Centroides de área

Áreas centroides, momentos geométricos, histogramas, brillo, contraste y saturación de color

VEGA TREJO MALENY UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CUAUTITLAN IZCALLI

Contenido CENTROIDES DE ÁREA ......................................................................................................................... 2 Momentos Geométricos ..................................................................................................................... 6 Momentos Simples. ...................................................................................................................... 6 Momentos Centrales. ................................................................................................................... 6 Histograma .......................................................................................................................................... 9 Brillo de un imagen ........................................................................................................................... 10 Ejemplo menú brillo en Photoshop .......................................................................................... 10 Como cambiar el brillo de una fotografía ................................................................................ 11 CONTRASTE Y SATURACION DE COLOR............................................................................................. 12 Como cambiar el contraste de una imagen............................................................................ 12 CIBERGRAFIA ..................................................................................................................................... 14

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CENTROIDES DE à REA El centroide o baricentro es un punto que define el centro geomÊtrico de un objeto, estå estrechamente relacionado con el centro de gravedad de un cuerpo, vale decir, con el punto donde se ubica el peso resultante de un cuerpo. Se consideran tres casos específicos:  Centroide de volumen  Centroide de årea  Centroide de línea.

Para el anĂĄlisis de vigas es necesario determinar el centroide de ĂĄrea, debido a esto nos concentraremos en este tipo de centroide en particular.

El centroide de ĂĄrea de un objeto puede encontrarse subdividiendo el ĂĄrea en elementos diferenciales y calculando los “momentosâ€? de esos elementos de ĂĄrea con respecto a los ejes coordenados. đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ??´ đ?‘‘đ??´ đ?‘Ś = đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ??´ đ?‘‘đ??´ Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o completamente especificados usando condiciones de simetrĂ­a. En los casos donde la forma tenga un eje de simetrĂ­a, el centroide de la forma se encontrarĂĄ a lo largo de ese eje.

Ejemplo 1 Determine la distancia đ?‘Ś del eje x al centroide del ĂĄrea del triĂĄngulo mostrado en la figura:

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Ejemplo 2 Localice el centroide para el área de un cuadrante de círculo mostrado en la figura siguiente:

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Ejemplo 3 Localice el centroide de รกrea de la figura siguiente:

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Cuerpos compuestos Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos mĂĄs simples conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Un cuerpo de esta Ă­ndole a menudo puede ser dividido en sus partes componentes y, si se conocen el ĂĄrea y la ubicaciĂłn de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integraciĂłn para determinar el centroide del cuerpo entero. El mĂŠtodo para hacer esto requiere tratar cada parte componente como una partĂ­cula, vale decir:

AquĂ­, , đ?‘Ś representan las coordenadas del centroide de la figura , đ?‘Ś representan las coordenadas del centroide de cada parte componente del cuerpo đ??´đ?‘– Representa el ĂĄrea de un cuerpo i.

Ejemplo 1 Localice el centroide de ĂĄrea de la placa mostrada en la figura siguiente:

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Momentos Geométricos Momentos Simples.

La teoría de los momentos proporciona una interesante y útil alternativa para la representación de formas de objetos. Si tenemos un objeto en una región a que viene dado por los puntos en los que f(x,y)> 0, definimos el momento de orden p,q como: mpq = òò xp yq f(x,y) dx dy

para p,q = 0,1,2,...

El teorema de representación de los momentos nos dice que el conjunto infinito de momentos mp,q, p,q=0,1,...

Determinan unívocamente f(x,y) y viceversa. Tendremos una imagen digital definida por la función f(x,y), donde (x,y) son las coordenadas de un punto y f(x,y), el valor de ese punto; en el caso del aplicativo desarrollado, este valor será 0 si el punto es distinto de negro y 1 si es negro; si se hubieran tenido en cuenta los colores en una imagen este valor dependería del color del punto. Como se ha comentado anteriormente, al tratarse de imágenes digitales, el momento de orden (p+q) se define ahora como: M(p,q) = åxåy xp yq f(x,y)

Momentos Centrales.

La aplicación más útil de los momentos son las funciones que podemos extraer de ellos, que son invariantes a transformaciones geométricas tales como traslación escalado y rotación. Los momentos centrales se usan para reconocer una imagen independientemente de su situación en un eje de coordenadas. Por ejemplo, la imagen de la Forma no sería igual que la imagen de la Forma Centrada, sin embargo, lo que es la figura en sí, es la misma. Para calcular los momentos centrales se usa el centroide de la figura.

Para calcular los momentos centrales se usa: mpq = òò (x-X)p (y-Y)q f(x,y) dx dy

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MCpq = ååò (x-X)p (y-Y)q f(x,y)

Y para calcular el centroide se usan los momentos de orden 1 y de orden 0.

