Asimetría estadistica cesar.madriz

Coeficiente de asimetría de Bowley

Medidas de Asimetría Y Curtosis

Coeficiente de asimetría de Pearson

Bachiller: Cesar Madriz C.I: 26.009.897 Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Sede Barcelona

NOTA EDITORIAL

Esta asignatura se introdujo en el Plan de Estudios del año 1995 y desde entonces ha demostrado aportar un conocimiento esencial para la formación de los estudiantes de la Licenciatura en Física.

Estamos convencidos de que este tipo de conocimiento es básico para cualquier estudiante de ciencias.

Calculo y aplicación del coeficiente de asimetría de Pearson Es un valor que indica la asimetría. Simbólicamente se representa por As, y se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Donde: X es la media aritmética. Mo es la moda. S es la desviación estándar. Me es la mediana. As = 0 Entonces la distribución es simétrica. As > 0 Entonces la distribución es asimétrica hacia la derecha o tiene sesgo positivo. As < 0 Entonces la distribución es asimétrica hacia la izquierda o tiene sesgo negativo.

Sólo se puede utilizar en distribuciones uniformes, unimodales y moderadamente asimétricas. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda. Ap = (μ - moda) / σ , donde es el momento ordinario de orden 1, que corresponde a la media aritmética de la variable . Si la distribución es simétrica, μ = moda y Ap = 0. Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y, por tanto, Ap > 0

Calculo, aplicación e interpretación de los coeficientes de asimetría de la formula derivada de Pearson y de los cuartiles o de Bowley.

Coeficiente de asimetría de Pearson El coeficiente de asimetría de Pearson CAP mide la diferencia entre la media y la moda respecto a la dispersión del conjunto X=(x1, x 2,…, x N).

Este procedimiento, menos usado, lo emplearemos solamente en distribuciones unimodales y poco asimétricas.

 Si CA P<0: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la media es menor que la moda.  Si CA P=0: la distribución es simétrica.  Si CA P>0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la media es mayor que la moda.

Coeficiente de asimetría de Bowley El coeficiente de asimetría de Bowley CAB toma como referencia los cuartiles para determinar si la distribución es simétrica o no. Para aplicar este coeficiente, se supone que el comportamiento de la distribución en los extremos es similar. Sea el conjunto X=(x1, x2,…, xN), la asimetría de Bowley es:

Esta fórmula viene de:

Recordemos que la mediana (Me) es lo mismo que el segundo cuartil (Q2 ).

Por lo que la fórmula del coeficiente de asimetría de Bowley también se puede escribir así: Si CAB <0: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la distancia de la mediana al primer cuartil es mayor que al tercero.

Si CAB =0: la distribución es simétrica, ya que el primer y tercer cuartil están a la misma distancia de la mediana.

Si CAB >0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la distancia de la mediana al tercer cuartil es mayor que al primero

Calculo a partir de series simples y agrupadas de las medidas de dispersión Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia Se emplea la ecuación: Ejemplo ilustrativo: Calcular la desviación media en base a la siguiente tabla sobre las calificaciones de un estudiante en 12 asignaturas evaluadas sobre 10.

de Calificación Cantidad asignaturas 6 7 8 9 10 Total

4 2 3 2 1 12

Solución: Se calcula la media aritmética .

Para Datos Agrupados en Intervalos Se emplea la ecuación:

Donde xm es la marca de clase.

Ejemplo ilustrativo: Calcular la desviación media de un curso de 40 estudiantes en la asignatura de Estadística en base a la siguiente tabla: de Calificación Cantidad estudiantes 2-4 6 4-6 8 6-8 16 8-10 Solución: 10 Total 40 Para calcular la media aritmética se llena la siguiente tabla: Intervalo 2-4 4-6 6-8

f xm f·xm 6 3 18 8 5 40 1 7 112 6

8-10

1 0

Total

4 0

9

90 260

Calculando la media aritmética se tiene:

Para calcular la Varianza es necesario determinar primero la media, la cual se obtiene en función del producto de las Marcas de Clase y las Frecuencias Absolutas en cada clase, como se vio en la sección anterior, por lo cual es necesario complementar la TDF con esta columna.

