101152986

Spis treści Wstęp

1

Rozdział 1. Przestrzenie topologiczne 1. Generowanie topologii, bazy i podbazy 2. Metryka, wnętrze i domknięcie zbioru 3. Funkcje ciągłe, homeomorfizmy 4. Zbiory gęste, rodziny zbiorów parami rozłącznych 5. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych 6. Grupy topologiczne, przestrzenie jednorodne 7. Przestrzenie zwarte, lemat Alexandera 8. Przestrzenie regularne i normalne 9. Zbiory nigdziegęste, zbiory typu Fσ i Gδ , zbiory Cantora 10. Produkty przestrzeni topologicznych, kostki Cantora, kostki Tichonowa 11. Przestrzenie Tichonowa, twierdzenie o zanurzaniu 12. Granice odwrotne przestrzeni topologicznych 13. Komentarze i uzupełnienia: Topologiczny dowód zasadniczego twierdzenia algebry • Funkcje peanowskie • Funkcje ciągłe a przestrzenie regularne • Niezmienniki kardynalne • Krata topologii

3 3 16 31 40 45 53 58 71 82 96 106 114

124

Rozdział 2. Metryzowalność 141 1. Metryki w iloczynie kartezjańskim i produkcie, przestrzeń B(κ) 141 153 2. Metryki w przestrzeniach C* (X) oraz exp(X) i J(κ) 3. Twierdzenia metryzacyjne, lemat Stone’a, twierdzenie Binga– Nagaty–Smirnowa, twierdzenie Kowalsky’ego 166 4. Przestrzenie parazwarte i własność Lindelöfa 178 5. Funkcje wielowartościowe, twierdzenie Michaela o selekcji 185 6. Kolektywna normalność i monotoniczna normalność 188 7. Przestrzenie Moore’a, twierdzenie metryzacyjne Binga 193 8. Struktury jednostajne, pseudometryki, twierdzenia Tukeya i Weila, jednostajności w grupach topologicznych 197 9. Bazy jednostajności, twierdzenia metryzacyjne Aleksandrowa– Urysohna i Birkhoffa–Kakutaniego 207 10. Pokrycia jednostajne, związki z parazwartością 210 iii

iv

SPIS TREŚCI

11. Komentarze i uzupełnienia: Wymierna przestrzeń uniwersalna Urysohna • Lemat van Douwena o bazach • Superzwartość przestrzeni metrycznych zwartych • Przestrzenie monotonicznie normalne • Przestrzenie liniowo topologiczne 218 Rozdział 3. Zwartość 1. Rozszerzenie Čecha–Stone’a 2. Przestrzenie ekstremalnie niespójne, F-przestrzenie 3. Ciągowa zwartość i przeliczalna zwartość 4. Przestrzenie pseudozwarte i twierdzenie Glicksberga 5. Przestrzenie Hewitta a rozszerzenie Čecha–Stone’a 6. Kostki Cantora i przestrzenie diadyczne, twierdzenie Jefimowa 7. Odwzorowania na kostki, twierdzenie Szapirowskiego 8. Przestrzenie Dugundjiego, twierdzenie Haydona 9. Przestrzeń βN \ N, twierdzenia Parowiczenki 10. Komentarze i uzupełnienia: Odwzorowania doskonałe • Hipoteza Jefimowa • Reprezentacje topologiczne krat i algebr Boole’a • Przestrzenie Gleasona • Przestrzenie sztywne • Układy dynamiczne • Przestrzeń exp(X) dla zwartych X • Pseudozwartość przestrzeni X a przestrzeń βX

239 239 250 263 270 281 286 300 308 324

337

Rozdział 4. Zupełność 367 1. Przestrzenie metryczne zupełne 367 2. Metryzowalność w sposób zupełny, zupełność w sensie Čecha, twierdzenie Namioki 377 3. Przestrzenie polskie, charakteryzacja przestrzeni B(ω) 389 4. Zbiory borelowskie, funkcje borelowskie, własność Baire’a, twierdzenie Lebesgue’a–Hausdorffa 396 5. Topologia eksponencjalna w przestrzeni [N]ω , własność Ramseya, twierdzenie Ellentucka 409 6. Przestrzenie Baire’a, twierdzenie Kuratowskiego–Ulama, własność Blumberga 415 7. Przestrzenie funkcyjne, topologia zbieżności punktowej 423 w przestrzeń Cp (X), twierdzenie Rosenthala 8. Gry topologiczne, gra Banacha–Mazura, gra Choqueta 432 9. Komentarze i uzupełnienia: Uniwersalna przestrzeń polska • Twierdzenie Hurewicza • Zupełność w sensie Dieudonnégo • Funkcje pierwszej klasy Baire’a, kompakty Rosenthala 441 Rozdział 5. Spójność 1. Spójność w ogólnych przestrzeniach topologicznych 2. Zbiory rozspajające, składowe i quasi-składowe, rodzaje niespójności 3. Kontinua, twierdzenie Moore’a, charakteryzacja topologiczna odcinka i okręgu

455 455 462 471

SPIS TREŚCI

4.

5.

6.

v

Kontinua nierozkładalne, kompozanty, twierdzenie Mazurkiewicza 480 Przestrzenie lokalnie spójne, twierdzenie Hahna–Mazurkiewicza 486 Komentarze i uzupełnienia: Osobliwe przestrzenie spójne (topologia Golomba i topologia Kircha) • Kompozanty w kontinuach niemetryzowalnych • Odwzorowania ciągłe kontinuum β[0, ∞) \ [0, ∞) 493

Rozdział 6. Dodatek 1. Zbiory 2. Liczby porządkowe 3. Liczby kardynalne

501 501 512 524

Bibliografia

551

Skorowidz

571

Spis symboli

579

Spis nazwisk

583

142

METRYZOWALNOŚĆ

Przykład 2.1.1 (przestrzenie euklidesowe). Metryka euklidesowa w Rn jest dla dowolnych x = (x1 , . . . , xn ) i y = (y1 , . . . , yn ) określona wzorem d(x, y) =

n

1 2

2

(xi − yi )

