Tp4 ejercicios resueltos por docentes

MATEMATICA DISCRETA UNIDAD IV GRAFOS y ARBOLES EJERCICIOS RESUELTOS POR DOCENTES

Ejercicio 1 1) En cada uno de los siguientes apartados exprese simb贸licamente a: a)Conjunto V de v茅rtices y el conjunto E de lados. e6

1 1

2

e1

e2

2

e1

3 e3 e2

e5

e3

3

4

e6

e4 e4

4

e7

V= {1,2,3,4} V= {1,2,3,4} E ={e1,e2,e3,e4}

E ={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}

1b. Indique el grado de cada vértice. Observe que se cumple que g(v)=2|E|

e6

1

2

e1

e2

1

3

2

e1

e3

e3 e5

4

3

e4 v 1 2 3 4

e2

g(v) 1 3 1 3

|E|=4 g(v)=2|E| G(1)+G(2)+G(3)+G(4)=2|E| 1+3+1+3=2.4 8=8  Se cumple

e6

e4

4

5 e7 v 1 2 3 4 5

g(v) 5 3 3 3 2

|E|=8 g(v)=2|E| G(1)+G(2)+G(3)+G(4) )+G(5)=2|E| 5+3+3+3+2=2.8 16=16  Se cumple

c. Enumere todas las trayectorias que comienzan en 1 de la gráfica a).

Diga cual es un camino simple d. Enumere todos los circuito que comienza en 3 de la segunda gráfica.

Diga cual es ciclo e6

1

2

e1

e2

1

3

2

e1 e3

e3

e2

e5

4 e4

e4

4 trayectoria 1,2 1,2,3 1,2,4 1,2,4,4

e6

3

longitud es camino simple?

1 si 2 si 2 si 3 no

•Responda : Alguna de estas gráficas es simple?

No, dado que poseen lazos

circuito 3,2,1,3 3,2,1,1,3 3,4,1,3 3,4,1,1,3 3,2,1,4,3 3,2,1,1,4,3 3,4,1,2,3 3,4,1,1,2,3 3,2,5,4,3 3,4,5,2,3 y otros

…

e7 longitud 3 4 3 4 4 5 4 5 4 4

5 es ciclo? si no si no si no si no si si

Ejercicio2: a)Trace una imagem de la gráfica G=(V, E, ‫)ﻵ‬ A donde : V={A, B, C, D, E} e1 E={e1, e2, e3,e4,e5,e6} e2 e5 ‫(ﻵ‬e1)= ‫(ﻵ‬e5)={A, C}, D ‫( ﻵ‬e2)={A, D}, ‫(ﻵ‬e3)={E, C}, e6 E e3 ‫(ﻵ‬e4)={B, C}, ‫(ﻵ‬e6)={E,D}

B

e4 C

6

b)V={1 , 2 , 3 , 4}, E={e1, e2, e3,e4,e5,e6} y la función  es tal que (e1)= {1,2} , (e2)={1,3} , (e3)={1,4}, (e4)={2,3}, (e5)= {2,4} y (e6)={3,4}

1

2 e1

e3

e2

e4

e5 e6 4

3

Alguna de estas gráficas es simple? Es conexa? Alguna es completa? ¿Cuál es el grado de cada vértice? Alguna es regular?

7

Respuesta: a) No es simple, hay aristas paralelas. Es conexa, desde cualquier vertice se puede trazar trayectorias hacia todos los demas. No es completa, hay vertices no conectados.

Los grados de A,B,C ,D y E son respectivamente: 3,1,4,2,y 2. No es una gráfica regular, los vértices tienen distintos grados b) Es simple, no hay lazos ni aristas paralelas. Es conexa, desde cualquier vertice se puede trazar trayectorias hacia todos los demas. Es completa, hay aristas unicas entre todo par de vertices distintos. Los grados de 1,2,3 y 4 son iguales a 3. Es regular, todos tienen el mismo grado

Ejercicio 3 8

a) Trace los grafos completos: K1 , K2 , K3 , K4 , K5

b) Trace un grafo 3-regular que no sea K4 y un grafo 4-regular simple que no sea K5 c)Considere Kn, la gráfica completa de n vértices. ¿Cuántas aristas posee? d) Considere Ln, la grafica lineal de n vértices, ¿Cuántas aristas posee?

