Page 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 

-2-

Επανάληψη - Μεθοδολογία 

1. ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ = ΑΔ 

- ΑΒ = ΒΑ 2.

Σημείο αναφοράς 

ΑΒ = ΑΟ + ΟΒ ή 3.

ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ , όπου Ο σημείο αναφοράς

Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Δ

ΑΒ = ΔΓ , ΑΔ = ΒΓ

Γ

ΑΒ + ΑΔ = ΑΓ , ΑΒ - ΑΔ = ΔΒ Α

Β

4.

Γωνία διανυσμάτων

    0   α , β  π         Αν  α , β = 0 τοτε α   β         Αν  α , β = π τοτε α   β  

 β  α

5. Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων

      α - β  α+β  α + β 6.

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

   αν λ > 0 , τότε λ α  α     λ α  αν λ < 0 , τότε λ α  α   αν λ = 0 ή α = 0 , τότε λ α = 0    λα = λ α Προσοχή

Αν λ α = λ β και λ  0 , τότε α = β

Αν λ α = μ α και α  0 , τότε λ = μ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

-3

7. Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α , β

   μορφής v = κ α + λ β .

8.

είναι κάθε διάνυσμα της

Διανυσματική ακτίνα μέσου Α 

ΑΒ + ΑΓ ΑΒ + ΑΓ = 2ΑΜ  ΑΜ = 2 

Β

Μ

Γ

9.

Βαρύκεντρο τριγώνου (εκτός ύλης) 

∙ Αν G βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , τότε : GA + GB + GΓ = 0 

∙ Για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει : ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = 3 ΟG ∙ Για να δείξουμε ότι δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο , ονομάζουμε G και G΄ τα βαρύκεντρα των ΑΒΓ και ΔΕΖ αντίστοιχα και αφού αποδείξουμε μια από τις σχέσεις : 

ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 3GG΄ ή ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ = 3GG΄ ή ΑΖ + ΒΔ + ΓΕ = 3GG΄ δείχνουμε ότι :

            ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 0 ή ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ = 0 ή ΑΖ + ΒΔ + ΓΕ = 0

10.

Συγγραμμικά διανύσματα Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αρκεί να δείξουμε ένα απ’ τα παρακάτω:

    α // β  α = λ β x α yα x α yα     α // β  = 0 , όπου  det(α , β) x β yβ x β yβ yβ   y α // β  λ α = λ β , οπου λ α = α , λ β = , όταν xα , xβ  0 xα xβ

Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι ομόρροπα αρκεί να δείξουμε ότι:

          α = λ β με λ > 0 ή  α , β  = 0 ή α + β = α + β  

*

 

ή αβ= α  β

Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι αντίρροπα αρκεί να δείξουμε ότι:

          α = λ β με λ < 0 ή  α , β  = π ή α + β = α - β  

* Να χρησιμοποιούνται με απόδειξη.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

*

 

ή αβ=- α  β


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

11.

-4-

Συνευθειακά σημεία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία π.χ Α , Β , Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι: 

ΑΒ // ΒΓ  ΑΒ = λ ΒΓ ή

ΑΒ // ΑΓ  ΑΒ = ρ ΑΓ

ή

ΑΓ // ΒΓ  ΑΓ = μ ΒΓ

12. Βασική πρόταση

     Αν α // β και κ α + λ β = 0  κ = λ = 0 (Να χρησιμοποιείται με απόδειξη)

13.

Συντεταγμένες διανύσματος   Αν α = (x α , y α ) κ καιβ = (x β , y β ) τότε :   α) α + β = (xα + xβ , yα + yβ)  β) λ α = (λ xα , λ yα)   γ) Αν α // x΄x τότε yα = 0 ενώ αν α // y΄y τότε xα = 0 . δ) Συντεταγμένες μέσου τμήματος

 xA + xB yA + yB  ,   2 2 

Α(xA,yA)

M

B(xB,yB)

ε) Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα 

Α(xA,yA)

ΑΒ = (xB - xA , yB - yA)

B(xB,yB)

στ) Μέτρο διανύσματος

Αν α = (x , y) , τότε α =

x2 + y2

ζ) Απόσταση δύο σημείων

(ΑΒ) = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 η) Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος

 α = (x,y)

 Αν x  0 τότε λ α = y

φ Ο

x

y = εφφ x

 Αν x = 0 τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος  και α //y΄y

 α // β  λ α = λ β , όταν xα , xβ  0

 α // x΄x  y = 0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

 α // y΄y  x = 0


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

14.

