Wst p.
Wst p do wydania SI.
CZ 1. Równania ró niczkowe zwyczajne
Rozdzia 1. Równania ró niczkowe pierwszego rz du
1.1. Terminologia i równania o zmiennych rozdzielonych
1.1.1. Rozwi zania osobliwe
1.1.2. Pewne zastosowania równa o zmiennych rozdzielonych.
Zadania
1.2. Równanie liniowe pierwszego rz du.
Zadania.
1.3. Równania zupe ne
1.4. Równania jednorodne, Bernoulliego i Riccatiego.
1.4.1. Równanie ró niczkowe jednorodne.
1.4.2. Równanie Bernoulliego
1.4.3. Równanie Riccatiego
Rozdzia 2. Równania ró niczkowe drugiego rz du
2.1. Równanie liniowe drugiego rz du.
2.2. Równanie jednorodne o sta ych wspó czynnikach
2.3. Szczególne rozwi zania równania niejednorodnego.
2.3.1. Metoda uzmienniana sta ych
2.3.2. Metoda przewidywa
2.4. Równanie ró niczkowe Eulera
Rozwi zania w postaci szeregów
2.5.1. Rozwi zania w postaci szeregów pot gowych
2.5.2. Rozwi zania Frobeniusa.
Rozdzia 3. Transformacja Laplace’a
3.1. De nicja i terminologia.
3.2. Rozwi zanie zada warto ci pocz tkowej.
Zadania
3.3. Funkcja Heaviside’a i twierdzenia o przesuni ciu
3.3.1. Pierwsze twierdzenie o przesuni ciu
3.3.2. Funkcja Heaviside’a, impulsy i drugie twierdzenie o przesuni ciu
3.3.3. Wzór Heaviside’a.
Zadania
3.4. Splot.
Zadania
3.5. Impulsy i funkcja delta Diraca.
Zadania
3.6. Uk ady równa ró niczkowych liniowych
Zadania
Rozdzia 4. Problemy Sturma-Liouville’a rozwini cia wzgl dem funkcji w asnych
4.1. Warto ci w asne, funkcje w asne i zagadnienia Sturma-Liouville’a.
Zadania
4.2. Rozwini cie wzgl dem funkcji w asnych.
4.2.1. W asno ci wspó czynników.
Zadania
4.3. Szeregi Fouriera.
4.3.1. Szeregi Fouriera na [ L, L].
4.3.2. Szeregi cosinusów Fouriera na [0, L].
4.3.3. Szereg sinusów Fouriera na [0, L] .
CZ 2. Równania ró niczkowe cz stkowe
Rozdzia 5. Równanie ciep a
5.1. Problemy dyfuzji w medium ograniczonym.
5.1.1. Ko ce utrzymywane w zerowej temperaturze.
5.1.2. Izolowane ko ce.
5.1.3. Jeden promieniuj cy koniec.
5.1.4. Niejednorodne warunki brzegowe
5.1.5. Uwzgl dnienie konwekcji i innych efektów
Zadania
5.2. Równanie cieplne z elementem wymuszaj cym F(x,t).
Zadania
5.3. Równanie ciep a na osi rzeczywistej.
5.3.1. Przeformu owanie rozwi zania na prostej.
Zadania
5.4. Równanie ciep a na pó prostej.
5.4.1. Kontrowersje dotycz ce wieku Ziemi
Zadania
5.5. Dwuwymiarowe równanie ciep a
Zadania
Rozdzia 6. Równanie falowe
6.1. Ruch falowy na ograniczonym przedziale.
6.1.1. Wp yw c na przemieszczenie.
6.1.2. Ruch falowy z wymuszeniem F(x).
Zadania
6.2. Ruch falowy w nieograniczonym o rodku
6.2.1. Równanie falowe na prostej.
6.2.2. Równanie falowe na pó prostej
Zadania
6.3. Rozwi zania d’Alamberta i charakterystyki
Zadania
6.4. Równanie falowe z wymuszeniem K(x,
Zadania
6.5. Równanie falowe w wy szych wymiarach
Zadania
Rozdzia 7. Równanie Laplace’a
7.1. Zagadnienie Dirichleta dla prostok ta.
Zadania
7.2. Zagadnienie Dirichleta na kole
Zadania
7.3. Wzór ca kowy Poissona.
Zadania
7.4. Zagadnienie Dirichleta w obszarze nieograniczonym.
Zadania
7.5. Trójwymiarowe zagadnienie Dirichleta.
Zadania
7.6. Zagadnienie Neumanna. .
7.6.1. Zagadnienie Neumanna dla prostok ta .
7.6.2. Zagadnienie Neumanna dla ko a
7.6.3. Zagadnienie Neumanna dla górnej pó p aszczyzny.
7.7. Równanie Poissona
Rozdzia 8. Funkcje specjalne i zastosowania
8.1. Wielomiany Legendre’a.
8.1.1. Funkcje tworz ce
8.1.2. Relacja rekurencji.
8.1.3. Wzór Rodriguesa
8.1.4. Rozwini cia Fouriera-Legendre’a
8.1.5. Zera wielomianów Legendre’a.
8.1.6. Rozk ad na adowanych cz stek
8.1.7. Temperatura w stanie ustalonym w kuli.
Zadania
8.2. Funkcje Bessela.
8.2.1. Funkcja tworz ca dla Jn (x).
8.2.2. Zale no ci rekurencyjne.
8.2.3. Zera JV (x).
8.2.4. Rozwini cia wzgl dem funkcji w asnych Fouriera-Bessela
Zadania
8.3. Niektóre zastosowania funkcji Bessela.
8.3.1. Drgania membrany ko owej.
8.3.2. Dyfuzja w niesko czonym jednorodnym walcu
8.3.3. Oscylacje w wisz cym sznurze
8.3.4. Krytyczna d ugo pr ta.
Zadania
Rozdzia 9. Metody przekszta ce ca kowych
9.1. Metody transformaty Laplace’a.
9.1.1. Wymuszony ruch falowy na pó prostej
9.1.2. Dystrybucja temperatury w nieograniczonym pr cie.
9.1.3. Nieograniczony pr t z nieci g temperatur na jednym ko cu
9.1.4. Drgania pr ta spr ystego
Zadania
