Procesos Estocásticos: Procesos de Poisson

Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional Bolivariana U.NE.F.A.N.B Nucleo Aragua - Sede Maracay

CADENAS DE MARKOV Biografia de Andrei Markov

PROCESOS ESTOCASTICOS PROCESOS DE POISSON, YULE, RENOVACION Y CONFIABILIDAD

PROCESOS DE POISSON Biografía de Siméon Poisson

JOSEPH DOOB Martingalas

Integrantes: Zuydelis Liendo, CI 27.654.475 Orianna Guerra, CI 26.977.485 Manuel Rios, CI 27.326.152

C O N T E N I D O

05

Breve biografia de Markov Cadenas de Markov a tiempo continuo

09

Breve biografía de Poisson Proceso de Poisson: compuesto, mixto, nacimiento y muerte.

20 24 35

Proceso de nacimiento puro.

Proceso de muerte puro.

Proceso de Yule.

Breve Biografía de Joseph Doob Martingalas

Proceso de renovación y confiabilidad

P R O C E S O S E S T O C A S T I C O S

ANDREI ANDREIVICH MARKOV MANUEL RIOS

Agregar un subtítuloAndrei Andreyevich Markov nació el 14 de junio de 1856 en Ryazan, Rusia y murió el 20 de julio de 1922 en Petrogrado, ahora San Petersburgo. Su madre Nadezhda Petrovna era hija de un trabajador del estado, y su padre Andrei Grigorievich Markov, el hijo de un diácono, estudió en un seminario y obtuvo un puesto como clérigo.

Durante su infancia Markov tuvo poca

salud, teniendo que andar con muletas hasta los 10 años. Su educación secundaria fue en el Gymnasium San Petersburgo, donde mostró ya su talento matemático, aunque no en otras materias. Ya en esta época escribe un primer trabajo sobre integración de ecuaciones diferenciales ordinarias, aunque no presenta nada nuevo. En 1874, entra en la facultad de Físicas y Matemáticas de San Petersburgo. Asiste a las clases de Korkin, Zolotarev y sobre todo de Chebyshev, que era el jefe del departamento de matemáticas.

Los primeros trabajos de Markov fueron sobre teoría de números y analisis, fracciones continuas, límites de integrales, teoría de aproximación y convergencia de series. Después de 1900, Markov aplica los métodos de fracciones continuas, que había comenzado su maestro Pafnuty Chebyshev, a la Teoría de Probabilidades. Markov fue el más elegante portavoz y continuador de las ideas de Chebyshev. Destaca su aportación al teorema de Jacob Bernoulli conocido como la Ley de los Grandes Números, a dos teoremas fundamentales de probabilidad debidos a Chebyshev, y al método de los mínimos cuadrados.

Estudió sucesiones de variables mutuamente dependientes, con la esperanza de establecer las leyes límite de probabilidad en su forma más general. Probó el teorema Central del Límite bajo ciertas condiciones generales. Sin embargo Markov es particularmente recordado por su estudio de las llamadas cadenas de Markov, sucesiones de variables aleatorias en las cuales la siguiente variable está determinada por la actual variable pero es independiente de las anteriores. Con esto surge una nueva rama de la teoría de Probabilidades y comienza la teoría de los procesos estocásticos

CADENAS DE MARKOV A TIEMPO CONTINÚO En la Teoría de Probabilidades, una Cadena de Markov en Tiempo Continuo (CTMC – Continuous Time Markov Chain) corresponde a un modelo matemático donde una variable aleatoria toma valores en un espacio finito y donde el tiempo en que la variable se encuentra en un determinado estado adopta valores reales no negativos que siguen una Distribución Exponencial. Dicha característica denominada Propiedad de No Memoria determina que el comportamiento a futuro del proceso estocástico depende sólo del estado actual y no del comportamiento histórico de dicha variable.

Vamos a considerar procesos de Markov con tiempo t

∈ R+. En lugar de

condicionar a todo el pasado, condicionamos a un conjunto finito de tiempos en el pasado. Decimos que un proceso Xt es de Markov si P(Xt+s = y | Xs = x, xsn = in, . . . , xs0 = i0) = P(Xt = y | X0 = x) para todo n

≥ 0, estados i0, . . . , in y tiempos s0 <

. . . < sn.

