Parametrización de curvas

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARCIAL 1 TALLER Nro. 1

TEMA: Parametrización de curvas Grupo N°: 5 Nombres: •ARIAS CAMPOS, Marco Antonio •CHIU CAYAMBE, Vanessa Katherine •YÁNEZ LOAIZA, Erick Darío Nombre del profesor: Dra. Lucía Castro Mgs. NRC: 4389 Fecha: Viernes, 8 de enero 2021

Contenido: Parametrización de Curvas 1.INTRODUCCION A LA PARAMETRIZACION 1.1. La circunferencia 1.2. La elipse 1.3. La hipérbola 1.4. La parábola 2. Objetivos 3. Desarrollo 4. Bibliografía

INTRODUCCION A LA PARAMETRIZACION •

El presente documento tiene como finalidad la explicación de ecuaciones paramétricas, estas tienen una

representación analítica conocida como la parametrización de curvas. Asumiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Qué pasa si nos gustaría comenzar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Esto es ciertamente

posible, y de hecho es posible hacerlo de muchas maneras diferentes para una curva dada. El proceso se conoce como parametrización de una curva.

•

Para el conocimiento de la parametrización de curvas, se debe entender primero las secciones cónicas,

estas son, curvas resultantes de las intersecciones entre un plano y un cono las cuales forman la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

1.1. La circunferencia Es el lugar geomĂŠtrico de los puntos que equidistan a un punto fijo en el plano denominado centro. El radio va a ser la distancia que existe entre el centro y cualquiera de sus puntos externos. Para que una circunferencia quede completamente determinada se debe conocer su centro y radio.

Al conocer el centro y radio de una circunferencia, mediante la algebra podremos dar una ecuaciĂłn que se le conoce como ordinaria, si operamos esta misma podremos obtener su forma general.

Nota: El Punto (h, k) serĂĄn el centro de la circunferencia si esta no se encuentra en el origen.

EcuaciĂłn cuando el centro estĂĄ en el origen → đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘&#x; 2

Figura 1: Circunferencia Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn Ordinaria → (đ?‘Ľ − â„Ž)2 +(đ?‘Ś − đ?‘˜)2 = đ?‘&#x; 2

Figura 2: Circunferencia Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn General → đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ??´đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ś + đ??ś = 0

DemostraciĂłn (đ?‘Ľ − 4)2 +(đ?‘Ś − 5)2 = 16 Para llegar de la forma ordinaria a la forma general:

(đ?‘Ľ − 4)2 +(đ?‘Ś − 5)2 = 16 đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + 16 + đ?‘Ś 2 − 10đ?‘Ś + 25 − 16 = 0 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ľ − 10đ?‘Ś + 25 = 0

Para llegar de la forma general a la forma ordinaria: đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ľ − 10đ?‘Ś + 25 = 0 đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + đ?‘Ś 2 − 10đ?‘Ś = −25

(đ?‘Ľ 2 −8đ?‘Ľ + 16) + (đ?‘Ś 2 − 10đ?‘Ś + 25) = −25 + 16 + 25 (đ?‘Ľ − 4)2 +(đ?‘Ś − 5)2 = 16

1.2. La elipse Es el lugar geomĂŠtrico de los puntos de un plano, cuya suma de distancias a sus 2 puntos fijos(focos) vienen a ser constantes e iguales al eje mayor de la elipse.

Ecuación canónica cuando el centro estå en el origen y la elipse es horizontal →

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

+

đ?‘Ś2 đ?‘?2

=1

Figura 3: Elipse Horizontal Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

Ecuación canónica cuando el centro estå en el origen y la elipse es vertical →

đ?‘Ľ2 đ?‘?2

+

đ?‘Ś2 đ?‘Ž2

=1

Figura 4: Elipse Vertical Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

Ecuación Ordinaria cuando la elipse es horizontal y su centro es CN= (h, k) →

(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2 đ?‘Ž2

+

(đ?‘Śâˆ’đ?‘˜)2 đ?‘?2

=1

Figura 5: Elipse Horizontal Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

Ecuación Ordinaria cuando la elipse es vertical y su centro es CN= (h, k) →

(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2 đ?‘?2

+

(đ?‘Śâˆ’đ?‘˜)2 đ?‘Ž2

=1

Figura 6: Elipse Vertical Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

Para llegar de la forma canĂłnica a la forma general: đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 4 5 EcuaciĂłn General → đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇđ?‘Ś + đ??¸ = 0

Nota: El Punto (h, k) serĂĄn el centro de la elipse si esta no se encuentra en el origen.

5đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 =1 20 5đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 = 20 5đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 − 20 = 0

Para llegar de la forma general a la forma canĂłnica:

DemostraciĂłn đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 4 5

5đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 − 20 = 0 5đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 = 20

á 20

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 4 5 Nota: La demostraciĂłn puede ser aplicada para cualquiera de las ecuaciones de la elipse.

1.3. La HipĂŠrbola Es el lugar geomĂŠtrico de los puntos de un plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual y constante.

Ecuación canónica cuando el centro estå en el origen y la hipÊrbola se abre para los lados. →

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

−

đ?‘Ś2 đ?‘?2

=1

Figura 7: HipĂŠrbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

Ecuación canónica cuando el centro estå en el origen y la hipÊrbola se abre para la parte superior e inferior. →

đ?‘Ľ2 đ?‘?2

−

đ?‘Ś2 đ?‘Ž2

=1

Figura 8: HipĂŠrbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn Ordinaria cuando la hipĂŠrbola se abre para los lados y su centro es CN= (h, k).

→

(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2 đ?‘Ž2

−

(đ?‘Śâˆ’đ?‘˜)2 đ?‘?2

=1

Figura 9: HipĂŠrbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn Ordinaria cuando la hipĂŠrbola se abre para la parte superior e inferior y su centro es CN= (h, k).

