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Contenidos ´ NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

I

1.1

1.2

II

El n´ umero racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Equivalencia de fracciones . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Operaciones con racionales . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Propiedades de los n´ umeros racionales . . . . . . 1.1.4 Representaci´on decimal de los n´ umeros racionales 1.1.5 Pasar de decimal a fraccionario . . . . . . . . . . El n´ umero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Representaci´on en la recta real . . . . . . . . . . . 1.2.2 Subconjuntos de la recta real . . . . . . . . . . .

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POTENCIAS Y RADICALES 2.1

2.2

2.3

III 3.1 3.2 3.3

3.4 3.5

13

Potencias con exponente entero . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Potencias con exponente negativo . . . . . . . . 2.1.3 Notaci´on cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umero radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Soluci´on de un radical . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 El radical como potencia con exponente racional Aplicaciones de las propiedades . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Transformaci´on de radicales . . . . . . . . . . . 2.3.2 Reducci´on de radicales a ´ındice com´ un . . . . . 2.3.3 Extracci´on de factores de un radical . . . . . . . 2.3.4 Introducci´on de factores en un radical . . . . . . 2.3.5 Racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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POLINOMIOS. OPERACIONES Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Valor num´erico . . . . . . . . . . . . . Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Operaciones con monomios . . . . . . . Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Suma y diferencia de polinomios . . . . 3.3.2 Producto de polinomios . . . . . . . . Potenciaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Identidades notables . . . . . . . . . . Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Divisi´on de polinomios entre monomios 1

3 3 4 4 6 6 7 8 8

15 15 16 17 17 18 18 20 20 20 21 21 21

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29 29 30 30 32 32 33 35 35 36 36


TEMA . 3.5.2 3.5.3

Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Regla de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

´ DE POLINOMIOS FACTORIZACION

IV 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

V

2

Concepto de factorizaci´on . . . . Factores de un polinomio . . . . . Teorema de la ra´ız . . . . . . . . Factorizaci´on de polinomios . . . 4.4.1 Observaciones . . . . . . . Teorema fundamental del a´lgebra Simplificaci´on . . . . . . . . . . . 4.6.1 Factorizaci´on . . . . . . . 4.6.2 Factor com´ un . . . . . . . 4.6.3 Identidades notables . . .

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FRACCIONES ALGEBRAICAS 5.1 5.2 5.3

5.4

5.5

VI 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

VII 7.1 7.2

61

Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . Simplificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ınimo com´ un m´ ultiplo entre polinomios . . . . . 5.3.1 M´ınimo com´ um m´ ultiplo entre monomios . 5.3.2 M´ınimo com´ um m´ ultiplo entre polinomios Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . 5.4.1 Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ECUACIONES . . . . . . . . . .

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SUCESIONES

3◦ E.S.O.

63 63 64 64 65 66 66 67 67 68

73

Conceptos de una ecuaci´on . . . . . . . . . . . . . . Reglas o principios de las ecuaciones . . . . . . . . . Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones polin´omicas con ra´ız entera . . . . . . . . Ecuaciones incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones bicuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de ecuaciones lineales. M´etodo de Ga¨ uss . . 6.8.1 Sistemas de tres ecuaciones. M´etodo de Gauß Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . .

Sucesiones . . . . . . . . . . 7.1.1 Sucesiones reales . . Tipos de sucesiones . . . . . 7.2.1 Sucesi´on creciente . . 7.2.2 Sucesi´on decreciente

49 50 51 52 53 55 55 56 56 56

75 76 76 77 77 78 79 79 80 81

93 . . . . .

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95 95 97 97 97

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA .

3 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6

VIII 8.1

8.2

8.3

IX 9.1 9.2

9.3

9.4

9.5

Sucesi´on Sucesi´on Sucesi´on Sucesi´on

oscilante . . recurrente . aritm´etica . geom´etrica

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FUNCIONES Definiciones y caracter´ısticas 8.1.1 Definici´on de funci´on 8.1.2 Continuidad . . . . . 8.1.3 Crecimiento . . . . . 8.1.4 Extremos . . . . . . 8.1.5 Corte con los ejes . . 8.1.6 Simetr´ıa . . . . . . . La funci´on lineal . . . . . . 8.2.1 Funci´on constante . . 8.2.2 Representaci´on . . . 8.2.3 Estudio . . . . . . . La funci´on cuadr´atica . . . . 8.3.1 Representaci´on . . . 8.3.2 Estudio . . . . . . .

97 97 98 100

107 . . . . . . . . . . . . . .

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VARIABLE UNIDIMENSIONAL Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . Tabla de frecuencias . . . . . . . . . . 9.2.1 Frecuencia absoluta . . . . . . . 9.2.2 Frecuencia relativa . . . . . . . 9.2.3 Frecuencia absoluta acumulada 9.2.4 Frecuencia relativa acumulada . 9.2.5 Frecuencia porcentual . . . . . Gr´aficas estad´ısticas . . . . . . . . . . 9.3.1 Diagrama de barras . . . . . . . 9.3.2 Gr´aficas de l´ıneas . . . . . . . . 9.3.3 Sectores . . . . . . . . . . . . . Medidas de centralizaci´on . . . . . . . 9.4.1 Media aritm´etica . . . . . . . . 9.4.2 Media geom´etrica . . . . . . . . 9.4.3 Moda . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Mediana . . . . . . . . . . . . . Medidas de dispersi´on . . . . . . . . . 9.5.1 Recorrido . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Desviaci´on media . . . . . . . . 9.5.3 Varianza . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Desviaci´on t´ıpica . . . . . . . .

3◦ E.S.O.

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109 109 110 111 111 112 113 114 114 115 115 116 117 118

127

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello

129 130 130 131 131 131 132 132 132 132 133 133 133 133 134 134 134 134 134 134 135


Tema I ´ NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

1


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

1.1

3

El n´ umero racional

Hasta el momento se han estudiado progresivamente conjuntos de n´ umeros dependiendo de las necesidades surgidas al aparecer nuevas operaciones y ecuaciones y de encontrar soluci´on a dichas ecuaciones. N´ umeros naturales ; surgen de la necesidad de contar y clasificar objetos, pudi´endose sumar y multiplicar siempre entre este tipo de n´ umeros. IN : 0, 1, 2, 3, 4, . . . N´ umeros enteros ; surgen de la necesidad de encontrar soluci´on siempre que restemos a un n´ umero, otro mayor (5 − 7 =?) al resolver la ecuaci´on x + 7 = 5. Z : . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . N´ umeros racionales ; surgen de la necesidad de encontrar soluci´on siempre que dividamos, incluso n´ umeros que no tienen divisi´on exacta – algo que no ten´ıamos con Z (7 ÷ 3 =?), como al resolver la ecuaci´on 3x = 7 . Q:

Z IN \{0}

3 −4 6 , , ,... 5 7 11

Q IN Z

Esto significa que cualquier n´ umero natural se considera tambi´en entero y racional, que cualquier n´ umero entero se considera tambi´en racional, pero la implicaci´on inversa no siempre es verdad, o sea, un n´ umero entero puede que no sea natural (−4) o que un n´ umero racional sea entero y no natural (− 36 ).

1.1.1

Equivalencia de fracciones

Al n´ umero racional se le conoce com´ unmente como n´ umero fraccionario, o m´as com´ unmente como fracci´ on. Muchas fracciones pueden representar la misma magnitud o el mismo valor num´erico y, aunque podemos utilizar cualquiera de ellas para operar o representar un valor, se utiliza la fracci´ on representante que es la fracci´on que tiene los valores m´ınimos en denominador y numerador de todas las que re- presentan el mismo valor. Esto quiere decir que en el caso de tener que utilizar una fracci´on, lo mejor ser´ıa encontrar esta fracci´on representante (irreducible) y operar con ella. Esta fracci´on se halla simplificando al m´aximo la fracci´on que tengamos, descomponiendo denominador y numerador y simplificando los factores comunes: 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

4

30 235 5 = = representante o irreducible 42 237 7 Por eso debemos siempre simplificar cualquier fracci´on que tengamos que operar, ya que los c´alculos ser´an m´as sencillos y al final del c´alculo la fracci´on que obtengamos ser´a m´as f´acil de simplificar.

1.1.2

Operaciones con racionales

Las operaciones b´asicas entre n´ umeros racionales son cuatro. Supongamos en cada caso que: a c , ∈Q b d SUMA: Se intenta que ambas fracciones tengan divisor com´ un: a c ad bc ad − bc − = − = b d bd bd bd

a c ad bc ad + bc + = + = b d bd bd bd

Este m´etodo conlleva a simplificar despu´es. Nos ahorramos simplificar si hallamos antes el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los divisores para obtener el divisor final. PRODUCTO: El numerador es el producto de numeradores y el denominador el producto de denominadores: ac a c · = b d bd Ejemplo 1: Calculamos el producto de

4 3

y de 67 :

4 6 24 · = 3 7 21 ´ DIVISION: Dividir un n´ umero entre ab es igual que multiplicar dicho n´ umero por por lo tanto: 4 5 4 7 28 : = · = 3 7 3 5 15

1.1.3

b a

Propiedades de los n´ umeros racionales

Estudiemos que propiedades fundamentales se cumplen las operaciones con los n´ umeros racionales respecto a las dos operaciones fundamentales: SUMA Es una operaci´ on interna puesto que de la suma de dos n´ umeros racionales resulta otro n´ umero racional. • Propiedad Asociativa : se pueden agrupar los sumandos de cualquier modo. a c e + + b d f

!



=

a c e + + b d f 

Ejemplo 2: 3 2 8 3 2 8 + + = + + 5 7 9 5 7 9 

3◦ E.S.O.







Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


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• Elemento neutro El elemento neutro para la suma es el cero. a a +0= b b • Elemento opuesto El elemento opuesto de un n´ umero a es aquel n´ umero que sumado a a, nos de el elemento neutro.   a a + − =0 b b • Propiedad commutativa Podemos cambiar el orden de los elementos en la operaci´on: a c c a + = + b d d b PRODUCTO Es una operaci´ on interna puesto que del producto de dos n´ umeros racionales resulta otro n´ umero racional. • Propiedad Asociativa : se pueden agrupar los factores de cualquier modo. a c e · · b d f

!



=

a c e · · b d f 

Ejemplo 3: 2 8 3 2 8 3 · · · = · 5 7 9 5 7 9 • Elemento neutro El elemento neutro para el producto es el uno. a a ·1= b b • Elemento inverso El elemento inverso de un n´ umero a es aquel n´ umero que multiplicado a a, nos de el elemento neutro. a b · =1 b a • Propiedad commutativa Podemos cambiar el orden de los elementos en la operaci´on: c a a c · = · b d d b Propiedad distributiva: En esta propiedad intervienen las dos operaciones (suma y producto) y es en esta propiedad en la que se basa la simplificaci´on de fracciones con una suma o resta de t´erminos en el numerador. La propiedad distributiva se expresa de la siguiente manera: 

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)







3 · (5 + 2) = (3 · 5) + (3 · 2)

¿Cu´ ando utilizamos esta propiedad? Mejor ser´ıa el preguntarnos cuando no la utilizamos, ya que un error muy extendido a la hora de simplificar las fracciones es el de realizarlo de la siguiente forma: 10 + 5 + 25 10+ 6 5 + 25 10 + 25 = = 5·3 65·3 3 Es evidente que si se realizan los c´alculos detalladamente, los resultados no son los mismo en la primera y en la u ´ltima fracci´on. Para simplificar, debemos aplicar la propiedad distributiva en el numerador: 10 + 5 + 25 2·5+5·1+5·5 5(2 + 1 + 5) 2+1+5 = = = 5·3 5·3 5·3 3 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

1.1.4

6

Representaci´ on decimal de los n´ umeros racionales

Como se ha visto antes, un n´ umero es racional si puede ponerse como el cociente de un n´ umero entero entre un n´ umero natural distinto de cero, pudi´endose hallar su representaci´on decimal sin mas que dividir el numerador entre el denominador. La representaci´on decimal de un n´ umero racional es el resultado de esta divisi´on entre numerador y denominador, pudi´endo ser de tres tipos diferentes: Decimal finito : la representaci´on decimal tiene un n´ umero finito de decimales. 3, 6436 =

36436 10000

45, 38 =

4538 100

Decimal peri´ odico puro : a partir de la coma decimal existen un conjunto constante de cifras llamado periodo que se repiten indefinidamente. c 34, 565656 . . . = 34, 56

d 21, 567567 . . . = 21, 567

Decimal peri´ odico mixto : se repite un conjunto constante de cifras indefinidamente aunque no justo despu´es de la coma decimal. c 147, 395656 . . . = 147, 3956

1.1.5

d 10, 126145145 . . . = 10, 126145

Pasar de decimal a fraccionario

Decimal finito : se multiplica el n´ umero por 10 elevado al n´ umero de cifras decimales para formar el numerador, quedando el denominador como 10 elevado al n´ umero de decimales. x = 35, 7657 −→ x =

357657 35, 7657 · 104 −→ x = 104 10000

Decimal peri´ odico puro : x = 34, 812812.... • Multiplicamos el n´ umero por 10 elevado al n´ umero de decimales del periodo. x = 34, 812812 . . . 1000x = 34812, 812812 . . . • Restamos los n´ umeros obtenidos – el mayor menos el menor. 1000x = 34812, 812812 . . . x= 34, 812812 . . . 999x = 34778, 000000 . . . • Despejamos el valor inicial del n´ umero de la ecuaci´on resultante. 999x = 34778 −→ x = 3◦ E.S.O.

34778 999

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


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7

Decimal peri´ odico mixto : se multiplica el n´ umero por una potencia de 10 para convertirlo en decimal peri´odico puro y se aplica el m´etodo anterior. x = 82, 43678678 . . . =⇒ 100x = 8243, 678678 . . . |

{z

}

periodico puro

100000x = 8243678, 678678 . . . 100x = 8243, 678678 . . . 99900x = 8235435, 000000 . . . x=

1.2

8235435 99900

El n´ umero real

El conjunto de n´ umeros se ha tenido que ampliar cada vez m´as, al encontrarse ecuaciones que hac´Ĺa imposible encontrar soluci´on con los n´ umeros que se conoc´Ĺan en ese momento. De hecho, ser´Ĺa imposible poder calcular de forma exacta el lado de una piscina 2 cuadrada √ que tuviera una superficie de 2 m , ya que la soluci´on ser´Ĺa que cada lado umero racional. tendr´Ĺa 2 metros y se puede demostrar que no es un n´ Hemos visto que los n´ umeros racionales tienen un n´ umero determinado de decimales o si son infinitos, tienen un conjunto de n´ umeros (periodo) que se repite infinitas veces. Existen n´ umeros que tienen un n´ umero infinito de cifras decimales y NUNCA se repite un conjunto de cifras determinado, es decir, no tienen periodo. √ 2 = 1.41421356237309504880168872420........ A este tipo de n´ umeros que no son racionales y su representaci´on decimal es infinita ´ sin periodo se les denomina NUMEROS IRRACIONALES. A la uni´on de los conjuntos estudiados anteriormente, o sea, la uni´on de los n´ umeros racionales e irracionales se le denomina reales y se les designa por la letra IR.

IR



Irracionales

Q IN Z

Hay n´ umeros de este tipo que son realmente interesantes y u ´tiles, tanto en la matem´atica como en otros campos de la ciencia, el arte, ..., como son el n´ umero pi (π), el n´ umero e (e), el n´ umero de oro (φ.) 3◌ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

8

La u ´nica manera de utilizar estos n´ umeros es de forma aproximada o simb´olica, utilizando en cada caso el n´ umero de decimales adecuado al calculo, dependiendo del error m´aximo que queramos cometer en el c´alculo. √ Si utilizamos 2 como 1.41421 estamos cometiendo un error en el c´alculo de 0.00001 y si lo utilizamos como 1.414213 el error ser´a de 0.000001, luego a mayor n´ umero de decimales escogidos es evidente que el error ser´a menor.

1.2.1

Representaci´ on en la recta real

La representaci´on de cualquier n´ umero real se realiza sobre la llamada recta real en la que se fijan: • Un origen o punto de comienzo donde se situa el 0. • Una unidad de medida en funci´on de la cual se expresar´an las magnitudes y a la que se le asocia el valor 1. Para la representaci´on de cualquier n´ umero se realiza la siguiente operaci´on dependiendo del tipo de n´ umero. Entero : se traslada la unidad de medida tantas veces como indique el n´ umero; a la derecha si el n´ umero es positivo o a la izquierda si es negativo. Racional : Se divide la unidad de medida tantas veces como indica el denominador y se traslada esta nueva unidad tantas veces como indica el numerador; a la derecha si es positivo o a la izquierda si es negativo. Irracional : Ante la imposibilidad de representarse exactamente con regla y comp´as, s´olo algunos de estos n´ umeros ser´an posible representarse exactamente. Este es el caso de las raices que pueden representarse utilizando el teorema de Pit´agoras.

1.2.2

Subconjuntos de la recta real

Como representamos todos los n´ umeros reales en la recta, podemos querer representar geom´etricamente un conjunto m´as o menos amplio de estos puntos de una manera sencilla y precisa. Los diversos conjuntos b´asicos que podemos representar sobre la recta real son los siguientes: Un punto : Especifican un u ´nico punto de la recta real, expresando el valor entre llaves {4}: {4} r

Intervalos : Determinan todos los valores existentes entre otros dos separados por coma. Dependiendo de si los valores de los extremos se consideran o no, habr´a intervalos de varios tipos: • Intervalo cerrado: Se consideran dentro del intervalo los extremos de este y se representa encerrados entre corchetes [2, 6]. r

2 3◦ E.S.O.

r

x

6 Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

9

• Intervalo abierto: No se consideran ninguno de los extremos y se representa encerrados entre par´entesis (2, 6). b

2

b

<

x

<

6

• Intervalo abierto por la derecha o cerrado-abierto: S´olo se considera el extremo de menor valor y se representa con un corchete a la izquierda y un par´entesis a la derecha [2, 6). r

2

b

x

<

6

• Intervalo abierto a la izquierda o abierto-cerrado: S´olo se considera el extremo de mayor valor y se representa con un par´entesis a la izquierda y un corchete a la derecha (2, 6]. b

2

r

<

x

6

Ala hora de representar intervalos de la recta real, podemos considerar el infinito ( ∞) para expresar un intervalo que abarca todos los valores mayores o menores que un n´ umero. Si, por ejemplo, quisiesemos expresar los n´ umeros mayores de 2 (2 < x), pondr´ıamos (2, +∞) y si lo que quisieramos expresar es el conjunto de n´ umeros menores o iguales que 5 (x ≤ 5) (−∞, 5] Hay que fijarse en que el s´ımbolo de infinito (∞) SIEMPRE se expresar´a con ´ con un corchete. par´entesis y JAMAS

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

10

´ PROBLEMAS DE NUMERO FRACCIONARIO Y REAL 1. Realiza las siguientes operaciones con fracciones: a)

3 5

+ ( 43 · 27 ) b)

4 3

· ( 52 + 76 ) c)

2 7

4 5

:

3 8

d)

1 5

:

1 5

4 9

2. Realiza las siguientes operaciones con fracciones: a) ( 25 + 36 ) − 14 ( 72 − 53 ) − c)

3 2

4 3

:

2 5

+ 47 − 72 ·

9 4

:

1 7

b)

5 8

− (− 25 + 34 ) · ( 27 + 12 ) −

6 5

8 3

d)

6 5

· ( 76 − 29 + 37 ) − 34 +

3 5

1 5

:

3. Realiza la siguiente operaci´on con racionales: 2 1 5 + −1 3 4 − 6 5 7 2 3 − − 7 5 a) 3 2 2 1 3− 5

3 4 5 + −2 5 3 − 7 2 3 3 5 − − 7 2 b) 7 4 4 2 2− 3

4. Se tienen botellas de 3/4 de litro para llenar con un bid´on de 300 litros. ¿Cu´antas botellas se podr´an llenar con dicho bid´on? 5. Representa en la recta real las fracciones: a)

3 5

b)

13 4

c)

7 3

d)

11 2

6. Escribe los siguiente n´ umeros racionales como fracci´on: a) 30 45 70 236 10 8749 00 4567 0 0 0 b) 2 666 · · · 3 676767 · · · 12 137137 · · · 50 38973897 · · · c) 30 567676 · · · 210 127777 · · · 00 234686868 · · · 10 2356356 · · · 7. Realiza las siguientes operaciones de forma exacta: a) 340 22222 · · · + 20 1355555 · · ·

b)

3 + 40 561212 · · · 4

c) 140 56565656 · · · − 60 136666 · · · d) 10 454 ·

5 6

8. Indica si los siguientes n´ umeros son racionales o no, y en su caso, que tipo de n´ umero racional es. a) 60 2323 · · · 30 671371371 · · · 120 121122111222 · · · b) 30 44556677 · · · 230 34167167 · · · −30 6734673467 0 c) 1 234432234432 · · · 120 5 160 010010001 · · · 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

11

9. Representa en la recta real, los siguientes intervalos: a) (3, 6) c) (3, 6]

(−2, 5) [−3, 7)

(0, 6) b) [4, 6] [−1, 3] [−2, 4] [1, 5) d) (−∞, 3) [−2, +∞) (−2, +∞)

10. Representa en la recta real los siguientes intervalos: a) − 2 < x ≤ 6 b) − 3 ≤ x ≤ −1 c) 0 ≤ x < 7 d) − ∞ < x < 2 e) 2 > x f) 5 > x ≥ 1

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ TEMA I. NUMEROS FRACCIONARIOS Y REALES

12

´ SOLUCIONES DE NUMERO FRACCIONARIO Y REAL 1. a)

103 105

b)

94 45

c) −

94 105

5 9

d)

2. a)

117 140

17 20

b) −

3. a)

c) −

25 11

b)

109 336

d) −

157 35

942 1885

4. 400 5. 6. a)

345 100

7236 1000

18749 10000

4567 10000

b)

24 9

364 99

12125 999

53892 9999

c)

3532 990

19015 900

23234 99000

12344 9990

7. a)

16361 450

b)

17527 3300

c)

83447 9900

d)

727 60

8. a) puro mixto no b) no mixto f inito c) puro f inito no 9. 10.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema II POTENCIAS Y RADICALES

13


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

2.1

15

Potencias con exponente entero

Las potencias, como su propio nombre indica, tienen la capacidad ”poderosa” de expresar n´ umeros extremadamente grandes y peque˜ nos y su uso simplifica mucho el manejo de este tipo de n´ umeros.

2.1.1

Definici´ on y propiedades

Definici´ on: El producto finito de un mismo valor, (a · a · a · a · a · a) que se puede simplificar mediante la expresi´on a6 , que recibe el nombre de potencia. El factor a se denomina base y al n´ umero que representa la cantidad de productos a realizar se denomina exponente. Propiedades: Solo son 6 las propiedades para manejar las potencias. 1. El producto de potencias de igual base es otra potencia de igual base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. an · am = am+n √ √ √ a) 34 · 35 = 39 b) ( 5)2 · ( 5)5 = ( 5)7

2. El cociente de potencias de igual base es otra potencia de igual base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. am : an = am−n √ √ √ a) 39 : 34 = 35 b) ( 5)5 : ( 5)2 = ( 5)3

3. El producto de potencias de igual exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es el producto de las bases. an · bn = (a · b)n a) 34 · 64 = 184

b) (2)5 · (8)5 = (16)5

4. El cociente de potencias de igual exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es el cociente de las bases. an : b n = 4

4

a) 3 : 6 =

 4 3

6

=

 4 1

2

 n

a b

5

5

b) (2) : (8) =

 5 1

4

5. La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (an )m = an·m a) (34 )2 = 38 3◦ E.S.O.

b) (25 )3 = 215

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

16

6. Una potencia con exponente igual a cero y base distinta de cero es igual a la unidad. a0 = 1 a) 30 = 1 b) (25 )0 = 1 Ejemplo 1: Simplificar la expresi´on: 82 · 163 · 93 32 · 4 · 322 Soluci´ on: Es importante a la hora de utilizar potencias, el descomponer antes las bases y aplicar luego las propiedades de las potencias. 3

26 · 212 · 36 (23 )2 · (24 ) · (32 )3 218 · 36 = = = 26 · 34 2 2 2 10 2 12 2 2 5 3 ·2 ·2 3 ·2 3 · 2 · (2 ) Ejemplo 2: Simplificar la expresi´on: 

27 4

2  3 

2 · 9

16 · 3

2

Soluci´ on: 33 22

2.1.2

!2 

2 · 2 3

3

24 · 3

!2

2

=

2

(33 ) 36 23 28 36 · 211 23 (24 ) = · · = = 27 · 3−2 · · 2 3 2 4 6 2 4 8 2 2 3 2 3 3 2 ·3 (2 ) (3 )

Potencias con exponente negativo

Definci´ on: Una potencia con exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo. a−m =

1 am

Ejemplo 3: 53 : 55 =

        

    

53−5 = 5−2

5·5·5 1    = 2  5·5·5·5·5 5

=⇒ 5−2 =

1 52

Ejemplo 4: 17−8 =

1 178

Ejemplo 5:  −6

3 5

 6

1 1 56 5 =  6 = 6 = 6 = 3 3 3 3 6 5 5

Ejemplo 6: 1 1 1 = = 1 : 3 = 53 −3 1 5 5 53 Propiedades: Las propiedades de este tipo de potencias son las mismas que las 6 anteriores. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

2.1.3

17

Notaci´ on cient´ıfica

Como ya mencionamos al comienzo del tema, las potencias son una poderosa herramienta para representar n´ umeros extremadamente grandes (velocidad de la luz 300000000 m/seg) o extremadamente peque˜ nos (masa de un prot´on 00 000000000000000000000000000169 Kg). La notaci´on cient´ıfica es una manera de expresar n´ umeros, de manera que sea entendido y utilizado por todos de forma id´entica, combinando una parte decimal y otra que es potencia de 10. Ejemplo 7: Veamos formas diferentes de expresar el n´ umero 145: 145 = 14, 5 · 10

145 = 1, 45 · 102

145 = 0, 145 · 103

Vemos que existir´ıan muchas maneras de representarlos, por lo que se estableci´o por la comunidad cient´ıfica una norma para representar los n´ umeros en forma de potencia de 10 y a la que se llam´o notaci´ on cient´ıfica. Dicha norma dice as´ı: Un n´ umero en notaci´on cient´ıfica consta de: • Una parte decimal con un u ´nico d´ıgito entero distinto de cero. • Una potencia de base 10 y exponente entero. Esto nos lleva a una conclusi´on: de los n´ umeros expresados en el ejemplo 2.7, a´ un siendo correctas las expresiones, solo el segundo ser´a la notaci´on cient´ıfica del 145. La velocidad de la luz se representar´a como 3 · 108 m/seg y la masa del prot´on ser´a 9, 46 · 10−28 Kg.

2.2

N´ umero radical

En anteriores cursos se ha calculado raices de diferentes n´ umeros, tanto cuadradas como c´ ubicas y utilizado m´etodos concretos para su c´alculo. Por eso sabemos que la ra´ız cuadrada de 25 es 5, ya que al elevar 5 al cuadrado nos da como resultado el 25. Tambi´en sabemos que la ra´ız c´ ubica de 8 es 2, ya que al elevar 2 al cubo nos da como resultado el 8. De esta manera llegamos a la definici´on de radical.

Definici´ on: LLamaremos ra´ız n-´esima de un n´ umero real a, a otro n´ umero b (si existe) que elevado a la potencia n nos d´e el radicando.

Su expresi´on matem´atica es

√ n

a = b ⇔ bn = a

Es la misma manera de expresar lo dicho anteriormente: √ Ejemplo 8: 25 = 5 ⇔ 52 = 25 √ Ejemplo 9: 3 8 = 2 ⇔ 23 = 8 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

18

√ El n´ umero n se denomina ´ındice del radical, a es el radicando y a se denomina signo radical. Cuando un radical no lleva ´ındice, se supone que es 2. Pero se acostumbra a no ponerlo. Los radicales que no son exactos son irracionales y aquellos que son exactos son racionales.