Εσωτερικό γινόμενο        α  β = α  β συν α , β    πραγματικός αριθμός

α) α  β

      β) Αν α = 0 ή β = 0 , τότε α  β = 0     γ) α  β = β  α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)     δ) Αν α  β , τότε α  β = 0 και αντιστρόφως .       ε) Αν α  β , τότε α  β = α  β και αντιστρόφως .       στ) Αν α β , τότε α  β = - α  β και αντιστρόφως . 2  2 ζ) α = α .       η) i  j = j  i = 0 και i 2 = j 2 = 1 .   θ) α  β  λ α  λ β = - 1 , όταν xα , xβ  0 Προσοχή

 

 

∙Γενικά δεν ισχύει : α  ( β  γ ) = ( α  β )  γ ∙ Γενικά δεν ισχύει ο νόμος της διαγραφής:        τότε   

∙ δεν ορίζεται διαίρεση διανυσμάτων.       ∙ α  β  α  β . Η ισότητα ισχύει όταν : α // β .     ∙ ( α  β )2  α 2 β 2

  . Η ισότητα ισχύει όταν : α // β . 

Αν α = (xα , yα) και β = (xβ , yβ) τότε:

  α  β = xα xβ + yα yβ

Γωνία δύο διανυσμάτων

  αβ     συν  α , β =     α β   x α xβ + yα yβ   συν  α , β =   x 2α + y 2α  x β2 + y β2 Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα

α  β = α  προβαβ προβαβ // α  προβαβ = λα

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

-5-


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

15.

-6-

Γεωμετρικοί τόποι Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός μεταβλητού σημείου Μ μετασχηματίζουμε με πράξεις τη διανυσματική ισότητα που ικανοποιεί το Μ σε απλούστερη και καταλήγουμε σε έναν από τους παρακάτω βασικούς γεωμετρικούς τόπους: 

α) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = λ ΜΒ , τότε το Μ κινείται στην ευθεία ΑΒ. 

β) Αν τα σημεία Α , Β , Γ είναι σταθερά και ΜΑ = λ ΒΓ , τότε το Μ κινείται σε ευθεία παράλληλη με την ΒΓ που περνά απ’ το Α. 

γ) Αν το σημείο Α είναι σταθερό και ΜΑ = λ , λ > 0 , τότε το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα λ. 

δ) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = ΜΒ , τότε το Μ κινείται στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. 

ΜΑ ε) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και

= λ , λ > 0 , τότε το

ΜΒ Μ κινείται σε κύκλο με διάμετρο ΓΔ , όπου Γ , Δ είναι τα συζυγή αρμονικά των Α , Β. (Απολλώνιος κύκλος)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

-7-

Επανάληψη - Ασκήσεις

1. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ για το οποίο ισχύει:    

  2 ,   4 και  ΟΑ,    . Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, να   3    υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας:  ΟΑ,  .  

2. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) , Β(2 , -1) , Γ(3 , κ) και Δ(4 , λ) με κ , λ . α. Να υπολογίσετε το  , όπου Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ .

β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε    . γ. Αν Ε(λ , 9) να βρείτε το θετικό πραγματικό αριθμό λ ώστε  //  . δ. Αν α =  0 , 4  , να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα β = 2ΑΒ + α με τον άξονα x΄x.

   ε. Αν γ   2,1 , 1. τότε  γ , ΑΒ   900   2. να βρείτε την προβ γ  .

Σ

Λ

3. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB  2   , A  3 ,     1 και :    2 .  ,      3 α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:    , (4  2 )2 , (   )2 . β) Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ να εκφράσετε τα διανύσματα  ,  , συναρτήσει των  ,  . γ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων  ,  . 

 

4. Αν α  2 , β  3 , γ  5 καια  β  γ  0 , να δείξετε ότι:       α) α  β  β  γ  γ  α  - 5 .

   β) Το τρίγωνο με πλευρές τα μήκη των διανυσμάτων α , β , γ είναι ορθογώνιο.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

-8-

5. Aν AB   2, 2 , A  3,1  A  1,3, να εξετάσετε αν τα σημεία Β , Γ, Δ είναι συνευθειακά. 

6. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με  = 60 0 , πλευρά 5cm και Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω σχέσεις: 

α) AB  AΔ  ......

β)  AΒ , ΓΔ   

 

γ) προβ ΒΑ  .....

.....

δ)  προβ ΒΑ  .....

ΒΔ

ΒΔ

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Αν ισχύει:

            0 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ 2

2

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

      π   8. Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει : α = 4 , β = 3 και  α , β = , να   3     βρείτε τη γωνία  3α + 4β , 2β .  

9. Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει : α =   βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α και β .

