, который обладает замечательным свойством — через каждую его точку проходят две прямые, целиком лежащие на этом гиперболоиде. Поэтому он как бы соткан из прямых линий. Его можно получить, не только вращая гиперболу вокруг ее оси, но и вращая прямую линию вокруг скрещивающейся с ней прямой. Это свойство однополосного гиперболоида используется в архитектуре. Поверхность Хан Шатыра является фигурой вращения с наклонной осью. 66

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

Conic sections such as the ellipse, hyperbola and parabola are widely used for solving different problems in Mathematics. Conic sections are obtained by intersecting a right circular conical surface with a plane. When the ellipse, hyperbola and parabola revolve about their axes we get the ellipsoid, hyperboloid and paraboloid. A hero of the Tolstoy’s novel “Hyperboloid of Engineer Garin” invented an apparatus which sent the rays from the point along the right line. Tolstoy, having a degree in engineering, knew that the apparatus should be called paraboloid. But he decided to call it hyperboloid as the prefix “hyper” means supernatural. The hyperbola has 2 axes of symmetry. One of them crosses the hyperbola, but another does not. When revolving a hyperbola about the second axis we get one sheet hyperboloid which has a special feature: two right lines, lying on the hyperboloid, cross each of its point. Therefore it seems to consist of right lines. One sheet hyperboloid can be obtained not only by revolving hyperbola around its axis but it can also be obtained by revolving a line about a skew line. This feature of one sheet hyperboloid is used in architecture. The Khan Shatyr’s surface is a lathe object with an inclined axis. Find out if this figure is hyperboloid.

The area of the construction is 109,000 square kilometers and it is equal to 10 football stadiums. It is situated in the northern part of the city and stands on a 2 meters thick base. The Khan Shatyr, being a highlight of the city and the most spacious entertainment centre in Central Asia, can be easily seen from any part of Astana.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Шешуілер Решения Solutions

Let R be the radius of the larger circle, r — the radius of the smaller circle, l — the length of the arc of the smaller circle, α — the measure of the central angle, subtended with this arc, h — the height of the aquarium. We express α: α = (l · 180̊) ⁄ (πr) Then the base area of the aquarium is equal to: S = π(R2 – r2) · α ⁄ 360̊ = (l · (R2 – r2)) ⁄ (2r) The volume of the aquarium is found: V = ((l · (R2 – r2)) ⁄ (2r)) · h; V ≈ 10.8 m.

Есеп 6-бетте Задача на 6 стр. Problem on 6 page

R — үлкен шеңбер радиусы, r –кіші шеңбер радиусы, l — кіші шеңбердің доғасының ұзындығы, α — доғаны керіп тұрған центрлік бұрыштың өлшемі, h — аквариум биіктігі. α-ны арқылы өрнектейік: α = (l · 180̊) ⁄ (πr)

Есеп 7-бетте Задача на 7 стр. Problem on 7 page

Бұл құрылыс түпнұсқаның дәл көшірмесі болу үшін, оның сәйкес сызықты өлшемдері пропорционал болуы керек. Түпнұсқа мен көшірмедегі шарлардың диаметрлерінің қатынасы оларға сәйкес металл конструкциялар биіктіктерінің қатынасына тең болуы керек. Мысалы, металл конструкцияның берілген биіктігі бойынша шар көшірмесінің өлшемдерін анықтайық: d = (21 · 22) ⁄ 97 ≈ 4,76. Жуық шаманың абсолюттік қателігі нақты және жуық мәндерінің айырмасының модуліне тең: ∆d = |4,76 – 4| = 0,76 м. Салыстырмалы қателік абсолюттік қателіктің жуық мәннің модулінің қатынасына тең: демек, 0,76 ⁄ 4 = 0,19 = 19%.

Онда аквариумның табанының ауданы S = π(R2 – r2) · α ⁄ 360̊ = (l · (R2 – r2)) ⁄ (2r) болады. Аквариум көлемін табамыз: V = ((l · (R2 – r2)) ⁄ (2r)) · h; V ≈ 10,8 м. Пусть R — радиус большей окружности, r — радиус меньшей окружности, l — длина дуги меньшей окружности, α — величина центрального угла, стягиваемого этой дугой, h — высота аквариума. Выразим α: α = (l · 180̊) ⁄ πr Тогда площадь основания аквариума равна: S = π(R2 – r2) · α ⁄ 360̊ = (l · (R2 – r2)) ⁄ 2r Найдем объем аквариума: V = ((l · (R2 – r2)) ⁄ 2r) · h; V ≈ 10,8 м.

Для того чтобы сооружение было точной копией оригинала, соответствующие линейные размеры должны быть пропорциональны. Следовательно, отношение диаметров шаров оригинала и копии равно отношению высот соответствующих металлических конструкций. Опреде68

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

лим, например, размеры шара копии при данной высоте ее металлической конструкции: d = (21 · 22) ⁄ 97 ≈ 4,76. Абсолютная погрешность приближенного значения есть модуль разности точного и приближенного значений, т.е. ∆d = |4,76 – 4| = 0,76 м. Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к модулю приближенного значения, т.е. 0,76 ⁄ 4 = 0,19 = 19%.

Z осьіне қарағанда симметриялы орналасқан қалған 3 терезені шығару үшін жазықтықты 90°, 180°, 270°-қа бұрамыз. х + y + z = 140 жазықтығын 90° бұру нәтижесінде -х + y + z = 140 жазықтығы шығады.

In order for the building to be an exact copy of the original, corresponding linear dimensions should be proportional. Consequently, the ratio of the diameters of the balls of the original and its copy is equal to the ratio of the heights of the corresponding metal structures. Let’s define, for instance, the size of the ball up at a given height of the metal structures: d = (21 · 22) ⁄ 97 ≈ 4.76. The absolute error is the magnitude of the difference between the exact value and the approximation, i.e. ∆d = |4.76 – 4| = 0.76 m. The relative error is equal to the ratio of the absolute error to the modulus of approximate value, i.e. 0.76 ⁄ 4 = 0.19 = 19%.

Верхняя часть Ақ Орды состоит из полусферы, описываемой уравнением: x2 + y2 +z2 = 144, где z ≥ 0 Выберем одну плоскость, например х + y + z = а и определим a,таким образом, что бы сечение с полушарием имело разумный размер. Возьмем а = 140. а) Во-первых, определяем расстояние от начала координат (0, 0, 0) до плоскости: это расстояние оказывается α ⁄ √140, которое равно √140, так как а = 140.. б) при сечении полусферы плоскостью появляется полуокружность с радиусом r. Теперь мы применяем теорему Пифагора: √1402 + r2 = 122. Отсюда r = 2. Для того чтобы получить остальные три окна, расположенных симметрично вокруг Z-оси, повернем нашу плоскость на 90°, 180° и 270°. В результате поворота плоскости x + y + z = 140 на 90° получается плоскость -x + y + z = 140.

