Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -1-
COMBINATÒRIA La combinatòria és la part de les matemàtiques que estudia com es poden combinar alguns elements entre ells complint unes condicions. Dins la combinatòria ens trobarem amb tres grups: 1. Variacions 1.1. Variacions sense repetició 1.2. Variacions amb repetició 2. Permutacions sense repetició 3. Combinacions sense repetició 1. Variacions 1.1. Variacions sense repetició La primera divisió de futbol està formada per 20 equips. De quantes maneres diferents poden quedar classificats al final de temporada els tres primers equips? Per a la posició primera hi ha 20 possibilitats, per a la segons posició solament poden haver-hi 19, i per la tercera únicament queden 18 equips per tant, E1 E2 E3 E4 ... E19 E20 20 equips
E1 E2 E3 E4 ... E19 E20 x
19 equips Total 20x19x18=
E1 E2 E3 E4 ... E19 E20 x
18 equips 6480 possibilitats
Les diferents ordenacions que acabem d’obtenir s’anomenen variacions, en aquest cas variacions de 20 elements presos de tres en tres, es simbolitza de la següents manera: V20,3 Variacions ordinàries o sense repetició de m elements, presos de n en n (m≥n), són els diferents grups que es poden formar amb el m elements de manera que: • A cada grup hi entren n elements diferents • Dos grups són diferents si difereixen el algun element o en el ordre de col·locació. El nombre de variacions ordinàries de m elements presos de n en n es representa per Vm,n i és igual a n factors decreixents consecutius: Vn,m= m.(m-1).(m-2)...(m-n-1)
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -2-
Feu les dues següents activitats: 1. Quants nombres de tres xifres es poden formar amb els dígits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sense que es repeteixi cap xifra? Feu un diagrama d’arbre 2. Al saló d’exposicions hi ha lloc per a quatre vehicles diferents. Una marca té dotze models diferents. Durant quantes setmanes podran exposar formacions diferents, tant pel que fa al model com el que fa a la situació dins l’exposició? 3. Quantes parelles diferents es poden formar amb les cinc vocals sense repetir-les? 4. De quantes maneres es poden assignar els càrrecs de president, secretari i tresorers d’un club de bàsquet sabent que hi ha 12 possibles candidats? 5. Quantes composicions diferents podeu fer a la primera fila de la vostra classe, si a la primera fila caben 8 persones?
1.2. Variacions amb repetició Si llencem a l’aire quatre vegades una moneda, quants resultats diferents podem obtenir? Si representem amb una C la possibilitat de que surt cara i amb una X la possibilitat que surti una creu Primer llançament
Segon llançament
Tercer llançament
Quart llançament
Resultat
C
C X C X C X C X C X C X C X C X
CCCC CCCX CCXC CCXX CXCC CXCX CXXC CXXX XCCC XCCX XCXC XCXX XXCC XXXC XXXC XXXX
C X C C X X C C X X C X X Per tant hi ha 2.2.2.2 = 16 resultats possibles
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -3-
Les diferents ordenacions que acabem d’obtenir s’anomenen variacions amb repetició de dos elements presos de quatre en quatre, i s’escriu VR2,4 Ara continua influint l’ordre però a més els elements es poden repetir Variacions amb repetició de m elements presos de n en n són els diferents grups que es poden formar amb m elements de manera que: • A cada grup entren n elements repetits o no • Dos grups són diferents si difereixen en algun element o en l’ordre de la col·locació • El nombre de variacions amb repetició de m elements presos de n en n es representa per VRm,n i és igual a. VR m,n=mn Feu les següents activitats 1. Es tiren dos daus diferents colors a la vegada. Quants resultats diferents es poden obtenir ? i si es tiren tres daus? 2. Quants nombres de tres xifres es poden formar amb els dígits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 si es poden repetir les xifres? 3. Els telèfons d’una província tenen sis xifres, quants números diferents de telèfon es poden adjudicar? 4. Si tirem un dau trucat de manera que tan sols poden sortir el nombre 1, 2, i 3 quants resultats són possibles si els tirem tres cops?
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -4-
2. Permutacions 2.1. Permutacions sense repetició Una permutació de n elements són els diferents grups que es poden formar de manera que: • Intervenen tots els elements • Dos combinacions les considerem diferents si tenen l’ordre diferent • Es representen per Pn Agafem quatre figures diferents d’un puzzle de manera que encaixen totes perfectament en qualsevol posició formant composicions diferents. Quantes formacions podem fer? F2 F1
F3 F4 F1
F2
F3 F4 F1
F3
F2 F4 F1
F4
F2 F3
F3 F4 F2 F4 F2 F3 F3 F4 F1 F4 F1 F3 F2 F4 F1 F4 F1 F2 F2 F3 F1 F3 F1 F2
F4 F3 F4 F2 F3 F2 F4 F3 F4 F1 F3 F1 F4 F2 F4 F1 F2 F1 F3 F2 F3 F1 F2 F1
F1F2F3F4 F1F2F4F3 F1F3F2F4 F1F3F4F2 F1F4F2F3 F1F4F3F2 F2F1F3F4 F2F1F4F3 F2F3F1F4 F2F3F4F1 F2F4F1F3 F2F4F3F1 F3F1F2F4 F3F1F4F2 F3F2F1F4 F3F2F4F1 F3F4F1F2 F3F4F2F1 F4F1F2F3 F4F1F3F2 F4F2F1F3 F4F2F3F1 F4F3F1F2 F4F3F2F1
4x3x2x1=24 Podem fer 24 combinacions diferents Cada cop que anem col·locant una peça ens queda una peça menys i un lloc menys per col·locar-les Si col·loquem la figura F1 a la primera posició, de quantes maneres diferents podem col·locar les tres altres peces?
