Spistreści
Wstęp 1
Rozdział1. Przestrzenietopologiczne 3
1.Generowanietopologii,bazyipodbazy3
2.Metryka,wnętrzeidomknięciezbioru16
3.Funkcjeciągłe,homeomorfizmy31
4.Zbiorygęste,rodzinyzbiorówparamirozłącznych40
5.Iloczynkartezjańskiprzestrzenitopologicznych45
6.Grupytopologiczne,przestrzeniejednorodne53
7.Przestrzeniezwarte,lematAlexandera58
8.Przestrzenieregularneinormalne71
9.Zbiorynigdziegęste,zbiorytypu Fσ i Gδ ,zbioryCantora82
10.Produktyprzestrzenitopologicznych,kostkiCantora,kostki Tichonowa96
11.PrzestrzenieTichonowa,twierdzenieozanurzaniu106
12.Graniceodwrotneprzestrzenitopologicznych114
13.Komentarzeiuzupełnienia:Topologicznydowódzasadniczego twierdzeniaalgebry • Funkcjepeanowskie • Funkcjeciągłe aprzestrzenieregularne • Niezmiennikikardynalne • Krata topologii124
Rozdział2. Metryzowalność 141
1.Metrykiwiloczyniekartezjańskimiprodukcie,przestrzeń B(κ)141
2.Metrykiwprzestrzeniach C* (X ) oraz exp(X ) i J(κ) 153
3.Twierdzeniametryzacyjne,lematStone’a,twierdzenieBinga–Nagaty–Smirnowa,twierdzenieKowalsky’ego166
4.PrzestrzenieparazwarteiwłasnośćLindelöfa178
5.Funkcjewielowartościowe,twierdzenieMichaelaoselekcji185
6.Kolektywnanormalnośćimonotonicznanormalność188
7.PrzestrzenieMoore’a,twierdzeniemetryzacyjneBinga193
8.Strukturyjednostajne,pseudometryki,twierdzeniaTukeyaiWeila, jednostajnościwgrupachtopologicznych197
9.Bazyjednostajności,twierdzeniametryzacyjneAleksandrowa–UrysohnaiBirkhoffa–Kakutaniego207
10.Pokryciajednostajne,związkizparazwartością210
11.Komentarzeiuzupełnienia:Wymiernaprzestrzeńuniwersalna Urysohna • LematvanDouwenaobazach • Superzwartość przestrzenimetrycznychzwartych • Przestrzeniemonotonicznie normalne • Przestrzenieliniowotopologiczne218
Rozdział3. Zwartość
239
1.RozszerzenieČecha–Stone’a239
2.Przestrzenieekstremalnieniespójne, F-przestrzenie250
3.Ciągowazwartośćiprzeliczalnazwartość263
4.PrzestrzeniepseudozwarteitwierdzenieGlicksberga270
5.PrzestrzenieHewittaarozszerzenieČecha–Stone’a281
6.KostkiCantoraiprzestrzeniediadyczne,twierdzenieJefimowa286
7.Odwzorowanianakostki,twierdzenieSzapirowskiego300
8.PrzestrzenieDugundjiego,twierdzenieHaydona308
9.Przestrzeń β N \ N,twierdzeniaParowiczenki324
10.Komentarzeiuzupełnienia:Odwzorowaniadoskonałe
• HipotezaJefimowa • Reprezentacjetopologicznekrat ialgebrBoole’a • PrzestrzenieGleasona • Przestrzeniesztywne
• Układydynamiczne • Przestrzeń exp(X ) dlazwartych X
• Pseudozwartośćprzestrzeni X aprzestrzeń βX
Rozdział4. Zupełność
337
367
1.Przestrzeniemetrycznezupełne367
2.Metryzowalnośćwsposóbzupełny,zupełnośćwsensieČecha, twierdzenieNamioki377
3.Przestrzeniepolskie,charakteryzacjaprzestrzeni B(ω )389
4.Zbioryborelowskie,funkcjeborelowskie,własnośćBaire’a, twierdzenieLebesgue’a–Hausdorffa396
5.Topologiaeksponencjalnawprzestrzeni [N]ω ,własnośćRamseya, twierdzenieEllentucka409
6.PrzestrzenieBaire’a,twierdzenieKuratowskiego–Ulama,własność Blumberga415
7.Przestrzeniefunkcyjne,topologiazbieżnościpunktowej wprzestrzeń Cp (X ),twierdzenieRosenthala423
8.Grytopologiczne,graBanacha–Mazura,graChoqueta432
9.Komentarzeiuzupełnienia:Uniwersalnaprzestrzeńpolska • TwierdzenieHurewicza • ZupełnośćwsensieDieudonnégo • FunkcjepierwszejklasyBaire’a,kompaktyRosenthala441
Rozdział5. Spójność
455
1.Spójnośćwogólnychprzestrzeniachtopologicznych455
2.Zbioryrozspajające,składoweiquasi-składowe,rodzaje niespójności462
3.Kontinua,twierdzenieMoore’a,charakteryzacjatopologiczna odcinkaiokręgu471
4.Kontinuanierozkładalne,kompozanty,twierdzenieMazurkiewicza480
5.Przestrzenielokalniespójne,twierdzenieHahna–Mazurkiewicza486
6.Komentarzeiuzupełnienia:Osobliweprzestrzeniespójne (topologiaGolombaitopologiaKircha) • Kompozanty wkontinuachniemetryzowalnych • Odwzorowaniaciągłe kontinuum β [0, ∞) \ [0, ∞)493
Rozdział6. Dodatek 501
Bibliografia551
Skorowidz571
Spissymboli579
Spisnazwisk583
Przykład 2.1.1(przestrzenieeuklidesowe). Metrykaeuklidesowa w Rn jestdladowolnych x =(x1 ,...,xn )i y =(y1 ,...,yn )określonawzorem
Warunekidentyczności,atakżewaruneksymetrii,jestspełnionywsposób oczywisty.Wcelusprawdzeniawarunkutrójkątaweźmydodatkowoelement z =(z1 ,...,zn ).Dlakażdego i ≤ n ustalmy a
xi zi .Wtedy ci = ai + bi ,awięcnamocywarunku(2.1)mamy (d(x, z))2
cokończydowódnierównościtrójkąta.Zgodniezdefinicją,odległośćmiędzy punktamiwprzestrzenieuklidesowejjestrównadługościodcinkałączącegote punkty.Dla n =2wzór(2.2)jestwistocietwierdzeniemPitagorasa. ♦
Wzórnametrykęwiloczyniekartezjańskimprostychrzeczywistychmożna uogólnićnadowolneprzestrzeniemetryczne.