EJEMPLO

Se ha construido un nuevo edificio en California, región que es frecuentemente afectada por terremotos.

El edificio tiene dos pilares, el norte y el sur. Los pilares mantienen la estabilidad del edificio y previenen que este sufra daños estructurales. Los terremotos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa L y afectan al pilar norte con probabilidad P, al pilar sur con probabilidad Q, a los dos pilares con probabilidad R y a ninguno de los dos pilares con probabilidad 1-P-Q -R. Cuando los pilares del edificio son afectados por un terremoto, un ingeniero debe repararlos para no comprometer la estabilidad de la estructura. El ingeniero puede reparar el pilar norte, y esto le toma un tiempo exponencial (B). El ingeniero también está capacitado para reparar el pilar sur, lo cual le toma un tiempo exponencial con media 1/Y la probabilidad de éxito es H. Si el ingeniero se encuentra reparando el pilar sur y el pilar norte es afectado por un terremoto, el ingeniero empieza inmediatamente a reparar el pilar norte. Asuma que los terremotos no afectan a los pilares si estos últimos están bajo reparación o si están esperando a ser reparados. También asuma que los tiempos exponenciales mencionados son independientes entre si.

Finalmente, asuma que el ingeniero siempre da prioridad al pilar norte si ambos pilares han sido afectados. a. Defina y desarrolle un modelo que represente la situación recién descrita

POISSON

Nació el 27 junio de 1781 en Pithiviers, ciudad en la que su padre había sido

destinado en un modesto puesto administrativo tras combatir como soldado en la guerra de los siete años. Huérfano a los 15 años, fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarle en la profesión. El escaso interés de Poisson por la medicina y el fracaso de sus primera intervención, que se salda con la muerte del paciente pocas horas después, le llevan a abandonar la cirugía. De vuelta a casa encuentra, entre los papeles de su padre, una copia de las pruebas de ingreso en la Escuela Politécnica que despiertan su interés por las matemáticas y le descubren un mundo que será su futuro.

En 1798 consigue ingresar con el número uno en la Escuela Politécnica y dos años más tarde publica sus primeras memorias en el Recueil des savants étrangers, un honor excepcional para un joven de 18 años. Sus rápidos progresos llaman la atención de Laplace y Lagrange. En éstos, encontró Poisson la fuente para aprender los conceptos matemáticos y el apoyo para progresar profesionalmente, y con ellos compartió los principios de la matemática de la Revolución:

La prioridad de los resultados prácticos sobre el rigorprocedimental.

El interés por la matemática aplicada, la mecánica y la física.

La preocupación por la enseñanza de la matemática a través de la elaboración de excelentes manuales. · La consideración social de las matemáticas como instrumento necesario para el progreso y el bienestar de los ciudadanos: “el progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas –decía Napoleón- están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado”

caracterización

PROCESO

de poisson

Se define el proceso de Poisson al tiempo t como el número de ocurrencias del evento que se han observado hasta ese instante t. Esta es una definición constructiva de este proceso y la formalizaremos a continuación. Más adelante enunciaremos otras definiciones axiomáticas equivalentes. El proceso de Poisson de parámetro l es el proceso de tiempo continuo {Nt, t ÎT}, definido de la siguiente manera: Nt= max {n

≥1:T1+…+Tn ≤t}

Se dice que un proceso estocástico {Nt, t ÎT}, es un proceso de Poisson, donde Nt es el número de sucesos que ocurren en un intervalo (0,t ] si los sucesos cumplen las siguientes condiciones i) El número de sucesos que aparecen en un intervalo de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren en intervalos de tiempo anteriores. ii) Homogeneidad en el tiempo: la probabilidad de que en un intervalo de tiempo ocurran k sucesos sólo depende de la longitud del intervalo y no de dónde se encuentre éste, P {(Ns+t-Nt)=k}=P{Ns=k} iii) Estabilidad: El número medio de sucesos (a largo plazo) que ocurren por unidad de tiempo es constante e igual a una tasa dada l, E [N(t)/t]= l iv) El número de sucesos que ocurren en un intervalo infinitesimal (0, Dt) puede ser, 1.

