Spis treści
1. Wprowadzenie do statystyki
1.1.Nowyparadygmat
1.3.Czymjeststatystyka
1.4.Podstawowepojęcia statystyki
1.5.Podstawowe statystykipróbkowe
1.6.Zadania
2. Po dstawy wnioskowania statystycznego
2.1.Statystykaarachunekprawdopodobieństwa
2.2.Modelstatystyczny
2.3.Podstawowe zagadnieniawnioskowaniastatystycznego
2.4.Podstawowetwierdzeniestatystykimatematycznej
2.5.Statystyki
2.6.Statystykidostateczne...
2.7.Kryteriumfaktoryzacji
2.8.Minimalnastatystykadostateczna
2.9.Wykładniczerodzinyrozkładów
2.10.Zadania
3. Po dstawy teorii estymacji
3.1.Estymatory
3.2.Nieobciążoność
3.3.Efektywnośćestymatorów
3.3.1.Estymatornieobciążonyominimalnejwariancji
3.3.2.InformacjaFishera
3.3.3.NierównośćCraméra–Rao
3.3.4.Efektywnośćestymatorów ........................91
3.3.5.Efektywnośćwzględna
3.3.6.Efektywnośćwmodelachzwielowymiarowąprzestrzeniąparametrów99
3.4.Zgodność
3.5.Błądstandardowyirepróbkowanie
3.5.1.Błądstandardowyestymatora
3.5.2.Jackknife
3.5.3.Bootstrap
3.6.Zadania
4. Meto dy konstrukcji estymatorów
4.1.Metodamomentów...
4.2.Metodanajwiększejwiarogodności
4.3.AlgorytmEM
4.4.Metodakwantyli .................................144
4.5.Kilkasłówoinnychmetodachwyznaczaniaestymatorów
4.6.Zadania
5. Estymacja bayesowska
5.1.Dwaschematywnioskowania
5.2.Odrozkładuaprioridorozkładuaposteriori
5.3.Estymatorbayesowski
5.4.Uogólnioneestymatorybayesowskie
5.5.RozkładaprioriJeffreysa
5.6.Estymatormaksimumaposteriori(MAP)..
5.7.Zadania ......................................173
6. Estymacja przedziałowa 177
6.1.Zmianaoptyki–przykładwprowadzający
6.2.Przedziałyufności ................................179
6.3.Funkcjawiodąca. ................................184
6.4.Przedziałyufnościdlawybranychparametrów
6.4.1.Przedziałyufnościdlawartościoczekiwanej ..............186
6.4.2.Przedziałyufnościdlawariancji
6.4.3.Przedziałyufnościdlawskaźnikastruktury ..............194
6.5.PrzedziałyufnościbudowanenaENW .....................198
6.6.Bootstrapoweprzedziałyufności ........................199
6.7.Estymacjaprzedziałowaozadanejprecyzji ...................202
6.8.Jednostronneprzedziałyufności .........................207
6.9.Obszaryufności ..................................211
6.10.Przedziałyufnościwujęciuteoriodecyzyjnym .................211
6.11.Bayesowskieprzedziałyufności .........................213
6.12.Przedziałypredykcji ...............................216
6.13.Przedziałytolerancji ...............................218
6.14.Zadania ......................................219
7. Po dstawy weryfikacji hip otez
7.1.Pojęciapodstawowe
7.2.Własnościtestówstatystycznych
7.3.Testyjednostajnienajmocniejsze...
7.4.Testynieobciążone ................................248
7.5.Testilorazuwiarogodności ............................252
7.6.Testystatystycznewujęciuteoriodecyzyjnym
7.7.Testybayesowskie
7.8.Zadania
8. Weryfikacja hip otez w praktyce
8.1.Testowaniehipotezwpraktyce
8.2.Podstawowe testyparametryczne–modelejednopróbkowe
8.2.1.Testydlawartościoczekiwanej.
8.2.2.Testydlawariancjiiodchyleniastandardowego
8.2.3.Testydlawskaźnikastruktury
8.3.Podstawowe testyparametryczne–modeledwupróbkowe
8.3.1.Wprowadzenie
8.3.2.Testydladwóchwartościoczekiwanych
8.3.3.Testydladwóchwariancji.
8.3.4.Testydladwóchwskaźnikówstruktury
8.4.Związektestówistotnościzprzedziałamiufności
8.5.Elementyanalizywariancji
8.5.1.JednoczynnikowaANOVA.
8.5.2.DwuczynnikowaANOVA
8.6.Testyzgodności
8.6.1.Wprowadzenie
8.6.2.Ideatestuchi-kwadrat
8.6.3.Testzgodnościchi-kwadrat
8.6.4.Testybazującenadystrybuancieempirycznej
8.6.5.Testynormalności
8.7.Testyzgodnościwproblemachzkilkomapróbkami
8.8.Testjednorodnościchi-kwadrat
8.9.Testniezależnościchi-kwadrat
8.10.Zadania
A.1.Przydatnedefinicje,faktyitwierdzenia
A.2.Podstawowe rozkładyprawdopodobieństwa
A.3.Rozkładywybranychstatystykpróbkowych
Przyjrzyjmysięilorazowifunkcjiprawdopodobieństwarozkładułącznego dladwóchrealizacjipróbki.Otrzymamy Pθ (X1 = x1 ,...,Xn = xn ) Pθ (X1 = y1 ,...,Xn = yn )
którytoilorazniezależyod θ wtedyitylkowtedy,gdy
yi ,czyli gdy T ( )= T ( ).Awięcstatystyka T (X)= n i=1 Xi jestnietylkodostateczna dla θ ,alejesttakżeminimalnąstatystykądostatecznądlarozważanejrodziny rozkładów.