Есеп 9-бетте Задача на 9 стр. Problem on 9 page

Ақ Орданың жоғарғы бөлігі x2 + y2 +z2 = 144, z ≥ 0 теңдеуімен сипатталатын жарты сферадан тұрады. х + y + z = а жазықтығын алып, оның жарты шармен қиылысуының мөлшері қисынды болатындай етіп а-ны анықтайық. а) Біріншіден, координат басынан (0,0,0) жазықтыққа дейінгі қашықтықты анықтаймыз: бұл қашықтық α ⁄ √140, √140 тең, өйткені а = 140. The upper part of AK ORDA consists of a hemiб) жарты шардың жазықтықпен қиылысуында sphere, described by the equation: радиусы r-ға тең жарты шеңбер пайда болады, x2 + y2 +z2 = 144, where z ≥ 0 осы кезде біз Пифагор теоремасын қолданамыз: Let us choose one plane, for example х + y + √1402 + r2 = 122, осы жағдайда r = 2. z = а and define a, so that a section of the hemi69

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

sphere had a reasonable size. Let us take а = 140. a) First, one determines the distance of the origin (0, 0, 0) to the plane: this distance turns out to be α ⁄ √140, which equals √140, because of our choice a = 140. b) The intersection of the plane with the hemisphere is a circle, say with radius r. Now we apply Pythagoras’ theorem to: √1402 + r2 = 122. So we conclude that r=2. In order to obtain remaining three windows, positioned symmetrically around the Z-axis, rotate the plane over 90°, 180°, 270°. The result of rotating the plane x + y + z = 140 over 90° is the plane with equation -x + y + z = 140.

ЕС = 11 м болғандықтан (үлкен табаннан кіші табанды азайтамыз), сонда PN = 11⁄3 = 32⁄3 м, RH = 71⁄3 м. Осыдан шығады: FH = FR + RH = 131 + 71⁄3 = 1381⁄3 ≈ 138 м; MN = MP + PN = 131 + 32⁄3 = 1342⁄3 ≈135 м. Жауабы: 2-ші қабаттың ұзындығы 138 м, ал 3-ші қабаттың ұзындығы 135м.

Точки М и F делят сторону АD, а точки N и Н — сторону ВC на три равные части. Проведем через точку В отрезок ВЕ так, чтобы он был параллелен АD, NК||ВЕ, НL||ВЕ. По теореме Фалеса в треугольнике ВЕC PN = 1⁄2RH = 1⁄3EC. Так как ЕC = 11 м (из большего основания отняли меньшее), тогда PN = 11⁄3 = 32⁄3 м, RH = 71⁄3 м. Отсюда следует FH = FR + RH = 131 + 71⁄3 = 1381⁄3 ≈ 138 м; MN = MP + PN = 131 + 32⁄3 = 1342⁄3 ≈135 м. Протяженность 2-го этажа около 138 м, а 3-го этажа — 135м.

Есеп 11-бетте Задача на 11 стр. Problem on 11 page

Сүр.: 2, 3 Рис.: 2, 3 Pic.: 2, 3

Есеп 12-бетте Задача на 12 стр. Problem on 12 page

1.Иә; 2.Иә; 3.Иә; 4.Жоқ; 5.Иә; 6.Иә.

1. Да; 2. Да; 3. Да; 4. Нет; 5. Да; 6. Да.

Points M and F divide the side AD, and points N and H divide the side BC into three equal parts. Let’s draw the segment BE through the point B, so that it would be parallel to АD, NК || ВЕ, НL 1. Yes; 2. Yes; 3. Yes; 4. No; 5. Yes; 6. Yes. || ВЕ. By the Thales’ theorem, in the BEC triangle PN = 1⁄2RH = 1⁄3EC. Есеп 19-бетте Since EC = 11 m (when we subtract the smaller Задача на 19 стр. Problem on 19 page base from the larger one), then М мен F нүктелері АD қабырғасын, ал N мен Н PN = 11⁄3 = 32⁄3 m, RH = 71⁄3 m. нүктесі — ВD қабырғасын тең үш бөлікке бөледі. Hence, В нүктесі арқылы АD-ға параллель болатындай FH = FR + RH = 131 + 71⁄3 = 1381⁄3 ≈ 138 m; ВЕ кесіндісін жүргіземіз, NК||ВЕ, НL||ВЕ. Фалес MN = MP + PN = 131 + 32⁄3 = 1342⁄3 ≈135 m. теоремасы бойынша ВЕС үшбұрышынан Answer: the length of the 2-nd floor is equal to 1 1 PN = ⁄2RH = ⁄3EC 138 m, and the 3-rd floor is 135 m long.

Есеп 21-бетте Задача на 21 стр. Problem on 21 page

Егер S1 арқылы шаршы қабырғасына іргелес сегмент ауданын, S2 арқылы шаршы диагоналіне 70

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

іргелес сегмент ауданын, S3 арқылы шаршы ішінде жататын және S2 айшықпен шектелген боялған айшық бөлігін белгілесек, онда S1 = πR2 ⁄ 8 – R2 ⁄ 4, мұндағы R–үлкен шеңбердің радиусы. S2 = πR2 ⁄ 4 – R2 ⁄ 2. Онда S2 = 2S1, S∆ABC = S2 + S3 = 2S1 + S3, дәлелдеу керегі осы болатын.

Если через S1 обозначить площадь одного из сегментов, примыкающих к стороне квадрата, через S2 — площадь сегмента, примыкающего к диагонали квадрата, а через S3 обозначить площадь части заштрихованной луночки, находящейся внутри квадрата и примыкающей к луночке с площадью S2, то S1 = πR2 ⁄ 8 – R2 ⁄ 4, где R — радиус большей окружности, а S2 = πR2 ⁄ 4 – R2 ⁄ 2. Легко видеть, что S2 = 2S1, S∆ABC = S2 + S3 = 2S1 + S3. Что и требовалось доказать.

Эллипстің қарапайым теңдеуі мына формуламен беріледі. x2 ⁄ 502 + y2 ⁄ 1002 = 1. Анықталған интеграл көмегімен y = 2√(502 – x2) және y = 0, сызықтарымен шектелген фигура ауданын табамыз: 50 S1 = 2 · ∫ -50 √(502 – x2dx) = 50 = 2 · (x ⁄ 2 · √(502 – x2) + (502 ⁄ 2) arcsin(x ⁄ 50)) -50 = 2 2 = 2 · ((π · 50 ) ⁄ 2) = 50 π Сонымен эллипс ауданы: S = 2· S1 = 2 · 502 · π ≈ 15 000 (м2)

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами). Простейшее уравнение эллипса: x2 ⁄ a2 + y2 ⁄ b2 = 1. где a — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса. Уравнение рассматриваемого эллипса задается формулой x2 ⁄ 502 + y2 ⁄ 1002 = 1. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2√(502 – x2) и y = 0, с помощью определенного интеграла: 50 S1 = 2 · ∫ -50 √(502 – x2dx) = 50 = 2 · (x ⁄ 2 · √(502 – x2) + (502 ⁄ 2) arcsin(x ⁄ 50)) -50 = 2 2 = 2 · ((π · 50 ) ⁄ 2) = 50 π Таким образом, площадь эллипса равна S = 2· S1 = 2 · 502 · π ≈ 15 000 (м2). Ответ: 15 000 м2.