Definicja 2.1.2(metrykawiloczyniekartezjańskim) Niechdlakażdego i ≤ n danabędzieprzestrzeńmetryczna (Xi ,di ).Metrykęwiloczyniekartezjańskim X1 × ... × Xn określamywzorem d(x, y)= n i=1 (di (xi ,yi ))2 1 2 , (2.3)
gdzie x =(x1 ,...,xn ), y =(y1 ,...,yn ) oraz x, y ∈ X1 × × Xn ,inazywamy metrykąkartezjańską
Funkcjadanawzorem(2.3)spełniapostulatymetryki.Warunektrójkątadowodzisięzapomocąnierówności(2.1)analogiczniejakwprzykładzie2.1.1wprzypadkumetrykieuklidesowej.Każdametrykawyznaczatopologię(p.twierdzenie1.2.3),awięcwiloczyniekartezjańskim X = X1 × ... × Xn mamytopologięwyznaczonąprzezmetrykę d danąwzorem(2.3).Jednocześnie mamytamteżtopologięiloczynukartezjańskiegowyznaczonąprzeztopologie generowaneprzezmetrykiwprzestrzeniach Xi ;p.definicja1.5.1.Okazujesię, żesątotesametopologie.Zanimtosprawdzimy,przeanalizujemyzbieżność
1.METRYKIWILOCZYNIEKARTEZJAńSKIMIPRODUKCIE,...143 wiloczyniekartezjańskimprzestrzenimetrycznych.Ponieważ(X,d)jestprzestrzeniąmetryczną,todlakażdegociągu(xn )∞ n=1 ⊆ X ipunktu x0 ∈ X zachodzirównoważność:lim n→∞ xn = x0 wtedyitylkowtedy,gdylim n→∞ d(xn , x0 )= 0;p.lemat1.2.37.
Lemat 2.1.3 Jeśli (xm )∞ m=1 ⊆ X1 × × Xn ,gdzie (Xi ,di ) dla i ≤ n jestprzestrzeniąmetrycznąoraz x0 ∈ X1 × × Xn ,to lim m→∞ d(xm , x0 )=0 wtedyitylkowtedy,gdy lim m→∞ d(xm i ,x0 i )=0 dlakażdego i ≤ n,przyczym xm i oznacza i-tąwspółrzędnąpunktu xm ,a x0 i i-tąwspółrzędnąpunktu x0 .
Dowód. Dladowoduwystarczyzauważyć,żedladowolnychpunktów x, y ∈ X1 × ... × Xn ,gdzie x =(x1 ,...,xn )oraz y =(y1 ,...,yn ),idla dowolnego i ≤ n zachodząnastępującenierówności di (xi ,yi )
Abytenierównościuzasadnić,wystarczyzauważyć,żedladowolnychliczb nieujemnych a1 ,...,an oraz i ≤ n zachodząnierówności ai ≤ n i=1 a 2 i 1 2 ≤ n i=1 ai . (2.5)
Pozostajezastosowaćdefinicjęmetryki d,tzn.warunek(2.3).
Wniosek 2.1.4. Jeśli (X,d) jestprzestrzeniąmetryczną,aw X × X określonajesttopologiailoczynukartezjańskiego,to d : X × X → R jestfunkcją ciągłą.
Dowód. NamocykryteriumHeinego(patrzstr.34)wystarczypokazać, żejeśli(xn ,yn )∞ n=1 ⊆ X × X orazlim n→∞(xn ,yn )=(x0 ,y0 ),to lim n→∞ d(xn ,yn )= d(x0 ,y0 )
Zlematu2.1.3mamylim n→∞ xn = x0 orazlim n→∞ yn = y0 ,awięclim n→∞ d(xn ,x0 )= lim n→∞ d(yn ,y0 )=0.Jednocześniezwarunkutrójkątadostajemy
d(xn ,yn ) d(x0 ,y0 ) ≤ d(xn ,x0 )+ d(yn ,y0 ) ianalogicznie
d(x0 ,y0 ) d(xn ,yn ) ≤ d(xn ,x0 )+ d(yn ,y0 ), awięc0 ≤|d(xn ,yn ) d(x0 ,y0 )|≤ d(xn ,x0 )+ d(yn ,y0 ).Stądwynika,że lim n→∞ |d(xn ,yn ) d(x0 ,y0 )| =0,cokończydowód.
Okazujesię,żeróżnemetrykimogągenerowaćtęsamątopologię.
Definicja 2.1.5(metrykirównoważne) Metrykisąrównoważne,gdytopologieprzezniewyznaczonesąrówne.
Praktycznekryteriumrównoważnościmetrykdajenastępnylemat.
Lemat 2.1.6. Metryki ρ i σ nazbiorze X sąrównoważnewtedyitylko wtedy,gdydlakażdegociągu (xn )∞ n=1 ⊆ X ikażdegopunktu x ∈ X zachodzi równoważność
lim n→∞ ρ(xn ,x)=0 wtedyitylkowtedy,gdy lim n→∞ σ (xn ,x)=0 (∗)
Dowód. Symbolami Tρ oraz Tσ oznaczmytopologiewyznaczoneodpowiednioprzez ρ oraz σ .Załóżmywarunek(∗).Abywykazaćrówność Tρ = Tσ , wystarczysprawdzić,żedlakażdegozbioru A ⊆ X jegodomknięciawobydwutopologiachsątakiesame.Jeśli x ∈ cl A,gdziedomknięcierozumianejest wsensietopologii Tρ ,tonamocydrugiejczęścilematu1.2.33ilematu1.2.37 istniejetakiciąg(xn )∞ n=1 ⊆ A,żelim n→∞ ρ(xn ,x)=0. Wówczas,namocywarunku(∗)dostajemylim n→∞ σ (xn ,x)=0. Tozaśoznacza,że x ∈ cl A,gdzie domknięcierozumianejestwsensietopologii Tσ .Abywykazaćimplikację odwrotną,wystarczyponowniezastosowaćlemat1.2.37iskorzystaćbezpośredniozdefinicjizbieżnościciąguzestr.28.