9.2. Metody transformaty Fouriera.
9.2.1. Równanie ciep a na prostej rzeczywistej.
9.2.2. Zagadnienie Dirichleta dla górnej pó p aszczyzny
Zadania
9.3. Metody przekszta cenia sinusowego i cosinusowego Fouriera
9.3.1. Zagadnienie falowe na pó prostej.
Zadania
CZ 3. Macierze i Algebra liniowa
Rozdzia 10. Wektory i przestrze wektorowa R n
10.1. Wektory w p aszczy nie i przestrzeni trójwymiarowej.
10.1.1. Równanie prostej w przestrzeni trójwymiarowej
Zadania
10.2. Iloczyn skalarny.
10.2.1. Równanie p aszczyzny
10.2.2. Rzutowanie jednego wektora na drugi
10.3. Iloczyn wektorowy.
10.4. Wektory w przestrzeni Rn i struktura algebraiczna Rn
10.5. Zbiory ortogonalne i ortogonalizacja.
Zadania
10.6. Uzupe nienia ortogonalne i rzutowanie.
Zadania
Rozdzia 11. Macierze, wyznaczniki, uk ady liniowe
11.1. Wyznaczniki i algebra macierzy
11.1.1. Terminologia i macierze specjalne
11.1.2. Inne spojrzenie na mno enie macierzy.
11.1.3. Zastosowanie do b dzenia losowego w kryszta ach
Zadania
11.2. Operacje na wierszach i macierze zredukowane.
Zadania
11.3. Rozwi zywanie jednorodnych uk adów liniowych.
Zadania
11.4. Rozwi zywanie niejednorodnych uk adów liniowych
Zadania
11.5. Macierze odwrotne.
Zadania
11.6. Wyznaczniki.
11.6.1. Rozwijanie wzgl dem wierszy i kolumn
Zadania
11.7. Regu a Cramera
Zadania
11.8. Twierdzenie macierzowe o drzewach
Zadania
Rozdzia 12. Wartro ci w asne,diagonalizacja, macierze specjalne
12.1. Warto ci w asne i wektory w asne.
12.1.1. Liniowa niezale no wektorów w asnych.
12.1.2. Okr gi Gerszgorina.
Zadania
12.2. Diagonalizacja
Zadania
12.3. Macierze specjalne oraz ich warto ci w asne i wektory w asne.
12.3.1. Macierze symetryczne.
12.3.2. Macierze ortogonalne
12.3.3. Macierze unitarne
12.3.4. Macierze hermitowskie i sko no-hermitowskie
Zadania
12.4. Formy kwadratowe
Zadania
CZ 4. Uk ady równa ró niczkowych
Rozdzia 13. Uk ady równa ró niczkowych liniowych
13.1. Uk ady liniowe.
13.1.1. Struktura rozwi za równania X’ AX.
13.1.2. Struktura rozwi za równania X’ AX G.
Zadania
13.2. Rozwi zanie X’ AX, gdy A jest sta e
13.2.1. Przypadek zespolonych warto ci w asnych
Zadania
13.3. Rozwi zanie z u yciem eksponenta macierzy.
Zadania
13.4. Rozwi zanie X’ AX G dla sta ej A.
13.4.1. Uzmiennianie sta ych
Zadania
13.4.2. Rozwi zania przez diagonalizacj
Zadania
Rozdzia 14. Systemy nieliniowe i analiza jako ciowa
14.1. Uk ady nieliniowe i diagramy/ portery fazowe.
14.1.1. Portrety fazowe jednorodnych uk adów liniowych.
Zadania
14.2. Punkty krytyczne i stabilno
Zadania
14.3. Uk ady prawie-liniowe.
Zadania
14.4. Linearyzacja.
Zadania
CZ 5. Analiza wektorowa
Rozdzia 15. Wektorowy rachunek ró niczkowy
15.1. Funkcje wektorowe jednej zmiennej.
Zadania
15.2. Pr dko , przyspieszenie i krzywizna.
Zadania.
15.3. Gradient pola .
15.3.1. Poziomice, p aszczyzny styczne i proste normalne
Zadania.
15.4. Dywergencja i rotacja
15.4.1. Fizyczna interpretacja dywergencji.
15.4.2. Fizyczna interpretacja rotacji
Zadania.
15.5. Op ywy pola wektorowego
Zadania.
Rozdzia 16. Wektorowy rachunek ca kowy
16.1. Ca ki krzywoliniowe
16.1.1. Ca kowanie wzgl dem uku krzywej
Zadania
16.2. Twierdzenie Greena.
16.2.1. Uogólnienie twierdzenia Greena
Zadania
16.3. Niezale no od drogi i teoria potencja u
Zadania
16.4. Ca ki powierzchniowe
16.4.1. Wektor normalny do powierzchni.
16.4.2. Ca ka powierzchniowa pola skalarnego
Zadania
16.5. Zastosowania ca ek powierzchniowych.
16.5.1. Pole powierzchni.
16.5.2. Masa i rodek masy pow oki.
16.5.3. Strumie p ynu przez powierzchni
Zadania
16.6. Twierdzenie Gaussa o dywergencji.
16.6.1. Prawo Archimedesa.
16.6.2. Równanie ciep a
Zadania
16.7. Twierdzenie Stokesa
16.7.1. Teoria potencja u w przestrzeni trójwymiarowe.
Zadania
CZ 6. Analiza Fouriera
Rozdzia 17. Szeregi Fouriera
17.1. Szereg Fouriera na [ L, L].
17.1.1. Szeregi Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych
17.1.2. Zjawisko Gibbsa
Zadania
17.2. Szeregi sinusowe i cosinusowe
Zadania
17.3. Ca kowanie i ró niczkowanie szeregów Fouriera.
Zadania
17.4. W asno ci wspó czynników Fouriera
17.4.1. Optymalizacja metod najmniejszych kwadratów
Zadania
17.5. Posta fazowa.
Zadania
17.6. Zespolony szereg Fouriera.
Zadania
17.7. Filtrowanie sygna ów. .
Zadania .