If S1 is an area of one of the segments, adjacent to the side of the square; S2 is an area of a segment adjacent to the diagonal of the square; S3 is an area of a part of the shaded Lune inside the square and adjacent to the Lune with the area S2; then S1 = πR2 ⁄ 8 – R2 ⁄ 4, S2 = πR2 ⁄ 4 – R2 ⁄ 2. where R is the radius of a larger circle. It is obvious that S2 = 2S1, S∆ABC = S2 + S3 = 2S1 + S3. Quod Erat Demonstrandum

Есеп 23-бетте Задача на 23 стр. Problem on 23 page

Эллипс деп — фокус деп аталатын екі нүктеге дейінгі ара қашықтарының қосындысы тұрақты бір шамаға (бұл шаманың мәні фокустар ара қашықтығынан артық) тең болатын жазықтықтағы барлық нүктелердің геометриялық орнын айтамыз. 71

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

The equation of the ellipse under consideration is given by x2 ⁄ 502 + y2 ⁄ 1002 = 1. Let’s find the area of the figure bounded by the lines y = 2√(502 – x2) and y = 0, using the definite integral. 50 S1 = 2 · ∫ -50 √(502 – x2dx) = 50 = 2 · (x ⁄ 2 · √(502 – x2) + (502 ⁄ 2) arcsin(x ⁄ 50)) -50 = = 2 · ((π · 502) ⁄ 2) = 502π Thus, area of the ellipse is S = 2· S1 = 2 · 502 · π ≈ 15 000 (m2) Answer: 15000 square meters.

Measure the height of the man and the diameter of the tank in the picture. Consider that the average height of a man is 176 cm, make the proportion and calculate the required quantity.

Есеп 27-бетте Задача на 27 стр. Problem on 27 page

3 000 000 л = 3 000 т. Заттың концентрациясы мынадай формула бойынша есептеледі: p = m ⁄ M · 100%, мұндағы m — заттың массасы, М — ерітіндінің массасы. Осыдан m = Mp ⁄ 100. Есептеулер жүргізіп, m = 120 (т) табамыз. Жауабы: 120 тонна.

Есеп 25-бетте Задача на 25 стр. Problem on 25 page

Фонтан жанынан өтіп бара жатқан адамның суреттегі кескіні оның шынайы кескінімен ұқсас. Сондықтан суреттегі резервуардың диаметрі суреттегі адам бойының ұзындығынан неше есе үлкен болса, резервуар диаметрі адам бойының ұзындығынан сонша есе ұзын болады. Суреттегі адамның бойы мен резервуардың диаметрін өлшеңіз. Адам бойының ұзындығын орта есеппен 176 см деп алып, пропорция құрамыз, сөйтіп іздеген шаманы табамыз.

3 000 000 л = 3 000 т. Концентрация вещества в растворе вычисляется по формуле p = m / M · 100%, где т – масса вещества, М – масса раствора. Отсюда m= Mp / 100. Выполнив вычисления, получим, m = 120(т) Потребуется 120 тонн соли.

3 000 000 gallons = 3 000 tons. The concentration of a substance in the solution is given by the formula p = m / M · 100%, where m is a substance mass, M is a solution mass. Hence, m = Mp / 100. After the calculations we obtain m = 120 (tons). Answer: 120 tons.

Мимо фонтана проходит человек, изображение которого на снимке подобно его подлинным очертаниям. Следовательно, во сколько раз диаметр резервуара больше роста мужчины на снимке, во столько же раз диаметр резервуара больше роста мужчины в действительности. Измерьте рост мужчины и диаметр резервуара на снимке. Учитывая, что средний рост мужчины 176 см, составьте пропорцию и вычислите искомую величину.

Есеп 28-бетте Задача на 28 стр. Problem on 28 page

Туннельдің перпендикуляр қимасы қабырғасы There is a man passing the fountain, whose im- 2 метр екі шаршыдан (MNLK) және радиуage in the picture is proportional to his actual сы 1 метр (NUL) жарты дөңгелектен тұрады. size. Therefore, how many times the diameter of Туннельдің жалпы ұзындығы 70 м. Туннельдің the tank is more than the height of the man in астындағы шынының көлемін есептейміз: 3 the picture, the diameter of the tank is that many V1 = 2 · 70 · 2 · 0,07 = 19,6 м more times more than the man’s height in reality. Туннельдің жоғарғы жағындағы шыны радиусы 1 метр және 1,07 метр болатын жарты цил72

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

линдр. Осы екі жарты цилиндрді құрастырғанда биіктігі 35 метр болатын толық циллиндр құрай алады. Туннельдің жоғарғы жағына кеткен шынының көлемін табамыз. V2 = π(1,072 – 1) · 35 ≈ 15,9 м3. Жалпы көлемі V = V1 + V2. V ≈ 19,6 + 15,9 = 35,5 м3. Жауабы: 35,5м3.

Есеп 30-бетте Задача на 30 стр. Problem on 30 page

Есептің шешімін табу үшін пропорция құрамыз: 4,5 / 5 = 90 / x. Цирк диаметрі 100 м-ге тең.

Для решения задачи составим пропорцию: 4,5 / 5 = 90 / x Диаметр цирка равен 100 м.

Перпендикулярное сечение туннеля состоит из двух частей: квадрата (MNLK) со стороной 2 м и полукруга (NUL), радиус которого равен 1 м. Общая длина стены туннеля 70м. Вычислим объем стекла использованного для стен туннеля: V1 = 2 · 70 · 2 · 0,07 = 19,6 м3 Стеклянное покрытие верхней части туннеля образует полый полуцилиндр с радиусами 1м и 1,07м. Два таких покрытия образуют полый цилиндр, высотой 35м. Вычислим объем стекла, использованного для верхней части туннеля. V2 = π(1,072 – 1) · 35 ≈ 15,9 м3. Общий объем V = V1 + V2. V ≈ 19,6 + 15,9 = 35,5 м3. На сооружение туннеля израсходовано около 35,5 м3 стекла.

To solve the problem we form the proportion: 4,5 / 5 = 90 / x The Circus diameter is 100 m.