1. Dos o más sucesos, con P[NDt>1]= o (Dt) es tal que Lim o (Dt)/Dt) Dt 0 2.

Un solo suceso con P[NDt=1]= lDt+ o (Dt) 3.

Un solo suceso con P[NDt=0]= 1-lDt+ o (Dt) Esto implica que se puede elegir un intervalo suficientemente pequeño de tiempo, para que sólo ocurra un suceso (o ninguno) cuando las ocurrencias son de una en una.

PROCESO POISSON COMPUESTO Orianna Guerra

Asociamos ahora una variable aleatoria Yi a cada evento de un proceso de Poisson. Suponemos que las variables Yi , i 1, son i.i.d y también son independientes del proceso.

Por ejemplo, el proceso puede representar los carros que llegan a un centro comercial y las variables asociadas, el número de pasajeros que hay en cada uno de ellos; o el proceso puede representar los mensajes que llegan a un computador central para ser transmitidos vía internet y las variables Yi pueden representar el tamaño de los mensajes. Es natural considerar la suma de las variables Yi como una variable de interés:

≥

S(t) = Y1 + · · · +YN(t) Donde ponemos S(t) = 0 si N(t) = 0. Ya hemos visto que para suma aleatorias, la media es el producto de las medias de N e Y , mientras que la varianza está dada por Var(S(t)) = E[N(t)] Var(Yi) + Var(N(t))(E[Yi ])2 .

En nuestro caso, N(t) ∼ Pois(λt) y por lo tanto, E[N(t)] = Var(N(t)) = λt, de modo que la formula anterior es Var(S(t)) =λt(Var(Yi) + (E[Yi ])2 ) = λtE[Y 2 i ].

La función de distribución para el proceso de Poisson compuesto S(t) puede representarse explícitamente si condicionamos por los valores de N(t).

Recordemos que la distribución de una suma de variables independientes es la convolución de las distribuciones: Si Y tiene f.d. G,

 PROCESO DE POISSON MIXTO

POCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. El termino nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el numero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en tĂŠrminos probabilĂ­sticos como cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema..

A mid-engined, two-seat supercar, the H.S. 21 looks remarkably like VW's Bugatti Veyron and Chiron concepts. It was designed by 33-year-old Francisco Villafanez, and the prototype is beautifully done, with a glass roof extending from the windshield to the engine cover, and doors that swing forward and outward like the wings of the stork that was the classic Hispano-Suiza emblem.

The H.S. 21 is designed for a 5.0-liter turbocharged V-10 engine and a sequential six-speed gearbox, but the show car had no drivetrain. Mazel hopes to interest investors in reestablishing Hispano-Suiza as a car manufacturer. What would it cost?

Cars such as this typically crowd the quarter-million-dollar frontier. But ask us again when the car has (a) a real powertrain and (b) stronger prospects for production.

EJEMPLO

PROCESO DE NACIMIENTO PURO

Es cuando los clientes llegan y nunca parten, es un proceso que ocurre de manera aleatoria y tiene la siguiente formula :

MODELO DE MUERTE PURA ZUYDELIS LIENDO

En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo. Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad p୬(t) de que n clientes permanezcan después de t unidades de tiempo, seguimos los argumentos utilizados con el modelo de nacimiento puro. Por lo tanto,

EJEMPLO Una florería inicia cada semana con 18 docenas de rosas. En promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a la vez), pero la demanda real sigue una distribución de Poisson. Siempre que el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas docenas para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a naturaleza de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la semana se desechan. Determine lo siguiente: (a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día de la semana. (b) El promedio de rosas desechadas al final de la semana.

Debido a que las compras ocurren a razón de μ = 3 docenas por día, la probabilidad de colocar un pedido al final del día t es:

EL PROCESO DE YULE Es un ejemplo de proceso de nacimiento puro, representa una población cuyos individuos generan nuevos miembros pero no pueden morir. Se utiliza en modelos como el crecimiento de bacterias, la fisión de neutrones, y otros procesos de replicación. Cada individuo se comporta de forma independiente y genera un nuevo individuo en tiempo exponencial con tasa λ.