2.2.1

Soluci´ on de un radical

Al calcular el valor de un radical podemos encontrar varios tipos de soluciones dependiendo del valor del radicando y del ´ındice. • Si el ´ındice es par. – Si el radicando es negativo no tiene soluci´on real. √ −4 no tiene soluci´on, ya que no existe ning´ un n´ umero real que elevado al cuadrado d´e −4. – Si el radicando es positivo tendr´a dos soluciones reales. √ 4 tiene como soluciones el 2 y el −2 ya que ambos, al elevarse al cuadrado, da como resultado el 4. – Si el radicando es cero tendr´a como soluci´on solamente el cero. • Si el ´ındice es impar. – Si el radicando es distinto de cero, tendr´a una u ´nica soluci´on. √ √ 3 3 8=2 −8 = −2 – Si el radicando es cero tendr´a como soluci´on solamente el cero.

2.2.2

El radical como potencia con exponente racional

Una potencia con exponente racional de numerador la unidad se define de la siguiente manera a1/n =

√ n

a

Ejemplo 10: La ra´ız cuadrada de 2 se podr´a expresar como: √ 2 21/2 Ejemplo 11: La ra´ız c´ ubica de 7 se podr´a expresar como: √ 3 7 71/3 Con esta definici´on podemos sacar las primeras conclusiones con operaciones de radicales:  2 √ 2 5 = 51/2 = 5(1/2)·2 = 52/2 = 5  √ 3  3 3 7 = 71/3 = 7(1/3)·3 = 73/3 = 7 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

19

Con lo cual, deducimos que una ra´ız elevada a un exponente que sea el mismo que su ´ındice, resulta igual a su radicando. Tambi´en podemos operar de la siguiente manera:  √ 4 3

5



= 51/3

4

= 5(1/3)·4 = 54/3

De la misma forma tendremos:  1/3 √ 3 = 54·(1/3) = 54/3 54 = 54 LLegando a la definici´on general de potencia con exponente racional: √ n

√ m am = am/n = ( n a)

Las propiedades de los radicales ser´an las mismas que las de las potencias, ya que son tambi´en potencias, aunque con expoenete racional, por lo que la u ´nica diferencia se encuentra en el modo de trabajar las operaciones b´asicas con el exponente, al ser estos fracciones. Ejemplo 12: Producto de raices con mismo radicando: √

√ 3

5 = 51/2 · 51/3 = 51/2+1/3 = 55/6 =

√ 6

55

Ejemplo 13: Producto de raices con mismo ´ındice: √ 3

√ 3

6 = 51/3 · 61/3 = (5 · 6)1/3 = 301/3 =

√ 3 30

Ejemplo 14: Cociente de raices con mismo radicando: √

5:

√ 3

5 = 51/2 : 51/3 = 51/2−1/3 = 51/6 =

√ 6

5

Ejemplo 15: Cociente de raices con mismo ´ındice: q √ √ 3 3 1/3 1/3 1/3 7 : 5 = 7 : 5 = (7/5) = 3 7/5 Ejemplo 16: Potencia de raices:  √ 2  2 √ 3 3 7 = 71/3 = 7(1/3)·2 = 72·(1/3) = 72 Ejemplo 17: Potencia racional de raices: q√  √ 1/2  1/2 √ 3 3 6 7= 7 = 71/3 = 7(1/3)·1/2 = 7(1/6) = 7 Todas estas operaciones podemos resumirlas como propiedades de potencias racionales de la siguiente forma: √ √ √ • na· nb= na·b √ √ √ • na: nb= na:b √ a √ m √ • ( n a) = n am •

3◦ E.S.O.

q√ m

n

a=

m·n

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

2.3

20

Aplicaciones de las propiedades

2.3.1

Transformaci´ on de radicales

Un radical se puede transformar, de infinitas formas, en otro que es semejante y cuyo valor es el mismo, multiplicando o dividiendo el ´ındice y el exponente de la base por el mismo n´ umero. Esto es posible porque el exponente de un radical racional es una fracci´on y como tal, multiplicando o dividiendo el numerador y denominador por el mismo n´ umero, obtendremos fracciones semejantes con el mismo valor num´erico. √ √ √ √ √ 3·5 15 3·6 18 3 2= 25 = 25 = 26 = 26 Con este criterio: √ √ √ √ √ √ 6 12 21 30 27 3 2 = 22 = 24 = 27 = 210 = 29 √ 4

35 =

√ √ 8 12 310 = 315

De igual modo podemos simplificar la expresi´on de un radical: √

15

2.3.2

32 =

3·5

25 =

√ 3 2

Reducci´ on de radicales a ´ındice com´ un

Como vemos en las propiedades, es f´acil manejar radicales que tengan mismo ´ındice, por lo que es u ´til el poder transformar varios radicales al mismo denominador del ´ındice. Como los exponentes son fracciones, la forma de pasar a ´ındice com´ un es la misma que la utilizada a la hora de la reducci´on a com´ un denominador. • Se halla el m.c.m. de los ´ındices, que ser´a el ´ındice com´ un buscado. • Se divide este m.c.m. entre cada ´ındice y se multiplica cada ´ındice y exponente por el resultado de dicho cociente. Ejemplo 18: Pasar a ´ındice com´ un los siguientes radicales. √ √ √ 4 3 5, 3, 7 Soluci´ on: Hallamos el m.c.m. entre 3, 4 y 2, que es 12. √ √ √ 3·4 12 Tomamos el primer radical: 12/3 = 4 luego 3 5 = 54 = 54 √ √ √ 4·3 12 Tomamos el segundo radical: 12/4 = 3 luego 4 3 = 33 = 33 √ √ √ 2·6 12 Tomamos el tercero radical: 12/2 = 6 luego 7 = 76 = 76 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

2.3.3

21

Extracci´ on de factores de un radical

Extraer factores de un radical es una manera sencilla de simplificar un radical de forma que el radicando sea lo m´as sencillo posible y de esta forma, sea m´as f´acil de manejar. Se realiza descomponiendo el radicando y aplicando la propiedad del producto de radicales con mismo ´ındice de manera inversa, sobre los factores del radicando que tenga como exponente un n´ umero mayor o igual al ´ındice. No siempre puede realizarse esta operaci´ on. √ √ √ √ √ Ejemplo 19: 12 = 22 · 3 = 22 · 3 = 2 3 √ √ √ √ Ejemplo 20: 5 63 = 5 7 · 32 = 5 · 3 7 = 15 7 √ √ √ √ Ejemplo 21: 3 32 = 3 22 · 22 · 2 = 3 · 2 · 2 2 = 12 2 √ √ √ √ √ 3 3 3 Ejemplo 22: 3 3 32 = 3 25 = 3 23 · 22 = 3 · 2 22 = 6 3 4 √ √ √ √ √ 3 3 3 Ejemplo 23: 2 3 2592 = 2 25 · 34 = 2 23 · 22 · 33 · 3 = 2 · 2 · 3 22 · 3 = 12 3 12

2.3.4

Introducci´ on de factores en un radical

Para introducir un factor en un radical, debemos utilizar la misma propiedad que el apartado anterior, pero justamente al rev´es, de forma que si introducimos un factor en un radical, estar´a elevado al ´ındice del radical. Siempre puede realizarse esta operaci´ on. √ √ 3 5 = 32 · 5

2.3.5

√ √ 3 3 5 · 7 6 = 53 · 73 · 6

Racionalizaci´ on

La racionalizaci´on de una expresi´on convierte fracciones con el denominador radical, en otra fracci´on semejante con denominador entero. Por lo tanto, la finalidad es la de encontrar otra fracci´on semejante a la dada, de manera que el denominador sea entero. Este procedimiento tiene como u ´ltima finalidad, la de encontrar la soluci´on num´erica de una fracci´on con denominador radical y la de poder sumar fracciones con denominador radical. Si se realizase las operaciones con el denominador radical y por tanto, aproximando las raices lo mejor posible, siempre se cometer´ıa mayor error que si antes racionalizasemos la expresi´on. El m´etodo elemental consiste en multiplicar numerador y denominador por la ra´ız que aparezca en el denominador y simplificarlo. √ √ 2· 5 2· 5 2 Ejemplo 24: √ = √ √ = 5 5 5· 5 √ √ √ √ √ 3 3 3 3· 7 3 21 3 21 Ejemplo 25: √ = √ √ = = 2·7 14 2 7 2 7· 7

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

22

PROBLEMAS DE POTENCIAS Y RADICALES 1. Calcula las potencias siguientes: a) 23

b) (−3)2

 3 1 5

f)

g) −

c) − 32

 2 3 2

h)

d) (−3)3

 3



2 3

i) − 32

e) − 33

2

2. Escribe como potencia u ´nica: a) 23 · 22 · 25

b) (−3)2 · (−3)4 · (−3)−1 c) 84 · 8−3

d) x3 · x2 · x5

e) (−a)2 · (−a)3 · (−a)5

f ) (1/2)3 · (1/2)4 · (1/2)−2

√ √ g) ( x)3 · ( x)2 3. Escribe como potencia u ´nica: a) 32 · 52 · 22 b)(−2)3 · 43

c)x2 · 42 d)(−2)3 · 53 · 33 e) 122 · 32

f ) (−3)4 · 44 g)(1/2)3 · 23 4. Escribe como potencia u ´nica: a) 123 : 43 b) (−16)3 : 43 c) 272 : 32 f ) 43 : 42

d) 34 : 24

e) 634 : 94

h) 53 : 5−2 i) 35 : 3−1 j) 3−3 : 4−3

g) 512 : 56

5. Calcula las siguientes expresiones: a) 32 − 43 : 8 + 52 · 5−2

b) 3 · 22 + 52 · 22 − 60

c) (−1/2)2 + (3/2)3 − (5/3)2

d) 43 : 42 + 20 + 32 : 22

e)

"   

3 − 5

3 

3 − 5

2 # 3

3 : − 5 

 15 

 3  4

4 3

3 2

·

6. Calcula las siguientes potencias con exponente negativo: a) 3

−2



f)

2−

−2

b) (−3) 1 2

−1

c) (−2)

d)

 −2 2



e)

3

−2

1 −2 5

−1

7. Simplifica lo m´as posible, usando las propiedades de las potencias: a) e)

54 12 · 9 36 16 48 · 24 6

98·6·21 147·42·168

b)

32·48·144 27·32·54

f)

3 2

3◦ E.S.O.

· 92 ·

12 15

·

24 36

·

48 54

·

3 64

c)

25 15

g)

30·60·75 12·48·54

·

40 65

·

15 36

·

144 128

d)

75·30·36 125·150·6

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

23

8. Resuelve simplificando con las propiedades de las potencias. a)

27·48·128 64·72·54

15·100·12 36·150·30

b)

c)

42·30·49 21·54·56

d)

1024·27·125 30·45·40

e)

121·66·15 77·132

f)

13·12·121 143·44·3

9. Escribe en forma de notaci´on cient´ıfica, los siguientes n´ umeros: a) 00 0000000457

b) 34560000000 c) 998000000000000

d) 00 000000000000000987 e) 5769

f ) 00 00876

g) 5765700

i) 00 00876

h) 789

10. Escribe en notaci´on ordinaria los siguientes n´ umeros: a) 20 34 · 107

b) 50 675 · 10−7

c) 10 567 · 109

d)80 665 · 10−10

e) 10 223 · 109 f ) 10 6873 · 10−10 g) 30 889 · 1013 h) 50 778 · 104 11. Simplifica los siguientes radicales:

a) f) k)

√ 4

25

12

√ 3

√ 8

b)

625

256

√ 3

g)

√ 6 23

c)

8 · 27 · 64 h)

d)

√ 27

12

49 · 121 · 169 i)

e)

25 : 00 0001 j)

√ 8

81

√ 5

243 : 32

0, 0642

12. Simplifica las siguientes potencias. a) (25)1/4 b) (256)1/8 c) (27)1/12 d) (81)1/8 13. Reduce los siguientes radicales a ´ındice com´ un: √ √ √ √ √ √ √ √ √ a) 4; 3 5; 4 7 b) 3 3; 5 13; 6 12 c) 4 11; 6 5; 8 2 e)

√ 3

x;

√ 4

12 ·

√ 4

5 g)

d)

3◦ E.S.O.

13;

√ √ 9 5; 3 6

√ 3

√ 5

10 g)

√ 4

125 ·

√ 4

5 e)

√ 3

49 ·

√ 3

7

√ √ √ √ 3 · 6 h) 5 7 · 5 10

15. Realiza los siguientes productos. √ √ √ √ √ √ a) 3 3 · 4 7 b) 5 · 3 11 c) 4 2 · 5 9 f)

√ 6

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 3 5 10 6 10 5 a; n2 f ) a2 ; x3 ; 4 m g) m3 ; a3 ; n h) n3 ; m5 ; x7

14. Realiza los siguientes productos. √ √ √ √ √ √ a) 8 · 2 b) 3 9 · 3 3 c) 27 · 3 f)

d)

√ 8

4

h)

√ 6

10 ·

√ 4

d)

√ 3

√ 6

12 e)

2

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello

√ 6

7


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES 16. Realiza los siguientes cocientes. √ √ √ √ √ √ a) 8 : 2 b) 3 9 : 3 3 c) 27 : 3 f)

d)

√ 4

24

125 :

√ √ √ 4 5 e) 6 8 : 7

√ √ √ √ √ √ 3 4 : 5 10 g) 8 : 8 4 h) 6 10 : 4 2

17. Introduce en el radical los factores que est´an fuera. √ √ √ √ √ a) 2 8 b) 4 3 10 c) 7 2 d) 6 5 4 e) 9 4 7 √ g) 5 5 3 m)

2 5

√ 4

√ h) 7a 3 2

7 n)

a2 3

√ √ √ √ i) 3x 5 j) 2a2 3 a k) 52 4x l) 13 3 2

√ 3 x2

18. Extrae los factores del radical. √ √ b) 3 64 a) 32 e) i)

√ 5 √ 3

m)

288

f)

27 · 16 · a3 · m4 j)

√ 3 125 · x4 · y 5

√ f ) 12 6 6

n)

√ 3

c)

√ 4 64a5

d)

√ 216

√ 128

h)

√ 4 32 · m5 · 625

81 · 16 · 625 g)

√ 5 m3 · 16

k)

√ 5 5 · x12

o)

19. Realiza las siguientes operaciones: √ √ √ √ a) 2 − 8 − 18 + 50

√ √

9 · m3 · x2 l)

200

p)

√ 4

49 · m4

√ 4

5 · x3 · y 2

√ √ √ √ b) 2 12 + 3 27 − 5 75 + 98

√ √ √ √ √ √ √ √ c) 3 5 − 5 20 + 45 − 6 125 d) 4 5 + 24 + 4 20 − 5 54 √ √ √ √ e) 5 3 54 − 3 16 + 2 3 2 + 3 3 81

√ √ √ √ f ) 2a 5 − 3 45a2 − 5 9a + 4a

√ √ √ √ √ √ √ √ g) 4 7 + 6 28 − 2 63 − 175 h) 3 8 + 5 3 16 − 3 3 27 + 3 54 20. Opera y simplifica las siguientes expresiones. 3

a) 16 4 f ) 27

00 666...

0

b) 320 2 g) 9

k)

a a

l)

15 12 · 6 30

rq 3

2

c) 270,3333... y

y

d) 256 16 y

h) 2 · 6 · 7

i)

rq 3

8

27

e) 7 18 · 4

√ 4 3 j)

√a a

√ 5 7

21. Racionaliza las siguientes expresiones. √ √ 5 7 3 5 5 b) √ c) √ d) √ e) √ 2 5 3 5 2 3 √ √ 7 5 2 8 5 7 f ) √ g) √ h) √ i) √ j) √ 6 7 2 11 13 5 14 3 2 3 a) √ 3

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES

25

SOLUCIONES DE POTENCIAS Y RADICALES 1. 1 125

a) 8 b) 9 c) − 9 d) − 27 e) − 27 f ) 2.

g) −

9 4

h)

8 27

i)

9 4

√ a) 210 b) (−3)5 c) 8 d) x10 e) (−a)10 f ) (1/2)5 g) ( x)5

3. a) 302 b)(−8)3 c)16x2 d)(−30)3 e) 362 f ) (−12)4 g)1 4.  4 3

a) 33 b) (−4)3 c) 92 d)

e) 74 f ) 4 g) 56 h) 55 i) 36 j)

2

 −3 3 4

5. a) 2 b) 111 c)

61 72

29 4

d)

e) − 11

6. a) 0, 111... b) 0, 111... c) − 0, 5 d) 2, 25 e) 0, 308... f ) 0, 666... 7. a)

3 8

b)

128 27

a)

2 3

c)

25 52

d)

18 25

e)

1 84

f)

1 135

g)

625 144

8. 9.

b)

1 9

c)

a) 40 57 · 10−8

35 36

d) 64 e)

165 14

f) 1

b) 30 456 · 1010 c) 90 98 · 1014

d) 90 87 · 10−16 e) 50 769 · 103

f ) 80 76 · 10−3

g) 50 7657 · 106 h) 70 89 · 102

i) 80 76 · 10−3

10. a) 23400000

b) 00 0000005675

c) 1567000000

d)00 0000000008665

e) 1223000000 f ) 00 00000000016873 g) 38890000000000 h) 57780 11. a)

5 b) 2

g) 24

c)

2 d)

h) 1001 i) 500 j)

√ 4

3 e)

3

f)

√ 3 5

k) 00 016

3 2

12. a) (5)1/2 b) 2 c) (3)1/4 d) (3)1/2 13.

3◦ E.S.O.

√ 46 54 73

a)

12

e)

60

b)

x20 a12 n30 f )

30

310 136 125 c)

12

a8 x18 m3

g)

√ √ 18 116 54 23 d) 133 52 66

24

√ √ 30 m6 a3 n5 h) n45 m25 x21

10

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA II. POTENCIAS Y RADICALES 14. a) 4 b) 3 c) 9 d) 5 e) 7 f ) 15.

√ 34 73

a)

12

f)

15

√ √ √ 4 60 g) 18 h) 5 70

√ √ 6 20 53 112 c) 25 94

b)

√ 4 27

45 103 g)

12

h)

26

√ 6

d)

72 12 e)

√ 6 8 · 73

102 23

16. a) 2 b) 17. a)

g)

b)

√ 5 55 3

h)

q 4

24 54

q q √ √ √ 4 12 5 e) 6 8/73 f ) 15 45 /103 g) 25 h) 102 23

3 c) 3 d)

32

m) 18.

√ 3

√ 3

· 7 n)

640

√ 3

73 a3 2

q 3

a6 33

c) i)

√ 98 √

d)

32 x2 5 j)

√ 5 √ 3

23 a7

b) 4

√ e) 2 5 9

√ √ f ) 3 · 2 · 5 3 3 · 2 · 5 g) 8 2

√ c) 2a 4 4a

√ √ 5 i) 6am 3 2 · m j) m3 · 16

19. a)

54 4x l)

√ 6 q 3

126 6

2 27

√ 5 n) x2 5 · x2

√ o) 10 2

20. a) 8 b) 2

c) 3

g) 9 h) 84y i)

√ d) 6 6 √ h) 10m 4 2 · m · 5

d) 2

p)

√ 4

5 · x3 · y 2

√ √ √ c) − 34 5 d) 12 5 − 13 6

√ √ √ √ √ e) 15 3 2 + 9 3 3 f ) − 7a 5 − 13 a g) 5 7

21.

f)

√ √ k) 3mx m l) m 4 49

√ √ b) 7 2 − 12 3

2

k)

94 7

· x2

√ a) 4 32

√ m) 5xy 3 xy 2

√ 4

65 · 4 e)

e) 73

√ h) 13 3 2 − 7 f) 9

√ √ √ √ 3 j) a k) a−1 l) 30 7

24

√ √ √ √ 5 2 7 5 15 5 15 a) 3 b) c) d) e) 2 5 15 6 √ √ √ √ √ 70 7 7 5 22 8 13 7 2 f) g) h) i) j) 42 22 13 70 6 √

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema III POLINOMIOS. OPERACIONES

27


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

3.1

29

Expresiones algebraicas

A menudo se utilizan letras en vez de n´ umeros para generalizar razonamientos o para expresar propiedades de manera general. Por esta raz´on es importante conocer como podemos operar con este tipo de expresiones. Ejemplo 1: Imaginemos que al comprar 7 entradas para un evento deportivo, nos rebajan 3 euros. Si no sabemos cuanto cuestan las entradas exactamente, podemos expresar el gasto total de entradas de la siguiente manera: Si la entrada costase x euros, nos costar´ıan las entradas 7x-3 Ejemplo 2: Si tuviesemos un tri´angulo de base b y altura h su ´area total ser´ıa de

1 2

· b · h.

Como no tenemos n´ umeros con los cuales operar de forma literal, tendremos que dejar las operaciones indicadas y transformarlas, siempre que se pueda, en otras m´as simples. Expresi´ on algebraica: Es toda expresi´on formada por n´ umeros y letras unidas entre s´ı por los signos de las operaciones algebraicas (suma, resta, producto, cociente, potenciaci´on y radicaci´on). Son expresiones algebracias: 3x + 2ay ;

3.1.1

3 4x − y x 3

;

4y − 2x 3ab

; x3 − 2ax + 3y ;

x−1

Valor num´ erico

Definici´ on: Se denomina valor num´ erico de una expresi´on algebraica al resultado que se obtiene de sustituir los valores dados a las letras y realizar las operaciones indicadas. Lo m´as normal es que el resultado cambie en funci´on de los valores que les demos a las letras. 4a2 + b Ejemplo 3: Hallar el valor num´erico de la expresi´on: si tenemos que: a = 3 y 3a − b b = −2 Soluci´ on:

4·9−2 34 4 · (3)2 + (−2) = = 3 · (3) − (−2) 9+2 11

Ejemplo 4: Hallar el valor num´erico de la expresi´on:

3x2 − 4xy + 2y si tenemos que: x2 − 3y + 2

x=4ey=2 Soluci´ on: 3 · (4)2 − 4 · (4) · (2) + 2 · (2) 3 · 16 − 32 + 4 20 5 = = = 2 (4) − 3 · (2) + 2 16 − 6 + 2 12 3 Dos expresiones algebracias son equivalentes si al sustituir cualquier valor en ambas expresiones, el resultado siempre es igual en las dos. Ejemplo 5: Comprueba, sustituyendo valores cualquiera, que las expresiones (a + b)2 y a2 + b2 + 2ab son equivalentes. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

3.2

30

Monomios

Monomio: Se denomina monomio a toda expresi´on algebraica en las que est´an indicadas exclusivamente las operaciones de producto, cociente, potenciaci´on y radicaci´on. Esto nos indica que no pueden aparecer ni sumas ni restas entre las operaciones. Son monomios las siguientes expresiones: √ 2 2 5 xz 3 √ 2 3x ; xy ; 4x y ; 3 3xy Diremos que un monomio es entero cuando no aparece ninguna letra en el denominador, ni aparece exponente negativo. Empezaremos a estudiar las operaciones que pueden realizarse con este tipo de monomio, para luego ir extendiendo las operaciones a expresiones m´as complicadas. Grado de un monomio: es la suma de todos los exponentes de sus letras. Hay que tener claro que no hay que sumar los exponentes de los n´ umeros (coeficiente). Ejemplo 6: Veamos varios monomios y sus grados correspondientes: a) 35x2 yz 3 , tiene de grado 2 + 1 + 3 = 6 b) 62 a4 b2 c5 d3 tiene de grado 4 + 2 + 5 + 3 = 14 c) 12m2 nx5 tiene de grado 2 + 1 + 5 = 8

Monomios semejantes: Ser´an aquellos que tengan los mismo n´ umeros y la misma parte literal con el mismo exponente en cada letra. Esto quiere decir que ser´an monomios semejantes aquellos que sean iguales en n´ umeros y letra, que cada letra tenga el mismo exponente en ambos y dar´a lo mismo el orden en que pongamos las letras, aunque usualmente se utiliza el orden alfab´etico. Ejemplo 7: Se considerar´an monomios semejantes a: 4x2 y 3 z ; 4y 3 zx2 ; zx2 y 3 4 aunque el correcto es el primero, ya que se pone delante el n´ umero y luego las letras por orden alfab´etico, aunque todos los monomios sean correctos.

3.2.1

Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios Dos monomios pueden sumarse si tienen las mismas variables y cada una con el mismo exponente. Para sumarlas se colocan uno detr´as de otro con su signo correspondiente y se suman los coeficientes (parte num´erica). 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

31

Ejemplo 8: Sumemos los monomios: 6x2 , 3x2 , 2x2 6x2 + 3x2 + 2x2 = 11x2 Ejemplo 9: Sumemos los monomios: 6x3 y, −2yx3 , x3 y 6x3 y − 2yx3 + x3 y = 6x3 y − 2x3 y + x3 y = 5x3 y Ejemplo 10: Sumemos los monomios: 4a4 bm2 , − 32 ba4 m2 , −5m2 a4 b 2 2 5 4a4 bm2 − ba4 m2 − 5m2 a4 b = 4a4 bm2 − a4 bm2 − 5a4 bm2 = − a4 bm2 3 3 3 Ejemplo 11: Sumemos los monomios: 3x2 y, 6x2 y, 5x 3x2 y + 6x2 y + 5x = 9x2 y + 5x Cuando, como en este caso, no tenemos monomios semejantes, se sumar´an o restar´ an los monomios semejantes mientras que los dem´as se dejar´an indicados. Producto de monomios Dos monomios SIEMPRE pueden multiplicarse y el resultado es otro monomio. Para multiplicar dos monomios se deben aplicar las propiedades de las potencias en las letras, multiplicando los coeficientes entre s´ı y las letras iguales entre s´ı, siguiendo las propiedades de las potencias, esto es, sumando los exponentes. Ejemplo 12: Multipliquemos los monomios: 6x3 , 3x2 6x3 · 3x2 = 18x5 Ejemplo 13: Multipliquemos los monomios: 2x2 yz 3 , −3x3 y 2 z 5 (2x2 yz 3 )(−3x3 y 2 z 5 ) = −6x5 y 3 z 8 √ Ejemplo 14: Multipliquemos los monomios: 3x3 z 4 a, − 54 x2 y 2 zb2 , 3xyzb3 √ 4 2 2 2 √ 12 3 6 3 6 5 3 4 3 (3x z a)(− x y zb )( 3xyzb ) = − x y z ab 5 5 Cociente de monomios Dos monomios SIEMPRE pueden dividirse aunque el resultado no es siempre un monomio entero, ya que a veces pueden salir exponentes negativos. Para dividir dos monomios se deben aplicar las propiedades de las potencias en las letras, dividiendo los coeficientes entre s´ı y las letras iguales entre s´ı, siguiendo las propiedades de las potencias, esto es, restando los exponentes. Ejemplo 15: Dividamos los monomios: 6x3 , 3x2 6x3 : 3x2 = 2x Ejemplo 16: Dividamos los monomios: 2x2 yz 3 , −3x3 y 2 z 5 2 (2x2 yz 3 ) : (−3x3 y 2 z 5 ) = − x−1 y −1 z −2 3 Ejemplo 17: Dividamos los monomios: 3x3 z 4 a, − 54 x2 y 2 zb2 4 15 (3x3 z 4 a) : (− x2 y 2 zb2 ) = − xy −2 z 3 ab−2 5 4 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

3.3

32

Polinomios

Como hemos visto en la secci´on anterior, la suma de varios monomios que no tengan mismas variables con mismo grado no pueden efectuarse y como resultado tenemos una suma o diferencia de monomios, dando lugar a un polinomio. Polinomio: es la suma o diferencia de monomios. Si son dos monomios se denomina binomio, si son tres, trinomio y a partir de cuatro monomios se generaliza a polinomio. Por tanto, un monomio es un caso particular de polinomio. Ejemplo 18: Son polinomios: 4xy 2 + 2x3 y 2 ;

4 3 x + 2xy − 3tx2 ; 4x2 my + 2xy 2 z 3 − 3xy + 6t5 5

Grado de un polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que lo componen. Ejemplo 19: El grado de los siguientes polinomios ser´a: 4 4xy 2 +2x3 y 2 (grado 5) ; x3 +2xy−3tx2 (grado 3) ; 4x2 my+2xy 2 z 3 −3xy+6t5 (grado 6) 5 Un polinomio debe operarse siempre estando ordenado. Un polinomio se ordena dependiendo del grado de sus monomios en orden descendente y en igualdad de grados en los monomios, se ordena seg´ un el grado de las letras siguiendo el orden alfab´etico. Esto significa que el polinomio: 4xy 4 − 3x2 y 2 + 5x2 yz + 5y 2 z − 5x2 + 6z 2 − 5y + 5 est´a ordenado, ya que va descendiendo en el orden de sus monomios: 5 − 4 − 4 − 3 − 2−2−1−0 En el caso de mismo grado (−3x2 y 2 ) y (5x2 yz), se mira la primera letra en orden alfab´etico (x) y se ordena seg´ un el grado que tenga. Como en este caso tienen el mismo grado, se pasa a la siguiente letra (y) y as´ı sucesivamente.