Есеп 31-бетте Задача на 31 стр. Problem on 31 page

Біздің міндетіміз шеңберді тең 6 бөлікке бөлу. Ол үшін цирк жиегіндегі нүктені белгілеп, одан ұзындығы 6,5 м. бірдей 6 кесіндіні бөлек қоямыз. Сонда біз шеңбердің ішіндегі дұрыс алтыбұрыштың төбесін табамыз, өйткені, бұл алтыбұрыштың қабырғасы шеңбердің радиусына тең.

The perpendicular cross section of the tunnel consists of two parts: a square (MNLK) with a side of 2m, and a semi-circle (NUL), the radius of which is 1m. The total length of the tunnel wall is 70 m. We need to calculate the volume of glass needed for the lower parts of the tunnel walls: V1 = 2 · 70 · 2 · 0,07 = 19,6 м3 The glass covering the upper part of the tunnel forms a hollow half-cylinder with radii of 1 m and 1.07 m. These two coverings form a hollow cylinder with a height of 35 m. Let’s calculate the volume of glass used for the upper part of the tunnel: V2 = π(1,072 – 1) · 35 ≈ 15,9 м3. The total volume is V = V1 + V2. V ≈ 19,6 + 15,9 = 35,5 м3. Answer: 35.5m3.

Наша задача равносильна делению окружности на 6 равных частей. Для этого на бордюре цирка отметим точку и от нее на бордюре отложим 6 равных отрезков длиной в 6,5 м. Тогда мы получим вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность, так как сторона такого шестиугольника равна радиусу окружности.

Our problem is equivalent to division of the circle into 6 equal parts. To do this, on the border of the circus arena, we note the point from which we lay off 6,5m long six equal segments. Then we get the vertices of a regular hexagon inscribed in a circle, since a side of the hexagon is equal to the radius of the circle. 73

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

Есепті шешу үшін ғимаратты бақылау нүктесінің қай бұрышынан көруіміз маңызды. Бұрышты өлшейтін құрылғыны дайындау үшін транспортирді қолдансақ қиындық туғызбайды. Серуен кезінде бұрышты өлшейтін құрылғы үнемі өзімізбен бірге бола бермейді, бұл жағдайда өлшеуді саусағымызбен де жүргізе аламыз. Көзбен бұрыштың шамасын анықтау үшін, алдын ала кейбір есептеулер жүргізу қажет. Тура созылған қолдың сұқ саусағындағы тырнақтың ені бойынша көру бұрышын анықтау керек. Тырнақтың ені 1 см шамасында, ал оның қолдың тура созылған жағдайдағы көзге дейін ара қашықтығы 60 см шамасында болады. Сондықтан, біз тырнақты жуықтап алғанда 1º бұрышпен көреміз. (Көру бұрышы 1º-қа тең болады егер зат көзден 57 см ара қашықтықта тұрса). Осыны ескере отырып, көздің көру бұрышын анықтау әдісін меңгеруге болады. Қолымызды созып ұстаған кезде тырнақпен толық жабылған кез келген зат көзімізге 1º бұрышта көрінеді. Сондықтан затқа шейінгі аралық заттың биігінен 57 есе көп болады. Егер тырнақ заттың жартысын ғана жапса, онда бұрыштық шама 2º-қа тең болады, ал ара қашықтық заттың биігінен 28 есе көп болады. Үлкен бұрыштар үшін қолыңыздың бармағын қолданыңыз. Үлкен адамның бармағы 3,5 см, ал көзден бармаққа дейінгі ара қашықтық 55 см (қолымызды созып ұстаған кезде). Бұл жағдайда бұрыштық шама 4º-қа тең болатынына көз жеткізу қиын емес. Бұл көру бұрыштары 4º-қа тең ара қашықтықтарды бағалауға мүмкіндік береді. (демек, 8º-қа да ) Егер, біз ғимаратты белгілі бір нүктеден 2º бұрышпен көретін болсақ, онда оған дейінгі ара қашықтық 155 · 28=4340 (м) болады. Егер, осы ғимаратты көру бұрышы 8º-қа тең болса, онда ара қашықтық 155 · 55 ≈ 1200 (м) болады.

дения. Изготовить самому угломерный прибор простого устройства не очень трудно, особенно если воспользоваться транспортиром. Но и самодельный угломер не всегда бывает под рукою во время прогулки по городу. В таких случаях можно воспользоваться услугами того «живого угломера», который всегда при нас. Это — наши собственные пальцы. Чтобы воспользоваться ими для приблизительной оценки углов зрения, нужно лишь произвести предварительно несколько измерений и расчетов. Прежде всего, надо установить под каким углом зрения мы видим ноготь указательного пальца своей вытянутой вперед руки. Обычная ширина ногтя — 1 см, а расстояние его от глаза в таком положении — около 60 см; поэтому мы видим его примерно под углом в 1º (угол в один градус получается при расстоянии в 57 см). Зная это, вы располагаете способом оценивать малые углы зрения буквально голыми руками. Каждый отдаленный предмет, который как раз покрывается ногтем указательного пальца вытянутой руки, виден вами под углом в 1º и, следовательно, отодвинут в 57 раз дальше своего поперечника. Если ноготь покрывает половину предмета, значит угловая величина его 2º, а расстояние равно 28 поперечникам. Для углов побольше воспользуйтесь ногтевым суставом своего большого пальца, держа его согнутым на вытянутой руке. У взрослого человека длина этого сустава — около 3,5 см, а расстояние от глаза при вытянутой руке — около 55 см. Легко рассчитать, что угловая величина его в таком положении должна равняться 4º. Это дает средство оценивать углы зрения в 4º (а значит и в 8º). Значит, если мы видим это здание из некоторой точки под углом в 2º, то расстояние до него равно 155 · 28 = 4340 (м) или около того. Если же мы видим это здание под углом в 8º, то расстояние до него приблизительно равно 155 · 55 ≈ 1200 (м)

Для решения задачи необходимо знать, под каким углом мы видим здание из точки наблю-

To solve the problem it is necessary to know at what angle we can view the building from a van-

Есеп 33-бетте Задача на 33 стр. Problem on 33 page

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

tage point. It is not difficult to make a simple goniometer, especially if the protractor is used. But a homemade protractor is not always at hand during a walk around the city. In such cases, you can use a “living protractor”, which is always with us — our fingers. To use them for a rough estimate of the angles of view, it is only necessary to make some preliminary measurements and calculations. First of all, it is necessary to determine at what angle of view you can see the nail of the index finger of your extended arm. The normal width of the nail is 1 cm, and its distance from the eye in this position is about 60 cm. So, we see it at an angle of 1º (the angle of one degree is obtained at a distance of 57 cm). Knowing this, you have a way to estimate the small angle view, literally with your ‘bare’ hands. Each remote object, which is covered by the nail of the index finger of the outstretched arm, can be seen at an angle of 1º, and, thus, is moved backwards 57 times further than its diameter. If the nail covers half of the object, then its angular size is 2º, and the distance is equal to 28 diameters. For larger angles use the nail joint of the thumb holding it bent with your arm outstretched. The length of this joint is 3.5 cm and the distance from the eye at an arm’s length is 55 cm. It can be easily counted that in this position the angular size of it must be equal to 4º. This provides a means to estimate the angular sizes of 4º (and hence of 8º). Thus, if we see these objects from a certain point at an angle of 2º, the distance to them is equal to 155 · 28 = 4340 (m). But if we see these objects from a certain point at an angle of 8º, the distance to them is approximately equal to 155 · 55 ≈ 1200 (m).