Realizando el calculo respectivo, la tabla quedaría:

En esta tabla se observa que la suma de los productos de MC*Fabs=39,550, y además que N=340. Sustituyendo los valores en la formula de la Media

QuedarĂ­a

Ahora, si observamos el numerador en la formula de la Varianza

Nos daremos cuenta que debemos incluir nuevas columnas a la TDF, que muestren cada una de las diferencias entre cada marca de clase y la media (MCI Media) y tambiĂŠn que muestren esta diferencia elevada al cuadrado y multiplicada por cada Frecuencia Absoluta. Enseguida se incluyen:

Sustituyendo en la fórmula de la Varianza los datos obtenidos

Desviación Estándar La Desviación Desandar se calcula como la raíz cuadrada de la Varianza.

Coeficiente De Variaciรณn y el Coeficiente de Variaciรณn es

Cálculo y aplicación a partir de series numéricas las medidas de posición .

.

.

Medidas de posición Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son: Cuartiles Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1 , Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Q2 coincide con la mediana.

Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

Número impar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase.

Ejercicios de Cuartiles fi

Fi

[50, 60)

8

8

[60, 70)

10

18

[70, 80)

16

34

[80, 90)

14

48

[90, 100)

10

58

[100, 110)

5

63

[110, 120)

2

65

65

Cálculo del primer cuartil

Cรกlculo del segundo cuartil

Cรกlculo del tercer cuartil

Deciles Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra en la tabla de las frecuencias acumuladas.

 Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. a i es la amplitud de la clase.

Ejercicios de deciles

fi

Fi

[50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100)

8 10 16 14 10

8 18 34 48 58

[100, 110)

5

63

[110, 120)

2

65

65

Cálculo del segundo decil

Cálculo del primer decil

Cรกlculo del tercer decil

Cรกlculo del cuarto decil

Cรกlculo del quinto decil

Cรกlculo del sexto decil

Cรกlculo del septimo decil

Cรกlculo del octavo decil

Cรกlculo del noveno decil

Percentiles Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana

CĂĄlculo de percentiles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

en la tabla de las frecuencias acumuladas .

Li es el lĂ­mite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. a i es la amplitud de la clase

Ejercicios de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla: fi

Fi

[50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100)

8 10 16 14 10

8 18 34 48 58

[100, 110)

5

63

[110, 120)

2

65

65

Percentil 60

Percentil 35

Graficación de los coeficientes de asimetría y de curtosis.

Curtosis La curtosis (o apuntamiento) es una medida de forma que mide cuán escarpada o achatada está una curva o distribución.

Este coeficiente indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que a mayor grado de curtosis, más escarpada (o apuntada) será la forma de la curva.

La curtosis se mide promediando la cuarta potencia de la diferencia entre cada elemento del conjunto y la media, dividido entre la desviación típica elevado también a la cuarta potencia. Sea el conjunto X=(x 1, x 2 , …, x N ), entonces el coeficiente de curtosis será:

En la fórmula se resta 3 porque es la curtosis de una distribución Normal. Entonces la curtosis valdrá 0 para la Normal, tomándose a ésta como referencia.

Cuando los datos están agrupados o agrupados en intervalos, la fórmula del coeficiente de curtosis se convierte en:

Nota: La Estadística es la ciencia que se encarga de recoger, organizar e interpretar los datos. Es la ciencia de los datos. En la vida diaria somos bombardeados continuamente por datos estadísticos: encuestas electorales, economía, deportes, datos meteorológicos, calidad de los productos, audiencias de TV. Necesitamos una formación básica en Estadística para evaluar toda esta información. Pero la utilidad de la Estadística va mucho más allá de estos ejemplos.

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La importancia de la Estadística