Rozdzia 18. Transformata Fouriera
18.1. Transformata Fouriera
18.1.1. Filtrowanie i funkcja delta Diraca. .
18.1.2. Okienkowane przekszta cenia Fouriera
18.1.3. Twierdzenie Shannona o próbkowaniu.
18.1.4. Filtry dolnoprzepustowe i pasmowoprzepustowe.
Zadania
18.2. Transformaty cosinusowe i sinusowe Fouriera.
Zadania
CZ 7. Funkcje zespolone
Rozdzia 19. Liczby zespolone i funkcje zespolone
19.1. Geometria i arytmetyka liczb zespolonych
19.1.1. Liczby zespolone.
19.1.2. P aszczyzna zespolona, modu , sprz enia i posta biegunowa
19.1.3. Sposób porz dkowania liczb zespolonych
19.1.4. Nierówno ci.
19.1.5. Ko a, zbiory otwarte i zbiory domkni te
Zadania
19.2.. Funkcje zespolone
19.2.1. Granice, ci g o i ró niczkowalno
19.2.2. Równania Cauchy’ego-Riemanna.
Zadania
19.3. Funkcje wyk adnicze i trygonometryczne.
19.3.1. Funkcja wyk adnicza.
19.3.2. Funkcje cosinus i sinus
Zadania
19.4. Logarytm zespolony.
Zadania
19.5. Pot gi.
19.5.1. Pierwiastki n-tego stopnia.
19.5.2. Pot gi wymierne
19.5.3. Pot gi zw
Zadania
Rozdzia 20. Ca kowanie w p aszczy nie zespolonej
20.1. Ca ka z funkcji zespolonej.
Zadania
20.2. Twierdzenie Cauchy’ego
Zadania
20.3. Konsekwencje twierdzenia Cauchy’ego
20.3.1. Niezale no drogi
20.3.2. Twierdzenie o deformacji
20.3.3. Wzór ca kowy Cauchy’ego
20.3.4. W asno ci funkcji harmonicznych
20.3.5. Oszacowanie pochodnych.
20.3.6. Rozszerzone twierdzenie o deformacji.
Zadania
Rozdzia 21. Funkcje w postaci szeregów
21.1. Szeregi pot gowe. .
21.1.1. Funkcje pierwotne funkcji ró niczkowalnych
21.1.2. Zera funkcji.
Zadania
21.2. Rozwini cie Laurenta
Zadania
Rozdzia 22. Osobliwo ci i twierdzenie o residuach
22.1. Klasy kacja osobliwo ci.
Zadania
22.2. Twierdzenie o residuach .
Zadania
22.3. Wyznaczanie ca ek rzeczywistych.
22.3.1. Funkcje wymierne.
22.3.2. Funkcje wymierne pomno one przez cosinus lub sinus.
22.3.3. Funkcje wymierne cosinusa i sinusa.
Zadania
Rozdzia 23. Odwzorowania konforemne
23.1. Idea odwzorowania konforemnego
23.1.1. Przekszta cenia biliniowe
23.1.2. Sfera Riemanna.
Zadania
23.2. Konstrukcja odwzorowa konforemnych
23.2.1. Przekszta cenie Schwarza-Christo ela.
Zadania
Notacja
Odpowiedzi do wybranych zada
wi c równanie ró niczkowe ma posta d (x, y) 0. Ogólne rozwi zanie równania ró niczkowego jest okrelone w sposób uwik any przez
e x sin( y) y x 2 c
Aby to sprawdzi , nale y pomy le o y jako o y (x) i zró niczkowa rozwi zanie wzgl dem x, aby otrzyma
e x sin( y) e x cos( y) y y 2 x 0
Teraz nale y rozwi za ze wzgl du na y , aby otrzyma y 2 x e x sin( y) e x cos( y) 1 ,
które jest pierwotnym równaniem ró niczkowym.
Przeanalizujmy dok adniej wybór (x, y) w przyk adzie 1.10. Oto metodyczny sposób na znalezienie (x, y) tak, aby równanie ró niczkowe mia o posta d 0. Chcemy, eby
To wymaga, aby
Zacznijmy od jednego z tych równa , powiedzmy
) 1) dy
e x cos( y) 1 .
y e x cos( y) 1
Aby odwróci to ró niczkowanie cz stkowe wzgl dem y, nale y ca kowa to równanie wzgl dem y, traktuj c x jako sta , aby otrzyma φ ( x , y) (e x cos( y) 1) dy e x sin( y) y g ( x ) , w którym „sta a” ca kowania mo e zale e od x, poniewa pochodna cz stkowa g (x) wzgl dem y wynosi zero. Teraz znamy (x, y) z dok adno ci do pewnej funkcji g (x). Aby znale odpowiedni funkcj g (x) dla tego problemu, nale y zró niczkowa to wyra enie dla (x, y) wzgl dem x i wykorzysta fakt, e ta pochodna cz stkowa musi by równa e x sin ( y) 2x: ∂ φ
∂ x e x sin( y) g ( x ) e x sin( y) 2 x
To wymaga, aby g (x) 2x. Wybierz g (x) x 2, co daje
φ ( x , y) e x sin( y) y x 2 , jak w przyk adzie.
(x, y) jest funkcj potencja u dla równania ró niczkowego M(x, y) N(x, y)y 0, je eli
dφ Mdx Ndy.
Gdy mamy funkcj potencja u, mamy rozwi zanie ogólne uwik ane dane przez (x, y) c. Gdy M N y 0 ma funkcj potencja u, równanie ró niczkowe nazywa si równaniem zupe nym.
Nie ka de równanie ró niczkowe pierwszego rz du jest zupe ne.
Matematyka w kontek cie – para wodna
Zastosowanie pary wodnej w technice ma d ug histori , od silników parowych w XIX wieku do nap du turbin w nowoczesnych elektrowniach. Para wodna s u y do przenoszenia energii w systemie, dlatego dla in ynierów zajmuj cych si cieczami termicznymi istotna jest mo liwo skorelowania zawarto ci energii w parze z mierzalnymi w a ciwo ciami, takimi jak temperatura i ci nienie.
