Importancia y aplicación de los metodos de Asignacion y Transporte

IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LOS METODOS GRÁFICO, SIMPLEX, ASIGNACION Y TRANSPORTE La investigación de operaciones se puede definir como la aplicación del método en la solución de problemas en las empresas, cuyo enfoque es la modelación, es decir, crea modelos para representar los problemas y utiliza diferentes técnicas, como la programación lineal y el análisis de decisiones, para establecer la solución del mismo.

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Contenido Editorial …………………………………………………………………………………………2 Método Grafico……………………………………………………………………………...3 Método Simplex…………………………………………………………………………..…5 Método de Asignación………………………………………………………………..….8 Método de Transporte ……………………………………………………………..….14 Método de Esquina Noroeste ………………………………………………...…...16 Método Vogel……………………………………………………………………………....17 Método del Costo Mínimo………………………………………………………………18

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En la actualidad, las empresas deben de enfrentar problemas de todo tipo, las cuales en algunos casos pueden poner en riesgo, no sólo la estabilidad, sino también su permanencia en el mercado, por lo que deben de resolverlos en forma rápida y expedita. Estos problemas pueden ser complejos, debido al número de variables y parámetros que se conozcan y por el nivel de certidumbre de información que se maneja. Para resolverlos, el ser humano crea modelos y aplica uno de los tres procesos de solución que existen: procesos algorítmicos, procesos heurísticos o la simulación.

Estos procesos son utilizados por los ingenieros, que son reconocidos como solucionadores de problemas, para lo cual manejan diferentes herramientas, dentro de las cuales está la investigación de operaciones. Esta herramienta nace en la segunda guerra mundial para analizar las operaciones militares, cuyas técnicas se aplicaron posteriormente para solucionar problemas del sector productivo, dando tan buenos resultados que se extendió su uso.

La investigación de operaciones se puede definir como la aplicación del método científico en la solución de problemas en las empresas, cuyo enfoque es la modelación, es decir, crea modelos para representar los problemas y utiliza diferentes técnicas, como la programación lineal y el análisis de decisiones, para establecer la solución del mismo.

Es innegable que la esta herramienta tiene gran importancia, porque se puede obtener una solución cuantitativa a problemas de diversos tipos y nos ayuda a tomar decisiones, basadas en un proceso analítico. Tomar decisiones es la tarea esencial de toda persona o grupo que tiene su responsabilidad el funcionamiento de una organización entera o parte de ellas.

La decisión final la debe tomar el ser humano, que tiene conocimiento que no se pueden cuantificar exactamente, y que puede ajustar los resultados del análisis para llegar a una decisión conveniente.

El análisis cuantitativo no reemplaza el sentido común, es un complemento. Los modelos cuantitativos auxilian a los encargados de tomar decisiones, pero es ir muy lejos decir que lo sustituye. El rol de la experiencia, intuición y juicio del ser humano no puede ser disminuido.

Aunque el ritmo de desarrollo de nuevas técnicas de la Investigación de Operaciones ha disminuido con el tiempo, ha aumentado las áreas donde se aplica, así como las magnitudes de los problemas que pueden ser resueltos con las metodologías de la Investigación de operaciones.

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Método

Grafico

el método gráfico es un procedimiento que nos proporciona solución a programas lineales con la condición, de que se encuentre con dos variables o tres como máximo. el procedimiento consta de los siguientes pasos: Paso 1: traza un sistema de ejes de coordenadas cuya escala este de acorde a las cantidades que maneja X1 y X2.

Paso 2: traza las rectas que definan al conjunto de restricciones, recomendándose usar el método de intersecciones (no siempre es posible).

Paso 3: Evaluar el área que define a las posibles soluciones en función de las desigualdades o igualdades que tiene cada restricción, a esto se le llama polígono de soluciones.

Paso 4: Usando la función objetivo evaluar los vértices del polígono de soluciones y solucionar a que punto que la optimice.

Conclusión: En conclusión el procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1,X2.