Respuestas: K5

a) K2 K1

K3

K4

b) Trace un grafo 3-regular que no sea K4 y un grafo 4-regular simple que no sea K5

Un grafo 3-regular tiene todos los vértices grado 3 Y además que no sea K4, podría ser:

Un grafo 4-regular tiene todos los vértices grado 4, y además que no sea K5 podría ser:

c)Considere Kn, la gráfica completa de n vértices. ¿Cuántas aristas posee? d) Considere Ln, la grafica lineal de n vértices, ¿Cuántas aristas posee?

Respuestas: c) Sea Kn . Dado que una arista está determinada por dos vértices distintos, contar la cantidad de aristas de un grafo completo es equivalente a contar de cuantos modos se puede elegir 2 vértices de un conjunto de n vértices? La respuesta esta en el tema de Combinatoria:

n! n(n  1) Cn,2   2!(n  2)!

2 d) Dado que en Ln hay una arista entre dos vertices consecutivos siempre el grafo sera una poligonal . Por lo tanto si hay 2 vertices, hay 1 arista, si hay 3 vertices , hay 2 aristas, si hay n vértices hay (n-1) aristas

Ejercicio N° 4: Utilizando la gråfica de la figura: Determine las graficas cociente generadas por las siguientes particiones a) V/R= {{a, f}, {e, b, d}, {c}}

G

GR

b

a

[a]

f e

c

d

[c]

[b]

b) V/R = {{a, b}, {e}, {d}, {f,c}}

b

a f

e

c G

GR

d [a]

[c]

[e]

[d]

Ejercicio N° 5: Indique si la gráfica tiene un circuito de Euler, una trayectoria de Euler, o B ninguno de éstos. Justifique.

A

1

C

B

2 A

D

3 C

8

6

7 vertice A B C D

grado 2 3 2 5

No tiene circuito de Euler ya que tiene vertices de grado impar pero posee trayectoria de Euler dado que tiene exáctamente dos vertices de grado impar.

Elijo B para comenzar , entonces B,C,D,B,A,D,D es una de las trayectorias de Euler encontradas

4

D

5

vertice A B C D

grado 4 4 4 4

Tiene circuito de Euler ya que tiene todos los vertices tienen grado par .

Dado que tiene lados paralelos, hay que etiquetar las aristas para representar a cualquier circuito.

El siguiente es un circuito de Euler para el grafo dado: A,1,B,3,C,5,D,7,A,2,B,4,C,6,D,8,A

Ejercicio 6: 

Dada la siguiente grafica, utilice el algoritmo de Fleury para obtener un circuito de Euler que comience en k, tomando el orden alfabético en los casos de elección entre dos o mas aristas

b a V {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l}

c k j

f

d l i

E conjunto de aristas

Verifico que todos los vértices tienen grado par

e

g h

b a

d

f

c k l e j b

a

i d

g h f

c k l e j b

a

i d

g h f

c k l e j

i

Paso 1: Elijo el vertice de partida: k. El circuito comienza. ďƒž: k Paso 2: Inciden en k las aristas {k,d} y {k,i}, ninguna es puente, elijo la arista {k,d} ya que d precede a i en el alfabeto, prolongo el circuito y elimino {k,d} . ďƒž: k , d Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