3.3.1

Suma y diferencia de polinomios

Suma de polinomios Suma: Para sumar dos o m´as polinomios se escriben uno a continuaci´on de otro todos los t´erminos de los polinomios y se suman los monomios semejantes. A esta u ´ltima operaci´on se le llama reducci´ on de t´ erminos semejantes. Ejemplo 20: Sumemos tres polinomios: (3ax5 − 2a3 x) + (3a2 x2 + ax5 ) + (3a3 x − a2 x2 ) = = 3ax5 − 2a3 x + 3a2 x2 + ax5 + 3a3 x − a2 x2 = = 4ax5 + a3 x + 2a2 x2 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

33

Diferencia de polinomios Diferencia: Para restar dos o m´as polinomios se escriben uno a continuaci´on de otro todos los t´erminos de los polinomios, se aplica las propiedades de los signos con los par´entesis y se suman los monomios semejantes. Ejemplo 21: Operemos tres polinomios: (3ax5 − 2a3 x) − (3a2 x2 + ax5 ) − (3a3 x − a2 x2 ) = = 3ax5 − 2a3 x − 3a2 x2 − ax5 − 3a3 x + a2 x2 = = 2ax5 − 5a3 x − 2a2 x2

3.3.2

Producto de polinomios

Para comprender mejor el producto de polinomios, dividiremos el producto de polinomios en dos partes, producto de un monomio por un polinomio y producto de polinomios. Producto de un monomio por un polinomio Definici´ on: Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica por el monomio cada uno de los t´erminos del polinomio. Solamente se aplica la propiedad distributiva del producto y la suma. Ejemplo 22: (3x2 m + 2xm2 − 5xm) · (4xm2 ) = (3x2 m · 4xm2 ) + (2xm2 · 4xm2 ) − (5xm · 4xm2 ) = = 12x3 m3 + 8x2 m4 − 20x2 m3 Producto de polinomios Definici´ on: Para multiplicar dos polinomios, basta multiplicar cada t´ermino de uno de los polinomios por cada uno de los t´erminos del otro, y, despu´es, reducir los t´erminos semejantes. El proceso para realizar el producto de dos polinomios es laborioso aunque sin dificultad de c´alculo, por ello vamos a desarrollar dos m´etodos para realizar el producto de polinomios de forma sencilla. Primer m´ etodo: Se escriben los polinomios uno tras otro y se aplica la propiedad distributiva con cada t´ermino de uno de los polinomios. Ejemplo 22b: (3x2 − 3xy + 2x)(4x2 y + 3xy 2 − 4xy) = Aplicamos la propiedad distributiva = (3x2 )(4x2 y + 3xy 2 − 4xy) − (3xy)(4x2 y + 3xy 2 − 4xy) + (2x)(4x2 y + 3xy 2 − 4xy) = 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

34

Operamos los par´entesis = (12x4 y + 9x3 y 2 − 12x3 y) − (12x3 y 2 + 9x2 y 3 − 12x2 y 2 ) + (8x3 y + 6x2 y 2 − 8x2 y) = Quitamos par´entesis = 12x4 y + 9x3 y 2 − 12x3 y − 12x3 y 2 − 9x2 y 3 + 12x2 y 2 + 8x3 y + 6x2 y 2 − 8x2 y = Reducimos t´erminos semejantes = −8x2 y + 18x2 y 2 − 4x3 y − 9x2 y 3 − 3x3 y 2 + 12x4 y Ejemplo 23a: Multipliquemos (2x2 − 3x + 2) y (x2 + 4x − 3) (2x2 − 3x + 2)(x2 + 4x − 3) = 2x2 (x2 + 4x − 3) − 3x(x2 + 4x − 3) + 2(x2 + 4x − 3) = = (2x4 + 8x3 − 6x2 ) − (3x3 + 12x2 − 9x) + (2x2 + 8x − 6) = = 2x4 + 8x3 − 6x2 − 3x3 − 12x2 + 9x + 2x2 + 8x − 6 = 2x4 + 5x3 − 16x2 + 17x − 6 Segundo m´ etodo: Se escriben los polinomios como el la multiplicaci´on de n´ umeros normales y se van multiplicando los monomios y colocando en las columnas donde est´en los semejantes, sum´andose luego las columnas.

(4x2 y+3xy 2 −4xy)·2x→

−12x3 y 2

(4x2 y+3xy 2 −4xy)·(−3xy)→

(4x2 y+3xy 2 −4xy)·3x2 →

12x4 y

+9x3 y 2

12x4 y

−3x3 y 2

4x2 y

+3xy 2

−4xy

3x2

−3xy

+2x

8x3 y

+6x2 y 2

−8x2 y

−9x2 y 3

+12x2 y 2 −12x3 y

−9x2 y 3

−4x3 y

+18x2 y 2

−8x2 y

Ejemplo 23b: Multipliquemos (2x2 − 3x + 2) y (x2 + 4x − 3) 2x2

−3x

2

x2

4x

−3

−6x2

+9x

−6

8x3

12x2

+8x

+2x4

−3x3

+2x2

+2x4

+5x3

−16x2

(2x2 −3x+2)·(−3)→

(2x2 −3x+2)·4x→

(2x2 −3x+2)·x2 →

3◦ E.S.O.

+17x −6

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

3.4

35

Potenciaci´ on

La potenciaci´on de polinomios lo haremos con exponente natural y tan solo hay que seguir la definici´on de potencia de exponente natural, esto es: Definici´ on: Un polinomio elevado a un exponente natural n se calcula multiplicando n veces el polinomio por s´ı mismo. Ejemplo 24: Si queremos hallar (x + 2)3 har´ıamos: (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 + 4x + 4) = x3 + 6x2 + 12x + 8

3.4.1

Identidades notables

Es importante poder resolver algunas operaciones r´apidamente y sin apenas trabajo. Por eso es bueno conocer algunas identidades notables que nos ayudan a operar de forma r´apida ciertas potencias. Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de dos t´erminos es igual al cuadrado del primero, m´as el doble producto del primero por el segundo, m´as el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo 25: Si queremos hallar (x + 2)2 har´ıamos: (x + 2)2 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = x2 + 4x + 4 Ejemplo 26: Si queremos hallar (2x + 3)2 har´ıamos: (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 Ejemplo 27: Si queremos hallar (3x + 2xy)2 har´ıamos: (3x + 2xy)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 2xy + (2xy)2 = 9x2 + 12x2 y + 4x2 y 2 Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de dos t´erminos es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, m´as el cuadrado del segundo. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Ejemplo 28: Si queremos hallar (x − 2)2 har´ıamos: (x − 2)2 = x2 − 2 · x · 2 + 22 = x2 − 4x + 4 Ejemplo 29: Si queremos hallar (2x − 3)2 har´ıamos: (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9 Ejemplo 30: Si queremos hallar (3x − 2xy)2 har´ıamos: (3x − 2xy)2 = (3x)2 − 2 · 3x · 2xy + (2xy)2 = 9x2 − 12x2 y + 4x2 y 2 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

36

Suma de dos monomios por su diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual al cuadrado del primer t´ermino, menos el cuadrado del segundo. (a + b)(a − b) = (a − b)(a + b) = a2 − b2 Ejemplo 31: Si queremos hallar (x − 2)(x + 2) har´ıamos: (x − 2)(x − 2) = x2 − 22 = x2 − 4 Ejemplo 32: Si queremos hallar (2x + 3)(2x − 3) har´ıamos: (2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − 32 = 4x2 − 9 Ejemplo 33: Si queremos hallar (3x + 2xy)(3x − 2xy) har´ıamos: (3x + 2xy)(3x − 2xy) = (3x)2 − (2xy)2 = 9x2 − 4x2 y 2

3.5 3.5.1

Divisi´ on de polinomios Divisi´ on de polinomios entre monomios

Para dividir un polinomio entre un monomio tan solo debemos aplicar las propiedades de las potencias: separando cada t´ermino del numerador y dividi´endolo entre en denominador por separado y aplicando las propiedades de las potencias. Ejemplo 34: Si queremos hallar (6x3 y 5 − 7x3 y 2 z + 5x2 y 3 z 3 ) : (2x2 y) har´ıamos: (6x3 y 5 − 7x3 y 2 z + 5x2 y 3 z 3 ) : (2x2 y) =

=

3.5.2

6x3 y 5 − 7x3 y 2 z + 5x2 y 3 z 3 = 2x2 y

6x3 y 5 7x3 y 2 z 5x2 y 3 z 3 7 5 − + = 3xy 4 − xyz + y 2 z 3 2 2 2 2x y 2x y 2x y 2 2

Divisi´ on de polinomios

Para ver el procedimiento que debemos seguir, comenzaremos repasando como se hace con n´ umeros. Para eso desarrollaremos la siguiente divisi´on: 8 7

3 2

6

-

-

1 1

1 0

6 8

-

8 5 7 2 1

3◦ E.S.O.

5

|36 232

3 Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

37

Repasando lo realizado: 1. Nos fijamos en el mayor valor del dividendo, y con el divisor, se encuentra el primer n´ umero del cociente que multiplicado por el divisor no supere el valor tomado del dividendo. 2. Una vez encontrado el n´ umero del cociente, se multiplica por el divisor y se coloca debajo del dividendo. 3. Se le cambia de signo (se resta). 4. se repite el proceso con el resultado de la resta hasta que el resto sea menor que el divisor. Este mismo proceso es que debemos seguir para la divisi´on de polinomios. Veamos con un ejemplo el proceso. Ejemplo 35a: Si queremos hallar (2x3 + x2 − 3x + 4) : (x + 2) har´ıamos: 2x3

+x2

−3x

+4

| x+2

Buscamos el primer t´ermino del cociente: dividiendo el monomio de mayor grado del dividendo (2x3 ) entre el monomio de mayor grado del divisor (x), d´andonos 2x2 . 2x3

+x2

−3x

+4

| x+2 2x2

Multiplicamos el t´ermino del cociente por el divisor y lo vamos poniendo debajo del dividendo, respetando el grado que vamos calculando, esto es, los monomios semejantes en la misma columna. 2x3 2x3

+x2 +4x2

−3x +4

| x+2 2x2

Como tenemos que restar, le cambiamos el signo al resultado para hacer la suma m´as sencilla. 2x3 −2x3

+x2 −4x2

−3x +4

| x+2 2x2

Ahora realizamos la suma por columnas de monomios semejantes. 2x3 −2x3

+x2 −4x2

−3x +4

| x+2 2x2

−3x2 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

38

Comenzamos de nuevo el proceso, diviendo el monomio de mayor grado del dividendo (−3x2 ) entre el monomio de mayor grado del divisor (x), obteniendo el segundo t´ermino del cociente (−3x). Multiplicamos este t´ermino por el divisor y le cambiamos el signo. 2x3 −2x3

+x2 −4x2 −3x2 +3x2

−3x

| x+2 2x2 − 3x

+4

+6x

Sumamos y continuamos el proceso de nuevo. 2x3 −2x3

+x2 −4x2 −3x2 +3x2

−3x

| x+2 2x2 − 3x

+4

+6x +3x

Diviendo el monomio de mayor grado del dividendo (3x) entre el monomio de mayor grado del divisor (x), d´andonos el siguiente t´ermino del cociente (3). Multiplicamos este t´ermino por el divisor y le cambiamos el signo. 2x3 −2x3

+x2 −4x2 −3x2 +3x2

−3x

+4

| x+2 2x2 − 3x + 3

+6x +3x −3x

−6 −2

El proceso termina cuando el resto que nos va quedando es menor que el divisor, esto es, cuando el grado que nos va quedando del dividendo sea menor que el del divisor. El resultado ser´a que dicha divisi´on tiene por cociente 2x2 − 3x + 3 y como resto −2. Ejemplo 35b: Si queremos hallar (3x4 − 2x3 + 76 x2 − 3x − 2) : (2x2 + 3) har´ıamos: 3x4 3◦ E.S.O.

−2x3

+ 76 x2

−3x −2

| 2x2 + 3 Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

39

Buscamos el primer t´ermino del cociente: dividiendo el monomio de mayor grado del dividendo (3x4 ) entre el monomio de mayor grado del divisor (2x2 ), d´ andonos 3 2 x . 2 3x4

−2x3

+ 76 x2

−3x −2

| 2x2 + 3 3 2 x 2

Multiplicamos el t´ermino del cociente por el divisor y lo vamos poniendo debajo del dividendo, respetando el grado que vamos calculando, esto es, los monomios semejantes en la misma columna. 3x4 3x4

−2x3

+ 67 x2 + 92 x2

−3x −2

| 2x2 + 3 3 2 x 2

Como tenemos que restar, le cambiamos el signo al resultado para hacer la suma m´as sencilla. 3x4 −3x4

−2x3

+ 67 x2 − 29 x2

−3x −2

| 2x2 + 3 3 2 x 2

Ahora realizamos la suma por columnas de monomios semejantes. 3x4 −3x4

−2x3

+ 76 x2 − 92 x2

−2x3

x2 − 10 3

−3x −2

| 2x2 + 3 3 2 x 2

Comenzamos de nuevo el proceso, diviendo el monomio de mayor grado del dividendo (−2x3 ) entre el monomio de mayor grado del divisor (2x2 ), obteniendo el segundo t´ermino del cociente (−x). Multiplicamos este t´ermino por el divisor y le cambiamos el signo. 3x4 −3x4

−2x3

+ 76 x2 − 92 x2

−2x3 2x3

− 10 x2 3

−3x −2

| 2x2 + 3 3 2 x −x 2

+3x

Sumamos y continuamos el proceso de nuevo. 3x4 −3x4

−2x3

+ 76 x2 − 92 x2

−2x3 +2x3

− 10 x2 3

−3x −2

| 2x2 + 3 3 2 x −x 2

+3x − 10 x2 3

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

40

x2 ) entre el monomio de Diviendo el monomio de mayor grado del dividendo (− 10 3 mayor grado del divisor (2x2 ), obtenemos el siguiente t´ermino del cociente (− 35 ). Multiplicamos este t´ermino por el divisor y le cambiamos el signo. 3x4 −3x4

−2x3

−2x3 +2x3

+ 67 x2 − 29 x2

| 2x2 + 3 3 2 x −x− 2

−3x −2

5 3

− 10 x2 3 +3x x2 − 10 3 + 10 x2 3

+5 +3

El proceso termina cuando el resto que nos va quedando es menor que el divisor, esto es, cuando el grado que nos va quedando del dividendo sea menor que el del divisor. El resultado ser´a que dicha divisi´on tiene por cociente 32 x2 − x − 53 y como resto +3.

3.5.3

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un m´etodo de divisi´on de polinomios con el inconveniente que solo puede aplicarse cuando el divisor es un polinomio de grado 1 y coeficiente 1, esto es, polinomios del tipo (x − a) y (x + a). Cuando el divisor no es de este tipo, NO podemos utilizar esta regla. Veamos como se utiliza, aplic´andolo al ejemplo anterior (Ejemplo 35). Se puede utilizar este m´etodo ya que el divisor es (x + 2). Ejemplo 36: Dividamos (2x3 + x2 − 3x + 4) entre (x + 2) Escribimos solo los coeficientes de los monomios, poniendo un cero si faltase alg´ un monomio. 2

−3 4

1

Colocamos el opuesto del t´ermino independiente del divisor en la parte inferior izquierda, esto es, como el divisor es (x + 2) escribimos −2. 2

1

−3 4

−2

Bajamos el primer t´ermino a la fila inferior. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES 2

41 1

−3 4

−2 ↓ 2 Multiplicamos el valor (−2) por el n´ umero que acabamos de bajar y lo colocamos a la derecha, encima de la linea. Por tanto (−2) · 2 = −4 2

−3

1

−2 ↓ 2

4

−4

Sumamos este nuevo n´ umero con el que esta encima y lo colocamos bajo la linea. 2

−3

1 + −4 −3

−2 ↓ 2

4

Volvemos a multiplicar este nuevo valor (−3) por el (−2) y lo volvemos a colocar a la derecha, encima de la linea. 2 −2 ↓ 2

1

−3

−4 −3

6

4

Sumamos de nuevo y repetimos el proceso multiplicando por (−2) 2 −2 ↓ 2

1 −4 −3

−3 4 + 6 3

1

−3

−4 −3

6 3

2 −2 ↓ 2

4 + -6 -2

El resultado de la operaci´on aparece en la linea inferior de la siguiente manera: 2 −2 ↓ 2

1

−3

−4 −3 Cociente

6 3

4 + -6 -2 Resto

Por lo tanto el resto de la divisi´on ser´a −2, mientras que para hallar el cociente haremos la operaci´on inversa a la que hicimos para poner los valores del dividendo en la parte superior al comienzo del proceso, quedando el cociente como 2x2 −3x+3.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

42

PROBLEMAS DE OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. Calcula el valor num´erico de las siguientes expresiones, dependiendo del valor de las variables. (a) x2 − y 2 para x = 3 y y = 2 (b) a2 − 2ab + b2 para a = 4 y b = −1 (c) (2x − 1)(3x + 1)x para x = 3, x = −1 y x = 2 (d) 3a2 − 2ab + 4b2 para a =

1 3

y b = −2

(e) − 31 x − 2x(x − 2y) para x =

2 5

y y = −2

2. Indica el grado de los siguientes monomios: a) 3xy 2 m3 n

b) 31 xy 5 mz

c) 52 a4 bc3 x2 d) ab2 x3 t3

e) 3ax2 y 3 z 2 m f ) 00 5x3 y 2 m4 nz 2 g) 4x2 y 3

h) 5

3. Suma las siguientes expresiones cuando sean posible: a) 3xy 2 − 32 y 2 x + xy 2

b) 13 xy − 32 xy + 5xy

c) 3a4 b − 00 3a4 b + 32 a4 b

d) 5ab2 − 3a2 b + 6ba2 + 2b2 a

e) 3ax2 + 21 xa2 − ax2 − 43 a2 x f ) 00 5x3 y 2 + 21 y 2 x3 − 34 x2 y 3 − 00 3y 3 x2 g) 4x2 − 5x3 + 6x2 − x3

h) 5x4 + 2x2 − 2x3 + x2 − 4x3

4. Multiplica las siguientes expresiones: a) (3ax3 y)(2ax)(−3x2 y)

b) (2abc)(−3a2 bc)(−2b2 c)

c) ( 32 mn2 )(− 34 nm2 )(6n3 ) d) (3x2 )(2xy)(3x2 y 3 ) e) (4xy 2 )(−2x)(5y 3 )

f ) (2ab)( 21 ab2 )(3a3 )

g) (6mn)(−2m2 )(−4n3 )

h) ( 34 ab2 )(00 2a2 )(3b4 )

5. Divide las siguientes expresiones: a) (3ax3 y) : (2ax)

b) (2a3 b2 c4 ) : (−3a2 bc) c) ( 32 mn2 ) : (− 34 nm2 )

d) (3x2 z 3 ) : (2xy)

e) (4xy 2 ) : (−2xz 2 )

f ) (2a5 b6 c2 ) : ( 21 ab2 )

g) (6mn) : (−2m2 n) h) ( 34 a4 b2 ) : (00 2a2 ) 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

43

6. Indica el grado de los siguientes polinomios. a) 3x2 y 3 z + 4x3 y − 2xyz 5

b) 2a2 bcd3 − 2ab3 + 4xy 2

c) 5x4 − 3x2 + 6x4 − 4

d) 6x2 − 3x + 6

e) 5x4 yz 2 − 2xyz − 5x2 y 2 z 2

f ) − 2x4 y 5 z + 2xyz 2 + 7x2 y 3 z 4

g) − 21 m2 np3 + 4m3 n3 p − 6m + 3n7 h) 56a2 bc4 − 2abc + 5c2 b6 a

7. Realiza las siguientes operaciones. (a) (3a2 b − 4ab2 + 5ab − 6) + (3ab2 − 7a2 b + 2 + ab) − (4 − 4ab + a2 b − 2ab2 ) (b) (1 − xy − y 2 − z 2 ) − (3xy + 2y 2 ) − (−3z 2 − 5 + xy) + (3xy − x2 − z 2 ) (c) (27a3 b − 3a2 b − 7a3 b2 ) + (6a2 b + 8a3 b2 − 7a3 b) − (−3a3 b + 10a3 b2 − a2 b) (d) (7x4 − 3x3 + 2x3 + x − 4) − (6x4 − 2x3 + 6x2 + 2x + 8) + (x4 − x3 + 5x2 − x + 2) 8. Realiza los siguientes productos: a) (2xy − y + x2 )(3x2 y − 4) b) (2a + b)(3b − 4) c) (x2 − xy)(2x + y − 3)

d) (2ab − b)(5a2 − b2 )

e) (4xy 2 − x + 2)(2x2 − y)

f ) (3xy − 2x)(4x2 + y 2 − 3)

g) (2x2 − 1)(4y − 2 + x)

h) (4xy + 2)(y 2 − x)

9. Realiza las siguientes operaciones y simplifica. (a) (2x + 1)(x + 2) − (3x2 − 2x + x − 4) + (2x2 − 4) (b) (a − b)(a − b) − (a2 − 3ab + b) + (2a − 3)(4b − 1) (c) (a + b)(a − b) + (a + b)(a + b − 1) − (a + b − ab) (d) (a + b + c)(a − 1) − (a − b − c)(b − 1) + (a − b + c)(c − 1) (e) (2x − 1)(x2 − x − 1) + (x + 2)(x2 + x − 2) 10. Calcula las siguientes potencias. c) ( 32 m2 n3 )5

d) (− 23 x2 ym3 )3

e) (− 32 xy 2 m3 )4 f ) (00 5ab2 )3

g) (−2a2 bc3 )5

h) (−3a2 x4 y)3

i) (2x − 3)2

j) (4a − 3b)2

k) (x2 + 3ab2 )2 l) (4x + bc3 )2

m) (x2 − 2b3 )2

n) (2xy 2 − b)2 o) (x6 + 2c2 )2

a) (2x2 y)3

3◦ E.S.O.

b) (2a2 bc4 )4

p) (3c2 + 5x2 )2

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

44

11. Realiza los siguientes productos: a) (2a − b)(2a + b)

b) (4x2 − y)(4x2 + y) c) (3b − 5a)(3b + 5a)

d) (2x2 − y 3 )(2x2 + y 3 ) e) (5a − x2 )(5a + x2 ) f ) (m2 − n)(m2 + n) 12. Realiza las siguientes divisiones: (a) (x3 + 4x2 + x) : (x) (b) (x4 − x3 + 4x2 − 5x) : (x) (c) (8x4 + 3x3 − 5x2 + 6x) : (2x) (d) (15a3 − 27a2 + 12a − 3a5 ) : (3a) (e) (3ax4 − 2a5 x7 − 56 ax3 ) : (7ax2 ) (f) ( 34 b2 x4 − 25 x6 + 56 b3 x7 − x8 ) : ( 54 x3 ) (g) (−12m2 n2 + 23 mn3 − 31 m2 n3 ) : ( 43 mn2 ) 13. Realiza las siguientes divisiones: (a) (4x4 − 3x2 + 2x − 4) : (x2 − x) (b) (5x2 + 4x3 − 2x2 + 5x − 1) : (x2 − x + 3) (c) (6x4 + x3 − 21x2 + 28x − 5) : (3x2 + 5x − 6) (d) (8x5 − 14x4 − 5x3 + 16x2 − 8x + 3) : (2x2 − 5x + 3) (e) (3m2 − 5m3 − 1 + m4 − 4m) : (3 − 4m + m2 ) (f) (x6 − 3x + x3 − 3) : (x2 − 3x) (g) (x − 2x3 − 3 + 3x4 ) : (2x2 − 1) (h) ( 23 x4 +

19 3 x 8

11 2 x 12

+ 23 x − 3) : ( 12 x2 + 3)

14. Realiza las siguientes divisiones por la regla de Ruffini: (a) (x4 − 3x3 + 2x2 − x + 5) : (x − 1) (b) (2x4 − 3x2 + 1) : (x + 2) (c) (3x5 + 2x4 − 2x3 + 4x − 2) : (x − 3) (d) (3x4 − 2x3 + 6x2 − x + 1) : (x + 1) (e) (6x5 − 2x2 + 3x − 2) : (x − 2) (f) (x3 − 2x2 + 1) : (x + 4) (g) (3x3 − 5x2 + x − 7) : (x + 3) (h) (3x4 − 5x3 + x2 − 1) : (x − 2) (i) (3x4 − 2x + 1) : (x + 1) (j) (x5 − x3 + 1) : (x + 2)

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

45

SOLUCIONES DE OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. a) 5 b) 25 c) 150, -6, 42 d) 5/3 e) -274/75 2. a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) 9 f ) 12 g) 5 h) 0 3. a) − 32 y 2 x + 4xy 2 b) e) 2ax2 − 41 xa2 4.

23 xy 6

c)

f ) y 2 x3 −

21 2 3 xy 20

101 4 ab 30

d) 3a2 b + 7b2 a

g) − 6x3 + 10x2 h) 5x4 − 6x3 + 3x2

a) − 18a2 x6 y 2 b) 12a3 b4 c3 c) − 3m3 n6 d) 18x5 y 4 e) − 40x2 y 5

f ) 3a5 b3

g) 48m3 n4

h) 54 a3 b6

5. a) 32 x2 y

b) − 32 abc3 c) − 89 m−1 n d) 32 xy −1 z 3 e) − 2y 2 z −2 f ) 4a4 b4 c2

g) − 3m−1 h)

20 2 2 ab 3

6. a) 7 b) 7 c) 4 d) 2 e) 7 f ) 10 g) 7 h) 9 7. (a) −5a2 b + ab2 + 10ab − 8 (b) −2xy − 3y 2 + z 2 − x2 + 6 (c) 23a3 b + 4a2 b − 9a3 b2 (d) 2x4 − x2 − 2x − 10 8. a) 3x4 y + 6x3 y 2 − 3x2 y 2 − 4x2 − 8xy + 4y b) 6ab − 8a + 3b2 − 4b c) 2x3 + 3x2 y − 3x2 − xy 2 + 3xy

d) 10a3 b − 2ab3 − 5a2 b + b3

e) − 4xy 3 + 8x3 y 2 + xy − 2y − 2x3 + 4x2

f ) 12x3 y − 8x3 + 3xy 3 − 2xy 2 − 9xy + 6x

g) 8x2 y − 4x2 + 2x3 − 4y − x + 2

h) 4xy 3 − 4x2 y + 2y 2 − 2x

9. (a) x2 + 6x + 2 (b) 9ab − 2a + b2 − 13b + 3 (c) 2a2 + 3ab − 2a − 2b (d) a2 + 2ac − a + b2 − b + c2 − 3c 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA III. POLINOMIOS. OPERACIONES

46

(e) 3x3 − x − 3 10. a) 8x6 y 3 e)

16 4 8 12 xy m 81

i) 4x2 − 12x + 9

32 m10 n15 243

c)

f ) (00 125a3 b6

g) − 32a10 b5 c15

j) 16a2 − 24ab + 9b2

k) x4 + 6ab2 x2 + 9a2 b4 l) 16x2 + 8xbc3 + b2 c6

m) x4 − 4x2 b3 + 4b6 n) 4x2 y 4 − 4bxy 2 + b2 o) x12 + 4x6 c2 + 4c4 11.