Funkcja entalpii H jest termodynamiczn funkcj potencja u reprezentuj c energi p ynu. Dla wielu praktycznych scenariuszy mo na j zapisa w postaci ró niczek zupe nych, tworz c zupe ne równanie ró niczkowe. Na przyk ad, jedn z form jest:
S (T, P) dT V (T, P) dP
Tutaj entropia S i obj to V s modelowane jako funkcje temperatury i ci nienia. Dla ró nych cieczy mo na do wiadczalnie okre li korelacje dla entropii i obj to ci. Zmiana entalpii p ynu mo e by okre lona poprzez rozwi zanie powy szego równania ró niczkowego.
Poniewa para wodna jest tak szeroko stosowana, opracowano „tabele parowe”, w których zestawiono rozwi zania powy szego równania i innych powi zanych równa , aby zapewni wygodne, oszcz dzaj ce czas odniesienia dla in ynierów i operatorów elektrowni
PRZYK AD 1.11.
Równanie y y 0 jest o zmiennych rozdzielonych i liniowe, a rozwi zaniem ogólnym jest y (x) ce x Ale nie jest równaniem zupe nym i dlatego nie mo e by rozwi zane przez znalezienie funkcji potencja u. W formie ró niczkowej y y 0 to y dx dy 0.
Aby (x, y) by a funkcj potencja u tego równania, potrzebujemy by
Sca kujmy pierwsze z tych równa wzgl dem x, traktuj c y jako sta , aby otrzyma φ ( x , y) ydx xy h ( y)
Nast pnie nale y wyznaczy funkcj h ( y). Jednocze nie mamy
y 1 x h ( y).
Jednak to oznacza, e h ( y) 1 x, co jest niemo liwe, poniewa za o ono, e h ( y) jest funkcj tylko y adna funkcja potencja u dla równania y y 0 nie istnieje.
W wietle tego przyk adu, wygodnie jest dysponowa prostym testem pozwalaj cym okre li , czy równanie M (x, y) N (x, y) y 0 jest zupe ne. Twierdzenie 1.1 dostarcza takiego testu.
TWIERDZENIE 1.1. T
Za ó my, e M, N, N / x i M / y s ci g e dla wszystkich (x, y) w prostok cie R na p aszczy nie o bokach równoleg ych do osi. Wtedy M N y 0 jest zupe ne na R wtedy i tylko wtedy, gdy
dla (x, y) w R
W przyk adzie 1.11 M y i N 1, wi c N / x 0 i M / y 1 dla wszystkich (x, y), a jak wykazali my przez ca kowanie y y 0 równanie nie jest zupe ne.
PRZYK AD 1.12.
Rozwa my problem warto ci pocz tkowej
M Ny (cos( x) 2 xy) ( e y x 2 ) y 0 y (0) 1.
To równanie ró niczkowe nie jest o zmiennych rozdzielonych ani liniowe. W postaci ró niczkowej, (cos( x) 2 xy ) dx ( e y x 2 ) dy 0.
Poniewa
(cos( x ) 2xy )
( ey x 2 )
dla wszystkich (x, y), równanie ró niczkowe jest zupe ne na ka dym prostok cie, a wi c na ca ej p aszczynie. Oznacza to, e równanie ró niczkowe ma funkcj potencja u. Teraz chcemy j znale
Je eli (x, y) jest funkcj potencja u, to
Wybierzmy jedno z równa do ca kowania, powiedzmy
Teraz potrzebujemy
Wtedy g ( x) cos( x), wi c k adziemy g ( x) sin( x), aby otrzyma
( x , y) e y x 2 y sin( x).
Ogólne rozwi zanie równania ró niczkowego jest okre lone w sposób uwik any przez
e y x 2 y sin( x) c
Aby rozwi za problem warto ci pocz tkowej, nale y wybra c tak, aby y (0) 1. Przyjmujemy x 0 i y 1 w rozwi zaniu ogólnym, aby otrzyma e c
Rozwi zanie problemu warto ci pocz tkowej jest w sposób uwik any okre lone przez
e y x 2 y sin. ( x) e
Rysunek 1.7 przedstawia cz wykresu tego szczególnego rozwi zania.
. . Wykres szczególnego rozwi zania z przyk adu 1.12
Rozdzia . . Zadania
W ka dym z zada 1–5 nale y sprawdzi , czy równanie ró niczkowe jest zupe ne. Je eli jest zupe ne w pewnym obszarze R p aszczyzny, nale y znale funkcj potencja u i ogólne rozwi zanie, by mo e uwik ane, które jest prawdziwe dla tego obszaru. Je eli nie jest zupe ne w adnym obszarze, nie nale y podejmowa próby rozwi zania.
1. 2y 2 ye xy (4 xy xe xy 2y ) y 0
2. 4 xy 2 x (2 x 2 3y 2 ) y 0
3. 4 xy 2 x 2 y (2 x 2 3y 2 ) y 0
4. 2cos( x y) 2 x sin( x y ) 2 x sin( x y) y 0
5. 1 x y (3y 2 x ) y 0
W zadaniach 6 i 7 prosz okre li sta tak, aby równanie by o zupe ne. Nast pnie prosz znale ogólne rozwi zanie równania zupe nego.
6. 3x 2 xy α x 2 y α 1 y 0
7. 2 xy 3 3y (3x αx 2 y 2 2αy) y 0
W ka dym z zada 8–12 nale y okre li , czy równanie róniczkowe jest zupe ne na jakim prostok cie zawieraj cym punkt, w którym podany jest warunek pocz tkowy. Je eli jest zupe ne, nale y rozwi za problem warto ci pocz tkowej. W przeciwnym razie nie nale y podejmowa prób rozwi zania. ROZDZIA
T . . Transformaty Laplace'a wybranych funkcji
f ( t)
1
t t n 1
t e at te at
t n e at 1 a b ( e at e bt )
sin(at)
cos(at)
t sin(at)
t cos(at)
e at sin(bt )
e at cos(bt )
sinh(at)
cosh(at)
1 t sin(at)
2 t [1 cos(at)
erfc a 2 t
Matematyka w kontek cie – in ynieria sterowania i oprzyrz dowania
Transformata Laplace’a mo e by stosowana do rozwi zywania równa ró niczkowych w dziedzinie czasu w wielu dziedzinach in ynierii, takich jak zjawiska transportowe (masa, p d, ciep o), zyka j drowa i elektronika. Centralnym elementem in ynierii sterowania i oprzyrz dowania s sterowniki, urz dzenia utrzymuj ce system w po danym stanie, a transformacja Laplace’a jest podstawowym narz dziem w projektowaniu sterowników. Chocia by tempomat w samochodzie lub system sterowania przeznaczony do utrzymania reaktora chemicznego w okre lonej temperaturze.