X = M(1,0) / M(0,0)

Y = M(0,1) / M(0,0)

El centroide o centro de masas de una figura viene determinado por las coordenadas (X,Y), de forma que el área de la figura que queda a la derecha e izquierda del punto X es la misma, al igual que el área que queda por encima y por debajo del punto Y. Momentos Centrales Normalizados.

Si con los momentos simples obteníamos el área de una figura y por lo tanto no importaba si esta estaba invertida por ejemplo, para reconocerla; y con los momentos centrales distinguíamos una figura no importando si estaba desplazada; ahora con los momentos centrales se podrán reconocer figuras dentro de una imagen independientemente de su tamaño. Es decir, en nuestro ejemplo, la estrella ampliada es una estrella igual que la estrella normal y seguirá siendo una estrella por mucho que se amplíe o se reduzca.

MCN(p,q) = MC(p,q) / MCβ(0,0) Donde: β = ((p + q) / 2) + 1

Momentos de Orden 0.

Momentos Simples de Orden 0. M(0,0): Suma todos los píxeles cuyo valor es uno, es decir los que son distinto de blanco, por lo tanto calcula el área.

El momento simple de orden 0 representa el área de la figura en imágenes binarias y la superficie en imágenes en escala de grises. Es la suma de los valores de todos los píxeles. Para ello nos basamos en la fórmula de los momentos simples.

Momentos de Orden 1.

Momentos Simples de Orden 1, M(1,0), M(0,1): Como hemos comentado anteriormente se usan principalmente para hallar el centro de masas de una figura.

Momentos Centrales de Orden 1, MC(1,0), MC(0,1): Estos momentos son 0 por definición.

Momentos Centrales Normalizados de Orden 1, MCN(1,0), MCN(0,1): Estos momentos son 0 por definición.

Momentos de Orden 2.

Es donde comienza el análisis de las imágenes mediante el reconocimiento de formas, son de vital importancia en el calculo los momentos centrales. La densidad de la figura se multiplica por distancias al cuadrado desde el centro de masas o centroide (Inercia).

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Momentos Centrales de Orden 2.

MC(2,0): Su valor aumentará cuanto mayor sea la componente horizontal de una figura.

MC(0,2): Su valor aumentará cuando mayor sea la componente vertical de una figura.

MC(1,1): Usa las componentes Horizontal y Vertical. Puede ser positivo o negativo dependiendo de donde se encuentre la componente vertical; si la componente vertical se encuentra en los cuadrantes 2º y 4º, entonces será negativo, si por el contrario está en los cuadrantes 1º y 3º entonces será positivo. Teniendo en cuenta esto es fácil deducir que una imagen simétrica respecto a los ejes, el MC(1,1) será 0.

Matriz de Rotación: Los momentos centrales forman las componentes de la matriz de rotación, partiendo de estas componente se obtendrán tanto el Angulo de Rotación como la Excentricidad.

| MC(0,2)

-MC(1,1) |

| -MC(1,1)

MC(2,0) |

Angulo de Rotación: Se define como el ángulo entre el eje de abscisas y el eje alrededor del cual la figura puede rotar con mínima inercia.

Excentricidad: Si definiéramos una elipse que rodease la figura para que quedase fuera un área de la figura igual al área que quedase dentro de una elipse, y teniendo en cuenta que una elipse tiene 2 focos, la excentricidad se definiría como la distancia entre los dos focos. La excentricidad medida sobre figuras normalizadas se encuentra en un rango entre 0 y 1. Por ejemplo para un cuadrado la excentricidad resulta 0, lo mismo que para un circulo ya que la elipse coincide con el circulo, en cambio para una recta infinita, la excentricidad sería infinita y si estuviera normalizada entonces sería 1.

Momentos de Orden 3.

Estos momentos sirven para calcular los momentos invariantes. A partir de los momentos centrales normalizados de orden 2 y 3 se obtienen los siete momentos invariantes. Estos momentos, como su propio nombre indica, se mantienen invariantes ante rotaciones, traslaciones y cambios de escalas de una figura concreta

Conclusiones.

Debido a los errores que se producen en el tratamiento de las imágenes, la resolución de las imágenes y la propia naturaleza digital de los datos, se producen una serie de errores en los cálculos.

Se han usado imágenes en blanco y negro y procurando que no tengan ruido para obtener información más clara y con menos margen de error.

Una posterior versión de este aplicativo podría tener en cuenta las distintas gamas de colores, de esta forma se obtendría un reconocimiento más fiable; y si además se añadirá una aplicación de

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eliminación de ruidos, se podría obtener un programa con más estabilidad que el presentado en este trabajo.