27 6 3 9 xy m 8

b) 16a8 b4 c16

a) 4a2 − b2

d) −

h) − 27a6 x12 y 3

p) 9c4 + 30x2 c2 + 25x4

b) 16x4 − y 2 c) 9b2 − 25a2

d) 4x4 − y 6 e) 25a2 − x4 f ) m4 − n2 12. (a) x2 + 4x + 1 (b) x3 − x2 + 4x − 5 (c) 4x3 + 23 x2 − 25 x + 3 (d) 5a2 − 9a + 4 − a4 (e) (f) (g)

3 2 6 x − 27 a4 x5 − 35 x 7 3 2 b x − 2x3 + 23 b3 x4 − 45 x5 5 −16m + 89 n − 41 mn

13. (a) C(x) = 4x2 + 4x + 1 R(x) = 3x − 4 (b) C(x) = 4x + 7 R(x) = −22 (c) C(x) = 2x2 − 3x + 2 R(x) = 7 (d) C(x) = 4x3 + 3x2 − x + 1 R(x) = 0 (e) C(x) = m2 − m − 4 R(x) = −17m + 11 (f) C(x) = x4 + 3x3 + 9x2 + 28x + 84 R(x) = 249x − 3 (g) C(x) = 23 x2 − x +

3 4

19 x 4

(h) C(x) = 3x2 +

R(x) = − 94 119 6

R(x) = − 163 x+ 12

678 12

14. (a) C(x) = x3 − 2x2 − 1 R(x) = 4 (b) C(x) = 2x3 − 4x2 + 5x − 10 R(x) = 21 (c) C(x) = 3x4 + 11x3 + 31x2 + 93x + 283 R(x) = 847 (d) C(x) = 3x3 − 5x2 + 11x − 12 R(x) = 13 (e) C(x) = 6x4 + 12x3 + 24x2 + 46x + 95 R(x) = 188 (f) C(x) = x2 − 6x + 24 R(x) = −95 (g) C(x) = 3x2 − 14x + 43 R(x) = −136 (h) C(x) = 3x3 + x2 + 3x + 6 R(x) = 11 (i) C(x) = 3x3 − 3x2 + 3x − 5 R(x) = 6 (j) C(x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 6x + 12 R(x) = −23 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema IV ´ DE FACTORIZACION POLINOMIOS

47


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

4.1

49

Concepto de factorizaci´ on

Cuando se estudiaron los n´ umeros y sus operaciones, una de las aplicaciones m´as u ´tiles para su manejo posterior fue la descomposici´on de los n´ umeros en sus factores primos. 24 = 23 · 3 Este proceso nos sirvi´o luego para manejar los n´ umeros de manera m´as sencilla, poder calcular el m.c.m. y M.C.D. para sumar fracciones,...... Por ello es importante saber descomponer un polinomio en sus factores m´as simples. Este proceso se denomina factorizaci´ on de polinomios y tambi´en se le aplica al proceso que conocemos de descomposici´on, esto es, descomponer o factorizar significa lo mismo. Antes de comenzar a detallar el proceso a seguir, vamos a repasar como se hace con n´ umeros y veremos sus similitudes con los polinomios. Ejemplo 1: Descomponer el n´ umero 63: Aunque el proceso es de sobra conocido, vamos a realizarlo lentamente y pensando cada paso. Primero: Debemos de tener una relaci´on de n´ umeros que vamos a probar, si al dividir 63 entre ellos, la divisi´on es exacta o no. Esto n´ umeros son los n´ umeros primos; 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, · · · Segundo: Debemos conocer el resto de dividir el n´ umero dado (63) y el n´ umero seleccionado de nuestra lista. • Si el resto es cero: hemos obtenido el factor. • Si el resto no es cero: el n´ umero seleccionado no es un factor y probamos con otro. En nuestro caso tomamos el primero 2. Si dividimos el 63 entre el 2 obtenemos de resto 1, que no es cero, y por tanto 2 no es un factor. Tomamos el siguiente n´ umero 3 y dividimos 63 entre 3, obteniendo de resto 0, luego hemos hallado un factor que es el 3. Tercero: Una vez hallado un factor, dividimos el n´ umero entre este factor y repetimos el proceso con el cociente calculado. Si dividimos 63 entre 3, obtenemos de cociente 21. 63 3 21 3 7 7 1 Este proceso se termina cuando el cociente es irreducible, o sea, que no se puede simplificar m´as, en el caso de los n´ umeros, cuando el n´ umero es primo. Una vez terminado el proceso, expresamos la descomposici´on realizada: 63 = 3 · 3 · 7 = 32 · 7 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

4.2

50

Factores de un polinomio

Empecemos a relacionar lo que hacemos con n´ umeros y lo que tenemos que hacer con los polinomios. Con los n´ umeros ten´ıamos la lista de n´ umeros primos como posibles factores a probar. En los polinomios, esta funci´on la hacen los binomios de coeficiente 1 en x y grado 1. Por tanto, la lista de monomios que sustituyen la lista de n´ umeros primos ser´ıa: (x − 1); (x + 1); (x − 2); (x + 2); (x − 3); (x + 3); (x − 4); (x + 4); · · · Siguiendo con el proceso, tenemos que ir conociendo el resto de dividir el polinomio dado entre cada uno de los binomios de la lista. Para facilitar este c´alculo veamos un teorema que nos lo hace mucho m´as f´acil. Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio P (x) entre (x − a) es igual al valor n´ umerico del polinomio P (x) para x = a. Ejemplo 2: Hallar el resto de dividir P (x) = 4x4 − 3x2 + 3x − 5 entre (x − 2) Soluci´ on: En vez de hacer la divisi´on, aplicamos el teorema del resto y sustituimos 2 en el polinomio P (x): P (x) = 4x4 − 3x2 + 3x − 5 → P (2) = 4(2)4 − 3(2)2 + 3(2) − 5 = 64 − 12 + 6 − 5 = 53 Luego el resto de la divisi´on pedida ser´a: 53 Ejemplo 3: Hallar el resto de dividir P (x) = 3x4 − 2x3 + 3x − 4 entre (x + 2) Soluci´ on: En vez de hacer la divisi´on, aplicamos el teorema del resto y sustituimos −2 en el polinomio P (x): P (x) = 3x4 −2x3 +3x−4 → P (−2) = 3(−2)4 −2(−2)3 +3(−2)−4 = 48+16−6−4 = 54 Luego el resto de la divisi´on pedida ser´a: 54 Es f´acil entonces entender el resultado del siguiente teorema. Teorema del factor: Un polinomio P (x) tiene como factor, (x−a) si el valor num´erico de sustituir a en P (x) es cero , esto es, el resto es cero. Antes de seguir definiremos un concepto m´as, relacionado con los factores: Definici´ on de ra´ız: Un n´ umero (a) se denomina ra´ız de un polinomio P (x), si el valor num´erico de P (x) para x = a es cero. a es ra´ız ⇐⇒ P (a) = 0 Ejemplo 4: Si tenemos el polinomio P (x) = x2 −5x+6, ¿cu´ales de los n´ umeros 1,2,3,-4, son raices del polinomio?. Soluci´ on: Sustituimos cada n´ umero en el polinomio: • P (1) = (1)2 − 5(1) + 6 = 2, luego no es ra´ız. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

51

• P (2) = (2)2 − 5(2) + 6 = 0, luego es ra´ız. • P (3) = (3)2 − 5(3) + 6 = 0, luego es ra´ız. • P (−4) = (−4)2 − 5(−4) + 6 = 44, luego no es ra´ız. Esto nos lleva a relacionar los factores de un polinomio y sus raices, ya que si un polinomio tiene a x − a como factor, entonces tiene a x = a como ra´ız. Ejemplo 5: Si x − 2 es un factor del polinomio P (x), el 2 es una ra´ız de ese polinomio. Ejemplo 6: Si x + 3 es un factor del polinomio P (x), el −3 es una ra´ız de ese polinomio. Ejemplo 7: Si x − 4 es un factor del polinomio P (x), el 4 es una ra´ız de ese polinomio. Ejemplo 8: Si x + 5 es un factor del polinomio P (x), el −5 es una ra´ız de ese polinomio.

4.3

Teorema de la ra´ız

Ya sabemos la lista de factores que tenemos que probar, el m´etodo f´acil de conocer su resto y la relaci´on entre factores y raices de un polinomio. El siguiente teorema nos facilita la tarea de b´ usqueda de factores. Teorema de la ra´ız: En un polinomio de coeficiente la unidad en su mayor grado, sus raices enteras, dividen al t´ermino independiente. Este teorema nos indica cuales ser´an las posibles raices de un polinomio. Est´a claro que conociendo las raices, conocemos los factores. Con este teorema no tenemos que probar todos los factores posibles, sino que debemos de probar aquellos cuya ra´ız divida al t´ermino independiente. Ejemplo 9: Sea el polinomio P (x) = x2 + 5x + 6, ¿Cu´ales ser´an sus posibles raices? Soluci´ on: Sus raices ser´an los n´ umeros que dividan al t´ermino independiente (6), luego ser´an: ±1; ±2; ±3; ±6 Por tanto los posibles factores ser´an: (x − 1); (x + 1); (x − 2); (x + 2); (x − 3); (x + 3); (x − 6); (x + 6) Ejemplo 10: Sea el polinomio P (x) = x2 − 2x + 8, ¿Cu´ales ser´an sus posibles raices? Soluci´ on: Sus raices ser´an los n´ umeros que dividan al t´ermino independiente (8), luego ser´an: ±1; ±2; ±4; ±8 Por tanto los posibles factores ser´an: (x − 1); (x + 1); (x − 2); (x + 2); (x − 4); (x + 4); (x − 8); (x + 8) 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

4.4

52

Factorizaci´ on de polinomios

Con todo esto podemos ya factorizar polinomios. Ve´amoslo con un ejemplo. Ejemplo 11: Factorizar el polinomio P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 Posibles raices: N´ umeros que dividen al t´ermino independiente: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 Restos: Comprobamos cuales de ellos es ra´ız: • P (1) = (1)3 − 3(1)2 − 4(1) + 12 = 6, No es ra´ız. • P (−1) = (−1)3 − 3(−1)2 − 4(−1) + 12 = 16, No es ra´ız. • P (2) = (2)3 − 3(2)2 − 4(2) + 12 = 0, es ra´ız y el factor es el (x − 2). Dividimos: Hallo el cociente entre el polinomio y el factor (por Ruffini): 1

−3

−4

2 ↓ 1

2 −1

−2 −12 −6 0

12 el cociente es x2 − x − 6

Luego P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2) · (x2 − x − 6) Volvemos a empezar con el cociente: P (x) = x2 − x − 6: Posibles raices: N´ umeros que dividen al t´ermino independiente: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; Restos: Comprobamos cuales de ellos es ra´ız: • P (1) = (1)2 − (1) − 6 = −6, No es ra´ız. • P (−1) = (−1)2 − (−1) − 6 = −4, No es ra´ız. • P (2) = (2)2 − (2) − 6 = −4, No es ra´ız. • P (−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 0, es ra´ız y el factor es el (x + 2). Dividimos: Hallo el cociente entre el polinomio y el factor (por Ruffini):

−2

1

−1 −6

↓ 1

−2 −3

6 0

el cociente es x − 3

Luego P (x) = x2 − x − 6 = (x + 2) · (x − 3) y sustituyendo en el cuadro anterior: P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2) · (x2 − x − 6) = (x − 2) · (x + 2) · (x − 3) 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

4.4.1

53

Observaciones

Teniendo en cuenta estas observaciones, podemos realizar la factorizaci´on de un modo a´ un m´as r´apido. Observaci´ on 1: Si un n´ umero no cumple la condici´on de ra´ız en una fase del desarrollo, no la cumplir´a m´as adelante, por lo que no har´a falta volver a comprobar si un n´ umero es ra´ız, si antes se ha comprobado que no lo es. Veamos como quedar´ıa el ejemplo anterior con esta observaci´on. Ejemplo 12: Factorizar el polinomio P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 Posibles raices: N´ umeros que dividen al t´ermino independiente: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 Restos: Comprobamos cuales de ellos es ra´ız: • P (1) = (1)3 − 3(1)2 − 4(1) + 12 = 6, No es ra´ız. • P (−1) = (−1)3 − 3(−1)2 − 4(−1) + 12 = 16, No es ra´ız. • P (2) = (2)3 − 3(2)2 − 4(2) + 12 = 0, es ra´ız y el factor es el (x − 2). Dividimos: Hallo el cociente entre el polinomio y el factor (por Ruffini): 1

−3

−4

2 ↓ 1

2 −1

−2 −12 −6 0

12 el cociente es x2 − x − 6

Luego P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2) · (x2 − x − 6) Volvemos a empezar con el cociente: P (x) = x2 − x − 6: Posibles raices: N´ umeros que dividen al t´ermino independiente: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; Restos: Comprobamos cuales de ellos es ra´ız, (no hace falta comprobar ni el 1, ni el−1): • P (2) = (2)2 − (2) − 6 = −4, No es ra´ız. • P (−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 0, es ra´ız y el factor es el (x + 2). Dividimos: Hallo el cociente entre el polinomio y el factor (por Ruffini): 1 −2 ↓ 1 3◦ E.S.O.

−1 −6 −2 −3

6 0

el cociente es x − 3

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

54

Luego P (x) = x2 − x − 6 = (x + 2) · (x − 3) y sustituyendo en el cuadro anterior: P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2) · (x2 − x − 6) = (x − 2) · (x + 2) · (x − 3)

Observaci´ on 2: Las raices de un polinomio de grado dos, son las soluciones de la f´ormula de la ecuaci´on de segundo grado. Veamos como quedar´ıa el ejemplo anterior con esta observaci´on. Ejemplo 13: Factorizar el polinomio P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 Posibles raices: N´ umeros que dividen al t´ermino independiente: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 Restos: Comprobamos cuales de ellos es ra´ız: • P (1) = (1)3 − 3(1)2 − 4(1) + 12 = 6, No es ra´ız. • P (−1) = (−1)3 − 3(−1)2 − 4(−1) + 12 = 16, No es ra´ız. • P (2) = (2)3 − 3(2)2 − 4(2) + 12 = 0, es ra´ız y el factor es el (x − 2). Dividimos: Hallo el cociente entre el polinomio y el factor (por Ruffini): 1

−3

−4

2 ↓ 1

2 −1

−2 −12 −6 0

12 el cociente es x2 − x − 6

Luego P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2) · (x2 − x − 6) Factorizamos el cociente: P (x) = x2 − x − 6: Como es un polinomio de segundo grado, aplico la f´ormula: q √ ( 1 ± 1 − 4 · 1 · (−6) 1 ± 25 1±5 = x= = = = 2 2 2

1+5 2 1−5 2

=3 = −2

Luego P (x) = x2 − x − 6 = (x + 2) · (x − 3) y sustituyendo en el cuadro anterior: P (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2) · (x2 − x − 6) = (x − 2) · (x + 2) · (x − 3)

Observaci´ on 3: Si un polinomio tiene como coeficiente del t´ermino de mayor grado un n´ umero distinto de 1, este n´ umero es tambi´en factor del polinomio. Ejemplo 14: Factoricemos el polinomio P (x) = 3x2 + 6x − 24 Soluci´on: Como es un polinomio de segundo grado, aplicamos la f´ormula: q √ ( −6 ± 36 − 4 · 3 · (− − 24) −6 ± 324 −6 ± 18 = −6+18 =2 6 x= = = −6−18 = 6 = −4 6 6 6 Luego P (x) = 3x2 + 6x − 24 = 3 · (x − 2) · (x + 4) 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

55

Observaci´ on 4: Si un polinomio de grado 2 no tiene racies reales, no puede descomponerse. Ejemplo 15: Factorizar el polinomio P (x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 Posibles raices: N´ umeros que dividen al t´ermino independiente: ±1 Restos: Comprobamos cuales de ellos es ra´ız: • P (1) = (1)3 + 2(1)2 + 2(1) + 1 = 6, No es ra´ız. • P (−1) = (−1)3 + 2(−1)2 + 2(−1) + 1 = 0, es ra´ız y el factor es (x + 1). Dividimos: Hallo el cociente entre el polinomio y el factor (por Ruffini): 1 −1 ↓ 1

2

2

−1 1

1

−1 −1 1 0

el cociente es x2 + x + 1

Luego P (x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x2 + x + 1) Factorizamos el cociente: P (x) = x2 + x + 1: Como es un polinomio de segundo grado, aplico la f´ormula: x=

−1 ±

√ √ 1 ± −3 1−4·1·1 = 2 2

Como no tiene soluci´on real, no se puede descomponer y queda: P (x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x2 + x + 1)

4.5

Teorema fundamental del ´ algebra

El teorema fundamental del a´lgebra fu´e expuesto y demostrado por Gauss en su tesis doctoral y dec´ıa lo siguiente. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raices.

4.6

Simplificaci´ on

Una utilidad de la factorizaci´on, es la simplificaci´on de expresiones. Cuando tenemos una expresi´on algebraica, a veces podemos simplificarla utilizando tres m´etodos b´asicos: 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

4.6.1

56

Factorizaci´ on

Intentando factorizar las expresiones del denominador y numerador: Ejemplo 16: Simplificar

x2 −5x+6 x2 −4

Factorizamos denominador y numerador: x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) (x − 3) = = 2 x −4 (x − 2)(x + 2) (x + 2)

4.6.2

Factor com´ un

Sacando factor com´ un del t´ermino que se repita en todos los sumandos tanto del denominador como del numerador: Ejemplo 17: Simplificar

x2 −5x+6 ax−2a

Factorizamos denominador y numerador: (x − 2)(x − 3) (x − 3) x2 − 5x + 6 = = ax − 2a a(x − 2) a

4.6.3

Identidades notables

Aplicando las identidades notables, podemos a veces factorizar una expresi´on algebraica: Ejemplo 18: Simplificar

x2 −2ax+a2 ax−a2

Factorizamos denominador y numerador: x2 − 2ax + a2 (x − a)2 (x − a)(x − a) (x − a) = = = 2 ax − a a(x − a) a(x − a) a

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

57

´ DE POLINOMIOS PROBLEMAS DE FACTORIZACION 1. Calcula el resto de las siguientes divisiones. (a) (x4 − 3x3 + 2x2 − x + 5) : (x − 1) (b) (2x4 − 3x2 + 1) : (x + 2) (c) (3x5 + 2x4 − 2x3 + 4x − 2) : (x − 3) (d) (3x4 − 2x3 + 6x2 − x + 1) : (x + 1) (e) (6x5 − 2x2 + 3x − 2) : (x − 2) (f) (x3 − 2x2 + 1) : (x + 4) (g) (3x3 − 5x2 + x − 7) : (x + 3) (h) (3x4 − 5x3 + x2 − 1) : (x − 2) (i) (3x4 − 2x + 1) : (x + 1) (j) (x5 − x3 + 1) : (x + 2) 2. Indica cuales de las siguientes divisiones son exactas y cuales no. (a) (3x3 − 21x + 18) : (x + 3) (b) (7x4 − 5x3 + 3x2 − 4x − 1) : (x + 1) (c) ( 41 x + 32 x3 + 41 x2 − 12 + 4x5 ) : (x − 12 ) (d) (3x4 + 5x3 − x − 8) : (x + 2) (e) (5m4 − 3m3 + 8m2 − 6) : (m − 3) (f) (x4 − 16) : (x + 2) (g) (x5 + 32) : (x − 2) (h) (x5 + 32) : (x + 2) (i) (x99 − 1) : (x + 1) (j) (x99 − 1) : (x − 1) 3. Determina el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas: (a) (x4 − 3x3 − mx2 + 3x − 6) : (x − 2) (b) (x5 − 3x4 + 2mx3 + x − 3) : (x + 1) (c) (x4 − 3x2 − 2x + m) : (x + 3) (d) (2x3 + 2x2 − 3mx + 12) : (x − 3) (e) (x5 − x4 + mx3 − x) : (x − 1) 4. Determina el valor de m para que el −3 sea ra´ız del siguiente polinomio: (x4 − 3x2 + x − 3m) 5. Factoriza los siguientes polinomios: a) x2 − 5x + 6 d) 2x2 + 4x − 6 g) x2 − 3x − 5 j) x3 − 2x2 − 5x + 6 m) 2x3 − 8x2 + 3x + 10 3◦ E.S.O.

b) x2 + 5x + 6 e) 3x2 + 8x + 9 h) x2 + x − 8 k) x3 − 2x2 − 9x + 18 n) x3 + 4x2 + 2x − 1

c) x2 − 3x − 4 f ) 4x2 + 8x − 16 i) x3 − 3x2 − 4x + 12 l) x3 − 2x2 − x + 2 o) 2x3 − 2x − 12

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

58

6. ¿Para que valores de x se anula el polinomio (x − 2)(x + 4)(x − 14) y porqu´e?. 7. Simplifica las siguientes expresiones. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

a2 − 2ab + b2 a2 − b 2 4a2 − b2 2ax − bx 2x2 + 4x − 16 2xy + 8y 3ax + 3a2 12ax 2x − ay ma − na xy 2 − x2 x2 − ax mx − my ax − ay mx − my ay − ax 4xy + 4x 2xy + 2x − 4zy − 4z 3x2 − 21x + 30 x2 − 25

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

59

´ DE POLINOMIOS SOLUCIONES DE FACTORIZACION 1. a) 4 b) 21 c) 297 d) 13 e) 188 f) −95 g) −136 h) 11 i) 6 j) −23 2. a) SI b) N O c) SI d) N O e) N O f) SI g) N O h) SI i) N O j) SI 3. a) 2 b) −4 c) −60 d) 28/3 e) 1 4. 17 5. a) (x − 2)(x − 3) c) (x − 4)(x + 1) e) 3x2 + 8x√+ 9 √ g) (x − ( 3+2 29 ))(x − ( 3−2 29 )) i) (x + 2)(x − 2)(x − 3) k) (x − 2)(x + 3)(x − 3) √ √ 2+ 14 m) 2(x − 2)(x − ( 2 ))(x − ( 2−2 14 )) o) 2(x − 2)(x2 + 2x + 3)

b) (x + 2)(x + 3) d) 2(x + 3)(x √ √ − 1) f ) 4(x + 5 √+ 1)(x − 5 +√1) h) (x − ( −1+2 33 ))(x − ( −1−2 33 )) j) (x − 1)(x + 2)(x − 3) l) (x + 1)(x − 1)(x − 2) √ √ −3+ 13 n) (x + 1)(x − ( 2 ))(x − ( −3−2 13 ))

6. 2, -4, 14 a−b 2a + b x−2 x+a 2x − ay y2 − x m b) c) d) e) f) g) a+b x y 4x ma − na x−a a 2x 3(x − 2) m j) h) − i) a x − 2z x+5

7. a)

3◦ E.S.O.

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´ DE POLINOMIOS TEMA IV. FACTORIZACION

3◦ E.S.O.

60

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema V FRACCIONES ALGEBRAICAS

61


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

5.1

63

Fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas: son expresiones literales que representan el cociente inexacto de dos monomios o dos polinomios. En palabras m´as sencillas, es una fracci´on en la que numerador y denominador son polinomios. Ejemplo 1: Las siguientes expresiones son fracciones algebraicas: 2x2 − y y 6x2 − 5y 2 − 1 6yx2 ; ; ; 4x − 3y 3x2 − y + 6 x z5 El valor num´ erico de una fracci´on algebraica se define y realiza de manera an´aloga a la que se defini´o con los polinomios, esto es, dados unos valores para sus inc´ognitas, sustituir estos valores por dichas inc´ognitas y realizar los c´alculos aritm´eticos: Ejemplo 2: Calcula el valor num´erico de las fracciones algebraicas siguientes, sabiendo que x = 2, y = −3, z = 1: Soluci´ on: 11 y 1 2x2 − y =⇒ ; =⇒ − 2 4x − 3y 17 3x − y + 6 7 6x2 − 5y 2 − 1 6yx2 =⇒ −11 ; =⇒ −72 x z5 Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores num´ericos para todos los valores atribuidos a sus letras que no anulan el denominador. Para hallar una fracci´on equivalente a otra, se utiliza el m´etodo llamado de simplificaci´on, que pasamos a repasar.

5.2

Simplificaci´ on

Simplificar: una fracci´on algebraica consiste en dividir denominador y numerador por el mismo t´ermino, no nulo, de forma que obtengamos una fracci´on algebraica semejante. Con todo lo aprendido entre este tema y los anteriores, podemos aplicar los conocimientos a la simplificaci´on de fracciones algebraicas. B´asicamente vamos a usar la factorizaci´on, la propiedad distributiva y las identidades notables. Ejemplo 3: Simplificar la expresi´on: a2 + 2ab + b2 (a + b)(a + b) a+b = = 2 2 a −b (a + b)(a − b) a−b Con este ejemplo podemos comprobar que aplicar las identidades notables no es dif´ıcil, aunque hay que tener un buen dominio de ellas y saber reconocerlas. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

64

Ejemplo 4: Simplificar la expresi´on: x2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) x+3 = = 2 x + 3x + 2 (x + 2)(x + 1) x+1 Es f´acil deducir que debemos aplicar la factorizaci´on o plantearnos que es el m´etodo a seguir, cuando aparezca un polinomio con una sola variable. Ejemplo 5: Simplificar la expresi´on: 2xm − ym m(2x − y) m = = 2xa − ya a(2x − y) a La propiedad distributiva deber´a utilizarse cuando aparezca un mismo factor en m´as de un sumando. A partir de ahora podremos simplificar expresiones con estos tres conceptos, apareciendo mezclados los m´etodos en una misma expresi´on. Ejemplo 6: Simplificar la expresi´on: x(a − 3) − 2(a − 3) (x − 2)(a − 3) a−3 ax − 3x − 2a + 6 = = = 2 x −4 (x + 2)(x − 2) (x + 2)(x − 2) x+2

5.3

M´ınimo com´ un m´ ultiplo entre polinomios

Antes de empezar a operar con fracciones algebraicas, al ser b´asicamente fracciones, tendremos que aprender a hallar el m.c.m. entre polinomios, ya que al sumar o restar fracciones num´ericas, debemos realizar esta operaci´on con los denominadores, antes de sumar o restar. Del mismo modo, tendremos que hallar el m.c.m. entre polinomios para poder sumar fracciones algebraicas.