(2.2)

i=1

Warunek identyczności, a także warunek symetrii, jest spełniony w sposób oczywisty. W celu sprawdzenia warunku trójkąta weźmy dodatkowo element z = (z1 , . . . , zn ). Dla każdego i ≤ n ustalmy ai = xi − yi , bi = yi − zi oraz ci = xi − zi . Wtedy ci = ai + bi , a więc na mocy warunku (2.1) mamy (d(x, z))2 =

n

(xi − zi )2 =

i=1

+

n

n

i=1

b2i ≤

i=1

n

a2i + 2

i=1

n

c2i = n

i=1

a2i

i=1

n

(ai + bi )2 =

1 n 2

a2i + 2

i=1

1 2

b2i

+

i=1

n

ai bi +

i=1 n

b2i =

i=1

⎛ ⎛ 1 n 1 ⎞2 1 n 1 ⎞2 n n 2 2 2 2

a2 + b2 ⎠ = ⎝ (xi − yi )2 + (yi − zi )2 ⎠ = =⎝ i

i=1

i

i=1

i=1

i=1

= (d(x, y) + d(y, z))2 , co kończy dowód nierówności trójkąta. Zgodnie z definicją, odległość między punktami w przestrzeni euklidesowej jest równa długości odcinka łączącego te punkty. Dla n = 2 wzór (2.2) jest w istocie twierdzeniem Pitagorasa. ♦ Wzór na metrykę w iloczynie kartezjańskim prostych rzeczywistych można uogólnić na dowolne przestrzenie metryczne.

Definicja 2.1.2 (metryka w iloczynie kartezjańskim). Niech dla każdego i ≤ n dana będzie przestrzeń metryczna (Xi , di ). Metrykę w iloczynie kartezjańskim X1 × . . . × Xn określamy wzorem d(x, y) =

n

1 2

(di (xi , yi ))

2

,

(2.3)

i=1

gdzie x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) oraz x, y ∈ X1 ×. . .×Xn , i nazywamy metryką kartezjańską.

Funkcja dana wzorem (2.3) spełnia postulaty metryki. Warunek trójkąta dowodzi się za pomocą nierówności (2.1) analogicznie jak w przykładzie 2.1.1 w przypadku metryki euklidesowej. Każda metryka wyznacza topologię (p. twierdzenie 1.2.3), a więc w iloczynie kartezjańskim X = X1 ×. . .×Xn mamy topologię wyznaczoną przez metrykę d daną wzorem (2.3). Jednocześnie mamy tam też topologię iloczynu kartezjańskiego wyznaczoną przez topologie generowane przez metryki w przestrzeniach Xi ; p. definicja 1.5.1. Okazuje się, że są to te same topologie. Zanim to sprawdzimy, przeanalizujemy zbieżność

1. METRYKI W ILOCZYNIE KARTEZJAńSKIM I PRODUKCIE, ...

143

w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych. Ponieważ (X, d) jest prze0 strzenią metryczną, to dla każdego ciągu (xn )∞ n=1 ⊆ X i punktu x ∈ X zachodzi równoważność: lim xn = x0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim d(xn , x0 ) = n→∞ n→∞ 0; p. lemat 1.2.37.

Lemat 2.1.3. Jeśli (xm )∞ m=1 ⊆ X1 × . . . × Xn , gdzie (Xi , di ) dla i ≤ n jest przestrzenią metryczną oraz x0 ∈ X1 × . . . × Xn , to lim d(xm , x0 ) = 0 m→∞

0 m wtedy i tylko wtedy, gdy lim d(xm i , xi ) = 0 dla każdego i ≤ n, przy czym xi m→∞

oznacza i-tą współrzędną punktu xm , a x0i i-tą współrzędną punktu x0 .

Dowód. Dla dowodu wystarczy zauważyć, że dla dowolnych punktów x, y ∈ X1 × . . . × Xn , gdzie x = (x1 , . . . , xn ) oraz y = (y1 , . . . , yn ), i dla dowolnego i ≤ n zachodzą następujące nierówności di (xi , yi ) ≤ d(x, y) ≤

n

di (xi , yi ).

(2.4)

i=1

Aby te nierówności uzasadnić, wystarczy zauważyć, że dla dowolnych liczb nieujemnych a1 , . . . , an oraz i ≤ n zachodzą nierówności ai ≤

n

1

a2i

i=1

2

≤

n

ai .

(2.5)

i=1

Pozostaje zastosować definicję metryki d, tzn. warunek (2.3).

Wniosek 2.1.4. Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, a w X × X określona jest topologia iloczynu kartezjańskiego, to d : X × X → R jest funkcją ciągłą.

Dowód. Na mocy kryterium Heinego (patrz str. 34) wystarczy pokazać, że jeśli (xn , yn )∞ n=1 ⊆ X × X oraz lim (xn , yn ) = (x0 , y0 ), to n→∞

lim d(xn , yn ) = d(x0 , y0 ).

n→∞

Z lematu 2.1.3 mamy lim xn = x0 oraz lim yn = y0 , a więc lim d(xn , x0 ) = n→∞ n→∞ n→∞ lim d(yn , y0 ) = 0. Jednocześnie z warunku trójkąta dostajemy n→∞

d(xn , yn ) − d(x0 , y0 ) ≤ d(xn , x0 ) + d(yn , y0 ) i analogicznie d(x0 , y0 ) − d(xn , yn ) ≤ d(xn , x0 ) + d(yn , y0 ), a więc 0 ≤ |d(xn , yn ) − d(x0 , y0 )| ≤ d(xn , x0 ) + d(yn , y0 ). Stąd wynika, że

lim |d(xn , yn ) − d(x0 , y0 )| = 0, co kończy dowód.

n→∞

Okazuje się, że różne metryki mogą generować tę samą topologię.

Definicja 2.1.5 (metryki równoważne). Metryki są równoważne, gdy topologie przez nie wyznaczone są równe.