→

(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2 đ?‘?2

−

(đ?‘Śâˆ’đ?‘˜)2 đ?‘Ž2

=1

Figura 10: HipĂŠrbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

Para llegar de la forma canĂłnica a la forma general:

EcuaciĂłn General → đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇđ?‘Ś + đ??¸ = 0 OJO: Para que sea hipĂŠrbola, A y B deben ser signos opuestos Nota: El Punto (h, k) serĂĄn el centro de la hipĂŠrbola si esta no se encuentra en el origen.

DemostraciĂłn

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 − =1 4 5 5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 =1 20 5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 = 20 5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 − 20 = 0 Para llegar de la forma general a la forma canĂłnica:

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 − =1 4 5

5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 − 20 = 0 5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 = 20 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 − =1 4 5

á 20

1.3. La ParĂĄbola Es el lugar geomĂŠtrico formado por todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a la distancia de ese punto de la parĂĄbola a una recta llamada directriz.

EcuaciĂłn canĂłnica cuando el centro estĂĄ en el origen y su parĂĄbola es vertical. → đ?‘Ľ 2 = 4đ?‘?đ?‘Ś

Figura 11: ParĂĄbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn canĂłnica cuando el centro estĂĄ en el origen y su parĂĄbola es horizontal.

→ đ?‘Ś 2 = 4đ?‘?đ?‘Ľ

Figura 12: ParĂĄbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn Ordinaria cuando la parĂĄbola se abre para arriba y su centro es CN= (h, k). → (đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 4đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜)

Figura 13: ParĂĄbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

EcuaciĂłn Ordinaria cuando la parĂĄbola se abre para la derecha y su centro es CN= (h, k). → (đ?‘Ś − â„Ž)2 = 4đ?‘?(đ?‘Ľ − đ?‘˜)

Figura 14: ParĂĄbola Elaborado por: YANEZ, E. (2020)

đ?‘Ľ 2 + đ??ˇđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś + đ??š = 0 EcuaciĂłn General → 2 đ?‘Ś + đ??ˇđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś + đ??š = 0 Nota: El Punto (h, k) serĂĄn el centro de la parĂĄbola si esta no se encuentra en el origen.

DemostraciĂłn (đ?‘Ľ − 4)2 = 16(đ?‘Ś − 5)

Para llegar de la forma canĂłnica a la forma general: (đ?‘Ľ − 4)2 = 16(đ?‘Ś − 5) đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + 16 = 16đ?‘Ś − 80

đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ − 16đ?‘Ś + 96 = 0 Para llegar de la forma general a la forma canĂłnica: đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ − 16đ?‘Ś + 96 = 0 đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ = 16đ?‘Ś − 96 đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + 16 = 16đ?‘Ś − 96 + 16 (đ?‘Ľ − 4)2 = 16đ?‘Ś − 80 (đ?‘Ľ − 4)2 = 16(đ?‘Ś − 5)

2.

•

•

•

Objetivos

Determinar cual es la importancia de las secciones cónicas y sus ecuaciones para el aporte al calculo diferencial.

Identificar al momento de eliminar un parámetro si la ecuación resultante es similar a una de las ecuaciones de las secciones canónicas.

Introducir el uso de ecuaciones paramétricas, con el fin de comprender de forma más dinámica el estudio de curvas en el plano

3. DESARROLLO

12) ŕľž

đ?‘Ś=

đ?‘Ľ= đ?‘Ś=

đ?‘Ą đ?‘Ąâˆ’1 đ?‘Ąâˆ’2 đ?‘Ą+1

â&#x2C6;&#x2019;1<đ?&#x2018;Ą <1

đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ą+1

đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ą+1 =đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;2

(t+1) pasa a multiplicar con la y

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 2

Propiedad distributiva en la parte izquierda

đ?&#x2018;Ś + 2 = đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ś

Pasas a un lado con lo que contenga t

đ?&#x2018;Ś + 2 = đ?&#x2018;Ą(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś)

Factor comĂşn

đ?&#x2018;Ą=

đ?&#x2018;Ś+2 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

Pasas a dividir el (1-y)

đ?&#x2018;Ľ=

đ?&#x2018;Ś+2 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś+2 â&#x2C6;&#x2019;1 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

Remplazar t en la ecuaciĂłn de X

đ?&#x2018;Ľ=

đ?&#x2018;Ś+2 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś+2â&#x2C6;&#x2019;1+đ?&#x2018;Ś 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

Hacer mĂ­nimo comĂşn mĂşltiplo

đ?&#x2018;Ľ=

đ?&#x2018;Ś+2 2đ?&#x2018;Ś+1

Simplificar denominadores

2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ś + 2

Pasar a multiplicaciĂłn

2xy+x-y-2=0

EcuaciĂłn general de la hipĂŠrbola

4. BIBLIOGRAFIA Fuentes, P. (2002, Junio 05).

Ecuaciones Paramétricas.

Recuperado de: https://expediente.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus%20Infante%20Murill o%20-%20Geometria%20Analitica/10.%20Ecuaciones%20Parametricas.pdf Rivera, J. & Álvarez, J. (2020). Cálculo vectorial parte I. https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/PDF/Calculo_Vectorial.pdf

Recuperado

de:

Sánchez, R. & Chau, J. (2012). Curvas y Superficies. Recuperado http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/enblancoynegro/article/view/2893/2819

de:

S.N.

(s.f.).

Ecuaciones ordinarias de la parábola.

Recuperado de: http://www.universidadupav.edu.mx/documentos/BachilleratoVirtual/Contenidos_PE_UPAV/ 3Trimestre/MAT%203/unidad3/tema2.pdf