3 3 β και α  2α - 3β , να 4

10. Δίνονται τα διανύσματα α = (14,4) , β = (2,1) και γ = (-1,-2) .    Να εκφραστεί το α ως γραμμικός συνδυασμός των β και γ. 

11. 1. Δίνονται τα διανύσματα α και v με    π α = 2 , v = 4 και  α , v = .   3   Να αποδείξετε ότι η προβολή του v πάνω στο α είναι ίση με το  διάνυσμα α .  2. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x , ώστε το διάνυσμα α = (x,43) να έχει μέτρο ίσο με 2000x - 150 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

-9-

12. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Αν Μ και Ν είναι τυχαία σημεία της ευθείας ΑΔ, να δείξετε ότι η παράσταση:      είναι σταθερή, ανεξ άρτητη δηλαδή από τη θέση των Μ , Ν.

13. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με A  B  90 0 και ονομάζουμε Μ το μέσο του ΑΒ. 

Να δείξετε ότι: α) MΔ  ΜΓ  ΑΔ  ΒΓ .

2

β) ΜΔ  ΜΓ  ΑΔ  ΒΓ - ΜΑ .

 

14. α) Αν κα = λβ , κ , λ  R και α , β δεν είναι συγγραμμικά , τότε : Α. κ  λ Β. κ = λ = 0 Γ. κ > 0 και λ < 0 Δ. κ , λ ομόσημοι   β) Αν α , β είναι ομόρροπα διανύσματα, κ , λ  0 , 1 , -1 και    Β. κ , λ αρνητικοί κα + λβ = 0 , τότε: Α. κ , λ θετικοί Γ. κ , λ αντίστροφοι Δ. κ , λ ετερόσημοι

15. Αν  =  =    α=γ.

=

να , αποδείξετε ότι: 1002και α β + β γ = - 2004

3

16. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB  3 , AΓ  4 ,  AB, A   

και Μ μέσο

της ΒΓ. Α. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο AB  AM . Β. Να υπολογίσετε το άθροισμα: AB  AM +   .    Γ. Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας  AB, AM  .   3 Δ. Να δείξετε ότι:     . 13

17. Στο επίπεδο Οxy δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με : 

ΑΒ = 3 i + 4 j , ΒΓ = 2 i + j 

α. Να δείξετε ότι: AΓ =  5 , 5 . β. Να γράψετε το διάνυσμα α =  -2 , 4  ως γραμμικό συνδυασμό των

ΑΒ και ΑΓ . 

β. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου, να βρείτε το μέτρο του ΑΔ .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

- 10 -

    18. Τα διανύσματα α , β , γ και x του επιπέδου ικανοποιούν τη      σχέση : ( α  x ) β = γ + x .       (α) Να αποδείξετε ότι : ( β  α - 1 ) ( α  x ) = γ  α .    (β) Αν β  α  1 , να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση    των α , β , γ .  

19. Χρησιμοποιώντας τη σχέση α  β  α  β να αποδείξετε ότι: 6  8  10 . 

20. Έστω τα διανύσματα α και β με μέτρο 1. Αν τα διανύσματα : 2 , να βρείτε τη γωνία:   2  4 και      σχηματίζουν γωνία 3

   ,   .   

21. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , 2) , Β( -1 , -2) και Γ(-3 , 4). α. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ. β. Να βρείτε την   .

π .   4 β) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα α) να αναλύσετε το  σε δύο κάθετες συνιστώσ ες εκ των οποίων η μία να είναι παράλληλη με το  .

22. α) Αν α = (λ , 2) και β = (3 , 1) να βρείτε τον λ R αν :  α , β  =

23. Δίνονται τα διανύσματα α = (-1 , 1) και β = (1 , -1) .     α) Να υπολογίσετε τη γωνία  α , β .     β) Αν τα διανύσματα p και q ικανοποιούν τις σχέσεις :        2p + q = α και p + 2q = β , να υπολογίσετε τη γωνία  p , q .  

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

- 11 -

24. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα           α , β , γ με α  β  γ  0 και 3 α  4 β  12 γ .

      1. Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: α  β , β  γ , γ  α συναρτήσει  του γ .

           2. Να υπολογίσετε τα συνημίτονα : συν  α, β  , συν  β, γ  , συν  γ, α  .             3. Να δείξετε ότι : α  β , β  γ , α  γ .   4    4. Να δείξετε ότι : α  - β , β  3γ , α  - 4γ . 3 

25. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α και β ισχύουν:   2  και        , να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α και β είναι αντίρροπα.

26. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ) = (ΑΓ), η διάμεσός του ΑΜ και η προβολή Δ του Μ στην ευθεία ΑΓ. Αν Κ είναι το μέσο του ΜΔ, τότε ισχύει: ΑΚ  ΒΔ.

27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΗ το ύψος του. Αν ισχύει: 2

    , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

28. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , τυχαίος κύκλος με κέντρο Ο που περνά απ’ το Α και τέμνει τις ΑΒ , ΑΓ , ΑΔ στα Β΄ , Γ΄ , Δ΄ 

αντίστοιχα . Να δείξετε ότι : ΑΒ  ΑΒ΄ + ΑΔ  ΑΔ΄ = ΑΓ  ΑΓ΄ .

29. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. 

 2

Αν ΓΕ  ΑΒ και ΓΖ  ΒΔ , να δείξετε ότι: ΒΖ  ΒΔ - ΒΕ  ΒΑ = ΒΓ .

30. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Ο κύκλος που έχει διάμετρο την ΑΔ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. 2

Να αποδείξετε ότι:         .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

- 12 -

31. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ και τ α μέσα Κ, Λ , Μ των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:        0 .

32. Οι χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται κάθετα. Να αποδείξετε ότι:      0 .

33. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β(0 , 1) , Γ(2 , 0) , ΑΔ ύψος του και  

5 . Να δείξετε ότι: 5

α)     1 β) Αν το άθροισμα των συντεταγμένων του Α είναι ίσο με 3 να βρείτε τις συντεταγμένες του Α.

34. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με   6 . Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:    10 , είναι κύκλος με κέντρο το μέσο Κ του ΑΒ. Να προσδιορίσετε την ακτίνα του κύκλου.

35. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ με OA  2 , OB  4    600. Αν για    το σημείο Μ ισχύει:   2 , να υπολογίσετε το   ,   .  

36. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Ο x y βρίσκονται τρία πλοία που προσδιορίζονται από τα σημεία Α , Β , Γ αντίστοιχα.

    Αν τα Α , Β , Γ ισαπέχουν από το Ο και ισχύει : ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = 0 , να δείξετε ότι: 

α) ΟΑ  ΟΒ = ΟΒ  ΟΓ = ΟΓ  ΟΑ . β) τα πλοία ισαπέχουν μεταξύ τους. γ) η απόσταση των πλοίων που προσδιορίζονται από τα σημεία Α και Β είναι μικρότερη του 2.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

37.

- 13 -

    π  α = 1 , β = 4 ,  α , β  =    3  Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει :  , γ// α β και α  β γ 

  να βρείτε το διάνυσμα γ συναρτήσει των α και β .

38. Να αποδείξετε ότι αν α  β και γ  δ , τότε α  β  γ  δ .

39. Έστω Οxy ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και τα διανύσματα    2,1 ,   1,3     2, 2  . Να βρείτε σημείο Ρ του άξονα y΄y , ώστε η παράσταση 2

2

Α=   2   να παίρνει ελάχιστη τιμή.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

- 14 -

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 

40. Δίνονται τα διανύσματα α = ( λ , λ - 1) και β = (4 , λ) , με λ  0 .

  Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα α και β είναι κάθετα : Α. λ = 1 Β. λ = 3 Γ. λ = 2 Δ. λ = - 2 Ε. λ = - 3 (Πανελλήνιες 1999)

41. Δίνονται τα διανύσματα u = (1 , - 3 ) , v = (2 , 2 3) και w = ( 3 , 1) . Να αντιστοιχίσ ετε κάθε γωνία που βρίσκεται στη στήλη Α με το μέτρο της που βρίσκεται στη στήλη Β. (Πανελλήνιες 1999) Στήλη Α   1. Γωνία των u και v   2. Γωνία των u και w   3. Γωνία των v και w

Στήλη Β Α. π/2 Β. π/6 Γ. π/4 Δ. 2π/3 Ε. 3π/4 Ζ. π/3

42. Για τα διανύσματα α και β ισχύουν οι σχέσεις:

    2α  3β  (4 , - 2) και α - 3β  (- 7 , 8) .   α) Να δείξετε ότι : α  (-1 , 2) και β  (2 , - 2) . β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα     κα  β και 2α  3β να είναι κάθετα.  γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ  (3 , - 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες ,  από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α . Πανελλήνιες 2000)

    π    43. Για τα διανύσματα α , β δίνεται ότι α  1 και β  2 και  α , β   .   3       Έστω τα διανύσματα u  2α  3β , v  α - 2β . Να υπολογίσετε:   α. Το εσωτερικό γινόμενο α  β .   β. Τα μέτρα των διανυσμάτων u και v .   γ. Το εσωτερικό γινόμενο u  v .   δ. Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v . (Πανελλήνιες 2001)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

- 15 -

44. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσμα και μία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα.     β.Αν det α, β είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α , β , τότε ισχύει η     ισοδυναμία: α // β  det α, β  1 . (Πανελλήνιες 2002)

 

 

45. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α.Αν  

δίπλα στο γράμμα που

   (δηλαδή τα    έχουν αντίθετη κατεύθυνση) τότε 

   – α  β

και αντιστρόφως.

β. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα AB έχουμε

 

AB = OA – OB . (Πανελλήνιες 2003)

46. Δίνονται τα διανύσματα   (1, 2) και   (2,3) . Α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος   5  3 . Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει τ ο  με τον άξονα x΄x. Γ. Να βρείτε τον αριθμό κ  , ώστε το διάνυσμα   ( 2   ,  ) να είναι κάθετο στο  . (Πανελλήνιες 2004)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

- 16 -

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να συμπληρώσετε τα κενά:   α) Αν α  β , τότε α  β =

β) Αν α  β , τότε α  β = γ) Αν α β , τότε α  β = δ) α  β  λ α  λβ =

β  λ α = λβ

ε) α στ)

α β

α  β

ζ) ( α  β ) 2

α2 β 2

η) α  β = α  προβα θ) α  β = ι) β 

 προββ α =

 προβ

α

κ) Αν Ο σταθερό σημείο και Μ μεταβλητό, τότε ο γ.τ των σημείων Μ

του επιπέδου για τα οποία ισχύει:   7 παριστάνει:

λ) Αν Ο σταθερό σημείο και Μ μεταβλητό, τότε ο γ.τ των σημείων Μ

του επιπέδου για τα οποία ισχύει:   7 παριστάνει:

μ) Αν Ο σταθερό σημείο και Μ μεταβλητό, τότε ο γ.τ των σημείων Μ

του επιπέδου για τα οποία ισχύει:   7 παριστάνει:

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα 

- 17 

ν) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = ΜΒ , τότε ο γ.τ των

σημείων Μ του επιπέδου είναι:

ξ) Αν α

β τότε:

   0 ή α , β  =  

α = λ β με λ

ή

α+β =

ή

ή

α+β =

ή

α  β= ο) Αν α

β τότε:

   0 ή α , β  =  

α = λ β με λ

α  β= 

π) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με  = 60 0 , πλευρά 6cm και Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω σχέσεις: 

1. AB  AΔ  

2.  AΒ , ΓΔ    

 

3.     

4.  προβ ΒΑ  

ΒΔ

5. AB  AΟ  

6.  AΓ , ΟΒ     

 

7.  AΟ , ΓΒ    

 

ρ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με = 90 0 , Γ = 30 0 , (ΒΓ) = 8 και Μ το μέσο της ΒΓ . Τότε : 

1. ΑΒ  ΑΓ 

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

2. ΑΒ  ΑΜ 

3. ΑΓ  ΑΜ 


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα 

4. ΑΒ  ΜΑ 

- 18 -

5. ΜΒ  ΜΓ 

    σ1) Αν κα = λβ με κ λ, R και α , β μη συγγραμμικά,τότε κ = λ =

  σ2) Τα διανύσματα α και β έχουν μέτρα 2 και 5 αντίστοιχα . Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

    a,    

a

00 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0   σ3) Τα διανύσματα α = (λ , 4) και β = (λ - 4 , 1) είναι κάθετα.

Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με :   σ4) Τα διανύσματα α = (λ 2 , 2λ) και β = (1 , - 2) είναι παράλληλα .

Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με : σ5) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 4 cm και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τότε 

Α. ΑΒ  ΓΒ = Δ. ΑΒ  ΓΔ =

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

Β. ΑΟ  ΑΒ = Ε. ΟΒ  ΒΑ =

Γ. ΑΒ  ΑΓ =

.


Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα

   σ6) Αν α  β > 0 , τότε η  α , β   

σ7) Αν

900 .

     κ = 2 , v = 3 , κ  v = - 3 και 0 θ = κ , v < π , τότε θ =  

σ8) i  j =

σ9) α - β

και i 2  j 2 =

α+β

.

α + β.

σ10) Αν α = β = 1, τότε α + β 

.

σ11) Αν α = β = 1, τότε α - β 

.

σ12) Αν α = β = 1, τότε

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

2

α-β 

- 19 -

.

.

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Διανύσματα  

Θεωρία - Μεθοδολογία - Ασκήσεις - Θέματα Πανελληνίων Βιβλίο ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you