Para tratar de identificar el área de soluciones factibles.

La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

Ejercicios del Método Gráfico en Programación Lineal Una empresa Vinolandia ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas.

Debido a la calidad del sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blanc y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios netos y requerimientos de mano de obra según los datos que se muestran a continuación: grafico Suponga que se posee un presupuesto de US$10.000 y una disponibilidad de 1.200 días hombre durante el horizonte de planificación. Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal para este problema. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo.

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SOLUCION : Variables de Decisión:  

: Hectáreas destinadas al cultivo de de Sauvignon Blanc : Hectáreas destinadas al cultivo de Chardonay

Función Objetivo: Maximizar Restricciones:    

Donde las restricciones están asociadas a la disponibilidad máxima de hectáreas para la plantación, presupuesto disponible, horas hombre en el período de planificación y no negatividad, respectivamente.

El siguiente gráfico muestra la representación del problema de la empresa vinolandia.

El área achurada corresponde al dominio de soluciones factibles, donde la solución básica factible óptima se alcanza en el vértice C, donde se encuentran activas las restricciones de presupuestos y días hombre. De esta forma resolviendo dicho sistema de ecuaciones se encuentra la coordenada de la solución óptima donde óptimo es

y

(hectáreas). El valor (dólares).

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Mme Método Simplex

Podemos decir que es la determinación algebraica de los puntos extremos del espacio de soluciones factibles (método gráfico), partiendo de la forma estándar. En la cual tenemos un sistema con m ecuaciones y n incógnitas.

La diferencia entre el número de ecuaciones y las incógnitas nos dan el número de variables que son iguales a cero en un punto extremo, las cuales son llamadas variables no básicas, y las variables restantes son llamadas básicas. permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

El método simplex inicia con un punto extremo o solución factible básica.

1.-La función objetivo se presenta como una ecuación y al pasarla a la tabla simplex cambian de signo los coeficientes de la función objetivo.

2.-Se coloca toda la información en una tabla.

3.-El siguiente paso es determinar una solución básica factible ( punto extremo). El método simplex hace esto eligiendo una variable no básica a la cual se le conoce como la variable que entra (se convertirá en básica) y una variable básica que se le conoce como la variable que sale ( se convertirá en no básica). La que entra está determinada por la condición de optimidad y la que sale por la condición de factibilidad.

4.-Condición de optimidad.- Dada la ecuación X0 (función objetivo) expresada en función de las variables no básicas solamente, se elige la variable que entra en maximización como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente negativo y en minimización como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente positivo, en la ecuación X0. Un empate entre dos variable no básicas o más se rompe arbitrariamente. Cuando los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación X 0 (Función objetivo)son no negativos (maximización) o no positivos (minimización) se ha llegado al punto optimo.

5.-Condición de factibilidad.-La variable que sale es la variable básica correspondiente al cociente más pequeño de los valores actuales de las variables básicas entre los coeficientes positivos de las restricciones de la variable que entra. Un empate puede romperse arbitrariamente.

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Ejemplo El método simplex: Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción lineales, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamblaje y distribución de $18, $8 y $14 respectivamente. La distribución de los insumos a los productos se resume en la siguiente tabla:

Fundición Ensamblaje Distribución Beneficio

Producto 1 Producto 2 1 3 1 2

1

1 1

Disponibilidad 18 8 14

2

Determinar la Combinación a producir que maximice los Beneficios.

DESARROLLO Variables de Decisión X = Producto 1 Y = Producto 2 b. Función Objetivo Z = X + 2Y (max) c. Restricciones X + 3Y ≤ 18 X+Y≤8 2X + Y ≤ 14 Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.

X + 3Y + 1H1 + 0H2 + 0H3 = 18 X + Y + 0H1 + 1H2 + 0H3 = 8 2X + Y + 0H1 + 0H2 + 1H3 = 14

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e. Funciรณn objetivo a cero Z - X - 2Y = 0 f. Tabla e iteraciones

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Método de Asignacion CONCEPTO Estos problemas ocurren en muchos contextos de la administración. En general consisten en el problema para determinar la asignación óptima de agentes objetos “indivisibles”, en el sentido de que ningún agente se puede dividir entre varias tareas.