Paso 2: En d inciden las aristas {d,c}y {d,e} ninguna es puente, elijo la arista {d,c} ya que c precede a e en el alfabeto, prolongo el circuito y elimino {d,c} ďƒž: k , d , c Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

g h

b a

d

f

c k l e j b

a

i d

g h f

c k l e j

a

i d

g h f

c k l e j

i

Paso 2: En c inciden las aristas {c,b}y {c,j} y {c,i}, ĂŠsta ultima es puente, entonces se debe elegir entre las dos primeras. Elijo {c,b} ya que b precede a j en el alfabeto, prolongo el circuito y elimino {c,b} ďƒž: k , d , c,b Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

g h

Paso 2: En b solo incide {b,a} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {b,a} y el vertice b ďƒž: k , d , c,b,a Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

a

Paso 2: En a solo incide {a,j} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {a,j} y el vertice a ďƒž: k,d,c,b,a,j Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

f

d c k l e

g

i

j d

h f

c k l e j

i d c k l e

g h f g

Paso 2: En j solo incide {j,c} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {j,c} y el vertice j ďƒž: k,d,c,b,a,j,c Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En c solo incide {c,i} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {c,i} y el vertice c ďƒž: k,d,c,b,a,j,c,i Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

18

d

f

k l e i d

g h f

k l e i d

g h f

k l e i

g h

Paso 2: En i inciden {i,k}, {i,l}, e {i,e} la 1º es puente, se debe elegir entre las dos ultimas. Elejimos {i,e} pues e precede a l en el alfabeto, prolongo el circuito y elimino {i,e} : k,d,c,b,a,j,c,i,e Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En e inciden {e,d}, {e,f}, y {e,h} la 1º es puente, se debe elegir entre las dos ultimas. Elejimos {e,f} pues f precede a h en el alfabeto, prolongo el circuito y elimino {e,f} : k,d,c,b,a,j,c,i,e,f Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

19

d

f

k l e i d

g h

k l e i d

g h

k l e i

h

Paso 2: En f solo incide {f,g} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {f,g} y el vertice f ďƒž: k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En g solo incide {g,h} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {g,h} y el vertice g ďƒž: k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En h solo incide {h,e} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {h,e} y el vertice h ďƒž: k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h,e Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas

d

k l e i d k l i k l i k i

Paso 2: En e solo incide {e,d} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {e,d} y el vertice e : k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h,e,d Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En d solo incide {d,l} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {d,l} y el vertice d : k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h,e,d,l Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En l solo incide {l.i} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {l.i} y el vertice l : k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h,e,d,l,i Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En l solo incide {l.i} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {l.i} y el vertice l : k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h,e,d,l,i Paso 3: repito el paso 2, ya que quedan aristas Paso 2: En i solo incide {i,k} se debe elegir , prolongo el circuito y elimino {i.k} y el vertice i : k,d,c,b,a,j,c,i,e,f,g,h,e,d,l,i,k Paso 3: FIN , ya no quedan aristas. El circuito logrado es un Circuito de Euler k-k

Un museo de arte ha ordenado la exposición que actualmente se presenta

Ejercicio 7

en seis salas, como muestra la siguiente figura. ¿Existe alguna forma de recorrer la exposición de modo que Ud. pase por cada puerta sólo una vez?.

En ese caso, trace su recorrido y expréselo simbólicamente

8

A 1

C 12

G

3

9

10

E

5

2

D

B

11

4

F

6

7

G

Solución: Diseñamos una grafica en el cual cada habitación y el exterior es un vértice de la grafica y cada puerta es una arista . Interesa recorrer todas B las aristas exactamente una vez.

8 Se encuentra un circuito de Euler dado que todos 11 los vertices tienen grado par.

Aplicando el algoritmo de Fleury al grafo dado se tieneAel siguiente procedimiento

5 10

F E

6

9

12

1

7

3

4

D C

2

22

Comencemos en el exterior, o sea en el punto E G 5 10

F E

: E

6

9

B 8

12

7

3

D

11

A

G

1

4

C

2

5 10

F E

6

9

B 8

12

7

3

A

1

4

D

11

C

2

En E inciden 6 aristas, elijo{E,B} , que no es puente y porque B precede F y D en el orden alfabético

: E,9,B

23

G 5 10

En B inciden 3 aristas, elijo{B,A} , que no es puente y porque A precede E y G en el orden alfabético