Эту задачу Ер Тостик может решить с помощью развертки куба. На ней он должен отметить точками свое местонахождение и местонахождение яблока, а затем соединить эти точки отрезком.

This problem can be solved with the help of cube evolvent. He should point out his and apple’s location, then connect that points with one line.

Есеп 37-бетте Задача на 37 стр. Problem on 37 page

Берілген фигуралардың бүйір бетінің ауданын табамыз. Эталон орталығының бүйір бетінің ауданы S1 табамыз. S1 = 30 · 30 · 4 = 3600 (м2). «Қазына-Тауэр» мекеме құрылысының бүйір бетінің ауданы болатын S2 табамыз. Оны табу үшін мына формуланы қолданамыз: S = π · (r + R) · l, мұндағы r, R — конусы табандарының радиустары, ал l — жасаушысы. l = √(972 + 5,52) ≈ 97,16 S2 ≈ 3,14 · (11 + 16,5) · 97,16 ≈ 8389 (м2) жууға тиісті жалпы аудан 3600 + 8389 = 11989 (м2). бір альпинистің жууға тиісті ауданы 11989 ⁄ 13 ≈ 922 (м2) 3600 ⁄ 922 ≈ 3,9; 8389 ⁄ 922 ≈ 9,1. Егер Эталон орталығында төрт адам, ал «Қазына-Тауэрда» тоғыз адам жұмыс істесе, жұмыс бір мезгілде аяқталады.

Найдём площади боковых поверхностей указанных фигур. Вычислим S1 — площадь боковой поверхности Эталонного центра. S1 = 30 · 30 · 4 = 3600 (м2). Вычислим S2 — площадь боковой поверхности здания «Казына-Тауэр» по формуле S = π · (r + R) · l, где r, R — радиусы оснований конуса, а l — образующая.

Есеп 35-бетте Задача на 35 стр. Problem on 35 page

Бұл есепті Ер Төстік кубтың жазбасы бойынша шеше алады. Онда ол өзінің және алманың орналасқан жерін нүктемен белгілеп, осы нүктелерді кесіндімен қосу керек.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

l = √(972 + 5,52) ≈ 97,16 S2 ≈ 3,14 · (11 + 16,5) · 97,16 ≈ 8389 (м2) 3600 + 8389 = 11989 м2 — общая площадь, которую необходимо помыть. 11989 ⁄ 13 ≈ 922 (м2) — площадь, которую необходимо помыть одному альпинисту. 3600 ⁄ 922 ≈ 3,9; 8389 ⁄ 922 ≈ 9,1. Значит, если на Эталонном центре будут работать четыре человека, а на «Казына-Тауэр» — девять человек, работа будет завершена почти одновременно.

S = 21,52 · π(200̊⁄300̊) + ½ · 21,52 · sin160̊ ≈ 885 Ответ: 885 м2.

The area of the segment is equal to the sum of the sector area with the central angle of 200º and area of the triangle ABO: S = 21.52 · π(200̊⁄300̊) + ½ · 21.52 · sin160̊ ≈ 885 The area of the segment is 885 square meters.

19 Let’s find the lateral surface area of these figures. Determine S1 — the lateral surface area of the National Center of Accreditation building. S1 = 30 · 30 · 4 = 3600 (м2) Determine S2– the lateral surface area of the “Kazyna Tower” building with the formula S = π · (r + R) · l, where r, R are the radii of the building bases, and l is a generatrix. l = √(972 + 5,52) ≈ 97,16 S2 ≈ 3,14 · (11 + 16,5) · 97,16 ≈ 8389 (m2) 3600 + 8389 = 11989 m2 is the total area to be cleaned. 11989 ⁄ 13 ≈ 922 (m2) is the area to be cleaned by 1 climber. 3600 ⁄ 922 ≈ 3,9; 8389 ⁄ 922 ≈ 9,1. So, if 4 people work at the National Center of Accreditation, and 9 people at “Kazyna Tower,” the work will be completed almost at the same time.

Есеп 41-бетте Задача на 41 стр. Problem on 41 page

Бірінші бала 32-қабатқа көтеріліп, 1-ші қабатқа түскенде, ал екінші бала осы уақытта 37-қабатқа көтеріліп, 11-ші қабатқа түсіп үлгереді. Олар 6-шы қабатқа келгенде бірдей биіктікте болады.

Когда первый мальчик поднялся на 32-ой этаж и спустился на первый этаж, второй мальчик в это время поднялся на 37-ой этаж и успел спуститься только на 11-ый этаж. Тогда они на 6-ом этаже будут находиться на одной высоте.

The first boy went up to the 32-nd floor and then down to the first floor, while the second boy went up to the 37-th floor and managed to come down to the eleventh floor only. So, they were able to find themselves at the same height on the sixth floor.

Есеп 39-бетте Задача на 39 стр. Problem on 39 page

Сегменттің ауданы центрлік бұрышы 200º болатын сектордың ауданы мен ABO үшбұрыш ауданының қосындысына тең: S = 21,52 · π(200̊⁄300̊) + ½ · 21,52 · sin160̊ ≈ 885 Жауабы: 885 м2.

Есеп 43-бетте Задача на 43 стр. Problem on 43 page

Есеп бақылаушының көзінен жер бетіне жүргізілген жанама болып келетін CN кесіндісінің ұзындығын табуға келіп тіреледі. Айталық, СА = h — көкжиекте тұрған бақылаушының биіктігі. Жанаманың квадраты қиюшының h сыртқы бөлігі мен осы қиюшының ұзындығы болып келетін h + 2R шамасының көбейтіндісіне тең, R — жер шарының радиусы. Бақылаушы

Площадь сегмента равна сумме площадей сектора с центральным углом 200º и треугольника ABO : 76

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

көзінің жер бетіне дейінгі қашықтығы жер шары диаметрімен (2R) салыстырғанда тым аз болғандықтан, онда (h + 2R)-ді 2R-ге тең деп алсақ, қарапайым формула шығады: CN2 = h · 2R. Демек, көкжиек алыстығы өте қарапайым формуламен анықталады: d = √(2Rh), R — жер шары радиусы (6400 км шамасында), ал h–жер бетінен бақылау көзінің биіктігі. √6400 = 80 болғандықтан, онда формуланы келесі түрде келтіреміз: d = 80√(2h) ≈ 113√h, h –километр бөлігі болып өрнектеледі. Егер адам 210 м = 0,21 км биіктікте тұрса, онда d ≈ 113√h ≈ 113√0,21 ≈ 52 (км). Бұл-көкжиектің алыстығына әсер етуші факторларды есепке алмағандағы таза геометриялық есептеу.