Namocylematu2.1.3dlakażdegociągu(xm )∞ m=1 ⊆ X1 × ... × Xn mamy lim m→∞ d(xm , x0 )=0wtedyitylkowtedy,gdylim m→∞ di (xm i ,x0 i )=0dlakażdego i ≤ n.Zlematu2.1.6wynikawięcnastępującywniosek.
Wniosek 2.1.7. Metrykawiloczyniekartezjańskim X = X1 × ... × Xn przestrzenimetrycznych (Xi ,di ), i ≤ n, określonadla x, y ∈ X wzorem
d(x, y)= n i=1
di (xi ,yi ), (2.6) przyczym x =(x1 ,...,xn ) i y =(y1 ,...,yn ),jestrównoważnametrycekartezjańskiej.
Wprzypadkupłaszczyznymetryka(2.6)wyrażasięwzorem
d(x, y)= |x1 y1 | + |x2 y2 |, gdzie x =(x1 ,x2 ), y =(y1 ,y2 )inazywanajest metrykąmiejską2,bo wmiastachrealnąodległośćmiędzypunktamiliczysiędługościąodcinków ulicłączącychtepunkty,aoneprzecinająsięzwyklepodkątemprostym.
Twierdzenie 2.1.8. Topologiailoczynukartezjańskiegoprzestrzenimetryzowalnychpokrywasięztopologiąwyznaczonąprzezmetrykęproduktową.
Dowód. Niech TM oznaczatopologięwyznaczonąprzezmetrykęzadaną wzorem(2.3),a TK topologięiloczynukartezjańskiegoprzestrzenitopologicznych X1 ,...,Xn ,przyczymtopologiew Xi wyznaczonesąprzezmetryki di dla i ≤ n.Dlakażdego i ≤ n niechpri : X1 × ... × Xn → Xi będzie rzutowaniem,tzn.pri (x1 ,...,xn )= xi ZkryteriumHeinego(patrzstr.34)
2Wliteraturzeanglojęzycznejużywanyjestteżtermin Manhattandistance zewzględu naukładulicwtejczęściNowegoJorku.
1.METRYKIWILOCZYNIEKARTEZJAńSKIMIPRODUKCIE,...145 ilematu2.1.3wynika,żerzutowaniasąciągłewsensietopologii TM ,awkonsekwencjikażdyzbiórotwartywsensietopologii TK jestotwartywsensietopologii TM .Abywykazaćimplikacjęodwrotną,ustalmykulęotwartąwsensie metryki d zadanejwzorem(2.6),tzn.zbiór
Bd(x,ε)= {(y1 ,...,yn ) ∈ X1 ,...,Xn : d1 (x1 ,y1 )+ ... + dn (xn ,yn ) <ε},
gdzie x =(x1 ,...,xn )oraz ε> 0sądowolnieustalone.Wówczaszbiór
U = Bd1 x1 , ε n × ... × Bdn xn , ε n
jestotwartywsensietopologii TK oraz x ∈ U ⊆ Bd (x,ε) Tokończydowód,bo namocywniosku2.1.7topologiazadanaprzezmetrykęokreślonąwzorem(2.6) jestidentycznaztopologią TM .
Wniosek 2.1.9. Iloczynkartezjańskiskończeniewieluprzestrzenimetryzowalnychjestprzestrzeniąmetryzowalną.
DalszymwnioskiemjestnastępującetwierdzenieFrécheta[168]z1910r.
Twierdzenie 2.1.10. Jeśliprzestrzeńprzeliczalnajestmetryzowalna,to jesthomeomorficznazpodprzestrzeniądomkniętąprzestrzeniliczbwymiernych.
Dowód. Jeśli X jestprzeliczalnąprzestrzeniąmetryzowalną,tonamocy wniosku2.1.9przestrzeń X × Q takżejestprzeliczalnąprzestrzeniąmetryzowalną.Jestteżprzestrzeniąwsobiegęstą,bo Q jestwsobiegęste.Stąd namocytwierdzeniaSierpińskiego(twierdzenie1.9.12)przestrzeń X × Q jest homeomorficznaz Q.Pozostajezauważyć,że X jesthomeomorficznezpodprzestrzeniądomkniętą X ×{0} przestrzeni X × Q.
Ponieważprzestrzeń Q mabazęprzeliczalną,torodzinawszystkichjej podzbiorówotwartychmamoccontinuum.Azatemtakżerodzinawszystkich jejpodzbiorówdomkniętychmamoccontinuum,bodopełnieniezbiorudomkniętegojestzbioremotwartym.Stądiztwierdzenia2.1.10wynika,żemoc rodzinywszystkichróżnych,czyliparaminiehomeomorficznych,przestrzeni przeliczalnychmetryzowalnychjestrównacontinuum.
Wwielukonstrukcjachtopologicznychważnąrolęodgrywafakt,żekażda metrykajestrównoważnapewnejmetryceograniczonej.
Definicja 2.1.11(metrykaograniczona). Metryka d wprzestrzeni X jest ograniczona,gdyistniejetakaliczba a ∈ R,że d(x,y ) ≤ a dladowolnych x,y ∈ X .Mówimywtedy,żemetryka d jest ograniczonaprzezstałą a.
Kolejnylematpodajedwasposobytworzeniametrykograniczonych.