5.3.1

M´ınimo com´ um m´ ultiplo entre monomios

Un monomio no es m´as que un producto de ”factores”, ya sean n´ umeros o letras y por tanto podemos considerarlos factorizados. Si tenemos varios monomios, a cada elemento del monomio lo consideramos un factor: Ejemplo 7: Hallar el m.c.m. entre los monomios: 4x2 yz ; 6x3 y 2 ; 15xyz 2 Soluci´ on: que podemos verlos como: 4 · x2 · y · z ; 6 · x3 · y 2 ; 15 · x · y · z 2 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

65

Tomando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente: Entre los n´ umeros, el m.c.m. es 60. Entre las variables x, el m.c.m. es x3 . Entre las variables y, el m.c.m. es y 2 . Entre las variables z, el m.c.m. es z 2 . Luego el m.c.m. entre los tres monomios es : 60x3 y 2 z 2

5.3.2

M´ınimo com´ um m´ ultiplo entre polinomios

Una vez revisado los conceptos b´asicos para calcular el m.c.m., podemos establecer el mismo m´etodo para hallar el m.c.m. entre polinomios. • Factorizar cada polinomio. • Tomar los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Ejemplo 8: Hallar el m.c.m. entre los polinomios: x2 + 4x + 4 ; 2x2 + 10x + 12 ; 3x2 + 3x − 6 Soluci´ on: Primero factorizamos los polinomios (ya visto en temas anteriores): x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 2 2x + 10x + 12 = 2(x + 2)(x + 3) 3x2 + 3x − 6 = 3(x + 2)(x − 1) Tomamos los factores que aparecen: (x + 2); 2; (x + 3); 3; (x − 1) con el mayor exponente, obteniendo el m.c.m.: 2 · 3 · (x + 2)2 · (x + 3) · (x − 1) = 6(x + 2)2 (x + 3)(x − 1)

Ejemplo 9: Hallar el m.c.m. entre los polinomios: x3 + 3x2 + 3x + 1 ; 15xy 2 ; 6x2 − 18x − 24 Soluci´ on: Primero factorizamos los polinomios (ya visto en temas anteriores): x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 15xy 2 = 3 · 5 · x · y2 6x2 − 18x − 24 = 2 · 3 · (x + 1)(x − 4) Tomamos los factores que aparecen: (x + 1); 3; 5; x; y; 2; (x − 4) con el mayor exponente, obteniendo el m.c.m.: 2 · 3 · 5 · x · y 2 · (x + 1)3 · (x − 4) = 30(x + 1)2 (x − 4) 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

5.4

66

Operaciones con fracciones algebraicas

5.4.1

Suma y resta

La suma y resta de fracciones algebracias se realiza de igual modo que la suma y resta de fracciones num´ericas: • Se calcula el m.c.m. entre los denominadores. • Con cada fracci´on, se divide el m.c.m. entre el denominador y el resultado multiplica al numerador y denominador (Se reducen a com´ un denominador). • El denominador de todas las fracciones ser´ıa el m.c.m. • Se simplifica la fracci´on algebraica, si es posible.

Ejemplo 10: Realiza la siguiente operaci´on: x 2−x 2x − 1 + − 2x2 + 10x + 12 x2 − 4 6x2 + 6x − 36 Soluci´ on: Hallemos el m.c.m. entre los denominadores: 2x2 + 10x + 12, x2 − 4, 6x2 + 6x − 36  2x2 + 10x + 12 = 2(x + 2)(x + 3)  x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) m.c.m. = 6(x − 2)(x + 2)(x + 3)   2 6x + 6x − 36 = 2 · 3(x − 2)(x + 3) 

Primera fracci´on, dividimos m.c.m. entre el denominador y multiplicamos al numerador y denominador: 2x − 1 (2x − 1) · 3(x − 2) 2 · 3(x − 2)(x + 2)(x + 3) = 3(x − 2) =⇒ 2 = 2(x + 2)(x + 3) 2x + 10x + 12 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) Segunda fracci´on, dividimos m.c.m. entre el denominador y multiplicamos al numerador y denominador: 2 · 3(x − 2)(x + 2)(x + 3) x x · 6(x + 3) = 6(x + 3) =⇒ 2 = (x − 2)(x + 2) x −4 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) Tercera fracci´on, dividimos m.c.m. entre el denominador y multiplicamos al numerador y denominador: 2 · 3(x − 2)(x + 2)(x + 3) 2−x (2 − x)(x + 2) = (x + 2) =⇒ 2 = 2 · 3(x − 2)(x + 3) 6x + 6x − 36 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) Operamos con las fracciones semejantes halladas con el mismo denominador (m.c.m.). 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

67

2x − 1 x 2−x + − = 2x2 + 10x + 12 x2 − 4 6x2 + 6x − 36 (2x − 1) · 3(x − 2) x · 6(x + 3) (2 − x)(x + 2) = + − = 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) =

6x2 + 18x −x2 + 4 6x2 − 15x + 6 + − = 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) =

(6x2 − 15x + 6) + (6x2 + 18x) − (−x2 + 4) = 6(x − 2)(x + 2)(x + 3) =

5.4.2

13x2 + 3x + 2 6(x − 2)(x + 2)(x + 3)

Producto

El producto de fracciones algebraicas se realiza aplicando las mismas reglas que us´abamos para el producto de fracciones num´ericas, esto es, multiplicando numeradores entre s´ı y denominadores entre s´ı: P (x) · R(x) P (x) R(x) · = Q(x) S(x) Q(x) · S(x) Ejemplo 11: Realiza la siguiente operaci´on: x2 − 1 x2 + 3 · 2x − 3 x − 2 Soluci´ on: =

5.4.3

x4 + 2x2 − 3 (x2 − 1) · (x2 + 3) = 2 (2x − 3) · (x − 2) 2x − 7x + 6

Cociente

El cociente de fracciones algebraicas se realiza aplicando las mismas reglas que us´abamos para el cociente de fracciones num´ericas, esto es, multiplicando numeradores y denominadores cruzados: P (x) R(x) P (x) · S(x) : = Q(x) S(x) Q(x) · R(x) Ejemplo 12: Realiza la siguiente operaci´on: x2 − 1 x2 + 3 : 2x − 3 x − 2 Soluci´ on: = 3◦ E.S.O.

(x2 − 1) · (x − 2) x3 − 2x2 − x + 2 = (2x − 3) · (x2 + 3) 2x3 − 3x2 + 6x − 9 Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

5.5

68

Racionalizaci´ on

Ya vimos en temas anteriores, como se racionalizaban cocientes en los que aparec´ıan en el denominador una ra´ız, sin sumas ni diferencias. Ahora vamos a ver como se racionalizan fracciones algebracias en las que aparecen en el denominador, sumas o diferencias de raices. Antes veamos un concepto nuevo: Conjugado: de un binomio es otro binomio en el cual, el segundo monomio tiene el signo opuesto al primero. Ejemplo 13: Hallemos el conjugado de los siguientes binomios: √ √ ax − b ; x2 − 3 ; x + 3 ; 3ax2 + 5 x ; 7x + 4 Soluci´ on: ax − b x2 −√3 x+ 3 √ 3ax2 + 5 x 7x + 4

conjugado conjugado conjugado conjugado conjugado

→ → → → →

ax + b x2 +√3 x− 3 √ 3ax2 − 5 x 7x − 4

El m´etodo para racionalizar fracciones algebraicas con una suma o diferencia en el denominador, consiste en multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador, ya que en el denominador aparecer´a la identidad notable (a − b)(a + b) que, aplicando el resultado que conocemos, la simplificaremos por a2 − b 2 Ejemplo 14: Racionalizar las siguientes expresiones: x 4x − 1 6 7 4 2 √ ; √ √ ; √ √ ; √ ; ; √ √ 3− 7 2+3 x− 5 5+ 2 2 3−1 4 5+3 x Soluci´ on: √

2√ 3− 7

=

2√ 3− 7

·

√ (3+√7) (3+ 7)

=

√ 2(3+ 7) 9−7

= 3+

√x 2+3

=

√x 2+3

·

√ (√2−3) ( 2−3)

=

√ x( 2+3) 2−9

= − x(

4x−1 √ x− 5

=

4x−1 √ x− 5

·

√ (x+√5) (x+ 5)

=

√ (4x−1)(x+ 5) x2 −5

√ 6√ 5+ 2

=

√ 6√ 5+ 2

=

√ √ 6( 5− 2) 5−2

√ √ = 2( 5 − 2)

√7 2 3−1

=

√7 2 3−1

=

√ 7(2 3+1) 12−1

=

√ 4 √ 4 5+3 x

=

√ 4 √ 4 5+3 x

=

√ √ 4(4 5−3 x) 80−9x

3◦ E.S.O.

√ √ (√5−√2) ( 5− 2)

· ·

√ (2√3+1) (2 3+1)

·

√ √ (4√5−3 x) √ (4 5−3 x)

7

2+3) 7

√ 7(2 3+1) 11

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

69

PROBLEMAS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. Halla el m.c.m. de los siguientes monomios: (a) 12x2 ; 6xy 2 ; 6x2 yz

(b) 2a2 xy 3 ; 6ax2 y ; 8a3 x2

(c) 15 ; 25a ; 45m ; 75am

(d) 33a2 m ; 99am2 ; 22amn

(e) 5x3 yz 2 ; 10xy 3 ; 20xy 2 z 3 2. Halla el m.c.m. de los siguientes grupos de polinomios. (a) a − 1 ; a2 − a ; ab − b

(b) a2 − b2 ; a2 − 2ab + b2 ; a2 − ab

(c) x3 − 1 ; x2 − 1 ; x2 − x

(d) 5x − 10 ; 15x2 − 60 ; 3x2 − 12x + 12

(e) x2 − 5x + 6 ; x2 − 4 ; 3x2 − 3x − 6 (f ) x2 + 3x ; 6x2 ; x3 + x2 (g) x2 − 4 ; 2x − 4 ; 2 − x 3. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) 3◦ E.S.O.

3x 5y x y + − + 4 6 2 3 x−y 3+x y−5 x−2 − + − 21 49 42 14 a−1 a−b b a − + − 2b 3b 6b 4 2 2 a a − 1 a + b b2 − + − 2 3b b2 ab a 2x x−1 3−x + − x x−1 3x a+b 2−a b2 + − 2 a − b b − a a − b2 x−y 3x2 − y 2 − 2 x + y x + 2xy + y 2 x2 − x x−4 3x − 2 + − 2 2 x − 3x x + 2 x − x − 6 x2 x+1 x−1 + 2 − 2 3x − 3 x − x 4x 5 3 4 − 2 − 2 2 x − x − 2 x − 2x − 3 x − 5x + 6 2x − 4 3 5 − − 2 x − 4 x + 2 3x − 6 2 2x − 5 4 + + 2 2 x + 6x + 9 3x + 6 2x + 10x + 12 Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

70

4. Realiza los siguientes productos y simplifica: (a)

a2 + ab a − b (x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 2) · (b) · x2 − 1 x2 + 3x (a − b)2 a

(c)

2x2 − 6x 5x − 5 · 15x − 15 2x2 + 4x

(d)

x2 + 5x + 6 x2 − x (e) · 3x2 + 9x x+2

x2 − 2x x + 1 · 2x + 2 x

3x + 2 x2 − 1 (f ) · x − 5 x2 − 2x

5. Realiza los siguientes cocientes y simplifica: (a)

2x2 + 4x x + 2 : 3x x+1

(c)

a2 − b 2 3x 6x2 a2 − 2ab + b2 (d) : : a2 + 2ab + b2 a+b x−1 x+2

(e)

x2 − 9 x−2 : 2 6x − 3 x + 6x + 9

(b)

(f )

x2 − 3x + 2 2x2 − 2x : 2 3x x −1

4x − 3 x + 2 : x2 + 1 3 − x

6. Realiza las siguientes operaciones: 3 x x−2 x−2 · − : x+1 x−1 x+1 3x x−1 2 x−1 2x − 3 (b) − · + 2 x + 2 5x x − 3 3x − 3x − 18 2x x+2 2 x−2 + : − 2 (c) 2 x − 1 x − 1 x + 1 x + 3x + 2 2x + 1 x − 1 3x − 2 x (d) : + 2 · 2 x 2 x −1 x −x−2 (a)

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

71

SOLUCIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. (a) 12x2 y 2 z (b) 24a3 x2 y 3 (c) 225am (d) 198a2 m2 n (e) 20x3 y 3 z 3 2.

(a) ab(a − 1))

(b) a(a − b)2 (a + b)

(c) x(x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)

(d) 15(x − 2)2 (x + 2)

(e) 3(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 1) (f ) 6x2 (x + 1)(x + 3) (g) 2(x − 2)(x + 2) −13x − 7y + 11 4a − 3b2 − 2b + 4 14y + 3x b) c) 12 294 12b −3a4 + 4a3 b + 3a2 + 3ab2 − 3b4 2a2 + a(3b − 2) − 2b 2(x2 + 7x − 5) d) f) e) 3a2 b2 3x(x − 1) a2 − b 2 2 2 3 2 −2x 2x − 9x + 12 x + 15x + 27x + 9 −2x − 13 g) h) i) j) (x + y)2 (x + 2)(x − 3) 12x(x + 1)(x − 1) (x − 3)(x2 − x − 2) 3 2 −4(2x + 1) 2x + 7x − 15 k) l) 3(x + 2)(x − 2) 3(x + 2)(x + 3)2

3. a)

4. (a)

a+b x−3 x−2 x−1 (3x + 2)(x2 − 1) (x + 2)2 (b) (c) (d) (e) (f ) x(x + 1) a−b 3(x + 2) 2 3 (x − 5)(x2 − 2x)

5.

6. (a)

(a)

2(x + 1) 3

(b)

(x2 − 1)(x − 2) 6x2

(c)

1 a−b

(d)

x+2 2(x − 1)

(e)

(x2 − 9)(x + 3)2 (4x − 3)(3 − x) (f ) 2 3(x − 2)(x − 1) (x + 1)(x + 2)

−3(x3 − 2x2 + 4x − 4) (x2 − 1)(x − 2)

(b)

15x3 − 56x2 + 24x + 12 15x(x + 2)(x − 3)

(c)

2x3 + 5x2 − 2 (x2 − 1)(x + 2)

(d)

4x4 + 5x3 − 14x2 − 14x − 4 x(x2 − 1)(x2 − x − 2)

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA V. FRACCIONES ALGEBRAICAS

3◦ E.S.O.

72

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema VI ECUACIONES

73


TEMA VI. ECUACIONES

6.1

75

Conceptos de una ecuaci´ on

Una ecuaci´ on: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades desconocidas, llamadas inc´ ognitas y que s´olo se verifican para ciertos valores de estas. Se llaman soluciones a los valores de las inc´ognitas que hacen que se cumplan la igualdad. Resolver una ecuaci´on es hallar todas las posibles soluciones, los tipos de ecuaciones b´asicos son: Polin´ omicas : son aquellas en las que la ecuaci´on forman un polinomio. x4 − 3x3 + 2x2 − x + 5 = x2 + x Radicales : son aquellas en las que aparece una ra´ız con la inc´ognita en el radicando y en alguna parte de la ecuaci´on. Este tipo de ecuaciones necesitan la comprobaci´on de cada resultado encontrado, en la ecuaci´on inicial, ya que pueden aparecer soluciones que no lo sean en la ecuaci´on incial. √ x + 2 + x = x2 − 1 Es importante la distinci´on existente entre las ecuaciones y las f´ormulas. La diferencia estriba en que las ecuaciones tienen o pueden tener soluciones, mientras que las f´ormulas se utilizan para hallar valores de una de sus variables dando cualquier valor a las otras, ya que siempre se cumplen. Una identidad: es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor que demos a las letras. Teniendo en cuenta las soluciones de una ecuaci´on se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. As´ı que teniendo en cuenta las soluciones de una ecuaci´on podemos dividir las ecuaciones en: • Por la existencia de soluci´on: Compatible : si la ecuaci´on tiene soluci´on. 3x = 12 Incompatible : si la ecuaci´on no tiene soluci´on. x + 13 − 4 + 2x = x − 1 + x + 5 + x • Por el n´ umero de soluciones: Determinada : si la ecuaci´on tiene una u ´nica soluci´on. 2x = 18 Indeterminada : si la ecuaci´on tiene m´as de una soluci´on. x2 = 25 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

6.2

76

Reglas o principios de las ecuaciones

Como las ecuaciones no son m´as que operaciones entre n´ umeros reales, deben de cumplir entonces todas sus reglas y propiedades. Por lo tanto cumplen tanto la regla de la suma como la del producto y el principio de factorizaci´on de n´ umeros reales: Regla de la suma: Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta el mismo valor, la ecuaci´on resultante es equivalente a la primera. a=b⇔a±c=b±c Ejemplo 1: x + 5 = 6 =⇒ (x + 5) − 5 = (6) − 5 =⇒ x = 1 Regla del producto: Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide el mismo valor disinto del cero, la ecuaci´on resultante es equivalente a la primera. a = b ↔ a · c = b · c, c 6= 0 Ejemplo 2: 5x = 7 =⇒ (5x) ·

1 5

= (7) ·

1 5

=⇒ x =

7 5

Factorizaci´ on: Si el producto de dos expresiones es cero, entonces la primera o la segunda expresi´on es cero. a·b=0⇔a=0 o b=0   

( x=0 x=0 Ejemplo 3: x + 2x = 0 =⇒ x(x + 2) = 0 =⇒ o =⇒  x = −2  x+2=0 2

6.3

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado (o polinomio de segundo grado) tienen el formato ax2 + bx + c = 0 con a > 0 que se puede conseguir con s´olo multiplicar a todas las componentes del miembro por menos. Con este formato sabemos que la soluci´on de la ecuaci´on ser´a: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a donde a b2 − 4ac se la llama discriminante y cuyas soluciones son: • Si el discriminante es positivo las soluciones son: √   −b + b2 − 4ac   x =    1 2a √     −b − b2 − 4ac   x2 = 2a • Si el discriminante es cero la soluci´on es: x=− 3◦ E.S.O.

b 2a Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

77

• Si el dircriminante es negativo no existe soluci´on. Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuaci´on: (x + 2)2 + 3x = −8 Soluci´ on: Elevamos el par´entesis: x2 + 4x + 4 + 3x = −8 Agrupamos en el primer miembro: x2 + 7x + 12 = 0 Aplicamos la f´ormula: √ −7 + 1 −7 ± 49 − 48 = =⇒ x1 = −3 x2 = −4 x= 2 2

6.4

Ecuaciones polin´ omicas con ra´ız entera

Para hallar las raices enteras de las ecuaciones polin´omicas s´olo hay que utilizar los teoremas del resto y de la ra´ız estudiados en temas anteriores, en los que se dec´ıan: Teorema del resto Si hallamos el valor num´erico de un valor (a) en un polinomio, el resultado es el resto de dividir el polinomio entre (x − a). Teorema de la ra´ız Las posibles soluciones enteras de una ecuaci´on polin´omica son los divisores del t´ermino independiente, si lo tiene. Teorema del factor Si tenemos que un n´ umero a es ra´ız de una ecuaci´on polin´omica p(x) = 0, entonces se puede factorizar el polinomio de la forma: p(x) = (x − a) · q(x) = 0 dividiendo p(x) por x − a mediante el m´etodo de Ruffini. Ejemplo 5: Resolver la siguiente ecuaci´on x3 − x2 − 4x + 4 = 0 Soluci´ on: Veamos las posibles ra´ıces : ±1, ±2, ±4 Comprobando dichos valores en el polinomio obtengo: 13 − 12 − 4 · 1 + 4 = 0 Dividiendo por Ruffini: (x − 1)(x2 − 4) = 0 y se aplica otra el m´etodo al polinomio de grado mayor que 1. Obteniendo x = 1, 2, −2

6.5

Ecuaciones incompletas

Se denominan as´ı a las ecuaciones a las que le faltan alguno de los u ´ltimos t´erminos (los de menor grado). El m´etodo es muy f´acil, ya que basta con sacar primero factor com´ un la variable, elevada al m´ınimo grado que aparezca en el polinomio y resolver cada uno de los factores. Ejemplo 6: Resolver x3 − 5x2 + 6x = 0 Soluci´ on: En este caso, el t´ermino de menor grado, es de grado 1, luego puedo sacar factor com´ un x:   ⇒ x=0  x=0 3 2 2 x − 5x + 6x = 0 ⇒ x(x − 5x + 6) = 0 ⇒   2 x − 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2; x = 3 entonces las soluciones son ; x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 3 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

6.6

78

Ecuaciones bicuadradas

Este tipo de ecuaciones se distinguen en que todas las inc´ognitas de la ecuaci´on tienen exponente m´ ultiplo de un n´ umero natural. El m´etodo de resoluci´on consiste en hacer un cambio de varible, usualmente x2 = y si todos los exponentes son m´ ultiplos de 2, x3 = y si todos los exponentes son m´ ultiplos de 3, .... Hay que tener en cuenta que si x2 = y para cada soluci´on de y habr´a dos soluciones para x y que si y < 0 no existe soluci´on en x. Veamos el proceso detalladamente. Ejemplo 7: Resolver x4 − 5x2 + 4 = 0 Soluci´ on: Como todos los exponentes son m´ ultiplo de 2, es una ecuaci´on bicuadrada y el cambio ser´ a: y = x2 Si ponemos la ecuaci´on del modo (x2 )2 − 5(x2 ) + 4 = 0 y hacemos el cambio, obtenemos: y 2 − 5y + 4 = 0 resolviendo la ecuaci´on como una ecuaci´on de segundo grado, tenemos: ( √ 5±3 5 ± 25 − 16 y=4 = =⇒ y= y=1 2 2 Ahora, deshacemos el cambio de variable: √ si y = 4 =⇒ x2 = 4 =⇒ x = ± 4 =⇒ x = ±2 √ si y = 1 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ± 1 =⇒ x = ±1 Ejemplo 8: Resolver x4 − x2 − 6 = 0 Soluci´ on: Como todos los exponentes son m´ ultiplo de 2, es una ecuaci´on bicuadrada y el cambio ser´ a: y = x2 Si ponemos la ecuaci´on del modo (x2 )2 − (x2 ) − 6 = 0 y hacemos el cambio, obtenemos: y2 − y − 6 = 0 resolviendo la ecuaci´on como una ecuaci´on de segundo grado, tenemos: ( √ 1±5 1 ± 1 + 24 y=3 = =⇒ y= y = −2 2 2 Ahora, deshacemos el cambio de variable: √ si y = 3 =⇒ x2 = 3 =⇒ x = ± 3 si y = −2 =⇒ x2 = −2 =⇒ no tiene soluci´on √ Luego las u ´nicas soluciones son x = ± 3 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

6.7

79

Ecuaciones radicales

Son aquellas ecuaciones en las que aparece la inc´ognita en algunos de sus t´erminos bajo el signo radical. Hay que tener presente que la ra´ız de ´ındice par de un n´ umero tiene soluciones tanto positivas como negativas. Los pasos m´as comunes a seguir para la resoluci´on de estas ecuaciones son: 1. Despejar el radical a un miembro. 2. Elevar ambos miembros al ´ındice de la ra´ız. 3. Repetir el proceso mientras quede una ra´ız. 4. Se resuelve la ecuaci´on obtenida. 5. Se comprueban las soluciones teniendo en cuenta la advertencia anterior. √ Ejemplo 9: Resolver la ecuaci´o√ n: 2x − 3 + 1 = x Soluci´ on: Despejamos la ra´ız: 2x − 3 = x − 1 Elevamos al cuadrado: 2x − 3 = x2 − 2x + 1 Resolvemos la ecuaci´on de segundo grado: x = 2

6.8

Sistema de ecuaciones lineales. M´ etodo de Ga¨ uss

Ya hemos visto los sistemas de ecuaciones de dos variables y dos inc´ognitas, ahora a˜ nadiremos una inc´ognita m´as. Todo sistema de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas y dos ecuaciones o tres inc´ognitas y tres ecuaciones se pueden reducir a: (

  

ax + by + cz = d ax + by = c a0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 a0 x + b 0 y = c 0   00 a x + b00 y + c00 z = d00

donde los coeficientes de las inc´ognitas y los t´erminos independientes son n´ umeros reales. Una soluci´ on de un sistema de ecuaciones con dos inc´ognitas son dos n´ umeros reales tales que al sustituir x e y por ellos se verifican a la vez las dos ecuaciones. Una soluci´on de un sistema de ecuaciones con tres inc´ognitas son tres n´ umeros reales tales que al sustituir x , y y z ellos, se verifican a la vez las tres ecuaciones. Si tenemos un sistema de ecuaciones cualquiera, existen dos operaciones que podemos hacer con las ecuaciones que forman el sistema de tal manera que el sistema resultante mantenga las mismas y solo las mismas soluciones.

Criterio del producto Si se multiplican los dos miembros de una ecuaci´on del sistema por un n´ umero distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Criterio de la suma Si a una ecuaci´on de un sistema se le suma o se le resta otra ecuaci´on del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

80

Estos criterios se utilizan corrientemente para eliminar inc´ognitas en las ecuaciones del sistema. Como se ha dicho antes, con los dos criterios de los sistemas de ecuaciones podemos eliminar inc´ognitas de las ecuaciones de un sistema, de tal forma que si tenemos un sistema de ecuaciones de dos inc´ognitas y dos ecuaciones, podemos eliminar una inc´ognita en una de las ecuaciones, qued´andonos una ecuaci´on con dos inc´ognitas y otra con una. Resolviendo f´acilmente la segunda y sustituyendo en la primera obtendremos r´apidamente la soluci´on de nuestro sistema. M´ etodo de reducci´ on o de Gauss. Ejemplo 10:Resolver (

3x − 2y = 6 9x + 4y = 108

Soluci´ on: Multiplicando la primera ecuaci´on por 2 y sumando las ecuaciones, obtenemos: 6x − 4y = 12 9x + 4y = 108 15x = 120 despejando x obtenemos: x=8 y sustituyendo en la primera ecuaci´on obtenemos: y=9

6.8.1

Sistemas de tres ecuaciones. M´ etodo de Gauß

La suma o diferencia de ecuaciones permite eliminar una inc´ognita y obtener un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Para ello se eligen dos pares de ecuaciones de las tres posibles. Elegidas las dos parejas de ecuaciones m´as adecuadas, se elimina la misma inc´ognita en ambas. El proceso es igual al seguido para dos ecuaciones y se resuelve de forma an´aloga para el caso de sistemas de dos inc´ognitas. El m´etodo se divide en las siguientes partes: 1. Se seleccionan dos ecuaciones. 2. Por el m´etodo de reducci´on se elimina una inc´ognita (a elegir). 3. Se seleccionan otras dos ecuaciones. 4. Por el m´etodo de reducci´on se elimina la misma inc´ognita de antes. 5. Con las dos ecuaciones resultantes, se resuelve el sistema de dos inc´ognitas. 6. Se sustituyen las soluciones en alguna ecuaci´on que contenga la inc´ognita que nos falta por hallar. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

81

Ejemplo 11: Resolver el sistema:   

x + y − 2z = 9 2x − y + 4z = 4   2x − y + 6z = −1 Soluci´ on: Eliminando la inc´ognita ”y”, elegimos las ecuaciones 1◦ + 2◦ y luego las ecuaciones 1◦ + 3◦ x + y − 2z = 9 x + y − 2z = 9 2x − y + 4z = 4 2x − y + 6z = −1 3x + 2z = 13 3x + 4z = 8 Resolviendo el sistema generado por las dos ecuaciones anteriores: (

−3x − 2z = −13 3x + 4z = 8

obtenemos las soluciones:

5 2 sustituyendo en cualquier ecuaci´on del sistema inicial y despejando la ”y”, obtenemos: x=6 y z=−

y = −2

6.9

Sistemas de ecuaciones no lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales estaban formados por ecuaciones donde las inc´ognitas no est´an elevadas a ning´ un exponente y tampoco est´an multiplicadas entre ellas. En los sistemas no lineales, estas opciones son posibles y su resoluci´on es algo m´as complicada, como veremos ahora. Trataremos con sistemas de dos ecuaciones y dos inc´ognitas, por lo que podemos encontrar, como primer caso, que una de las ecuaciones si sea lineal, y por tanto, el m´etodo m´as sencillo ser´a el de sustituci´on, despejando en la ecuaci´on lineal una inc´ognita y sustituyendo en la otra ecuacu´on. Ejemplo 12: Resolver el sistema: (

3x + y = 5 x2 − y 2 = 3

Soluci´ on: Como la primera ecuaci´on es lineal, despejamos (por ejemplo) la variable y: y = 5 − 3x sustituimos en la segunda x2 − (5 − 3x)2 = 3 Resolvemos: x2 − (9x2 − 30x + 25) = 3 ⇒ −8x2 + 30x − 28 = 0 ⇒ 4x2 − 15x + 14 = 0 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES luego x=

15 ±

82

  

225 − 224 15 ± 1 = =  8 2 

x1 =

7 4

x2 = 2

Para cada valor de x tendremos una soluci´on para y:    

x1 =

  

x2 = 2 ⇒ y2 = 5 − 3 · (2) ⇒ y2 = −1

7 4

⇒ y1 = 5 − 3

  7 4

⇒ y1 = − 14

Por tanto tenemos dos soluciones: x1 = 74 ; y1 = − 14 y x2 = 2; y2 = −1 El problema est´a cuando las dos ecuaciones son no lineales, por lo que habr´a que utilizar algunos de los m´etodos conocidos, dependiendo del tipo de las ecuaciones que tengamos. Ejemplo 13: Resolver el sistema: (

2x2

+ y 2 = 19 xy = 3

Soluci´ on: Como ninguna es lineal, podemos despejar de la segunda (por ejemplo) la variable x: 3 x= y Sustituyendo en la primera ecuaci´on: 3 2 y

!2

+ y 2 = 19 =⇒

18 + y 2 = 19 =⇒ 18 + y 4 = 19y 2 =⇒ y 4 − 19y 2 + 18 = 0 y2

Como tenemos una ecuaci´on bicuadrada, hacemos el cambio: t = y 2 t2 − 19t + 18 = 0 ⇒ t =

19 ±

   t1

361 − 72 19 ± 17 = =  2 2 

= 18

t2 = 1

Por tanto, obtenemos cuatro resultados para la variable y: √ √     y = 18 = 3 2 1     2   t = 18 ⇒ 18 = y ⇒  √ √  1      y2 = − 18 = −3 3          t2    

=1

⇒ 1=y

2

  

y3 =

 

√ y4 = − 1 = −1

1=1

y para cada resuoltado de y obtendremos un resultado de x:  √ √ 3 1 2  √ √ 2 ⇒ x = = = y = 3  1  1 2 3 2 2                       

√ y2 = −3 2 ⇒ x2 =

3√ −3 2

y3 = 1

⇒ x3 =

3 1

y4 = −1

⇒ x4 =

3 −1

3◦ E.S.O.