PRZYK AD 3.1.
Niech f (t ) e at, przy czym a jest niezerow sta . Transformata Laplace’a f ma posta
L[ f ]( s) 0 e st e at dt
0 e( a s) t dt lim k k 0 e( a s) t dt lim k 1 a s e( a s) t k 0 1 a s 1 s a
przy czym s > a, wi c a s < 0. Mo emy równie u y zapisu
F ( s) 1 s a
Transformata Laplace’a jest liniowa, co oznacza, e
L[ f g]( s) F ( s) G ( s)
oraz
L[cf ]( s) cF ( s) dla dowolnej liczby c
Transformata sumy jest sum przekszta canych obiektów, a sta e wynosimy przed transformat . Nie jest to zaskoczeniem ze wzgl du na de nicj transformaty jako ca ki, która ma te w a ciwo ci. W rozwi zywaniu problemów b dziemy musieli nie tylko przekszta ca funkcje, ale równie przechodzi w odwrotn stron od przekszta conej funkcji do funkcji pierwotnej. W tym celu stosuje si notacj 1 , zwan odwrotn transformacj Laplace’a, w której 1[F ] f, gdy [ f ] F. Na przyk ad, z przyk adu 3.1, L 1 1 s a ( t) e at
W tabeli 3.1 nale y czyta od lewej do prawej transformat f (t ), a od prawej do lewej odwrotn transformat F(s); n oznacza nieujemn liczb ca kowit , a a i b s ró nymi sta ymi rzeczywistymi.
Rozdzia . . Zadania
W ka dym z zada 1–5 nale y znale transformat Laplace’a funkcji.
1. f ( t) 3t cos(2t)
2. g( t) e 4t sin(8t)
3. h ( t) 14t sin(7t)
4. w( t) cos(3t) cos(7t)
5. k ( t ) 5t 2e 4t sin(3t)
W ka dym z zada 6–10 nale y znale odwrotn transformat Laplace’a funkcji. 6. R ( s) 7 s2 9
7. Q ( s) s s2 64
8. G ( s) 5 s2 12 4s s2 8
9. P ( s) 1 s 42 1 ( s 3)4
10. F ( s) 5s ( s2 1)2
11. To zadanie dotyczy transformaty Laplace’a funkcji okresowej. Za ó my, e f (t ) ma okres T, co oznacza, e f (t T) f (t ) dla wszystkich t
Matematyka w kontek cie –zastosowania analizy statycznej
WichienTep/iStock
Innowacyjna konstrukcja d wigarów wspornikowych. Problem belki wspornikowej ma rzeczywiste zastosowania w ró nych dziedzinach, od in ynierii strukturalnej po in ynieri lotnicz . Na przyk ad, in ynier budowlany oblicza wewn trzne si y reakcji, aby upewni si , e konstrukcja mo e poradzi sobie z obci eniem w asnej masy oraz wszelkimi dodatkowymi obci eniami, na które mo e by nara ona. Z drugiej strony, in ynier lotniczy mo e modelowa skrzyd o samolotu jako belk no n . Ta krytyczna analiza staje si znacznie bardziej z o ona, poniewa nale y wzi pod uwag si y aerodynamiczne, ale podstawowa idea pozostaje taka sama. Materia y i konstrukcja wybrane przez in yniera musz by w stanie wytrzyma wewn trzne si y reakcji; w przeciwnym razie nast pi awaria.
PRZYK AD 10.7.
Niech S sk ada si ze wszystkich wektorów < x, 5x > w R2 Najpierw O < 0, 0 > jest w S (niech x 0). Ponadto, suma dwóch wektorów w S jest w S, poniewa dla dowolnego a i b,
,5
jest w S. I dla dowolnej liczby rzeczywistej ,
αx ,5(αx)> jest w S. S mo na zwizualizowa jako zbiór punktów na p aszczy nie R2 reprezentowanych przez strza ki wychodz ce od punktu pocz tkowego i poprowadzone wzd u prostej y 5x
PRZYK AD 10.8.
Niech T sk ada si ze wszystkich wektorów w R3 postaci < x, y, 2y 6x >, w których x i y mog by niezale nie dowolnymi liczbami. atwo jest sprawdzi , e T jest podprzestrzeni R3
Wektory w T mo emy sobie wyobrazi jako punkty (x, y, z) w R3, gdzie z 6x 2y. S to punkty na p aszczy nie 6x 2y z 0 przechodz cej przez pocz tek uk adu wspó rz dnych.
PRZYK AD 10.9.
Niech W sk ada si ze wszystkich wektorów F w Rn takich, e F >0 . Wtedy W nie jest podprzestrzeni Rn, poniewa zerowy n-wektor nie nale y do W Jako kolejny negatywny przyk ad, niech H sk ada si ze wszystkich n-wektorów o d ugo ci 1, wraz z wektorem zerowym. Wtedy H zawiera wektor zerowy, ale suma wektorów o d ugo ci 1 nie b dzie mia a d ugo ci 1, a je li ±1, to wielokrotno wektora w H przez nie b dzie mia a d ugo ci 1 i nie b dzie w H. H nie jest podprzestrzeni Rn
Kombinacja liniowa wektorów F1, , Fk w Rn jest sum skalarnych wielokrotno ci tych wektorów: α1 F1 α2 F2 αk Fk ,
lub zwi le, k j 1 α j Fj
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych F1, … , Fk (nad wszystkimi skalarami 1, … , k) nazywamy pow ok liniow tych wektorów lub podprzestrzeni rozpinaj c tych wektorów.
PRZYK AD 10.10. Niech
F1 <2,1, 1,0>, F2 <4,5, 3, 4>, F3 <1, 1,0,2>.
Pow oka tych wektorów sk ada si z wszystkich wektorów w R4 postaci α1 F1 α2 F2 α3 F3
Sumy i wielokrotno ci skalarne wektorów tej postaci s ponownie tej postaci (tylko wspó czynniki mog si zmienia ), a wektor zerowy jest w tej pow oce (prosz wybra ka dy wspó czynnik równy zero).