F E

6

B 8

12

D

11

A

: E,9,B,11,A

4

7

3

C

1

2

En A inciden solo una arista , la elijo G

: E,9,B,11,A,1,C 5

10

A

12

1

10

F

6

E

B 8

5

F E

7

3

4

D C

2

G

En C inciden solo una arista , la elijo

6

B 8

12

7

3

4

D

C

2

: E,9,B,11,A,1, C,2 D

G

En D inciden 3 aristas, elijo {D,E} ya que no es puente y ademas E precede a F

5 10

F E

6

: E,9,B,11,A,1,C,2 ,D,12,E

B 8

12

3

4

7

D En E inciden 4 aristas, elijo {E,B} ya que no es puente y Ademas B precede a F y D

G 5 10

F

E

6

: E,9,B,11,A,1,C,2 ,D,12,E,8,B

B 8

12

3

7

4

D

..y asi.. sucesivamente.. se obtiene el siguiente circuito de Euler por aplicación del Algoritmo de Fleury y usando el orden alfabético cada vez que se debia elegir entre dos o más aristas

: E,9,B,11,A,1,C,2 ,D,12,E,8,B,10,G,5,F,4,D,3,E,6,F,7,E

Ejercicio 8: 



Determine si las siguientes gráficas tienen un circuito de Hamilton, una trayectoria o ninguno de los dos. Exprese los resultados encontrados por medio de la sucesión correspondiente. En caso de no existir justifique su Observar la cantidad de vértices n: respuesta n=7  n/2 = 3.5 a) Se concluye que no podemos aplicar el teorema ya 1

2 4

5

6

7

3

que hay vértices de grado menor que 3,5 Entonces, para ver si existe Ciclo de Hamilton, solo se puede aplicar la definición.

El vértice 4 es muy especial, no se puede transitar por todo el grafo y volver al punto de partida sin pasar dos veces por 4. Por lo tanto no posee ciclo de Hamilton Pero posee trayectoria de Hamilton: Una de ellas puede ser: 3,1,2,4,5,7,6

26

8b) b

a

Podemos aplicar el teorema ya que todos los vĂŠrtices son de grado mayor que 2.5 Entonces, por el teorema, este grafo posee Ciclo de Hamilton. Uno de ellos podria ser: a,b,e,c,d,a

e

d

Observar la cantidad de vĂŠrtices n: n=5 ďƒ n/2 = 2.5

c Tambien posee trayectoria de Hamilton, simplemente, no vuelvo al vertice de partida. Una de ellas puede ser: a,b,e,c,d

Ejercicio 9: 

Sea R AxA. Determine si R es un árbol con raíz. En caso afirmativo, diga si alguno es binario. a) A={a, b, c, d, e}R={(a,b), (b,e), (c,d), (d,b), (c,a)} c

Solución: d

a

b

Encontramos un único vértice de grado interno cero; c Los vértices a, d, y e tienen grado interno 1 y el vértice b Tiene grado interno 2, por lo que no es un árbol.

Observe además que desde c hacia el vértice b hay más de una trayectoria lo que contradice la definicion de árbol (cab y cdb )

e

.

9b) A={a, b, c, d, e, f}

R={(a,b), (c,e), (f,a), (f,c), (f,d)} f d

c e

a b

Solución : Si es un árbol con raíz en f , ya que es el único vértice de grado interno 0, y los otros vértices tienen grado interno 1.

Hay una única trayectoria desde la raiz hacia cualquier vértice.

Observe que se cumplen que R es arreflexiva, asimétrica y atransitiva.

No es un árbol binario´porque hay vértices con más de dos hijos En este caso f que tiene 3.

9c) A={a, b, c, d, e, f}

R={(a,b), (c,e), (f,a), (f,c), (f,d)} f b e

a d c

Solución : Si es un árbol con raíz en f , ya que es el único vértice de grado interno 0, y los otros vértices tienen grado interno 1.

Hay una única trayectoria desde la raiz hacia cualquier vértice.