= − √12 = −

2 2

=3 = −3 Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

83

Obtenemos 4 resultados: √ √ √ √ x1 = 22 ; y1 = 3 2 , x2 = − 22 ; y2 = −3 2 , x3 = 1; y3 = 3 , x3 = −1; y3 = −3

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

84

PROBLEMAS DE ECUACIONES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: (b) 18 (x − 2) − 32 (2x + 6) + x = −4

(a) x + 2(x − 1) = 4 (c)

x−3 2

(e)

3−2x x

(g)

5−(x+2)3 x

x−8 12

=

5−x 4

x 3

=4 =

(d)

x− 12 3

(f )

3−(x−1)(x−2) x

x− 23 4

=

2−x 6

x −3 2

12

=1−x

3 2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones. (a) 4x2 − 32x = 0

(b) 12x2 − 18 = 0

(c) 3(x − 1)(x + 2) = 3x − 6

(d) 21x − 100 = x2 + 21 − x

(e) (x − 2)2 = 3

(f ) (5x − 3)2 − 11(4x + 1) = 1

(g) x2 − (1 +

3)x +

3=0

3. Forma las ecuaciones cuyas raices son: (a) x1 = 1 x2 = 4

(b) x1 = 2 x2 = −5

(c) x1 = −3 x2 = 1 (d) x1 =

1 2

x2 = 3

4. Resuelve las siguientes ecuaciones polin´omicas incompletas. (a) x3 − 3x2 − 2x = 0

(b) x3 − 4x2 = −4x

(c) x(x2 − 3x) = −5x

(d) x3 = x(10x − 21)

(e) x4 + 4x3 − 12x2 = 0 (f ) x2 (x2 − 3x) = −4x2

(g) x4 + 3x3 − 2x2 = 0 (h) 2x4 + 4x3 − 2x2 = 0 (i) x4 = 4x2

5. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. (a) x4 − 29x2 + 100 = 0 (b) x4 + 21x2 − 100 = 0 (c) x4 + 16 = 40x2 (d) x4 − 54 x2 +

1 4

=0

(e) 34 − x2 =

225 x2

(f ) x2 =

12 x2 +1

(g) x4 + 5x2 + 6 = 0

(h) x4 − 25 = 0

(i) x4 − 6x2 + 9 = 0

(j) 4x4 − 17x2 + 4 = 0

(k) 2x4 + 9x2 = 68

(l) 4x4 − 24x2 = 25

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

85

6. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales. (a)

3x − 2 − 4 = 0

(b)

√ (d) 3 6x + 1 − 5 = 2x

(e)

√ √ (g) 2 x + 4 = 5x + 4

(h)

(j) x − (m)

√ 25 − x2 = 1

(k)

√ 2x + 1 = x − 1 √

x+4=3−

√ √

(c)

x−1

2x2 − 1 = 5

x+5+

(f )

7 − 3x − x = 7

2x − 1 +

(i) x +

x=5

(l)

x+4=6

3x + 10 = 3

√ √ x + 5 + 2x + 8 = 7

√ √ √ √ x + 13 = 1 + x + 6 (n) 2x − 3 − x + 7 = 4

7. Resuelve las siguientes ecuaciones. (a) x3 − 3x2 = 4x − 12 (c) x3 − 9x = 2x2 − 18 (e) 2x3 − 8x2 + 6x + 6 = −4 + 3x (g) 2x3 = 2x + 12 (i) 3x4 − 4x3 + 9x2 + 4x = 2x4 − 2x3 + 12

(b) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 (d) x3 − 2x2 = −2 + x (f ) x3 + 4x2 + 2x − 1 = 0 (h) x4 − 2x3 − 7x2 + 8x + 12 = 0 (j) x4 − 6x3 + 13x2 − 16x + 12 = 0

8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. (

(a) (

(c) (

(e)

x + 2y = 11 2x − y = 2

(g)

(

x−y 2 x+y 7

(

3(y+2x+2) 4 1 (x + y) 3

(d)

x − 2(x + y) = 3y − 2 x + y2 = 3 3 4 25 − 8

x − (y + 1) = 3 y + (x + 3) = 4

(b)

10(x − 2) + y = 1 x + 3(x − y) = 5

( 3−2y

(

− 14 = 1−2x 6 3(1+y) 1 = x+3 − 2 8

(f )

+ x−y =5 3 +y =3

( 4y−5x

(h)

= 4x+y−1 3 − 16 (x − y) =

4x+y−1 6

+ 3x−2y = 1 − 29 (x + y) 2 − x = 2(y−2x) 3

6 4y+x−8 8

9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

(a)

       

(d)   (g)

    

3◦ E.S.O.

x+y+z =4 x − 2y + 3z = 13 x + 3y + 4z = 11 x−y+z =9 2x − 3y + z = 19 3x + y − 2z = −4 4x − 2y = 2 6y − 3z = 1 3z − 4x = −1

  

z − 2(x + y) = −9 3x − y = 3 (b)   3y − z = 9    x − 2z = 1 (e)  y + 4z = 5  2x − 2y + z = 18  x+y 2y−3z 11   2 − 3 =−2 2x−y 4z−3y + 4 = − 59 (h) 3 12   x+3y + y+z = 49 2 5 10

  

2x − 3y + z = −7 x + y − 2z = 9 (c)   3x − 2y + 3z = −10    2x − 3y + z = 0 (f )  4y − z = 5  x − 2y + z = −4

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

86

10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. (

x+y =7 (a) xy = 12 ( x2 + y 2 = 13 (c) y + 3 = 3x ( x2 − xy + y 2 = 7 (e) x+y =5 ( 2x2 + 3y 2 = 11 (g) xy = 2 ( x2 − y 2 + 8 = 0 (i) y 2 = 6x ( x2 − 3y 2 − x + 6xy = 0 (k) x2 − 9y 2 + 18xy + 3x = 4

(

x2 + 3y 2 = 49 4 2 2 8x − y = −2 ( x − 2y 2 = 0 (d) y + 5 = 3x ( 2x2 − 5y 2 = 13 (f ) xy + 3 = 0 ( 2x2 − y 2 = −1 (h) x2 + 2y 2 = 22 ( x2 + y 2 − 2xy = 0 (j) x2 − y 2 + 2xy = 2 ( 6x2 − xy + 3y 2 − x = 9 (l) 15x2 − 3xy + 9y 2 − 8x = 19 (b)

11. Calcula un n´ umero cuya tercera parte, sumada con el triple del mismo n´ umero, nos d´e 40. 12. Busca un n´ umero, sabiendo que la diferencia entre su cu´adruple y la tercera parte del n´ umero dado menos cuatro, es triple de la suma de la mitad del n´ umero dado m´as diez. 13. Descomp´on el n´ umero 153 en dos partes tales que al dividir la parte mayor entre la menor, nos d´e el cociente 3 y el resto 1. 14. Halla dos n´ umeros enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la s´eptima del menor sea igual a la quinta parte del menor. 15. La edad de un hijo es la quinta parte de la edad de su padre, y dentro de 7 a˜ nos el padre tendr´a el triple de la edad de su hijo. Calcula la edad de cada uno. 16. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 53 cabezas y 176 patas. ¿Cu´antos conejos y gallinas hay?. 17. Calcula los a´ngulos de un tri´angulo sabiendo que uno es la mitad de otro, y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros. 18. Dos coches salen en sentido contrario de dos pueblos A y B, situados a una distancia de 200 Km. de distancia. El coche que sale de A, circula a 30 Km/h. y el que sale de B, circula a 20 Km/h. ¿ Qu´e distancia recorrer´an los dos antes de encontrarse? 19. Un televisor y su antena cuestan juntos 100 euros. El televisor cuesta 9 veces m´as que la antena. ¿ Cu´anto cuesta la antena y el televisor por separado?. 20. La diferencia entre los cuadrados de dos n´ umeros consecutivos es 31. Halla dichos n´ umeros. 21. El per´ımetro de un tri´angulo is´osceles es de 140. Cada lado igual es 40 unidades mayor que la base. Halla la longitud de los lados del tri´angulo. 22. Si al lado de un cuadrado le aumentamos en 4 unidades, su superficie aumenta en 264 unidades cuadradas. Halla la longitud del lado del cuadrado inicial. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

87

23. Dos n´ umeros suman 88, mientras que la diferencia de sus cuadrados es de 352. Halla dichos n´ umeros. 24. Divide el n´ umero 73 en dos sumandos de modo que la diferencia de sus cuadrados sea 73. 25. La diferencia de dos n´ umeros es 16 . El triple del mayor menos el duplo del menor es 1. Hallar dichos n´ umeros. 26. Dos n´ umeros suman 54. Si dividimos el menor entre 4, el resultado es una unidad mayor que el resultado de dividir el otro n´ umero entre 6. Halla dichos n´ umeros. 27. Un reloj marca las doce. Halla la hora a la que volver´an a coincidir las manecillas. 28. Tres jugadores ganan un premio de 12.000 euros. Si el primero jug´o el doble que el segundo y el segundo el triple que el tercero. Halla que parte del premio le corresponde a cada uno. 29. Un padre tiene 43 a˜ nos y su hijo 19. ¿ Hace cu´antos a˜ nos que el padre ten´ıa el triple de la edad de su hijo?. 30. Un padre tiene 47 a˜ nos y su hijo 8. ¿Dentro de cu´antos a˜ nos el padre tendr´a 4 veces la edad del hijo?. 31. La edad de un padre es de 34 a˜ nos y la suma de sus tres hijos es de 28 a˜ nos. ¿Dentro de cu´antos a˜ nos la suma de las edades de los hijos coincidir´a con la del padre?. 32. Calcula un n´ umero que sumado con el doble de su ra´ız cuadrada nos d´e 24. 33. La ra´ız cuadrada de la edad del padre nos da la edad del hijo, y dentro de 24 a˜ nos la edad del padre ser´a el doble que la del hijo. ¿Cu´antos a˜ nos tiene cada uno?. 34. Halla tres n´ umeros impares consecutivos, tales que sus cuadrados sumen 5051. 35. Hallas dos n´ umeros consecutivos cuyo producto es 650. 36. La suma de un n´ umero y su cuadrado es 72. H´allalo. 37. En una reuni´on, todos los asistentes se dan la mano, contabilizando un total de 55 apretones de mano. ¿Cu´antos asistieron a la reuni´on?. 38. Halla dos n´ umeros cuya suma es 48 y su producto es 572. 39. Para vallar una finca de 1512 m2 se ha utilizado 156 metros de valla. ¿Cu´ales son las medidas de la finca?. 40. Dentro de 13 a˜ nos, Juan tendr´a el cuadrado de la edad que ten´ıa hace 7 a˜ nos. Halla la edad de Juan. 41. Calcula el radio de un c´ırculo sabiendo que si aumentamos el radio en 3 cm. se cuadruplica su a´rea. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

88

42. Problema de las fuentes (Leonardo de Pisa): Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40 pasos, est´an separadas 50 pasos entre ellas. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos p´ajaros que est´an en las almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A qu´e distancia de las torres se encuentra la fuente?. 43. Problema del bamb´ u (Texto indio del siglo IX):Un bamb´ u que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A qu´e altura se ha roto?. 44. Halla dos n´ umeros cuya suma sea -2 y cuya diferencia sea 44. 45. Busca dos n´ umeros, sabiendo que al dividir el mayor por el menor, obtenemos 3 de cociente y 4 de resto, mientras que la raz´on entre los dos despu´es de aumentarlos en 9 unidades es 2. 46. Halla dos n´ umeros que sumen 150 y cuya diferencia sea cu´adruple del menor. 47. Las dos cifras de un n´ umero suman 10, pero si a dicho n´ umero le intercambiamos las cifras de lugar, su valor aumenta en 18 unidades. Halla dicho n´ umero. 48. Calcula los lados de un rect´angulo tal que, si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5, la superficie no var´ıa; pero si se aumenta la base en 5 y se disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 15 metros cuadrados. 49. En un hotel hay habitaciones dobles y sencillas. Si dispone de 88 habitaciones y 115 camas, ¿Cu´antas son simples y cuantas dobles?. 50. El dividendo de una divisi´on es 300, el cociente y el resto son iguales y el divisor es el doble del cociente. Halla el divisor. 51. Halla un n´ umero de dos cifras igual al doble del producto de ellas, sabiendo que la diferencia entre las cifras de la unidades y las decenas es igual al la cifra de las decenas. 52. En una fiesta abandonan la fiesta 14 chicos, quedando el doble de chicos que de chicas. Posteriormente abandonan la fiesta 9 chicas, quedando tres veces m´as chicos que chicas. ¿Cu´antos chicos y chicas hay?. 53. El a´rea de un tri´angulo rect´angulo es 120 m2 , y la hipotenusa mide 26 m. ¿Cu´ales son las longitudes de los catetos?. 54. El per´ımetro de un tri´angulo rect´angulo es de 30 m. y el a´rea es de 30 m2 . Calcula la longitud de los catetos. √ 55. Calcula las dimensiones de un rect´angulo sabiendo que su diagonal es 725m. y su supeficie es de 250 m2 . 56. Halla dos n´ umeros cuyo producto es 400 y la diferencia de cuadrados es 369. 57. Halla dos n´ umeros cuya suma es 20 y la suma de sus inversos es

3◦ E.S.O.

5 . 21

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

89

SOLUCIONES DE ECUACIONES 1. (a) 2 (b) −

6 5

(c)

25 12

(d) 2 (e)

1 2

(f )

−1 2

(g)

−2 9

2. (a) x = 0; x = 8

(b) x = ±

q

3 2

(c) x = 0

√ 1 (g) x = (e) x = ± 3 + 2 (f ) x = 3; x = − 25

(d) x = 11

√ √ √ 1+ 3± 4−2 3 2

3. (a) x2 − 5x + 4 (b) x2 + 3x − 10 (c) x2 + 2x − 3 (d) x2 − 27 x +

3 2

4. (a) x = 0; x =

√ 3± 17 2

(b) x = 0; x = 2

(c) x = 0

(d) x = 0; x = 3; x = 7 (e) x = 0; x = 2; x = −6 (f ) x = 0 (g) x = 0; x =

√ −3± 17 2

(h) x = 0; x =

5.

√ −2± 8 2

(i) x = 0; x = 2; x = −2

√ √ √ √ (c) x = −2 3 ± 2 2; x = 2 3 ± 2 2

(a) x = ±5; x = ±2 (b) x = ±2

√ (d) x = ±1; x = ± 12 (e) x = ±3; x = ±5 (f ) x = ± 3 √ (h) x = ± 5

(g) ∅ (j) x = ±2; x =

± 12

q

(k) x = ±2

6. (a) x = 6 (b) x = 4

√ (i) x = ± 3 √

(l) x = ± 3 +

(c) x = −3

(d) x = 8; x =

61 2

1 2

(e) x =

13 9

√ √ (f ) x = 5 (g) x = 12 (h) x = ± 13 (i) x = 12 (9 − 85) (j) x = 4 (k) x = 4 (l) x = 4 7.

(m) x = 3

(a) x = 2; x = −2; x = 3 (c) x = 2; x = 3; x√ = −3 (e) x = 2; x = 2±2 14 (g) x = 2 (i) x = 1

(n) x = 114 (b) x = 1; x = 3; x = −2 (d) x = 1; x = −1; x √= 2 (f ) x = −1; x = −3±2 13 (h) x = 1; x = ±2; x = 3 (j) x = 2; x = 3

8. (a) x = 3; y = 4

(b) x = 25 ; y = − 23

(c) x = 2; y = 1 (d) x =

23 ;y 3

=

5 3

39 68 (e) x = 12; y = −2 (f ) x = − 19 ; y = − 19 (g) x = 5; y = 4 (h) x = 47 ; y = − 31 7

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

90

9. (a) x = 2; y = −1; z = 3 (b) x = 3; y = 6; z = 9 (d) x = 2; y = −4; z = 3 (e) x = 5; y = −3; z = 2 (g) x = 43 ; y = 12 ; z = 32 (h) x = − 1760 ; y = 1005 ;z = 173 173

(c) x = 1; y = 2; z = −3 (f ) x = 3; y = −1; z = −9 96 173

10. (a) x = 3, y = 4; x = 4, y = 3 (b) x = − 21 , y = ±2; x = 21 , y = ±2 (c) x = 2, y = 3; x = − 15 , y = − 18 5 (d) x = 25 , y = − 56 ; x = 2, y = 1 18 (e) x = 2, y = 3; x = 3, y = 2 (f ) x = −3, y = 1; x = 3, y = −1 q q q q (g) x = −2, y = −1; x = 2, y = 1; x = − 32 , y = − 83 ; x = 32 , y = 83 (h) x = 2, y = ±3; √x = −2, y = ±3 √ (i) x = 2, y = ±2 3; x = 4, y = ±2 6 (j) x = 1, y = 1; x = −1, y = −1 √ (k) x = 1, y = 0; x = 1, y = 2; x = 2, y = 6±3 42 (l) x = 1, y = −1; x = 1, y = 34 11. 12 12. − 188 13 13. 115;38 14. 35 15. 7;35 16. 18;35 17. 48;96;36 18. 120;80 19. 10;90 20. 15;16 21. 60;20 22. 31 23. 42;46 24. 36;37 25.

1 2 ; 2 3

26. 24;30 27. 1hora 5 minutos 27 segundos 28. 7200;3600;1200 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

91

29. 7 30. 5 31. 3 32. 16 33. 6;36 34. 39;41;43 35. 25;26 36. 8 37. 10 38. 22;26 39. 36;42 40. 12 41. 3 √ 42. 32; 2 481 43.

161 15

44. 21;-23 45. 5;19 46. 25;125 47. 46 48. 10;15 49. 27;61 50. 24 51. 36 52. 68;27 √ √ √ √ 53. 229 + 109; 229 − 109 √ √ 54. 34 + 8; 8 − 34; 14 55. 10;25 56. 16;25 57. 6;14

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VI. ECUACIONES

3◦ E.S.O.

92

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema VII SUCESIONES

93


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

7.1

95

Sucesiones

Consideremos un conjunto cualquiera de objetos A. Se denomina sucesi´ on, a una aplicaci´on que a cada n´ umero natural, IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, le hace corresponder un elemento del conjunto A. Supongamos que A sea el conjunto de letras del alfabeto, un ejemplo de sucesi´on ser´ıa. 1 2 3 4 5 6 .. .

7.1.1

−→ −→ −→ −→ −→ −→

a b c d e f . −→ ..

Sucesiones reales

Una sucesi´on de n´ umeros reales es una aplicaci´on que a cada n´ umero natural, IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, le hace corresponder un n´ umero real. 1 2 3 4 5 6 .. .

−→ −→ −→ −→ −→ −→

3 6 9 12 15 18 . −→ ..

Una sucesi´on se expresa con una letra min´ uscula (usualmente a, b, c...) y con un sub´ındice (usualmente n, m, i, j, k...) y encerrada entre llaves: {an } Si la sucesi´on tiene una f´ormula que indica cuales son los n´ umeros reales asociados, se le igualar´a al t´ermino general de la sucesi´on. an = 3 · n Del ejemplo anterior Se puede comprobar f´acilmente que si sustituimos el sub´ındice n por 1, 2, 3..., vamos consiguiendo lo valores correspondientes de la sucesi´on. As´ı pues, la sucesi´on {an } est´a formada por los elementos: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . −→ an ∈ IR a los n´ umeros naturales que van debajo y detr´as de cada letra (a) se le denomina sub´ındice. A los valores reales que toma la sucesi´on se denomina t´ ermino. A la generalizaci´on de todos los t´erminos {an } se le denomina t´ ermino general. Ejemplo 1 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1 3◦ E.S.O.

a2 = 2

a3 = 3

a4 = 4

···

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

96

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su t´ermino general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 = 5

a6 = 6

a7 = 7

y el t´ermino general ser´a: an = n Ejemplo 2 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 2

a2 = 4

a3 = 6

a4 = 8

···

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su t´ermino general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 = 10

a6 = 12

a7 = 14

y el t´ermino general ser´a: an = 2n Ejemplo 3 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1

a2 = 3

a3 = 5

a4 = 7

···

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su t´ermino general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 = 9

a6 = 11

a7 = 13

y el t´ermino general ser´a: an = 2n − 1 Los n´ umeros de la sucesi´on no tienen porque ser naturales, sino que pueden ser racionales. Ejemplo 4 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1

a2 =

1 2

a3 =

1 3

a4 =

1 4

···

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su t´ermino general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 =

1 5

a6 =

1 6

a7 =

1 7

y el t´ermino general ser´a: an = n1 E incluso pueden ser t´erminos reales. Ejemplo 5 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 3

a2 = 3, 1

a3 = 3, 14

a4 = 3, 141

···

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su expresi´on general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 = 3, 1415

a6 = 3, 14159

a7 = 3, 141592

y la expresi´on general ser´a: el n´ umero π con tantos n´ umeros como indica el ´ındice 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

7.2

97

Tipos de sucesiones

Dependiendo de los elementos y la formaci´on de las sucesiones, estas pueden ser de muchos y variados tipos. Veremos las m´as importantes y u ´tiles

7.2.1

Sucesi´ on creciente

Es aquella sucesi´on en la que cada t´ermino tiene un valor superior al t´ermino anterior. Ejemplo 6 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1

a2 = 3

a3 = 5

a4 = 7

···

Como puede verse, cada t´ermino es superior al anterior en dos unidades.

7.2.2

Sucesi´ on decreciente

Es aquella sucesi´on en la que cada t´ermino tiene un valor inferior al t´ermino anterior. Ejemplo 7 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 10

a2 = 1

a3 = 0, 1

···

a4 = 0, 01

Como puede verse, cada t´ermino es inferior al anterior en su d´ecimo valor.

7.2.3

Sucesi´ on oscilante

Es aquella sucesi´on en la que los t´erminos ni crecen ni decrecen, sino que cambian de signo. Ejemplo 8 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1

a2 = −2

a3 = 3

a4 = −4

···

Como puede verse, no podemos decir que crece ni decrece. Si tomamos los impares crece y si tomamos los pares decrece.

7.2.4

Sucesi´ on recurrente

Es aquella sucesi´on en la que cada t´ermino depende de t´erminos anteriores. Ejemplo 9 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1

a2 = 3

a3 = 7

a4 = 15

···

Cada t´ermino es dos veces el anterior m´as una unidad. Las sucesiones por recurencia tienen una forma particular de t´ermino general, ya que debemos dar los t´erminos iniciales necesarios y su t´ermino general que hace menci´on al t´ermino anterior. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

98

En el caso del ejemplo 9, su t´ermino general es: a1 = 1

an = 2 · an−1 + 1

Ejemplo 10 : los t´erminos de la famosa sucesi´on de Fibonacci: a1 = 1

a2 = 1

a3 = 2

a4 = 5

···

Como cada t´ermino es la suma de los dos anteriores, su t´ermino general es: a1 = 1

7.2.5

a2 = 1

an = an−1 + an−2

Sucesi´ on aritm´ etica

Sucesi´ on aritm´ etica: Es aquella sucesi´on cuya diferencia entre un t´ermino y el anterior es constante (d). Si la constante que hay que sumar a un t´ermino para hallar el siguiente es positivo, la sucesi´on es creciente y si dicha constante es negativa, la sucesi´on es decreciente. Ejemplo 11 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 4

a2 = 7

a3 = 10

a4 = 13

···

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su t´ermino general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 = 16

a6 = 19

a7 = 22

Como el primer n´ umero es 4, el t´ermino general ser´a 4 + · · · y como va aumentando de 3 en 3, el t´ermino general ser´a: an = 4 + 3(n − 1)

T´ ermino particular Podemos calcular un t´ermino de la suceci´on, sin tener que calcular todos los anteriores. Supongamos que tenemos la sucesi´on de constante ”d”: a1 , a2 , a3 , · · · como es una sucesi´on aritm´etica: a2 − a1 = d a3 − a2 = d a4 − a3 = d ··· 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

99 an − an−1 = d

Si sumamos los elementos de ambos miembros obtenemos: (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + (a4 − a3 ) · · · (an − an−1 ) = (n − 1)d simplificando los valores semejantes obtenemos: an − a1 = (n − 1)d =⇒ an = a1 + (n − 1) · d Ejemplo 12 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 6

a2 = 9

a3 = 12

a4 = 15

···

Halla el t´ermino 23 de la sucesi´on sin hallar los anteriores. Soluci´ on: Aplicando la f´ormula obtenemos: a23 = 6 + (23 − 1) · 3 =⇒ a23 = 6 + (22) · 3 =⇒ a23 = 72

Suma limitada de t´ erminos Podemos calcular la suma de un n´ umero de t´ermino determinados entre dos de una sucesi´on aritm´etica. Veamos como podemos realizarlo. Supongamos una sucesi´on aritm´etica de constante ”d”: a1 , a2 , a3 · · · an y queremos sumar los t´erminos desde a1 hasta el an . a1 + a2 + a3 + · · · + an = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) + · · · + (a1 + (n − 1)d) = = a1 + a1 + a1 + · · · + a1 +(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)) · d = a1 · n + |

=

{z n

}

2 · n · a1 + d · n · (n − 1) n(a1 + a1 + d(n − 1)) n(a1 + (a1 + d(n − 1))) = = = 2 2 2 n(a1 + an ) = 2 a1 + a2 + a3 + · · · + an =

n X

ai =

i=1

n(a1 + an ) 2

Ejemplo 13 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 4

a2 = 7

a3 = 10

a4 = 13

···

Halla la suma de los t´erminos del 10 al 15. Soluci´ on: Aplicando la f´ormula obtenemos: a15 = 45; a10 = 31 =⇒ Sa10 ,a15 =

3◦ E.S.O.

n(n − 1) ·d= 2

6 · (31 + 45) = 57 2

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

7.2.6

100

Sucesi´ on geom´ etrica

Sucesi´ on geom´ etrica: Es aquella sucesi´on cuyo cociente entre un t´ermino y el anterior es constante y se denomina raz´ on (r) de la sucesi´on.