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -5-
Si col·loquem la figura F1 i la F2 a la primera i segona posició, quantes combinacions podrem fer? Quantes combinacions obtindríem si el nombre de figures fossin 7, i si fossin 8? Com pots generalitzar el resultats obtinguts anteriorment per un grup de n elements
EXERCICIS 1. Amb les lletres de la paraula PILOTA quantes ordenacions diferents podem fer si intervenen totes les lletres? Quantes d’aquestes combinacions comencen per PIL? Quantes per P? 2. De quantes maneres diferents poden asseure sis persones en una fila de sis butaques? 3. De quantes maneres diferents es poden combinar els set colors de l’arc de Sant Martí? 4. En una banquet de noces s’asseuen 8 persones a la taula presidencial, inclosos els nuvis. De quantes maneres diferents poden seure de manera que els nuvis no els separin? Feu una representació gràfica.
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -6-
3. Combinacions 3.1. combinacions sense repetició Exemple: En Pere, la Maria, en Joan i l’Anna estan comunicats entre ells per mitjà d’una línia telefònica directa. Observeu el diagrama. Maria Pere
Anna
Joan
S’han necessitat 6 línies. Si haguessin estat 5 companys Haurien necessitat 10 línies
Pere
Maria
Joan
Anna Mercè
Les diferents ordenacions que s’han obtingut s’anomenen combinacions. El càlcul de les diferents línies els hem fet de la següent forma Grup de quatre persones unides de dos en dos Línia de 1 a 2 Línia de 1 a 3 Línia de 1 a 4
Línia de 2 a 3 Línia de 2 a 4
Línia de 3 a 4
Les línies recíproques no es conten. Combinacions sense repetició de m elements presos de n en n (m≥n) són els diferents grups que es poden formar amb els m elements, de manera que: • A cada grup entren n elements diferents • Dos grups són diferents si difereixen en algun element però no en l’ordre de la col·locació (p.e: 1234=1342=4321=...) El nombre de combinacions sense repetició de m elements presos de n en n es representa amb la lletra Cm,n i es igual a: C m,n =
En l’exemple anterior seria:
Vm , n Pn
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -7-
Nombre d’elements (m): 4 Grups (n): 2 C 4, 2 =
El càlcul seria C 4, 2 =
V4 , 2 P2
4 ⋅ 3 12 = =6 2! 2
nombre d’elements (m): 5 Grups (n): 2 C 5, 2 =
V5, 2 P2
=
5 ⋅ 4 20 = = 10 2! 2
EXERCICIS 1. En una província hi ha 10 pobles comunicats entre sí. Quants camins s’han de fer perquè sempre hi hagi comunicació entre dos pobles qualsevol? 2. Calcula el nombre de rectes que es poden traçar amb 20 punts situats en un pla de manera que no hi hagi tres punts alineats’ 3. L’església del poble té un rellotge amb dotze campanades, cadascuna de les quals emet un so diferent. En cada toc de campanes sonen totes dotze consecutivament i un sol cop cadascuna. Quants tocs diferents es poden emetre? 4. En una reunió ho ha 30 persones. Es decideix constituir comissiona de sis persones per estudiar un determinat pla. Quantes comissions diferents es poden formar? 5. En una reunió ho ha 17 persones i s’intercanvien salutacions a tots. Quantes se n’han intercanviat?
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -8-
Miscel·lània de problemes 1. De quantes maneres diferents es poden disposar a lama cinc cartes determinades d’una baralla? 2. Una secretaria ha escrit 12 cartes adreçades a 12 persones diferents amb els seus sobres corresponents. A l ‘hora de ficar les cartes dins dels sobres la truquen per telèfon i sense fixar-s’hi, introdueix les cartes dins dels sobres a l’atzar, de quantes maneres diferents pot omplir els sobre? 3. Amb les xifres 6, 7, 8, 9 quants nombres de sis xifres es poden formar? Quants acaben en 6? Quants són múltiples de 2? 4. Calcula quants cap-i-cua hi ha en nombres de vuit xifres? I quants amb els de nou xifres? 5. Un joc molt conegut està format per quatre cubs, en un dels hi ha pintats sis barrets (un a cada cara del cub); a l’altre cub hi ha sis caps; en el tercer sis cossos, i a l’últim sis parells de cames. ¿quants ninots diferents es poden formar? 6. Un estudiant ha de contestar vuit de les deu preguntes d’examen . De quantes maneres diferents pot contestar? I si les tres primeres són obligatòries? 7. Un menú consta de primer plat, segon plat i postres. Si pots escollir entre set primers plats, 8 segons plats i sis postres, quants menús diferents pots triar? 8. Amb nou alumnes de classe es volen formar tres equips de tres alumnes cadascun. De quantes maneres es poden fer?
Matemàtiques 4t ESO
UNITAT: Combinatòria -9-
COMBINATÒRIA
HI HA REPETICIÓ DELS ELEMENTS?
SI
NO
IMPORTA L'ORDRE?
VARIACIO NS AMB REPETICI Ó
VRm,n = m
n
SI
NO
COMBINACIO NS
INTERVENEN TOTS ELS ELEMENTS?
C m ,n = SI
NO
PERMUTACIÓ
VARIACIÓ SENSE REPETICIÓ
Pm = m! Vm , N = m × (m − 1) × (m − 2) n
Vm,n Pn