Bezpo redni konsekwencj de nicji jest to, e pow oka wektorowa zbioru wektorów w Rn jest podprzestrzeni Rn
Podprzestrze Rn mo e mie wiele ró nych pow ok. Na przyk ad, niech S b dzie zbiorem wszystkich wektorów < 1, 1 > w R2. Poniewa mo e by dowoln liczb rzeczywist , w tym zerem, t sam pow ok mo na uzyska , bior c wszystkie skalarne wielokrotno ci < 2, 2 > lub < , >, lub, ogólnie, < k, k > dla dowolnej niezerowej liczby k. W tym przyk adzie S sk ada si ze wszystkich wektorów wzd u prostej y x na p aszczy nie.
PRZYK AD 10.11.
Wektory i, j i k rozpinaj ca y obszar R3. Podobnie jest z wektorami 3i, 2j, k W rzeczywisto ci istnieje niesko czenie wiele zbiorów trzech 3-wektorów, które rozpinaj R3. Na przyk ad niech
F1 i k, F2 i j,. i F3 j k
Wtedy te wektory równie rozpinaj R3, cho mo e to nie by oczywiste. Aby to sprawdzi , mo emy zapisa dowolny wektor 3-wymiarowy V ai bj ck jako V a c b 2 F1 b a c 2 F2 b c a 2 F3 .
Zbiór k wektorów w Rn jest liniowo niezale ny, je li aden z wektorów nie jest liniow kombinacj pozosta ych. W przeciwnym razie wektory s liniowo zale ne W przyk adzie 10.10 trzy podane wektory s liniowo zale ne, poniewa
F2 3F1 2F3,
natomiast w przyk adzie 10.11 ka dy z trzech rozpinanych zbiorów jest liniowo niezale ny. Mo na pomy le o liniowej niezale no ci i zale no ci w kategoriach nadmiarowo ci informacji. W przyk adzie 10.10 trzy wektory rozpinaj podprzestrze W przestrzeni R4. Wektory te w pe ni opisuj t podprzestrze . W rzeczywisto ci jednak dostarczaj one wi cej informacji ni potrzeba, poniewa F1 i F3 same w sobie rozpinaj t sam podprzestrze – ka d kombinacj liniow F1, F2 i F3 mo na zapisa jako kombinacj liniow tylko F1 i F3:
Matematyka w kontek cie – przemieszczenie fali w sko czonym palu
Fale napi cia i napr enia modelowane podczas wbijania pali s niezwykle wa ne, poniewa materia pala mo e by wra liwy na napi cie i napr enie w palu podczas jego wbijania w grunt. W zwi zku z tym modelowanie jest wykonywane z wyprzedzeniem, aby unikn p kni spowodowanych napr eniami w palu, który ostatecznie b dzie fundamentem jakiej konstrukcji. Wi kszo modelowania pali odbywa si przy u yciu jednowymiarowego przybli enia, poniewa stosunek d ugo ci do pola przekroju poprzecznego jest bardzo du y.
Ogólne rozwi zanie analityczne dla przemieszczenia fali w palu o przekroju liniowym, wyprowadzone z rozdzielenia zmiennych i obliczenia wspó czynników Fouriera bn, jest nast puj ce:
y ( x, t ) ∞ n 1 bn sin( λ n x)sin( λ n ct ), gdzie n n /L s warto ciami w asnymi.
Zauwa my, e ta forma jest podobna do ogólnych rozwi za przedstawionych w tym rozdziale. Unikalna charakterystyka zyczna ka dego problemu b dzie skutkowa a ró nymi wariacjami rozwi zania ogólnego.
Rozdzia . . Zadania
W ka dym z zada 1–8 rozwi zagadnienie
ytt c 2 yxx dla0< x < L , t >0,
y (0, t) y (L , t) 0, y (x,0) f (x), yt (x,0) g (x)
dla danych c, L, f (x), g (x).
1. c 1, L 2, f ( x) 0,i
g (x) 2x dla0 x 1, 0dla1< x 2
2. c 3, L 4, f (x) 2sin(πx), g (x) 0
3. c 2, L 3, f ( x) 0, g (x) x (3 x)
4. c 3, L π, f ( x) sin(x), g (x) 1
5. c 2 2, L 2 π, g (x) 0i
f (x) 3x dla0 x π, 6 π 3x dla π < x 2π
6. c 2, L 5, f (x) 0i
g (x)
0dla0 x <4, 5 x dla4 x 5
7. c 3, L 2, f (x) x (x 2)i
g (x)
0dla0 x <1/2idla1< x 2, zdla1/2 x 1
8. c 5, L π, f ( x) sin(2 x), g (x) π x
W zadaniach 9–11 rozwi zagadnienie z warunkami pocz tkowymi i brzegowymi oraz wymuszeniem.
9. ytt 3 yxx 2 x dla0< x <2, t >0,
y (0, t) y (2, t) 0,
y (x,0) 0, yt (x,0) 0
10. ytt 9 yxx x 2 dla0< x <4, t >0,
y (0, t) y (4, t) 0,
y ( x,0) sin(πx), yt (x,0) 0
11. y tt y xx cos(x)dla0< x <2π, t >0,
y (0, t) y (2 π , t ) 0,
y (x,0) 0, yt (x,0) x
12 (a) Rozwi zagadnienie
ytt 4 yxx 5x 3 dla0< x <4, t >0,
y (0, t) y (4, t ) 0, y (x,0) 1 cos(πx), yt (x,0) 0.
(b) Rozwi w przypadku pomini cia sk adnika 5x3
(c) Aby oceni wp yw cz onu 5 x 3 na ruch, wykre l rozwi zania z cz ci (a) i (b) w chwili t 0,4, u ywaj c czterdziestej sumy cz ciowej szeregu rozwi za . Powtórz to dla chwil t 0,8,1,4,2,2,5,3, i 4 sekundy.
13 (a) Rozwi zagadnienie
ytt 7yxx e x dla0< x <2, t >0, y (0, t) y (2, t) 0,
y (x,0) 0, yt (x,0) 5x.