Praktyczne kryterium równoważności metryk daje następny lemat.

144

METRYZOWALNOŚĆ

Lemat 2.1.6. Metryki ρ i σ na zbiorze X są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn )∞ n=1 ⊆ X i każdego punktu x ∈ X zachodzi równoważność lim ρ(xn , x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim σ(xn , x) = 0.

n→∞

n→∞

(∗)

Dowód. Symbolami Tρ oraz Tσ oznaczmy topologie wyznaczone odpowiednio przez ρ oraz σ. Załóżmy warunek (∗). Aby wykazać równość Tρ = Tσ , wystarczy sprawdzić, że dla każdego zbioru A ⊆ X jego domknięcia w obydwu topologiach są takie same. Jeśli x ∈ cl A, gdzie domknięcie rozumiane jest w sensie topologii Tρ , to na mocy drugiej części lematu 1.2.33 i lematu 1.2.37 lim ρ(xn , x) = 0. Wówczas, na mocy waistnieje taki ciąg (xn )∞ n=1 ⊆ A, że n→∞ runku (∗) dostajemy lim σ(xn , x) = 0. To zaś oznacza, że x ∈ cl A, gdzie n→∞ domknięcie rozumiane jest w sensie topologii Tσ . Aby wykazać implikację odwrotną, wystarczy ponownie zastosować lemat 1.2.37 i skorzystać bezpośrednio z definicji zbieżności ciągu ze str. 28.

Na mocy lematu 2.1.3 dla każdego ciągu (xm )∞ m=1 ⊆ X1 × . . . × Xn mamy 0 lim d(xm , x0 ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim di (xm i , xi ) = 0 dla każdego m→∞ m→∞ i ≤ n. Z lematu 2.1.6 wynika więc następujący wniosek.

Wniosek 2.1.7. Metryka w iloczynie kartezjańskim X = X1 × . . . × Xn przestrzeni metrycznych (Xi , di ), i ≤ n, określona dla x, y ∈ X wzorem d(x, y) =

n

di (xi , yi ),

(2.6)

i=1

przy czym x = (x1 , . . . , xn ) i y = (y1 , . . . , yn ), jest równoważna metryce kartezjańskiej.

W przypadku płaszczyzny metryka (2.6) wyraża się wzorem d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |, gdzie x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) i nazywana jest metryką miejską2, bo w miastach realną odległość między punktami liczy się długością odcinków ulic łączących te punkty, a one przecinają się zwykle pod kątem prostym.

Twierdzenie 2.1.8. Topologia iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metryzowalnych pokrywa się z topologią wyznaczoną przez metrykę produktową.

Dowód. Niech TM oznacza topologię wyznaczoną przez metrykę zadaną wzorem (2.3), a TK topologię iloczynu kartezjańskiego przestrzeni topologicznych X1 , . . . , Xn , przy czym topologie w Xi wyznaczone są przez metryki di dla i ≤ n. Dla każdego i ≤ n niech pri : X1 × . . . × Xn → Xi będzie rzutowaniem, tzn. pri (x1 , . . . , xn ) = xi . Z kryterium Heinego (patrz str. 34) 2W literaturze anglojęzycznej używany jest też termin Manhattan distance ze względu

na układ ulic w tej części Nowego Jorku.

1. METRYKI W ILOCZYNIE KARTEZJAńSKIM I PRODUKCIE, ...

145

i lematu 2.1.3 wynika, że rzutowania są ciągłe w sensie topologii TM , a w konsekwencji każdy zbiór otwarty w sensie topologii TK jest otwarty w sensie topologii TM . Aby wykazać implikację odwrotną, ustalmy kulę otwartą w sensie metryki d zadanej wzorem (2.6), tzn. zbiór Bd(x, ε) = {(y1 , . . . , yn ) ∈ X1 , . . . , Xn : d1 (x1 , y1 ) + . . . + dn (xn , yn ) < ε}, gdzie x = (x1 , . . . , xn ) oraz ε > 0 są dowolnie ustalone. Wówczas zbiór ε ε × . . . × Bdn xn , U = Bd1 x1 , n n jest otwarty w sensie topologii TK oraz x ∈ U ⊆ Bd (x, ε). To kończy dowód, bo na mocy wniosku 2.1.7 topologia zadana przez metrykę określoną wzorem (2.6) jest identyczna z topologią TM .

Wniosek 2.1.9. Iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni metryzowalnych jest przestrzenią metryzowalną.

Dalszym wnioskiem jest następujące twierdzenie Frécheta [168] z 1910 r.

Twierdzenie 2.1.10. Jeśli przestrzeń przeliczalna jest metryzowalna, to jest homeomorficzna z podprzestrzenią domkniętą przestrzeni liczb wymiernych.

Dowód. Jeśli X jest przeliczalną przestrzenią metryzowalną, to na mocy wniosku 2.1.9 przestrzeń X × Q także jest przeliczalną przestrzenią metryzowalną. Jest też przestrzenią w sobie gęstą, bo Q jest w sobie gęste. Stąd na mocy twierdzenia Sierpińskiego (twierdzenie 1.9.12) przestrzeń X × Q jest homeomorficzna z Q. Pozostaje zauważyć, że X jest homeomorficzne z podprzestrzenią domkniętą X × {0} przestrzeni X × Q.

Ponieważ przestrzeń Q ma bazę przeliczalną, to rodzina wszystkich jej podzbiorów otwartych ma moc continuum. A zatem także rodzina wszystkich jej podzbiorów domkniętych ma moc continuum, bo dopełnienie zbioru domkniętego jest zbiorem otwartym. Stąd i z twierdzenia 2.1.10 wynika, że moc rodziny wszystkich różnych, czyli parami niehomeomorficznych, przestrzeni przeliczalnych metryzowalnych jest równa continuum.

W wielu konstrukcjach topologicznych ważną rolę odgrywa fakt, że każda metryka jest równoważna pewnej metryce ograniczonej.