Lemat 2.1.12 Jeślifunkcja d : X × X → R jestmetrykąna X ,totakże funkcje σ,ρ : X × X → X danewzorami
σ (x,y )= d(x,y ) 1+ d(x,y ) oraz ρ(x,y )=min{1,d(x,y )}
sąmetrykamina X ograniczonymiprzez 1 irównoważnymizmetryką d.
KolejnetwierdzenienazwanonacześćCantora,któryudowodnił,żezstępującyciągdomkniętychpodzbiorówzbioruliczbrzeczywistychośrednicach dążącychdozeramaprzekrójjednopunktowy.WprzypadkuogólnymtwierdzenietoznajdujesięwksiążceHausdorffa[215].Kuratowskiwpracy[295] wykazał,żewłasnośćtacharakteryzujezupełność.
Twierdzenie 4.1.7(lematCantora). Przestrzeńmetrycznajestzupełna wtedyitylkowtedy,gdykażdyzstępującyciągjejpodzbiorówdomkniętych ośrednicachdążącychdozeramaprzekrójjednoelementowy.
Dowód. Załóżmy,że(Fn )∞ n=1 jestciągiemzbiorówdomkniętychprzestrzenimetrycznejzupełnej(X,d)orazże Fn+1 ⊆ Fn ⊆ X dlakażdego n ∈ N ilim n→∞ diam(Fn )=0.Jeślidlakażdego n ∈ N wybierzemy xn ∈ Fn , tociąg(xn )∞ n=1 będziespełniałwarunekCauchy’ego.Faktycznie,jeśli ε> 0, toistniejetakie n0 ∈ N,żediam Fn0 <ε.Wówczasdla m,n>n0 mamy d(xm ,xn ) ≤ diam(Fn0 ) <ε,bo Fm ⊆ Fn0 i Fn ⊆ Fn0 .Ponieważprzestrzeń (X,d)jestzupełna,toistniejetakie x ∈ X ,że x =lim n→∞ xn . Wówczasdlakażdego n ∈ N mamy x ∈ cl Fn = Fn ,bo {xm : m ≥ n}⊆ Fn ,awkonsekwencji x ∈ {Fn : n ∈ N}.Jeśli y = x,to d(x,y ) > 0,czyliistniejetakie n ∈ N,że diam Fn <d(x,y ),awięc y/ ∈ Fn .Tokończypierwszączęśćdowodu.
Abywykazaćimplikacjęodwrotną,ustalmyciągCauchy’ego(xn )∞ n=1 irozważmyzbiory Fn =cl{xm : m ≥ n}.Oczywiście Fn+1 ⊆ Fn dlakażdego n ∈ N, aponieważciągspełniawarunekCauchy’ego,todlakażdego ε> 0istnieje takie n0 ∈ N,żediam{xm : m>n0 }≤ ε.Zlematu4.1.6mamydiam Fn0 ≤ ε, awięclim n→∞ diam Fn =0. Ustalmy x ∈ {Fn : n ∈ N}.Ponieważmożemy zakładać,żeciągniejeststały,to x ∈ ({xn : n ∈ N})d .Namocylematu2.2.15 mamywięc x =lim n→∞ xn , cokończydowód.
Jeśli(Fn )∞ n=1 jestciągiemzstępującymzbiorówdomkniętychwprzestrzeni metrycznejzwartej(X,d),to {Fn : n ∈ N} = ∅,bokażdarodzinazstępująca jestscentrowana.Ponadto,jeśliśrednicezbiorów Fn zmierzajądo0,toich przekrójjestjednympunktem.Faktycznie,jeśli x,y ∈ {Fn : n ∈ N},to d(x,y ) < diam(Fn )dlakażdego n ∈ N,awięc x = y .ZlematuCantora wynikazatemnastępującywniosek.
Wniosek 4.1.8 Każdaprzestrzeńmetrycznazwartajestzupełna.
Implikacjaodwrotnaniejestprawdziwa,bonaprzykładprzestrzeń R jest zupełna,aniejestzwarta;p.przykład2.2.17.Zwartośćodzupełnościróżni całkowitaograniczoność,którajestwłasnościąmetryczną.
Definicja 4.1.9(metrykacałkowicieograniczona) Metryka d nazbiorze X jest całkowicieograniczona,gdydlakażdego ε> 0 istniejątakiezbiory
1.PRZESTRZENIEMETRYCZNEZUPEŁNE371
A1 ,...,An ⊆ X ,że A1 ∪ ... ∪ An = X oraz diam Ai ≤ ε dla i ≤ n.Przestrzeń metryczna (X,d) jestwtedycałkowicieograniczona1
Zdefinicjizwartościwynika,żekażdaprzestrzeńmetrycznazwartajest całkowicieograniczona,bodlakażdego ε> 0możnająpokryćskończenie wielomakulamiopromieniu ε 2 .Zauważmy,żekażdapodprzestrzeńprzestrzeni całkowicieograniczonejjestcałkowicieograniczona.
Twierdzenie 4.1.10. Przestrzeńmetrycznajestzwartawtedyitylkowtedy,gdyjestzupełnaicałkowicieograniczona.
Dowód. Załóżmy,że(X,d)jestprzestrzeniązupełną,całkowicieograniczoną.Przypuśćmy,że U jestjejpokryciemotwartym,któreniezawiera pokryciaskończonego.Wówczaskonstruujemyzstępującyciąg {Fn : n ∈ N} niepustychpodzbiorówdomkniętychprzestrzeni X takich,żediam Fn ≤ 1 n dlakażdego n ∈ N izbiory Fn mająwłasność:
(W)żadnaskończonapodrodzinarodziny U niepokrywazbioru Fn . Jako F1 przyjmijmy X .Jeślizbiór Fn jestjużokreślony,tokorzystajączfaktu, żeprzestrzeń X jestcałkowicieograniczona,pokrywamygoskończeniewielomapodzbioramiośrednicyniewiększejniż 1 n+1 .Wówczas,namocyzałożenia indukcyjnego,przynajmniejjedenztychzbiorówniemapokryciaskończonego elementamirodziny U . Zbiórtenprzyjmujemyjako Fn+1 .Ponieważśrednica zbiorujesttakasamajakśrednicajegodomknięcia(p.lemat4.1.6),tomożemyzakładać,żesątozbiorydomknięteniepuste.NamocylematuCantora (p.twierdzenie4.1.7)istniejetakipunkt x ∈ X ,że {Fn : n ∈ N} = {x}.Ponieważ U jestpokryciem,to x ∈ U dlapewnego U ∈U . Istniejetakie n ∈ N, że 1 n < dist(x,X \ U ).Wówczas Fn ⊆ U .Faktycznie,gdybyistniałpunkt y ∈ Fn \ U ,tomielibyśmy
diam Fn ≥ d(x,y ) ≥ dist(x,X \ U ) > 1 n , bo x ∈ Fn .Toprowadzidosprzeczności,bodiam Fn ≤ 1 n .Zbiór Fn jest zatemzawartywpewnymelemenciepokrycia U ,cojestsprzecznezwarunkiem (W).Każdaprzestrzeńzupełnacałkowicieograniczonajestzatemzwarta. Implikacjaodwrotnajestoczywista.