El proceso de Yule es un proceso de nacimiento lineal con λ=(n* λ) y n >0 Este es un tipo particular de proceso de nacimiento puro, y para el cual es posible encontrar explícitamente las probabilidades de transición. Este proceso puede definirse a través de los siguientes postulados:

Es decir, las tasas instantáneas de nacimiento son λn = λ ∗ n, que crecen de manera lineal conforme la población crece. El tiempo de estancia en el estado n tiene distribución e ( ∗୬) , en consecuencia el tiempo medio de estancia en ese estado es (λ ∗ n)ିଵ , cada vez menor conforme n crece. El sistema de ecuaciones prospectivas para P୩୬(t), con n

≥ k, se reduce a

JOSEPH DOOB:

“La teoría de las martingalas fue desarrollada por Doob”

Doob nació en Cincinnati, Ohio, el 27 de febrero de 1910, hijo de una pareja judía, Leo Doob y Mollie Doerfler Doob. La familia se mudó a la ciudad de Nueva York antes de que él cumpliera los tres años. Los padres sintieron que estaba teniendo un bajo rendimiento en la escuela primaria y lo colocaron en la Escuela de Cultura Ética, de la cual se graduó en 1926. Luego pasó a Harvard, donde recibió una licenciatura en 1930, una maestría en 1931 y un doctorado (Boundary Values of Analytic Functions, asesor Joseph L. Walsh) en 1932. Después de una investigación postdoctoral en Columbia y Princeton, se incorporó al Departamento de Matemáticas de la Universidad de Illinois en 1935 y sirvió hasta su jubilación en 1978. Fue miembro de la Urbana el Centro de Estudios Avanzados del campus desde su inicio en 1959. Durante la Segunda Guerra Mundial, trabajó en Washington, DC y Guam como consultor civil de la Marina de 1942 a 1945; estaba en el Instituto de Estudios Avanzados durante el año académico 1941-1942 cuando Oswald Veblen se le acercó para trabajar en la guerra de minas para la Armada.

El concepto de martingala fue incorporado a la teoría de la probabilidad por Paul L`evy, y buena parte de su desarrollo inicial fue realizado por Joseph Doob. En este capítulo se presenta una introducción a la teoría de martingalas a tiempo discreto y se mencionan algunas definiciones generales que incluyen el caso de tiempo continuo. Sin embargo, los resultados se presentan únicamente en el caso discreto

MARTINGALAS

PROCESO DE RENOVACIÓN (Primera definición) Un proceso de renovación es una sucesión infinita de variables aleatorias { Tଵ + Tଶ + . . . + T୬}, que son no negativas, independientes e idénticamente distribuidas. Otra forma equivalente de definir a este proceso es a través del registro de los tiempos reales en los que se observan las renovaciones, o bien, a través del conteo de renovaciones observadas hasta un tiempo cualquiera. Estos puntos de vista alternativos se definen a continuación.

PROCESOS DE CONFIABILIDAD:

Suponga que(T > 0) es una variable aleatoria continua que registra el tiempo de falla de un cierto componente que se encuentra en operación al tiempo cero.

Nuevamente denotaremos por F(t) y f(t) a la función de distribución y de densidad de esta variable aleatoria. En la teoría dé la confiabilidad interesa conocer la probabilidad de que el componente funcione correctamente por lo menos hasta un tiempo (t) cualquiera o la probabilidad de que deje de funcionar en el siguiente instante de tiempo, dado que ha funcionado bien hasta un cierto momento. Es por ello que se definen las siguientes dos funciones

CONFIABILIDAD PARA sistemas

en

Considere un sistema de n componentes puestos en serie.

Supondremos que cada uno de estos componentes funciona de manera independiente uno del otro. Es intuitivamente claro que tal sistema en su conjunto funciona si todos y cada uno de los componentes se encuentra en buen estado.

Nos interesa encontrar las funciones de confiabilidad y de tasa de falla de este tipo de sistemas. Observe que el tiempo de falla T de un sistema de este tipo es el tiempo de falla más peque˜no de cada uno de los componentes, es decir, T = min {Tଵ ,. . . , Tଵ } Esquemas físicos de este tipo ayudan a justificar el lantearse la pregunta de encontrar la distribución de probabilidad del mínimo de n variables aleatorias independientes.