Definicja 2.1.11 (metryka ograniczona). Metryka d w przestrzeni X jest ograniczona, gdy istnieje taka liczba a ∈ R, że d(x, y) ≤ a dla dowolnych x, y ∈ X. Mówimy wtedy, że metryka d jest ograniczona przez stałą a.

Kolejny lemat podaje dwa sposoby tworzenia metryk ograniczonych.

Lemat 2.1.12. Jeśli funkcja d : X × X → R jest metryką na X, to także funkcje σ, ρ : X × X → X dane wzorami d(x, y) σ(x, y) = oraz ρ(x, y) = min{1, d(x, y)} 1 + d(x, y) są metrykami na X ograniczonymi przez 1 i równoważnymi z metryką d.

370

ZUPEŁNOŚĆ

Kolejne twierdzenie nazwano na cześć Cantora, który udowodnił, że zstępujący ciąg domkniętych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych o średnicach dążących do zera ma przekrój jednopunktowy. W przypadku ogólnym twierdzenie to znajduje się w książce Hausdorffa [215]. Kuratowski w pracy [295] wykazał, że własność ta charakteryzuje zupełność.

Twierdzenie 4.1.7 (lemat Cantora). Przestrzeń metryczna jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg jej podzbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma przekrój jednoelementowy.

Dowód. Załóżmy, że (Fn )∞ n=1 jest ciągiem zbiorów domkniętych przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d) oraz że Fn+1 ⊆ Fn ⊆ X dla każdego n ∈ N i lim diam(Fn ) = 0. Jeśli dla każdego n ∈ N wybierzemy xn ∈ Fn , n→∞ to ciąg (xn )∞ n=1 będzie spełniał warunek Cauchy’ego. Faktycznie, jeśli ε > 0, to istnieje takie n0 ∈ N, że diam Fn0 < ε. Wówczas dla m, n > n0 mamy d(xm , xn ) ≤ diam(Fn0 ) < ε, bo Fm ⊆ Fn0 i Fn ⊆ Fn0 . Ponieważ przestrzeń (X, d) jest zupełna, to istnieje takie x ∈ X, że x = lim xn . Wówczas dla każn→∞ dego n ∈ N mamy x ∈ cl Fn = Fn , bo {xm : m ≥ n} ⊆ Fn , a w konsekwencji x ∈ {Fn : n ∈ N}. Jeśli y = x, to d(x, y) > 0, czyli istnieje takie n ∈ N, że / Fn . To kończy pierwszą część dowodu. diam Fn < d(x, y), a więc y ∈ Aby wykazać implikację odwrotną, ustalmy ciąg Cauchy’ego (xn )∞ n=1 i rozważmy zbiory Fn = cl{xm : m ≥ n}. Oczywiście Fn+1 ⊆ Fn dla każdego n ∈ N, a ponieważ ciąg spełnia warunek Cauchy’ego, to dla każdego ε > 0 istnieje takie n0 ∈ N, że diam{xm : m > n0 } ≤ ε. Z lematu 4.1.6 mamy diam Fn0 ≤ ε, a więc lim diam Fn = 0. Ustalmy x ∈ {Fn : n ∈ N}. Ponieważ możemy n→∞

zakładać, że ciąg nie jest stały, to x ∈ ({xn : n ∈ N})d . Na mocy lematu 2.2.15

mamy więc x = lim xn , co kończy dowód. n→∞

zstępującym zbiorów domkniętych w przestrzeni Jeśli (Fn )∞ n=1 jest ciągiem metrycznej zwartej (X, d), to {Fn : n ∈ N} = ∅, bo każda rodzina zstępująca do 0, to ich jest scentrowana. Ponadto, jeśli średnice zbiorów Fn zmierzają

przekrój jest jednym punktem. Faktycznie, jeśli x, y ∈ {Fn : n ∈ N}, to d(x, y) < diam(Fn ) dla każdego n ∈ N, a więc x = y. Z lematu Cantora wynika zatem następujący wniosek.

Wniosek 4.1.8. Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa, bo na przykład przestrzeń R jest zupełna, a nie jest zwarta; p. przykład 2.2.17. Zwartość od zupełności różni całkowita ograniczoność, która jest własnością metryczną.

Definicja 4.1.9 (metryka całkowicie ograniczona). Metryka d na zbiorze X jest całkowicie ograniczona, gdy dla każdego ε > 0 istnieją takie zbiory

1. PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE

371

A1 , . . . , An ⊆ X, że A1 ∪ . . . ∪ An = X oraz diam Ai ≤ ε dla i ≤ n. Przestrzeń metryczna (X, d) jest wtedy całkowicie ograniczona1.

Z definicji zwartości wynika, że każda przestrzeń metryczna zwarta jest całkowicie ograniczona, bo dla każdego ε > 0 można ją pokryć skończenie wieloma kulami o promieniu 2ε . Zauważmy, że każda podprzestrzeń przestrzeni całkowicie ograniczonej jest całkowicie ograniczona.

Twierdzenie 4.1.10. Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona.

Dowód. Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią zupełną, całkowicie ograniczoną. Przypuśćmy, że U jest jej pokryciem otwartym, które nie zawiera pokrycia skończonego. Wówczas konstruujemy zstępujący ciąg {Fn : n ∈ N} niepustych podzbiorów domkniętych przestrzeni X takich, że diam Fn ≤ n1 dla każdego n ∈ N i zbiory Fn mają własność: (W) żadna skończona podrodzina rodziny U nie pokrywa zbioru Fn .