Dlaprzestrzenizupełnychzachodziuogólnienietwierdzenia1.9.30,któremówi,żekażdypodzbiórdomkniętywsobiegęstyprzestrzenimetrycznej zwartejzawierazbiórCantora.
Twierdzenie 4.1.11. Niech f : X → Y będziesurjekcjąciągłąprzestrzeni metrycznejzupełnejnawsobiegęstąprzestrzeńHausdorffa.Wówczasistnieje takizbiórCantora C ⊆ X ,że f C jestzanurzeniemhomeomorficznym.
1Całkowitąograniczonośćmożnateżzdefiniowaćinaczej:dlakażdego ε> 0istniejetaki zbiórskończony {x1 ,...,xn },żedlakażdego x ∈ X istniejetakie k ≤ n,że d(x,xk ) <ε; patrznp.[153].Zbiór {x1 ,...,xn } bywateżnazywany ε-siecią.
Dowód. Zewzoru(1.14)otrzymujemyrówność
X \ Bd A =Int A ∪ Int(X \ A), awięc X \ Bd A jestsumądwóchrozłącznychniepustychzbiorówotwartych. Tonamocylematu5.1.1kończydowód.
Jakpokazujetwierdzenie1.1.23,przestrzeń R liczbrzeczywistychjest przykłademprzestrzenispójnej.Przestrzeniespójnemogąbyćjednakdość osobliwe.Zdefinicjiwynika,żekażdyzbiórztopologiąantydyskretnąjest przestrzeniąspójną.Spójnajesttakżeprzestrzeńopisanawprzykładzie1.1.21. Zbioramiotwartymiwtejprzestrzenisą,opróczzbiorupustego,elementyfiltru wolnego.Szczególnymprzypadkiemjestprzestrzeńztopologiąkoskończoną. Jesttotakaprzestrzeńnieskończona,wktórejjedynymizbioramiotwartymi sąte,któremajądopełnieniaskończone.Takaprzestrzeńjesttypu T1 .Istnieją więcprzestrzeniespójnetypu T1 dowolnejmocy,wszczególnościprzeliczalne. Jeślijednakzażądamy,byprzestrzeńspójnabyładodatkoworegularna,tonie możeonabyćprzeliczalna,boregularneprzestrzenieprzeliczalnesąnormalne(p.twierdzenie1.8.18),czylisąprzestrzeniamiTichonowa,aprzestrzenie spójnemająnastępującąwłasność.
Lemat 5.1.3. KażdaprzestrzeńTichonowaspójnaniejednopunktowama mocconajmniej 2ω .
Dowód. Załóżmy,żeprzestrzeńTichonowa X jestspójnaiwybierzmy punkty x,y ∈ X. Istniejetakafunkcjaciągła f : X → [0, 1],że f (x)=0, a f (y )=1.Ponieważnamocywniosku1.3.12 f [X ]=[0, 1],to |X |≥ 2ω .
Powstajenaturalnepytanie,czyprzestrzeńspójnaprzeliczalnamożebyć przestrzeniąHausdorffa.JakpokazałUrysohn[501],aniecopóźniejBing[58], konstruującodpowiedniprzykład(p.Engelking[153],przykład6.1.6),odpowiedźnatopytaniejesttwierdząca.PrzedstawiamytuprzykładGolomba[192]topologiiHausdorffaspójnejnazbiorzeliczbnaturalnych.Przestrzeń GolombajestmodyfikacjąkonstrukcjiFurstenberga(patrzstr.5)topologii zerowymiarowejnazbiorze Z;patrzstr.11.
Przykład 5.1.4(topologiaGolomba) TopologiaGolombaokreślonajest nazbiorze N liczbnaturalnychijestgenerowanaprzezzbiorypostaci
a + bN = {a + nb : n ∈ N ∪{0}}, przyczymzakładamydodatkowo,żeliczby a i b sąwzględniepierwsze,tzn. takie,żenajwiększywspólnydzielnikNWD(a,b)=1.Azatem topologia Golomba nazbiorze N jestgenerowanaprzezrodzinę
B = {a + bN : a,b ∈ N orazNWD(a,b)=1}.
Rodzina B∪{∅} jestzamkniętazewzględunaskończoneprzekroje.Wystarczy zauważyć,żejeśli x =min((a + bN) ∩ (a + b N)),to (a + bN) ∩ (a + b N)= x + cN, (∗)
przyczym c jestnajmniejsząwspólnąwielokrotnościąliczb b i b . Faktycznie, ponieważistniejątakie n0 ,m0 ∈ N, że x = a + n0 b = a + m0 b ,todlakażdego x + nc ∈ x + cN mamy x + nc = a + n0 b + nc ∈ a + bN, bo c jestwielokrotnością b,azatem x + cN ⊆ a + bN.Podobnie x + cN ⊆ a + b N.Ztegowynika,że x + cN ⊆ (a + bN) ∩ (a + b N) Jednocześnie,jeśli y ∈ (a + bN) ∩ (a + b N), toistniejątakie n1 ,m1 ∈ N, że y = a + n1 b = a + m1 b .Wówczasdostajemy y x =(n1 n0 )b ipodobnie y x =(m1 m0 )b Azatem y x jestwspólną wielokrotnością b i b ,awięcistniejetakie k ∈ N, że y x = kc.Ztegowynika, że y ∈ x + cN,atodowodziwarunku(∗).Zwarunkutegowynika,żerodzina B∪{∅} jestdomkniętazewzględunaskończoneprzekroje,awięcjestbazą topologiiGolomba,bokażdaliczbanaturalnanależydopewnegoelementu rodziny B .