Ejemplo 14 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 1

a2 = 3

a3 = 9

a4 = 27

···

Halla los tres t´erminos siguientes e intenta hallar su t´ermino general. Soluci´ on: Es evidente que los tres t´erminos siguientes ser´an: a5 = 81

a6 = 243

a7 = 729

y el t´ermino general ser´a: an = 3(n−1) Cuando la raz´on es positiva, los elementos de la sucesi´on tienen todos el mismo signo Cuando |r| < 1 la sucesi´on es decreciente en valor absoluto, pero si |r| > 1 la sucesi´on es creciente en valor absoluto. T´ ermino particular Podemos calcular un t´ermino de la suceci´on, sin tener que calcular todos los anteriores. Supongamos que tenemos la sucesi´on de raz´on ”r”: a1 , a2 , a3 , · · · como es una sucesi´on geom´etrica: a2 = r · a1 ; a3 = r 2 · a1 ; a4 = r 3 · a1 ; a5 = r 4 · a1 ; a6 = r 5 · a1 · · · luego podemos determinar de forma f´acil que: an = a1 · rn−1 Ejemplo 15 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 2

a2 = 6

a3 = 18

a4 = 54

···

Halla el t´ermino 7 sin calcular los anteriores. Soluci´ on: Aplicando la f´ormula obtenemos: a7 = 36 · 2 =⇒ a7 = 729 · 2 =⇒ a7 = 1458 Suma limitada de t´ erminos Podemos calcular la suma de un n´ umero de t´erminos determinados entre dos de una sucesi´on geom´etrica. Veamos como podemos realizarlo. Supongamos una sucesi´on geom´etrica de raz´on ”r”: a1 , a2 , a3 · · · an y queremos sumar los t´erminos desde a1 hasta el an , esto es: S = a1 + a1 · r + a1 · r2 + a1 · r3 + · · · + a1 · rn−1 si multiplicamos la anterior igualdad por la raz´on ”r” obtenemos: 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

101

r · S = a1 · r + a1 · r2 + a1 · r3 + a1 · r4 · · · + a1 · rn Si restamos la segunda igualdad menos la primera: S = a1 + a1 · r + a1 · r2 + a1 · r3 + · · · + a1 · rn−1 r·S = a1 · r + a1 · r2 + a1 · r3 + · · · + a1 · rn−1 + a1 · rn r · S − S = −a1 + + a1 · r n Luego r · S − S = −a1 + a1 · rn =⇒ S(r − 1) = a1 (rn − 1) =⇒ S =

a1 (rn − 1) (r − 1)

Ejemplo 16 : los t´erminos de una sucesi´on son: a1 = 2

a2 = 6

a3 = 18

a4 = 54

···

Halla la suma de los 7 primeros t´erminos. Soluci´ on: Aplicando la f´ormula obtenemos: S=

3◦ E.S.O.

2(37 − 1) = 2186 (3 − 1)

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

102

PROBLEMAS DE SUCESIONES 1. Continua las siguientes sucesiones con 4 t´erminos nuevos: (a) 1, 3, 5, 7, 9 ... (b) 0, 1, 3, 6, 10, 15 ... (c) 2, 4, 6, 8, 10 ... (d) 1, 4, 9, 16, 25 ... 1 2 3 4 5 (e) , , , , ... 3 7 11 15 19 (f) 12, 23, 34, 45, 56 ... 2. Halla la f´ormula general de las siguientes sucesiones reales. (a) 1, 2, 3, 4, 5 ... (b) 2, 4, 6, 8, 10 ... (c) 1, 3, 5, 7, 9 ... (d) 1, 4, 9, 16, 25 ... (e) 6, 12, 20, 30, 42 ... 2 5 10 17 26 (f) , , , , ... 4 5 6 7 8 (g) 1, 3, 6, 10, 15 ... 3. Halla los primeros 5 t´erminos de las siguientes sucesiones: n3 − 2n c) {an } = n3 − n2 2n + 1 2n + 7 d) {an } = 4n − 3 e) {an } = 7 − 3n f ) {an } = 3n a) {an } = 2n2 b) {an } =

4. Halla los t´erminos del 4 al 9, de la siguientes sucesiones: n2 − n c) {an } = (−2)n+1 1 − 3n d) a1 = 3 ; an = 2an−1 − 1 e) a1 = 2 ; a2 = 3 ; an = an−2 + 2an−1 a) {an } = (−1)n 2n2 b) {an } =

f ) a1 = 3 ; an = an−1 + (−2)n 5. Halla la constante de diferencia y la f´ormula general, de las siguientes sucesiones aritm´eticas. (a) 4, 9, 14, 19, 24 ... (b) 3, 10, 17, 24, 31 ... (c) 20, 17, 14, 11, 8 ... (d) 5, 16, 27, 38, 49 ... (e) 6, 4, 2, 0, -2 ... 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

103

(f) 1, 5, 9, 13, 17, 21 ... (g) 1, 14, 27, 40, 53 ... (h) 7, 4, 1, -2, -5 ... 6. Halla los primeros 5 elementos y la f´ormula general de la sucesi´on aritm´etica conociendo un t´ermino y la constante, y suma los elementos entre los t´erminos que se indican: (a) a1 = 12 ; d = 3, suma del a6 al a19 (b) a2 = 5 ; d = 4, suma del a3 al a15 (c) a5 = 7 ; d = 6, suma del a10 al a17 (d) a1 = 18 ; d = −3, suma del a8 al a13 (e) a6 = 4 ; d = 2, suma del a9 al a14 (f) a1 = −4 ; d = −5, suma del a15 al a22 (g) a4 = 0 ; d = 9, suma del a21 al a29 (h) a1 = −7 ; d = −7, suma del a17 al a25 7. Halla la f´ormula general y halla la suma de los elementos entre a6 y a17 de las sucesiones aritm´eticas siguientes: (a) a7 = 14 ; a12 = 21 (b) a9 = 20 ; a17 = 12 (c) a4 = 6 ; a8 = 14 (d) a1 = 24 ; a10 = −4 (e) a10 = 13 ; a20 = −7 (f) a15 = −3 ; a21 = 8 (g) a26 = −6 ; a30 = −20 8. Halla la raz´on y la f´ormula general de las siguientes sucesiones geom´etricas. (a) 2, 4, 8, 16, 32 ... (b) 5, 15, 45, 135, 405 ... (c) 20, 10, 5, 2.5, 1.25 ... (d) 3, 9, 27, 81, 243 ... (e) 200, 50, 12.5, 3.125 ... (f) 7, 14, 28, 56, 112 ... (g) 2, 12, 72, 432 ... (h) 1, 10, 100, 1000, 10000 ... 9. Halla los primeros 3 elementos y la f´ormula general de la sucesi´on geom´etrica conociendo un t´ermino y la raz´on, y suma los elementos entre los t´erminos que se indican: (a) a1 = 12 ; r = 3, suma del a6 al a19 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

104

(b) a2 = 5 ; r = 3/2, suma del a3 al a15 (c) a5 = 7 ; r = 2, suma del a10 al a17 (d) a1 = 18 ; r = 1/3, suma del a8 al a13 (e) a6 = 4 ; r = 2, suma del a9 al a14 10. Calcula los 10 primeros t´erminos de la sucesi´on de Fibonacci: a1 = 1 a2 = 1 an = an−1 + an−2 11. El inventor del ajedrez pidio a cambio del invento, que le diesen los granos de trigo que pusiesen en el tablero de ajedrez de la siguiente manera: En la primera casilla 1 grano, en la segunda 2 granos, en la tercera 4 granos, en la cuarta 8 granos ..... Calcula los granos que tuvieron que darle. 12. Halla la f´ormula general que indica el n´ umero de puntos que contienen las sucesivas formas de los n´ umeros triangulares, cuadrados, rectangulares y pentagonales. 13. Una persona debe 300 euros. Cada mes hay que agregarle los intereses que son de un 5 por ciento. Suponiendo que durante doce mes no paga nada, calcula a cuanto asciende su deuda. 14. Una persona entra en una tienda y ve una prenda que cuesta 250 euros. El comprador dice que va a pensarselo y el vendedor le indica que en su tienda, por cada semana que pasa, el valor se incrementa en un 2 por ciento. Calcula el valor que adquiri´o la prenda, cuando la compr´o 6 meses m´as tarde.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

105

SOLUCIONES DE SUCESIONES 1. (a) 11, 13, 15, 17 (b) 21, 28, 36, 47 (c) 12, 14, 16, 18 (d) 36, 49, 64, 81 6 7 8 9 (e) , , , 23 27 31 35 (f) 67, 78, 89, 90 2. (a) 1, 2, 3, 4, 5 ... an = n (b) 2, 4, 6, 8, 10 ... an = 2n (c) 1, 3, 5, 7, 9 ... an = 2n − 1 (d) 1, 4, 9, 16, 25 ... an = n2 (e) 2, 12, 20, 30, 42 ... an = (n + 1)(n + 2) n2 + 1 n n(n + 1) (g) 2 (f)

3.

−1 4 21 56 115 , , , , c) 0, 4, 18, 48, 100 3 5 7 9 11 9 11 13 15 17 d) 1, 5, 9, 13, 17 e) 4, 1, −2, −5, −8 f ) , , , , 3 6 9 12 15

a) 2, 8, 18, 32, 50 b)

4.

12 20 30 42 56 72 , , , , , −11 −14 −17 −20 −23 −26 c) 32, −64, 128, −256, 512, −1024d) 17, 33, 65, 129, 257, 513 e) 19, 46, 111, 268, 547, 1362 a) 32, −50, 72, −98, 128, −162 b)

f ) 15, −17, 47, −81, 165, −347 5. (a) an = 4 + (n − 1)5 (b) an = 3 + (n − 1)7 (c) an = 20 + (n − 1)(−3) (d) an = 5 + (n − 1)11 (e) an = 6 + (n − 1)(−2) (f) an = 1 + (n − 1)4 (g) an = 1 + (n − 1)(−13) (h) an = 7 + (n − 1)(−3) 6. (a) a1 = 12 , a2 = 15 , a3 = 18 , a4 = 21 , a5 = 24 ; an = 12 + (n − 1)3 ; Sa6 ,a19 = 651 (b) a1 = 1 , a2 = 5 , a3 = 9 , a4 = 13 , a5 = 17 ; an = 1 + (n − 1)4 ; Sa3 ,a15 = 99 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VII. SUCESIONES Y L´IMITES

106

(c) a1 = −17 , a2 = −11 , a3 = −5 , a4 = 1 , a5 = 7 ; an = −17 + (n − 1)6 ; Sa10 ,a17 = 464 (d) a1 = 18 , a2 = 15 , a3 = 12 , a4 = 9 , a5 = 6 ; an = 18 + (n − 1)(−3) ; Sa8 ,a13 = −63 (e) a1 = −6 , a2 = −4 , a3 = −2 , a4 = 0 , a5 = 2 ; an = −6+(n−1)2 ; Sa9 ,a14 = 90 (f) a1 = −4 , a2 = −9 , a3 = −14 , a4 = −19 , a5 = −24 ; an = −4 + (n − 1)(−5) ; Sa15 ,a22 = −752 (g) a1 = −36 , a2 = −27 , a3 = −18 , a4 = −9 , a5 = 0 ; an = −36 + (n − 1)9 ; Sa21 ,a29 = 1801 (h) a1 = −7 , a2 = −14 , a3 = −21 , a4 = −28 , a5 = −35 ; an = −7 + (n − 1)(−7) ; Sa17 ,a25 = −1323 7. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

an an an an an an an

= 28/5 + (n − 1)(7/5) ; Sa6 ,a17 = 1218/5 = 28 + (n − 1)(−1) ; Sa6 ,a17 = 210 = (n − 1)2 ; Sa6 ,a17 = 252 = 24 + (n − 1)(−14/5) ; Sa6 ,a17 = −324/5 = 31 + (n − 1)(−2) ; Sa6 ,a17 = 120 = −86/3 + (n − 1)(11/6) ; Sa6 ,a17 = −113 = 163/2 + (n − 1)(−7/2) ; Sa6 ,a17 = 537

8. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

an an an an an an an an

= 2 · (2)n−1 = 5 · (3)n−1 = 20 · (1/2)n−1 = 3 · (3)n−1 = 200 · (1/4)n−1 = 7 · (2)n−1 = 2 · (6)n−1 = 1 · (10)n−1

9. (a) (b) (c) (d) (e)

a1 a1 a1 a1 a1

= 12 ; a2 = 36 ; a3 = 108 ; an = 12 · 3n−1 ; S = 1033121088 = 5/4 ; a2 = 15/8 ; a3 = 45/16 ; an = 5/4 · (3/2)n−1 ; S = 43190/47 = 7/16 ; a2 = 7/8 ; a3 = 7/4 ; an = 7/16 · 2n−1 ; S = 58720032 = 18 ; a2 = 6 ; a3 = 2 ; an = 18 · (1/3)n−1 ; S = 4/81 = 1/8 ; a2 = 1/4 ; a3 = 1/2 ; an = 1/8 · 2n−1 ; S = 1008

10. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 11. 18.446.744.073.709.551.615 granos 12. an =

n(n − 1) n(n + 1) an = (n + 1)2 an = n(n + 1) an = n + 2 2

13. 513, 10 euros 14. 276.02 euros 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema VIII FUNCIONES

107


TEMA VIII. FUNCIONES

8.1

109

Definiciones y caracter´ısticas

8.1.1

Definici´ on de funci´ on

Funci´ on: es una relaci´on entre dos magnitudes en el que un elemento de la magnitud inicial solo puede estar relacionado como mucho con uno de la magnitud final. Esta definici´on nos indica que una funci´on es una relaci´on entre dos grupos de ”objetos”: alumnos-nota, hora-temperatura, hora-fiebre, tiempo-Km., ...

Altura 100 m.

q @   @ q  @

q c @

@ @q

q

c c c cq

Kil´ometros Con la u ´nica restricci´on de que a un valor del objeto inicial, no le puede corresponder dos valores distintos del conjunto final. Esto adem´as entra dentro de la l´ogica, ya que a un alumno no le puede corresponder dos notas diferentes en la misma asignatura, a una hora no puede haber dos grados de temperatura distintos, a cierta hora no se puede tener dos temperaturas de fiebre distintas ni un coche puede haber recorrido dos distancias distintas una vez transcurrido un cierto tiempo. Ya se vi´o el a˜ no pasado que una funci´on genera una tabla de valores, como por ejemplo, con la funci´on y = x2 : x y -1 1 2 4 0 0 -2 4 y que se puede representar estos valores de x e y en los ejes coordenados, formando lo que se denomina gr´ afica de la funci´ on.

En una funci´on no se puede siempre sustituir cualquier valor, por lo que al conjunto de valores que pueden sustituirse en una funci´on se denomina dominio y al conjunto de valores que toma la funci´on se denomina recorrido. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

110

Ejemplo 1: Hallar el dominio y recorrido de la funci´on f (x) = x2 . Soluci´ on: El dominio son todos aquellos valores que pueden sustituirse y es evidente que cualquier n´ umero puede sustituirse en la funci´on, puesto que a cualquier n´ umero se le puede hallar el cuadrado, luego el dominio lo formar´an todos los n´ umeros reales, y que se representa: (−∞, +∞)

o

IR

El recorrido son aquellos valores que puede tomar la funci´on y en este caso est´a claro que al elevar cualquier n´ umero al cuadrado, su resultado es positivo, luego solo podr´a tomar valores positivos. El recorrido se representa: [0, +∞)

o

IR+ ∪ {0}

√ Ejemplo 2: Hallar el dominio y recorrido de la funci´on f (x) = + x. Soluci´ on: El dominio son todos aquellos valores que pueden sustituirse y es evidente que solo pueden sustituirse en la funci´on aquellos n´ umeros que son positivos y el cero, luego el dominio lo formar´an todos los n´ umeros reales positivos incluido el cero, y que se representa: [0, +∞)

o

IR+ ∪ {0}

El recorrido son aquellos valores que puede tomar la funci´on y en este caso est´a claro que al elevar cualquier n´ umero positivo al cuadrado, su resultado es positivo, luego solo podr´a tomar valores positivos. El recorrido se representa: [0, +∞)

o

IR+ ∪ {0}

En nuestro caso no tendremos problemas con el dominio por el tipo de funciones que vamos a estudiar.

8.1.2

Continuidad

Funci´ on continua: es aquella cuya gr´afica puede dibujarse de un solo trazo y sin separar el l´apiz del papel. Esta definici´on es de las primeras que se utiliz´o en matem´aticas, hace bastante tiempo, pero es de una simplicidad y facilidad de comprensi´on que ayuda a entender perf´ectamente cuando una funci´on es continua y cuando no. La funciones polin´omicas (aquellas cuya expresi´on es un polinomio) son todas continuas, por lo que en la representaci´on de las funciones lineales y cuadr´aticas, siempre obtendremos funciones continuas. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

111

Ejemplo 3: funci´on continua

8.1.3

funci´on discontinua

Crecimiento

Una funci´ on es creciente: si al aumentar los valores de la variable independiente, aumenta los valores de la variable dependiente.

q 6 q q

q -

Al aumentar los valores de la variable x, va aumentando el valor de y. Una funci´ on es decreciente: si al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.

q ?

q

q

q

-

Al aumentar los valores de la variable x, va disminuyendo el valor de y.

8.1.4

Extremos

M´ aximo: Una funci´on tiene un m´aximo en un punto, si antes del punto la funci´on es creciente y despu´es del punto la funci´on es decreciente. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES 

112

(70 5,120 1)@

r

@ @ @ @ R @

M´ınimo: Una funci´on tiene un m´ınimo en un punto, si antes del punto la funci´on es decreciente y despu´es del punto la funci´on es creciente.

 @ (7,50 5)

@ @

r

@ @ R @

Para referirse a m´aximos y m´ınimos de forma general se utiliza el t´ermino extremos, por esto, cuando se est´en hallando extremos de una funci´on, se buscar´an tanto m´aximos como m´ınimos.

8.1.5

Corte con los ejes

Para determinar los puntos donde una funci´on corta a los ejes, vamos a dividirlo en dos partes: • Eje X: Como corta al eje X, el punto ser´a de la forma (x, 0), por tanto su segunda coordenada ser´a 0. Formamos entonces una ecuaci´on donde la coordenada y sea cero. • Eje Y: Como corta al eje Y, el punto ser´a de la forma (0, y), por tanto su primera coordenada ser´a 0. Entonces con solo sustituir la variable x por cero, obtendremos la segunda coordenada.

@ (0,...) Corta al eje Y

3◦ E.S.O.

@

@ @ (...,0) @ @ @ @ @ Corta al eje X @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

8.1.6

113

Simetr´ıa

Entre las funciones matem´aticas encontramos dos tipos de simetr´ıa: Simetr´ıa Par o respecto al eje de ordenadas La definici´on matem´aticas es que una funci´on tiene simetr´ıa par si se cumple que: f (x) = f (−x) ∀x ∈ IR Dicho de otra manera: una funci´on tiene simetr´ıa par si toma los mismos valores para valores de la x opuestos, o sea, si sustituimos un valor o su opuesto en la expresi´on, el resultado es el mismo: f (1) = f (−1) f (4) = f (−4) f (5, 2) = f (−5, 2)

···

Un ejemplo muy sencillo de una funci´on de este tipo, es la funci´on y = x2 , que como puede comprobarse f´acilmente:

f (1) = 1 = f (−1) f (2) = 4 = f (−2) f (1, 2) = 1, 44 = f (−1, 2) f (3) = 9 = f (−3) Gr´aficamente, dicha simetr´ıa es sencilla de ver, ya que si doblamos la gr´afica por el eje Y, la gr´afica de cada uno de los dobleces se superponen. Este tipo de cualidad es muy usual en nuestro entorno, ya que incluso nuestro cuerpo cumple exteriormente con esta caracter´ıstica. Entre las funciones que vamos a estudiar, SOLO la funci´on cuadr´atica puede tener este tipo de simetr´ıa y aparece esta simetr´ıa SOLO cuando en la funci´on cuadr´atica el valor de b = 0. Simetr´ıa Impar o respecto al origen La definici´on matem´aticas es que una funci´on tiene simetr´ıa par si se cumple que: f (x) = −f (−x) ∀x ∈ IR Dicho de otra manera: una funci´on tiene simetr´ıa impar si toma los valores opuestos para valores de la x opuestos, o sea, si sustituimos un valor o su opuesto en la expresi´on, el resultado es el mismo con signo distinto: f (1) = −f (−1) f (4) = −f (−4) f (5, 2) = −f (−5, 2)

···

Un ejemplo muy sencillo de una funci´on de este tipo, es la funci´on y = x3 , que como puede comprobarse f´acilmente: 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

114

f (1) = −f (−1) = −(−1) = 1 f (2) = −f (−2) = −(−8) = 8 f (3) = −f (−3) = −(−27) = 27 Gr´aficamente, dicha simetr´ıa es sencilla de ver, ya que si doblamos la gr´afica por el eje Y, y luego por el eje X, la gr´afica de cada uno de los dobleces se superponen. Entre las funciones que vamos a estudiar, SOLO la funci´on lineal puede tener este tipo de simetr´ıa y aparece esta simetr´ıa SOLO cuando en la funci´on lineal el valor del t´ermino independiente (n) es cero, cumpli´endose a la vez que la recta pasa por el origen de coordenadas.

8.2

La funci´ on lineal

Funci´ on lineal: es aquella cuya expresi´on es un polinomio de grado 1 y cuya representaci´on gr´afica es una l´ınea recta. Su forma general es: f (x) = mx + n

o

y = mx + n

Al n´ umero m se le denomina pendiente y representa la inclinaci´on de la recta. Si es positivo la recta es creciente y si es negativo, decreciente. A mayor valor de m, mayor es la inclinaci´on. Al n´ umero n se le denomina t´ ermino independiente y representa el punto de corte de la recta con el eje Y, llamado dicho punto, ordenada en el origen. m=3 m=2

  m=1         m=1/2           m=0   

8.2.1

@ ABHH BA@HHH BA @ HH BA @ H HH BA @ H m=−1/2 B A HH @ B A @ B A @ m=−1 A m=−2 @ B m=−3

Funci´ on constante

La funci´on constante es aquella funci´on lineal cuyo valor m = 0. Por tanto la expresi´on de dicha funci´on ser´a: 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

115

y=k considerando dicha funci´on constante como en caso especial de la funci´on lineal y cuya representaci´on gr´afica es una l´ınea recta horizontal.

y=10 y=9

y=2

8.2.2

y=3

Representaci´ on

La representaci´on de la funci´on lineal se realiza mediante una tabla de valores ( con dos valores ser´ıa suficiente), los cuales se representan en los ejes coordenados y se unen mediante una l´ınea recta. Ejemplo 4: Representar la recta f (x) = 3x − 2 Soluci´ on: Hagamos la tabla de valores: x y 3 7 -1 -5

Representamos los puntos y unimos con una recta.

r 



        r   

8.2.3

Estudio

Se denomina estudio de una funci´ on a la enumeraci´on de las caracter´ısticas que tiene la funci´on, esto es, dominio, recorrido, continuidad, corte con los ejes, crecimiento,.... La funci´on lineal siempre es continua, tanto el dominio como el recorrido es toda la recta real (IR)y como la funci´on siempre es creciente o decreciente, no tendr´a jam´as extremos, por lo tanto, vamos a estudiar el corte con los ejes, el crecimiento y simetr´ıa. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

116

Corte con los ejes Aplicaremos la definici´on dada anteriormente. Crecimiento Una vez hecha la gr´afica puede verse de forma clara si es creciente o decreciente. De todos modos, esto se sabe antes de dibujarla, ya que la pendiente de la ecuaci´on de la recta nos indica si crece (es positiva) o decrece (es negativa). En nuestro ejemplo, al ser la pendiente 3, ya sab´ıamos que la funci´on es creciente. Ejemplo 5: Estudiar la funci´on f (x) = 3x − 2 Soluci´ on: • Dominio: IR, ya que es lineal. • Recorrido: IR, ya que es lineal. • Continuidad:es continua por ser lineal • Corte con los ejes: – Eje X: la variable y = 0: y = 0 =⇒ 3x − 2 = 0 =⇒ x =

2 2 =⇒ el punto es ( , 0) 3 3

– Eje Y: la variable x = 0: f (0) = 3 · 0 − 2 = −2 el punto es (0, −2) • Crecimiento: al ser la pendiente positiva (3), es creciente. • Extremos: no tiene extremos al ser la funci´on lineal. • Simetr´ıa: Al ser n = −2 distinto de cero, no tiene simetr´ıa impar.

8.3

La funci´ on cuadr´ atica

Funci´ on cuadr´ atica: es aquella cuya expresi´on es un polinomio de segundo grado y cuya representaci´on gr´afica es una par´abola. Su forma general es: f (x) = ax2 + bx + c

o

y = ax2 + bx + c

Si el valos de a es positivo (a > 0), se dice que es c´ oncava hacial el eje positivo del eje Y.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

117

Si el valos de a es negativo (a < 0), se dice que es c´ oncava hacial el eje negativo del eje Y.

8.3.1

Representaci´ on

Para representar una par´abola es imprescindible conocer su v´ertice, que tiene de coordenadas: b b (− , f (− )) 2a 2a y luego completar la tabla de valores con los suficientes puntos como para que quede clara su gr´afica. Se aconseja el tener al menos 4 valores adem´as del v´ertice y que dos de ellos b y los otros dos, mayores. sean menores que − 2a Ejemplo 6: Representar la funci´on cuadr´atica f (x) = x2 − 2x − 8 Soluci´ on: Calculemos el v´ertice mediante la f´ormula: −2 b =1 Vx = − =⇒ Vx = − 2a 2 b Hallemos la segunda coordenada f (− 2a ): f (1) = −9 luego el v´ertice es (1, −9) Escogemos 4 puntos m´as, dos menores que 1 y otros dos mayores. x y Representamos los puntos y los unimos sa2 -8 biendo que es una par´abola c´oncava hacia el 3 -5 eje positivo de Y y que tiene v´ertice en el 0 -8 punto (1, −9) -3 7 r

r r

3◦ E.S.O.

r

r

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

8.3.2

118

Estudio

La funci´on cuadr´atica siempre es continua y el dominio es toda la recta real (IR), ya que puede operarse cualquier n´ umero con potencias, por lo tanto, vamos a estudiar el recorrido, el corte con los ejes, el crecimiento y los extremos. Recorrido Si vemos la funci´on cuadr´atica, solo toma valores del v´ertice hacia el eje positivo de Y o hacia el eje negativo de Y, dependiendo del valor de a, luego: b b ) a +∞, o sea, [f (− 2a ), +∞) • Si a > 0: el recorrido ir´a de f (− 2a b b • Si a < 0: el recorrido ir´a de f (− 2a ) a −∞, o sea, (−∞, f (− 2a )]

Corte con los ejes Aplicaremos la definici´on dada anteriormente. Crecimiento Si vemos la funci´on cuadr´atica, su crecimiento depende de nuevo del v´ertice y del valor que tome a: • Si a > 0: b – Creciente a partir del v´ertice, luego crece en el intervalo (− 2a , +∞) b ) – Decreciente antes de llegar al v´ertice, luego decrece en el intervalo (−∞, − 2a

• Si a < 0: b – Creciente antes de llegar al v´ertice, luego decrece en el intervalo (−∞, − 2a ) b – Decreciente a partir del v´ertice, luego crece en el intervalo (− 2a , +∞)

Extremos Tambi´en depende los extremos que tengamos del valor de a, ya que una par´abola tiene extremo en el v´ertice y si en la ecuaci´on de la funci´on cuadr´atica a > 0 tendremos un m´ınimo en el v´ertice y si en la ecuaci´on de la funci´on cuadr´atica a < 0 tendremos un m´ aximo en el v´ertice. Ejemplo 7: Estudiar la funci´on f (x) = x2 − 2x − 8 Soluci´ on: • Dominio: IR, ya que es cuadr´atica. b ), +∞)=[−9, +∞) por ser a > 0 • Recorrido: [− 2a

• Continuidad:es continua por ser cuadr´atica • Corte con los ejes: 3◦ E.S.O.