Jako F1 przyjmijmy X. Jeśli zbiór Fn jest już określony, to korzystając z faktu, że przestrzeń X jest całkowicie ograniczona, pokrywamy go skończenie wielo1 . Wówczas, na mocy założenia ma podzbiorami o średnicy nie większej niż n+1 indukcyjnego, przynajmniej jeden z tych zbiorów nie ma pokrycia skończonego elementami rodziny U. Zbiór ten przyjmujemy jako Fn+1 . Ponieważ średnica zbioru jest taka sama jak średnica jego domknięcia (p. lemat 4.1.6), to możemy zakładać, że są to zbiory domknięte niepuste. Na mocy lematu Cantora

(p. twierdzenie 4.1.7) istnieje taki punkt x ∈ X, że {Fn : n ∈ N} = {x}. Ponieważ U jest pokryciem, to x ∈ U dla pewnego U ∈ U. Istnieje takie n ∈ N, że n1 < dist(x, X \ U ). Wówczas Fn ⊆ U . Faktycznie, gdyby istniał punkt y ∈ Fn \ U , to mielibyśmy diam Fn ≥ d(x, y) ≥ dist(x, X \ U ) >

1 , n

bo x ∈ Fn . To prowadzi do sprzeczności, bo diam Fn ≤ n1 . Zbiór Fn jest zatem zawarty w pewnym elemencie pokrycia U, co jest sprzeczne z warunkiem (W). Każda przestrzeń zupełna całkowicie ograniczona jest zatem zwarta.

Implikacja odwrotna jest oczywista.

Dla przestrzeni zupełnych zachodzi uogólnienie twierdzenia 1.9.30, które mówi, że każdy podzbiór domknięty w sobie gęsty przestrzeni metrycznej zwartej zawiera zbiór Cantora.

Twierdzenie 4.1.11. Niech f : X → Y będzie surjekcją ciągłą przestrzeni metrycznej zupełnej na w sobie gęstą przestrzeń Hausdorffa. Wówczas istnieje taki zbiór Cantora C ⊆ X, że f C jest zanurzeniem homeomorficznym.

1Całkowitą ograniczoność można też zdefiniować inaczej: dla każdego ε > 0 istnieje taki zbiór skończony {x1 , . . . , xn }, że dla każdego x ∈ X istnieje takie k ≤ n, że d(x, xk ) < ε; patrz np. [153]. Zbiór {x1 , . . . , xn } bywa też nazywany ε-siecią.

456

SPÓJNOŚĆ

Dowód. Ze wzoru (1.14) otrzymujemy równość X \ Bd A = Int A ∪ Int(X \ A), a więc X \ Bd A jest sumą dwóch rozłącznych niepustych zbiorów otwartych.

To na mocy lematu 5.1.1 kończy dowód.

Jak pokazuje twierdzenie 1.1.23, przestrzeń R liczb rzeczywistych jest przykładem przestrzeni spójnej. Przestrzenie spójne mogą być jednak dość osobliwe. Z definicji wynika, że każdy zbiór z topologią antydyskretną jest przestrzenią spójną. Spójna jest także przestrzeń opisana w przykładzie 1.1.21.

Zbiorami otwartymi w tej przestrzeni są, oprócz zbioru pustego, elementy filtru wolnego. Szczególnym przypadkiem jest przestrzeń z topologią koskończoną.

Jest to taka przestrzeń nieskończona, w której jedynymi zbiorami otwartymi są te, które mają dopełnienia skończone. Taka przestrzeń jest typu T1 . Istnieją więc przestrzenie spójne typu T1 dowolnej mocy, w szczególności przeliczalne.

Jeśli jednak zażądamy, by przestrzeń spójna była dodatkowo regularna, to nie może ona być przeliczalna, bo regularne przestrzenie przeliczalne są normalne (p. twierdzenie 1.8.18), czyli są przestrzeniami Tichonowa, a przestrzenie spójne mają następującą własność.

Lemat 5.1.3. Każda przestrzeń Tichonowa spójna niejednopunktowa ma moc co najmniej 2ω .

Dowód. Załóżmy, że przestrzeń Tichonowa X jest spójna i wybierzmy punkty x, y ∈ X. Istnieje taka funkcja ciągła f : X → [0, 1], że f (x) = 0, a f (y) = 1. Ponieważ na mocy wniosku 1.3.12 f [X] = [0, 1], to |X| ≥ 2ω .

Powstaje naturalne pytanie, czy przestrzeń spójna przeliczalna może być przestrzenią Hausdorffa. Jak pokazał Urysohn [501], a nieco później Bing [58], konstruując odpowiedni przykład (p. Engelking [153], przykład 6.1.6), odpowiedź na to pytanie jest twierdząca. Przedstawiamy tu przykład Golomba [192] topologii Hausdorffa spójnej na zbiorze liczb naturalnych. Przestrzeń Golomba jest modyfikacją konstrukcji Furstenberga (patrz str. 5) topologii zerowymiarowej na zbiorze Z; patrz str. 11.

Przykład 5.1.4 (topologia Golomba). Topologia Golomba określona jest na zbiorze N liczb naturalnych i jest generowana przez zbiory postaci a + bN = {a + nb : n ∈ N ∪ {0}}, przy czym zakładamy dodatkowo, że liczby a i b są względnie pierwsze, tzn. takie, że największy wspólny dzielnik NWD(a, b) = 1. A zatem topologia Golomba na zbiorze N jest generowana przez rodzinę B = {a + bN : a, b ∈ N oraz NWD(a, b) = 1}.