La restricción importante, para cada agente, es que será designado a una solo una tarea.

El problema de asignación puede resolverse como un problema de transporte en el cual la oferta de cada origen y la demanda de cada destino son iguales a 1, o con le método simplex, sin embargo el método Húngaro resuelve este tipo de asignaciones de una manera mas sencilla.

El enfoque general de este algoritmo consiste en "reducir" la matriz de costos mediante una serie de operaciones aritméticas.

Pasos para resolver un problema de Asignación por el método Húngaro.

1. A todos los elementos de cada columna restar el menor elemento de la columna. En la matriz resultante, restar a todos los elementos de cada fila el menor elemento de la fila. Así se garantiza la obtención de por lo menos un cero en cada fila y columna.

2. Con la matriz resultante, verificar la existencia de una solución óptima. Para encontrarla se debe asignar un cero a cada fila (comenzando por las que tengan menor Nº de ceros), y cancelar los demás ceros de esa fila y los ceros de la columna en la que se encuentra ese cero. Repetir esta operación hasta que no queden ceros sin asignar o cancelar. Si no existe solución óptima ir al paso 3.

3. Realizar lo siguiente: a) Marcar con un * todas la filas que no contengan ceros asignados. b) Marcar todas las columnas que contengan uno o más ceros cancelados en alguna fila marcada. c) Marcar toda fila que tenga un cero asignado en una columna marcada. d) Repetir b) y c) hasta que no sea posible marcar más filas o columnas. e) Poner un trazo (línea) sobre toda fila no marcada y sobre toda columna marcada.

~9~ 4. Tomar el menor número no atravesado por un trazo (línea) y: • Restarlo a todos los elementos de las filas no atravesadas. • Sumarlo a todos los elementos de columnas atravesadas. Volver al paso 2.

Ejemplo de Asignación por el método Húngaro

Se necesita procesar 4 diferentes tareas para lo cual se cuenta con 4 máquinas. Por diferencias tecnológicas el desperdicio que se produce depende del tipo de tarea y la máquina en la cual se ejecuta, dada la matriz de Desperdicios expresada en pesos definir la asignación óptima.

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

49

86

54

70

B

45

79

66

81

C

46

58

78

88

D

44

38

66

69

Como se trata de Desperdicios, buscaremos MINIMIZARLOS. Checamos que todas las casillas tengan su costo unitario, en este caso se cumple sin ningún problema.

Balanceamos la tabla M= renglones = 4 N= columnas= 4 Por lo que M=N, quedando balanceada.

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

49

86

54

70

B

45

79

66

81

C

46

58

78

88

D

44

38

66

69

~ 10 ~ Por renglón Elegir el menor valor de renglón y restarlo a los demás. En este caso es son : 49,45,46,38.

Restamos ese valor a cada uno de los demás del renglón.

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

49-49=0

86-49=37

54-49=5

70-49=21

B

45-45=0

79-45=34

66-45=21

81-45=36

C

46-46=0

58-46=12

78-46=32

88-46=42

D

44-38=6

38-38=0

66-38=28

69-38=31

Formamos la nueva tabla

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

0

37

5

21

B

0

34

21

36

C

0

12

32

42

D

6

0

28

31

Por columna Elegimos los menores valores de cada columna en este caso son : 0,0,5,21 Restamos esos valores a los demás números de las columnas MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

0-0=0

37-0=37

5-5=0

21-21=0

B

0-0=0

34-0=34

21-5=16

36-21=15

~ 11 ~ C

0-0=0

12-0=12

32-5=27

42-21=21

D

6-0=6

0-0=0

28-5=23

31-21=10

Obtenemos la nueva tabla: MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

0

37

0

0

B

0

34

16

15

C

0

12

27

21

D

6

0

23

10

1

2

3

4

A

0

37

0

0

B

0

34

16

15

C

0

12

27

21

D

6

0

23

10

Trazamos las líneas.