Stąd,żerodzina B jestbaząwynikawszczególności,żeprzestrzeńGolombaspełniawarunekHausdorffa.Wystarczybowiemdladowolnychpunktów x,y ∈ N,gdzie y>x,wybraćliczbępierwszą1 p>y x.Wówczas x + pN i y + pN sąotoczeniamirozłącznymiodpowiedniopunktów x i y .Faktycznie, gdyby x + pn = y + pm dlapewnych n,m ∈ N, tomielibyśmy y x =(n m)p, codajesprzeczność,bo0 <y x<p.
Abywykazać,żezbiór N ztopologiąGolombajestprzestrzeniąspójną, przypuśćmy,że N = U ∪ V ,przyczym U i V sąniepustymizbioramiotwartymi irozłącznymi.Weźmydowolnyzbiór x + aN ∈B zawartyw U .Wykażemy, że aN ⊆ U .Wprzeciwnymrazieistniejetakie n ∈ N, że an ∈ V, aponieważ zbiór V jestotwarty,todlapewnego y + bN ∈B dostajemy an ∈ y + bN ⊆ V. Stądwynika,że an = y + bm dlapewnego m ∈ N, aponieważzachodzi NWD(y,b)=1,totakżeNWD(a,b)=1.Wówczasnamocytwierdzenia chińskiegooresztach2 dostajemy(x + aN) ∩ (y + bN) = ∅,codajesprzeczność, bozbiory U i V sąrozłączne,zzatem aN ⊆ U. Rozumującanalogicznie, stwierdzamy,żeskorodlapewnego y + bN ∈B zachodzi y + bN ⊆ V ,totakże bN ⊆ V .Alewówczas abN ⊆ U ∩ V, codajesprzeczność,bo U ∩ V = ∅ . ♦
Opiszemyterazpewnestandardowemetodykonstruowaniaprzestrzeni spójnych.Jakwiemy(p.twierdzenie1.3.11)funkcjeciągłezachowująspójność,awięcnoweprzestrzeniespójnemożnatworzyć,jakjużpokazanona str.56piszącookręgu,zapomocąoperacjiilorazowania.Przedstawimyterazinnejeszczesposobykonstruowaniaprzestrzenispójnych.Przypomnijmy, żepodzbiór A przestrzeni X jestzbioremspójnym,gdyjakopodprzestrzeń
1ZkonstrukcjiGolomba,podobniejakzkonstrukcjiFurstenberga,wynika,żeliczb pierwszychjestnieskończeniewiele.Wynikatoztego,żedlakażdego p ∈ N zbiór pN jest domknięty,bojegodopełnieniemjestzbiór(1+ pN) ∪ ∪ ((p 1)+ pN).Gdybywięc liczbpierwszychbyłoskończeniewiele,tozbiór N \{1} byłbydomknięty,atowtopologii Golombaniejestmożliwe.
2Twierdzeniechińskieoresztachmówiwszczególności,żejeśliliczby a,b ∈ N sąwzględniepierwsze,tokongruencje z ≡ x(mod a)oraz z ≡ y (mod b)mająwspólnerozwiązanie z ∈ N;p.naprzykładMarzantowicziZarzycki[328].Faktycznie,ponieważ a i b sąwzględnie pierwsze,toistniejątakie α,β ∈ Z,że αa + βb =1.Wystarczyprzyjąć z = αya + βxb + nab, gdzie n jestdostatecznieduże.
Pojęciempierwotnymteoriimnogościjestzbiór,arelacjąpierwotnąrelacja należenia1 oznaczanasymbolem ∈.Zbiorysązmiennymiwformułachteorii mnogości.Oznaczamyjeliteramialfabetułacińskiegolubgreckiego(małymi idużymi).Występująteżliteraalfabetuhebrajskiego: ℵ (czytamy alef)oraz (czytamy beth)i ג (czytamy gimel).Napis x ∈ y oznaczawięc,żezbiór x należydozbioru y lubże x jestelementemzbioru y .Zaprzeczenie ¬(x ∈ y ) oznaczamyjako x/ ∈ y .Wartopodkreślić,żeelementamizbiorówsązbiory, choćniekiedynazywamyjepunktami.Zamiast zbiórzbiorów używamyteż określenia rodzinazbiorów,bypodkreślić,żeelementamisązbiory. Aksjomatyteoriimnogości Zermelo–Fraenkla,czyliteorii ZF nazwanejtakna cześćtwórców,Zermelo[525]iFraenkla[164],sąnastępujące.
(A1)Aksjomatekstensjonalności.Zbiorysąrównewtedyitylkowtedy,gdymajątesameelementy,tzn.
∀x∀y (x = y ⇐⇒∀z (z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y )).
(A2)Aksjomatzbiorupustego.Istniejezbiór,doktóregonienależy żadenelement,tzn.
∃u∀y (y/ ∈ u)
Zaksjomatuekstensjonalnościwynika,żezbiór u spełniającytenwarunek jestjedyny,awięcmożemygooznaczyćsymbolem ∅ powszechnieużywanym wmatematycenaokreślenie zbiorupustego. Każdyzbiórróżnyodzbioru pustegonazywamy niepustym.
(A3)Aksjomatnieskończoności.Istniejetakizbiór s,że ∅∈ s idla każdego x ∈ s istniejetakizbiór y ∈ s,któregoelementamisąwszystkie elementyzbioru x orazsamzbiór x,tzn.