R es arreflexiva, asimétrica y atransitiva.

Es un árbol binario, ya que los vértices tienen como máximo dos hijos.

Ejercicio 10: a) Cuál es la altura de T?

vo

v2

v1 v4

v5

v6

v3 v7

v8

v9

b) Enumere todos los vértices de nivel 3.

v11

c) Enumere todas las hojas.

v12

v13

d) ¿Cuáles son los hermanos de v8?

v10

e) ¿Cuáles son los hijos de v8? f) Encuentre los subárboles T(v2) y T(v3). ¿Cuál es la altura de cada uno? g) Forman el conjunto de vértices {v3,v7,v8,v13} y las aristas que inciden en ellos un subárbol de T? h) ¿Es T un n-árbol?. En caso de ser así ¿para cuál entero n? i) ¿Es T un n-árbol completo? Si lo es, ¿para qué entero n?

v15

v14

Respuestas: a) Altura: 4 , dado que el mayor nivel alcanzado es 4 b) Los vértices del nivel 3 son: v10,v11,v12,v13,v14 c) Los vértices hojas son: v5,v7,v9,v10,v11,v12,,v14,v15 d) Hermanos de v8: v7 y v9 e) Hijos de v8: v13 y v14 v3 f) Subárbol T(v2) Subárbol T(v3) v 2

v7 v5

v8

v9

v6 v13

v14

v12 v15

g) {v3,v7,v8,v13} no forman un subárbol, no se cumple la definición h) T es un 3-árbol, ya que al menos un vértice tiene 3 hijos i) No es un 3-arbol completo, pues no todos los vértices con hijos tienen exactamente 3

Ejercicio 11: Construya el årbol de la expresión algebraica: a) (7 + (6-2)) – (x – (y-4)) b) c)

((2+x) – (2 * x)) – (x-2) đ?’™+đ?’šđ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?’šâˆ’đ?’™

đ?’™

∗ đ?&#x;?

-

a) (7 + (6 - 2)) – (x – (y - 4))

Argumento Argumento Operador Izquierda derecha Central (raĂ­z)

(7 + (6 - 2))

(x – (y - 4))

Operador Central (raĂ­z)

Operador Central (raĂ­z)

-

-

+

7

+

-

(6 - 2) Operador Central (raĂ­z)

x

(y - 2) Operador Central (raĂ­z)

-

-

7

6

x

2

-

y

2

-

b) ((2+x) – (2 * x)) – (x-2)

((2+x) – (2 * x))

Argumento Argumento Operador Izquierda derecha Central (raíz)

(x - 2)

Operador Central (raíz)

Operador Central (raíz)

–

-

(2+x)

(2 * x)

Operador Central

Operador Central

x

– 2

+ 2

-

x

* x

2

x

2

35

* /

+ x

-

^ y

/

y 2

1

^ x

2

x

Ejercicio 12: a ) La máxima cantidad de hojas que puede tener un árbol binario de altura 2 es 4 , de altura 3 es 8 y…de altura h es 2h.

b) Con altura 1, hay 3; con 1 o 2 hojas

Con altura 2: Considerando el árbol binario de altura 2 , en el mismo debe haber como mínimo una hoja, pudiendo tener 2, 3 y 4 hojas:

1Âş caso: Si la raiz tiene solo un hijo (nivel 1), ĂŠste puede tener a los sumo dos hijos (un hijo a la izquierda o un hijo a la derecha o dos hijos) los cuales estarĂĄn en el nivel 2

2Âş caso: La raĂ­z tiene dos hijos (nivel 1) y cada hijo de la raiz tiene hijos (los cuales pueden estar a la izquierda o a la derecha o en ambos lados) ,ellos formaran los vĂŠrtices del nivel 2 En total hay 21 arboles posicionales de altura 2