MAQUINAS TAREAS

Contamos el número de líneas y observamos que son 3 líneas y el número de la matriz es de 4 por lo que NO ES ÓPTIMO. Buscamos dentro de la tabla el menor valor no tachado en este caso es 12 Lo restamos a todos los demás, respetando los valores de los ya tachados y adicionándolos a los que están intersectados.

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

0+12=12

37

0

0

B

0

34-12=22

16-12=4

15-12=3

~ 12 ~ C

0

12-12=0

27-12=15

21-12=9

D

6+12=18

0

23

10

Nos queda: MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

12

37

0

0

B

0

22

4

3

C

0

0

15

9

D

18

0

23

10

Trazamos las líneas.

3 ≠ 4 NO ES ÓPTIMO Volvemos a buscar el menor número de los no tachados.

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

12+3=15

37+3=40

0

0

B

0

22

4-3=1

3-3=0

C

0

0

15-3=12

9-3=6

D

18

0

23-3=20

10-3=7

En este caso es 3 y se lo restamos a los demás no tachados y respetamos a los tachados y se los sumamos a los intersectados. Y volvemos a trazar líneas.

MAQUINAS TAREAS

1

2

3

4

A

15

40

0

0

B

0

22

1

0

~ 13 ~ C

0

0

12

6

D

18

0

20

7

1

2

3

4

A

15

40

0

0

B

0

22

1

0

C

0

0

12

6

D

18

0

20

7

4=4 ES ÓPTIMO Ahora checamos las asignaciones, sean 1 a 1.

MAQUINAS TAREAS

0 = se escogen 0= se deshabilitan Se traduce la solución: Realizar la tarea A en la máquina 3 con un costo de $54 Realizar la tarea B con la máquina 4 con un costo $81.

Realizar la tarea C en la máquina 1 con un costo $46.

Realizar la tarea D en la máquina 2 con un costo $38.

Costo total mínimo= $219

~ 14 ~

MMmmmmettooo Método de

Transporte

El problema general de transporte se refiere a la distribución de mercancía desde cualquier conjunto de centro de suministro, denominados orígenes (fuentes), hasta cualquier conjunto de centros de recepción, llamados destinos, de tal forma que se minimicen los costos totales de distribución.

Los elementos del modelo son: 1.

Indica el nivel de oferta que tiene cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2.

por lo contrario el costo de transporte unitario de la mercancía enviado por el proveedor a cada destino.

Como solo existe una mercancía y el destino puede recoger su demanda varias fuentes (proveedores).

~ 15 ~ EJEMPLO Una empresa de componentes informรกticos puede comprar Discos Duros a tres proveedores y su objetivo es minimizar el costo total de la compra los proveedores disponen de 1.000, 3.000, 1.000 disco respectivamente.

La empresa necesita los discos en tres cadenas de montajes si en las tres localizaciones distintas. Dichas cadenas requieren de 1.500, 1.000, y 2.500discos respectivamente; los precios en cientos de euros por cada disco entregado a cada cadena son los siguientes:

~ 16 ~ Función Objetivo Z = 4X11 + 7X12 + 2X13 Min + 3X21 + 5X22 + 2X23 + 9X31 + 11X32 +10X33 Restricciones de oferta (lo que disponen los proveedores) S.a. X11 + X12 + X13 <= 1000 X21 + X22 + X23 <= 3000 X31 + X32 +X33 <= 1000 Restricciones de demanda (lo que requieren las cadenas) X11 + X21 + X31 = 1500 X12 + X22 + X32 = 1000 X13 + X23 +X33 = 2500 Variable de decisión: i j >= 0 i = 1………3 total de proveedores (ofertas) j= 1………3 total de cadenas (demandas)

METODO DE LA ESQUINA NOROESTE Este método asigna la cantidad máxima autorizada para la oferta y la demanda a la variable X11 ubicada en la esquina noroeste de la tabla.