∃s(∅∈ s ∧ (∀x ∈ s)(∃y ∈ s)∀z (z ∈ y ⇐⇒ (z ∈ x ∨ z = x))).
Zaksjomatunieskończonościwynika,żemogąistniećnieskończoneciąginależeńpostaci x ∈ y ∈ z ∈ ...
(A4)Aksjomatregularności2.Wkażdymzbiorzeniepustymistnieje elementminimalnywsensierelacjinależenia,tzn.
∀x(x = ∅ =⇒ (∃y ∈ x)(∀z ∈ x)(z/ ∈ y )).
Zaksjomaturegularnościwynika,żenieistniejąnieskończone„wsteczne" ciąginależeńpostaci ... ∈ x ∈ y ∈ z.
(A5)Aksjomatsumy.Dlakażdegozbioru x istniejezbiór y ,którego elementamisąteitylkotezbiory,którenależądoelementówzbioru x,tzn.
∀x∃y ∀z (z ∈ y ⇐⇒∃(u ∈ x)(z ∈ u)).
Podobniejakpowyżej,namocyaksjomatuekstensjonalnościmożemynapisać, że y = x.Zbiór x nazywamy sumą zbioru x.
1JakpodająKuratowskiiMostowskiwmonografii[301],symbol ∈ wprowadziłPeano jakoskrótgreckiegosłowa στι oznaczającego być
2Nazywanyjestteżaksjomatemufundowaniaodangielskiego foundationaxiom
(A6)Aksjomatzbiorupotęgowego.Dlakażdegozbioru x istniejetaki zbiór y ,któregoelementamisąteitylkotezbiory,którychwszystkieelementy należądo x,tzn.
∀x∃y ∀z (z ∈ y ⇐⇒ (∀u ∈ z )u ∈ x).
Aksjomattenłatwiejwysłowić,posługującsiępojęciem inkluzji,czylizawierania.Dladowolnych z oraz x symbol z ⊆ x oznacza,że ∀u(u ∈ z =⇒ u ∈ x). Mówimywówczas,że z jest podzbiorem zbioru x lubże x jest nadzbiorem zbioru z ,cooznaczamyteżjako z ⊇ x.Jeśli z ⊆ x oraz z = x,topiszemy z x imówimy,że z jestistotniezawartyw x lubże z jestpodzbiorem właściwymzbioru x.Korzystajączaksjomatuekstensjonalności,piszemy,że y = P (x).Zbiór P (x)nazywamy zbiorempotęgowym zbioru x.
Sformułowanedotądaksjomatysąbardzonaturalne,atakżeintuicyjnie jasne.Możnazauważyć,żezbioryprzezniepostulowaneopisanesązapomocą pewnychformuł,jaknaprzykładzbiórpotęgowy P (x),któryjestopisanyza pomocąformuły
z ∈P (x) ⇐⇒ (∀u ∈ z )u ∈ x.
Niekażdaformułaokreślazbiór,naprzykładnieistniejetakizbiór y ,że
∀x(x ∈ y ⇐⇒ x/ ∈ x)
Faktycznie,podstawiając x = y ,otrzymalibyśmyformulę,którajestlogicznie sprzeczna: y ∈ y ⇐⇒ y/ ∈ y .Jesttotzw. antynomiaRussella3.Abyjej uniknąć,wprowadzamypewneograniczenianaformuły,zapomocąktórych definiujemynowezbiory.JeśliwformuleΦzmienne p1 ,...,pn niewystępują wzasięgukwantyfikatorów ∀pi lub ∃pi ,przyczym i ≤ n,topiszemy,że Φ=Φ(p1 ,...,pn )imówimy,żesątozmiennewolnewformuleΦ.Jeśliformuła Φ=Φ(x,y,p1 ,...,pn )spełnianastępującywarunek
∀p1 ... ∀pn ∀x∀y ∀z (Φ(x,y,p1 ,...,pn ) ∧ Φ(x,z,p1 ,...,pn )=⇒ y = z ), (∗) tomówimy,żetaka formułajestfunkcją.JeśliformułaΦ=Φ(p1 ,...,pn ) jestfunkcją,tojakoaksjomat(zależnyodΦ)przyjmujemynastępującezdanie: (A7)Φ Aksjomatzastępowania.
∀pi ∀pn ∀u∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ (∃x ∈ u)Φ(x,y,p1 ,...,pn )), Aksjomattenmówi,żejeślidanaformułaΦjestfunkcją,czylispełniawarunek (∗),toformułaΦprzeprowadzadowolnyzbiórwinnyzbiórwtymsensie,że jeśliwformuleΦ(x,y,p1 ,...,pn )elementy x należądopewnegozbioru,tote elementy y ,dlaktórychzachodzitaformuła,teżtworzązbiór.
3SłynnyparadoksRussellawywarłistotnywpływnakształtowaniesięaksjomatycznej teoriizbiorów.Polegaonnatym,żejeśliprzyjmiemyistnieniezbioruwszystkichzbiorów, powiedzmy u,tostosującdoniegoidoformułyΨ(x) ≡ (x/ ∈ x)twierdzenieowycinaniu (p.poniżejtwierdzenie6.1.1),otrzymamytakizbiór v = {x ∈ u :Ψ(x)},że v ∈ v ⇐⇒ v/ ∈ v , codajelogicznąsprzeczność.WwersjianegdotycznejparadoksRussellamówiotym,że wpewnymmieście(możewSewilli)pewiengolibrodapostanowił,iżbędziegoliłwszystkich tych(itylkotych),którzysamisięniegolą.Natrafiłwtensposóbnanierozwiązywalny problem,boniemógłrozstrzygnąć,czymożesięogolić.
Aksjomatówteoriimnogościjestwięcnieskończeniewiele,boformułteorii mnogościjestnieskończeniewiele.Ostatniaksjomatjestwistocieschematem dlanieskończeniewieluformułnazywanychogólnieaksjomatemzastępowania.