Rodzina B ∪{∅} jest zamknięta ze względu na skończone przekroje. Wystarczy zauważyć, że jeśli x = min((a + bN) ∩ (a + b N)), to (a + bN) ∩ (a + b N) = x + cN,

(∗)

1. SPÓJNOŚĆ W OGÓLNYCH PRZESTRZENIACH TOPOLOGICZNYCH

457

przy czym c jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb b i b . Faktycznie, ponieważ istnieją takie n0 , m0 ∈ N, że x = a + n0 b = a + m0 b , to dla każdego x + nc ∈ x + cN mamy x + nc = a + n0 b + nc ∈ a + bN, bo c jest wielokrotnością b, a zatem x + cN ⊆ a + bN. Podobnie x + cN ⊆ a + b N. Z tego wynika, że x + cN ⊆ (a + bN) ∩ (a + b N). Jednocześnie, jeśli y ∈ (a + bN) ∩ (a + b N), to istnieją takie n1 , m1 ∈ N, że y = a + n1 b = a + m1 b . Wówczas dostajemy y − x = (n1 − n0 )b i podobnie y − x = (m1 − m0 )b . A zatem y − x jest wspólną wielokrotnością b i b , a więc istnieje takie k ∈ N, że y −x = kc. Z tego wynika, że y ∈ x + cN, a to dowodzi warunku (∗). Z warunku tego wynika, że rodzina B ∪ {∅} jest domknięta ze względu na skończone przekroje, a więc jest bazą topologii Golomba, bo każda liczba naturalna należy do pewnego elementu rodziny B. Stąd, że rodzina B jest bazą wynika w szczególności, że przestrzeń Golomba spełnia warunek Hausdorffa. Wystarczy bowiem dla dowolnych punktów x, y ∈ N, gdzie y > x, wybrać liczbę pierwszą1 p > y − x. Wówczas x + pN i y + pN są otoczeniami rozłącznymi odpowiednio punktów x i y. Faktycznie, gdyby x+pn = y +pm dla pewnych n, m ∈ N, to mielibyśmy y −x = (n−m)p, co daje sprzeczność, bo 0 < y − x < p.

Aby wykazać, że zbiór N z topologią Golomba jest przestrzenią spójną, przypuśćmy, że N = U ∪V , przy czym U i V są niepustymi zbiorami otwartymi i rozłącznymi. Weźmy dowolny zbiór x + aN ∈ B zawarty w U . Wykażemy, że aN ⊆ U . W przeciwnym razie istnieje takie n ∈ N, że an ∈ V, a ponieważ zbiór V jest otwarty, to dla pewnego y + bN ∈ B dostajemy an ∈ y + bN ⊆ V. Stąd wynika, że an = y + bm dla pewnego m ∈ N, a ponieważ zachodzi NWD(y, b) = 1, to także NWD(a, b) = 1. Wówczas na mocy twierdzenia chińskiego o resztach2 dostajemy (x + aN) ∩ (y + bN) = ∅, co daje sprzeczność, bo zbiory U i V są rozłączne, z zatem aN ⊆ U. Rozumując analogicznie, stwierdzamy, że skoro dla pewnego y + bN ∈ B zachodzi y + bN ⊆ V , to także bN ⊆ V . Ale wówczas abN ⊆ U ∩ V, co daje sprzeczność, bo U ∩ V = ∅ . ♦ Opiszemy teraz pewne standardowe metody konstruowania przestrzeni spójnych. Jak wiemy (p. twierdzenie 1.3.11) funkcje ciągłe zachowują spójność, a więc nowe przestrzenie spójne można tworzyć, jak już pokazano na str. 56 pisząc o okręgu, za pomocą operacji ilorazowania. Przedstawimy teraz inne jeszcze sposoby konstruowania przestrzeni spójnych. Przypomnijmy, że podzbiór A przestrzeni X jest zbiorem spójnym, gdy jako podprzestrzeń 1Z konstrukcji Golomba, podobnie jak z konstrukcji Furstenberga, wynika, że liczb

pierwszych jest nieskończenie wiele. Wynika to z tego, że dla każdego p ∈ N zbiór pN jest domknięty, bo jego dopełnieniem jest zbiór (1 + pN) ∪ . . . ∪ ((p − 1) + pN). Gdyby więc liczb pierwszych było skończenie wiele, to zbiór N \ {1} byłby domknięty, a to w topologii Golomba nie jest możliwe.

2Twierdzenie chińskie o resztach mówi w szczególności, że jeśli liczby a, b ∈ N są względnie pierwsze, to kongruencje z ≡ x(mod a) oraz z ≡ y(mod b) mają wspólne rozwiązanie z ∈ N; p. na przykład Marzantowicz i Zarzycki [328]. Faktycznie, ponieważ a i b są względnie pierwsze, to istnieją takie α, β ∈ Z, że αa + βb = 1. Wystarczy przyjąć z = αya + βxb + nab, gdzie n jest dostatecznie duże.

502

DODATEK

Pojęciem pierwotnym teorii mnogości jest zbiór, a relacją pierwotną relacja należenia1 oznaczana symbolem ∈. Zbiory są zmiennymi w formułach teorii mnogości. Oznaczamy je literami alfabetu łacińskiego lub greckiego (małymi i dużymi). Występują też litera alfabetu hebrajskiego: ℵ (czytamy alef) oraz (czytamy beth) i ‫( ג‬czytamy gimel). Napis x ∈ y oznacza więc, że zbiór x należy do zbioru y lub że x jest elementem zbioru y. Zaprzeczenie ¬(x ∈ y) oznaczamy jako x ∈ / y. Warto podkreślić, że elementami zbiorów są zbiory, choć niekiedy nazywamy je punktami. Zamiast zbiór zbiorów używamy też określenia rodzina zbiorów, by podkreślić, że elementami są zbiory. Aksjomaty teorii mnogości Zermelo–Fraenkla, czyli teorii ZF nazwanej tak na cześć twórców, Zermelo [525] i Fraenkla [164], są następujące.

(A1) Aksjomat ekstensjonalności. Zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, tzn. ∀x∀y(x = y ⇐⇒ ∀z(z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y)).

(A2) Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element, tzn. ∃u∀y(y ∈ / u).

Z aksjomatu ekstensjonalności wynika, że zbiór u spełniający ten warunek jest jedyny, a więc możemy go oznaczyć symbolem ∅ powszechnie używanym w matematyce na określenie zbioru pustego. Każdy zbiór różny od zbioru pustego nazywamy niepustym.

(A3) Aksjomat nieskończoności. Istnieje taki zbiór s, że ∅ ∈ s i dla każdego x ∈ s istnieje taki zbiór y ∈ s, którego elementami są wszystkie elementy zbioru x oraz sam zbiór x, tzn. ∃s(∅ ∈ s ∧ (∀x ∈ s)(∃y ∈ s)∀z(z ∈ y ⇐⇒ (z ∈ x ∨ z = x))).