Ejercicio 13 

Muestre cuál es el resultado de realizar una búsqueda en preorden, entreorden y postorden del árbol cuyo dígrafo es a)

x

Recorrido con preorden: Solución: x,y,s,z,t,u,v Recorrido con entreorden: Solución: y,s,x,z,v,u,t Recorrido con postorden: Solución: s,y,v,u,t,z,x

y

z t

s u

v

b) Recorrido con preorden:

*

Soluci贸n: *-+2312

-

Recorrido con entreorden: Soluci贸n: 2+3-1*2 Recorrido con postorden: Soluci贸n: 23+1-2*

2

2

+

1 3

Ejercicio 14 Evalúe la expresión dada en notación prefija: a) * - + 3 x – 7 y / 8 * 3 – 6 x

Notacion Fxy se reemplaza por xFy

*-+34–72/ 8 *3–64

+34 , 3+4=7 y reemplazo

*-7–72/ 8 *3–64

-72 , 7-2=5 y reemplazo

*-75/ 8 *3–64

-75 , 7-5=2 y reemplazo

*2/ 8 *3–64

-64 , 6-4=2 y reemplazo

*2/ 8 *32

*32 , 3*2=6 y reemplazo

*2/ 8 6

/86 , 8/6=4/3 y reemplazo

* 2 ,4/3

*2,4/3 , 2*4/3=8/3

b)

+ / - * 3 x * 4 y + x5 * 2 – 6 y

donde x = 2 e y = 3

Notacion Fxy se reemplaza por xFy +/ - * 3 2 * 4 3 + 25 * 2 – 6 3

Reemplazo las variables

+ / - * 3 2 * 4 3 + 25 * 2 – 6 3

*32 , 3*2=6 y reemplazo

+ / - 6 * 4 3 + 25 * 2 – 6 3

*43 , 4*3=12 y reemplazo

+/ - 6 12 + 25 * 2 – 6 3

-612 , 6-12=-6 y reemplazo

+/ ,- 6, + 25 * 2 – 6 3

-63 , 6-3=3 y reemplazo

+ / ,- 6, + 25 * 2 3

*23 , 2*3=6 y reemplazo

+/ ,- 6, + 25, 6

+25, 2+5=7 y reemplazo

+/,-6,7,6 +,-6/7,6

/,-67 , -6/7 y reemplazo +,-6/7,6 , -6/7 + 6 = 36/7

Ejercicio 15 Evalúe la expresión dada en notación Posfija a)

4 x 2 / – 5 * y 2 * 5 * 3/ / 4 3 2 / – 5 * 4 2 *5*3 / /

4 3 2 / – 5 * 4 2 *5*3 / / 4 3 2 / – 5 * 85*3 / / 4, 3 /2 – 5 *85 *3 / / 5/2 5 * 85 *3 / / 25/2 ,85 *3 / / 25/2 ,40,3 / / 25/2 , 40/3 /

donde x=3 e y= 4 Notacion xyF se reemplaza por xFy 42* , 4*2=8 y reemplazo

32/ , 3/2 = 3/2 y reemplazo 4,3/2 – , 4 –3/2 = 5/2 y reemplazo 5/2 5 * , 5/2 * 5 = 25/2 y reemplazo 85* , 8*5 = 40 y reemplazo 40,3/, 40/3 =40/3 y reemplazo 25/2, 40/3 / (25/2) / (3/40) = 15/16

b)

x2–3+y3 y+-w3-* /

donde

x=7 , y=2

y w=1

Notacion xyF se reemplaza por xFy 72 – 3 + 2 3 2 + - 1 3 - * /

Reemplazo las variables

72 – 3 + 2 3 2 + - 1 3 - * /

72- , 7-2=5 y reemplazo

53+23 2+-13-*/

53+ , 5+3=8 y reemplazo

8 2 3 2+ - 1 3 - * /

32+ , 3+2=5 y reemplazo

8 2 5-1 3 - * /

25- , 2-5=-3 y reemplazo

8– 3 13- * /

13- , 1-3=-2 y reemplazo

8– 3 -2* /

-3-2* , -3*-2=6 y reemplazo

86/

86/ . 8/6