Если человек находится на высоте 210 м = 0,21 км, то d ≈ 113√h ≈ 113√0,21 ≈ 52 (км). Это расчет чисто геометрический, без учета физических факторов, влияющих на дальность горизонта.

The problem is reduced to calculating the length of the segment CN — a tangent, drawn from the observer’s eyes to the surface of the earth. Let CA=h be the height of the observer above the horizon. The square of the tangent is the product of the external segment (h) of the secant over the whole length of this secant, or over h+2R, where R is the radius of the Earth. Since the elevation of the observer’s eye is normally quite C small compared to the diameter (2R) of the Earth, then h+2R can be taken as 2R and the formula M A N becomes simplified: CN2 = h · 2R. Then, the horizon distance can be calculated usO ing a simple formula: d = √(2Rh), where R is the radius of the Earth (approximately 6400 km), and h is the elevation of the observer’s eyes above the surface of the earth. Since √6400 = 80, then the formula can be writЗадача сводится к вычислению длины отрез- ten as follows: d = 80√(2h) ≈ 113√h, where h must ка CN — касательной, проведенной из глаза на- necessarily be expressed in km. блюдателя к земной поверхности. Пусть СА = If a person is at the height of 210 m or 0.21 km, h — высота наблюдателя над горизонтом. Ква- then драт касательной равен произведению внеш- d ≈ 113√h ≈ 113√0.21 ≈ 52 (km). него отрезка h секущей на всю длину этой секу- This is a purely geometric calculation, without щей, т.е. на h + 2R, где R– радиус земного шара. taking into account physical factors that affect Так как возвышение глаза наблюдателя обычно the horizon distance. крайне мало по сравнению с диаметром (2R) Есеп 45-бетте земного шара, то h + 2R можно принять равным Задача на 45 стр. Problem on 45 page 2R и тогда формула упростится: CN2 = h · 2R. Бұл есептің геометриялық талдауын қарасЗначит, дальность горизонта можно вычислять тырайық: кесіндінің цилиндрдің бетімен үш по очень простой формуле: d = √(2Rh), где R– ортақ нүктесі бар. Кесіндінің цилиндрдің жасарадиус земного шара (около 6400 км), а h — ушысында жататынын дәлелдеу керек. возвышение глаза наблюдателя над земной поБұл кесінді цилиндр жасаушысында жатпасын верхностью. делік. Так как √6400 = 80, то формуле можно придать Бүйір бетінің ортогональді проекциясын следующий вид: d = 80√(2h) ≈ 113√h, және аталған кесіндінің табан жазықтығын где h — непременно должно быть выражено в қарастырайық. Онда кесінді проекциясы кесінді частях километра.

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

болып, бүйір бетінің проекциясы шеңбер болып табылады. Бұдан, кесінді мен шеңбердің үш ортақ нүктесі бар екендігі анықталады. Бұл кесінді мен шеңбердің екіден артық ортақ нүктесі болмайды дегенге қарама-қайшы. Бұл кесінді цилиндрдің жасаушысында жатыр.

массаларының қатынасы олардың көлемдерінің қатынасына, яғни олардың сызықтық өлшемдерінің кубтарының қатынасына тең. Көшірменің биіктігі монументтің биіктігінен 60есе кіші, демек, оны әзірлеуге жұмсалатын қола 603 кем болады. 63 000 ⁄ 216 000 ≈ 0,3(кг). Көшірмені жасауға үш жүз грамдай қола қажет.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию данной задачи: отрезок имеет с поверхностью цилиндра три общие точки. Доказать, что отрезок лежит на образующей цилиндра. Пусть данный отрезок не лежит на образующей цилиндра. Рассмотрим ортогональные проекции боковой поверхности цилиндра и данного отрезка на плоскость основания. Тогда проекцией отрезка является отрезок, проекцией боковой поверхности — окружность. Отсюда получаем, что отрезок и окружность имеют 3 общие точки. Это противоречит тому, что отрезок и окружность имеют не более 2-х общих точек. Следовательно, данный отрезок лежит на образующей цилиндра.

Оригинал и ее копия являются подобными фигурами, т.к. они выполнены из одного материала, то отношение их масс равно отношению их объёмов, т.е. отношению кубов их линейных размеров. Высота копии в 60 раз меньше высоты монумента, следовательно, бронзы на её изготовление понадобится в 603 раз меньше. 63 000 ⁄ 216 000 ≈ 0,3(кг). На изготовление копии потребуется около трехсот грамм бронзы.

The monument and its copy are similar figures. Since they were made of the same material, the Let’s consider the geometrical interpretation of ratio of their masses is equal to the ratio of their this problem: the segment has three common volumes, i.e. the ratio of the cubes of their linear points with the surface of the cylinder. Prove that dimensions. The height of the copy is 60 times the segment lies on the generatrix of the cylinder. less than the height of the original monument. Let this segment not lie on the generatrix of the Hence, 603 less bronze is needed for its manufaccylinder. ture. Let’s consider the orthogonal projection of the 63 000 ⁄ 216 000 ≈ 0,3 (kg). cylinder is lateral surface and the given segment To manufacture the copy 300 g of bronze is needon the base plane. Then the projection of the seg- ed. ment is a segment, and the projection of the lateral surface is a circle. This implies that the segЕсеп 57-бетте ment and the circle have more than 2 common Задача на 57 стр. Problem on 57 page points. This contradicts the fact that the segment and the circle have no more than 2 common Әр баспалдақ аралығындағы басқыштар саны points. Thus, the given segment lies on the gen- n делік. Пол Крейктің орташа жылдамдығы сеeratrix of the cylinder. кундына v баспалдақ. Сонда Полдың жұмсаған

уақыты тура (86n) ⁄ v сек, ал «Гранд Алатаудағы» қатысушылардың кеткен уақыты тура 43n ⁄ (v – 1) + 43n ⁄ (v + 1) сек. Түпнұсқа мен оның көшірмесі бір-біріне ұқсас Осы өрнектерді салыстыру үшін олардың айырпішіндер, олар бір материалдан жасалған, яғни, масын табайық.

Есеп 55-бетте Задача на 55 стр. Problem on 55 page

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

86n ⁄ v – (43n ⁄ (v – 1) + 43n ⁄ (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 43n · (1 ⁄ (v – 1) + 1 ⁄ (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 43n · 2v ⁄ ((v – 1) · (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 86nv ⁄ (v2 – 1) = -86n ⁄ (v(v2 – 1)) Табылған өрнектердің жауабы ойдағыдай емес, яғни Пол жүгіруге аз уақыт жұмсады, демек оның рекорды жаңармайды деген сөз.