Histograma Vamos a usar la pequeña imagen que representa la Figura 2 para comprender qué es un histograma.

Se trata de una imagen en niveles de gris muy simple, de 8x8 píxeles de tamaño (se han señalado los límites entre píxeles para facilitar su identificación). Sólo son posibles 4 niveles de gris, porque se van a usar 2 bits para codificar el brillo de cada píxel. De la forma habitual, los niveles de gris se numeran del 0 al 3, correspondiendo un brillo mayor a los valores más altos. La tabla siguiente resume esto:

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La gráfica que aparece en la Figura 3 es el histograma correspondiente a esta imagen.

Los números que aparecen el eje horizontal representan los niveles de gris que pueden aparecer en la imagen: a la izquierda está el valor más oscuro (negro) y en el extremo derecho el más claro (blanco). El resto de niveles se distribuyen uniformemente. Se ha puesto una escala con los tonos de gris correspondientes para facilitar la comprensión. En un histograma real habitualmente no encontrará numerado el eje vertical, ni la escala de tonos para el eje horizontal.

La altura de cada barra representa el número de píxeles de la imagen que presentan ese nivel de gris concreto. Se puede deducir entonces que la imagen tiene 15 píxeles completamente negros (con nivel 0), 11 de tono gris oscuro (nivel 1) y 38 píxeles completamente blancos (nivel 3). No hay ningún píxel en la imagen con un nivel de gris 2. ¿Cuánto deberán sumar las alturas de todas las barras? Efectivamente, 64, que es el número total de píxeles que tiene la imagen. Como ve, con sólo mirar el histograma podemos deducir algunas cosas interesantes sobre la imagen, lo que demuestra su utilidad:  La mayor parte de los píxeles son blancos, así que probablemente se aprecie un fondo blanco uniforme.  Hay un número significativo de píxeles totalmente blancos y totalmente negros, por lo que presentará un aspecto bien contrastado.

Brillo de un imagen El brillo se ocupa de alterar también la gama tonal. La modificación del brillo de una imagen o fotografía digital, actúa de la misma forma que la escala de luminosidad, reducen el contraste de la imagen y la pérdida de detalle, según en el nivel que se aplique.

Ejemplo menú brillo en Photoshop

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En esta imagen se puede observar de qué forma se accede a la escala de brillo, en el programa Adobe Photoshop.

Como cambiar el brillo de una fotografía

Para aumentar el brillo de una fotografía: Deslizaremos el cursor desde el medio hacia nuestra derecha, siguiendo la dirección de la flecha roja, tal y como mostramos en la imagen de este ejemplo. Hacemos clic en OK para guardar los cambios, una vez que hayamos encontrado el nivel adecuado.

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CONTRASTE

Y

SATURACION

DE

COLOR

En este caso hemos aumentado hasta 100 el nivel de brillo observando la pérdida de luminosidad y detalle. En el segundo caso sólo hemos aumentado hasta 20 mejorando un poco la luminosidad.

El contraste incrementa el cambio de luminosidad entre las zonas más oscuras o más claras de una fotografía, simulando a su vez, un mejor enfoque y claridad de imagen.

El retoque del contraste es muy adecuado en fotografías un poco claras.

Como cambiar el contraste de una imagen

La saturación, colorido o pureza es la intensidad de un matiz específico. Se basa en la pureza del color; un color muy saturado tiene un color vivo e intenso, mientras que un color menos saturado parece más descolorido y gris. Sin saturación, un color se convierte en un tono de gris.

La saturación de un color está determinada por una combinación de su intensidad luminosa y la distribución de sus diferentes longitudes de onda en el espectro de colores. El color más puro se consigue usando una sola longitud de onda a una intensidad muy alta, como con un láser. Si la intensidad luminosa disminuye, la saturación también. Para desaturar un color en un sistema

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sustractivo (como complementario.

en

el gouache),

puede

agregársele blanco, negro, gris,

o

su color

La saturación es una de las coordenadas en los sistemas colorimétricos HSL y HSV. Note que casi todos los programas computacionales que implementan estos espacios usan una aproximación muy tosca para calcular el que valor que ellos llaman saturación, tales como las fórmulas descritas en los artículos respectivos, y este valor tiene poco, o nada que ver, con la descripción que aparece aquí.

Diferentes niveles de saturación de una imagen.

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CIBERGRAFIA https://es.wikipedia.org/wiki/Saturaci%C3%B3n_(color) http://www.digitalfotored.com/imagendigital/contraste.htm http://www.digitalfotored.com/imagendigital/brillo.htm https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/12711/El%20histograma%20una%20imagen%20 digital.pdf?sequence=1 http://grupo.us.es/gtocoma/pid/pid10/doc.htm

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