Kwestianiesprzecznościiniezależnościaksjomatówteorii ZFC znajduje siępozatematykątejksiążki.Zainteresowanychtymzagadnieniem,atakże innymiaspektamiteoriimnogościodsyłamdoksiążekJecha[242]iKunena[292]orazdotrzytomowegodziełapodredakcjąForemanaiKanamoriego pt. HandbookofSetTheory.Istniejątakżeinneaksjomatyki4 teoriimnogości, aponadtoaksjomatybywająformułowanewróżnychwersjachikonfiguracjach.WszczególnościKuratowskiiMostowski[303]niezakładająaksjomatu regularności.Wzamianzato,abyzdefiniowaćliczbyporządkoweiliczbykardynalne,wprowadzająaksjomattypówrelacyjnych.
Doaksjomatówteorii ZF zaliczasięzwykleaksjomatwyróżniania(lub wycinania).Możnagoteżwyprowadzićzdotychczasowychaksjomatów.
Twierdzenie 6.1.1(owyróżnianiu). Dlakażdegozbioru u ikażdejformuły Ψ(x,p1 ,...,pn ) istniejetakizbiór v ,że x ∈ v wtedyitylkowtedy,gdy x ∈ u izachodziformuła Ψ(x,p1 ,...,pn ),tzn.
∀u∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ (y ∈ u ∧ Ψ(y,p1 ,...,pn )))
Dowód. Wystarczyzastosowaćaksjomat (A8)Φ doformuły5
Φ(x,y,p1 ,...,pn ) ≡ (Ψ(x,p1 ,...,pn ) ∧ x = y ), którawoczywistysposóbspełniawarunek(∗).
Zbiór v ,októrymmowawtymtwierdzeniu,zapisujemyzwyklewpostaci {x ∈ u :Ψ(x)}.
Korzystającztwierdzeniaowycinaniu,możemyzdefiniowaćiloczyniróżnicę zbiorów,przyjmując u ∩ v
Ztwierdzeniaowycinaniuwynikateżmożliwośćzdefiniowaniailoczynu nietylkodwóch,adowolnejniepustejrodzinyzbiorów.Azatem,jeśli w = ∅, toprzyjmujemy w = {x ∈ a :(∀b ∈ w )(x ∈ b)}, gdzie a jestdowolnymelementemzbioru w .Zbiór w nazywamy iloczynem lubprzecięciem(częściąwspólną)rodzinyzbiorów w .Mamyrównoważność x ∈ w ⇐⇒ (∀b ∈ w )(x ∈ b),
4WdodatkudocytowanejtukilkukrotnieksiążkitopologicznejKelleya[271]opisany jestsystemaksjomatówteoriiMorse’a–Kelleya(teorii MK),którajestwzmocnionąwersją teorii NGB vonNeumanna–Bernaysa–Gödla.
5Ponieważjęzykformalnyteoriimnogościniejesttożsamyzjęzykiem,któregoużywamy mówiąconiej,todlaoznaczeniaidentycznościformułużywamysymbolu ≡
awięcnamocyaksjomatuekstensjonalnościdefinicjailoczynuzbiorównie zależyodtego,któryelementzbioru w wybraliśmy,stosująctwierdzenieowyróżnianiu.Zauważmy,żejeśli ∅∈ w ,to w = ∅.Niemajednakmożliwości zdefiniowaniailoczynurodzinypustej.
Podobniejakwprzypadkuaksjomatuwycinania,takżewystępującyczęsto wśródaksjomatówteoriimnogościaksjomatistnieniaparymożnauzyskać jakokonsekwencjęaksjomatuzastępowania.
Twierdzenie 6.1.2(oparze). Dladowolnych a i b istniejetakizbiór v = {a,b},któregojedynymielementamisą a oraz b,tzn.
∀a∀b∃v ∀z (z ∈ v ⇐⇒ z = a ∨ z = b).
Dowód. Rozważmyformułę
Φ(x,y ) ≡ (x = ∅∧y = a) ∨ (x = P (∅) ∧ y = b)
orazzbiór u = P (P (∅)). Ponieważ P (∅) = ∅,to Φ(x,y ) ∧ Φ(x,z )=⇒ y = z.
Namocyaksjomatuzastępowaniaistniejezatemtakizbiór v ,że y ∈ v ⇐⇒ (∃x ∈ u)(Φ(x,y )).
Jedynymielementamizbioru u są ∅ oraz P (∅),azatemjedynymielementami zbioru v są a oraz b.Tokończydowód.
Zaksjomatuekstensjonalnościwynika,żezbiór v spełniającytezętego twierdzeniajestjedyny.Oznaczamygosymbolem {x,y } inazywamy parą zbiorów x oraz y .Jeśli x = y ,toparę {x,x} = {x} nazywamy singletonem. Korzystajączaksjomatusumyitwierdzeniaoparze,możemyzdefiniować sumędwóchzbiorówwzorem
u ∪ v = {u,v }, czegoniemogliśmywcześniejzrobićzapomocątwierdzeniaowyróżnianiu, takjaktozrobiliśmywprzypadkuiloczynuiróżnicy.Posługującsiępojęciem pary,możemyzaksjomaturegularnościwyprowadzićtwierdzenie,zktórego wszczególnościwynika,żezbiórwszystkichzbiorównieistnieje6.Zewzględu naantynomięodkrytąprzezRussellanazwijmytotwierdzeniejegoimieniem.
Twierdzenie 6.1.3(twierdzenieRussella). Jeśli x ∈ y ,to y/ ∈ x,tzn.
∀x∀y (x ∈ y =⇒ y/ ∈ x)
Wszczególności x/ ∈ x inieistniejezbiórwszystkichzbiorów,tzn.
¬∃v ∀x(x ∈ v ).
6Gdybyistniałzbiórwszystkichzbiorów,toteoria ZF byłabysprzeczna.Faktycznie, jeśliistniejetakizbiór v ,że ∀x(x ∈ v ),tonamocytwierdzeniaowyróżnianiuistniejezbiór u = {x ∈ v : x/ ∈ x}.Wówczas u ∈ u wtedyitylkowtedy,gdy u/ ∈ u,codajelogiczną sprzeczność.