лып келетін жарты сақинаның аудандарының қосындысына тең: SАВСD = S EFKL = 2,55 · 15 = 38,25 (м2) S1= π (R2 – r2) : 2 ≈ 3,14 · (9,552 – 72) : 2 ≈ 66(м2) S = 2 · 38,25 + 66 = 142,5(м2) Балкон алаңы 142,5 м2 құрайды.

Площадь балкона равна сумме площадей прямоугольников АВСD, EFKL и полукольца с радиусами r и R: SАВСD = S EFKL = 2,55 · 15 = 38,25(м2) S1= π (R2 – r2) : 2 ≈ 3,14 · (9,552 – 72) : 2 ≈ 66(м2) S = 2 · 38,25 + 66 = 142,5(м2) Площадь балкона составляет 142,5 м2

Пусть n — количество ступеней на каждом лестничном пролете, а v ступеней в секунду — средняя скорость Пола Крейка. Тогда время, потраченное Полом в Эмпайр-стейт-билдинг, равно 43n ⁄ (v – 1) + 43n ⁄ (v + 1). Для сравнения этих выражений найдем их разность. 86n ⁄ v – (43n ⁄ (v – 1) + 43n ⁄ (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 43n · (1 ⁄ (v – 1) + 1 ⁄ (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 43n · 2v ⁄ ((v – 1) · (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 86nv ⁄ (v2 – 1) = -86n ⁄ (v(v2 – 1)) Значение полученного выражения отрицательно, следовательно, Пол потратил на забег в Эмпайр-стейт-билдинг меньше времени, т.е. он не улучшит свой рекорд.

The area of the balcony is the sum of areas of rectangles АВСD, EFKL and semicircles with radii r and R. SАВСD = S EFKL = 2.55 · 15 = 38.25 (m2) S1= π (R2 – r2) : 2 ≈ 3,14 · (9.552 – 72) : 2 ≈ 66 (m2) S = 2 · 38.25 + 66 = 142.5 (m2) The area of the balcony is 142.5 square meters.

Let n be the number of steps on each stairwell, and v steps per second — the average speed of Paul Crake. Then, the time spent by Paul Crake in The Empire State Building is (86n) ⁄ v seconds, and time spent by the runner in “Grand Alatau” is 43n ⁄ (v – 1) + 43n ⁄ (v + 1) seconds. To compare these expressions we find their difference. 86n ⁄ v – (43n ⁄ (v – 1) + 43n ⁄ (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 43n · (1 ⁄ (v – 1) + 1 ⁄ (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 43n · 2v ⁄ ((v – 1) · (v + 1)) = = 86n ⁄ v – 86nv ⁄ (v2 – 1) = -86n ⁄ (v(v2 – 1)) The value of this expression is negative, therefore, Paul had spent less time in the race, i.e. his record would not be improved.

Есеп 59-бетте Задача на 59 стр. Problem on 59 page

«Кілт» бірнеше пішіндерден АВСD-тік төртбұрышы, DЕLN тік төртбұрышы және жарты дөңгелектен (NLM пішінінің ауданын елемеуге болады) тұрады. SABCD = SEFKL = 3,85 · 2,4 ≈ 9,2 (м2) SDELN = 1,15 · 15,3 ≈ 17,6 (м2) S1 = πR2 ⁄ 2 ≈ 3,14·(3,3)2 ⁄ 2≈ 17,1 (м2) S ≈ SABCD + SDELN + S1 ≈ 9,2 + 17,6 + 17,1 ≈ 44 (м2) Дәліз алаңы 44м2 құрайды.

«Ключ» состоит из нескольких фигур прямоугольника АВСD, прямоугольника DЕLN и полукруга (площадью фигуры NLM можно пренебречь). SABCD = SEFKL = 3,85 · 2,4 ≈ 9,2 (м2) SDELN = 1,15 · 15,3 ≈ 17,6 (м2) S1 = πR2 ⁄ 2 ≈ 3,14·(3,3)2 ⁄ 2 ≈ 17,1 (м2)

Есеп 59-бетте Задача на 59 стр. Problem on 59 page

Балкон ауданы АВСD, EFKL тік төртбұрыштар аудандары мен радиустары r және R бо79

АСТАНА ГЕОМЕТРИЯСЫ ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ GEOMETRY OF ASTANA

S ≈ SABCD + SDELN + S1 ≈ 9,2 + 17,6 + 17,1 ≈ 44 (м2) Площадь коридора составляет 44м2.

b = S ⁄ (π · a) = 1920 ⁄ (3,14 ·47) ≈ 13 (м) б) Кононическое уравнение эллипса имеет вид: x2 ⁄ a2 + y2 ⁄ b2 = 1. В нашем случае a = 47, b = 13. Уравнение эллипса имеет вид: x2 ⁄ 472 + y2 ⁄ 132 = 1 или x2 ⁄ 2209 + y2 ⁄ 169 = 1.

The “key” consists of several shapes – rectangle АВСD, rectangle DЕLN and a semi-circle (the area of the NLM shape can be neglected). SABCD = SEFKL =3.85 · 2.4 ≈ 9.2 (m2) SDELN = 1.15 · 15.3 ≈ 17.6 (m2) S1 = πR2 ⁄ 2 ≈ 3.14·(3.3)2 ⁄ 2 ≈ 17.1 (m2) S ≈ SABCD + SDELN + S1 ≈ 9.2 + 17.6 + 17.1 ≈ 44 (m2) The area of the corridor is 44 square meters.

в) Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси. Эксцентриситет эллипса вычисляется по формуле E= c ⁄ a, где c = √(a2 – b2) = √(472 – 132) ≈ 45 (м) Теперь можно найти величину эксцентриситета Е = 45 ⁄ 47 ≈ 0,96.