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TEMA VIII. FUNCIONES

119

– Eje X: la variable y = 0: y = 0 =⇒ x2 − 2x − 8 = 0 =⇒ x =

√ 36 = −2, 4 =⇒ 2

=⇒ los puntos son (−2, 0) y (4, 0) – Eje Y: la variable x = 0: f (0) = −8 · 0 − 2 · 0 − 8 = −8 el punto es (0, −8) • Crecimiento: al ser a > 0 – Creciente en (1, +∞) – Decreciente en (−∞, 1) • Extremos: por ser a > 0 tiene m´ınimo en el v´ertice (−1, 9) • Simetr´ıa: Al ser b = −2 distinto de cero, no tiene simetr´ıa par

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

120

PROBLEMAS DE FUNCIONES 1. Representa las siguientes funciones: (a) f (x) = 3x − 4 (b) f (x) = −2x + 3 (c) f (x) = 4x − 1 (d) f (x) = 6x + 2 (e) f (x) = −5x + 2 (f ) f (x) = 23 x − 3 (g) f (x) = 25 x

(h) f (x) = −2x + 5 (j) f (x) = 4x −

(i) f (x) = 6x − 3

(j) f (x) = −7x + 5 (k) f (x) = x + 5

1 5

2. Halla la ecuaci´on de la recta que: (a) pasa por los puntos (2, 3) y (4, −3). (b) pasa por los puntos (−2, 5) y (3, 5). (c) pasa por los puntos (−1, 3) y (3, −4). (d) pasa por los puntos (4, 6) y (7, −3). (e) tiene pendiente 4 y pasa por el punto (3, 7) (f) tiene pendiente −2 y pasa por el punto (2, −4) (g) tiene pendiente 7 y pasa por el punto (−3, 1) (h) tiene pendiente −5 y pasa por el punto (4, −5) √ (i) es paralela a la recta y = 3x + 5 y pasa por el punto (2, −5) (j) es paralela a la recta y = 2x − 4 y pasa por el punto (3, −1) (k) es paralela a la recta y = −5x + 1 y pasa por el punto (−2, 3) (l) es paralela a la recta y = −7x + 13 y pasa por el punto (−5, 4) 3. Realiza el estudio de las siguientes funciones: (a) f (x) = 3x − 4 (b) f (x) = −2x + 3 (c) f (x) = 4x − 1 (d) f (x) = 6x + 2 (e) f (x) = −5x + 2 (f ) f (x) = 23 x − 3 (g) f (x) = 25 x

(h) f (x) = −2x + 5 (j) f (x) = 4x −

(i) f (x) = 6x − 3

(j) f (x) = −7x + 5 (k) f (x) = 5

1 5

4. Halla la ecuaci´on de la funci´on cuadr´atica que pasa por los puntos:

(a) (1, 2); (2, 8); (−1, −4)

(b) (1, 4); (−2, 13); (3, 18) (c) (−1, 14); (2, 5); (3, 14)

(d) (−2, 5); (0, −7); (1, −1) 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

121

5. Representa y estudia las siguientes funciones:

(a) f (x) = x2 − 2x − 3

(b) f (x) = x2 + 2x − 8 (c) f (x) = −x2 + 4

(d) f (x) = x2 + 3x − 4

(e) f (x) = x2 − x − 12 (f ) f (x) = −x2 + 4x + 5

(g) f (x) = −x2 − 3x + 10 (h) f (x) = x2 − 5x + 6 (j) f (x) = x2 + 2x + 2 (i) f (x) = −x2 − 3x − 4

3◦ E.S.O.

(j) f (x) = x2 − 9

(k) f (x) = −x2 + 15

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TEMA VIII. FUNCIONES

122

SOLUCIONES DE FUNCIONES 1. Rectas. 2. (a) y = −3x + 9

(b) y = 5

(d) y = −3x + 18 (e) y = 4x + 5

(c) y = − 47 x +

5 4

(f ) y = −2x

(g) y = 7x + 22

(h) y = −5x + 15 (i) y = 3x − 11

(j) y = 2x − 7

(k) y = −5x − 7

(l) y = −7x − 31

3. (a) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 4 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 3 , 0) Eje Y −→ (0, −4) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (b) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 3 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 2 , 0) Eje Y −→ (0, 3) Crecimiento: Decrece, por ser la pendiente negativa. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (c) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 1 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 4 , 0) Eje Y −→ (0, −1) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (d) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 1 Corte con los ejes: Eje X −→ (− 3 , 0) Eje Y −→ (0, 2) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (e) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 2 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 5 , 0) Eje Y −→ (0, 2) Crecimiento: Decrece, por ser la pendiente negativa. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (f) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 1 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 2 , 0) Eje Y −→ (0, −3) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

123

(g) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. Corte con los ejes: Eje X −→ (0, 0) Eje Y −→ (0, 0) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: Impar por pasar por el origen. (h) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 5 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 2 , 0) Eje Y −→ (0, 5) Crecimiento: Decrece, por ser la pendiente negativa. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (i) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 1 Corte con los ejes: Eje X −→ ( 20 , 0) Eje Y −→ (0, − 51 ) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (j) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 1 Eje Y −→ (0, −3) Corte con los ejes: Eje X −→ ( 2 , 0) Crecimiento: Crece, por ser la pendiente positiva. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (k) Dominio: IR Recorrido: IR Continuidad: Continua por ser una recta. 5 Eje Y −→ (0, 5) Corte con los ejes: Eje X −→ ( 7 , 0) Crecimiento: Decrece, por ser la pendiente negativa. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: No tiene (l) Dominio: IR Recorrido: {5} Continuidad: Continua por ser una recta. Corte con los ejes: Eje X −→ No tiene Eje Y −→ (0, 5) Crecimiento: Constante, ni crece ni decrece. Extremos: No tienen las rectas. Simetr´ıa: Par, como todas las constantes. 4. (a) f (x) = x2 + 3x − 2

(b) f (x) = 2x2 − x + 3 (c) f (x) = 3x2 − 6x + 5

(d) f (x) = 4x2 + 2x − 7 5. (a) Dominio: IR V´ertice: (1, −4) Recorrido: [−4, +∞) Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−1, 0) (3, 0) Eje Y −→ (0, −3) Crecimiento: Crece (1, +∞) y decrece (−∞, 1) Extremos: M´ınimo en (1, −4). Simetr´ıa: No tiene. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

124

(b) Dominio: IR V´ertice: (−1, −9) Recorrido: [−9, +∞) Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−2, 0) (4, 0) Eje Y −→ (0, −8) Crecimiento: Crece (−1, +∞) y decrece (−∞, −1) Extremos: M´ınimo en (−1, −9). Simetr´ıa: No tiene. (c) Dominio: IR V´ertice: (0, 4) Recorrido: (−∞, 4] Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−2, 0) (2, 0) Eje Y −→ (0, 4) Crecimiento: Crece (−∞, 0) y decrece (0, +∞) Extremos: M´aximo en (0, 4). Simetr´ıa: Par, por ser b = 0. ) Recorrido: [− 25 , +∞) (d) Dominio: IR V´ertice: (− 23 , − 25 4 4 Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−4, 0) (1, 0) Eje Y −→ (0, −4) 3 Crecimiento: Crece (− 2 , +∞) y decrece (−∞, − 32 ) ). Simetr´ıa: No tiene. Extremos: M´ınimo en (− 32 , − 25 4 ) Recorrido: [− 49 , +∞) (e) Dominio: IR V´ertice: ( 21 , − 49 4 4 Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−3, 0) (4, 0) Eje Y −→ (0, −12) 1 1 Crecimiento: Crece (−∞, 2 ) y decrece ( 2 , +∞) Extremos: M´ınimo en ( 12 , − 49 ). Simetr´ıa: No tiene. 4 (f) Dominio: IR V´ertice: (2, 9) Recorrido: (−∞, 9] Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−1, 0) (5, 0) Eje Y −→ (0, 5) Crecimiento: Crece (+∞, 2) y decrece (2, +∞) Extremos: M´aximo en (2, 9). Simetr´ıa: No tiene. (g) Dominio: IR V´ertice: (− 23 , 39 ) Recorrido: [ 39 , +∞) 4 4 Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−5, 0) (2, 0) Eje Y −→ (0, 10) 3 3 Crecimiento: Crece (−∞, − 2 ) y decrece (− 2 , +∞) Extremos: M´aximo en (− 32 , 39 ). Simetr´ıa: No tiene. 4 (h) Dominio: IR V´ertice: ( 52 , 14 ) Recorrido: [ 14 , +∞) Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (2, 0) (3, 0) Eje Y −→ (0, 6) Crecimiento: Crece ( 25 , +∞) y decrece (−∞, 25 ) Extremos: M´ınimo en ( 52 , 41 ). Simetr´ıa: No tiene. (i) Dominio: IR V´ertice: (−1, 1) Recorrido: [1, +∞) Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ No tiene Eje Y −→ (0, 2) Crecimiento: Crece (−1, +∞) y decrece (−∞, −1) Extremos: M´ınimo en (−1, 1). Simetr´ıa: No tiene. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

125

Recorrido: (−∞, − 74 ] (j) Dominio: IR V´ertice: (− 23 , − 47 ) Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ No tiene Eje Y −→ (0, 4) 3 Crecimiento: Crece (−∞, − 2 ) y decrece (− 32 , +∞) Extremos: M´aximo en (− 32 , − 47 ). Simetr´ıa: No tiene. (k) Dominio: IR V´ertice: (0, −9) Recorrido: [−9, +∞) Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. Corte con los ejes: Eje X −→ (−3, 0) (3, 0) Eje Y −→ (0, −9) Crecimiento: Crece (0, +∞) y decrece (−∞, 0) Extremos: M´ınimo en (0, −9). Simetr´ıa: Par, por ser b=0. (l) Dominio: IR V´ertice: (0, 15) Recorrido: (−∞, 15] Continuidad: Continua por ser una funci´on cuadr´atica. √ √ Eje Y −→ (0, 15) Corte con los ejes: Eje X −→ ( 15, 0) (− 15, 0) Crecimiento: Crece (−∞, 0) y decrece (0, +∞) Extremos: M´aximo M´ınimo en (0, 15). Simetr´ıa: Par, por ser b=0.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA VIII. FUNCIONES

3◦ E.S.O.

126

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


Tema IX VARIABLE UNIDIMENSIONAL

127


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

9.1

129

Introducci´ on

La estad´ıstica es la ciencia que trata de los fen´omenos de la vida, que los estudia, analiza e interpreta. Antes de comenzar con el estudio y an´alisis de datos recogidos mediante observaciones, debemos de asimilar el lenguaje que vamos a utilizar y los conceptos que utilizaremos a continuaci´on. Llamaremos Poblaci´ on, Universo o Conjunto referencial a cualquier conjunto de objetos agrupables de cualquier naturaleza. Esta poblaci´on debe de estar definida con precisi´on para saber en cualquier momento si un elemento est´a contenido o no. Ejemplo 1 : Se consideran todos los estudiantes de tercero de secundaria que vivan en Sevilla (provincia) Llamaremos Muestra a cualquier subconjunto de la poblaci´on. Ejemplo 2 : Una muestra puede considerarse aquellos que adem´as tengan hermanos mayores. Llamaremos individuos a los elementos que componen la poblaci´on estudiada. Denominaremos modalidad a las diferentes situaciones posibles de un car´acter. La modalidad es aquella caracter´ıstica que vamos a analizar en la poblaci´on. Ejemplo 3 : La modalidad de la poblaci´on a estudiar ser´a el n´ umero de horas de estudio a la semana de cada alumno Llamaremos Car´ acter o Variable estad´ıstica a la cualidad de los elementos de una poblaci´on que sea observable, que posea varias modalidades y tal que cada elemento de la poblaci´on presente una y solo una modalidad. Los caracteres que podemos estudiar de una poblaci´on pueden ser de dos tipos: • CUALITATIVO: Cuando sus distintas modalidades no son medibles num´ericamente. Ejemplo 4: No se puede medir la belleza, la profesi´on de una persona, el sabor de un pastel,. . . • CUANTITATIVOS: Cuando sus distintas modalidades son perfectamente medibles num´ericamente. Ejemplo 5: La edad de un persona, la talla, el peso, los tornillos que fabrica una empresa,. . . Llamaremos dominio al conjunto de valores que la variable estad´ıstica puede tomar dentro del fen´omeno estudiado. Llamaremos serie estad´ıstica al conjunto de observaciones o medidas realizadas en una poblaci´on, atendiendo a una o varias caracteristicas determinadas. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

9.2

130

Tabla de frecuencias

Para realiar un estudio estad´ıstico a calquier poblaci´on, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Determinar el estudio: Tener bien claro desde el principio que vamos a estudiar, porque, para que y si es posible, o sea, que no sea un estudio in´ util ,que no sea una caracter´ıstica cualitativa, que de verdad sirva para lo que queremos estudiar... 2. Determinar clara y concisamente la encuesta: Especificar la pregunta o el test a orealizar de modo que sea claro, conciso, escueto, concreto y f´acilmente evaluable (f´acil de ordenar). 3. Realizaci´on de la encuesta: Es importante determinar como va a realizarse la encuesta, ya que determina el resultado. Si vamos a realizar una encuesta sobre los conocimientos de internet no deberemos hacerla por e-mail. Si queremos conocer el nivel econ´omico de una poblaci´on, no haremos la encuesta delante de la puerta de unos grandes almacenes, sino que debemos trasladarnos por todas las zonas diferenciales. Tambi´en hay que saber hacer la pregunta para no dirigir la respuesta. 4. Organizar los datos. Para ello creamos la tabla de frecuencias que explicaremos m´as adelante. 5. Creaci´on de par´ametros. Estudiaremos algunos par´ametros y gr´aficos que ayudan a entender y sacar conclusiones de los datos obtenidos.

9.2.1

Frecuencia absoluta

Se define la frecuencia absoluta de una modalidad como el n´ umero de veces que esa modalidad aparece en el total de casos que se presentan en la muestra. Se representa por ni para el n´ umero de datos de la modalidad i-´esima. Si consideramos una poblaci´on de N individuos en la que se estudiar´a un car´acter determinado que puede tomar las modalidades: x1 , x2 , · · · xk entonces: n1 = n´ umero de individuos que presenta la modalidad x1 n2 = n´ umero de individuos que presenta la modalidad x2 n3 = n´ umero de individuos que presenta la modalidad x3 .. . nk = n´ umero de individuos que presenta la modalidad xk cumpli´endose que:

k X

ni = N

i=1

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

9.2.2

131

Frecuencia relativa

Se define frecuencia relativa de una modalidad como el valor de una fracci´on cuyo numerador es el n´ umero de veces que aparece esa modalidad y cuyo denominador es el n´ umero de individuos de la poblaci´on. Se representa por fi para la modalidad i-´esima. La frecuencia relativa de la modalidad i-´esima ser´a ni fi = N La frecuencia relativa de una determinada modalidad, nos indica el grado de posibilidad de que dicha modalidad ocurra o lo que conocemos como la probabilidad de que dicha modalidad ocurra. No olvidemos que estamos trabajando en tanto por uno y deberemos multiplicar la frecuencia por 100.

9.2.3

Frecuencia absoluta acumulada

Se define frecuencia absoluta acumulada de una modalidad como la suma de todas las frecuencias relativas anteriores a dicha modalidad con la suya propia. Se representa por Ni la frecuencia absoluta acumulada de la i-´esima modalidad. i X

Ni =

nj

j=1

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.

9.2.4

Frecuencia relativa acumulada

Se define frecuencia relativa acumulada de una modalidad como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de la modalidad y el n´ umero de individuos de la poblaci´on. Se representa por Fi a la frecuencia relativa acumulada de la i-´esima modalidad. Fi =

i X

fi =

j=1

Ni N

Ejemplo 6 : Consideremos una muestra sacada de la poblaci´on formada por los 150 alumnos de un curso determinado. La muestra consta de 20 alumnos. La variable que consideramos es ”n´ umero de hermanos de cada uno”. Construimos la tabla estad´ıstica siguiente: En principio tenemos que N = 20 entonces: Modalidades 0 hermanos 1 hermanos 2 hermanos 3 hermanos 4 hermanos 5 hermanos 6 hermanos 3◦ E.S.O.

xi 0 1 2 3 4 5 6

ni 4 6 5 3 1 1 0

fi 0,2 0,3 0,25 0,15 0,05 0,05 0

Ni 4 10 15 18 19 20 20

Fi 0,2 0,5 0,75 0,9 0,95 1 1

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

132

La frecuencia relativa acumulada nos ayuda a conocer a simple vista las posibilidad que hay de que ocurra un intervalo de modalidades, por ejemplo: Si queremos saber la probabilidad que hay de que tengan menos de tres hermanos, en principio debemos contar la posibilidad de 0, 1 y 2, pero es m´as sencillo mirar la columna de frecuencia relativa acumulada en la fila de ’2 hermanos’ y podemos decir que dicha probabilidad es de 0’75 o del 75%. Si quisieramos saber la probabilidad que hay de tener entre 2 y 4 hermanos, hacemos: 00 95 − 00 5 = 00 45 O sea, un 45%.

9.2.5

Frecuencia porcentual

La frecuencia relativa de mide en tanto por uno y por tanto cada valor es menor que uno, pero si multiplicamos cada frecuencia relativa por 100 obtenemos la frecuencia relativa medida en tanto por ciento, que es como se suele manejar en el a´mbito p´ ublico. pi = 100 · fi

9.3 9.3.1

Gr´ aficas estad´ısticas Diagrama de barras

Consiste en una representaci´on, usualmente plana, en ejes cartesianos donde el eje X toma las diferentes modalidades y el eje Y la frecuencia de la modalidad, dibuj´andose una barra vertical de anchura opcional y de altura la correspondiente a la frecuencia de cada modalidad. Existe una modalidad llamada barras apiladas donde se pueden confrontar m´as de un estudio de las mismas modalidades. Ejemplo 7:Haciendo la gr´afica relativa al ejemplo 6 obtenemos:

N o de alumnos

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

9.3.2

N´ umero de hermanos

Gr´ aficas de l´ıneas

Es b´asicamente igual a la anterior, diferenci´andose en que en vez de barras verticales, se unen los puntos correspondientes a cada modalidad y su frecuencia. Ejemplo 8:Haciendo la gr´afica relativa al ejemplo 6 obtenemos: 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL 6 5 4 3 2 1

N o de alumnos

133

@  @ A  A A A A A @ @

0 1 2 3 4 5 6

9.3.3

N´ umero de hermanos

Sectores

Consiste en mostrar las frecuencias de las modalidades proporcionalmente a sectores de una circunferencia.

9.4

Medidas de centralizaci´ on

Se denominan medidas de centralizaci´on a los valores que est´an medidos en las mismas unidades que las observaciones y que nos indican en torno a que posici´on se distribuyen las observaciones de que disponemos, es decir, como se agrupan los datos observados.

9.4.1

Media aritm´ etica

Es la suma de todos los elementos de la poblaci´on dividido por el n´ umero de ellos. Se representa por x¯. Es la media que solemos realizar para el c´alculo de la nota final, o sea, se suman las notas y se divide por el n´ umero de notas. x¯ =

k ni · x i X xi · f i = N i=1 i=1

k X

Ejemplo 9: Siguendo con el ejemplo anterior, sigamos construyendo la tabla: Modalidades 0 hermanos 1 hermanos 2 hermanos 3 hermanos 4 hermanos 5 hermanos 6 hermanos

xi 0 1 2 3 4 5 6

ni 4 6 5 3 1 1 0

fi 0,2 0,3 0,25 0,15 0,05 0,05 0

Ni 4 10 15 18 19 20 20

Fi 0,2 0,5 0,75 0,9 0,95 1 1

xi · f i 0 0,3 0,5 0,45 0,2 0,25 0

sumando la sexta columna num´erica obtenemos que : x¯ = 1.7

9.4.2

Media geom´ etrica

Es la raiz n-´esima del producto de los elementos de la poblaci´on. Se representa por G. G=

q n

xn1 1 · xn2 2 · · · xnk k =

v u k u Y n n t x i i

i=1

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

9.4.3

134

Moda

Es el valor de la variable al que le corresponde mayor frecuencia. Es la modalidad que m´as se repite. Se representa por M o. Puede ocurrir que hayan m´as de una moda o hasta que no haya ninguna.

9.4.4

Mediana

Es el valor de la variable que divide a la poblaci´on, en dos partes iguales, habiendo tantos valores por encima como por debajo de ella. Se representa por M e. Ejemplo 10 : Del ejemplo tenemos que: Mo = 1

9.5

Me =

1+2 = 1, 5 2

Medidas de dispersi´ on

Las medidas de dispersi´on tienen por objeto dar una idea de la mayor o menor concentraci´on de los valores de un distribuci´on alrededor de los valores centrales.

9.5.1

Recorrido

Es la diferencia entre los valores mayor y menor que toma la variable estad´ıstica. Se representa por R. Ejemplo 11:Siguiendo con el ejemplo obtenemos: R=6−0=6

9.5.2

Desviaci´ on media

Es la suma de los valores absolutos de la diferencia entre los valores y la media aritm´etica. Se representa por D. Se calcula: D=

9.5.3

k X

k |¯ x − xi | · n i X = |¯ x − xi | · f i N i=1 i=1

Varianza

Es la media aritm´etica de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media aritm´etica. Se representa por σ 2 . Se calcula: σ2 =

k X

k k X (¯ x − xi ) 2 · n i X = (¯ x − xi )2 · fi = fi x2i − x¯2 N i=1 i=1 i=1

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

9.5.4

135

Desviaci´ on t´ıpica

Es la ra´ız cuadrada de la varianza. Se representa por σ. Se calcula: √ σ=

σ2 =

v u k uX t

v u

k X (¯ x − xi ) 2 · n i u = t (¯ x − xi ) 2 · f i N i=1 i=1

Ejemplo 12 :Siguiendo con el ejemplo, completamos la tabla: Modalidades 0 hermanos 1 hermanos 2 hermanos 3 hermanos 4 hermanos 5 hermanos 6 hermanos

xi 0 1 2 3 4 5 6

ni 4 6 5 3 1 1 0

fi 0,2 0,3 0,25 0,15 0,05 0,05 0

Ni 4 10 15 18 19 20 20

xi · f i 0 0,3 0,5 0,45 0,2 0,25 0

Fi 0,2 0,5 0,75 0,9 0,95 1 1

|xi − x¯| 1,7 0,7 0,3 1,3 2,3 3,3 4,3

fi |xi − x¯| 0,34 0,21 0,075 0,195 0,115 0,165 0

|xi − x¯|2 fi |xi − x¯|2 2,89 0,578 0,49 0,147 0,06 0,015 1,69 0,253 5,29 0,264 10,89 0,544 18,49 0

Sumando la octava columna num´erica obtenemos: D = 1, 1 Sumando la d´ecima columna num´erica obtenemos: σ 2 = 1, 801

=⇒ σ = 1, 342

La desviaci´on t´ıpica nos ayuda a conocer el intervalo en el que se mueven la gran parte de los datos. Supongamos que un alumno tiene de media un 6’5 y una desviaci´on t´ıpica de 1. Esto nos lleva a concluir que la gran parte de sus notas han estado entre 5’5 y 7’5, luego se espera que no tenga muchos problemas en aprobar el siguiente examen y no es de esperar notas ni muy altas, ni bajas. Supongamos que un alumno tiene de media un 6’5 y una desviaci´on t´ıpica de 2’5. Esto nos lleva a concluir que la gran parte de sus notas han estado entre 4 y 9, luego no es poco probable que el siguiente examen pueda venir suspenso, aunque una nota muy baja ser´ıa algo raro.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

136

PROBLEMAS DE VARIABLE UNIDIMENSIONAL 1. En una muestra de 100 piezas se han encontrado 6 sin ning´ un defecto, 15 con un defecto, 20 con dos defectos, 30 con 3 defectos, 16 con 4 defectos, 10 con 5 defectos, 3 con 6 defectos. Expresa este resultado: (a) Por medio de un diagrama de barras y de sectores. (b) Haz una tabla estad´ıstica de frecuencias. 2. Al hacer un dictado en una clase, los cuarenta alumnos han obtenido el siguiente resultado; 1 alumno con 0 faltas,3 con 1, 4 con 2, 7 con 3, 6 con 4, 8 con 5, 5 con 6, 2 con 7, 1 con 8, 2 con 9 y 1 con 10 faltas. Expr´esalo mediante una tabla de frecuencias absoluta y relativa y halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on. 3. Toma cuatro monedas, l´anzalas al aire 40 veces y anota cu´antas veces te ha salido 4 caras, 3 caras, 2 caras, 1 cara y 0 caras. Expresa el resultado mediante dos diagramas diferentes y haz su tabla correspondiente y halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on. 4. Coge dos dados, arr´ojalos al aire 50 veces y anota cu´antas veces te ha salido como suma; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Exp´on los resultados en una tabla de frecuencias y halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on. 5. Hecha una encuesta a 120 familias, di´o este resultado: 12 familias con 1 hijo; 16 con 2; 28 con 3; 20 con 4; 12 con 5; 7 con 6; 8 con 7; 6 con 8; 4 con 9; 4 con 10; 2 con 11; 1 con 12: (a) Expresa este resultado en tabla de frecuencia. (b) Expresa mediante diagramas. (c) Halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on 6. La extensi´on en miles de kil´ometros cuadrados de varios pa´ıses occidentales es: Portugal 92; Espa˜ na 505; Francia 551; Italia 301; Suiza 41; B´elgica 30; Holanda 32. Representa la extensi´on relativa de estos paises en el diagrama de sectores. 7. Las edades de los empleados de una empresa son; 22, 27, 35, 23, 37, 24, 31, 28, 24, 38, 23, 36, 25, 37, 22, 34, 27, 29, 28, 32, 35, 36, 26, 34, 33, 25, 23, 26, 32, 25, 29, 37, 34, 23, 27, 35, 32, 24, 38, 33, 35, 31, 29, 30, 26, 31, 39, 34, 30, 27, 29, 36, 32, 30, 28, 33, 29, 28, 25, 31, 24. Construye la tabla de frecuencias de las edades y halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on. 8. Los precios por kilo de unos productos alimenticios son: 40, 45, 50, 45, 55, 60, 45, 50, 65, 45, 50, 75, 65, 50, 55, 45, 60, 65, 70, 55, 60, 50, 45, 60, 65, 55, 45, 50, 50, 65. Realiza la tabla de frecuencias y expr´esalo en un diagrama de barras, construye la tabla de frecuencias y halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on. 9. Representa mediante diagramas en el apartado a) y realiza la tabla de frecuencia y halla las medidas de centralizaci´on y dispersi´on del apartado b): (a) Los beneficios de la empresa P´erez S.A. (en millones de pesetas), durante los a˜ nos 1970-81, fueron: 300, 350, 275, 300, 250, 200, 200, 175, 150, 100, 75, 50, respectivamente. 3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello


TEMA IX. VARIABLE UNIDIMENSIONAL

137

(b) Las estaturas de 30 soldados de un batall´on viene dada en cm. por: 170, 162, 160, 185, 187, 176, 162, 167, 176, 170, 180, 185, 167, 167, 162, 185, 170, 180, 170, 176, 170, 176, 162, 185, 170, 176, 180, 176, 176, 167.

3◦ E.S.O.

Autor: Manuel Jes´ us Quidiello

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matematicas 3 secundaria  

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