Innymsposobemwyznaczaniaminimalnychstatystykdostatecznychjest odwołaniesiędopojęciazupełności,określonegoponiżej.
DEFINICJA 2.8.5.
Rodzinęrozkładów P = {pθ : θ ∈ Θ},określonąnaprzestrzeni X ,nazywamy zupełną ,jeżelikażdafunkcjamierzalna h,spełniającawarunek Eθ h(X )=0 ∀(θ ∈ Θ),jestrównazeruprawiewszędzie P (tzn. h ≡ 0p.w. P ).
DEFINICJA 2.8.6.
Statystykę T nazywamy statystykązupełną dlarodzinyrozkładów P ,jeżeli rodzinarozkładów P T ,indukowanaprzeztęstatystykę,jestzupełna.
Okazujesię,żezupełnośćstatystykidostatecznejgwarantuje,iżjesttominimalnastatystykadostateczna.Prawdziwejestbowiemnastępującetwierdzenie.
TWIERDZENIE 2.8.2.
Jeżeli T jeststatystykądostatecznąizupełnądlarodzinyrozkładów P ,to T jestminimalnąstatystykądostatecznądlatejrodziny.
Czytelnikówzainteresowanychposzerzeniemwiadomościnatematminimalnychstatystykdostatecznychodsyłamynp.dopodręcznikówBartoszewicza[4], Krzyśki[54]lubZielińskiego[110].Natomiastmywnastępnympodrozdziale opowiemypokrótceotzw.wykładniczychrodzinachrozkładów,dlaktórych kwestiawyznaczaniastatystykdostatecznych(wtymminimalnych)znacznie sięupraszcza.
2.9.Wykładniczerodzinyrozkładów
Pośródmnogościrozkładówprawdopodobieństwaistniejestosunkowobogata rodzina,zwana wykładnicząrodzinąrozkładów,mającawieleciekawych własności,ułatwiającychwnioskowaniestatystyczne,oczymprzekonamysię jeszczewdalszychrozdziałach.Wtymmiejscupokażemy,jakbardzowiedza oprzynależnościdanegorozkładudorodzinywykładniczejpomagawwyznaczaniustatystykdostatecznych.Aotodefinicjawspomnianejrodziny.
DEFINICJA 2.9.1.
Rodzina P = {pθ : θ ∈ Θ} nazywasię k -parametrowąrodzinąwykładniczą ,jeżeli pθ możnaprzedstawićwpostaci
pθ ( )= h( ) exp k j =1 Cj (θ )Tj ( ) B (θ ) ,
gdzie C1 ,...,Ck oraz B sąfunkcjamirzeczywistymiparametru θ ,natomiast T1 ,...,Tk oraz h sąfunkcjamirzeczywistymi.
Przykład 2.9.2. Niech X będziezmiennąlosowązrozkładudwumianowego Bin(n,θ ).Funkcjęprawdopodobieństwa pθ zmiennej X możnazapisaćwnastępującysposób pθ (x)= Pθ (X = x)= n x θ x (1 θ )n x
θ ) .
Namocydefinicji2.9.1,rodzinarozkładówdwumianowych,indeksowanaparametrem θ ∈ (0, 1),jestjednoparametrowąrodzinąwykładniczą,dlaktórej h(x)= n x , C (θ )=ln θ 1 θ , T (x)= x oraz B (θ )= n ln(1 θ ).
Przykład 2.9.3. Niech X oznaczazmiennąlosowązrozkładunormalnego N(μ,σ )orazniech θ =(μ,σ 2 ).Gęstość fθ zmiennej X możnazapisaćnastępująco fθ (x)= 1
2πσ exp (x μ)2 2
copokazuje,iżrodzinarozkładównormalnychonieznanejwartościoczekiwanej inieznanejwariancjitworzydwuparametrowąrodzinęwykładniczą,dlaktórej C1 (θ )= μ σ 2 , C
πσ )oraz h(x)=1.
Wpodobnysposóbmożnawykazać,żewieleinnych,powszechnieznanych rodzinrozkładów,torodzinywykładnicze.Alewartoteżzapamiętać,żewśród popularnychrozkładówsąitakie,którenietworząrodzinwykładniczych,jak naprzykładrodzinarozkładówjednostajnych {U (a,b): a ∈ R,b ∈ R,a<b} czyrodzinarozkładówCauchy’ego {C (a,b): a ∈ R,b ∈ R+ }
Okazujesię,żedlarodzinwykładniczychistniejąnietrywialnestatystyki dostateczne,którenadodatekjestbardzołatwowyznaczyć.Mówiotymnastępującetwierdzenie.
TWIERDZENIE 2.9.1.
Niech X =(X1 ,...,Xn )oznaczapróbkęprostąz k -parametrowejrodzinywykładniczejogęstości
Wówczasistniejenietrywialna k -wymiarowastatystykadostatecznadla θ postaci T (X)= T1 (X),..., Tk (X) ,
gdzie Tj (X)= n i=1 Tj (Xi ), dla j =1,...,k.
Dowód. Gęstośćrozkładułącznegopróbki X =(X1 ,...,Xn ),pochodzącej z k -parametrowejrodzinywykładniczej,mapostać