(b) Rozwi w przypadku pomini cia sk adnika e x
(c) Aby oceni wp yw cz onu e x na ruch, wykre l rozwi zania z cz ci (a) i (b) w chwili t 0,4, u ywaj c czterdziestej sumy cz ciowej szeregu rozwi za . Powtórz to dla chwil t 0,8,1,4,2,2,5,3 i 4 sekundy.
14. (a) Rozwi zagadnienie
6.2. Ruch falowy w nieograniczonym o rodku
ytt 4 yxx cos(πx)dla0< x <4, t >0, y (0, t) y (4, t) 0, y (x,0) x (4 x ), yt (x,0). x 2
(b) Rozwi w przypadku pomini cia sk adnika cos ( x).
(c) Aby oceni wp yw cz onu cos ( x) na ruch, wykre l rozwi zania z cz ci (a) i (b) w chwili t 0,4, u ywaj c czterdziestej sumy cz ciowej szeregu rozwi za . Powtórz to dla chwil t 0,8,1,4,2,2,5,3 i 4 sekundy.
15. Drgania poprzeczne jednorodnego pr ta o d ugo ci s modelowane przez równanie ró niczkowe cz stkowe czwartego rz du a 4 ∂ 4 y ∂ x 4 ∂ 2 y ∂ t 2 dla0 0< x < π , t >0
Tutaj y (x, t ) jest przemieszczeniem w czasie t przekroju poprzecznego w punkcie x prostopad ym do osi x, a2 EI / A, gdzie E jest modu em Younga, I jest sta ym momentem bezw adno ci przekroju poprzecznego, jest sta g sto ci , a A jest sta ym polem przekroju poprzecznego.
(a) Przyjmij y (x, t ) X (x) T (t ), aby rozdzieli zmienne w równaniu ró niczkowym.
(b) Wyznacz warto ci sta ej powsta ej przy rozdzielaniu zmiennych oraz X (x) i T (t ) w przypadku swobodnych ko ców, przy czym
yxx (0, t ) yxx (π, t) yxxx (0, t ) yxxx (π, t) 0
dla t > 0.
(c) Wyznacz warto ci sta ej powsta ej przy rozdzielaniu zmiennych oraz X (x) i T (t ) w przypadku podpartych ko ców, przy czym
y (0, t) y (π, t) yxx (0, t) yxx (π , t) 0
dla t > 0. 16. Rozwi równanie telegra stów
ytt Ayt By c 2 yxx dla0< x < L , t >0, w którym A i B s dodatnimi sta ymi,
y (0, t) y (L , t) 0 i
y (x,0) f (x)
Za ó , e
A 2 L2 <4(BL 2 c 2 π 2 ), . . Ruch falowy w nieograniczonym o rodku
Rozwa ymy rozwi zania równania falowego na osi rzeczywistej, a nast pnie na pó prostej [0, ]. Podej cie jest takie samo jak w przypadku równania ciep a, gdzie ca ki Fouriera zast pi y szeregi Fouriera stosowane na przedzia ach ograniczonych.
. . . Ca kowanie wzgl dem d ugo ci uku
W niektórych sytuacjach przydaje si ca ka krzywoliniowa funkcji skalarnej wzgl dem d ugo ci uku wzd u krzywej. Je li (x, y, z) jest funkcj o warto ci rzeczywistej, a C jest g adk krzyw z funkcjami wspó rz dnych x x(t), y y(t), z z(t) dla a t b, zde niujmy
( x, y, z) ds
Uzasadnieniem tej de nicji jest to, e
jest ró niczk d ugo ci uku wzd u krzywej.
(
),
Aby przekona si , jak mo e wygl da taka ca ka krzywoliniowa, niech C b dzie przewodem o g sto ci (x, y, z) w punkcie (x, y, z).
Za ó my, e jest funkcj ci g . Chcemy obliczy mas przewodu.
Strategia polega na podzieleniu drutu na kawa ki, aproksymowaniu masy ka dego kawa ka jako jego g sto ci pomno onej przez jego d ugo , dodaniu ich, a nast pnie wyznaczeniu granicy, gdy d ugo ci tych kawa ków d do zera.
Aby to zrobi , podzielmy [a, b] na n podprzedzia ów o d ugo ci (b a) / n, wstawiaj c punkty
gdzie
dla j 1, 2, … , n (rys. 16.5). Te punkty podzia u [a, b] daj nam punkty Pj ( x (tj), y (tj), z (tj)) na przewodzie, dziel c go na cz ci. Wybieraj c wystarczaj co du e n, mo emy przybli y (x, y, z) tak dok adnie, jak chcemy, na j-tym kawa ku drutu przez jego warto (Pj) na prawym ko cu tego kawa ka. D ugo przewodu pomi dzy Pj 1 i Pj wynosi s s (Pj ) s (Pj 1) dsj ,
gdzie s(t) mierzy d ugo uku wzd u przewodu. G sto tego odcinka przewodu wynosi w przybli eniu (Pj) dsj, wi c masa drutu wynosi w przybli eniu
j 1 δ (Pj ) dsj
Przyjmijmy n , aby otrzyma C δ (x , y, z) masa drutu ds
Podobna argumentacja pokazuje, e rodek masy ( x, y, z ) drutu ma wspó rz dne x 1 m C xδ (x, y, z) ds, y 1 m C yδ (x, y, z) ds, z 1 m C zδ (x, y, z) ds,
gdzie m jest mas przewodu.
Matematyka w kontek cie – anteny z y
Antena pętlowa x a (d) a / λ < 0,5
Pole transmisji promieniowania z anteny pętlowej.
Na podstawie Sisir K. Das i Annapurna Das. Antenna and Wave Propagation (New Delhi: Tata McGraw Hill, 2013). Obserwatorium Arecibo, najwi ksza zakrzywiona antena skupiaj ca na naszej planecie. holdeneye/Shutterstock.com
Projektowanie anten jest wa nym dzia em wspó czesnej in ynierii elektrycznej. Anteny, które transmituj i odbieraj fale elektromagnetyczne, s urz dzeniami umo liwiaj cymi dzia anie satelitów, bezprzewodowego Internetu, transmisji telewizyjnych i telefonów komórkowych. Analiz prostych lub idealnych kon guracji anten mo na przeprowadzi przy u yciu metod rachunku ca kowego wektorowego, o których mowa w tym rozdziale.
