Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η
Θ.Γ.19.
Γ1. Να αποδείξετε ότι:
1 1 1 dy 1 1 y 2 1x 1 y 2 dy 0 γ ι α κ ά θ ε
x
x (0, ) . Γ 2 . Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x)
1 . Ν α υ π ο λ ο γί σ ε τ ε τ η ν ε υ θ ε ί α μ ε 1 x2
ε ξ ί σ ω σ η x = α , η ο π ο ί α χ ω ρ ί ζ ε ι τ ο χ ω ρ ί ο π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τα ι α π ό τ η Cf , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 , x = 2 σε δύο ισεμβαδ ικά 2 χωρία.
i . xi Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς έ ν α x0 z να είναι φανταστικός. Γ 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim Im(z) ημx . Έ σ τ ω ο μ ι γ αδ ι κ ό ς z x
Θ.Γ.20.
ώστε ο μιγαδικός
x
Γ3. Αν Θ.Γ.21.
Re(z) Im(z) ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν θ ε τ ι κ ό α κ έ ρ α ι ο ν ώ σ τ ε z ν 29 i .
Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς κ α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο ( 0 , ) 4
f (x)dx 1 κ α ι
με
3
4
5 f (x)dx 3.
Δ ί ν ε τ α ι κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : g(x)
x 2
x1 f(t)dt ,
χ>0.
Γ1. Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία. Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (2 , 3) ώστε f(ξ+2) – f(ξ+1) = -4. Γ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ , ν
Θ.Γ.22. 1
0 x
μ
ισχύει ότι :
1
(1 x) ν dx x ν (1 x)μ dx . 0
Γ 2 . Α ν f (x) x(1 x)2004 , g(x) x(1 x)2003 ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β α δ ό το υ χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f , g. x2
Θ.Γ.23.
Α. Να υπολογίσετε το όριο:
lim x 1
π
1 συν( 2
t)dt
(1 x) 2
.
Β. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x lnx. i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim g(x) . x 0
i i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α : I
Θ.Γ.24.
Γ1. Δίνεται η συνάρτηση:
e ln x 1
2
g(x)
dx .
α ,x0 f (x) eημx x συνx , x 0 .
α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο α ώ σ τ ε η ν α ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x0 0 . - 98 -