No es difícil comprobar que si los tiempos de falla Tଵ, . . . , Tଵde los componentes del sistema en serie idénticamente distribuidos con función de distribución F(t), y funci´on de densidad f(t), entonces el tiempo de falla T del sistema tiene función de distribución y función de densidad dadas por las siguientes expresiones:

serie.

Las funciones de confiabilidad y de tasa de falla del sistema en serie son:

Confiabilidad para sistemas en paralelo Considere ahora sistemas de n componentes puestos en paralelo, como en

En donde cada uno de estos componentes funciona de manera independiente uno del otro. Tales tipos de sistemas funcionan en su conjunto si por lo menos uno de los componentes se encuentra en buen estado. Sistemas de este

Confiabilidad para sistemas combinados serie/paralelo Pueden también considerarse sistemas que son una combinación de sistemas en serie y en paralelo como el que se muestra en:

tipo se utilizan cuando se desea mantener un nivel alto de confiabilidad de funcionamiento, como por ejemplo los sistemas de vuelo de los aviones o los sistemas de manejo de reactores nucleares. El tiempo de falla T de un sistema de este tipo es el tiempo de falla m ´as grande de los componentes, es decir, T = máx{Tଵ, . . . , Tଵ) , y observe que el evento (T

≤t) es

equivalente a que todos los componentes fallen antes del tiempo t. A continuación calcularemos la función de confiabilidad para sistemas en paralelo. Usaremos la misma notación e hipótesis que en la sección anterior.

La función de confiabilidad de un sistema de n componentes conectados en paralelo como en:

Sistemas de este tipo pueden ser representados de manera equivalente, como se muestra en la parte derecha de la misma figura. Para este caso, la función de confiabilidad del sistema es:

BIBLIOGRAFIA MARTINGALAS ROSARIO ROMERA FEBRERO 2009 http://ocw.uc3m.es/estadistica/procesos-estocasticos-con-aplicaciones-alambito-empresarial/lecturas/Tema3_Martingalas.pdf

MEDIDAS DE FIABILIDAD EN SISTEMAS CON REPARACIÓN PERFECTA TRABAJO FINAL DEL MÁSTER PRESENTADO POR: LILIANA ADRIANA MENDOZA S. https://masteres.ugr.es/moea/pages/tfm-1112/memoria_liliana_mendoza/!

AUTOR: (AZNAR, E. 2007,13 DE NOVIEMBRE) “ANDREI ANDREYEVICH MARKOV MATEMÁTICO(1856 RYAZAN, RUSIA, 1922 SAN PETERSBURGO, RUSIA)” RECUPERADO EL 18 DE NOVIEMBRE DE 2020 https://www.ugr.es/~eaznar/markov.htm

GEO TUTORIALES(2016,28,07) “DISTRIBUCIÓN ESTACIONARIA DE UNA CADENA DE MARKOV EN TIEMPO CONTINUO” RECUPERADO EL 18 DE NOVIEMBRE DE 2020

https://www.gestiondeoperaciones.net/cadenas-de-markov/distribucion-estacionariacadena-de-markov-en-tiempocontinuo/#:~:text=En%20la%20Teor%C3%ADa%20de%20Probabilidades,adopta%20valor es%20reales%20no%20negativos

AUTOR: ESCRIBANO, J. (2016,16 DE JUNIO) “HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS: SIMÉON DENIS POISSON (1781-1840)” RECUPERADO EL 18 DE NOVIEMBRE DE 2020: https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/poisson-1.asp.htm

· RINCON.L(2012,ENERO). INTRODUCCION A LOS PROCESOS ESTOCASTICOS .

RECUERADO EL 18 DE NOVIEMBRE DE 2020

http://lya.fciencias.unam.mx/lars/libros/procesos2012.pdf

· NIETOS.L.E(2009, ABRIL) RECLAMOS INTERCAMBIABLES EN UN PROCESO TIPO POISSON COMPUESTO. RECUERADO EL 18 DE NOVIEMBRE DE 2020 http://estadistica.itam.mx/sites/default/files/u486/197presentacion.pdf

· ROMERA.R(2009, FEBRERO) PROCESO DE POISSO. RECURADO EL 18 DE NOVIEMBRE DE 2020 http://lya.fciencias.unam.mx/lars/libros/procesos2012.pdf