Bardziej skomplikowane, nowoczesne projekty anten s zwykle wykonywane za pomoc metod numerycznych i oprogramowania komputerowego. Nadal prowadzone s intensywne badania nad opracowaniem algorytmów dok adnego rozwi zywania równa ca kowych pojawiaj cych si w elektromagnetyce.
PRZYK AD 16.7.
Drut jest wygi ty w kszta t wier okr gu C o wymiarach
x 2cos(t), y 2sin(t), z 3dla0 t π /2.
G sto wynosi (x, y, z) xy 2. Nale y znale mas i rodek masy drutu. Poniewa
ds x (t) 2 y (t) 2 dt 4sin2 (t) 4cos 2 (t) dt 2 dt, masa wynosi
m C xy 2ds π /2 0 2cos(t)[2sin(t)]2 (2) dt
π /2
0 16sin 2 (t)cos(t) dt 16 3
W przypadku 2. mo emy pokaza , e F i F G s ortogonalne, bior c ich iloczyn skalarny:
F · ( F G )
Podobnie, G ( F G ) 0 Rysunek 10.16 ilustruje t ortogonalno . Nierównoleg e wektory F i G wyznaczaj p aszczyzn , a F G jest normalny do tej p aszczyzny, ortogonalny zarówno do F, jak i G. Rysunek ilustruje równie regu prawej r ki. Je li prawa r ka jest trzymana z palcami zorientowanymi od F do G, to wyci gni ty kciuk b dzie wskazywa (w przybli eniu) w kierunku F G. Je li r ka jest odwrócona, a palce s zorientowane od G do F, to kciuk b dzie wskazywa przeciwny kierunek, ilustruj c antyprzemienno iloczynu wektorowego.
G F × G
0. . F G jest prostopad e do F i do G
= F × G
0. . Znajdowanie p aszczyzny przechodz cej przez trzy punkty niewspó liniowe
W asno 4. pozwala wygodnie sprawdzi , czy trzy punkty s wspó liniowe (le na jednej prostej). Punkty P, Q i R s wspó liniowe dok adnie wtedy, gdy wektor F z P do Q jest równoleg y do wektora G z P do R. Zgodnie z w asno ci 4., ma to miejsce, gdy F G O
Fakt, e iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest ortogonalny do obu z nich, sugeruje strategi dla znalezienia równania p aszczyzny, maj c trzy nieliniowe punkty na p aszczy nie (zamiast jednego punktu i wektora normalnego). Maj c P, Q i R jako punkty, nale y wybra jeden z punktów, powiedzmy P, i utworzy wektory F PQ i G PR, od P do Q i od P do R, jak na rysunku 10.17. Wtedy N F G jest prostopad y do p aszczyzny i jest niezerowy, poniewa F i G nie s równoleg e. Daje nam to wektor normalny do p aszczyzny. Mo emy u y tego wektora normalnego i dowolnego z trzech podanych punktów do wyznaczenia równania p aszczyzny.
10.3. Iloczyn wektorowy
Matematyka w kontek cie – pe na analiza statyczna belki wspornikowej
Mo na przeprowadzi pe n analiz statyczn wspomnianej wczeniej belki wspornikowej, korzystaj c z nast puj cych równa równowagi: Fnet x 0, Fnet y 0, Mnet 0
W tym przyk adzie mo na u y F < 2, 2, 0 > N, W < 0, 2, 0 > N, d1 < 1, 0, 0 > m, d2 < 2, 0, 0 > m.
Wcze niej stwierdzili my, e Fx < 2, 0, 0 > N, i Fy < 0, 2, 0 > N. Si a W oddzia uje wy cznie w kierunku y, wi c mo na to wykorzysta do rozwi zania dwóch pierwszych równa równowagi w nastpuj cy sposób:
FR,osiowa Fx 0
FR,osiowa = < 2,0,0>N
FR,ścinania + W + Fy = 0
FR,ścinania = <0, 4,0>N
Zatem ostatni wewn trzn si reakcji, któr nale y obliczy , jest wewn trzny moment zginaj cy. Aby obliczy moment wywo any przez si , nale y u y iloczynu wektorowego. Moment, w swojej najprostszej (i skalarnej) formie, jest de niowany jako si a pomno ona przez prostopad odleg o do punktu, wzgl dem którego przyjmujemy moment. Tutaj przyjmujemy moment wzgl dem lewej strony belki. U ycie iloczynu wektorowego oszcz dza k opotu zwi zanego z rozk adaniem si y na jej sk adowe x i y oraz rozwi zywaniem równania na moment, do którego przyczynia si ka da z tych si . Równanie do rozwi zania dla momentu to:
M r F
Korzystaj c z tego równania i ostatniego równania równowagi, mo na obliczy moment reakcji w belce.
MR W d1 F d2 0
MR < 0, 0, 2 > < 0, 0, 4 > < 0, 0, 6 > N · m
Zauwa my, e konwencj opisywania kierunku momentów jest o , wokó której nast puje obrót. Dlatego momenty wyst puj na osi poza kraw dzi , mimo e jest to zadanie p askie. To rozwi zanie spe nia równie warunek, e wektor b d cy wynikiem iloczynu wektorowego jest zawsze prostopad y do obu oryginalnych wektorów.
PRZYK AD 10.6.
Znajd równanie p aszczyzny zawieraj cej punkty P :( 1,4,2), Q :(6, 2,8)i R :(5, 1 1) U yj tych punktów do znalezienia dwóch wektorów na p aszczy nie, powiedzmy
F PQ 7i 6j 6k i G PR 6i 5j 3. k
Znajd iloczyn wektorowy tych wektorów
N F G 48. i 57j k
N jest normalny do poszukiwanej p aszczyzny. Mamy równie punkt na tej p aszczy nie (wybierz dowolny spo ród P, Q i R). Wybieraj c punkt P, dostajemy równanie p aszczyzny
48( x 1) 57( y 4) ( z 2) 0
lub
Otrzymamy t sam p aszczyzn , u ywaj c punktów Q lub R zamiast P W F y x d 2 d 1
48 x 57y z 182.