Z aksjomatu nieskończoności wynika, że mogą istnieć nieskończone ciągi należeń postaci x ∈ y ∈ z ∈ . . .

(A4) Aksjomat regularności2. W każdym zbiorze niepustym istnieje element minimalny w sensie relacji należenia, tzn. ∀x(x = ∅ =⇒ (∃y ∈ x)(∀z ∈ x)(z ∈ / y)).

Z aksjomatu regularności wynika, że nie istnieją nieskończone „wsteczne" ciągi należeń postaci . . . ∈ x ∈ y ∈ z.

(A5) Aksjomat sumy. Dla każdego zbioru x istnieje zbiór y, którego elementami są te i tylko te zbiory, które należą do elementów zbioru x, tzn. ∀x∃y∀z(z ∈ y ⇐⇒ ∃(u ∈ x)(z ∈ u)).

Podobnie jak powyżej, na mocy aksjomatu ekstensjonalności możemy napisać,

że y = x. Zbiór x nazywamy sumą zbioru x.

1Jak podają Kuratowski i Mostowski w monografii [301], symbol ∈ wprowadził Peano jako skrót greckiego słowa στ ι oznaczającego być.

2Nazywany jest też aksjomatem ufundowania od angielskiego foundation axiom.

1. ZBIORY

503

(A6) Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru x istnieje taki zbiór y, którego elementami są te i tylko te zbiory, których wszystkie elementy należą do x, tzn. ∀x∃y∀z(z ∈ y ⇐⇒ (∀u ∈ z)u ∈ x).

Aksjomat ten łatwiej wysłowić, posługując się pojęciem inkluzji, czyli zawierania. Dla dowolnych z oraz x symbol z ⊆ x oznacza, że ∀u(u ∈ z =⇒ u ∈ x).

Mówimy wówczas, że z jest podzbiorem zbioru x lub że x jest nadzbiorem zbioru z, co oznaczamy też jako z ⊇ x. Jeśli z ⊆ x oraz z = x, to piszemy z x i mówimy, że z jest istotnie zawarty w x lub że z jest podzbiorem właściwym zbioru x. Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, piszemy, że y = P(x). Zbiór P(x) nazywamy zbiorem potęgowym zbioru x.

Sformułowane dotąd aksjomaty są bardzo naturalne, a także intuicyjnie jasne. Można zauważyć, że zbiory przez nie postulowane opisane są za pomocą pewnych formuł, jak na przykład zbiór potęgowy P(x), który jest opisany za pomocą formuły z ∈ P(x) ⇐⇒ (∀u ∈ z)u ∈ x.

Nie każda formuła określa zbiór, na przykład nie istnieje taki zbiór y, że ∀x(x ∈ y ⇐⇒ x ∈ / x).

Faktycznie, podstawiając x = y, otrzymalibyśmy formulę, która jest logicznie sprzeczna: y ∈ y ⇐⇒ y ∈ / y. Jest to tzw. antynomia Russella3. Aby jej uniknąć, wprowadzamy pewne ograniczenia na formuły, za pomocą których definiujemy nowe zbiory. Jeśli w formule Φ zmienne p1 , . . . , pn nie występują w zasięgu kwantyfikatorów ∀pi lub ∃pi , przy czym i ≤ n, to piszemy, że Φ = Φ(p1 , . . . , pn ) i mówimy, że są to zmienne wolne w formule Φ. Jeśli formuła Φ = Φ(x, y, p1 , . . . , pn ) spełnia następujący warunek ∀p1 . . . ∀pn ∀x∀y∀z(Φ(x, y, p1 , . . . , pn ) ∧ Φ(x, z, p1 , . . . , pn ) =⇒ y = z),

(∗)

to mówimy, że taka formuła jest funkcją. Jeśli formuła Φ = Φ(p1 , . . . , pn ) jest funkcją, to jako aksjomat (zależny od Φ) przyjmujemy następujące zdanie: (A7)Φ Aksjomat zastępowania. ∀pi . . . ∀pn ∀u∃v∀y(y ∈ v ⇐⇒ (∃x ∈ u)Φ(x, y, p1 , . . . , pn )), Aksjomat ten mówi, że jeśli dana formuła Φ jest funkcją, czyli spełnia warunek (∗), to formuła Φ przeprowadza dowolny zbiór w inny zbiór w tym sensie, że jeśli w formule Φ(x, y, p1 , . . . , pn ) elementy x należą do pewnego zbioru, to te elementy y, dla których zachodzi ta formuła, też tworzą zbiór.

3Słynny paradoks Russella wywarł istotny wpływ na kształtowanie się aksjomatycznej

teorii zbiorów. Polega on na tym, że jeśli przyjmiemy istnienie zbioru wszystkich zbiorów, powiedzmy u, to stosując do niego i do formuły Ψ(x) ≡ (x ∈ / x) twierdzenie o wycinaniu (p. poniżej twierdzenie 6.1.1), otrzymamy taki zbiór v = {x ∈ u : Ψ(x)}, że v ∈ v ⇐⇒ v ∈ / v, co daje logiczną sprzeczność. W wersji anegdotycznej paradoks Russella mówi o tym, że w pewnym mieście (może w Sewilli) pewien golibroda postanowił, iż będzie golił wszystkich tych (i tylko tych), którzy sami się nie golą. Natrafił w ten sposób na nierozwiązywalny problem, bo nie mógł rozstrzygnąć, czy może się ogolić.

504

DODATEK

Aksjomatów teorii mnogości jest więc nieskończenie wiele, bo formuł teorii mnogości jest nieskończenie wiele. Ostatni aksjomat jest w istocie schematem dla nieskończenie wielu formuł nazywanych ogólnie aksjomatem zastępowania.