Есеп 61-бетте Задача на 61 стр. Problem on 61 page

г) Найдем сначала объем помещения V = 1920 · 3,5 ≈ 6720 (м3). Считая, что одному человеку достаточно пространство в 12м3, находим искомое число людей: n= V ⁄ 12 = 6720 ⁄ 12 ≈ 560. Значит, 560 человек могут находиться на одном этаже такого помещения несколько часов.

a) Эллипстің ауданы S = πab формула бойынша анықталады, мұндағы a және b эллипстің жарты осьтері. Кішкене жарты осьті табайық: b = S ⁄ (π · a) = 1920 ⁄ (3,14 ·47) ≈ 13 (м) б) Эллипстің теңдеуі: x2 ⁄ a2 + y2 ⁄ b2 = 1. Біздің жағдайымызда a = 47, b = 13. Эллипс теңдеуі мынадай болады: x2 ⁄ 472 + y2 ⁄ 132 = 1 немесе x2 ⁄ 2209 + y2 ⁄ 169 = 1.

a) The formula for the area of the ellipse is S = πab, where a and b are the semi-axes of the ellipse. Let’s find the minor semi-axis: b = S ⁄ (π · a) = 1920 ⁄ (3.14 ·47) ≈ 13 (m)

в) Эллипстің эксцентриситеті деп осы эллипс фокустарының ара қашықтығының оның үлкен осінің ұзындығына қатынасын айтамыз. Эллипс эксцентриситеті мына формула бойынша E = c ⁄ a, мұндағы c = √(a2 – b2) = √(472 – 132) ≈ 45 (м) бойынша анықталады. Енді эксцентриситеттің Е = 45 ⁄ 47 ≈ 0,96 шамасын табуға болады.

b) The canonical equation of the ellipse is given by x2 ⁄ a2 + y2 ⁄ b2 = 1. In our case a = 47, b = 13. The equation of the ellipse is given by x2 ⁄ 472 + y2 ⁄ 132 = 1 or x2 ⁄ 2209 + y2 ⁄ 169 = 1.

г) Алдымен ғимараттың көлемін табамыз V = 1920 · 3,5 ≈ 6720 (м3). Бір адамға 12 м3 кеңістік жеткілікті деп есептеп, адамдардың іздеген санын табамыз: n = V ⁄ 12 = 6720 ⁄ 12 ≈ 560. Яғни, осындай ғимараттың бір қабатында 560 адам бірнеше сағат бойы тұра алады.

c) The eccentricity of the ellipse is the ratio of the distance between the foci of the ellipse to the length of its major axis. The formula of the eccentricity of the ellipse is E= c ⁄ a, where c = √(a2 – b2) = √(472 – 132) ≈ 45 (m). You can now find the value of the eccentricity Е = 45 ⁄ 47 ≈ 0.96.

a) Площадь эллипса вычисляется по формуле S=πab, где a и b — полуоси эллипса. Найдем малую полуось:

d) Firstly we find the volume of a room V = 1920 · 3.5 ≈ 6720 (m3). Assuming that 12 m3 is enough space for one person, we find the required number of people: 80

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ СБОРНИК ЗАДАЧ APPLIED PROBLEMS

n = V ⁄ 12 = 6720 ⁄ 12 ≈ 560. Thus, 560 people can simultaneously be on the same floor for several hours.

Находим площадь каждой трапеции: SABCD = (14,8+13) : 2 · 6 ≈ 83 (м2), SABCD = (7,8+4,3) : 2 · 17 ≈ 103 (м2). Тогда площадь искомого бутика равна S = SABCD + SEKLM ≈ 83 + 103 = 186 (м2).

Есеп 63-бетте Задача на 63 стр. Problem on 63 page

Бірінші фигураны тақтаның 64 алаңының кез келгеніне орналастыруға болады. Бірінші фигураны жайғастырған соң екіншісін қалған 63 алаңның біріне қоюға болады. Демек, бірінші фигураның 64 орналасу жағдайларының әрқайсысына екінші фигураның 63 орналасу жағдайы сәйкес келеді. Осыдан тақтадағы екі пешканың орналасу жағдайларының жалпы саны мынадай болады 64 · 63 = 4032.

We find the trapezoids’ areas: SABCD = (14.8 + 13) : 2 · 6 ≈ 83 (m2), SABCD = (7.8 + 4.3) : 2 · 17 ≈ 103 (m2). So, the area of the required pavilion is S = SABCD + SEKLM ≈ 83 + 103 = 186 (m2).

Первую фигуру можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая фигура поставлена, вторую можно поставить на какую-либо из оставшихся 63 полей. Значит, каждому из 64 положений первой фигуры соответствует 63 положения второй. Отсюда общее число различных положений фигур на доске равно 64 · 63=4032.

The first piece can be placed on each of 64 fields on the board, i.e. 64 ways. As soon as the first figure is placed, the second can be put on any of the rest 63 fields. This means that each of the 64 positions of the first figure corresponds to 63 positions of the second. Hence, the total number of different positions of the figures on the board is 64 · 63 = 4032.

Есеп 65-бетте Задача на 65 стр. Problem on 65 page

Әр трапецияның ауданын табамыз: SABCD = (14,8 + 13) : 2 · 6 ≈ 83 (м2), SABCD = (7,8 + 4,3) : 2 · 17 ≈ 103 (м2). Онда ізделетін павильонның ауданы S = SABCD + SEKLM ≈ 83 + 103 = 186 (м2). 81

Геометрия есть познание всего сущего. Платон

210 м

155 м

Административный комплекс «Изумрудный квартал»

Офисное здание «Transport Tower»

175 м

Офисное здание «Қазақстан Темір Жолы»

155 м

Жилой комплекс «Северное сияние»

Астана — город 21 века, он должен опережать свое время. Н.А. Назарбаев

150 м

142 м

Хан Шатыр

Жилой комплекс «Триумф Астаны»

144 м

Жилой комплекс «Гранд-Алатау»

Литература 1. 2. 3. 4. 5.

Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл. — М.: Дрофа, 2008 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. — М.: АСТ, 2006 Звавич Л. И., Чинкина М. В. Многогранники: развертки и задачи. — М.: Дрофа, 2005 Ле Корбюзье «Архитектура XX века». — М: Прогресс, 1977 Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. — М.: АСТ: Астрель, 2008 6. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: «Просвещение», 1996 7. Савин А. «Олимпийские кольца» — «Квант», 1980, №7 8. Калинин А. «Эта удивительная вязь колец» — «Квант», 1981, №9

Интернет-ресурсы: www.inform.kz www.ckzkazakhstan.kz www.astana-almaty2011.kz www.khabar.kz www. ru.wiki pedia.org/wiki www.zonakz.net www.astana-hotels www. gelio-nsk.livejournal.com www. wikimapia.org www. sergey-mironov.livejournal.com www. urbanismo.ru

www.kazpravda.kz www. visitkazakhstan.nur.kz www.astana.kz www. news.nur.kz www.continent.kz www.zakon.kz/kazakhstan www. kazakh.gorod.tomsk.ru www.kp.kz www.skyscrapercity.com www.ebrd.com www.asadov.ru

ГЕОМЕТРИЯ АСТАНЫ Сборник задач Составители задач: Апеева Г.К., Кожахметова Г.Б., Касимов Б.М. Эсанбаев Г.К., Жампеисова Г.Д., Ажгалиев У.А., Абилкаева С.Ш., Касымханов Н.М., Жаманбаева А.Д., Ынтыкбаева М.У., Косова Г.П., Жулдасов Ж.М. Перевод на английский язык Абильденовой Д.М.

Через Астану мы открыли новый Казахстан глобальному миру. Но, прежде всего, этот город по-новому мы открыли для себя, для своего Отечества. Н.А. Назарбаев