La columna o fila satisfecha se satura dejando ver las variables restantes en la columna o fila saturadas son igual a cero. Si la columna y la fila se satisfacen simultáneamente, solo uno de los dos debe ser saturada; garantizando localizar las variables básicas cero si existen.

Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda para todas las filas y columnas no saturadas, la cantidad máxima factible se asigna al primer elemento no saturado en la nueva columna o fila; el método finaliza cuando las filas o la columna se saturan.

Nota:

“Saturar: Llenar,

ocupar

completamente

o

utilizar

una

cosa

hasta

el

límite

de

su

capacidad”

http://www.wordreference.com/definicion/saturar

Indicaciones para implementar el método de la esquina noroeste:

~ 17 ~

1. Se estructura una tabla de ofertas que muestra la disponibilidad de los proveedores y las demandas o lo que requieren los proveedores.

2. Se inicia la esquina noroeste. Determina al máximo lo mínimo entre la oferta y la demanda, equitativamente.

3. Restablezca la oferta y la demanda y sature con ceros el resto de las filas ó columnas en donde la oferta ó la demanda quede satisfecha.

4.

Muévase a la derecha o hacia abajo, según aquedado la disponibilidad para asignar.

5. se repiten nuevamente los pasos del 3 al 5 recíprocamente hasta llegar a la esquina inferior derecha en la que se saturan fila y columna al mismo tiempo.

6. para calcular el costo total del método de la esquina se multiplica cada una de las variables ubicada en la tabla y luego se suma los resultados y encontraremos el total costo Asi:(4*1000)+(3*500)+(5*1000)+(2*1500)+(10*1000)= 23.500 €

MÉTODO VOGEL Este método suele producir una mejor solución inicial que los métodos de noroeste, costo mínimo. Ya que provoca una solución inicial óptima, o inmediata al nivel óptimo.

Indicaciones para implementar el método vogel: 1. Elaborar una tabla reflejando las ofertas y demanda y los costos.

2. Calcular el contraste entre el menor costo y el segundo costo menor; para cada fila y columna.

3. Escoger entre filas y columnas, que mayor diferencia en caso de igualdad, decida arbitrariamente.

4. Determine al máximo posible en el sector con el menor costo en la fila o columna elegida en el puesto 3.

5. Asigne cero (0) a las otras sector de la fila o columna donde la recurso ó el requerimiento quede saturado.

6. Nuevamente se realizan los pasos 2 al 5, sin tener en cuantas filas y columnas saturas hasta que los sectores en su totalidad queden asignados.

7. para calcular el costo total del método de vogel se multiplica cada una de las

~ 18 ~ variables ubicada en la tabla y luego se suma los resultados y encontraremos el total costo.

Asi:(3*1500)+(2*1000)+(2*1500)+(11*1000)+(9*0)= 20.500 €

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO Este método se elabora en función al sector con menor costo para realizar las asignaciones de la tabla.

Indicaciones para implementar el método del costo mínimo: 1.Se Construye una tabla de disponibilidad, requerimientos y costos 2.Se inicia en el sector que tenga el menor costo de toda la tabla, si hay igualdad, se escoge de manera arbitrariamente cualquiera de los igualados.

3.Se asigna lo máximo posible entre la disponibilidad y el requerimiento el mínimo de los dos.

4.Sature con ceros 0 la fila o columna saturada y restablezca la disponibilidad y el requerimiento, restándoles lo asignado.

5.Muévase al sector con el costo mínimo de la tabla resultante no se debe tener en cuenta la fila o columna saturada.

6.Retornar a los puntos 3,4,5 continuamente, hasta que todas los sectores queden asignadas.

7. para calcular el costo total del método de vogel se multiplica cada una de las variables ubicada en la tabla y luego se suma los resultados y encontraremos el total costo.

Asi:(2*1000)+(2*1500)+(3*1500)+(11*1000)+(5*0)= 20.500 €