Kwestia niesprzeczności i niezależności aksjomatów teorii ZFC znajduje się poza tematyką tej książki. Zainteresowanych tym zagadnieniem, a także innymi aspektami teorii mnogości odsyłam do książek Jecha [242] i Kunena [292] oraz do trzytomowego dzieła pod redakcją Foremana i Kanamoriego pt. Handbook of Set Theory. Istnieją także inne aksjomatyki4 teorii mnogości, a ponadto aksjomaty bywają formułowane w różnych wersjach i konfiguracjach. W szczególności Kuratowski i Mostowski [303] nie zakładają aksjomatu regularności. W zamian za to, aby zdefiniować liczby porządkowe i liczby kardynalne, wprowadzają aksjomat typów relacyjnych.

Do aksjomatów teorii ZF zalicza się zwykle aksjomat wyróżniania (lub wycinania). Można go też wyprowadzić z dotychczasowych aksjomatów.

Twierdzenie 6.1.1 (o wyróżnianiu). Dla każdego zbioru u i każdej formuły Ψ(x, p1 , . . . , pn ) istnieje taki zbiór v, że x ∈ v wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ u i zachodzi formuła Ψ(x, p1 , . . . , pn ), tzn. ∀u∃v∀y(y ∈ v ⇐⇒ (y ∈ u ∧ Ψ(y, p1 , . . . , pn ))).

Dowód. Wystarczy zastosować aksjomat (A8)Φ do formuły5 Φ(x, y, p1 , . . . , pn ) ≡ (Ψ(x, p1 , . . . , pn ) ∧ x = y),

która w oczywisty sposób spełnia warunek (∗).

Zbiór v, o którym mowa w tym twierdzeniu, zapisujemy zwykle w postaci {x ∈ u : Ψ(x)}.

Korzystając z twierdzenia o wycinaniu, możemy zdefiniować iloczyn i różnicę zbiorów, przyjmując u ∩ v = {x ∈ u : x ∈ v} oraz u \ v = {x ∈ u : x ∈ / v}.

Z twierdzenia o wycinaniu wynika też możliwość zdefiniowania iloczynu nie tylko dwóch, a dowolnej niepustej rodziny zbiorów. A zatem, jeśli w = ∅, to przyjmujemy

w = {x ∈ a : (∀b ∈ w)(x ∈ b)},

gdzie a jest dowolnym elementem zbioru w. Zbiór w nazywamy iloczynem lub przecięciem (częścią wspólną) rodziny zbiorów w. Mamy równoważność x∈

w ⇐⇒ (∀b ∈ w)(x ∈ b),

4W dodatku do cytowanej tu kilkukrotnie książki topologicznej Kelleya [271] opisany

jest system aksjomatów teorii Morse’a–Kelleya (teorii MK), która jest wzmocnioną wersją teorii NGB von Neumanna–Bernaysa–Gödla.

5Ponieważ język formalny teorii mnogości nie jest tożsamy z językiem, którego używamy mówiąc o niej, to dla oznaczenia identyczności formuł używamy symbolu ≡.

1. ZBIORY

505

a więc na mocy aksjomatu ekstensjonalności definicja iloczynu zbiorów nie zależy od tego, który element zbioru w wybraliśmy, stosując twierdzenie o wy różnianiu. Zauważmy, że jeśli ∅ ∈ w, to w = ∅. Nie ma jednak możliwości zdefiniowania iloczynu rodziny pustej.

Podobnie jak w przypadku aksjomatu wycinania, także występujący często wśród aksjomatów teorii mnogości aksjomat istnienia pary można uzyskać jako konsekwencję aksjomatu zastępowania.

Twierdzenie 6.1.2 (o parze). Dla dowolnych a i b istnieje taki zbiór v = {a, b}, którego jedynymi elementami są a oraz b, tzn. ∀a∀b∃v∀z(z ∈ v ⇐⇒ z = a ∨ z = b).

Dowód. Rozważmy formułę Φ(x, y) ≡ (x = ∅ ∧y = a) ∨ (x = P(∅) ∧ y = b) oraz zbiór u = P(P(∅)). Ponieważ P(∅) = ∅, to Φ(x, y) ∧ Φ(x, z) =⇒ y = z.

Na mocy aksjomatu zastępowania istnieje zatem taki zbiór v, że y ∈ v ⇐⇒ (∃x ∈ u)(Φ(x, y)).

Jedynymi elementami zbioru u są ∅ oraz P(∅), a zatem jedynymi elementami zbioru v są a oraz b. To kończy dowód.

Z aksjomatu ekstensjonalności wynika, że zbiór v spełniający tezę tego twierdzenia jest jedyny. Oznaczamy go symbolem {x, y} i nazywamy parą zbiorów x oraz y. Jeśli x = y, to parę {x, x} = {x} nazywamy singletonem.

Korzystając z aksjomatu sumy i twierdzenia o parze, możemy zdefiniować sumę dwóch zbiorów wzorem u∪v =

{u, v},

czego nie mogliśmy wcześniej zrobić za pomocą twierdzenia o wyróżnianiu, tak jak to zrobiliśmy w przypadku iloczynu i różnicy. Posługując się pojęciem pary, możemy z aksjomatu regularności wyprowadzić twierdzenie, z którego w szczególności wynika, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje6. Ze względu na antynomię odkrytą przez Russella nazwijmy to twierdzenie jego imieniem.

Twierdzenie 6.1.3 (twierdzenie Russella). Jeśli x ∈ y, to y ∈ / x, tzn. ∀x∀y(x ∈ y =⇒ y ∈ / x).

W szczególności x ∈ / x i nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów, tzn. ¬∃v∀x(x ∈ v).

6Gdyby istniał zbiór wszystkich zbiorów, to teoria ZF byłaby sprzeczna. Faktycznie,

jeśli istnieje taki zbiór v, że ∀x(x ∈ v), to na mocy twierdzenia o wyróżnianiu istnieje zbiór u = {x ∈ v : x ∈ / x}. Wówczas u ∈ u wtedy i tylko wtedy, gdy u ∈ / u, co daje logiczną sprzeczność.